Ders 4 Ortalama, Ortanca ve Tepe değer

Transkript

İstatistik ve Olasılığa Giriş
Robert J. Beaver • Barbara M. Beaver • William Mendenhall
Presentation designed and written by:
Barbara M. Beaver
Copyright ©2006 Brooks/Cole
A division of Thomson Learning, Inc.
İstatistik ve Olasılığa Giriş
Ders 3
Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade Etme
Some graphic screen captures from Seeing Statistics ®
Some images © 2001-(current year) www.arttoday.com
Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade
Etme
• Verileri ifade etmek için grafik metodu
her zaman yeterli olmayabilir.
• Sayısal ölçümler (Numerical
measures) hem yığında hem de
örnek’te kullanılabilir.
1
Ortanın Ölçülmesi
• Veri dağılımının ortası yatay eksenin
üzerinden ölçülür ve eksenin üzerindeki
verileri eşit iki parçaya böler.
Aritmetik Ortalama
(Arithmetic Mean or Average)
• Bir gurup verinin mean’i (Ortalaması) o
verilerin toplamlarının verilerin sayısına
oranı ile bulunur
x=
∑ xi
n
burada n = verilerin sayısı
∑ xi = Verilerin tümünün toplamı
Aritmetik Ortalama
(Arithmetic Mean or Average)
• Bir yığının mean’i (Ortalaması) o
yığındaki tüm verilerin toplamlarının
verilerin sayısına oranı ile bulunur
μ=
∑ xi
N
burada N = yığındaki verilerin sayısı
∑ xi = Verilerin tümünün toplamı
2
Örnek:
•Veriler: 2, 9, 1, 5, 6
μ=
∑ xi 2 + 9 + 11 + 5 + 6 33
=
=
= 6 .6
N
5
5
Eğer tüm yığını biliyorsak o zaman ortalama μ
( “mü”) olur.
Örnek:
Eğer sınıflanmış veriler verilirse:
Yas
25
33
41
49
57
65
Frekans
fj
- 33
- 41
- 49
- 57
- 65
- 73
5
14
13
9
7
2
xj =
e j + e j +1
2
29
37
45
53
61
69
μ=
∑xj ⋅ fj
N
=
5.29 + 14.37 + 13.45 + 9.53 + 7.61 + 2.69
50
2290
=
= 45.8
50
Ortanca (Median)
• Sıralanmış verilerin tam ortasında
bulunan değere median (ortanca) denir.
• Ortancanın yeri
0.5(n + 1)
Tabi ki veriler sıralandıktan sonra
3
Örnek
• Gurubumuz: 2, 4, 9, 8, 6, 5, 3 n = 7
• Sıralı : 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9
• Yeri: 0.5(n + 1) = 0.5(7 + 1) = 4.üncü
Median = 4.üncü veri
• Gurubumuz: 2, 4, 9, 8, 6, 5
n=6
• Sıra
: 2, 4, 5, 6, 8, 9
• Yeri: 0.5(n + 1) = 0.5(6 + 1) = 3.5
Median = (5 + 6)/2 = 5.5 — 3üncü ve 4üncü verinin ortalaması
Tepe değer (Mode)
• mode (Tepedeğer) bir gurup veride ençok
tekrarlanan değerdir.
• Gurubumuz: 2, 4, 9, 8, 8, 5, 3
– mode iki kez tekrarlanan 8’dir.
• Gurubumuz: 2, 2, 9, 8, 8, 5, 3 Hiç sorun değil
– Burada İki tane mod var 8 ve 2 (bimodal)
• Gurubumuz: 2, 4, 9, 8, 5, 3
Hiç sorun değil
– Mode yok (her değer tektir).
Örnek
25 Eve dağıtılan süt şişelerinin sayısı
verilmiştir:
0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 3 3 3 3 4 4 4 5
• Mean (Ortalama)?
∑ xi 55
=
= 2 .2
n
25
• Median (Ortanca)?
m=2
• Mode(Tepedeger)?
mode = 2
10/25
8/25
Relative frequency
x=
6/25
4/25
2/25
0
0
1
2
3
4
5
Quarts
4
Uç Değerler
• Ortalama çok küçük veya çok büyük
değerler için çok çabuk değişmektedir
MY
APPLET
•Eğer dağılımımız çarpıksa ortalama
olarak medyan kullanılır.
Uç Değerler
Symmetric: Mean = Median
Sağa çarpık: Mean > Median
Sola Çarpık: Mean < Median
Yayılım Ölçüleri
(Measures of Variability)
• Yığının veya yığından elde edilen
örneğin birim değerlerinin etrafında
birimin değerini belirleyen ölçüdür.
