z - Burak Kurt

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI
SEVGİ İŞLER
EYLÜL 2005
ÖZET
KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI
İŞLER, Sevgi
Kırıkkale Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi
Danışman : Prof. Dr. Kerim KOCA
Eylül 2005, 97 sayfa
Tez, dört temel bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, kompleks
düzlemde eğriler, kompleks integraller, Cauchy Türev ve İntegral Formülleri
incelenmiştir. İkinci bölümde kompleks fonksiyonların singülerliklerinin bir
sınıflandırılması, analitik fonksiyonların serisel gösterilimleri, rezidü ve rezidü
hesaplama yöntemleri, Casorati-Weierstrass Teoremi ve Sonuçları verilmiştir.
Üçüncü bölümde ise Argümenlerin Değişimi Prensibi, Rouche’ ve Hurwitz
Teoremleri ele alınmıştır. Son bölümde ise belli tipten reel genelleştirilmiş
integrallerin ve çok-değerli fonksiyonların integrallerinin rezidü yardımıyla
hesaplanması ele alınmıştır.
Anahtar Kelimeler: Cauchy integral formülü, Cauchy türev formülü, Taylor
teoremi, Singülerliklerin sınıflandırılması, Laurent teoremi, Cauchy rezidü teoremi.
i
ABSTRACT
RESIDUES OF THE COMPLEX FUNCTIONS AND THEIR SOME
APPLICATIONS
İŞLER, Sevgi
Kırıkkale University
Graduate School Of Natural and Applied Sciences
Deparment of Mathematics, M. Sc. Thesis
Supervisor : Prof. Dr. Kerim KOCA
September 2005, 97 pages
Thesis is in four basic parts. In the first part, curves in complex plane,
complex integrals, Cauchy derivative and integral formulas are examined. In the
second part of the thesis, a classification of singularities of complex functions, series
demonstrations of analytical functions, residue and residue calculation methods,
Casorati-Weierstrass Theorem and its results are discussed. In the third part,
principles of argument variation, Rouche’ and Hurwitz Theorems are discussed.In
the last part of the thesis, calculations of the definite reel generalized integrals and
the integrals of very-valued functions are made with the help of residues.
Key Words: Cauchy integral formula, Cauchy derivative formula, Taylor theorem,
A classification of singularities, Laurent theorem, Cauchy residue theorem
ii
İÇİNDEKİLER
ÖZET ………………………………....…………………………………………... i
ABSTRACT ……………………....….………………………………………….. ii
İÇİNDEKİLER ….....…………………………......……………………………... iii
1. GİRİŞ ..………...……………………………………………………………... 1
1.1. Kaynak Özetleri ......................................................................................... 1
1.2. Çalışmanın Amacı ..................................................................................... 2
2. MATERYAL VE YÖNTEM ………….....…………………………………... 4
2.1. Analitik Fonksiyonlar ve Bazı Özellikleri ................................................. 4
2.2. Kompleks Düzlemde Eğriler ..................................................................... 8
2.3. Kompleks İntegraller ............................................................................... 15
2.4. Cauchy Teoremi ve Sonuçları ................................................................. 25
2.5. Cauchy İntegral ve Türev Formülleri ...................................................... 32
2.6. Analitik Fonksiyonların Serisel Gösterilimleri ........................................ 34
2.7. Kuvvet Serileri ......................................................................................... 39
2.8. Singülerliklerin Sınıflandırılması ............................................................ 42
2.9. Rezidü ve Hesaplama Teknikleri ............................................................. 54
2.10. Argümenlerin Değişimi Prensibi ........................................................... 66
3. ARAŞTIRMA BULGULARI ……….………....……………………….......... 77
3.1. Belirli Tipten Bazı Genelleştirilmiş Reel İntegrallerin Hesaplanması .... 77
∞
3.2.
∫x
a −1
f ( x ) dx Formundaki İntegraller ..................................................... 83
0
3.3. Genelleştirilmiş İntegraller ve Cauchy Esas Değeri ................................ 87
iii
3.4. Çok Değerli Fonksiyonların İntegralleri .................................................. 93
4. TARTIŞMA VE SONUÇ …...……………...……………………………....... 96
KAYNAKLAR ….............…………………………………………………….... 97
iv
1. GİRİŞ
Kompleks Analiz soyut bir bilim alanı gibi görünse de sonuçları teknolojide,
fizik ve mühendislikte çok sık kullanılmaktadır. Hatta kompleks analizde elde edilen
sonuçlar, reel analizde çözümü imkansız olan problemlerin çözümünde güçlü bir
araç olarak kullanılmaktadır. Örneğin;
∞
1 π
2
∫ sin ( x ) dx = 2
2
0
∞
xα −1
π
∫0 1 + x dx = sin (απ ) , 0 < α < 1
∞
sin x
π
dx =
x
2
0
∫
∞
∫
0
ln (1 + x 2 )
1 + x2
dx = π ln 2
v.s. formundaki integrallerin sonuçları kompleks analiz metodları ile elde
edilebilmektedir. Ayrıca bir çok reel diferensiyel denklem sistemleri kompleks
fonksiyonlar yardımıyla kolayca çözülebilmektedir.
Bu nedenlerden dolayı kompleks fonksiyonlarda rezidü kavramı önemli bir
uygulama olarak ortaya çıkmaktadır. Bu konu tezin temelini oluşturmaktadır.
1.1. Kaynak Özetleri
Bu tezin hazırlanışında dört temel kitaptan yararlanılmıştır. Önce [1] nolu
kaynaktan singüler noktaların sınıflandırılması, Cauchy Teoremleri ve Özellikleri,
kompleks eğrisel integral konuları öğrenilmiştir. Daha sonra analitik fonksiyonların
1
Laurent serisine açılımı ve temel özellikleri [2] ve [6] nolu kaynaklardan
yararlanılarak ortaya konmuştur. Rezidülerin hesaplanması ve bunların belli tipten
reel genelleştirilmiş integrallerin hesabında kullanılması konusu [1], [2], [3] ve [4]
nolu kaynaklar göz önüne alınarak incelenmiştir. [3] ve [4] nolu kaynaklardan
yararlanılarak Argümenlerin Değişimi Prensibi, Hurwitz ve Rouche’ teoremlerinin
en genel halleri bu tezde verilmiştir.
1.2. Çalışmanın Amacı
Kompleks analizin mühendislik ve fiziksel uygulamalarının yanında önemli
bir uygulaması da Rezidü(Kalıntı) kavramıdır. Rezidü, belli tipten kompleks
integrallerin hesabında ve elemanter yollarla hesaplanamayan bazı tip reel
genelleştirilmiş integrallerin hesabında çok sık kullanılmaktadır. Bir z0 ∈
,
f ( z ) ’nin bir ayrık aykırı noktası olmak üzere f ( z ) , 0 < z − z0 < R halkasal
bölgesinde (uygun koşullar altında)
f ( z) =
∞
∑ a (z−z )
n=− ∞
n
n
(1.2.1)
0
şeklinde Laurent serisine açılabilir. Bu açılımda (z − z 0 )
−1
ifadesinin katsayısı olan
a −1 , f ( z ) ’nin z 0 noktasındaki rezidüsü olarak isimlendirilir. Rezidüyü hesaplamak
için f ( z ) ’nin yapısına göre çeşitli hesaplama teknikleri vardır. Bu hesaplama
metodları f ( z ) ’yi Laurent serisine açmadan rezidüyü hesaplama imkanı verir. Tez
içinde de görüleceği gibi Argümenlerin Değişimi Prensibi yine Cauchy-Rezidü
Teoremi’nin önemli uygulamalarından birisidir. Yine elemanter işlemlerle çokdeğerli kompleks fonksiyonların integralleri oldukça karmaşık olduğu halde yine
2
rezidü yardımıyla bu tip fonksiyonların kompleks anlamdaki eğrisel integralleri
kolayca hesaplanabilmektedir.
Bir f ( z ) kompleks analitik fonksiyonu için verilen klasik türev tanımı
değiştirilerek Laurent serisinden daha genel anlamda analitik olmayan fonksiyonlar
için de serisel açılımlar verilebilir. Örneğin genelleştirilmiş analitik (pseudoanalitik) fonksiyonlar için bu tür açılımlar mevcuttur. İleri bir araştırma konusu
olarak genelleştirilmiş Cauchy tipi integraller yardımıyla rezidü kavramı
genişletilebilir. Bunun için klasik anlamdaki rezidü kavramı bir temel oluşturabilir.
Tezin temel amaçlarından birisi de budur.
3
2. MATERYAL VE YÖNTEM
2.1. Analitik Fonksiyonlar ve Bazı Özellikleri
Analitik fonksiyonlar, önemli özellikler gösterirler ve kompleks analizin
temel konusunu oluştururlar.
Tanım 2.1.1: f : D →
z → w = f (z)
fonksiyonu verilsin. f ( z ) fonksiyonu bir z 0 noktasının en az bir komşuluğunda
tanımlı olsun. Eğer,
lim
z → z0
f (z ) − f (z 0 )
z − z0
limiti varsa f ( z ) fonksiyonu z0 noktasında türevlenebilirdir denir. Bu limit değeri
f ′( z 0 ) ile gösterilir ve f ′( z 0 ) sayısına
f ’nin
değeri,
f ′( z 0 ) = lim
z → z0
f (z ) − f (z 0 )
z − z0
olarak tanımlanır.
Tanım 2.1.2: f : D →
z → w = f ( z)
fonksiyonu verilsin. Eğer,
lim
h →0
f (z + h ) − f (z )
h
4
z0 ’daki türevi denir. Yani f ′( z 0 )
limiti varsa f ( z ) fonksiyonu D bölgesinde türevlenebilirdir denir. Bu limit değeri
f ′(z ) ile gösterilir ve f ′(z ) ifadesine f’’nin z’deki türevi denir. Yani f ′( z ) değeri,
f ′( z ) = lim
h →0
f (z + h ) − f (z )
h
olarak tanımlanır.
Teorem 2.1.1: f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) fonksiyonu herhangi bir z = x + iy
noktasında türeve sahipse bu takdirde
f ′ ( z ) = u x ( x, y ) + ivx ( x, y ) = −iu y ( x, y ) + v y ( x, y )
(2.1.1)
dir.
İspat: Tüm Kompleks Analiz kitaplarında ispatı bulunabilir.
Sonuç 2.1.1: (2.1.1) eşitliğinden
ux − vy = 0
u y + vx = 0
olduğu görülür. Buna Cauchy-Riemann sistemi denir.
Sonuç 2.1.2: f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) olmak üzere f ′( z ) türevi varsa u ve v
Cauchy- Riemann sistemini sağlar. Ama bunun karşıtı doğru olmayabilir. Yani bir
fonksiyon bir noktada Cauchy-Riemann sistemini sağladığı halde o noktada türeve
sahip olmayabilir.
Uyarı : Örneğin;
,z=0
⎧⎪0
f ( z ) = ⎨ −1 z 4
, z≠0
⎪⎩e
fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon z = 0 noktasında Cauchy-Riemann sistemini
sağlar. Gerçekten,
4
∂u
1
∂v
+i
= lim e −1 x = 0
∂x
∂x x →0 x
5
ve
4
∂u
∂v
1
+i
= lim e −1 y = 0
∂y
∂y y →0 y
olduğundan
ux = vy
,
u y = −v x
yazılabilir. Ancak z = 0 noktasında f ( z ) fonksiyonunun türevi yoktur.
Örneğin, y = x doğrusu üzerinden sıfıra yaklaşırsa, z = x + i x olacağından,
x ≠ 0 için
f ( z ) = e1 x
4
ve
f (z ) − f (z 0 )
e1 x − 0
= lim
=∞
lim
z →0
x →0
z − z0
x−0
4
olur.
Tanım 2.1.3: f ( z ) = u + iv fonksiyonu bir z 0 noktasının en az bir komşuluğunun her
noktasında türeve sahipse f ( z ) ’ye z 0 ’da analitiktir veya holomorftur denir.
Sonuç 2.1.3: Bir z 0 noktasında f ′( z 0 ) türevinin mevcut olması f ( z ) ’nin z 0 ’da
analitik olmasını gerektirmez.
Örnek 2.1.1: f ( z ) = z z fonksiyonunu ele alalım. z = 0 için f ′( z ) vardır. Fakat
z ≠ 0 için f ′( z ) yoktur. Bu nedenle f ( z ) holomorf değildir.
Not : f = u + iv olsun. u ve v ’nin kısmi türevlere sahip olması f ′( z ) türevinin
mevcut olmasını gerektirmez.
6
Örnek 2.1.2: f (z ) = 3 z + 2 z fonksiyonunu ele alalım. f ( z ) = 3 z + 2 z = 5 x + iy
olduğundan u = 5 x ve v = y dir. u ve v her yerde her basamaktan kısmi türevlere
sahip olduğu halde f ′( z ) türevi yoktur.
Not (Kısmi Türev): Cebirsel yapıları farklı olmakla birlikte
2
düzlemi,
kompleks düzlemine izomorftur. Bu iki düzlemin elemanları arasında bire bir eşleme
vardır.
z = x + i y ve
z = x−i y
eşitliklerinden yararlanarak
x
ve
y
reel
değişkenleri elde edilir. Yani,
x=
z+z
z−z
, y=
2
2i
olduğu açıktır. Bu nedenle iki reel değişkenli bir f ( x, y ) fonksiyonu z ve z
kompleks değişkenlerinin fonksiyonu gibi düşünülebilir. Dolayısıyla z ve z ’e göre
kısmi türevlerden sözedilebilir. Eğer f ( x, y ) fonksiyonunun f x ve f y kısmi
türevleri sürekli ise
∂f ∂f ∂x ∂f ∂y 1 ⎛ ∂f
∂f ⎞
=
+
= ⎜⎜ − i ⎟⎟
∂z ∂x ∂z ∂y ∂z 2 ⎝ ∂x
∂y ⎠
∂f ∂f ∂x ∂f ∂y 1 ⎛ ∂f
∂f ⎞
=
+
= ⎜⎜ + i ⎟⎟
∂z ∂x ∂z ∂y ∂z 2 ⎝ ∂x
∂y ⎠
eşitliklerinden yararlanarak
∂ 1⎛ ∂
∂ ⎞
∂ 1⎛ ∂
∂ ⎞
= ⎜ −i ⎟ ,
= ⎜ +i ⎟
∂z 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠
∂z 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠
kısmi türev operatörleri elde edilir.
Lemma 2.1.1: f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) olsun. f ( z ) fonksiyonunun f x ( z ) ve f y ( z )
kısmi türevleri sürekli olsun. f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) nin D de analitik olması için
gerek ve yeter koşul,
7
∂f
=0
∂z
olmasıdır.
İspat:
⎤
∂f 1 ⎛ ∂f
∂f ⎞ 1 ⎡ ∂
∂
= ⎜ + i ⎟ = ⎢ ( u + iv ) + i ( u + iv ) ⎥
∂z 2 ⎝ ∂x
∂y ⎠ 2 ⎣ ∂x
∂y
⎦
=
1
1
⎡u x + ivx + i ( u y + iv y ) ⎤ = ⎡( u x − v y ) + i ( u y + vx )⎤
⎣
⎦
⎦
2
2⎣
olduğundan
∂f
= 0 ⇔ ux − v y = 0 , u y + vx = 0
∂z
Cauchy-Riemann sistemi elde edilir.
2.2. Kompleks Düzlemde Eğriler
Tanım 2.2.1:
(a)
[ a, b ] ⊂
olmak üzere sürekli bir γ : [ a, b ] →
fonksiyonuna
düzleminde bir eğridir denir. Burada γ (a ) ve γ (b ) noktalarına sırasıyla
eğrinin başlangıç ve bitiş noktaları denir.
(b) Bir γ eğrisi verildiğinde γ (a ) = γ (b ) ise γ ’ya kapalı eğridir denir.
(c) Bir γ
eğrisi verildiğinde γ ′ türevi var ve sürekli ise γ ’ya
diferensiyellenebilir eğri denir.
(d) γ diferensiyellenebilir bir eğri olsun. Eğer γ ′(t ) ≠ 0 ise γ ’ya düzgün
eğri(regüler eğri) denir.
(e) [a, b] aralığının sonlu tane noktası hariç γ eğrisi diferensiyellenebiliyorsa
ve bu sözkonusu noktalarda γ ’nın sağdan ve soldan türevleri var ve bunlar
8
γ ′ ’nün bu noktalardaki sağ ve
sol limitlerine eşitse γ
parçalı
diferensiyellenebilir eğridir denir.
(f) γ parçalı diferensiyellenebilir eğri olsun. Eğer t ∈ [a, b] olmak üzere
türevin mevcut olduğu her yerde γ ′(t ) ≠ 0 eğriye parçalı düzgün eğridir
denir.
(g) γ : [ a, b ] →
t → γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t )
eğrisi verilsin. ∀ t1 , t2 ∈ [ a, b ] için t1 ≠ t 2 olduğunda γ (t1 ) ≠ γ (t 2 ) ise γ (t ) ’ye
basit eğri denir. γ basit bir eğri ve γ (a ) = γ (b ) ise γ ’ya basit kapalı eğri
(kapalı Jordan eğrisi) denir.
Uyarı :(1) Çoğu kez bir γ eğrisini belirtirken denklemi z ( t ) = x(t ) + iy (t ) olan γ
eğrisi diye yazıp söyleyeceğiz.
