Soyut Cebir kitabımızın örnek sayfaları için TIKLAYINIZ

Soyut Cebir kitabımızın örnek sayfaları için TIKLAYINIZ

İÇİNDEKİLER
Ön Söz..................................................................................2
Gruplar..................................................................................3
Alt Gruplar.............................................................................9
Simetrik Gruplar ..................................................................13
Devirli Alt Gruplar ................................................................ 23
Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler) ......................................32
Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları ...............................37
Grup Homomorfizmaları....................................................... 41
Direkt Çarpımlar (Toplamlar)................................................48
Sylow Teoremleri.................................................................52
Halkalar ..............................................................................54
Alt Halka ve İdealler............................................................. 61
Polinom Halkaları ................................................................ 66
Genel Tarama Sınavı........................................................... 72
ÖABT Soyut Cebir
Alt Halka ve İdealler
Tanım: (H, +, ) bir halka ve K, H nin boş kümeden
Tanım: (H, +, ) bir halka ve I, H nin bir alt halkası
farklı bir alt kümesi olsun. Eğer H deki işlemlere
olsun.
göre K de bir halka ise K ye H nin bir alt halkası
denir.
 a  I ve  r  H için
(0H, +, ) ve (H, +, ) halkaları, (H, +, ) halkasının
r . a  I ise I ya H nin sol ideali,
aşikâr alt halkalarıdır.
a . r  I ise I ya H nin sağ ideali denir.
Örnek: (Z, +, ) halkası (Q, +,  ) halkasının bir alt
Eğer I, hem sol ve hem de sağ ideal ise I ya H nin
halkasıdır.
bir ideali denir.
Teorem: (H, +, ) bir halka ve K, H nin boş kümeden
Eğer H halkası değişmeli ise sol ideal ile sağ ideal
farklı bir alt kümesi olsun. K nin H nin bir alt halkası
aynıdır.
olması için gerek ve yeter şart;
Her H halkası için 0H ve H, H nin aşikâr idealleri a, b  K için
dir. 0H idealine H nin sıfır ideali, I  H koşulunu
sağlayan I idealine de H nin öz ideali denir.
i) a - b  K
Teorem: (H, +, ) bir halka ve I, H nin boş kümeden
ii) a . b  K
farklı alt kümesi olsun. I nın H nin bir ideali olması
için gerek ve yeter şart;
olmasıdır.

Örnek: (Z6, , ) halkasının bir alt kümesi K = 0, 2, 4
 a, b  I ve  r  H için

olsun.
i) (a - b)  I
 a, b  K için a - b  K ve a . b  K olduğundan
ii) ra  I ve ar  I
(K, , ) halkası (Z6, , ) halkasının bir alt halkasıdır.
olmasıdır.
Örnek: (2Z, + , ) halkası (Z, + , ) halkasının bir alt

