GENLİK MODÜLASYONU Mesaj sinyali ( )`nin taşıyıcı sinyal olan

GENLİK MODÜLASYONU Mesaj sinyali ( )`nin taşıyıcı sinyal olan

GENLİK MODÜLASYONU
Mesaj sinyali 𝑚(𝑡)’nin taşıyıcı sinyal olan 𝑐(𝑡)’nin genliğini modüle etmesine genlik
modülasyonu (GM) denir. Çeşitli genlik modülasyonu türleri vardır, bunlar: Çift yan bant
modülasyonu, geleneksel genlik modülasyonu, tek yan bant modülasyonu ve artık yan bant
modülasyonudur.
1. Çift Yan Bant Modülasyonu
1.1 Çift Yan Bant Modülasyonlu İşaretin Üretimi
Bir çift yan bant modülasyonlu işaret, mesaj işareti 𝑚(𝑡) ile taşıyıcı sinyal olan 𝑐(𝑡)‘nin
çarpılması ile elde edilir. Taşıyıcı işaret,
𝑐(𝑡) = 𝐴𝑐 . cos⁡(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
Şeklinde ifade edilir. Çift yan bant modülasyonlu işaret ise aşağıdaki biçimdedir.
𝑥Ç𝑌𝐵 (𝑡) = 𝑚(𝑡). 𝑐(𝑡)
= 𝐴𝑐 . m(t). cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑓𝑐 ≫ 𝑓𝑚
Hatırlatma!
Fourier Dönüşümü Kuralları
Frekansta Kaydırma: Zaman alanında bir sinyal 𝑒 𝑗𝑤𝑜 𝑡 ile çarpılırsa frekans alanında bu
sinyal 𝑤𝑜 kadar kayar.
𝑥(𝑡)𝑒 𝑗𝑤𝑜 𝑡 ↔ 𝑋(𝑤 − 𝑤𝑜 )
İkililik: Fourier dönüşümü alındıktan sonra zaman yerine frekans, frekans yerine zaman
yazılması ile elde edilen ifade aşağıdaki gibidir.
𝑋(𝑡) = 2𝜋𝑥(−𝑤)
Birim darbe fonksiyonunun Fourier dönüşümü:
𝛿(𝑡) ↔ 1
Çıkarım: Eğer birim darbe fonksiyonuna Fourier dönüşümünün ikililik kuralı uygulanırsa,
1 ↔ 2𝜋𝛿(𝑤)
Elde edilir. Şimdi bu sinyali 𝑒 𝑗𝑤𝑜 𝑡 ile çarparsak,
𝑒 𝑗𝑤𝑜 𝑡 . 1 ↔ 2𝜋𝛿(𝑤 − 𝑤𝑜 )
Elde ederiz. Dolayısıyla 𝑒 𝑗𝑤𝑜 𝑡 sinyalinin Fourier dönüşümünü bulmuş olduk.
Sonuç:
𝑒 𝑗𝑤𝑜 𝑡 ↔ 2𝜋𝛿(𝑤 − 𝑤𝑜 )
𝑤 = 2𝜋𝑓, 𝑤𝑜 = 2𝜋𝑓𝑜 alınır ve birim darbe fonksiyonun ölçekleme özelliği kullanılırsa;
𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑜 𝑡 ↔ 𝛿(𝑓 − 𝑓𝑜 ) elde edilir.
1
Elde edilen çift yan bant işaretinin frekans analizini yapalım. Zaman alanında yapılan çarpma
işleminin frekans alanında konvolüsyon almak anlamına geldiğini öğrenmiştik. O halde
𝑥Ç𝑌𝐵 (𝑡) işaretinin Fourier dönüşümünü alarak frekans alanında konvolüsyon yapalım.
cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) =
𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑐𝑡
2
Olduğundan taşıyıcı işaretin Fourier dönüşümü;
𝐴𝑐 cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) ↔
𝐴𝑐
[𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 ) + 𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 )]
2
Biçiminde olur. Mesaj işareti olan 𝑚(𝑡) sinyalinin Fourier dönüşümü de 𝑀(𝑓) olursa çift yan
bant modülasyonlu işaretin frekans alanındaki ifadesini konvolüsyon yardımıyla aşağıdaki
gibi elde edebiliriz.
