docMukavemet 6. 7. hafta sunumu
download 
Şikayet Transkript
Mukavemet 6. 7. hafta sunumu
Third Edition CHAPTER 3 MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Burulma Fatih Alibeyoğlu © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma • Döndürme momenti etkisi altında dairesel kesitli parçalar burulmaya zorlanır. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma • Uygulamada birçok makine elemanı parçası burulmaya zorlanır. Buhar türbininden elektrik jeneratörüne Elektrik motorundan takım tezgahına Otomobil motorundan tekerlek aksına © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma • A buhar türbini ve B elektrik şaftından oluşan sistemde; • T burulma momenti üreten elektrik motoruna şaft tarafından T’ eşit ve ters yönlü bir etki oluşturacaktır. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma • A ve B de eşit ve zıt yönlü T ve T ’ torklarına maruz kalan AB şaftından, eksene dik geçen keyfi bir C kesiti aldığımızda; AC parçası BC üzerine şaftın yarıçapına dik dF kesme kuvvetleriyle etki eder. dF kuvvetinin şaft eksenine dik uzaklığı ρ ile gösterilecek olursa; dF = τ .dA © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma • Uygulanan bir tork şaft eksenine dik yüzeylerde kayma gerilmeleri meydana getirir. Şaft Ekseni • Dairesel bir milin üzerine eksene paralel şerit levhalar yerleştirilip burulma momentine maruz bırakılırsa; levhaların birbirlerine göre yaptığı kayma görülebilir. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma • Dairesel kesitli şaftlar ile dairesel olmayan kesitli şaftları kıyaslayacak olursak; • Dairesel kesitli şaftın enine ve düzlemsel kesitinin bozulmadığını görürüz. • Karesel kesitli şaft ise burkulur. Düzlemleri bozulur. • Bundan ileten dairesel kullanılır. dolayı hareket mekanizmalarda kesitli şaftlar © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma • Bir ucu ankastre mesnetli T torku uygulanan dairesel kesitli şaftı inceleyecek olursak; • Serbest ucun φ(phi) açısı kadar döndüğünü gözlemleyebiliriz. • Kuvveti artırırsak açı artar. Demek ki T- φ arasında orantı vardır. • Eğer L uzunluğunu artırırsak açının da artacağını gözlemleyebilir. Demek ki L- φ arasında orantı vardır. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma • Çok küçük açılar için AA’ yayının uzunluğu • AA’= Lγ ya da AA’= ρφ • Demek ki dairesel şaftta kayma şekil değiştirmesi şaft eksenine olan mesafeyle doğrusal olarak değişir. • Eğer c=ρ olursa şaft yüzeyinde maksimum kayma şekil değiştirmesi gözlemlenir. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma Maksimumum tork Minimum kayma gerilmesi © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma Sünek malzemelerin hasarında kayma gerilmeleri, gevrek malzemelerin hasarında ise çekideki normal gerilmeler daha etkilidir. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma BC şaftı iç ve dış çapları sırasıyla 90 ve 120 mm olan boşluklu bir şafttır. AB ve CD d çaplı içi dolu şaftlardır. Yükleme şartı için; a) BC şaftındaki maksimum ve minimum kayma gerilmelerini, b) AB ve CD şaftlarının kayma gerilmesi 65 MPa olduğuna göre bu şaftların çapını belirleyiniz? © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma • AB şaftı için • BC şaftı için • Max kayma gerilmesi © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma • Minumum Kayma gerilmesi • Bu şaftların ikisi de • T=6kN.m τ𝑒𝑚 =65 Mpa • Şaftların yarıçapını c ile gösterirsek © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Elastik Bölgede Burulma Açısı • Maksimum kayma şekil değiştirmesi ile kayma gerilmesi arasındaki ifadeyi hatırlarsak ; • Elastik bölgeyi incelediğimiz için • φ (rad ) cinsinden bulunur. • Tork veya mil kesiti değişirse toplam dönme açısı her bir kısmın dönme açısının toplamına eşit olur. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Elastik Bölgede Burulma Açısı © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Soru • 2 ͦ lik burulma açısı oluşması için şaftın uç kısmına uygulanması gereken tork ne olmalıdır? • G=77x 109 Pa © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Soru • AD yatay şaftı D noktasından ankastre mesnete bağlanmıştır ve şekilde gösterildiği gibi torklara maruz kalmıştır. CD kısmına 0.6 m uzunluğunda 44 mm çapında delik açılmıştır. Bu durumda A noktasındaki burulma açısı ne olur? (G=77 GPa) © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Çözüm • AB kesitini alalım çünkü B noktasından sonra Tork ve kesit kalınlığı değişmektedir. • BC kesitini ayıralım çünkü C noktasından sonra kesit değişmektedir(C’den sonra içi boş mil vardır ) fakat tork(2000+250 Nm) sabittir. • Polar atalet momentlerini bulacak olursak © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Soru • A noktasındaki burulma açısı © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Bir ucu sabit millerde dönme açısı sabit ucun dönmesine eşit olduğunu gördük eğer bir milin iki ucu da dönüyorsa burulma açısı bir ucun diğer uca göre dönmesine(farkına ) eşit olacaktır. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Örnek • Şekilde verilen sistemde 𝑟𝐴 = 2 𝑟𝐵 olduğuna göre ve E noktasından T torku uygulanırsa BE şaftının E ucundaki dönme açısını bulunuz. ÇÖZÜM • Öncelikle dişliler birbirine eşit ve zıt yönlü kuvvet uygulayacaktır. AD şaftında F kuvveti BE şaftında F’ kuvvetleri oluşacaktır. Bu durumda 𝑟𝐴 = 2 𝑟𝐵 olduğundan 𝑇𝐴𝐷 =2T(Kuvvetler eşit, AD nin çapı diğerinin iki katı, Moment=Kuvvet x Dik uzaklık) • A şaftının dönme açısı A dişlisinin dönme açısı şaftın burulma açısına eşit olacaktır çünkü D ucu sabittir. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Çözüm • A dişlisindeki dönme açısı: • CC’ ve CC’’ yaylarının eşit olması gerektiğinden BE şaftının dönme açısını bulacak olursak; © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Soru • İçi dolu iki çelik şaft dişlilere bağlanmıştır. Her bir şaft için G= 77 GPa ve emniyetli kayma gerilmesi 55 MPa olduğuna göre AB şaftının a) A ucuna uygulanabilecek büyük 𝑇0 torkunu; en b) AB şaftının A ucunun dönmesiyle oluşan açıyı belirleyiniz. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Çözüm • Statik Denge Şartlarından : B dişlisi için Σ𝑀𝐵 =0; F(22 mm)- 𝑇0 =0 C dişlisi için Σ𝑀𝐶 =0; F(60 mm)- 𝑇𝐶𝐷 =0 𝑇𝐶𝐷 = 2.73 𝑇0 Dişlilerin çevresel hareketi eşit olduğundan 𝑟𝐵 𝜙𝐵 = 𝑟𝐶 𝜙𝐶 𝑟 𝜙𝐵 = 𝜙𝐶 𝑟𝐶 =2.73𝜙𝐶 𝐵 𝑻𝟎 Torku , AB Şaftı için 𝑇0 =𝑇𝐴𝐵 ve c=9.5 mm 𝑇𝐴𝐵 𝑐 𝑇0 (9.5 𝑥 10 −3 𝑚) τ= = = 55 𝑀𝑃𝑎 1 𝐽 −3 4 2 𝜋(9.5 𝑥 10 𝑚 ) 𝑇0 =74.1 N.m CD şaftı için 𝑇𝐶𝐷 =2.73𝑇𝐴𝐵 ve c=9.5 mm 𝜏𝑒𝑚 = 55 𝑀𝑃𝑎 𝑇𝐶𝐷 𝑐 2.73𝑇0 (12.5 𝑥 10 −3 𝑚) τ= = = 55𝑀𝑃𝑎 1 𝐽 −3 4 𝑇0 =61.8 N.m değeri seçilir 𝑇0 =61.8 N.m 2 𝜋(12.5 𝑥 10 𝑚 ) © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Çözüm • Dönme Açıları AB Şaftı 𝑇𝐴𝐵 𝐿 (61.8 𝑁. 𝑚 )(0.6 𝑚) φ𝐴/𝐵 = = 1 𝐽𝐺 −3 𝑚 )4 (77𝑥 109 𝑃𝑎) 𝜋(9.5 𝑥 10 2 = 0.0376 𝑟𝑎𝑑 = 2.16 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒 CD Şaftı 𝑇𝐶𝐷 𝐿 (168.7 𝑁. 𝑚 )(0.9 𝑚) = 1 𝐽𝐺 −3 4 9 2 𝜋(12.5 𝑥 10 𝑚 ) (77𝑥 10 𝑃𝑎) = 0.0514 𝑟𝑎𝑑 = 2.95 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒 φ𝐶/𝐷 = CD şaftının D ucu sabit olduğu için φ𝐶/𝐷 = φ𝐶 𝜙𝐵 =2.73𝜙𝐶 = 2.73 2.95 = 8.04 ͦ 𝜙𝐴 = 𝜙𝐵 + 𝜙𝐴/𝐵 = 8.04 ͦ + 2.16 ͦ © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Burulma ile Eksenel Yükleme durumunun kıyaslaması Eksenel Kuvvet (P) Burulma Momenti (Tork) (T) Deformasyon(Uzama- Kısalma)(δ) Dönme Açısı(φ) Normal Gerilme(σ) Kayma Gerilmesi(τ) Eksenel Birim Şekil Değiştirmesi(ε) Kayma Birim Şekil Değiştirmesi(γ) Elastisite Modülü(E) Kayma Modülü(G) © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Statikçe Belirsiz Şaftlar • Bir şaftın mesnetlerindeki tepkiler veya iç torklar sadece statikten bulunamıyorsa şaft statikçe belirsiz demektir. • AB dairesel şaftı B ucundan itibaren 125 mm boyunda 16 mm çapında delik açılmıştır. Şaftın tüm kesit boyunca dış çapı 22 mm dir. Bu durumda her bir mesnetin şafta uyguladığı torku bulunuz. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Soru • • 𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 = 120 𝑁. 𝑚 Bu denklemden torkları bulamayacağımız için bu problem için statikçe belirsiz denilebilir. Bu şaftın her iki ucu sabit olduğu için dönme açıları 0’a eşit olacaktır. • 𝐽1 = ( 𝜋0.011 𝑚 )4 = 230𝑥 10−6 𝑚4 ) • 𝐽1 = • • • 0.72 𝑇𝐴 = 𝑇𝐵 1.72 𝑇𝐴 =120 N.m 𝑇𝐴 = 69.8 𝑁. 𝑚 𝑇𝐵 = 50.2 𝑁. 𝑚 1 2 1 𝜋[(0.011 2 𝑚 )4 − (0.008𝑚)4 ] = 165.6𝑥 10−6 𝑚4 ) © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Soru • Bir çelik şaft ve bir alüminyum tüp bir ucundan sabit bir mesnete diğer ucundan rijit bir plakaya bağlanmıştır. Emniyet gerilmeleri çelik şaftta 120 Mpa ve alüminyum tüpte 70 Mpa olduğuna göre diske uygulanabilcek 𝑇0 maksimum torkunu belirleyiniz. Çelik için G=77 GPa alüminyum tüp için G=27 Gpa dır. ÇÖZÜM: • Tüp ve şaft rijit diske bağlandığı için ikisinin deformasyon açıları eşit olacaktır. • Tüp ve şaft rijit plakaya bir tork uygulayacaktır. Bunların toplamı da toplam torka eşit olacaktır. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Çözüm • Rijit plaka için • Deformasyonlar: tüpün deformasyonu şaftın deformasyonuna eşit olur. Kayma Gerilmeleri © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Aktarma Şaftlarının Tasarımı • Bir şaftın yerine getirmesi gereken temel koşullar: İletilecek güç Şaftın dönme hızını kapsar 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑡𝑖𝑟. 𝐵𝑖𝑟𝑖𝑚: 𝑟𝑎𝑑𝑦𝑎𝑛/𝑠𝑎𝑛𝑖𝑦𝑒 𝑓 = 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑠 𝑏𝑖𝑟 𝑠𝑎𝑛𝑖𝑦𝑒𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑟 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 𝑠 −1 𝐻𝑧 𝑃 = 𝐺üç(𝑊𝑎𝑡𝑡)(𝑁. 𝑚/𝑠) 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑟 1 𝑑𝑎𝑘𝑖𝑘𝑎 = 1 −1 𝑠 60 1 = 60 𝐻𝑧 © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Soru • 3.7 kW’lık bir motorun 3600 dev/dak ile çalışan rotorun şaftındaki kayma gerilmesinin 60 Mpa’yı aşmaması istendiğine göre hangi boyutta şaft kullanılmalıdır. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Soru • 50 mm’lik dış çaplı çelik tüpten oluşan bir şaft , 20Hz’lik bir frekansla dönerken 100 kW’lık güç iletmektedir. Kayma gerilmesinin 60 Mpa’ı aşmaması gerektiğine göre kullanılması gereken tüp kalınlığını belirleyiniz. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Soru • AB, BC ve CD şaftlarının her biri içi dolu şaftlardır. a) Maksimum kayma gerilmesinin oluştuğu şaftı b) Bu gerilmenin büyüklüğünü bulunuz © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Soru • AB alüminyum çubuğu(G=27 GPa ) BD pirinç (G= 39 GPa )çubuğuna tutturulmuştur. CD parçası boşlukludur ve iç çapı 40 mm olduğuna göre A’daki burulma açısını belirleyiniz. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Soru G= 77 GPa olan AB ve CD şaftlarının tasarımları yapılacaktır. 𝜏𝑚𝑎𝑘𝑠 ≤ 60 𝑀𝑃𝑎 ve CD şaftının D ucunun dönmesiyle oluşacak olan dönme açısının (𝜑𝐷 ) 1.5 ͦ ‘ yi geçmemesi istenmektedir. Bu durumda şaftların çaplarını belirleyiniz. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Third Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Ödev • • • • • Cisimlerin Mukavemeti kitabından problem 3.13 3.37 3.57 3.74 • Ödevler 25.11.2014 tarihine kadar teslim edilecektir. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Benzer belgeler
Burulma - kocaelimakine.com
yavaş yavaş arttırılan T momentine maruzdur. Buna göre;
a) Akma başlangıcı için tork değerini (Ty) ve ona karşılık gelen dönme açısını (Φy),
b) Kesitin tamamını plastik deformasyona uğratan tork de...