(2) Bir γ eğrisi verilsin. z ′ ( t0 ) = γ ′ ( t0 ) = x′ ( t0 ) + iy′ ( t0 ) var ve z ′(t 0 ) ≠ 0 ise
eğri z 0 = z (t 0 ) noktasında bir teğete sahiptir. Teğet, z0 noktasından geçer ve pozitif
eksenle θ = arg z ′ ( t0 ) açısı yapar. Böylece görülüyor ki düzgün eğriler her noktada,
diferensiyellenebilir eğriler ise türevin sıfırdan farklı olduğu noktalarda, teğete
sahiptirler.
γ 1 , γ 2 : [ a, b ] →
t → γ 1 ( t ) = x ( t ) + iy ( t )
γ 2 ( t ) = x∗ ( t ) + iy ∗ ( t )
düzgün eğrileri verilsin. z1 (t ) ve z 2 (t ) , t 0 parametre değerine karşılık gelen noktada
teğete sahip iseler teğetler arasındaki açı
arg z 2′ (t 0 ) − arg z1′ (t 0 )
9
dır .
Örnek 2.2.1:
(a) z = z (t ) = cos t + i sin t , 0 ≤ t ≤ 2π eğrisi basit kapalı bir eğridir.
(b) x ( t ) = t , y ( t ) = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 parametrik gösterimi ile verilen bir γ eğrisi
z = z ( t ) = t + it 2 , 0 ≤ t ≤ 1 gösterimi ile de belirtilebilir. Bu eğri basit eğridir fakat
kapalı eğri değildir.
(c) z ( t ) = 1 + it
,
z ( t ) = e − iπ t , z ( t ) = 3e 2π it , 0 ≤ t ≤ 1 fonksiyonları birer
eğri belirtirler.
z (t ) = 1 + it eğrisi basit eğridir fakat kapalı eğri değildir.
z ( t ) = e − iπ t = cos π t − i sin π t eğrisi basit eğridir fakat 0 ≤ t ≤ 1 için kapalı
eğri değildir.
z ( t ) = 3e 2π it = 3 ( cos 2π t + i sin 2π t ) eğrisi basit kapalı bir eğridir.
Tanım 2.2.2: (a) γ 1 : [ a, b ] →
t → γ 1 ( t ) = x ( t ) + iy ( t )
ve
γ 2 : [ c, d ] →
t → γ 2 ( t ) = x∗ ( t ) + iy ∗ ( t )
şeklinde iki eğri verilsin. γ 1 + γ 2 birleşimi
⎪⎧γ 1 (t ), t ∈ [ a, b ]
γ ( t ) = ( γ 1 + γ 2 )( t ) = ⎨
⎪⎩γ 2 (t ), t ∈ [ c, d ]
biçiminde tanımlanır. γ 1 ve γ 2 uç uca eklenmiş olmayabilir. Bu durumda eğriye
parçalı eğri denir.
(b)
düzleminde
10
γ : [ a, b ] →
t → γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t )
eğrisi verilsin. Bu durumda γ ( t ) = γ ( a + b − t ) , a ≤ t ≤ b eğrisine γ’nın tersi denir ve
γ − (t ) ile gösterilir.
Şekil 2.2.1
Uyarı: Bir eğriyi belirten fonksiyon bir tek değildir. Eğer bir h fonksiyonu,
h ' ( t ) > 0, h ( c ) = a, h ( d ) = b olacak biçimde, [c, d ] aralığını [a, b] aralığı üzerine
dönüştürüyorsa γ : [ a, b ] →
ile γ = γ o h : [ c, d ] →
aynı eğriyi belirtirler. Bu
durumda γ = γ o h eğrisine γ eğrisinin yeni bir parametrik gösterimi denir. Bu
nedenle genelde, eğrinin tanım kümesi olarak [0,1] aralığı alınır. Çünkü
h ( t ) = tb + (1 − t ) a, t ∈ [ 0,1] fonksiyonu [0,1] aralığını [a, b] aralığı üzerine istenilen
biçimde dönüştürür. Böylece,
11
γ ( s ) = x ( s ) + iy ( s ) , a ≤ s ≤ b
ile
γ ( t ) = γ ( h ( t ) ) = x ( tb + (1 − t ) a ) + iy ( tb + (1 − t ) a ), 0 ≤ t ≤ 1
aynı eğriyi belirtirler. O halde γ~ (0 ) ve γ~ (1) sırasıyla eğrinin başlangıç ve bitiş
noktası olurlar.
Örnek 2.2.2: z ( t ) = t 2 + it 4 , 0 ≤ t ≤ 1 eğrisi, z ( t ) = t + it 2 ,0 ≤ t ≤ 1 eğrisinden t = u 2
parametre dönüşümü yapılarak elde edilmiştir.
Tanım 2.2.3: Eğer γ = γ (t ) eğrisi sınırlı değişimli ise γ eğrisine doğrultulabilir
(rektiflenebilir) eğri denir veya bir başka ifade ile bir çembere homeomorf olarak
dönüştürülebilen sınırlı değişimli bir eğriye rektiflenebilir eğri denir.
Örnek 2.2.3:
(a) z ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) , 0 ≤ t ≤ 4 eğrisini
0 ≤ t ≤1
1≤ t ≤ 2
2≤t≤3
3≤t ≤ 4
x(t )
t
1
3−t
0
y (t )
0
t −1
1
4−t
tablo olarak şeklinde tanımlayalım. Bu eğri bir karenin çevresini verir ve parçalı
düzgün bir eğridir.
(b) z ( t ) = sin t + i sin 2t , 0 ≤ t ≤ π eğrisi doğrultulabilir eğridir. Fakat z (0 ) = i
⎛1⎞
olmak üzere z ( t ) = t sin ⎜ ⎟ + iet , 0 ≤ t ≤ 1 eğrisi rektiflenemez bir eğridir.
⎝t ⎠
12
Not (Yönlendirme Kavramı): Noktaların ardışık olarak birbirini takip etmesiyle
oluşan kümeye eğri diyebiliriz. Bir γ ( t ) = z ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) ,0 ≤ t ≤ 1 eğrisini ele
alalım. Bu eğrinin uç noktaları z 0 = z (0 ) ve z1 = z (1) olsun.
Eğer t sıfırdan bire doğru değişirken eğri de z 0 ’dan z1 ’e doğru saatin tersi
yönünde çiziliyorsa eğriye pozitif yönde yönlendirilmiştir denir. Eğer eğri saat
yönünde çiziliyorsa eğriye negatif yönde yönlendirilmiştir denir. Negatif yön γ − ile
gösterilir.
Dolayısıyla γ
eğrisi
z = z ( t ), 0 ≤ t ≤ 1 fonksiyonu ile γ − eğrisi de
z = z ( −t ), − 1 ≤ t ≤ 0 fonksiyonu ile belirtilir.
Tanım 2.2.4: Sonlu sayıda γ j , j = 1, 2,… , n düzgün eğrileri verilmiş olsun. Eğer
bütün j = 1,2, … , n − 1 değerleri için γ j ’nin bitim noktası γ j +1 ’in başlangıç noktası
ile çakışıyorsa bu γ j eğrilerinin birleşimi olan γ eğrisine çevre (parçalı düzgün
eğri) denir.
Özel olarak γ 1 ’in başlangıç noktası γ n ’nin bitiş noktası ile çakışıyorsa kapalı
çevre denir.
Örneğin; bir dikdörtgen çevresi, üçgen çevresi parçalı düzgün kapalı
eğrilerdir.
Kendisini kesmeyen çevreye basit çevre, kendisini kesmeyen kapalı çevreye
de basit kapalı çevre denir.
Not: Çevrelerin yönlendirilmesi, eğrilerin yönlendirilmesi gibidir.
Örnek 2.2.4:
13
(a) Eğer a bir kompleks sayı ve r > 0 ise
z ( t ) = a + reit , 0 ≤ t ≤ 2π
fonksiyonu pozitif yönlü düzgün kapalı bir çevre belirtir.
(b) Eğer a ve b kompleks sayılar ise
z (t ) = a + (b − a ) t ,
0 ≤ t ≤1
fonksiyonu z 0 = a noktasını z1 = b noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Yönü de
z 0 noktasından z1 noktasına doğrudur. Bu fonksiyon düzgün bir çevredir.
Şimdi de ispatını vermeyeceğimiz ancak sonuçlarını kullanacağımız bir
teorem verelim:
Teorem 2.2.1 (Kapalı Jordan Eğrisi Teoremi): Basit kapalı bir eğri (kapalı Jordan
eğrisi) kompleks düzlemi üç kümeye ayırır, birisi kapalı Jordan eğrisinin iç
kısmındaki noktalardan oluşmuş açık küme, diğeri kapalı Jordan eğrisinin üzerindeki
noktaların (sınır noktaları) oluşturduğu kapalı küme ve bir diğeri de Jordan eğrisinin
dışındaki noktaların oluşturduğu açık kümedir.
Bu teoremin ifadesi geometrik olarak açık gibi görülse de ispatı oldukça
zordur. İspatını değişik Kompleks Analiz kitaplarında bulmak mümkündür.
Uygulamalarda çok sık karşılaşılan bu teoremden aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz.
(a) Bir iç noktayı bir dış noktaya birleştiren her Jordan eğrisi bir sınır noktası
bulundurur.
(b) İç noktaların her çifti tamamen iç noktalardan oluşan bir Jordan eğrisi ile
birleştirilebilir.
(c) Dış noktaların her çifti tamamen dış noktalardan oluşan bir Jordan eğrisi
ile birleştirilebilir.
(d) İç noktaların kümesi sınırlı, dış noktaların kümesi sınırsızdır.
14
Örnek 2.2.5: a bir kompleks sayı olmak üzere z ( t ) − a = reit , 0 ≤ t ≤ 2π bir kapalı
Jordan eğrisidir.Burada iç noktalar kümesi z ( t ) − a < r , sınır kümesi z ( t ) − a = r
ve dış noktalar kümesi ise z ( t ) − a > r özelliğindeki z noktalarının oluşturduğu
kümedir.
Tanım 2.2.5: D ⊂
bölgesinde tanımlanan sürekli f ( z ) fonksiyonunu gözönüne
alalım. Eğer bir γ ( t ), a ≤ t ≤ b eğrisi tamamen D bölgesinde bulunuyorsa bu
takdirde w(t ) = f (γ (t )) ifadesine γ ( t ) ’nin f altındaki görüntüsü denir.
Lemma 2.2.1: γ (t ) düzgün bir eğri ve f analitik ise w(t ) = f (γ (t )) düzgün eğridir
ve w′ ( t ) = f ′ ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dir.
İspat: γ (t ) ’nin f altındaki görüntüsü w(t ) = f (γ (t )) olsun. f analitik olduğundan
türevi vardır. Diğer taraftan; γ (t ) düzgün olduğundan γ ′(t ) mevcut ve γ ′(t ) ≠ 0 dir.
w , f ve γ ’nın bileşkesi olup iki türetilebilir fonksiyonun bileşkesi türetilebilir
olduğundan w türetilebilirdir ve w′ ( t ) = f ′ ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) olur.
Not: γ düzgün eğri ve f analitik olduğu sürece w(t ) eğrisi de düzgün eğridir.
Not: Kendisini kesmeyen eğrinin görüntüsü kendisini kesebilir.
2.3. Kompleks integraller
Tanım 2.3.1 (Belirsiz İntegral): f ve F bir D bölgesinde analitik olsunlar. Eğer
d
F (z ) = f ( z ) ise F (z ) ’ye f ( z ) ’nin bir belirsiz integrali denir ve
dz
15
F ( z ) = ∫ f ( z ) dz
(2.3.1)
şeklinde gösterilir.
Diğer taraftan c keyfi bir kompleks sabit olmak üzere
d
( F ( z ) + c) = F′( z ) = f ( z )
dz
olması nedeniyle f ( z ) ’nin belirsiz integrali F (z ) + c şeklindedir. Böylece
∫ f ( z ) dz = F ( z ) + c yazılabilir.
Tanım 2.3.2: h : [ a, b ] ⊂
→
t → h ( t ) = u ( t ) + iv ( t )
fonksiyonunu göz önüne alalım. Eğer
u
ve
v,
[a, b]
aralığı üzerinde
integrallenebilirse h fonksiyonunun [ a, b ] ’deki belirli integrali
b
b
b
a
a
a
∫ h ( t ) dt = ∫ u ( t ) dt + i ∫ v ( t ) dt
olarak tanımlanır.
Tanım 2.3.3: f fonksiyonu D ⊂
açık bölgesinde tanımlı ve sürekli olsun.
γ : [ a, b ] →
t → γ (t ) ∈ D
eğrisinin
γ ( [ a, b ] ) ⊂ D
olacak şekilde düzgün bir eğri olduğunu kabul edelim. Bu durumda
16
∫γ
b
f = ∫ f ( z ) dz = ∫ f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dt
γ
a
ifadesine, f fonksiyonunun γ eğrisi boyunca kompleks integrali denir.
Sonuç 2.3.1: γ , [a, b] aralığı üzerinde tanımlanmış parçalı düzgün bir eğri olsun.
Ayrıca
γ i : [ ai , ai +1 ] →
t → γ i (t )
, i = 0,1,… , n − 1
+ γ n −1 eğrisi boyunca f ( z ) ’nin kompleks
düzgün eğriler olmak üzere γ = γ 0 + γ 1 +
eğrisel integrali
n −1 ai +1
∫γ f = ∫γ f ( z ) dz = ∑ ∫ f (γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dt
i = 0 ai
i
i
olarak tanımlanır.
Not : (1) Eğer f ( z ) = u (x, y ) + iv( x, y ) ise düzgün γ eğrisi boyunca olan integral
∫γ f = ∫γ ⎡⎣u ( x, y ) dx − v ( x, y ) dy ⎤⎦ + i ∫γ ⎡⎣u ( x, y ) dy + v ( x, y ) dx ⎤⎦
şeklinde de verilebilir.
(2) γ ’nın çevre olması halinde de aynı tanım geçerlidir.
Örnek 2.3.1: (a) γ eğrisi, 1 ≤ t ≤ 2 olduğunda, x = 2t ve y = 3t olarak verilsin ve
f ( z ) = z 2 olsun. Bu durumda
2
2
322
∫γ z dz = ∫ ( 2t + 3it ) ( 2 + 3i ) dt = ( 2 + 3i ) ∫ t dt = − 3 + 21i
2
2
3
1
2
1
olarak bulunur.
(b) γ : z − z 0 = R tam çemberinin pozitif yönde yönlendirilmiş hali olsun.
Bu durumda
17
dz
∫γ z − z
0
integralini hesaplayalım.
Verilen γ eğrisi z − z0 = z − z0 eit = Reit , 0 ≤ t ≤ 2π formunda yazılabilir. Bu
durumda dz = i Re it dt olup böylece
dz
∫γ z − z0 =
2π
2π
i Reit
dt = i ∫ dt = 2π i
Reit
0
∫
0
elde edilir.
Not: Bu sonuç z 0 noktasından ve R yarıçapından bağımsızdır.
Lemma 2.3.1: f ve g , sürekli iki fonksiyon olsun. γ , γ 1 ve γ 2 ’de parçalı düzgün
eğriler olarak verilsin. Buna göre c1 ve c 2 kompleks iki sabit olmak üzere,
(a)
∫γ (c
f + c 2 g ) = c1 ∫ f + c 2 ∫ g
∫f
= −∫ f
1
(b)
γ
−
γ
∫
(c)
γ 1 +γ 2
γ
γ
f =
∫ f + γ∫ f
γ1
2
dir. Ayrıca (a) ve (c) ifadeleri
⎛ n
⎞ n
c
f
ci ∫ f i
∑
i
i
∫γ ⎜⎝ i=1 ⎟⎠ = ∑
i =1
γ
ve
∫
n
f
γ 1 +γ 2 +...+ γ n
= ∑∫ f
i =1 γ i
şeklinde genelleştirilebilir.
Not:
∫γ f
i
integrallerinin hepsi mevcutsa o zaman toplamla integral yer değiştirir.
18
İspat: (a) f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) , g ( z ) = u1 ( x, y ) + iv1 ( x, y )
c1 = c11 + ic12 , c2 = c21 + ic22 ve γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) olsun. Buna göre Tanım 2.3.3 ve
belirli integrallerin özellikleri kullanılarak bu Lemmanın doğruluğu görülebilir.
(b) Tanım 2.3.3 gereği
∫
γ−
b
f = ∫ f (γ − ( t ) )
a
dγ −
dt
dt
yazılabilir.Tanım 2.2.2’deki (b)’den
b
= ∫ f ( γ ( a + b − t ) ) ( γ ′ ( a + b − t ) ) dt
a
dir. s = a + b − t değişken değiştirmesi yaparsak
a
= ∫ f ( γ ( s ) ) ( −γ ′ ( s ) ) ( − ds )
b
b
= − ∫ f ( γ ( s ) ) γ ′ ( s ) ds = − ∫ f
γ
a
elde edilir.
