Bolum_4

BÖLÜM 4
• AKIŞKANLARIN DİNAMİĞİ
4.1. AKIŞKAN HAREKETİNE ETKİLİ OLAN KUVVETLER
Başlıca dört kuvvet söz konusudur. Bunlar;
1.Kütlesel (Hacimsel) Kuvvetler: Göz önüne alınan akışkan elemanının tüm hacmi
boyunca etki eden kuvvetlerdir. Örneğin Yerçekimi kuvveti (elemanın ağırlığı),
elektro manyetik kuvvet ve merkezkaç kuvvet gibi.
2.Yüzeysel Kuvvetler: Bu kuvvetler elemanların birbirleri ile temaslarından
meydana gelirler Şekil 4.1. Yüzeysel kuvvet alan ile doğru orantılıdır. Bu kuvvetlerin
birim alan üzerindeki değerine gerilme denir.
F
F
σ=Fy/A
Fy =
Basınç
Kuvveti
Normal Gerilme
Fx =Sürtünme
Kuvveti
(Basınç)
Şekil 4.1. Yüzeysel Kuvvetler
τ=Fx/A
=Kayma Gerilmesi
a) Kayma Kuvveti (Sürtünme Kuvveti): Bu kuvvet akışkan elemanlarının birbiri
üzerinde kaymaları esnasında akışkanın viskozitesinden dolayı akışa karşı koyan
kuvvettir.
b) Basınç Kuvveti: Statik haldeki akışkanlarda sadece basınç kuvveti söz konusudur
ve yüzeye dik olarak etkir.
3.Elastik Kuvvet: Akışkan hacminin şekil değiştirmesinden dolayı meydana gelen
kuvvettir.
4.Atalet Kuvveti: Elemanın hareketinden doğan kuvvettir ve Newton’un 2.
Kanununa göre “m.a” dır.
Durgun halde bulunan sıvılar için sadece yerçekimi ve basınç kuvveti etkilidir.
Hareket halindeki sıvılar için ise kütlesel, yüzeysel ve atalet kuvvetleri söz
konusudur.
4.2. AKIŞKANLARIN DİNAMİĞİNDE KULLANILAN TEMEL PRENSİPLER
Gaz ve sıvı akımıyla ilgili bütün problemlerin çözümü üç temel prensibe dayanır.
1.Kütlenin Korunumu Prensibi: Akışkan akımına uygulanması ile süreklilik
denklemi elde edilir.
dmKH
min − mout =
dt
2.Enerjinin Korunumu Prensibi (Termodinamiğin Birinci Kanunu): Akışkan
akımına uygulanması sonucunda enerji denklemleri elde edilir.
dEKH
E in − E out =
dt
3.Momentumun Korunumu Prensibi: Bu prensibin bir kontrol hacminden geçen
akıma uygulanması suretiyle hareketli akışkanlar tarafından etki ettirilen
kuvvetlerin çözümüne ait hareket denklemleri elde edilir.
Bu prensiplerden beş adet diferansiyel denklem çıkartılır. Bunlar bir adet süreklilik
denklemi, her bir koordinat eksenlerine ait olmak üzere üç adet hareket denklemi ve
bir adet enerji denklemidir.
İDEAL AKIŞKANLARIN HAREKETİ
EULER HAREKET DENKLEMLERİ
Hareket denklemleri veya dinamik denklemler “Newton’un İkinci Hareket
Kanunu” nun bir noktadaki akışkanın özellikleri cinsinden yani Euler’in
inceleme yöntemi kullanılarak diferansiyel formda yazılan ifadesidir.
Bu denklemin yazılmasındaki amaç bir akışkan elemanının belirli noktadan
geçerken bu elemanın hareketinde değişime neden olan kuvveti ve elemanın
ivmesini belirlemektir.
r
r
F =ma
4.3.1 Kartezyen Koordinatlarda Üç Boyutlu Gösteriliş
Boyutları dx, dy, dz olan bir akışkan elemanını ele alalım.
Elemana etkiyen sürtünme tesirini (viskozite) ihmal edelim
Bu elemana etkiyen kuvvetler, yüzeysel kuvvetler ve kütlesel kuvvetlerdir.
Yüzeysel kuvvetler, sürtünme ihmal edildiğinden sadece basınç kuvvetleridir.
z
∂ p dz 

p +
 dxdy
∂z 2 

t anında sistem
ρZdxdydz
K.Y.
dz
dy
dx
y
∂ p dz 

p −
dxdy
∂z 2 

x
Hareket denklemi için Newton’un ikinci kanunu ifade edilirse :Bir kütleye bir yönden
etkiyen kuvvetlerin toplamı kütle ile o yöndeki total ivmenin çarpımına eşittir.
r
r
dV
F
=
m
∑
dt
(4.1)
Bu tarifi z yönüne uygularsak z yönünde net yüzeysel kuvvet:

∂p dz 
∂p dz 
∂p
p
−
−
p
+
dx
dy
=
−
dxdy dz



∂z 2 
∂z 2 
∂z

kütle m=ρ dxdydz ve
z yönünde kütlesel kuvvet : Z (birim kütleye gelen kuvvet) olmak üzere (4.1) de
yerine konursa
dw
∂p
ρ dx dy dz
= ρ dx dy dz Z − dx dy dz
dt
∂z
dw
1 ∂p
= Z−
dt
ρ ∂z
(4.2a)
ve diğer doğrultularda;
x doğrultusunda:
du
1 ∂p
= X−
dt
ρ ∂x
(4.2b)
y doğrultusunda:
dv
1 ∂p
= Y−
dt
ρ ∂y
(4.2c)
Newton’un 2. Kanununun diferansiyel formu olan bu ifade sürtünmesiz bir
akışkanın “Euler hareket denklemleridir”. Bu denklemlerde her terimin boyutu
birim kütleye gelen kuvvet yani ivme cinsindendir.
Görüldüğü gibi bir yerdeki total ivme kütlesel kuvvet ile basınç gradyanından
meydana gelen terimin toplamından oluşmaktadır. Daha önce kartezyen
koordinatlarda elde ettiğimiz ivme ifadelerini bu denklemlerde yerine koyarsak
genişletilmiş Euler denklemlerini elde ederiz (1750):
 ∂u
∂u
∂u ∂u 
1 ∂p
 u
 = X −
+v
+w
+
∂y
∂ z ∂t 
ρ ∂x
 ∂x
 ∂v
∂v
∂v ∂v
 u
+v
+w
+
∂y
∂z ∂t
 ∂x

1 ∂p
 = Y −
ρ ∂y

 ∂w
∂w
∂w ∂w
 u
+v
+w
+
∂y
∂z
∂t
 ∂x

1 ∂p
 = Z −
ρ ∂z

(4.3a)
(4.3b)
(4.3c)
Vektörel olarak:
r
r r r
r
∂V
1 r
V .∇ V +
= K − ∇p
∂t
ρ
(
)
Bu denklemleri sırasıyla dx, dy, dz ile çarparak taraf tarafa toplayalım
(4.4)
du
1 ∂p
dx = X dx −
dx
dt
ρ ∂x
dv
1 ∂p
dy = Y dy −
dy
dt
ρ ∂y
1 ∂p
dw
dz = Z dz −
dz
dt
ρ ∂z
∂p
∂p 
du
dv
dw
1  ∂p