𝑋Ç𝑌𝐵 (𝑓) = 𝑀(𝑓) ∗
=
𝐴𝑐
[𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 ) + 𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 )]
2
𝐴𝑐
[𝑀(𝑓 − 𝑓𝑐 ) + 𝑀(𝑓 − 𝑓𝑐 )]
2
Çift yan bant modülasyonu grafik üzerinde aşağıda özetlenmiştir.
Örnek: Modüle edici mesaj sinyali 𝑚(𝑡) aşağıdaki gibi sinüzoidal formda verilmiş olsun.
𝑚(𝑡) = 𝑎. cos(2𝜋𝑓𝑚 𝑡)⁡⁡⁡⁡𝑓𝑚 ≪ 𝑓𝑐
Çift yan bant genlik modülasyonu yapılması durumunda genlik spektrumu nasıl olur? Alt ve
üst yan bant genlik spektrum grafiklerini ayrı ayrı çiziniz.
Hatırlatma!
1
cos(𝐴) . cos(𝐵) = . [cos(𝐴 + 𝐵) + cos⁡(𝐴 − 𝐵)]
2
2
Çözüm:
Çift yan modülasyonlu işaretin zaman alanındaki ifadesini yazalım,
𝑥Ç𝑌𝐵 (𝑡) = 𝐴𝑐 . 𝑎. cos(2𝜋𝑓𝑚 𝑡) . cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
=
𝐴𝑐 . 𝑎
𝐴𝑐 . 𝑎
cos(2𝜋(𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 )𝑡) +
cos⁡(2𝜋(𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 )𝑡)
2
2
Bu işaretin Fourier dönüşümü alınırsa,
𝑋Ç𝑌𝐵 (𝑓) =
𝐴𝑐 . 𝑎
𝐴𝑐 . 𝑎
[𝛿(𝑓−𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 ) + 𝛿(𝑓+𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 )] +
[𝛿(𝑓−𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 ) + 𝛿(𝑓+𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 )]
4
4
Şeklinde elde edilir. Spektrumlar aşağıda verilmiştir.
(a) Çift yan bant modülasyonlu işaretin genlik spektrumu (b) Alt yan bantların genlik
spektrumu (c) üst yan bantların genlik spektrumu
1.2 Çift Yan Bant Modülasyonlu İşaretin Çözümü (Demodülasyon)
Alıcı tarafından alınan modülasyonlu işaretten tekrar mesaj sinyalinin elde edilmesine
demodülasyon denir. ÇYB modülasyonlu işaretlerin demodülasyonunda alınan sinyal taşıcı
sinyal ile çarpılır ve daha sonra elde edilen sinyal alçak geçiren filtreden geçirilerek mesaj
işareti elde edilir.
Alınan sinyal
𝑎(𝑡) = 𝐴𝑐 . m(t). cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃𝑐 )
,Alıcıda üretilen taşıyıcı sinyal ise
𝑐(𝑡) = cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃)
Olsun. Bu iki sinyalin çarpılması ile aşağıda verilen ifade elde edilir.
3
𝑑(𝑡) = 𝑎(𝑡). 𝑐(𝑡) = 𝐴𝑐 . m(t). cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃𝑐 ). cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃)
=
1
1
𝐴𝑐 . m(t). cos(𝜃𝑐 − 𝜃) + 𝐴𝑐 . m(t). cos(4𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃𝑐 + 𝜃)
2
2
Eğer bu işaret alçak geçiren bir filtreden geçirilirse mesaj işareti elde edilir.
1
𝑚
̂ (𝑡) = 𝐴𝑐 . m(t). cos(𝜃𝑐 − 𝜃)
2
Burada mesaj işaretinin yalnız olmadığına dikkat edelim. İfadedeki cos(𝜃𝑐 − 𝜃) çarpanı
alıcıda üretilen taşıyıcı ile modülasyonlu işaretin içinde bulunan taşıyıcı işaretin eş zamanlı
olmadığını gösterir. Örneğin faz farkının 45° olduğunu varsayarsak, mesaj işareti olması
gerekenden √2 kat daha az genlikte olacaktır. Faz farkı 90° olursa cos(90) = 0 olduğundan
mesaj işareti elde edilemez. Dolayısıyla eş zamanlı çözüm yapmak gerekmektedir. Aşağıdaki
şekilde eş zamanlı demodülatörün blok şeması verilmiştir.