(c) γ 1 : [ a, a1 ] → , γ 2 : [ a1 , b ] →
düzgün eğrilerini göz önüne alalım. Bu durumda
⎧⎪γ 1 , t ∈ [ a, a1 ]
γ = γ1 + γ 2 = ⎨
⎪⎩γ 2 , t ∈ [ a1 , b ]
olup Tanım 2.3.3’den dolayı
∫
γ γ
1+ 2
b
f =∫ f
((γ
1
′
+ γ 2 )( t ) ) ( γ 1 + γ 2 ) ( t ) dt
a
yazılır. Riemann anlamındaki integral özelliğinden γ ’nın sürekli olması nedeniyle
yukarıdaki integralin sağ tarafı
19
b
∫ f ( (γ
a1
′
1
a
+ γ 2 )( t ) ) ( γ 1 + γ 2 ) ( t ) dt = ∫ f
( (γ
1
′
+ γ 2 )( t ) ) ( γ 1 + γ 2 ) ( t ) dt +
( (γ
1
′
+ γ 2 )( t ) ) ( γ 1 + γ 2 ) ( t ) dt
a
b
+∫ f
a1
şeklinde yazılır.
∫
γ1 +γ 2
a1
f =∫
a
b
f ( γ 1 ) γ 1′ ( t ) dt + ∫ f ( γ 2 ) γ 2′ ( t ) dt = ∫ f + ∫ f
γ1
a1
γ2
elde edilir.
Lemma 2.3.2: γ : ⎡⎣ a, b ⎤⎦ →
eğrisi , γ : [ a, b ] →
eğrisinin yeni parametrik
gösterilimi olsun. Bu durumda
∫γ f = γ∫ f
~
dir.
İspat: Tanım 2.3.3 gereği
b
∫γ f = ∫ f (γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dt
a
yazılır. Kesim 2.2’deki ikinci uyarı gereği γ (t ) = γ~ (h(t )) olduğundan
dγ~ (h(t )) dh
dh dt
γ ′(t ) =
dir. h : [ a, b ] → ⎡⎣ a, b ⎤⎦ sürekli bir fonksiyon olmak üzere
∫γ
⎛ d γ ( h ( t ) ) dh ⎞
f = ∫ f γ ( h (t )) ⎜
⎟ dt
⎜
dh
dt ⎟⎠
a
⎝
b
(
)
~
t = a için s = a~ = h(a ) ve t = b için s = b = h(b ) olmak üzere s = h(t ) yeni bir
değişken olsun. O halde
⎛ d γ ( s ) ds ⎞
= ∫ f (γ ( s ) ) ⎜
⎟ dt
⎝ ds dt ⎠
a
b
20
(
= ∫ f γ ( h (t ))
γ
) ddtγ dt = ∫ f
γ
elde edilir.
Örnek 2.3.2: γ eğrisi, sıfır noktasını 1 + i noktasına birleştiren doğru parçası olsun.
Bu durumda ∫ xdz integralini bulalım.
γ
Sıfır ile 1 + i noktasını birleştiren doğru üzerinde, y = x = t bağıntısı vardır.
Buna göre, dx = dy olur. Böylece, z = x + iy = t + it ve dz = dt + idt = (1 + i ) dt olur.
Buradan;
1
1
0
0
∫ xdz = ∫ t (1 + i )dt = (1 + i ) ∫ tdt =
γ
1+ i
2
olarak bulunur.
Tanım 2.3.4: γ : [ a, b ] →
t → γ (t )
düzgün bir eğri olsun. Bu eğrinin yay uzunluğu,
b
b
a
a
L ( γ ) = ∫ γ ′ ( t ) dt = ∫ ⎡⎣ x′ ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ y′ ( t ) ⎤⎦ dt
2
2
şeklinde tanımlanır ve L(γ ) ile gösterilir.
Örnek 2.3.3: γ ( t ) = et ( sin t + i cos t ) , 0 ≤ t ≤ π 2
eğrisinin uzunluğunu hesaplayalım.
x = e t sin t
⇒
x ′ = e t sin t + e t cos t
y = e t cos t
⇒
y ′ = e t cos t − e t sin t
olduğundan
21
π 2
L(γ ) =
∫ (e
t
sin t + e t cos t
) + (e
2
t
)
2
cos t − e t sin t dt
0
π 2
=
∫
2 et dt
0
2 ( eπ 2 − 1)
=
dir.
Lemma 2.3.3: L(γ ) = L(γ~ ) ’dir. Yani eğrinin uzunluğu eğrinin gösterilim şeklinden
bağımsızdır.
İspat: h ′(t ) > 0 olsun. Kesim 2.2’deki ikinci uyarı gereği γ (t ) = γ~ (h(t )) olduğundan
γ ′(t ) =
dγ~ (h(t )) dh
dh dt
dir. h : [ a, b ] → ⎡⎣ a, b ⎤⎦ sürekli ve türetilebilir bir fonksiyon olmak üzere
b
b
a
a
L ( γ ) = ∫ γ ′ ( t ) dt = ∫
d γ ( h ( t ) ) dh
dh
dt
b
dt = ∫
a
d γ ( h ( t ) ) dh
dt
dh
dt
~
t = a için s = a~ = h(a ) ve t = b için s = b = h(b ) olmak üzere s = h(t ) yeni bir
bağımsız değişken olsun. O halde
b
L (γ ) = ∫
a
b
d γ ( s ) ds
dγ ( s )
dt = ∫
ds = L ( γ )
ds dt
ds
a
elde edilir.
Lemma 2.3.4: g : [ a, b ] → ^ eğrisi verilsin. Bu durumda
b
b
a
a
(a) Re ∫ g ( t )dt = ∫ Re ( g ( t ) )dt
(b)
b
b
a
a
∫ g ( t ) dt ≤ ∫ g ( t ) dt
22
dir.
İspat: (a) Bu Lemmanın ispatı kompleks eğrisel integrallerin tanımı ve özellikleri
kullanılarak çok basit bir şekilde elde edilebilir.
(b) Sabit r ve θ değerleri için,
b
∫ g ( t )dt = re
iθ
a
olsun.Böylece,
r =e
− iθ
b
b
a
a
∫ g ( t )dt = ∫ e
− iθ
g ( t ) dt
olur. Bu eşitlikten, her iki yanın reel kısımlarının eşitliği yazılırsa,
b
b
b
b
a
a
a
a
r = Re r = Re ∫ e− iθ g ( t ) dt = ∫ Re ⎡⎣e −iθ g ( t ) ⎤⎦ dt ≤ ∫ e− iθ g ( t ) dt = ∫ g ( t ) dt
bulunur. Tanım gereği,
b
∫ g ( t ) dt = re
iθ
=r
a
olur. Böylece,
b
b
a
a
∫ g ( t ) dt ≤ ∫ g ( t ) dt
elde edilir.
Lemma 2.3.5: D ,
’de bir bölge ve f : D →
sürekli bir fonksiyon olsun. D
bölgesinde bulunan parçalı düzgün bir γ eğrisinin üzerindeki her z noktası için
f ( z ) ≤ M olacak şekilde bir M ≥ 0 sabiti varsa bu taktirde
∫γ f
≤ M L(γ )
eşitsizliği sağlanır.
23
İspat: Bu Lemmanın ispatı
∫γ
b
f dz = ∫ f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dt olduğunun da gözönüne
a
alınmasıyla Tanım 2.3.4, Lemma 2.3.4 ve Tanım 2.3.3 kullanılarak çok basit bir
şekilde elde edilebilir
fonksiyonu verilsin ve γ eğrisi D bölgesinde
Teorem 2.3.1: Bir f : D →
bulunan, z1 noktasını z 2 noktasına birleştiren parçalı düzgün bir eğri olsun. Eğer
D ’de F ′ = f olacak şekilde bir F : D →
(a)
∫γ f
analitik fonksiyonu varsa,
= F ( z 2 ) − F ( z1 )
(b) z1 = z 2 ise
∫γ f
=0
dir.
İspat: (a) γ (a ) = z1 ve γ (b ) = z 2 olsun. Tanım 2.3.3 gereği
b
b
b
a
a
a
d
∫γ f = ∫ f (γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dt = ∫ F ′ (γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dt = ∫ dt ⎡⎣ F (γ ( t ) )⎤⎦ dt
b
= F (γ (t )) = F (γ (b )) − F (γ (a )) = F ( z 2 ) − F ( z1 )
a
elde edilir.
(b) z1 = z 2 ise F ( z 2 ) = F ( z1 ) olacağından
Lemma 2.3.6: γ , r yarıçaplı ve a ∈
n
= 0 olur.
merkezli bir çember olsun. n ∈
durumda,
∫γ ( z − a )
∫γ f
, n ≠ −1
⎧0
dz = ⎨
⎩2π i , n = −1
dir.
24
alalım. Bu
İspat: Önce n ≥ 0 olsun. Bu durumda f ( z ) = (z − a ) ,
n
’de analitik olduğundan
Teorem 2.3.1 gereği sonuç görülür.
n ≤ −2 olsun. Bu durumda f (z ) = ( z − a ) ,
n
− {a} ’da analitik olduğundan
Teorem 2.3.1 gereği sonuç görülür.
Son olarak, n = −1 olsun. Bu durumda γ ( t ) = a + reit , 0 ≤ t ≤ 2π
olup
buradan γ ′ ( t ) = ireit dt olması nedeniyle
∫ ( z − a)
γ
−1
dz = ∫
γ
dz
=
z−a
2π
∫
0
2π
ireit dt
= i ∫ dt = 2π i
reit + a − a
0
elde edilir.
2.4. Cauchy Teoremi ve Sonuçları
Kompleks analizin temelini oluşturan ve analitik fonksiyonları karakterize
eden önemli teoremlerden birisi de Cauchy İntegral Teoremi’dir. Ayrıca bu teoremin
sonuçları uygulama açısından çok önemlidir. Örneğin, hesaplanması çok zor olan
bazı integraller bu sonuçlar yardımıyla kolayca hesaplanabilir. Cauchy tipi integraller
yardımıyla analitik bir fonksiyonun sınırdaki değeri verilmesi halinde başka bir
noktadaki değerini hesaplayabiliriz.
Teorem 2.4.1 (Cauchy Teoremi): D bir bölge ve ∂D , D ’nin sınırı olsun. Eğer f
fonksiyonu, D ’nin içinde ve ∂D ’de analitik ise
∫ f ( z ) dz = 0
∂D
dir.
İspat: Bu klasik teoremin ispatı bütün kompleks analiz kitaplarında bulunabilir.
25
( ( )) olsun. Bu
Örnek 2.4.1: (a) γ eğrisi birim karenin çevresi ve f ( z ) = sin exp z 2
durumda
∫γ f
=0
olur.
Gerçekten,
f
fonksiyonu γ
eğrisi üzerinde ve içinde analitik (tam
fonksiyon) olduğundan, Teorem 2.4.1 gereği integral sıfırdır.
(b) γ : z = 1 , 0 ≤ arg z < 2π olsun. Bu durumda
z2
∫γ z − 2 dz = 0
olur.
z = 2 noktası birim çemberinin dışında olduğundan,
z2
fonksiyonu γ
z−2
eğrisinin içinde ve üzerinde analitiktir. Teorem 2.4.1 gereği integral sıfırdır.
Not (Homotopik Eğri Kavramı): Bazen f fonksiyonu bir γ eğrisinin içindeki bazı
noktalarda analitik olmayabilir. Bu durumda, integral değerinin sıfır olması
gerekmez.
Örneğin, γ : z = 1 olsun. f ( z ) =
1
fonksiyonunu göz önüne alalım. z = 0
z
noktasında f fonksiyonu analitik değildir. Böylece,
∫γ
dz
= 2π i
z
olduğunu Lemma 2.3.6’dan biliyoruz.
26
Bu tür fonksiyonların integralini alırken örneğin,
aynı olan
∫ f şeklinde
γ
∫γ f
integrali yerine sonucu
bir integrali hesaplamak gerekebilir. Burada, γ~ eğrisi γ
~
eğrisinden daha basit olabilir. Örneğin, bu basit olan eğri bir çember, bir kare, yarım
çember veya bir dikdörtgen olabilir. Bu gibi hallerde,
∫f
integralini hesaplamak
γ~
daha kolaydır. γ yerine γ~ ’yı almak için Cauchy integral teoreminden ve homotopi
kavramından yararlanacağız.
Tanım 2.4.1: D ⊂
bir alt bölge ve γ 1 : [ 0,1] → D , γ 2 : [ 0,1] → D kapalı iki eğri
olsun. Eğer aşağıdaki iki koşulu gerçekleyen sürekli bir H : [0,1]× [0,1] → D
fonksiyonu bulunabilirse γ 1 ve γ 2 eğrilerine homotopiktirler denir:
(1) Her bir s ∈ [0,1] için, t → H (t , s ) kapalı bir eğridir.
(2) H ( t , 0 ) = γ 1 ( t ) , H ( t ,1) = γ 2 ( t ) , 0 ≤ t ≤ 1 (Bakınız Şekil 2.4.1).
27
Şekil 2.4.1
− γ 2 şeklinde yazılır.
Not: γ 1 ve γ 2 iki homotopik eğri ise, bu genellikle γ 1 ~
Tanım 2.4.2: γ 2 (t ) = d (sabit), yani γ 2 belli bir nokta olsun. Bu durumda γ 1 , γ 2 ’ye
homotop ise γ 1 , D bölgesinde bir d noktasına büzülebiliyor (deforme edilebiliyor)
denir.
Tanım 2.4.3: D bölgesinin sınırı olan ∂D kapalı eğrisi D ’nin her noktasına
büzülebiliyorsa D bölgesine basit bağlantılıdır denir.
Not: Homotopi, kapalı eğriler kümesinde bir denklik bağıntısıdır.
28
Lemma 2.4.1: f bir D bölgesinde analitik ve γ 1 , γ 2 D ’de basit kapalı iki eğri
olsun. Eğer γ 1 , γ 2 ’ye D ’de homotopikse,
∫γ f ( z )dz = γ∫ f ( z )dz
1
2
dir.
İspat: Bir γ 0 doğru parçası ile γ 1 ve γ 2 eğrilerini birleştirelim.
Şekil 2.4.2
Böylece sınırı γ 1 + γ 0 − γ 2 − γ 0
olan basit bağlantılı bir bölge elde
edilir(Bakınız Şekil 2.4.2). Cauchy teoremi gereği
∫ f ( z )dz + γ∫ f ( z )dz − γ∫ f ( z )dz − γ∫ f ( z )dz = 0
γ1
0
2
0
ve böylece de
∫ f ( z )dz = γ∫ f ( z )dz
γ1
2
bulunur.
29
Sonuç 2.4.1: f , bir D bölgesinde analitik ve γ 1 kapalı eğrisi D içinde bir noktaya
homotopik olsun. Bu durumda,
∫γ f ( z )dz = 0
1
dir.
Lemma 2.4.2: Eğer f , basit bağlantılı bir bölge üzerinde analitik ise her z1 , z 2 ∈ D
sabit noktaları için
z2
∫ f ( z )dz
z1
integrali, z1 ’i z 2 ’ye bu bölge içinde birleştirilen yoldan bağımsızdır.
Tanım 2.4.4 (İndeks): γ ,
’de kapalı düzgün bir eğri ve z0 ∈ , γ üzerinde
bulunmayan sabit bir nokta olsun. Bu takdirde
I ( γ , z0 ) =
1
dz
2π i ∫γ z − z
0
integral değerineγ’nın z0 noktasına göre indeksi denir.
Not: Bu indeks γ ’nın z 0 çevresindeki dönme sayısıdır (Bakınız Şekil 2.4.3)
Şekil 2.4.3
30
Kapalı Jordan Eğrisi Teoremini kullanarak, basit kapalı γ eğrisi için, z 0
noktası etrafında dönme sayısı
⎧±1
I ( γ , z0 ) = ⎨
⎩0
;
z0 , γ ' nın içinde
;
z0 , γ ' nın dışında
şeklinde verilebilir.
Teorem 2.4.2: γ : [ a, b ] →
kapalı bir eğri ve z0 ∈
sabit bir nokta ve z 0 ∉ γ
olsun. Bu durumda I (γ , z 0 ) bir tamsayıdır.
t
İspat: g ( t ) = ∫
a
γ ′( s)
γ ( s ) − z0
ds
fonksiyonunu tanımlayalım.Bu durumda, integrantı sürekli olan noktalarda
g ′(t ) =
γ ′(t )
γ (t ) − z 0
yazılır. Böylece, g ′(t ) fonksiyonunun varolduğu noktalarda
[
]
d − g (t )
(γ (t ) − z 0 ) = 0
e
dt
olur. O halde e − g (t ) (γ (t ) − z 0 ) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında sürekli olduğundan
bu fonksiyon aynı aralıkta sabit olmalıdır. Bu sabit değer de, t 0 = a için
e − g (a ) (γ (a ) − z 0 ) ifadesi aynı sabite eşittir. Böylece,
e − g (a ) (γ (a ) − z 0 ) = e − g (b ) (γ (b ) − z 0 )
olur. γ , kapalı bir eğri olduğundan γ (a ) = γ (b ) yazılabilir. Böylece,
e − g ( a ) = e − g (b )
elde edilir. Diğer yandan,
t
g (t ) = ∫
a
γ ′( s)
γ ( s ) − z0
ds
31
integralinden g (a ) = 0 yazılabilir. Böylece, e − g (b ) = 1 olur. Bu ise ancak n tamsayısı
için g ( b ) = 2nπ i olmasıyla mümkündür. Buradan,
b
γ ′( s)
1
1
1
dz
2nπ i = n
I ( γ , z0 ) =
=
ds =
g (b) =
∫
∫
2π i γ z − z0 2π i a γ ( s ) − z0
2π i
2π i
1
elde edilir.