dx +
dy +
dz = X dx + Y dy + Z dz −  dx +
dy +
dz 
dt
dt
dt
ρ  ∂x
∂y
∂z 
1
u du + v dv + w dw = X dx + Ydy + Z dz − dp
ρ
r
V= V(u, v, w) olduğuna göre:
V2 = u 2 + v 2 + w 2
2VdV = 2udu + 2vdv + 2 wdw
VdV = udu + vdv + wdw yazılabilir. O halde:
VdV = Xdx + Ydy + Zdz −
1
dp
ρ
(4.6)
elde edilir. Bu denklem “Hidroliğin genel denklemi” olarak isimlendirilir.
4.4 BERNOULLİ DENKLEMİ:
Kendi ağırlığının etkisinde hareket eden sıvıyı ele alalım;
X=0, Y=0, Z=-g
(4.6) ifadesi düzenlenirse:
1
dp = − g dz − VdV
ρ
1
1 2
p=− g z− V +C
ρ
2
1 2
1
V + g z + p =C
2
ρ
Her bir terimi g ile bölersek
V2 p
+ + z = H = Sabit
2g γ
(4.7)
“Bernoulli Denklemi” olarak bilinen ifade elde edilir. Bu ifade çeşitli yollardan
çıkarılmasındaki kabullere dayanılarak aşağıda belirtilen kabuller için geçerli
olmaktadır.
1.Akışkan ideal (viskozitesiz) bir akışkan olmalıdır.
2.Akım düzenli, kararlı olmalıdır.
3.Akışkan sıkışmaz kabul edilmektedir (ρ= sabit).
4.A) Akım çevrintisiz bir akım olmalıdır. Bu durumda toplamı akımın her
noktasında aynı sabit değere eşit olur.
B) Veya bir akım çizgisi boyunca uygulanmalıdır. Bu durumda toplamı bir akım
çizgisi boyunca aynı sabit değere eşit olur.
İdeal akışkanlar için Bernoulli denklemi enerji denklemini ifade eder. Bu
denklemin her bir terimi uzunluk boyutundadır ve buradaki terimler:
V2
= Hız yükü
2g
P
= Basınc yükü
g
z=Konum yükü
olarak isimlendirilmektedir. (4.7) ifadesi çevrintisiz akımlarda herhangi iki nokta
arasında çevrintili akımlarda ise sabit bir akım çizgisi üzerinde iki noktada
yazılabilir.
V12 P1
V22 P2
+
+ z1 =
+
+ z2
γ
γ
2g
2g
(4.8)
Bu ifadenin grafiksel gösterimi Şekil 4.3 de verilmiştir.
V12 / 2 g
V 22 /
E n er ji çiz g isi E .L .
2g
V 32 / 2 g
P iez o m etr e çiz g isi
P 3 /γ
P2 / γ
P1 / γ
3
2
z3
z2
1
z1
R efer a n s
Şekil 4.3 Bernoulli denkleminin grafiksel gösterimi
4.4.1 Yük Kaybı
Sürtünmenin mevcut olduğu akımlarda enerji kaybı söz konusudur. Yani iki nokta
arasında yazılacak Bernoulli denklemine birde enerji kaybını temsil eden hk
teriminin eklenmesi gerekir.
V12 / 2g
E.Ç.
hK
P.Ç.
V22 / 2g
p1
γ
p2
γ
2
z1
z2
1
Referans düzlemi
Şekil 4.4 Boru hattında yük kaybı
Yük kayıpları göz önüne alınarak Şekil (4.4) de 1 ve 2 noktaları arasında Bernoulli
denklemi yazılırsa
V12 p1
V22 p2
+ + z1 = + + z 2 + h k
2g γ
2g γ
hk = enerji kaybı yüksekliği (yük kaybı)
(4.9)
4.4.2 Enerji ilavesi ve Çıkarılması
Şekil (4.6) de gösterilen boru hattına yerleştirilmiş pompa ve türbini ele alalım.
Pompa akıma enerji ilave eder ve türbinde akımın enerjisini alır.
E.Ç .
P.Ç .
HP
HT
V12 / 2 g
γ, Q
V 22 / 2 g
p2
γ
p1
γ
1
pom pa
tü rb ün
z1
2
z2
R eferan s d üzlem i
Şekil 4.5 Pompa ve türbin içeren boru hattı
V12 p1
V22 p 2
+ + z1 + H P − H T =
+ +z 2
2g γ
2g γ
pompanın ve türbinin gücü aşağıdaki gibidir.
P = γ Q H P ve
P = γ Q HT
(4.10)
4.5 AKIMDA BASINÇ ve HIZ
4.5.1 Statik Basınç
Piyezometer Tüpü
PA /γ
A
Şekil 4.6 Statik basınç
Bir akım içinde piyezometre tüpünün
gösterdiği yüksekliğe karşı gelen basınçtır.
Şekil (4.6) da A noktasında ölçülen statik
basınç pA/γ dır.
4.5.2 Durma Basıncı, Dinamik Basınç
V 12 / 2 g
P2 / γ
P1 /γ
1
2
1
2
Durma noktas ı
Şekil 4.7 Durma basıncı
Şekilde görüldüğü gibi akıma dik konulmuş bir
silindirin merkezine doğru gelen akım çizgisi
silindirde son bulacaktır. Dolayısıyla akım 2
noktasında duracaktır. Bu noktadaki basınca
durma basıncı denir ve şöyle hesaplanır:
Merkezi akım çizgisi üzerindeki bir nokta ile 2
arasında Bernoulli denklemi yazılırsa
V12 p1
V22 p 2
+ +z1 =
+ +z 2
2g γ
2g γ
Burada V2 = 0 ve z1 = z2 olduğundan
p 2 V 12 p 1
=
+
γ
2g
γ
veya
V12
p 2 = p 1 +ρ
2
p2 durma basıncı olup statik basınç ve dinamik basıncın ρV12 /2 ‘ın toplamından oluşur.
4.5.3 Pitot Tüpü
V12
∆h =
2g
p2/γ
p1 / γ
Durma basıncından yararlanarak bir
noktadaki hızı ölçmeye yarayan bu alet ilk
defa Henri Pitot tarafından 18. Y.Y. da
geliştirilmiştir. 1 ve 2 noktaları arasında
Bernoulli denklemi yazılırsa:
V 12
p 1 V 22
p2
+
=
+
2g
γ
2g
γ
1
2
Durma noktası
Şekil 4.8 Pitot tüpü
V2=0 ve z1 = z2 buradan V1 çekilirse
V1 =
 p 2 −p1
2 g 
γ


