mononomial

MONOMIAL IDEALLER
Tanım: (Standart Graded k  cebir) Bir k cismi üzerinde bir A vektör
uzayı aşağıdaki aksiyomlar ile bir değişmeli k  cebir oluşturur,
Her x, y , z  A ve  ,   k için,
(i) xy  yx,
(ii) x( yz )  ( xy ) z ,
(iii) x( y  z )  xy  xz ,
(iv)  ( xy )  ( x) y  x( y ) ,
(v)  (  x)  ( ) x .
Burada k cismi A nın bir althalkasıdır. A , k  cebiri ( k üzerinde bir
vektör uzayı gibi),
A  A0  A1  ...  An  ...
ayrışımına sahip ve A0  k ve her i, j  0 için Ai A j  Ai  j sağlıyor ise
bu k  cebiri A ya graded k  cebir veya   graded k  cebir denir.
n
r
A   An şeklinde gösterilir.
n0
Örnek: k[ X ] halkası k cismi üzerinde X değişkenleri ile bir polinomlar
halkası olsun. Buna göre herhangi bir f  k[ X ] polinomu n  0 için
a0 , a1 ,..., an  k olmak üzere f  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n şeklinde
2
yazılabilir. R0  {a0 : a0  k } , R1  {a1 x : a1  k } , R2  {a2 x : a2  k } ve
Rn  {a n x n : a n  k} olarak alırsak k[ X ]  R0  R1  ...  Rn biçiminde
i
j
yazabiliriz. Şimdi i  j için Ri  {ai x : ai  k} ve R j  {a j x : a j  k}
i
j
alalım. Açıkca i  j için ai x  a j x eşitliği bize ai  a j  0 olmasını
gerektirdiğinden, Ri  R j  0 elde ederiz. Böylece,
k [ X ]  R0  R1  ...  Rn
i

j
ve R0  k dır. ai x  Ri ve a j x  R j alalım. ai x

ai  j  k için ai xi
 a x   a a  x x
a x a x   R
i
i
j
j
i j
j
j
i
i
j
j
i
a x   R R
j
j
i
j
ve
 ai  j xi  j eşitliğinden
olduğunu söyleyebiliriz. O halde Ri R j  Ri  j dır.
Böylece, k[ X ] polinomlar halkası bir graded k  cebirdir.
Monomial İdealler
k bir cisim olmak üzere, R  k[ X ] k cismi üzerinde n değişkenli
bir polinomlar halkası olup X  x1 ,..., xn dir.
Tanım: (Monomial Ideal) k[ X ] de bir monomial , bir a   a1 ,..., an   
a
a
a
a
pozitif tamsayılarının bir vektörü için X  x1 1 x2 2 ...xn n çarpımıdır. Bir
I  k[ X ] ideali bu şekildeki monomiallar tarafından üretiliyorsa bu
ideale monomial ideal denir. X
a
nın toplam derecesi (total degree)
a1  a2  ...  an dır. Bir katsayıları bir k cisminden ve değişkenleri de
x1 ,..., xn olan bir f polinomu, monomiallerin bir sonlu k  lineer
kombinasyonudur. f polinomunun toplam derecesi onu oluşturan
monomiallerden derecesi en yüksek olandır. Eğer f polinomunu
oluşturan tüm monomiallerin derecesi aynı ise homojen polinom adını
alır.
Örnek:   x, y , z  halkasında x y z  X
2
5 3
(2,5,3)
bir monomialdir.
Derecesi ise 2  5  3  10 dur.

2
5
Örnek: R  k [ x1 , x2 , x3 , x4 ] halkasında I  x1 x2 , x2 x3 , x4
2
 bir monomial
5
idealdir. Bu ideal x1 x2 , x2 x3 ve x4 monomialleri tarafından üretilir.
Örnek:
Bir R polinomların halkasının Mon( R) monomiallerinin kümesi bu
R halkasının bir k  bazı dır. Yani, herhangi bir f  R polinomu bazı
monomiallerin bir tek k  lineer birleşimidir. Buna göre,
f 

au u , au  k
uMon ( R )


dır ve supp( f )  u  Mon  R  : au  0 kümesine de f nin support
kümesi denir.
Teorem: I idealine ait N monomiallerinin kümesi I nın bir k  bazıdır.
İspat: N kümesi Mon  R  nin altkümesi olup, N nin elemanları lineer
bağımsızdır. Herhangi bir f  I yı alalım. supp( f )  N olduğunu
gösterelim. Bu da bize N nin I k  vektör uzayının üreteç sistemi
m
olduğunu verir. f  I olduğundan, f 
 fu
i i
i 1
olacak şekilde
u1 ,.., um  I monomialleri ve f1 ,..., f m  R polinomları vardır. Buradan,
m
supp( f )   supp  fi ui  olur. Her i için supp  fi ui   N dir.
i 1