2.5. Cauchy İntegral ve Türev Formülleri
Cauchy integral formülü, bazı kompleks integralleri hesaplamamızda
kolaylıklar sağlar. Ayrıca, analitik bir fonksiyonun sonsuz kere türevlenebileceğini
bu formülden elde edebiliriz.
Teorem 2.5.1 (Cauchy İntegral Formülü): γ , D bölgesinin içinde basit kapalı bir
eğri olsun. Eğer z , γ eğrisi içinde bir nokta ve f ( z ) , D ’de analitik ise
f ( z) =
f (ζ )
dζ
2π i ∫γ ζ − z
1
dir.
İspat: Klasikleşmiş bu teoremin ispatı bütün Kompleks Analiz kitaplarında
bulunabilir.
Teorem 2.5.2 (Cauchy Türev Formülü): w = f ( z ) fonksiyonu basit kapalı bir γ
eğrisinin içinde ve üzerinde analitik olsun. Eğer z , γ ’nın içinde bir nokta ise
f(
n)
( z) =
f (ζ )
n!
d ζ , n = 0,1, 2,...
2π i ∫γ (ζ − z )n +1
dir.
İspat: Bu teoremin ispatı n üzerinden tümevarımla kolayca yapılabilir.
32
Not: Cauchy Türev Formülü’ne dikkat edersek, f ( z ) ’nin her basamaktan türevinin
de analitik bir fonksiyon olduğunu söyleyebiliriz.
Sonuç 2.5.1: Eğer w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) fonksiyonu bir noktada analitik ise bu
noktada u , v her basamaktan sürekli türevlere sahiptir.
Teorem 2.5.3 (Cauchy Eşitsizliği): w = f ( z ) fonksiyonu bir z − a < r diskinin
içinde ve sınırında analitik olsun. f ( z ) ’nin bu diskin sınırındaki maksimum değeri
M ise,
f(
n)
(a)
≤
n!M
rn
dir.
İspat: Bu diskin sınırı γ olsun.O halde
f(
n)
(a) =
f ( z)
n!
dz
∫
2π i γ ( z − a )n +1
yazılabilir. Her iki tarafın mutlak değeri alınırsa,
f(
n)
(a)
=
f ( z)
n!
n!
dz ≤
n +1
∫
2π i γ ( z − a )
2π
f ( z)
∫γ ( z − a )
yazılır. γ eğrisi üzerindeki z değerleri için,
n +1
dz
f ( z ) ≤ M ve ayrıca z − a = r
olduğundan
f(
n)
(a) ≤
n!M
n!M
n!M
2π r = n
dz =
n +1 ∫
n +1
2π r γ
2π r
r
olduğu görülür.
Teorem 2.5.4 (Cebirin Temel Teoremi): Sabit olmayan bir
33
P ( z ) = an z n + an −1 z n −1 +
+ a1 z + a0 , an ≠ 0
polinomunun en az bir sıfır yeri vardır.
İspat: P( z ) sonlu düzlemde analitik, yani tam fonksiyondur.
P ( z ) → ∞ dir. Bu nedenle
bölgede
1
P( z)
sınırlı
,
olduğu
1
P( z)
görülür.
z = r çemberinin dışındaki
nin belli bir
Eğer
z
her
z → ∞ için
için
P(z ) ≠ 0
olursa,
z ≤ r ’nin içinde de sınırlı olur. O halde Liouville Teoremi gereği
1
P(z )
sabittir, yani P( z ) sabittir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişkiye her z için P( z ) ≠ 0
varsayımı ile varılır. O halde P( z 0 ) = 0 olacak şekilde bir z 0 vardır.
Teorem 2.5.5 (
İspat:
∞
’da Liouville Teoremi): f ,
∞
’da analitik ise sabittir.
f (1 z ) , z = 0 ’da analitik olduğundan
z ≥ 1 r ’de f ( z ) ≤ M 1 ’dir. Eğer M 2 ,
z∈
∞
değerleri için
f (1 z ) ≤ M 1 , yani
z ≤ r ’de
f ( z ) ’nin z ≤ 1 r deki maksimumu ise tüm
f ( z ) ≤ M = max {M 1 , M 2 } , yani
f
sınırlıdır. O halde
Liouville Teoremi gereği f sabittir.
2.6. Analitik Fonksiyonların Serisel Gösterilimleri
Analitik bir fonksiyonun başka bir tanımı daha vardır. O da f fonksiyonunun
analitik olması için gerek ve yeter koşulun, herhangi bir noktanın komşuluğunda
yakınsak bir kuvvet serisine açılabilmesidir. Bu seriye, f fonksiyonunun Taylor
serisi adı verilir. Aynı zamanda, delinmiş bir komşulukta analitik olan bir
34
fonksiyonun serilerle gösterilimlerine de Laurent serisi adı verilecektir. Bu bilgiler
daha sonra göreceğimiz rezidüler ve uygulamalarına bir başlangıç olacaktır.
Tanım 2.6.1: ( z k )1 kompleks terimli bir dizi olsun. Genel terimi
∞
n
S n = ∑ z k = z1 + z 2 +
k =1
+ zn
şeklinde tanımlanan (S n ) dizisini göz önüne alalım. (( z k ), (S n )) ikilisine seri adı
verilir. Burada z k terimine, serinin genel terimi, (S n ) dizisine de serinin kısmi
toplamlar dizisi denir.
Tanım 2.6.2: ( z k )1 kompleks terimli bir dizi olsun.
∞
∞
∑z
k =1
k
sonsuz serisini göz önüne alalım. Eğer
n
Sn = ∑ zk
k =1
kısmi toplamlar disizi bir s sayısına yakınsak ise,
∞
∑z
k =1
k
serisi de s sayısına yakınsaktır denir ve
∞
∑z
k =1
k
=s
şeklinde yazılır.
∞
Tanım 2.6.3:
∑ z k kompleks serisi verilsin. Eğer
k =1
serisine mutlak yakınsaktır denir.
35
∞
∑
k =1
∞
z k serisi yakınsak ise
∑z
k =1
k
Tanım 2.6.4: z ∈
olmak üzere
∞
∑z
k
şeklindeki bir seriye kompleks geometrik
k =0
seri denir.
Eğer z < 1 ise
∞
∑z
k
yakınsak ve yakınsadığı değerde
k =0
1 ’dir. z ≥ 1 için
1− z
seri ıraksaktır.
∞
Lemma 2.6.1:
∑ z k serisi mutlak yakınsak ise
k =1
∞
∑z
k =1
k
serisi yakınsaktır. Tersi genel
olarak doğru değildir.
∞
İspat:
∑z
k =1
∞
∑z
k =1
k
∞
serisi mutlak yakınsak olsun. Bu durumda
k
∑z
k =1
k
serisi yakınsaktır.
serisi yakınsak olduğundan seriler için Cauchy kriterine göre, her ε > 0 için
n ≥ n0 olduğunda her p > 0 tamsayısı için
n+ p
∑z
k = n +1
k
<ε
yazılır. Her n ≥ n0 ve her p > 0 için üçgen eşitsizliğinden,
n+ p
n+ p
k = n +1
k = n +1
∑ zk ≤
∑z
k
<ε
∞
elde edilir. Böylece Cauchy kriterinden dolayı,
∑z
k =1
k
serisi yakınsaktır.
Tersinin genel olarak doğru olmadığını bir örnekle gösterelim.
yakınsaktır. Fakat mutlak yakınsak değildir. Çünkü
serisi ıraksaktır.
36
ik
1
=
k
k
∞
ve
1
∑k
k =1
∞
ik
serisi
∑
k =1 k
harmonik
Tanım 2.6.5: f k : D →
z → fk ( z )
olmak üzere ( f k ( z ))1 , D ’de tanımlanmış bir kompleks fonksiyonlar dizisi verilsin.
∞
Her ε > 0 için n ≥ n0 (ε ) olduğunda f k ( z ) − f ( z ) < ε olacak şekilde n0 ( ε ) ∈
sayısı bulunabiliyorsa verilen dizi D bölgesinde
f
fonksiyonuna düzgün
yakınsaktır denir.
Tanım 2.6.6 : z ∈ D ⊂
∞
olmak üzere
∑ f (z ) fonksiyon serisi verilsin. Her ε > 0
k =1
k
için n ≥ n0 (ε ) olduğunda her p > 0 pozitif tamsayısı için
şekilde n0 ( ε ) ∈
n+ p
∑ f ( z)
k = n +1
k
< ε olacak
sayısı bulunabiliyorsa verilen seriye D bölgesinde düzgün
yakınsaktır denir.
( f k )1
∞
Not:
bir D bölgesinde tanımlı ve kompleks değerli fonksiyonların bir dizisi
olsun.
S n = f1 + f 2 +
n
+ fn = ∑ fk
k =1
biçiminde tanımlanan ( Sn )1 dizisine
∞
( Sn )1
∞
∞
∑f
k =1
k
serisinin kısmi toplamlar dizisi denir.
∞
kısmi toplamlar dizisi düzgün yakınsak ise
∑f
k =1
k
serisine düzgün yakınsaktır
denir.
Teorem 2.6.1 (Weierstrass M-Kriteri): D ⊂
olmak üzere
( f k (z ))1∞ ,
D ’de
tanımlanmış bir kompleks fonksiyonlar dizisi ve (M k )1 pozitif terimli reel dizisi
∞
37
verilsin. Eğer her z ∈ D için f k ( z ) ≤ M k , ( k ∈
)
olacak şekilde
∞
∑M
k =1
k
serisi
∞
∑ f (z ) serisi D ’de mutlak ve düzgün yakınsaktır.
yakınsak ise
k
k =1
∞
İspat:
∑M
k =1
k
reel terimli serisi yakınsak olduğundan her ε > 0 için n ≥ n0 (ε )
olduğunda her p ∈
n+ p
∑M
k = n +1
k
olmak üzere
<ε
yazılabilir. O halde her n ≥ n0 (ε ) ve her p ∈
n+ p
∑
k = n +1
fk ( z ) ≤
n+ p
∑
k = n +1
fk ( z ) ≤
n+ p
∑M
k = n +1
k
için
<ε
∞
elde edilir. Tanım 2.6.6 gereği
∑ f (z ) serisi D ’de mutlak ve düzgün yakınsaktır.
k =1
Örnek 2.6.1:
∞
∑k
k =1
zk
k +1
k
serisinin z ≤ 1 bölgesinde düzgün yakınsak olduğunu
gösterelim.
f k (z ) =
zk
k k +1
diyelim. z ≤ 1 olduğundan,
k
z
zk
1
fk ( z ) =
=
≤
k k +1 k k +1 k k +1
yazılabilir. Ayrıca
k < k + 1 ’dir. Bu eşitsizlik ters çevrilirse
Buradan da eşitsizliğin her iki tarafı
1
k +1
<
1
k
olur.
1
1
1
< 3 2 elde edilir.
ile çarpılırsa
k
k k +1 k
38
Böylece M k =
1
k
olup
32
Kriterinden dolayı
∞
∑k
k =1
∞
∑k
k =1
zk
k +1
1
32
serisi yakınsak olduğundan Weierstrass M-
serisi z ≤ 1 ’de düzgün yakınsaktır.
2.7. Kuvvet Serileri
Kuvvet serileri kompleks terimli serilerin bir özel halidir.
Tanım 2.7.1: z0 , an ∈
∞
∑ a (z − z )
n =0
n
kompleks sabitler olmak üzere,
n
0
biçimindeki serilere kuvvet serisi denir.
∞
Tanım 2.7.2: Bir
∑ a (z − z )
n =0
n
n
S n = ∑ a k ( z1 − z 0 )
0
n
kuvvet serisi verilsin. Eğer
k
k =0
kısmi toplamlar dizisi yakınsak ise verilen seri z1 noktasında yakınsaktır denir.
Not: z − z 0 = w denirse bütün kuvvet serileri
∞
∑a w
n =0
n
n
formunda daima yazılabilir.
Tanım 2.7.3: f : D →
z → f ( z)
bir fonksiyon olsun. Her ε > 0 için n ≥ n0 olduğunda her z ∈ D için
∞
∑a z
n =0
n
n
− f ( z) < ε
39
olacak şekilde n0 ∈
sayısı bulunabiliyorsa
∞
∑a
n =0
n
z n serisi D’de f ( z ) ’ye düzgün
yakınsaktır denir.
∞
Lemma 2.7.1 (Kök Kriteri): Pozitif terimli
∑a
k =1
olsun. Eğer R < 1 ise
serisi için R = lim sup(a k )
1k
k
∞
∑ ak serisi yakınsaktır. Eğer R > 1 ise
k =1
k →∞
∞
∑a
k =1
k
serisi ıraksaktır.
Eğer R = 1 ise kök kriteri sonuç vermez.
İspat: Bu Lemma’nın ispatı Temel Kompleks Analiz kitaplarında bulunabilir.
Aşağıdaki
teoremlerin
ispatı
Temel
Kompleks
Analiz
kitaplarında
bulunabilir.
∞
Teorem 2.7.1: Eğer
∑ a (z − z )
n =0
n
0
n
serisi z − z 0 = R ’deki z noktalarında yakınsak
ise seri
D ( z0 , R ) = { z ∈ : z − z0 < R}
bölgesinde mutlak yakınsak, D( z 0 , R ) ’nin her kapalı alt diski üzerinde düzgün
yakınsak ve bu nedenle de D( z 0 , R ) ’nin her bir kompakt alt kümesi üzerinde düzgün
yakınsaktır.
∞
Teorem 2.7.2:
∑a
n =0
γ = lim an
n →∞
n
1n
z n kuvvet serisi verilsin ve
,
R =1 γ
40
olsun. Bu durumda z < R ’deki her bir z için seri mutlak yakınsaktır. z > R için
seri ıraksaktır. Ayrıca 0 < r < R ise o zaman z ≤ r ’deki tüm z ’ler için seri mutlak
ve düzgün yakınsaktır.
Not (Limit Supremum): (α n )1 reel sayıların bir dizisi olsun. N , yakınsak alt
∞
dizilerin tüm limitlerinin kümesini göstersin. O zaman α n ’nin limit supremumu,
sup Ν şeklinde tanımlanır ve
lim α n
n →∞
şeklinde gösterilir. Bu durumda α n üstten sınırlı değildir. Dolayısıyla
lim α n = +∞
n →∞
dir.
Teorem 2.7.3 (Taylor Teoremi): f ( z ) fonksiyonu z 0 merkezli r0 yarıçaplı bir γ 0
çemberi üzerinde analitik ise bu durumda
∞
f (z ) = ∑
n =0
f (n ) (z 0 )
( z − z 0 )n
n!
dir.
Sonuç 2.7.1:
(a) Her analitik fonksiyon yakınsak bir kuvvet serisi ile tanımlanabilir.
(b) Her yakınsak kuvvet serisi bir analitik fonksiyon tanımlar.
(c) Farklı kuvvet serileri farklı analitik fonksiyonlar tanımlar.
41
2.8. Singülerliklerin Sınıflandırılması
Laurent açılımı, singülerliğe sahip fonksiyonların serisel gösteriliminde
ortaya çıkar. Bu da bizi, kompleks analizin temel sonuçlarından biri olan Cauchy
Rezidü Teoremine götürür.
Tanım 2.8.1: Bir f ( z ) kompleks fonksiyonu, bir z 0 noktası hariç, z 0 ’ın en az bir
komşuluğunda analitik ise z 0 ’a f ( z ) ’nin ayrık aykırı noktası denir.
Eğer f ( z ) kompleks fonksiyonu bir
D = { z ∈ : z > r}
⎛1⎞
bölgesi üzerinde analitik, fakat g ( z ) = f ⎜ ⎟ , z = 0 ’da ayrık aykırılığa sahip ise
⎝z⎠
f ’nin z = ∞ ’da bir ayrık aykırılığı vardır denir.
Diğer taraftan f ( z ) , z 0 hariç z 0 ’ın en az bir komşuluğundaki her nokta
sıfırdan farklı ve z 0 ’da sıfır oluyorsa (yani f ( z0 ) = 0 ise) z 0 ’a f ( z ) ’nin ayrık bir
sıfır yeridir denir.
O halde fonksiyonların ayrık olmayan sıfır yerleri de vardır. Örneğin, sürekli
reel değerli bir f fonksiyonu
⎧
⎛1⎞
⎪ x sin ⎜ ⎟
f (x ) = ⎨
⎝x⎠
⎪0
⎩
,
x≠0
,
x=0
şeklinde tanımlansın. Bu fonksiyon x = 0 ’da ayrık olmayan bir sıfır yerine sahiptir.
Örnek 2.8.1: f ( z ) =
1
fonksiyonunun z = ∓ 2 i noktalarında ayrık aykırılıkları
z +4
2
vardır. f ( z ) = z 3 + 3 fonksiyonunun da z = ∞ ’da bir ayrık aykırılığı vardır.
42
Uyarı: Analitik fonksiyonların, ayrık olmayan aykırı noktaları da vardır. Örneğin
f (z ) =
1
fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon n ∈
sin (π z )
olmak üzere zn =
1
n
değerleri için ayrık aykırılığa sahiptir. Özel olarak z = 0 noktası göz önüne alınırsa
bu nokta ayrık olmayan bir aykırı noktadır. Çünkü n tamsayısını istediğimiz kadar
büyük seçerek z = 0 ’ın her komşuluğunda bir başka ayrık aykırı nokta olduğunu
görebiliriz.