 =

2g∆h
Statik tüp ve pitot tüpü birleştirilerek “pitot statik tüp adı verilen ve direk olarak
dinamik basınç yüksekliğini ölçen alet geliştirilmiştir.
1 ve 2 noktaları arasında Bernoulli denklemi
yazılırsa:
∆H
γ1
h1
V12 p1
V22 p 2
+ + z1 =
+
+ z2
2g γ
2g γ
V2=0 ve z1 = z2 buradan V1 çekilirse
1
γ
2
Durma noktasıI
Şekil 4.9 Pitot-statik tüpü
p1 − γ h 1 + γ 1 ∆h + γ (h 1 − ∆h ) = p 2
V1 =
 p 2 −p1
2 g 
γ


 =

2g∆h
(p2 - p1)/γ , 1 ve 2 noktaları arasında manometre
denklemini yazarak elde edilebilir.
p 2 −p1
 γ1

 s1

= ∆ h 
− 1  = ∆ h 
− 1 
γ
 s

 γ

4.5.4 Sabit seviyeli bir hazneden orifis akımı
1
h'
D
D/2
2
Eğer herhangi bir haznedeki h yükü sabit
ve bu yükün etkisinde Şeki1 de görüldüğü
gibi D çaplı orifisten akış sağlanıyor ise:
Enerji kayıpları ihmal ederek, bütün akım
h çizgileri serbest yüzeyde aynı toplam
enerjiye sahip olduklarından Bernoulli
denklemi herhangi iki
nokta için
yazılabilir. Delikten çıkan suyun debisini
bulmak istersek serbest yüzey ile çıkış ağzı
arasında Bernoulli denklemi yazılırsa:
Daralma noktası
V1=0, p1=p2=0 , z1=h , z2=0
Buradan teorik hız aşağıdaki gibi elde edilir.:
V12 P1
V22 P2
+ + z1 =
+ +z2
2g γ
2g γ
V= 2g h
(4.11)
Sıvı orifisten çıkarken akım çizgileri bir miktar daha (~d/2) büzülmeye devam eder.
Büzülmenin son bulduğu noktada basınç atmosferiktir ve hızda kesit üzerinde
üniformdur. Eğer 2 noktasına bir pitot tüpü koyacak olursak yüksekliğin h dan
küçük bir h' değerini gösterdiğini görürüz. Yani gerçek V’2:
V 2' 2
= h ' ⇒ V 2' =
2g
2 gh
'
bulunur. Hızdaki bu kayıp sürtünmeden ileri gelir. Dolayısıyla Cv hız katsayısı ile
düzeltilmesi gerekir.
V2'
Cv =
=
V2
Gerçek hız:
h'
h
V2' = C v 2gh
Q=C v A 2 2gh
bulunur.
olur. Çıkan sıvının debisi:
(4.12)
Bu debiyi orifisin alanı cinsinden ifade etmek daha kullanışlıdır. A2, daralan
kesitin, (2), alanı, A0 orifis alanı olmak üzere
Cc =
A2
⇒ A 2 = Cc A o
Ao
Cc daralma katsayısıdır. Değeri 0.62 civarındadır. (4.12) ifadesinde A2 , orifis alanı
şeklinde gösterilirse gerçek debi ifadesi elde edilir
Q=C v C c A 0 2g h
Burada
(4.13)
C d = C v C c şeklinde debi katsayısı olarak tanımlanır.
Sonuç olarak gerçek debi:
Q=C d A 0 2gh
(4.14)
Cd deneysel olarak elde edilebilir. Birçok durumda Cv = 0,95-0,99 ve Cc = 0,600,65 arasında değişir. Değişik orifislerde akım durumunda alınabilecek Cv ve Cc
katsayıları aşağıda Şekil 4.11 de verilmiştir.
Keskin
kenar
A0
Köşeli
kenar
Yuvarlatılmış
orifis
A0
A2
Cv =0,98
Cc=0,62
Tüp
orifis
A0
A2
A0
Cv =0,98
Cc=1,00
A2
Cv =0,99
Cc=0,60
A0
Cv =0,75
Cc=1,00
A0
Cv =0,85
Cc=1,00
Şekil 4.11 Bazı tipik orifisler ve bunlara ait hidrolik katsayılar
4.5.5.Batmış Yan Orifis
V1 2 P1
V2 P
+ + z1 =
+ +z
2g γ
2g γ
1
h1
V
h2
V = 2g ( h 1 − h 2
4.5.6 Basınçlı Depodan Akış
P
V1 2 P1
V2 P
+ + z1 =
+ +z
2g γ
2g γ
h
V