2. Geleneksel Genlik Modülasyonu
2.1 Geleneksel Genlik Modülasyonlu İşaretin Üretimi
Burada modülasyonlu işaret, çift yan bant modülasyonlu işaret ile taşıyıcının toplanmasıyla
elde edilir. Matematiksel ifadesi şöyledir:
𝑥𝐺𝑀 (𝑡) = 𝐴𝑐 [1 + m(t)] cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
* |m(t)| ≤ 1 koşulu sağlandığı sürece, 𝐴𝑐 [1 + m(t)] genliği daima pozitif olacaktır. Böylece
bu işaretin çözümü kolaylaşacaktır.
Geleneksel genlik modülasyonlu işaretin genlik spektrumunu elde edebilmemiz için zaman
alanında verilen ifadenin Fourier dönüşümünü almamız gerekmektedir.
𝑥𝐺𝑀 (𝑡) = 𝐴𝑐 [1 + 𝑚𝑎 . 𝑚𝑛 (t)] cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
𝑋𝐺𝑀 (𝑓) = 𝐹{𝑚𝑎 . 𝑚𝑛 (t)} ∗ 𝐹{𝐴𝑐 cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)} + 𝐹{𝐴𝑐 cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)}
= 𝑚𝑎 . 𝑀𝑛 (𝑓) ∗
𝑋𝐺𝑀 (𝑓) =
𝐴𝑐
𝐴𝑐
[𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 ) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐 )] + [𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 ) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐 )]
2
2
𝐴𝑐
[𝑚𝑎 . 𝑀𝑛 (𝑓)(𝑓 − 𝑓𝑐 ) + 𝑚𝑎 . 𝑀𝑛 (𝑓)(𝑓 + 𝑓𝑐 ) + 𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 ) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐 )]
2
* Çift yan bant ve geleneksel genlik modülasyonunda modülasyon işaretinin bant genişliği
mesaj işaretinin bant genişliğinin iki katı kadardır.
Aşağıda geleneksel genlik modülasyonunun zaman ve frekans alanındaki grafikleri
verilmiştir.
4
Modülasyon İndeksi
Mesaj sinyalini verilen biçimde yazıp modülasyon indeksini tanımlayalım.
m(t) = 𝑚𝑎 . 𝑚𝑛 (t)
Burada,
m(t): Mesaj sinyali
𝑚𝑛 (t): Normalize edilmiş mesaj sinyali
𝑚𝑎 : Modülasyon indeksi olarak tanımlanır.
Mesaj sinyalinin normalize edilmesi,
𝑚𝑛 (𝑡) =
m(t)
𝑚𝑎𝑘𝑠|𝑚(𝑡)|
Modülasyon indeksini yerine yazarak denklemi yeniden düzenlersek,
𝑥𝐺𝑀 (𝑡) = 𝐴𝑐 [1 + 𝑚𝑎 . 𝑚𝑛 (t)] cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
Elde ederiz.
Uygun bir biçimde modülasyon ve demodülasyon yapmak için modülasyon indeksi aşağıda
verilen koşulu sağlamalıdır.
0 ≤ 𝑚𝑎 ≤ 1
Modülasyon indeksinin bulunması
𝑚𝑎 =
|min⁡(𝑚(𝑡))|
𝐴𝑐
Veya
𝑚𝑎 =
𝑚𝑎𝑘𝑠(𝐴𝑐 ) − min⁡(𝐴𝑐 )
𝑚𝑎𝑘𝑠(𝐴𝑐 ) + min⁡(𝐴𝑐 )
5
Modülasyon indeksinin aldığı değerlere bağlı olarak elde edilen modülasyon işaretler aşağıda
özetlenmiştir.
Modülasyon indeksinin 1’den büyük olması durumuna aşırı modülasyon denir. Bu
istenmeyen bir durumdur çünkü tekrar mesaj işaretini elde etmek zordur.
Örnek: Mesaj işaretinin normalize bir sinüzoidal işaret olduğunu varsayalım,
𝑚𝑛 (𝑡) = cos(2𝜋𝑓𝑚 𝑡)⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑓𝑚 ≪ 𝑓𝑐
Modülasyon indeksi a olduğuna göre geleneksel genlik modülasyonlu işareti elde ederek
spektrumunu çiziniz. Alt ve üst yan bantları belirtiniz.
Çözüm: İlk önce geleneksel genlik modülasyonlu işareti yazıp düzenleyelim ardından Fourier
dönüşümü alarak spektrumunu çizelim.