Teorem 2.8.1 (Laurent Teoremi): Bir f fonksiyonunun
D = { z ∈ : R1 < z − z0 < R2 }
halkasında tek değerli ve analitik olduğunu kabul edelim. Bu durumda her z ∈ D
için f ( z ) , z − z0 ’ın pozitif ve negatif kuvvetlerine göre D ’de yakınsak bir seriye
açılabilir. Yani,
∞
f (z ) =
∑ a (z − z )
n = −∞
n
n
0
dir. Burada γ , D ’de bulunan ve
z0
noktasını çevreleyen pozitif yönde
yönlendirilmiş basit kapalı bir eğri olmak üzere,
an =
1
f (ζ )
2 π i ∫γ (ζ − z )
n +1
dζ
,
n = 0, ±1, ±2,…
0
dir.
İspat: Bu teoremin ispatı bütün kompleks analiz kitaplarında bulunabilir.
Not: Bir holomorf fonksiyonunun Laurent serisi bir tektir.
Örnek 2.8.2: Eğer D = {z : z > 1} bölgesi ise bu bölgede
43
f (z ) =
1
z ( z − 1)
fonksiyonunun Laurent açılımı,
f (z ) =
⎤ 1 ⎛ 1 1
1
1⎡
1
= ⎢
⎜1 + + 2 +
⎥=
z (z − 1) z ⎣ z (1 − 1 z ) ⎦ z 2 ⎝
z z
⎞ 1
⎟= 2
⎠ z
∞
1
∑z
n =0
n
biçimindedir. Diğer yandan,
D = {z : 0 < z < 1}
olsun. Bu halde, aynı
f (z ) =
1
z ( z − 1)
fonksiyonunun bu D bölgesindeki Laurent açılımı
f (z ) =
(
1
1⎛ 1 ⎞
1
2
=− ⎜
⎟ = − 1+ z + z +
z (z − 1)
z ⎝1− z ⎠
z
) = − 1z ∑ z
∞
n
n =0
olur.
Tanım 2.8.2: z0 , f ( z ) ’nin ayrık aykırı noktası ve z 0 noktası komşuluğundaki
Laurent açılımı
∞
∞
f (z ) = ∑ a n (z − z 0 ) + ∑
n =0
n
n =1
a−n
( z − z 0 )n
olsun. Eğer Laurent serisindeki tüm a−n katsayıları sıfır ise bu durumda z 0 noktasına
f ( z ) fonksiyonunun kaldırılabilir ayrık aykırı noktası denir.
Teorem 2.8.2 (Riemann Teoremi): Bir f ( z ) kompleks fonksiyonu, bir z 0 noktası
hariç z 0 ’ın en az bir komşuluğunda tek değerli ve analitik olsun. Eğer f ( z ) , z 0 ’ın en
az bir komşuluğunda sınırlı ise bu durumda z 0 noktası kaldırılabilir ayrık aykırı
noktadır.
44
İspat: z noktası , merkezi z 0 ’da olan γ 1 , γ 2 çemberlerinin belirttiği D bölgesinde
bir nokta olsun. O halde
f (ζ )
1
f (z) =
f (ζ )
1
dζ −
dζ
2 π i γ∫ ζ − z
2 π i γ∫ ζ − z
1
2
şeklinde yazılır. z noktasının γ 2 ’ye olan uzaklığını d ile gösterelim. f ( z ) ≤ M
olduğuna göre
lim
R2 → 0
f (ζ )
1
1 M
2 π R2 = 0
R2 → 0 2 π d
dζ
2 π i γ∫ ζ − z
≤ lim
2
dır. Böylece bütün z ≠ z 0 ’lar için
f (ζ )
1
f (z) =
dζ
2 π i γ∫ ζ − z
1
olur. γ 1 ’in içindeki bütün z ’ler için
f1 ( z ) =
f (ζ )
1
2 π i γ∫ ζ − z
dζ
1
yazarsak, f1 ( z ) , γ 1 ’in içinde analitiktir ve z 0 noktası hariç, γ 1 ’in içindeki diğer
tüm noktalarda f ( z ) = f1 ( z ) ’dir. Bu ise teoremi ispatlar.
Uyarı: Eğer f ( z ) fonksiyonu, z 0 ’da kaldırılabilir bir ayrık aykırı noktaya sahipse
tanım gereği
∞
f (z ) = ∑ a n (z − z 0 )
n
n =0
dir. Burada f ( z 0 ) = a 0 yazılırsa
f ( z ) , z 0 ’da analitik olur. Başka bir ifade ile
“ f ( z ) ’nin , z 0 ’da kaldırılabilir bir ayrık aykırı noktaya sahip olması için gerek ve
yeter koşul eğer f ( z0 ) = lim f ( z ) olarak tanımlanırsa f ( z ) , z0 ’da analitik olur”
z → z0
demektir.
45
Örnek 2.8.3: f ( z ) =
sin z
, z0 = 0 ’da analitik değildir. Ancak z ≠ 0 özelliğindeki
z
tüm z ’ler için f ( z ) analitiktir. O halde z0 = 0 , f ( z ) için bir ayrık aykırı noktadır.
z 0 = 0 ’ın en az bir komşuluğunda bu fonksiyonun Laurent açılımı
∞
∞
f (z ) = ∑ a n (z − z 0 ) + ∑ a −n (z − z 0 )
n
n =0
−n
n =1
dir. Bu durumda
f (z ) =
sin z 1 ⎛
z3 z5
= ⎜⎜ z −
+
−
3! 5!
z
z⎝
⎞ ⎛
z2 z4
⎟⎟ = ⎜⎜1 −
+
−
3! 5!
⎠ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
sin z
= 1 = f (0)
z →0
z
olur. Dolayısıyla z 0 = 0 kaldırılabilir bir ayrık aykırı noktadır. lim
olarak alınırsa f ( z ) , z0 = 0 ’da analitik olur.
Tanım 2.8.3: z0 , f ( z ) ’nin ayrık aykırı noktası olsun. Eğer Laurent açılımında
negatif kuvvetlerin sayısı yalnız sonlu sayıda terim içeriyorsa yani,
∞
k
f ( z ) = ∑ an ( z − z0 ) + ∑ a− n ( z − z0 )
n=0
n
−n
n =1
,
a− k ≠ 0
veya
f ( z) =
a−1
a−2
+
+
z − z0 ( z − z0 ) 2
+
a− k
( z − z0 )
k
+ a0 + a1 ( z − z0 ) +
ise bu durumda z = z 0 noktasına f ( z ) fonksiyonunun k. mertebeden kutup noktası
veya kutup yeri denir. Özel olara k = 1 ise z 0 noktasına f ( z ) fonksiyonunun basit
kutup noktasıdır denir.
Teorem 2.8.3: Eğer z = z 0 noktası f ( z ) fonksiyonunun kutup noktası ise z → z 0
için f ( z ) → ∞ ’dir.
46
İspat:
k
∑ a− n ( z − z0 )
−n
n =1
dır. Şimdi
−k
≥ z − z0
−k
k
∑a (z − z )
n =1
−n
k −n
0
k −1
a− k − ∑ a− n z − z0
k −n
n =1
z → z 0 için ikinci çarpan a − k ’ya yakınsaktır. O halde
k
∑ a (z − z )
n =1
= z − z0
−n
−n
→∞
0
olur. Bu ise teoremi ispatlar.
Örnek 2.8.4: f (z ) =
e2z
(z − 1)3
fonksiyonunu ele alalım. z 0 = 1 noktası ayrık aykırı
noktadır. f ( z ) fonksiyonunun Laurent açılımındaki negatif kuvvetlerine bakalım. e z
fonksiyonunun Taylor açılımı
∞
ez = ∑
n =0
zn
n!
şeklindedir. z −1 = u olsun. Bu durumda
f ( z ) = f (1 + u ) =
e 2u + 2 e 2
= 3
u3
u
∞
(2u )n
n =0
n!
∑
2 n u n −3
2 2
⎡1
= e2 ⎢ 3 + 2 + +
n!
u
u
⎣u
n =0
∞
= e2 ∑
⎡ 1
2
2
4 2
= e2 ⎢
+
+
+ + ( z − 1) +
3
2
(z − 1) z − 1 3 3
⎣ ( z − 1)
⎤
⎥⎦
⎤
⎥
⎦
olur. Dolayısıyla z 0 = 1 , 3. mertebeden kutup noktasıdır.
Tanım 2.8.4: z0 , f ( z ) ’nin ayrık aykırı noktası olsun. Eğer Laurent açılımında
negatif kuvvetlerin sayısı sonsuz çoklukta ise yani,
∞
∞
f (z ) = ∑ a n (z − z 0 ) + ∑ a −n (z − z 0 )
n =0
n
n =1
47
−n
yazılışında a − n katsayılarından sonsuz çokluktakiler sıfırdan farklıysa bu durumda
z = z 0 noktasına f ( z ) fonksiyonunun esas ayrık aykırı noktası denir.
Teorem 2.8.4 (Casorati –Weierstrass Teoremi): f ( z ), z0 ’da esas ayrık aykırı
noktaya sahip olsun. Bu durumda w0 , keyfi bir kompleks sabit olmak üzere z 0 ’ın
her komşuluğunda f ( z ) − w0 ifadesi yeterince küçük kılacak şekilde z noktaları
vardır.
İspat:Teoremin
iddiasının
aksini
kabul
edelim.
Bu
durumda
z 0 ’ın
her
komşuluğundaki z ’ler için
f (z ) − w0 ≥ ε 0
olacak şekilde w0 ve ε 0 sayıları vardır. Bu
g1 ( z ) ≤
1
ε0
anlamına gelir. Burada
g1 (z ) =
1
f ( z ) − w0
dir. Kaldırılabilir ayrık aykırı noktalar hakkındaki Riemann Teoremi gözönüne
alındığında z 0 ’daki g1 ’in ayrık aykırılığı kaldırılabilirdir. Bu durumda
g1 (z ) = (z − z 0 ) g 2 (z )
k
yazılabilir. Burada g 2 holomorftur ve z 0 ’ın bir komşuluğunda sıfırdan farklıdır. Bu
nedenle z 0 ’ın bir komşuluğunda
g3 =
1
g2
holomorftur. Burada
48
1
≠0
g 2 (z 0 )
g 3 (z 0 ) =
dır. Sonuç olarak
f ( z ) = w0 +
1
g1 (z )
= w0 +
g 3 (z )
( z − z 0 )k
bağıntısı elde edilir. Buradan da görülüyor f ’in Laurent serisi, negatif üslü sonlu
çoklukta terime sahiptir. Bu da z 0 ’ın esas ayrık aykırı nokta olması hipoteziyle
çelişir.
Şimdi ispatı, ileri düzeydeki Kompleks Analiz kitaplarında bulunabilecek
önemli bir teoremin ifadesini verelim:
Teorem 2.8.5 (Picard Teoremi): z0 , f fonksiyonunun esas ayrık aykırı noktası ve
D( z0 ,r ) , z0 noktasının yeterince küçük delinmiş bir komşuluğu olsun. Bu durumda bir
değerleri için f ( z ) = w denkleminin D( z0 ,r ) komşuluğunda
değer hariç tüm w ∈
sonsuz tane çözümü vardır.
Örnek 2.8.5: f ( z ) = sin
1
fonksiyonunu ele alalım. z 0 = 0 noktası ayrık aykırı
z
noktadır. sin z fonksiyonunun Taylor açılımı
∞
sin z = ∑
n =0
( −1)
n
( 2n + 1)!
z 2 n +1
şeklindedir. Bu durumda
∞
( −1)
n
⎛1⎞
f ( z) = ∑
⎜ ⎟
n = 0 ( 2n + 1)! ⎝ z ⎠
2 n +1
=
1
1
1
−
+
−
3
z 3! z 5! z 5
49
1⎛
1
1
= ⎜1 −
+
−
2
z ⎝ 3! z 5! z 4
⎞
⎟
⎠
olur. Dolayısıyla negatif kuvvetler sonsuz tane olduğundan z 0 = 0 , esas ayrık aykırı
noktadır.
Tanım 2.8.5: Laurent açılımındaki a−1 katsayısına
f ( z ) fonksiyonunun z0
noktasındaki rezidüsü denir.
Tanım 2.8.6: Bir f fonksiyonunun bir D bölgesindeki aykırılıkları sadece kutup
noktaları ise f fonksiyonuna D ’de bir meromorf fonksiyondur denir.
Teorem 2.8.6: f ( z ) , D bölgesinde z 0 noktası hariç, analitik bir fonksiyon ve
z 0 ∈ D noktası da bu fonksiyonun ayrık aykırı noktası olsun.
(1) z 0 noktasının kaldırılabilir ayrık aykırı nokta olması için gerek ve yeter koşul,
aşağıdaki üç koşuldan herhangi birisinin gerçeklenmesidir:
(a) f ( z ) fonksiyonu z 0 noktasının delinmiş komşuluğunda sınırlıdır.
(b) lim f ( z ) limiti vardır.
z → z0
(c) lim (z − z 0 ) f ( z ) = 0 dır.
z → z0
(2) z 0 noktasının f ( z ) fonksiyonunun basit kutup noktası olması için gerek ve yeter
koşul,
lim (z − z 0 ) f ( z )
z → z0
limiti var, bu limit sıfırdan farklı ve bu limitin f ( z ) fonksiyonunun z 0 noktasındaki
rezidüsü olan a −1 değerine eşit olmasıdır. Yani,
lim ( z − z 0 ) f ( z ) = a −1
z → z0
dir.
50
(3) z0 , f ( z ) fonksiyonunun kutup noktası ( z 0 , kaldırılabilir ayrık aykırı bir nokta
da olabilir) olsun. Kutup noktasının mertebesi de en fazla k kadar olması için gerek
ve yeter koşul, aşağıdaki üç koşuldan herhangi birisinin gerçeklenmesidir.
(a) f ( z ) fonksiyonu z 0 noktasının delinmiş komşuluğunda
f ( z) ≤
M
k
z − z0
olacak biçimde bir M > 0 sabiti ve k ≥ 1 tamsayısı vardır.
(b) lim ( z − z 0 )
k +1
z → z0
f ( z ) = 0 dır.
(c) lim ( z − z 0 ) f ( z ) limiti vardır.
k
z → z0
(4) f ( z ) fonksiyonunun z 0 noktasındaki kutup noktasının mertebesinin k ≥ 1 olması
için gerek ve yeter koşul, z ∈ D( z0 ,r ) ve z ≠ z 0 için
D( z0 ,r ) − {z 0 } ⊂ D
,
G (z 0 ) ≠ 0
ve
f (z ) =
G(z )
( z − z 0 )k
olacak biçimde, z 0 noktasının bir D( z0 ,r ) komşuluğunda tanımlı analitik bir G ( z )
fonksiyonunun olmasıdır.
İspat: Bu teoremin bazı kısımlarının ispatı aşikar olmakla birlikte teoremin
tamamının ispatı [1] nolu kaynakta vardır.
Lemma 2.8.1: f ( z ) analitik fonksiyon olsun. z0 , f ( z ) ’nin bir sıfır yeri olmak
üzere f ( z ) sabit değilse z 0 ayrık sıfır yeridir.
51
İspat: f ( z ) ’nin z 0 noktası komşuluğundaki kuvvet serisi gösterilimi
+∞
∑ a (ζ − z )
n =0
n
n
(2.8.1)
0
olsun. f , özel olarak sıfır olmamak koşuluyla en azından bir katsayı sıfırdan farklı
olmalıdır. a k sıfırdan farklı ilk katsayı olsun. Bu takdirde z 0 ’ın bir komşuluğunda f
fonksiyonu
f (ζ ) = (ζ − z0 ) ( ak + ak +1 (ζ − z0 ) +
k
)
(2.8.2)
şeklinde yazılabilir. a k ≠ 0 ilk katsayı olması nedeniyle
a k + a k +1 (ζ − z 0 ) +
kuvvet serisi, z 0 ’ın yeterince küçük bir komşuluğunda sıfırdan farklı olan sürekli bir
fonksiyon tanımlar. Bu durumda (2.8.2)’deki gösterilim şekli z 0 noktasının f ( z ) ’nin
bir ayrık sıfır yeri olduğunu gösterir.
Kuvvet serisinin gösterilimindeki a n katsayıları, f ’nin z 0 ’daki türevi olarak
ifade edilebilir. Yani,
1 dn f
(z 0 )
an =
n! dz n
dir. Eğer ak , (2.8.1)’de gösterilen kuvvet serisindeki sıfırdan farklı ilk katsayı ise bu
takdirde,
dk f
(z 0 ) ≠ 0 olduğunda z 0 ,
dz k
f ( z0 ) = 0 ,
df
d k −1 f
( z0 ) = 0 ,… , k −1 ( z0 ) = 0
dz
dz
elde edilir. Bu durumda z 0 , k . mertebeden bir sıfır yeri olarak isimlendirilir.
52
Teorem 2.8.7: f fonksiyonu z 0 noktasının bir komşuluğunda analitik olsun. f
fonksiyonunun z 0 noktasında k . mertebeden sıfır yerine sahip olması için gerek ve
yeter koşul, g ( z 0 ) ≠ 0 ve g , z 0 ’da analitik olmak üzere, z 0 ın bir komşuluğunda f
fonksiyonunun
f (z ) = (z − z 0 ) g (z )
k
şeklinde yazılabilmesidir.