p
V = 2g  h + 
γ

4.6 KAVİTASYON
Sıvı akımları incelenirken kavitasyon olayının meydana gelebileceği göz önünde
bulundurulmalıdır. Bernoulli denklemine göre herhangi bir noktada hız yüksekliği
çok artarsa buna bağlı olarak basınç yüksekliği azalmak zorundadır. Bir sıvıda
mutlak basınç en az buhar basıncı ne kadar düşebilir. Yani sıvının mutlak basıncı
buhar basıncından aşağı düştüğü anda sıvı kaynamağa başlar. (Bu basınç sıvının
cinsine ve sıcaklığına bağlıdır.)
V2 P
+ + z=sabit
2g γ
P
−
0
γ
0
−
kaynama noktasında
−
P=Pkr
olsun
Pkr
γ
Pb
γ
Pb
P0
P0
Pb
P kr
=−
+
γ
γ
γ
olduğu zaman sıvı kaynamağa geçecektir.
Buna göre sıvıdaki manometre basıncı negatif olabilir ancak Pkr'den küçük
olmamalıdır. Basınç buhar basıncına düştüğü anda sıvı içine çok miktarda buhar
tanecikleri karışacaktır.
Buhar tanecikleri iki yönden zararlıdır:
a) Yüksek basınçta aniden yoğunlaştığından çevresinde yüksek dinamik basınç
oluşturur ve bulunduğu malzemeye zarar verir.
b) Akımın debisini olumsuz yönde etkiler.
Kavitasyondan
kaynaklanan
oyulmalar
4.7 ORİFİSMETRE
Bir boruda tedrici yada ani olarak daralan
kesit oluşturulursa akım boyunca hız
değişiminden dolayı bir basınç farkı
meydana gelecektir Şekil 4.12. Basınç
değişimleri piyezometre tüpleri veya
manometreler yardımı ile belirlenebilir.
Boru kesitindeki değişimden önce ve kesit
değişiminin bulunduğu noktalar arasında
Bernoulli denklemi ve süreklilik denklemi
yazıldığında:
D
D
1
V1
2
Şekil 4.12 Orifismetre
Süreklilik denklemi
V2
V12 P1
V 22 P 2
+ +z1 =
+
+z 2
2g γ
2g
γ
V1 A 1 = V2 A 2 ⇒ V1 =
V 22   A 2
1−
2g   A1




2
=


A2
V2
A1
P1 −P2
γ
V 22 − V12 P1 − P 2
=
2g
γ
yukarda yerine yazılırsa:
buradan V2 kesitindeki teorik ve gerçek hız
V2 =
2 g (P1 − P2 )
  A 2 
γ 1 −  2  
  A1  


gerçek hız
V2g = C v V2 = C V
2g(P1 −P2 )
 A
γ 1− 2
  A1

2

 
 
buradan geçen debi:
Qg = CvA2
2 g (P1 − P2 )
  A 2 
γ 1−  2  
  A1  


Q g = C v Cc A o
2(P1 −P2 )
2



A
γ 1−Cc 2  2  

 A1  

Burada A2 = Cc A0 , Cc=0.6-0.65, ve Cv=0.95-0.99, P1-P2, 1 ve 2 noktaları arasında
manometre denklemi yazılarak elde edilir.
4.8 NOZULMETRE
Boru orifisinin geliştirilmiş özellikte versiyonu olan nozulmetrelerde CC=1 ve
A0=A ve gerçek debi:
D
D
1
2
2g(P1 −P2 )
Qgerçek =C v A 2
  A 2 
γ 1− 2  
  A1  