Örnek: I = 0, 2, 4, 6
halkasıdır.
bir idealidir.
61
 kümesi (Z , , ) halkasının
8
ÖABT Soyut Cebir
Alt Halka ve İdealler
Tanım: H bir halka ve I, H nin boş kümeden farklı bir
NOT: m, n  Z ve mZ, nZ tam sayılar halkasının
iki ideali olmak üzere,
i) mZ . nZ = m . nZ
ii) mZ + nZ = (m, n) . Z
alt kümesi olsun. H nin I yı kapsayan tüm ideallerin
kesişimine I tarafından üretilen ideal denir ve < I >
ile gösterilir. I = a1, a2, …. , an ise
iii) mZ  nZ = [m, n] . Z
dir.
< a1, a2, …., an > = < a1, a2, …. , an >
Örnek: 4Z ve 6Z, Z nin iki ideali olmak üzere
ifadesine a1, a2, …. , an tarafından üretilen ideal,
< a1 > idealine, a1 tarafından üretilen esas (temel)
4Z . 6Z = 24Z
ideal ve her ideali esas ideal olan bir tamlık bölgesi4Z + 6Z = (4, 6)Z = 2Z
ne de esas ideal bölgesi (E.İ.B.) denir.
4Z  6Z = [4, 6]Z = 12Z
Örnek: Z nin her ideali devirli grup olduğundan Z, bir
E.İ.B. dir.
dir.
Teorem: (F, +, ) bir cisim olsun. Bu durumda F nin
Teorem: I1 ve I2, H halkasının iki ideali olsun. Bu
0F ve F den başka ideali yoktur.
durumda,
Örnek: (Q, +, ) bir cisim olduğundan Q nun 0 ve
i) I1 + I2 de H nin bir idealidir.
Q dan başka ideali yoktur.
ii) I1  I2 de H nin bir idealidir
Tanım: I, bir H halkasının ideali olsun.
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I
UYARI: Her ideal bir alt halkadır. Fakat her alt
halka bir ideal değildir.
(a + I) . (b + I) = a . b + I
Örnek: (Z, +, ) halkası (Q, +,  ) halkasının bir alt
ile tanımlanan toplama ve çarpma işlemlerine göre,
halkası olmasına rağmen bir ideali değildir. Çünkü
(H/I, +, ) cebirsel yapısı bir halkadır. Bu halkaya
2  Z ve
2
2
 Q için 2   Z dir.
3
3
H nin I idealine göre bölüm halkası denir.
Örnek: 3Z, Z nin bir ideali olmak üzere,
Teorem: Birimli bir halkanın ideali halkanın birimini
Z / 3Z = 0 + 3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z
kapsarsa bu ideal halkaya eşittir.
dir.
62
ÖABT Soyut Cebir
Alt Halka ve İdealler
  kümesi (Z , , ) halkasının bir
Örnek: I = 0, 3
Tanım: H değişmeli bir halka ve I, H nin bir öz ideali
6
olsun. Eğer  a, b  H için a . b  I iken a  I veya
ideali olup Z6 nın I daki farklı sol ya da sağ yan kü-
b  I oluyorsa I ya H nin bir asal ideali denir.
meleri 0 + I, 1 + I ve 2 + I olduğundan
Örnek: 5Z nin Z nin bir asal ideali olduğunu göstereZ / I =  0 + I, 1 + I, 2 + I 
lim.
dır.
a, b  Z için a .b  5Z ise a  5Z veya b  5Z dir.
Dolayısıyla 5Z, Z nin bir asal idealidir.
Teorem: I bir H halkasının ideali olsun.
Örnek: 4Z, 2Z nin asal ideali değildir. Gerçekten,
i) H/I da bir halkadır.
6  2Z ve 2  2Z için 6 . 2  4Z iken 6  4Z ve
ii) H değişmeli ise H/I da değişmelidir.
2  4Z dir.
iii) H birimli ve I  H ise H/I da birimli ve birimi 1H + I dır.
Teorem: I, birimli ve değişmeli H halkasının bir
ideali olsun.
Tanım: H bir halka ve K, H nin bir öz ideali olsun.
H nin K yi içeren bir I ideali için K = I ya da I = H
i) I, H nin bir asal idealidir  H/I bir tamlık bölgesidir.
oluyorsa diğer bir ifadeyle H nin K yi kapsayan başka ideali yoksa K ye H nin bir maksimal ideali denir.
ii) I, H nin bir maksimal idealidir  H/I bir cisimdir.
Örnek: (Z, +, ) halkasında (3Z, +, ) idealinin bir
iii) I, H nin bir maksimal ideali ise aynı zamanda
maksimal ideal olduğunu gösterelim.
asal idealidir.
3Z  I  Z olduğundan I = 3Z ya da I = Z dir. O
halde 3Z, Z nin bir maksimal idealidir.
63
ÖABT Soyut Cebir
1.
KONU TESTİ
Aşağıdakilerden hangisi Z nin bir ideali değildir?
A) 3Z
B) 2Z . 3Z
D) 2Z  3Z
4.
C) 2Z + 3Z
Alt Halka ve İdealler
I. Her ideal bir alt halkadır.
II. Bir cismin aşikâr ideallerinden başka ideali
yoktur.
E) 2Z  3Z
III. Birimli bir halkanın ideali, halkanın birimini
kapsarsa bu ideal halkaya eşittir.
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
2.
C) I ve II
E) I, II ve III