İspat: f , z0 ’da analitik ve z 0 notası da k . mertebeden sıfır yeri olsun. Bu durumda
∞
f ( z) = ∑
n=k
f ( n ) ( z0 )
n
k
( z − z0 ) = ( z − z0 )
n!
⎡ f ( k ) ( z0 ) f ( k +1) ( z0 )
+
( z − z0 ) +
⎢
( k + 1)!
⎢⎣ k !
⎤
⎥
⎥⎦
= ( z − z0 ) g ( z )
k
yazılabilir. Buradan da
g (z 0 ) =
f (k ) ( z 0 )
≠0
k!
ve g ’nin z 0 ’ın bir komşuluğunda analitik olduğu görülür.Tersine, eğer
f (z ) = (z − z 0 ) g (z )
k
ise, f ’nin analitikliği ve z 0 noktasının da k . mertebeden sıfır yeri olduğu açıktır.
Teorem 2.8.8: f , bir z 0 noktasında analitik ve f ( z 0 ) ≠ 0 olsun. Bu takdirde
f ( z ) ’nin sıfır değerini almadığı en az bir D( z0 ,ε ) komşuluğu vardır.
İspat:
f ( z ) , z0 ’da analitik ve
f ( z 0 ) ≠ 0 olsun.
z 0 ’ın en az bir
D( z0 ,ε )
komşuluğunda f ( z ) ’nin hiç bir sıfır yerinin olmadığını gösterelim. Bunun için aksini
kabul edelim. Her ε n > 0 için D( z0 ,ε n ) komşuluğunda f ’nin bir sıfır yeri varsa
53
f ’nin z 0 ’a yakınsayan sıfır yerlerinin bir ( z n )1 dizisi vardır. Dizisel süreklilik
∞
tanımı gereği ve her f ( z n ) = 0 olduğundan,
(
)
lim f ( zn ) = f lim zn = f ( z0 ) = 0
n →∞
n →∞
olur. Bu ise f ( z 0 ) ≠ 0 varsayımı ile çelişir.
Sonuç 2.8.1: f analitik fonksiyonunun sıfır yerleri ayrık noktalardır.
Sonuç 2.8.2: f , z0 ’ın bir komşuluğunda analitik olsun. f ’nin z 0 ’da k . mertebeden
sıfır yerine sahip olması için gerek ve yeter koşul, 1 f ’nin z 0 ’da k . mertebeden
kutup noktasına sahip olmasıdır.
2.9. Rezidü ve Hesaplama Teknikleri
Kapalı bir eğrinin içindeki bütün noktalarda analitik ve eğrinin üzerinde
sürekli olan bir fonksiyonun bu eğri üzerinden integral değerinin sıfır olduğunu
Cauchy İntegral Teoremi’nden biliyoruz. Ancak bir f analitik fonksiyonunun kapalı
eğri içerisinde aykırı noktaları bulunuyorsa, bu eğri üzerinden alınan integralin
değeri sıfır olmayabilir. Gerçekte bu integralin değeri, fonksiyonun ayrık aykırı
noktalardaki rezidüleri toplamının 2 π i katıdır.
f ( z ) ’nin z 0 ayrık aykırı noktasındaki rezidüsünü Re z ( f , z0 ) = a−1 şeklinde
gösterelim.
Not: z 0 , basit kutup noktası ise bu takdirde
a −1 = lim ( z − z 0 ) f ( z )
z → z0
54
dir.
Teorem 2.9.1: γ , basit kapalı bir eğri ve z0 , γ ’nın içinde f ( z ) fonksiyonunun bir
ayrık aykırı noktası yani f ( z ) , z0 ’ın dışında γ ’nın içinde ve üzerinde analitik
olsun. Bu durumda rezidü tanımından
∫γ f ( z ) dz = 2π ia
−1
dir.
İspat: f nin z 0 noktası komşuluğundaki Laurent açılımı
∞
∞
f (z ) = ∑ a n (z − z 0 ) + ∑
n
n =0
n =1
a −n
( z − z 0 )n
olsun. Ayrıca
∫γ ( z − z )
0
n
⎧2π i
dz = ⎨
⎩0
,
n = −1
,
n ≠ −1
olduğuna göre
∫γ
∞
∞
f ( z ) dz = ∑ an ∫ ( z − z0 ) dz + ∑ a− n ∫
n=0
n
γ
n =1
γ
dz
( z − z0 )
n
= 2π ia−1
olur.
Teorem 2.9.2 (Cauchy Rezidü Teoremi): γ basit kapalı bir eğri olsun. f ( z ), γ ’nın
içinde ve üzerinde sonlu sayıda z1 , z 2 , … , z n ayrık aykırı noktaları dışında tek değerli
ve analitik ise bu durumda
∫γ
n
f ( z ) dz = 2π i ∑ Re z ( f , zk )
k =1
dır.
55
İspat: Her z k noktasını, merkezi z k ’da olan γ k çemberleri ile çevirelim. γ k
çemberleri yeterince küçük ve birbirlerini kesmeyecek şekilde tamamıyla γ ’nın
içinde olsun. Bu durumda f ( z ) , γ ve γ k ’ların belirttiği bölgede tek değerli ve
analitik olduğundan Cauchy Teoremi gereği,
∫γ f ( z ) dz = γ∫ f ( z ) dz + γ∫ f ( z ) dz +
1
2
+ ∫ f ( z ) dz
γn
yazılabilir. Bu durumda Teorem 2.9.1 gereği,
∫γ f ( z ) dz = 2π i Re z ( f , z ) + 2π i Re z ( f , z ) +
1
2
+ 2π i Re z ( f , zn )
n
= 2π i ∑ Re z ( f , zk )
k =1
dır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Şimdi bir fonksiyon için kaldırılabilir ayrık aykırı noktaların bazı temel
özelliklerini inceleyelim:
Teorem 2.8.6’dan da görüldüğü gibi, f ( z ) fonksiyonunun bir z 0 noktasında
kaldırılabilir ayrık aykırı noktaya sahip olması için gerek ve yeter koşul,
lim ( z − z 0 ) f ( z ) = 0
z → z0
olmasıdır. Şimdi bu teoremden daha kullanışlı olan aşağıdaki teoremi verelim.
Teorem 2.9.3: g ( z ) ve h( z ) analitik iki fonksiyon olsun. z 0 noktası bu iki
fonksiyonun aynı mertebeden bir sıfır yeri ise bu taktirde z0 noktası
f (z ) =
g (z )
h( z )
fonksiyonunun kaldırılabilir ayrık aykırı noktasıdır.
İspat: G (z 0 ) ≠ 0 ve H ( z 0 ) ≠ 0 olmak üzere, sırasıyla
56
g ( z ) = (z − z 0 ) G (z ) ve h( z ) = ( z − z 0 ) H ( z ) olacak biçimde G ve H gibi analitik
k
k
iki fonksiyon vardır. O halde,
f (z ) =
g (z ) G(z )
=
h( z ) H ( z )
fonksiyonu z 0 noktasında analitik ve limiti vardır. Bu nedenle Teorem 2.8.6 gereği,
f ( z ) , z0 noktasında kaldırılabilir ayrık aykırı noktaya sahiptir. Böylece ispat
tamamlanmış olur.
Şimdi bir kompleks fonksiyonun kutup yerlerini ve bu yerlerdeki rezidülerin
nasıl hesaplandığını ele alalım.
Teorem 2.8.6 gereği,
lim (z − z 0 ) f ( z )
z → z0
limiti var ve bu limit sıfırdan farklı ise z 0 noktası f ( z ) fonksiyonunun basit kutup
noktasıdır ve bu noktadaki rezidüsü de
lim ( z − z 0 ) f ( z ) = a −1
z → z0
dir. Şimdi bu teoremden daha kullanışlı olan aşağıdaki teoremi verelim.
Teorem 2.9.4: g ( z ) ve h( z ) fonksiyonları bir z 0 noktasında analitik olsun.
g ( z 0 ) ≠ 0 , h( z 0 ) = 0 ve h ′( z 0 ) ≠ 0 olduğunu kabul edelim. Bu takdirde
f (z ) =
g (z )
h( z )
fonksiyonunun z 0 da basit kutup noktası vardır ve bu noktadaki rezidüsü,
Re z ( f , z 0 ) =
g (z 0 )
h ′( z 0 )
dır.
57
İspat:
lim ( z − z0 )
z → z0
g ( z)
z − z0
1
= lim g ( z ) lim
= g ( z0 ) lim
z → z0 h ( z )
z → z0 h ( z ) − h ( z )
h ( z ) z → z0
0
z − z0
= g ( z0 )
1
≠0
h′ ( z 0 )
dır. Böylece Teorem 2.8.6’daki (2 ) özelliği gereği, f ( z ) ’nin, z 0 ’da basit kutup
noktası vardır ve bu noktadaki rezidüsü,
Re z ( f , z 0 ) =
g (z 0 )
h ′( z 0 )
dır.
Teorem 2.9.5:
f (z ) =
g (z )
fonksiyonu verilsin. z 0 noktasında g ( z ) ’nin k .
h( z )
mertebeden, h( z ) ’nin de (k + 1) . mertebeden bir sıfır yeri olsun. Bu takdirde z 0
noktası f ( z ) ’nin basit kutup noktasıdır ve bu noktadaki rezidüsü,
g (k ) ( z 0 )
⎛g
⎞
Re z ⎜ , z 0 ⎟ = (k + 1) (k +1)
(z 0 )
h
⎝h
⎠
dır.
İspat: Varsayım gereği,
g ( z0 ) = g ′ ( z0 ) = … = g (
k −1)
( z0 ) = 0,
g(
k)
( z0 ) ≠ 0
ve
h ( z 0 ) = h′ ( z 0 ) = … = h (
k)
( z0 ) = 0, h( k +1) ( z0 ) ≠ 0
dır. Dolayısıyla G ( z ) ve H ( z ) iki analitik fonksiyon olmak üzere Taylor
teoreminden,
58
g (z ) =
( z − z 0 )k
k!
g (k ) ( z 0 ) + (z − z 0 )
k +1
G(z )
ve
h( z ) =
(z − z 0 )k +1 (k +1)
( z 0 ) + ( z − z 0 )k + 2 H ( z )
h
(k + 1)!
şeklinde yazılabilir. Böylece
g (k ) (z 0 )
+ ( z − z 0 )G ( z )
k!
g (z )
(z − z 0 )
=
h( z ) h (k +1) ( z 0 )
+ ( z − z 0 )H ( z )
(k + 1)!
elde edilir. Bu eşitliğin her iki yanının z → z 0 için limitleri alınırsa
g (k ) ( z 0 )
g (z )
lim (z − z 0 )
= (k + 1) (k +1)
z → z0
h( z )
(z 0 )
h
olduğu görülür. Teorem 2.8.6’daki (2 ) özelliği gereği, f ( z ) ’nin z 0 ’da basit kutup
noktası vardır ve bu noktadaki rezidüsü,
Re z ( f , z 0 ) = (k + 1)
g (k ) ( z 0 )
h (k +1) ( z 0 )
dır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Bir önceki kesimde katlı kutup yerlerini ve bazı basit özelliklerini
incelemiştik. Şimdi bu noktalardaki rezidülerin nasıl hesaplanacağını görelim.
Teorem 2.9.6: f ( z ) =
g (z )
fonksiyonu verilsin. g ( z ) ve h( z ) fonksiyonları bir z 0
h( z )
noktasında analitik olsun. g ( z 0 ) ≠ 0 , h( z 0 ) = 0 , h ′( z 0 ) = 0 ve h ′′( z 0 ) ≠ 0 olduğunu
kabul edelim. Bu durumda f ( z ) ’nin z 0 ’da 2. mertebeden kutup yeri vardır ve bu
noktadaki rezidüsü,
59
g ′ ( z0 ) 2 g ( z0 ) h′′′ ( z0 )
⎛g
⎞
Re z ⎜ , z0 ⎟ = 2
−
h′′ ( z0 ) 3 ⎡⎣ h′′ ( z0 ) ⎤⎦ 2
⎝h
⎠
dir.
İspat: Varsayım gereği g ( z 0 ) ≠ 0 ve h( z ) = ( z − z 0 ) H ( z ) dir. Dolayısıyla H ( z ) ,
2
z 0 ’ın komşuluğunda analitik ve H ( z 0 ) ≠ 0 olduğundan f ( z ) fonksiyonu
1
g (z )
g (z )
g (z )
=
=
2
2
h( z ) ( z − z 0 ) H ( z ) ( z − z 0 ) H ( z )
f (z ) =
şeklinde yazılabilir. Burada g ( z 0 ) ≠ 0 ve H ( z 0 ) ≠ 0 olduğundan f ( z ) ’nin z 0 ’da
2. mertebeden kutup yeri vardır. O halde z 0 , f ( z ) ’nin 2. mertebeden kutup yeri
olduğuna göre z 0 ’ın delinmiş komşuluğunda
f ( z) =
a−2
( z − z0 )
2
+
a−1
2
+ a0 + a1 ( z − z0 ) + a2 ( z − z0 ) +
z − z0
(2.9.1)
biçiminde yazılabilir. Diğer yandan h( z ) ve g ( z ) fonksiyonları z 0 noktasında
analitik olduklarından z 0 ’ın bir komşuluğunda Taylor açılımları sırasıyla
g ( z ) = g ( z0 ) + g ′ ( z0 )( z − z0 ) +
g ′′ ( z0 )
2
( z − z0 ) +
2
(2.9.2)
ve
h( z ) =
h ′′( z 0 )
h ′′′( z 0 )
( z − z 0 )2 +
(z − z 0 )3 +
2
6
olur. Varsayım gereği g ( z ) = h(z ) f ( z ) olduğundan,
⎡ a
⎤
a
−2
g ( z) = h( z) ⎢
+ −1 + a0 + a1 ( z − z0 ) + ⎥
2
z − z0
⎢⎣ ( z − z0 )
⎥⎦
a h′′ ( z0 ) ⎡ a−1h′′ ( z0 ) a−2 h′′′ ( z0 ) ⎤
= −2
+⎢
+
⎥ ( z − z0 ) +
2
2
6
⎣
⎦
dır. Böylece (2.9.2) ve (2.9.3)’den
60
(2.9.3)
g (z 0 ) =
a − 2 h ′′( z 0 )
,
2
g ′(z 0 ) =
a − 2 h ′′′( z 0 ) a −1 h ′′( z 0 )
+
6
2
elde edilir. Bu son eşitliklerinden
g ′ ( z0 ) 2 g ( z0 ) h′′′ ( z0 )
⎛g
⎞
a−1 = Re z ( f , z0 ) = Re z ⎜ , z0 ⎟ = 2
−
h′′ ( z0 ) 3 ⎡⎣ h′′ ( z0 ) ⎤⎦ 2
⎝h
⎠
olarak bulunur.
Örnek 2.9.1:
f (z ) =
ez
(z − 1)2
fonksiyonunun
z 0 = 1 noktasındaki rezidüsünü
bulalım.
g (z ) = e z ve h( z ) = ( z − 1) denirse, g (1) = e ≠ 0 , h(1) = 0 , h ′( z ) = 2( z − 1) ve
2
h ′(1) = 0 ve h ′′(1) = 2 ≠ 0 olduğundan z 0 = 1 noktası f ( z ) =
g (z )
’nin 2. mertebeden
h( z )
kutup yeri olur ve
Re z ( f , z0 ) = 2
g ′ ( z0 ) 2 g ( z0 ) h′′′ ( z0 )
e 2 e⋅0
−
= 2⋅ − ⋅
=e
2
h′′ ( z0 ) 3 ⎡⎣ h′′ ( z0 ) ⎤⎦
2 3 4
elde edilir.
Sonuç 2.9.1: f ( z ) =
g (z )
fonksiyonu verilsin. g ( z ) ve h( z ) fonksiyonları bir z 0
h( z )
noktasında analitik olsun. g ( z 0 ) = 0 , g ′( z 0 ) ≠ 0 , h( z 0 ) = 0 , h ′(z 0 ) = 0 , h ′′( z 0 ) = 0
ve h ′′′( z 0 ) ≠ 0 olduğunu kabul edelim. Bu durumda z 0 noktası f ( z ) ’nin 2.
mertebeden kutup yeridir ve bu noktadaki rezidüsü,
4
g ′′ ( z0 ) 3 g ′ ( z0 ) h( ) ( z0 )
⎛g
⎞
Re z ⎜ , z0 ⎟ = 3
−
h′′′ ( z0 ) 2 ⎡⎣ h′′′ ( z0 ) ⎤⎦ 2
⎝h
⎠
dır.
61
ez −1
fonksiyonunun
sin 3 z
Örnek 2.9.2: f ( z ) =
z0 = 0
noktasındaki
rezidüsünü
bulalım.
g ( z ) = e z − 1 ve h( z ) = sin 3 z denirse, g (0 ) = 0 , g ′(0 ) = 1 ≠ 0 , h(0 ) = 0 ,
h ′( z ) = 3 sin 2 z ⋅ cos z ,
h ′′( z ) = 6 sin z ⋅ cos 2 z − 3 sin 3 z ,
h ′(0 ) = 0 ,
h ′′(0 ) = 0 ,
h ′′′( z ) = 6 cos 3 z − 12 sin 2 z ⋅ cos z − 9 sin 2 z ⋅ cos z , h ′′′(0 ) = 6 ≠ 0 olduğundan z 0 = 0
noktası f ( z ) =
g (z )
nin 2. mertebeden kutup yeridir ve
h( z )
Re z ( f , z0 ) = 3
4
g ′′ ( z0 ) 3 g ′ ( z0 ) h( ) ( z0 )
1 3 1⋅ 0 1
−
= 3⋅ − ⋅
=
2
6 2 36 2
h′′′ ( z0 ) 2 ⎡⎣ h′′′ ( z0 ) ⎤⎦
bulunur.