C v =0.95−0.99
Şekil 4.13 Nozulmetre
4.9 VENTURİMETRE
Venturimetre özellikleri
gösterilmiştir.
2
1
Q
gerçek
= C
v
A
2
şekilde
2 g (P 1 − P 2

 A 2 


γ 1 − 

 A 1 

C v =0.97−0.99
Şekil 4.14 Venturimetre
Enerji kaybı
Maliyet
CV
CC
Orifis
Yüksek
Düşük
0.95-0.99
0.61-0.65
Nozul
Orta
Orta
0.95-0.99
1
Venturi
Düşük
Yüksek
0.97-0.99
1
)
2




EĞRİSEL YÖRÜNGELİ AKIMLAR
Düşeyde Eğrisel Akım, İç Bükey Yüzeylerde
Akıma dik doğrultuda Euler hareket denklemi:
Eğrilik merkezi
an=V2 /r
r
∂p dn 

p +
 dA
∂n 2 

z
2
P/γ
V
n
1
∂p dn 

p−
 dA
n
2
∂


ρgdAdn
s
Şekil 4.15 İçbükey yüzeylerde Akım çizgisi
Akışkan elemanının merkezinde basınç P olsun. Buna göre elemana gelen kuvvet
şekildeki görülmektedir.
Hareket denklemi :
∑ Fn =ma n

∂p dn 
∂P dn 
−P +
 dA − ρg dAdn cos θ = ρ dA dn a n
P −
∂n 2 
∂n 2 

∂z
Cos θ=
∂n
düzenli akımda
dVn v 2 değeri yukarda yerine yazılırsa
an=
=
dt
r
V2
∂P
∂z
ρdAdn
=−
dAdn − ρgdAdn
r
∂n
∂n
Akıma dik doğrultuda Euler hareket denklemi
V 2 1 ∂P
∂z
+
+g
= 0
r
ρ ∂n
∂n
olarak elde edilir.
(4.15)
Euler Hareket Denkleminin Hız için İntegrali
(4.15) denkleminden
V2
1 ∂P
∂z
=−
−g
r
ρ ∂n
∂n
Her iki tarafından
∂  V 2
∂n  2
V 2 ∂  V 2
−
r ∂n  2




değerini çıkartalım
 1 ∂P
∂z ∂
=−
−g −
 ρ ∂n
∂n ∂n

 V2

 2

Bu ifade aşağıdaki gibi düzenlenirse
V 2 ∂  V 2
−
r
∂n  2

 V2 P

∂
 =− g 
+ + Z


∂n  2g γ






V2 p
+ + z değeri sabit
İdeal akımda sürtünmelerin ihmal edilmesiyle H =
2g γ
dolayısıyla
olur.
∂H
=0
∂n
Yani hareket denkleminden
V 2 ∂  V 2 
∂V
=V
=


r ∂n  2 
∂n
elde edilir veya :
∂n ile ∂r
∂V V
=
∂n r
eşit fakat zıt yönlüdür. O halde
V
∂V
=−
r
∂r
Bu ifade integre edilirse
∂V
∂r
=−
V
r
∂V
∂V
=−
∂n
∂r
Ln V = − Ln r + Ln C
Ln V + Ln r = Ln C
Ln (V × r ) = Ln C
V r = C = sabit
V=
-
C
r
(4.16)
Hiperbolik dağılım. Görüldüğü gibi eğri yörüngeli akımlarda hız eğrilik
yarıçapı ile ters orantılıdır.
Euler Hareket Denkleminin Basınç için İntegrali
Euler denklemini basınç için çözelim (4.15) denkleminden
V 2 1 ∂P
∂z
+
+g =0
r
ρ ∂n
∂n
C
C
Bu ifadede: V = =
r R−n
2
∂
V
(P+ γz )=ρ
∂n
r
veya
yazılarak
∂
c2
− (p + γ z )= ρ
dn
3
∂n
(R −n )
−
2
p+γz1
ρ C2
1
=
2 (R − n )2
n2
n1
Şekil 4.15 de 1 ve 2 noktaları arasında integre edilirse