5
Açıklık (Range)
• Açıklık , en büyük veri ile en küçük
veri arasındaki fark.
• Örnek: Bir botanist 5 çiçeğin taç
yapraklarının sayısını kaydediyor. :
5, 12, 6, 8, 14
• Bu durumda range
R = 14 – 5 = 9.
•Hızlı ve kolay ancak sadece 5
veriden 2 sini kullanıyor.
Varyans
• variance tüm değerlerin ortalama
değerden olan farklarının ölçüdür.
• Çiçek Yaprakları: 5, 12, 6, 8, 14
x=
45
=9
5
4
6
8
10
12
14
Varyans
• N elemanı bunan bir yığının varyansı denilen
ölçüm, değerlerin ortalama değerden farklarının
karelerinin ortalamasıdır.
σ2 =
∑( xi − μ ) 2
N
• Bir örneğin ortalaması ise
s2 =
∑( xi − x ) 2
n −1
6
Standart Sapma
Standard Deviation
• Varyansı hesaplarken tüm farkların karesini
almak suretiyle gerçek ölçümden
uzaklaşmış olduk.
• Tekrar gerçek ölçüm aralığına dönmek için
yapılacak işlem varyansın kare kökünü
almaktır. Bunada Standart Sapma
(Standard deviation), denir.
Yığının Standart Sapması: σ = σ 2
Örneğin Standart Sapması: s = s 2
Bir Örneğin Varyansını
Hesaplamanın İki farklı Yolu
x
Top
lam
i
xi − x ( xi − x )2
5
12
-4
3
16
9
6
8
14
45
-3
-1
5
0
9
1
25
60
Tanımdaki Formülü Kullanarak:
s2 =
∑( xi − x ) 2
n −1
=
60
= 15
4
s = s 2 = 15 = 3.87
Bir Örneğin Varyansını
Hesaplamanın İki farklı
Yolu
Hesaplama Yolu ile bulma:
Sum
xi
xi2
5
12
25
144
6
8
14
45
36
64
196
465
(∑ xi ) 2
n
s2 =
n −1
452
465 −
5 = 15
=
4
2
∑ xi −
s = s 2 = 15 = 3.87
7
Yüzdelikler
• İlgilendiğimiz ölçümün altında kaç
tane ölçümün olduğunu bulmak için
kullanılan ölçüme pth percentile denir.
p%
pth
(100-p) %
x
percentile
Örnek
• 16 ve daha büyük yaşta olan adamların % 90’ı
haftada $319 lira veya daha fazla kazanmaktadır.
BUREAU OF LABOR STATISTICS
10%
90%
$319
$319 10. yüzdelik
dilimindedir.
50. Percentile
≡ Ortanca
25. Percentile
≡ Alt Dörttebir (Q1)
75. Percentile
≡ Üst Dörttebir (Q3)
Quartiles ve IQR
• Alt dörttebir (Q1)’lik kısım x
değerlerinin % 25 den fazla ve % 75 den
az olan kısımdır.
• Üst dörttebir (Q3) ise x değerlerinin %
75 den fazla ve % 25 den az olan
kısımdır.
• Ortadaki “50%” aralığı ise dörtlükler
arası aralık,
IQR = Q3 – Q1
8
Örneklerin Dörtte birinin Hesabı
• (Q1 ve Q3), değerleri aşağıdaki gibi
hesaplanır
• Q1 in hesaplanışı
0.25(n + 1)
• Q3 in hesaplanışı
0.75(n + 1)
Değerler sıralandıktan sonra eğer ölçüm
sonucu tamsayı değilse değeri bulmak
için yeni bir enterpolasyon yapılır.
Örnek
18 değişik marka ayakkabının fiyatları aşağıda verilmiştir:
40 60 65 65 65 68 68 70 70
70 70 70 70 74 75 75 90 95
Q1 = 0.25(18 + 1) = 4.75
Q3 = 0.75(18 + 1) = 14.25
9Q1 değeri 4. ve 5. sayı arasında ¾ orana
sahip olan sayı, or
Q1 = 65 + 0.75(65 - 65) = 65.
Örnek
18 değişik marka ayakkabının fiyatları aşağıda verilmiştir:
40 60 65 65 65 68 68 70 70
70 70 70 70 74 75 75 90 95
Q1 = 0.25(18 + 1) = 4.75
Q3 = 0.75(18 + 1) = 14.25
9Q3 ise 14. ve 15. değerler arasında 1/4 orana
sahip sayı, veya
Q3 = 75 + 0.25(75 - 74) = 75.25
9ve
IQR = Q3 – Q1 = 75.25 - 65 = 10.25
9

Ders 4 Ortalama, Ortanca ve Tepe değer

Transkript

Benzer belgeler

Ders1 Giriş

steve barkley kayhan karlı

Bilimsel bir filimin seçimine etki eden faktörler

CAPTAINS Projesi

Giriş Küçük bir danışmanlık firmasını yöneten Shannon, bilgi işlem di

Chapter 1 - WordPress.com