Teorem 2.9.7: f ( z ) fonksiyonu z 0 noktasında bir ayrık aykırı noktaya sahip olsun.
k ≥ 0 sayısını, lim ( z − z 0 ) f ( z ) limitini mevcut yapan en küçük pozitif tamsayı
k
z → z0
olarak ele alalım. Bu durumda, z 0 noktası f ( z ) fonksiyonunun ya kaldırılabilir ayrık
aykırı noktası ya da k . mertebeden kutup noktasıdır. Eğer
ψ ( z ) = ( z − z 0 )k f ( z )
alınırsa ψ ( z ) fonksiyonu z 0 noktasında analitik olacak biçimde tek olarak elde
edilir. Böylece f ( z ) fonksiyonunun z 0 noktasındaki rezidüsü,
Re z ( f , z 0 ) =
ψ (k −1) ( z 0 )
(k − 1)!
dır.
İspat: Varsayım gereği lim (z − z 0 ) f ( z ) limitinin mevcut olduğu verildiğine göre
k
z → z0
Teorem
2.8.6’daki
(1)
özelliği
gereği
62
z0
noktası
ψ ( z ) = ( z − z 0 )k f ( z )
fonksiyonunun kaldırılabilir ayrık aykırı noktası olur. Dolayısıyla bu fonksiyon, z 0
noktasının komşuluğunda Taylor serisine açılabilir.
ψ ( z ) = ( z − z0 ) f ( z ) = a− k + a− k +1 ( z − z0 ) + a− k + 2 ( z − z0 ) +
k
2
+ a−1 ( z − z0 )
k −1
+ a0 ( z − z0 ) +
k
+
(2.9.4)
yazılabilir. Buradan,
f (z ) =
a−k
(z − z 0 )
k
+
a − k +1
(z − z 0 )
k −1
+
+
a −1
+ a 0 + a1 ( z − z 0 ) +
z − z0
bulunur. Eğer a − k = 0 ise
lim ( z − z 0 )
k −1
z → z0
olur ve lim ( z − z 0 )
f ( z ) = lim [a − k +1 + a − k + 2 ( z − z 0 ) +
z → z0
k −1
z → z0
] = a −k +1
f ( z ) limiti mevcuttur. Bu da varsayımda verilen k sayısının
tanımı ile bir çelişkidir. O halde a − k ≠ 0 ve f ( z ) ’nin z 0 ’da k . mertebeden kutup
noktası vardır. (2.9.4)’deki formülden ψ ( z ) , z 0 ’da analitiktir.(2.9.4)’deki formülde
ψ ( z ) fonksiyonunun z 0 noktasında (k − 1) kere türevi alınırsa
ψ (k −1) (z 0 ) = (k − 1) ⋅ (k − 2) ⋅ (k − 3) 1 ⋅ a −1
elde edilir. Dolayısıyla,
Re z ( f , z 0 ) =
ψ (k −1) ( z 0 )
(k − 1)!
dir.
Örnek 2.9.3: f ( z ) =
z2
(z − 1)3 (z + 1)
fonksiyonunun z 0 = 1 noktasındaki rezidüsünü
bulalım.
z 0 = 1 noktası
f ( z ) fonksiyonunun 3. mertebeden kutup noktasıdır.
Dolayısıyla
63
(z − 1)3 f (z ) =
z2
= ψ (z )
z +1
dir. Buna göre
ψ ′( z ) =
2 z ( z + 1) − z 2
(z + 1)
2
=
z 2 + 2z
(z + 1)
2
= 1−
1
(z + 1)2
ve
ψ ′′( z ) =
2
(z + 1)3
olur. k = 3 olduğundan
⎛
⎞ ψ ′′ (1) 2 1 1
z2
=
= ⋅ =
Re z ⎜
,1
⎟
⎜ ( z − 1)3 ( z + 1) ⎟ ( 3 − 1) ! 8 2 8
⎝
⎠
bulunur.
Daha genel olarak bu tür rezidü hesaplarını aşağıdaki gibi genelleştirebiliriz:
Sonuç 2.9.2: f ( z ) =
g (z )
fonksiyonu verilsin. g ( z ) ve h( z ) fonksiyonları bir z 0
h( z )
noktasında analitik olsun.
g ( z 0 ) ≠ 0 , h( z 0 ) = h′( z 0 ) = … = h (k −1) ( z 0 ) = 0 ve h (k ) ( z 0 ) ≠ 0
olduğunu kabul edelim. Bu durumda, z 0 noktası f ( z ) ’nin k . mertebeden kutup
yeridir ve bu noktadaki rezidüsü,
64
h(
k)
( z0 )
0
k!
( z0 )
( k +1) !
h( k+2) ( z0 )
( k + 2) !
h(
k
⎛ g ⎞ ⎡ k! ⎤
Re z ⎜ , z0 ⎟ = ⎢ ( k)
⎥ ×
⎝ h ⎠ ⎣⎢ h ( z0 ) ⎦⎥
k +1)
h(
k)
( z0 )
k!
h( k+1) ( z0 )
( k +1) !
0
0
g ( z0 )
0
0
g′( z0 )
h( k) ( z0 )
k!
0
g′′( z0 )
2!
( z0 ) h( 2k−2) ( z0 ) h( 2k−3) ( z0 )
( 2k −1) ! ( 2k − 2) ! ( 2k −3) !
h(
2k −1)
( z0 )
( k +1) !
h(
k+1)
( z0 )
( k −1) !
g(
k−1)
dır.
ez
Örnek 2.9.4: f ( z ) =
fonksiyonunun z 0 = 0 noktasındaki rezidüsünü bulalım.
sin 3 z
k = 3 olduğu görülmektedir. g (z ) = e z ve h( z ) = sin 3 z diyelim. Böylece
h ′′′( z 0 ) = h ′′′(0 ) = 6 ,
h (4 ) ( z 0 ) = h (4 ) (0) = 0 ,
1
h (4 ) (0 )
h (5 ) (0 )
= 0 ve
=−
olur. Ayrıca
5!
2
4!
h (5 ) ( z 0 ) = h (5 ) (0) = −60 ,
g (z 0 ) = g (0 ) = 1 , g ′( z 0 ) = g ′(0 ) = 1 ve
g ′′( z 0 ) g ′′(0 ) 1
=
= dir. Dolayısıyla
2!
2!
2
1
0
1
0
1
1
0
1
2
3
⎛ g ⎞ ⎛ 3!⎞
Re z ⎜ ,0 ⎟ = ⎜ ⎟ ×
⎝h ⎠ ⎝6⎠
−
1
2
olarak bulunur.
65
h′′′(0)
= 1,
3!
=1
2.10. Argümenlerin Değişimi Prensibi
Rezidü teoreminin uygulamalarının önemli bir örneği olan
f ′( z)
1
dz
ϕ (z)
∫
2π i γ
f ( z) − A
integralini göz önüne alalım.
Tanım 2.10.1: f ( z 0 ) = A olacak şekilde z 0 noktasına f ( z ) ’nin A yeridir denir.
Burada f ( z ) , D bölgesinde tek değerli bir fonksiyondur ve kutup noktaları
hariç hiçbir ayrık aykırı noktası yoktur. A keyfi bir kompleks sayıdır. ϕ (z ) , aynı
bölgede tek değerli ve analitik bir fonksiyondur. γ , D bölgesi içinde düzgün kapalı
Jordan eğrisidir. Ayrıca γ eğrisi üzerinde f ( z ) ’nin ayrık aykırı noktaları ve A
yerleri bulunmasın.
F (z ) = ϕ (z )
f ′( z )
f (z ) − A
nin singülerlikleri sadece f ( z ) ’nin kutup yerleri ve f ( z ) ’nin A yerleridir.
a1 , … , a m , γ ’nın içindeki f ( z ) ’nin A yerleri ve α 1 , … , α m , bu A yerlerinin
mertebeleri olsun. b1 , … , bn , γ ’nın içindeki f ( z ) ’nin kutup noktaları ve β 1 , … , β n
ler de bu kutup noktalarının mertebeleri olsun. a j noktasının bir komşuluğunda ϕ (z )
ve f ( z ) fonksiyonları
ϕ (z ) = ϕ (a j ) +
f ( z ) − A = cα j (z − a j ) j +
α
f ′( z ) = cα j α j (z − a j )
α j −1
+
66
F ( z ) = ⎡⎣ϕ ( a j ) +
=
cα j α j ( z − a j )
α j −1
⎤
⎦
+
cα j ( z − a j ) +
αj
αj
1+
⎤
⎦ 1+
⎡ϕ ( a j ) +
z − aj ⎣
=
αj
⎡ϕ ( a j ) +
z − aj ⎣
α ϕ (aj )
⎤= j
+
⎦
z − aj
açılımlara sahiptir.
Yazmadığımız terimler (z − a j ) ’nin daha yüksek dereceden kuvvetleridir.
Böylece z = a j , F ( z ) ’nin basit kutup yerleridir ve bu noktadaki rezidü α j ϕ (a j ) ’dir.
Eğer ϕ (a j ) = 0 ise bu rezidü sıfıra eşittir. Bu durumda a j , F (z ) ’nin bir kutup
noktası değildir.
Şimdi f ( z ) ’nin b j kutup noktalarına dönelim. Bu noktadaki açılımları,
ϕ (z ) = ϕ (b j ) +
f ( z ) − A = d − β j (z − b j )
−β j
f ′( z ) = − β j d − β j (z − b j )
+
− β j −1
F ( z ) = ⎡⎣ϕ ( b j ) +
=
⎤
⎦
−
−β j d− β j ( z − b j )
−β j
⎡ϕ ( b j ) +
z − bj ⎣
d−β j ( z − bj )
1+
⎤
⎦ 1+
− β j −1
−β j
=−
−
+
βj
⎡ϕ ( b j ) +
z − bj ⎣
β ϕ (bj )
⎤=− j
−
⎦
z − bj
şeklinde yazılır. Böylece z = b j , F ( z ) ’nin basit kutup yeridir ve bu noktadaki rezidü
− β j ϕ (b j ) ’dir. Eğer ϕ (b j ) = 0 ise bu rezidü sıfıra eşittir. Rezidü teoremini
f ′( z)
1
z
dz
ϕ
(
)
2π i ∫γ
f ( z) − A
integraline uygularsak
m
n
f ′( z)
1
z
dz
a
ϕ
α
ϕ
β jϕ ( b j )
=
−
( )
∑
∑
j ( j)
2π i ∫γ
f ( z) − A
j =1
j =1
67
(2.10.1)
elde ederiz.
(2.10.1) eşitliğinin sağındaki ilk toplam ϕ (z ) ’nin, f ( z ) ’nin A yerlerinde
aldığı değerle ilgili bir toplamdır ve her terim, herbiri A yerlerinin mertebesi kadar
birçok kez tekrarlanır. Bu ilk toplama dikkat edersek herbir terim ϕ ’nin a j
noktalarında aldığı değeriyle a j ’nin mertebesi olan α j tamsayısının çarpımlarından
oluşmuştur. Burada a j ’ler f ( z ) ’nin A yerleridir. Bu durumda
∑ α ϕ (a )
m
j =1
j
j
için f ( z ) ’nin A noktalarında ϕ (z ) ’nin değerlerinin toplamı olduğunu söyleyebiliriz.
Benzer bir ifade ikinci toplam için de geçerlidir. Burada toplam, f ( z ) ’nin kutup
noktaları üzerinden alınmaktadır. Bunları şimdi şöyle özetleyebiliriz:
f ′( z)
1
dz
ϕ (z)
∫
2π i γ
f ( z) − A
integrali, γ ’nın içinde yer alan f ( z ) ’nin A yerlerinde ϕ (z ) ’nin aldığı değerlerin
toplamı ile γ ’nın içinde yer alan f ( z ) ’nin kutup noktalarında ϕ (z ) ’nin aldığı
değerlerin toplamı arasındaki farka eşittir.
Burada yukarıdaki ifadenin iki özel durumu vardır.
(a) ϕ ( z ) = z denirse
m
n
f ′( z)
1
=
−
z
dz
a
α
β jb j
∑
∑
j j
2π i ∫γ f ( z ) − A
j =1
j =1
(2.10.2)
olur. Bu integral, γ ’nın içindeki f ( z ) ’nin A yerlerinin toplamı ile γ ’nın içindeki
bu fonksiyonun kutup noktalarının toplamı arasındaki farka eşittir.
(b) ϕ ( z ) ≡ 1 denirse
68
m
n
f ′( z)
1
dz
α
βj
=
−
∑
∑
j
2π i ∫γ f ( z ) − A
j =1
j =1
(2.10.3)
olur. Bu integral, γ ’nın içindeki f ( z ) ’nin A yerlerinin sayısı ile γ ’nın içindeki
kutup noktalarının sayısı arasındaki farka eşittir.
Eğer A = 0 ise bu durumda A yerleri, f ( z ) ’nin sıfır yerleridir. Eğer γ ’nın
içinde bunların sayısı N ve γ ’nın içinde kutup noktalarının sayısı P ise bu takdirde
f ′( z)
1
dz = N − P
∫
2π i γ f ( z )
(2.10.4)
elde edilir.
Eşitliğin sol tarafındaki integral, γ eğrisine göre
f ( z ) ’nin logaritmik
rezidüsü olarak bilinir (Çünkü integrant ln ⎡⎣ f ( z ) ⎤⎦ ’nin türevidir).
Teorem 2.10.1: Bir f ( z ) fonksiyonunun kapalı bir γ eğrisine göre logaritmik
rezidüsü, f ( z ) ’nin γ ’nın içindeki sıfır yerlerinin sayısı ile kutup yerlerinin sayısı
farkına eşittir.
Şimdi logaritmik rezidü kavramını biraz yorumlayalım. Bunun için önce
1
f ′( z)
1
d
dz =
{ln ⎡⎣ f ( z )⎤⎦ } dz
2π i ∫γ f ( z )
2π i ∫γ dz
yazılışını göz önüne alalım.
γ üzerinde keyfi bir z 0 noktası alalım. Bu z 0 noktası integralin başlangıç ve
bitiş noktası olsun. O zaman γ ’nın içindeki bir z noktası pozitif yönde hareket
ettiğinde ln ⎡⎣ f ( z ) ⎤⎦ sürekli değişir ve eğriyi tamamen katettikten sonra z 0
noktasındaki değeri, aynı noktada başlangıç değerinden farklı olur. Fakat aynı f ( z 0 )
için ln ⎡⎣ f ( z0 ) ⎤⎦ ’ın değerleri sadece arg f ( z0 ) ’da katetmeden önce ve sonra farklı
69
değerler almasından dolayı değişiklik gösterir. Eğer arg f ( z0 ) ’ın başlangıç değerini
Φ 0 ve arg f ( z0 ) ’ı katettikten sonraki değerini de Φ 1 ile gösterirsek
( ) dz = 1 ⎡ln f z
{ ( )
∫
2π i γ f ( z )
2π i ⎣
1
f′ z
0
}
+ i Φ1 ⎤⎦ − ⎡⎣ln f ( z0 ) + i Φ 0 ⎤⎦ =
Φ1 − Φ 0
2π
olur.
Bu yüzden (2.10.4) eşitliğinden,
N −P=
Φ1 − Φ 0
2π
(2.10.5)
elde edilir. Eğer Φ 1 − Φ 0 , varγ arg f ( z ) ile ifade edilirse (Burada var ifadesi açıdaki
değişme miktarı anlamına gelmektedir)
N −P=
1
varγ arg f ( z )
2π
şeklinde yazabiliriz. Böylece yukarıdaki açıklamaları aşağıdaki gibi özetleyebiliriz:
Not (Argümen Prensibi): Kapalı γ eğrisi içindeki f ( z ) ’nin kutup ve sıfır
yerlerinin sayısı arasındaki fark arg f ( z ) ’nin varyasyonuna eşittir. Bu fark, γ ’nın
içindeki bir z noktasında f ( z ) ’nin pozitif yöndeki varyasyonunun 2π ’ye bölümüne
eşittir.
Bu durumu geometrik olarak aşağıdaki şekilde açıklayabiliriz:
z ’ler γ eğrisi üzerinde pozitif yönde dolandığında w = f ( z ) ’nin bitiş
noktası kapalı bir γ ′ eğrisi çizer. z , γ çevresinde bir tam tur dolandığında
w = f ( z ) ’nin dolanma sayısını ν
ile gösterelim. Bir tur pozitif yönde ise + 1 ,
negatif yönde ise − 1 olarak ifade edilir. Bu durumda arg f ( z ) ’nin varyasyonu 2πν
olur.
70
Tek değerli f ( z ) fonksiyonunun bir kapalı γ eğrisi içinde bulunan kutup ve
sıfır yerlerinin sayıları farkı; z ’nin γ üzerinde pozitif yönde bir tur dönmesi halinde
f ( z ) ’nin orijin çevresindeki dönme sayısı olan ν ’ye eşittir.