 P2
 C2 
P1
1
+ z1 −  + z 2 =
γ
 γ
 2g  R − n
2

(


−
2
(R − n 1 ) 
1
)
2

P1 P2
C2 
1
1
= + (z 2 − z1 ) + 
−

2
2g  (R − n 2 ) (R − n1 )2 
γ γ
P1 P2
C2  1
1
=
+ (z 2 − z1 ) +
 2 − 2
γ
γ
2 g  r2 r1 
z 2 − z1 = (n2 − n1 ) cosθ
C sabiti 2 noktasının toplam enerji yüksekliğinden bulunabilir.
,
V2 2 P2
C
+ + n 2 cos θ= H , V 2 =
2g
γ
R − n2
C2
P2
+ + n 2 cos θ= H
2
γ
2g(R − n 2 )
C2
2g
P2


=H − − n 2 cosθ (R − n 2 )2
γ


(4.17)
Düşeyde Eğrisel Akım, Dışbükey Yüzeylerde
Dış bükey yüzeylerde Hız ve basınç dağılımı Şekil 4.16 da gösterilmiştir. İçbükey
yüzeylere benzer şekilde akım çizgileri üzerindeki elemana gelen kuvvetlerin
dengesi yazılırsa
2
a n =-V /r
z
V
p/γ
s
R
Şekil 4.16 Dışbükey yüzeyler
Akıma dik doğrultuda Euler hareket denklemi
V 2 1 ∂P
∂z
−
=
+g = 0
r
ρ ∂n
∂n
(4.18)
olarak elde edilir.
(4.18) denklemi integre edilerek hız ve basınç dağılımı aşağıdaki gibi elde edilir.
C
V=
r
ve
P1 P2
C2  1
1
=
+ (z 2 − z1 ) +
 − 
γ
γ
2g  r12 r22 
, z2
− z 1 = (n 2 − n 1 ) cos θ
(4.19)
Eğrisel Serbest Yüzeyli Akımlar
İçbükey ve dışbükey eğrisel yörüngeli açık kanal akımları Şekil 4.17 de
gösterilmiştir. Herhangi bir kesitteki kanal tabanında basınç dağılımı şekilde
verilmiştir.
R
h
θ
R
h
θ
Dışbükey taban
İçbükey taban
Şekil 4.17 İçbükey ve dışbükey açık kanal akımlarında basınç dağılımı
İçbükey kanal tabanı
Yüzey basıncı
P2
:
=0
γ
Taban basıncı
P1
C2
: = z 2 − z1 +
2g
γ

1
1 
C2
−

 = h cos θ +
2
2
2g
R 
 (R − h )

1
1 
−


2
2
 (R − h )
R 
 1

1
C2
 2 −
 = h cos θ +
2
2g
 R
(R + h ) 
 1

1
−
 2

2
 R
(R + h ) 
Dışbükey kanal tabanı
Yüzey basıncı
P2
:
=0
γ
Taban basıncı
P1
C2
: = z 2 − z1 −
2g
γ
Doğrusal Kanal Tabanı
Eğrilik yarı çapı sonsuza doğru gittiğinde eğriliğin basınç dağılımı üzerine etkisi
göz ardı edilebilir ve (4.17) , (4.19) eşitlikleri aşağıdaki forma indirgenir.
p1 p 2
p2
=
+ z 2 − z1 =
+ (n 2 − n 1 ) cos θ
γ
γ
γ
h
θ
γ h cosθ
γ h cosθ
Şekil 4.18 Doğrusal kanal tabanındaki basınç dağılımı
P2
=0
γ
Yüzey basınç
:
Taban basıncı
P1
= z 2 − z 1 = h cos θ
:
γ
(4.20)
Açık Kanalda Yatay Eğrisel Akım
E.Ç.
∆h
hi
Ri
hd
h
n
b
Rd
Şekil 4.19 Açık kanalda yatay eğrisel akım
İç sınırdan n uzaklığındaki düşeyde akım derinliği
  R 2 
i  
h = h i + (H − h i ) 1 − 
  R i + n  


(4.21)
Akımın iç ve dış yüzeyleri arasındaki yükselme farkı: n=b yazılırsa, R+b=Rd
 R2
h d = h i + ( H − h i ) 1 − i
 R2
d





 R2
h d − h i = ∆h = (H − h i ) 1 − i
 R2
d

H − hi =




Vi2
2g
Vi2  R i2
1−
∆h =

2
2g
R
d





(4.22)