𝑥𝐺𝑀 (𝑡) = 𝐴𝑐 [1 + a. cos(2𝜋𝑓𝑚 𝑡)] cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
= a. 𝐴𝑐 cos(2𝜋𝑓𝑚 𝑡) cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) + 𝐴𝑐 cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
=
a. 𝐴𝑐
[cos(2𝜋(𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 )𝑡) + cos(2𝜋(𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 )𝑡)] + 𝐴𝑐 cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
2
Şeklinde ifade edilir. Bu işaretin Fourier dönüşümü alınırsa,
6
𝑋𝐺𝑀 (𝑓) =
a. 𝐴𝑐
[𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 ) + 𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 ) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 ) + 𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 )]
4
𝐴𝑐
+ [𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐 ) + 𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐 )]
2
Bulunur. Bulunan bu darbe fonksiyonlarının toplamı biçimindeki ifadenin grafiğini çizecek
olursak genlik spektrumunu elde etmiş oluruz. Spektrum aşağıda verilmiştir.
2.2 Geleneksel Genlik Modülasyonlu İşaretin Demodülasyonu
Geleneksel genlik modülasyonunun en büyük avantajı kolay bir biçimde demodülasyonunun
yapılabilmesidir. Eş zamanlı çözüme gerek kalmadan geleneksel genlik modülasyonlu
işaretten ses işareti kolaylıkla elde edilebilir.
Zarf Dedektörü
Aşağıda verilen devre zarf dedektörü olarak çalışmaktadır. Devrede bulunan diyot
modülasyonlu işareti doğrultur, direnç ve kondansatör ise doğrultulmuş sinyali filtreleyerek
ses işaretini oluşturur.
Zarf dedektöründe kullanılan diyotlar germanyum diyotlardır. Kullanılan direnç ve
kondansatör değeri ise aşağıdaki koşula göre belirlenir.
1
1
≪ 𝑅𝐶 ≪
𝑓𝑚
𝑓𝑐
3. Tek Yan Bant Genlik Modülasyonu
Geleneksel genlik modülasyonunda ve çift yan bant modülasyonunda hem alt yan bantlar hem
de üst yan bantlar iletildiğinden bant genişliği fazladan kullanılır. Çünkü mesaj işareti alt yan
bantta ve üst yan bantta aynı şekilde mevcuttur. Dolayısıyla yan bantlardan birinin iletilmesi
haberleşme için yeterli olacaktır. Bu modülasyon türünde yan bantlardan birinin gönderilmesi
esasına dayanır. Fakat bant genişlişliği ve enerjiden kazanç sağlanırken maaliyet ve
karmaşıklıktan kaybedilir.
7
3.1 Tek Yan Bant İşaretinin Üretimi
3.1.1 Frekans Eleme Yöntemi
Tek yan bant işaretini elde etmenin en kolay yöntemidir. Öncelikle çift yan bant işareti üretilir
ardından yan bantlardan biri filtrelenerek alınır ve iletilir. Pratikte bu zor bir işlemdir çünkü
yan bantlardan birini elde edebilmek için yapılması gereken bant geçiren filtre çok keskin
kesim frekansı karakteristiğine sahip olmalıdır.
(a) Çif Yan Bant ve Tek Yan Bant Modülasyonlu İşaretlerin Spektrumu
(b) Bant Geçiren Filtre Kullanılarak Tek Yan Bant İşaretinin Üretimi
8
3.1.2 Faz Kaydırma Yöntemi
Bu yöntemin blok şeması aşağıda verilmiştir.
Bu yöntemde, hem mesaj işaretinin hem de taşıyıcı işaretin fazı 90° kaydırılır ve çarpılır bu
işaret çift yan bant modülasyonlu işaret (mesaj işareti ile taşıyıcının çarpımı) ile toplanarak
tek yan bant modülasyonlu işaret elde edilir.
Tek yan bant genlik modülasyonunun matematiksel ifadesi aşağıdaki gibidir.
𝑥𝑇𝑌𝐵 (𝑡) = 𝑚(𝑡). cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) ± 𝑚
̂ (𝑡). sin⁡(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
Toplama işlemi yapıldığında alt yan bant eldilirken, çıkarma işlemi yapılması durumunda üst
yan bantlar elde edilir.
𝑥Ü𝑇𝑌𝐵 (𝑡) = 𝑚(𝑡). cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) − 𝑚
̂ (𝑡). sin⁡(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
𝑥𝐴𝑇𝑌𝐵 (𝑡) = 𝑚(𝑡). cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) + 𝑚
̂ (𝑡). sin⁡(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
Örnek: Mesaj işareti sinüzoidal formda olsun,
𝑚(𝑡) = cos(2𝜋𝑓𝑚 𝑡)
Tek yan bant genlik modülasyonunu yaparak alt tek yan bant ve üst tek yan bant işaretini elde
ediniz.