(Z, +, ) halkasında n  Z için nZ, Z nin bir ideali
olmak üzere,
I. 3Z + 4Z = 7Z
5.
II. 3Z - 4Z = Z
Aşağıdakilerden hangisi 3Z nin bir asal idealidir?
III. 3Z  4Z = 12Z
A) 9Z
B) 15Z
C) 24Z
D) 42Z
E) 60Z
IV. 3Z  4Z = Z
eşitliklerinden hangileri doğrudur?
A) I ve III
B) II ve III
D) I, II ve III
C) III ve IV
E) II, III ve IV
6.
H bir halka ve I1, I2 H nin iki ideali olsun. Bu
durumda,
I. I1 + I2 de H nin bir idealidir.
II. I1  I2 de H nin bir idealidir.
III. I1  I2 de H nin bir idealidir.
Yargılarından hangileri daima doğrudur?
3.
Aşağıdakilerden hangisi Reel sayılar halkasının
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
bir idealidir?
D) I ve III
A) Z
B) Q
C) -1
D) -1, 1
E) I, II ve III
E) 0
1. E
64
2. B
CEVAP ANAHTARI
3. E
4. E
5. B
6. C
ÖABT Soyut Cebir
1.
KONU TARAMA SINAVI - 10
Aşağıdakilerden hangisi Z nin bir ideali değildir?
A) 3Z
B) 2Z + 4Z
C) 3Z  4Z
D) 2Z  3Z
3.
Alt Halka ve İdealler
I. Rasyonel sayılar halkası, reel sayılar halkasının bir idealidir.
II. Tam sayılar halkası esas ideal bölgesidir.
III. 2Z, Z nin bir maksimal idealidir.
E) 3Z . 4Z
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız II
B) Yalnız III
D) II ve III
2.
I. Her alt halka bir idealdir.
4.
II. Bir cismin sıfır ve kendisinden başka ideali
E) I, II ve III
Aşağıdakilerden hangisi 2Z nin bir asal idealidir?
A) 4Z
B) 10Z
C) 12Z
D) 18Z
yoktur.
III. Her tamlık bölgesi bir cisimdir.
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız II
D) I ve III
B) Yalnız III
C) I ve II
E) II ve III
1. C
65
C) I ve III
CEVAP ANAHTARI
2. A
3. D
4. B
E) 24Z
ÖABT Soyut Cebir
1.
GENEL TARAMA SINAVI
Aşağıdakilerden hangisi bir gruptur?
*
A) (Z6, )
B) (Q , )
D) (Z7, )
4.
C) (Z, )
I. (R, +) bir devirli gruptur.
II. Z de 2 nin ürettiği alt grup 2Z dir.
E) (N, +)
III. G = < a > , mn mertebeden bir devirli grup
m
ise o(a ) = n dir.
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız II
B) Yalnız III
D) I ve III
2.
Aşağıdakilerden hangisi bir abelyan gruptur?
B) (Q8, )
A) (M2(R), +)
D) (Z, )
3.
5.
C) (Z7, )
(Z18, ) grubunun mertebesi 6 olan kaç elemanı
A) 0
E) (Z6, )
6.
C) 2
D) 3
E) 4
S5 simetrik grubunda I birim permütasyon ol-
5 = I
2
I. a = a ise a = e dir.
2
koşulunu sağlayan kaç tane  permütasyonu
II. a = e ise G değişmelidir.
2
III. (a . b) = a . b ise G değişmelidir.
vardır?
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) 24
A) Yalnız I
B) 1
mak üzere,
 a, b  G için
2
E) I, II ve III
vardır?
G bir grup ve G nin birim elemanı e olsun.
2
C) II ve III
B) Yalnız II
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
72
B) 25
C) 96
D) 120
E) 121
ÖABT Soyut Cebir
GENEL TARAMA SINAVI
41. Aşağıdaki polinomlardan hangisi Q[x] te indir-
39. (Z, +, ) halkasında n  Z için nZ, Z nin bir ideali
olmak üzere,
genmez değildir?
I. 4Z + 5Z = 9Z
A) x + x + x + x + x + x + 1
II. 4Z - 5Z = Z
B) x + 5x + 9
III. 4Z  5Z = 20 Z
C) 3x + 2x - 6x + 4x + 10
IV. 4Z  5Z = Z
D) 2x - 6x + 3x - 15
eşitliklerinden hangileri doğrudur?
E) 4x + 5x + 10x - 10
A) I ve III
6
5
4
D) I, II ve III
3
2
2
5
B) II ve III
4
4
3
2
4
3
2
2
C) III ve IV
E) II, III ve IV
42. Aşağıdakilerden hangisi Z7[x] te
40. H bir halka ve I1 ile I2, H nin iki ideali olmak
2
f(x) = x + 2x + 4
üzere,
I. I1 + I2 de H nin bir idealidir.
polinomunun bir çarpanıdır?
II. I1  I2 de H nin bir idealidir.
A) x + 1
B) x + 2
D) x + 5
III. I1  I2 de H nin bir idealidir.
C) x + 4
E) x + 6
Yargılarından hangileri daima doğrudur?
A) Yalnız I
D) I ve III
B) Yalnız II
C) I ve II
E) I, II ve III
80
CEVAP ANAHTARI
3. E
4. C
5. C
1. B
2. E
6. B
7. B
8. B
9. C
10. C
11. B
12. E
13. B
14. E
15. C
16. B
17. B
18. D
19. C
20. E
21. C
22. B
23. A
24. B
25. C
26. E
27. E
28. E
29. E
30. C
31. E
32. A
33. E
34. B
35. A
36. E
37. E
38. E
39. B
40. C
41. B
42. E