1. Stone Cech Kompaktlama

Transkript

Okurun dikkatini şuna çeklelim: Cb ((0, 1]) halkasında tanımlı bazı fonksiyonların C([0, 1]) halkasında bir fonksiyona genişlemesi olmayabilir. Buna karşın
şu soru anlamlıdır: öyle bir kompakt Hausdorff uzay K varmıdır ki (0, 1]) uzayı
K’nın bir yoğun altuzayına homeomorfik ve Cb ((0, 1]) halkasında tanımlı her
fonksiyon C(K) halkasındaki bir fonksiyona genişlemesi olabilir mi? Bu sorunun yanıtı evettir. Neden?
Bir X topolojik uzayı için C(X) halkasının cebirsel yapısını anlamak, X’nin
kompakt Hausdorff olması durumunda daha kolaydır. Bu bakış açısıyla bir X
topolojik uzayının bir althalkasının hangi koşullar altında bir K kompakt Hausdorff uzayı için, C(K) halkasına izomorfik olduğunu sorgulamak anlamlıdır.
Bu sorgulamaya A = Cb (X) althalkası ile başlamak doğaldır. Bu bölümde X
tümüyle düzenli uzay olmak üzere Cb (X) ve C(K) halkalarını izomorfik olacak
biçimde tek bir tane (homeomorfik olarak) K kompakt uzayının varlığı değişik
biçimlerde kanıtlanacaktır. Bu uzaya, yani K kompakt Hausdorff uzayına, X
uzayının Stone-Cech kompatlama denir.
Tümüyle düzenli uzayın Stone-Cech kompatlamasının tekliğini göstermek
için, K ve M kompakt Hausdorff uzaylar olmak üzere C(K) ve C(M ) uzayları
izomorfik iseler, K ve M uzaylarının homeomorfik olduklarını göstermek gerekmektedir. Bu teorem Bancah-Stone Teorem olarak bilinir. Bunun kanıtını yapmadan önce C(K) halkasından R’ye tanımlı ve biri bire götüren homomorhizmanın sadece ve sadece X’nin bir noktasına karşılık geldiği kanıtalanacaktır.
1.1. Bancah Stone Theorem
1.1
3
Bancah Stone Theorem
Giriş kısmında da bahsedildiği gibi, K ve M kompakt Hausdorff uzaylar olmak
üzere C(K) ve C(M ) halkaları izomorfik iseler K ve M uzayları homeomorfiktirler. Bu bölümde bu teoreimin kanıtı verilecektir. Öncelikle aşağıdaki tanımı
verelim.
Tanım 1.1. X bir topolojik uzay, A, C(X)’nin bir althalkası olsun. π : A → R
bir homomorfizması bazı x ∈ A için
π(f ) = f (x)
biçiminde ise π bir noktayla imgelenebilir homomorfizma denir.
Teorem 1.1. Let X kompakt Hausdorff uzay olsun. C(X) halkasından R’ye
tanımlı ve birimi bire götüren her homomorfizma tek bir nokta tarafından imgelenen homomorfizmadır.
Kanıt: Her 0 ≤ f ∈ C(X) için
√
√
0 ≤ (π( f ))2 = π(( f )2 ) = π(f )
olduğundan f ≤ g için π(f ) ≤ π(g) olur. Ayrıca q ∈ Q ve f ∈ C(X) için
π(qf ) = qπ(f ) olduğuda kolayca gösterilebilir. Yani π, Q-lineerdir. r ∈ R
verisin. r’ye Q’da artarak yakınsayan (pn ) dizisi ve azalarak yakınsayan (qn )
dililerini gözönüne aldığımızda
pn f ≤ rf ≤ qn f
olacağından, yukarıdaki gözlemler kullanılarak
rπ(f ) ←− pn π(f ) = π(pn f ) ≤ π(rf ) ≤ π(qn f ) = qn π(f ) −→ rπ(f )
ifadesinden π(rf ) = π(f ) dir. Yani, π lineerdir. π’nin bir noktayla imgelenemeyeceğini varsayalım. Bu durumda her x ∈ X için
π(fx ) 6= fx (x)
özelliğinde 0 ≤ fx ∈ C(X) vardır. gx ∈ C(X) fonksiyonu
gx = (π(fx ) − fx )2
olarak tanımlansın. gx (x) > 0 olduğundan her t ∈ U için gx (t) > 0 özelliğinde
x ∈ Ux açık kümesi vardır.
X = ∪x∈X Ux
ve X kompakt olmasından
4
X = ∪a∈A Ua
özelliğinde sonlu A ⊂ X vardır. g ∈ C(X),
P
g = a∈A ga
olarak tanımlansın. Her x ∈ X için g(x) > 0 ve X kompakt olduğundan
0 < r ≤ g özelliğinde r > 0 gerçel sayısı vardır. Buradan
0 < r = π(r) ≤ π(g) = 0
çelişkisi elde edilir. Böylece π’nin tek bir nokta tarafından imdelendiği gösterilmiştir. Tekliğin gösterilmesi ise farklı noktaların sürekli fonksiyonlarca ayrılabileceğinin
bir sonucudur.
Yukarıdaki teorem Kullanılarak aşağıdaki teoremi kanıtlanabilir.
Teorem 1.2. 1 (Banach-Stone Teorem) M ve K iki compact Hausdorff space
olsun. Aşağıdakiler denktir.
(i) K ve M homeomorfiktir.
(i) C(K) ve C(M ) izomorfiktir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii) olduğu bariz.
(i) =⇒ (ii): π : C(K) → C(M ), π(1) = 1 özelliğinde izomorfizma olsun. Her
m ∈ M için
πm : C(K) → R, πm (f ) = f (m)
olarak tanımlanan homomorfizma olsun. πm ◦ π : C(K) → R birimi bire
götüren homomorfizma ve K kompakt olduğundan tekbir nokta tarafından
imgelened homomorgizmadır, yani
π(f )(m) = πm ◦ π(f ) = f (σ(m))
özelliğinde tek bir tane σ(m) ∈ K vardır. Böylece M ’den K ya bir σ fonksiyonu tanımlanmış olur. σ’nın örten bir homeomorfizma olduğunu göstermek
sıradandır. Kanıt tamamlanır.
Aşağıdaki sonuç aşikardır.
Sonuç 1.3. X düzenli uzay olsun. X, compact K ve M uzaylarına göre Cb gömülebilirlerse K ve M topolojik uzayları homeomorfiktir.
Alıştırmalar
1.1. Bir noktoyla imgelenemeyen ve birimi bire götüren bir π : C(R) → R homomorfizma
örneği veriniz.
1
Bnach-Stone Teoreminin değişik versiyonlari vardır ve bu teorem o versiyonlardan biridir.
Daha geniş bilgi ”Isometries On Banach Spaces” isimli kitaptan elde edilebilir.

1. Stone Cech Kompaktlama

Transkript

Benzer belgeler

Pazar Sepet Analizi için Örneklem Oluşturulması ve - CEUR

Anne Çoçuk Oyun grubu

1.2 Stone-Cech Kompaktlama

1.6 Stone-Cech Kompaktlamanın Bir Baska Insası

1.9 En Büyük Kompaktlama olarak Stone-Cech Kom