Hatırlatma!
𝑐𝑜𝑠(𝐴 ± 𝐵) = cos(𝐴) . cos(𝐵) ± sin(𝐴) . sin⁡(𝐵)
Çözüm: Mesaj işaretinin ve taşıyıcı işaretin fazını 90° kaydıralım
−𝜋/2
cos(2𝜋𝑓𝑚 𝑡) ⁡ ↔
−𝜋/2
cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) ⁡ ↔
⁡ sin(2𝜋𝑓𝑚 𝑡)
⁡ sin(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
Üst Tek Yan Bant İşareti
𝑥Ü𝑇𝑌𝐵 (𝑡) = cos(2𝜋𝑓𝑚 𝑡) . cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) − sin(2𝜋𝑓𝑚 𝑡) . sin(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
= cos⁡(2𝜋(𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 )𝑡)
Alt Tek Yan Bant İşareti
9
𝑥𝐴𝑇𝑌𝐵 (𝑡) = cos(2𝜋𝑓𝑚 𝑡) . cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) + sin(2𝜋𝑓𝑚 𝑡) . sin(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
= cos⁡(2𝜋(𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 )𝑡)
3.2 Tek Yan Bant Genlik Modülasyonlu İşaretin Demodülasyonu
Çift yan bant genlik modülasyonlu işaretin demodülasyonunda olduğu gibi bu işaretin
demodülasyonunda da eş zamanlı çözüm yapılarak mesaj işareti elde edilir. Yani alıcı
tarafından alınan modülasyonlu işaret tekrar bir taşıyıcı işaret ile çarpılıp alçak geçiren
filtreden geçirilir.
𝑥𝐴𝑇𝑌𝐵 (𝑡) = 𝑚(𝑡). cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) + 𝑚
̂ (𝑡). sin⁡(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) alarak işlem yapalım,
𝑑(𝑡) = 𝑚(𝑡). cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) . cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) + 𝑚
̂ (𝑡). sin(2𝜋𝑓𝑐 𝑡) . cos(2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
Olur.
Hatırlatma!
1
cos(𝐴) . cos(𝐵) = . [cos(𝐴 + 𝐵) + cos⁡(𝐴 − 𝐵)]
2
1
sin(𝐴) . cos(𝐵) = . [sin(𝐴 + 𝐵) + sin⁡(𝐴 − 𝐵)]
2
𝑑(𝑡) =
𝑚(𝑡)
𝑚
̂ (𝑡)
[cos(0) + cos(2𝜋2𝑓𝑐 𝑡)] +
[sin(0) + sin(2𝜋2𝑓𝑐 𝑡)]
2
2
𝑑(𝑡) =
𝑚(𝑡) 𝑚(𝑡)
𝑚
̂ (𝑡)
+
cos(2𝜋2𝑓𝑐 𝑡) +
⁡sin(2𝜋2𝑓𝑐 𝑡)
2
2
2
Bu işaret alçak geçiren filtreden geçirilirse yüksek frekanslı bileşenler geçemeyeceğinden
mesaj işareti tekrar elde edilir.
𝑦(𝑡) =
10
𝑚(𝑡)
2
4. Artık Yan Bant Genlik Modülasyonu
Artık yan bant modülasyonu, çift yan bant modülasyonu ile tek yan bant modülasyonu
arasında bir modülasyon türüdür. Çift yan bantta olduğu kadar bant genişliği kullanılmaz ve
tek yan bantta olduğu gibi keskin kesim frekansı karakteristiğine sahip bir filtreye gerek
yoktur. Bu işaretin üretilmesi için artık yan bant filtresi kullanılır.
4.1 Artık Yan Bant İşaretinin Üretimi
AYB modülasyonlu işaretin üretimi için öncelikle çift yant modülasyonlu işaret üretilir
ardından artık yan bant filtresinden geçirilerek modülasyonlu işaret elde edilir.
4.2 Artık Yan Bant İşaretinin Demodülasyonu
AYB modüleli işaretten tekrar mesaj işaretinin elde edilebilmesi için eş zamanlı çözümün
yapılması gerekmektedir.
AYB Demodülatörü
11
AYB Filtre Karakteristiği
AYB işaretinin eşzamanlı çözümü
12