Özel olarak f ( z ) ’nin, γ eğrisi içinde kutup yeri yoksa aşağıdaki durum
ortaya çıkar:
Tek değerli
f ( z ) fonksiyonunun bir γ
eğrisinin içinde bulunan sıfır
yerlerinin sayısı; z ’nin γ üzerinde pozitif yönde bir tur dönmesi halinde w = f ( z )
vektörünün orijin çevresindeki dönme sayısına eşit olur.
Argümen prensibi yardımıyla aşağıdaki teoremi verebiliriz:
Teorem 2.10.2 (Rouche Teoremi): f ( z ) ve ϕ ( z ) , rektiflenebilen kapalı bir γ
eğrisi içinde ve üzerinde tek değerli ve analitik fonksiyonlar olsun. γ ’nın üzerinde
f (z ) > ϕ (z ) olduğunu varsayalım. Bu takdirde f ( z ) + ϕ ( z ) ’nin γ eğrisi içindeki
sıfır yerlerinin sayısı, f ( z ) ’nin sıfır yerleri sayısına eşittir.
İspat: f ( z ) + ϕ ( z ) ’nin sıfır yerlerinin sayısını bulmak için argümen prensibini
kullanmamız gerekir. Eğer bu toplamı γ üzerindeki noktalar için
⎡ ϕ (z )⎤
f ( z ) + ϕ ( z ) = f ( z ) ⎢1 +
f ( z ) ⎥⎦
⎣
şeklinde yazarsak ( γ üzerindeki f ( z ) , ϕ ( z ) ’den daha büyük olması nedeniyle
f ( z ) , γ üzerinde sıfır yerini alamaz)
⎡ ϕ ( z) ⎤
arg ⎡⎣ f ( z ) + ϕ ( z ) ⎤⎦ = arg f ( z ) + arg ⎢1 +
⎥
f ( z)⎦
⎣
olur. Fakat
ϕ (z )
f (z )
<1
71
dir. Bu yüzden, 1 +
ϕ (z )
f (z )
vektörünün bitiş noktası, yarıçapı ve merkezi 1 olan birim
çember içinde yer alan kapalı eğriyi tam olarak kateder. Sonuç olarak, bahsedilen
vektör, koordinatların orijini etrafında tek tur yapmaz ve z noktası γ ’yı katettiğinde
⎡ ϕ ( z) ⎤
arg ⎢1 +
⎥ ’nin varyasyonu sıfırdır. Böylece arg ⎡⎣ f ( z ) + ϕ ( z ) ⎤⎦ ile arg f ( z ) ’nin
f ( z)⎦
⎣
varyasyonu aynıdır. Argümen prensibi nedeniyle f ( z ) ve f ( z ) + ϕ ( z ) ’nin sıfır
yerlerinin sayısı aynıdır.
Bu teoremin bir sonucu olarak aşağıdaki teoremi verebiliriz.
Teorem 2.10.3 (Hurwitz Teoremi):
( f ( z ))
n
∞
1
, D bölgesinde tanımlanmış analitik
fonksiyonların dizisi olsun ve bu dizi bölgenin içinde özdeş olarak sıfır olmayan
f ( z ) fonksiyonuna düzgün olarak yakınsasın. Bu takdirde, bir z 0 ∈ D noktasının
f ( z ) ’nin bir sıfır yeri olması için gerek ve yeter koşul z 0 ’ın, f n (z ) fonksiyonlarının
sıfır yerlerinin bir limit noktası olmasıdır.
İspat: z 0 ∈ D olmak üzere f ( z 0 ) = 0 olsun. Bu takdirde f ( z ) ≡/ 0 olduğundan
γ : z − z 0 = r ⊂ D olacak şekilde bir γ çemberi bulunabilir. γ ’nın içinde f ( z ) ’nin
z 0 ’dan başka sıfır yeri olmayacak şekilde r yeterince küçük seçilebilir. Ayrıca µ ,
γ ’nın üzerinde f (z ) ’nin minimum değeri olsun. Yani f ( z ) ≥ µ > 0 ’dır. ( f n ( z ) )1∞
dizisinin düzgün yakınsaklığından n > n0 olduğunda γ üzerinde f n ( z ) − f ( z ) < µ
olacak şekilde en az bir n0 (µ ) sayısı vardır. Buradan
f n (z ) − f (z ) < µ ≤ f (z )
olur. Rouche teoreminden dolayı n > n0 olduğunda γ ’nın içindeki her z için
f n (z ) ’lerin sıfır yerlerinin sayısı, f ( z ) ’nin sıfır yerleri sayısına eşittir. Dolayısıyla
72
z0 , f ( z ) ’nin bir sıfır yeri ise bu durumda f n (z ) ’nin γ içinde en az bir sıfır yeri
vardır. z 0 , f ( z ) ’nin sıfır yeri değilse bu durumda f n ( z ) ’nin hiçbir sıfır yeri yoktur.
γ istenildiği kadar küçük seçilebileceğinden teorem böylece ispatlanmış olur.
Örnek 2.10.1: (a) z 8 − 4 z 5 + z 2 − 1 = 0 denkleminin modülü 1 ’den küçük olan
köklerinin sayısını bulalım.
z 8 − 4 z 5 + z 2 − 1 ifadesini
Rouche teoremini uygularsak,
f (z ) + ϕ (z )
şeklinde yazabiliriz. Burada f ( z ) = −4 z 5 ve ϕ ( z ) = z 8 + z 2 − 1 dir. z = 1 için
ϕ (z ) = z 8 + z 2 − 1 ≤ z 8 + z 2 + 1 = 3
ve
f ( z ) = −4 z 5 = 4
olur. Dolayısıyla
ϕ (z ) < f (z )
elde edilir.
Bu nedenle, Rouche teoreminden f ( z ) + ϕ ( z ) = z 8 − 4 z 5 + z 2 − 1 fonksiyonu
ile f ( z ) = −4 z 5 fonksiyonunun z = 1 çemberi içinde sıfır yerlerinin sayısı aynıdır.
f ( z ) = −4 z 5 fonksiyonu z 0 = 0 noktasında 5. mertebeden bir sıfır yerine sahiptir.
Bundan dolayı birim çemberin içinde beş tane sıfır yerine sahiptir. Bu nedenle
z 8 − 4 z 5 + z 2 − 1 = 0 denklemi, birim çemberinin içinde beş tane köke sahiptir.
Başka bir deyişle modülü, 1 ’den küçük olan beş tane kök vardır.
(b) a 0 + a1 cos θ + a 2 cos 2θ +
Burada
0 < a 0 < a1 <
+ a n cos nθ = 0 denklemini gözönüne alalım.
< an
73
olmak
üzere
a 0 + a1 cos θ + a 2 cos 2θ +
+ a n cos nθ = 0
denkleminin
0 < θ < 2π
aralığında
ayrık 2n tane köke sahiptir ve bu köklerin hepsi reeldir.
Bunu göstermek için önce P( z ) = a 0 + a1 z +
+ a n z n polinomunun bütün
sıfır yerlerinin birim diskte olduğunu ispatlayalım. Polinomun katsayıları pozitif
olduğundan P ( z ) ’nin pozitif reel kökü yoktur. Fakat, eğer z , pozitif değilse bu
durumda
P ( z )( z − 1) = an z n +1 − ⎡⎣ a0 + ( a1 − a0 ) z +
+ ( an − an −1 ) z n ⎤⎦
≥ an z n +1 − a0 + ( a1 − a0 ) z +
> an z
n +1
+ ( an − an −1 ) z n
− ⎡ a0 + ( a1 − a0 ) z +
⎣
n
+ ( an − an −1 ) z ⎤
⎦
dir. Bu eşitsizlik a 0 , a1 − a 0 , … , a n − a n −1 pozitif ve z ’ler reel ve negatif olduğunda
doğrudur. Bu ise
a 0 , (a1 − a 0 )z , …, (a n − a n −1 )z n
vektörlerinin aynı yönde
olmadığını gösterir. Bu nedenle
a 0 + (a1 − a 0 ) z +
+ (a n − a n −1 ) z n < a 0 + (a1 − a 0 ) z +
+ (a n − a n −1 ) z
şeklinde yazılabilir.
Bununla birlikte, eğer z ≥ 1 ise bu durumda
a0 + ( a1 − a0 ) z +
+ ( an − an −1 ) z
≤ a0 z
n +1
n
+ ( a1 − a0 ) z
= ⎡⎣ a0 + ( a1 − a0 ) +
= an z
n +1
dir. Böylece pozitif olmayan z ve z ≥ 1 için
P ( z )( z − 1) > an z
n +1
− an z
n +1
=0
olur. Başka bir deyişle
P ( z )( z − 1) ≠ 0
74
n +1
+
+ ( an − an −1 ) z
+ ( an − an −1 ) ⎤⎦ z
n +1
n +1
n
dir. Böylece pozitif olmayan z ’ler ve modülü 1 ’den büyük negatif reel z ’ler için
P( z ) ≠ 0 ’dır. Bu pozitif reel z ’ler için de geçerlidir. Bu ise, P( z ) ’nin birim
çemberin dışında ve üzerinde sıfır yerlerinin olmadığını gösterir. O halde P( z )
polinomunun n tane sıfır yeri, kesinlikle birim çemberin içindedir.
z = 1 çemberinin pozitif yönde yönlendirilmesini gözönüne alalım. Bu
takdirde, Argümen Prensibi’ne göre P ( z ) ’yi ifade eden vektör, P ( z ) ’nin sıfır yerleri
sayısı kadar orijin çevresinde dönme yapar. Başka bir deyişle; her turda eğri,
vektörün uç noktaları bir tam dönme sırasında sanal ekseni iki defa keser.
( )
Bu nedenle, P( z ) = P e iθ ’yi ifade eden noktalar, 0 ’dan 2π ’ye kadar olan
aralıkta θ ’nın en az 2n tane farklı değeri sanal eksen üzerindedir. Bu değerlerin her
biri için
Re ⎡⎣ P ( eiθ ) ⎤⎦ = Re ( a0 + a1 eiθ +
+ an ei nθ )
= Re ⎡⎣ a0 + a1 ( cos θ + i sin θ ) +
= a0 + a1 cos θ +
+ an ( cos nθ + i sin nθ ) ⎤⎦
+ an cos nθ
ifadesinin değeri sıfırdır. Bundan dolayı, (0 , 2π ) aralığında
a 0 + a1 cos θ +
+ a n cos nθ = 0
denkleminin en az 2n tane kökü vardır.
Şimdi bu aralıktaki köklerin toplam sayısının gerçekten 2n olduğunu
gösterelim. Burada e iθ = ζ denirse bu durumda
cos kθ =
e i kθ + e −i kθ ζ k + ζ − k
=
2
2
şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla,
a0 + a1 cos θ +
+ an cos nθ =
1
= ζ − n ( an + an −1ζ +
2
+ a1ζ n −1 + 2 a0ζ n + a1ζ n +1 +
75
+ anζ 2 n )
elde edilir.
Eğer ζ 1 , ζ 2 ,…, ζ 2 n noktaları, sağ tarafta parantez içindeki polinomun sıfır
yerleri ise sol taraftaki trigonometrik polinomun sıfır yerleri
ei θ = ζ j
,
( j = 1,2,…,2n )
bağıntısını sağlar.
Bu trigonometrik polinomun farklı reel sıfır yerlerinin sayısı,
(0 , 2π )
aralığında 2n ’yi geçmeyeceğini ifade eder. Fakat biz daha önce (0 , 2π ) aralığında
bu polinomun farklı reel sıfır yerlerinin en az 2n olduğunu ispatladık. Bu durumda
sıfır yerlerinin sayısı tam olarak 2n ’dir. ζ j = e
iθ j
nin modülü, 1 ’e eşittir. Bu yüzden
verilen trigonometrik polinomunun sıfır yerlerinin içinde tek bir sanal sıfır yeri
bulunamaz.
76
3. ARAŞTIRMA BULGULARI
3.1. Belirli Tipten Bazı Genelleştirilmiş Reel İntegrallerin Hesaplanması
Kompleks analizin en önemli amaçlarından birisi, belirli integralleri
hesaplamaktır. Rezidü teoreminden yararlanarak bu amacı gerçekleştireceğiz. Fakat
her reel integralin rezidü yardımıyla hesaplanamayacağını belirtelim. Örneğin,
∞
∫e
− x2
dx
−∞
integrali rezidü yöntemiyle hesaplanamaz.
Şimdi bu konuyu bazı lemma ve teoremler yardımıyla görelim.
Lemma 3.1.1: f ,
z ’nin yeterince büyük olduğu z değerleri için sürekli ve
{
}
lim z f ( z ) = k olsun. Bu durumda γ R = z : z = R e i t , α ≤ t ≤ β olmak üzere
z →∞
lim
R →∞
∫ f ( z ) dz = i ( β − α ) k
γR
dir.
İspat: h( z ) = z f (z ) − k denirse lim h( z ) = 0 ve f ( z ) =
z →∞
h( z)
dz
∫γ f ( z ) dz = k γ∫ z + γ∫ z dz = k I
1
R
R
+ I2
h( z ) k
+ olur. Dolayısıyla
z
z
(3.1.1)
R
yazılabilir. Verilen bir ε > 0 için z ≥ R olduğunda h(z ) < ε olacak şekilde bir R
seçelim. Böylece
β
I1 =
i Re it
dz
=
∫
∫ i t dt = (β − α )i
γR z
α Re
ve
77
I 2 < R (β − α )
ε
R
= (β − α )ε
olur. O halde z ≥ R için, (3.1.1) gereği
∫ f (z )dz − i (β − α )k < (β − α )ε
γR
yani
lim
R →∞
∫ f (z )dz = i (β − α )k
γR
elde edilir.
Teorem 3.1.1: f ( z ) , sonlu çokluktaki kutup yerleri hariç diğer yerlerde analitik
olsun ve reel eksen üzerinde f ( z ) ’nin kutup yeri bulunmasın. Ayrıca z > R olmak
üzere lim z f ( z ) = 0 olduğunu kabul edelim. z j
z →∞
( j = 1,2,…, n )
ler f ( z ) ’nin üst yarı
düzlemdeki kutup yerleri olmak üzere
∞
∫
−∞
f ( x ) dx = 2 π i ∑ Re z ( f , z j )
n
j =1
dir. Burada f ( x ) , f ( z ) ’nin reel eksen üzerindeki değeridir.
İspat: Şekil 3.1.1’de belirtilen γ = − RR + γ R kapalı eğrisini göz önüne alalım.
Şekil 3.1.1
78
f ’nin üst yarı düzlemdeki (Varsayım gereği f ’nin
üzerinde kutup yeri
yoktur) tüm z j kutup yerleri γ ’nın içinde kalacak şekilde R ’yi büyük seçelim. O
halde Cauchy Rezidü Teoremi gereği,
∫γ
n
f ( z ) dz = 2 π i ∑ Re z ( f , z j )
(3.1.2)
j =1
yazabiliriz. Burada I (γ , z j ) = 1 dir. Diğer yandan,
∫γ
f ( z ) dz =
R
∫ f ( x ) dx + γ∫ f ( z ) dz
−R
(3.1.3)
R
olduğu Şekil 3.1.1’den görülüyor. Varsayım gereği f , γ ’nın dışında süreklidir.
Varsayımda k = 0 olduğundan Lemma 3.1.1 gereği lim
R →∞
∫ f (z )dz = 0
dır. Böylece
γR
(3.1.2) ve (3.1.3)’den
∞
∫
f ( x ) dx = lim
R →∞
−∞
R
f ( x ) dx = 2 π i ∑ Re z ( f , z j )
n
∫
j =1
−R
bulunur.
Lemma 3.1.2: P ve Q kompleks polinomlar olmak üzere derQ ≥ 2 + derP
eşitsizliği sağlansın. Q ’nun
üzerinde sıfır yeri olmasın. Eğer f =
ve f ’nin üst yarı düzlemde sonlu çokluktaki kutup yerleri z j ise
∞
∫
−∞
f (x ) dx = 2 π i ∑ Re z ( f , z j )
n
j =1
dir.
İspat: Varsayım gereği f ,
lim z f ( z ) = lim z
z →∞
z →∞
üzerinde sürekli ve
P(z )
=0
Q( z )
dır. O halde Teorem 3.1.1 gereği,
79
P
biçiminde
Q
∞
f ( x ) dx =
∫
−∞
∞
∫
−∞
n
⎛P
⎞
P(x )
dx = 2 π i ∑ Re z ⎜⎜ , z j ⎟⎟
Q(x )
j =1
⎝Q
⎠
dir.
Lemma 3.1.3 (Jordan Lemması): z yeterince büyük olduğunda f ( z ) sürekli ve
M R = max f (z ) olmak üzere, lim M R = 0 olsun. Bu durumda m > 0 ve γ R orijin
R →∞
z =R
merkezli, R yarıçaplı üst yarı çemberi göstermek üzere,
lim ∫ e i m z f ( z ) dz = 0
R →∞
γR
dır.
π
İspat:
(
)
imz
imR e
it
it
∫ e f (z ) dz = ∫ e f Re i Re dt
γR
it
0
dir. Diğer yandan 0 ≤ t ≤ π 2 için sin t ≥
2
π
t olduğu göz önüne alınırsa,
π 2
π
imz
− mR sin t
dt = 2 R M R ∫ e − m R sin t dt
∫ e f (z )dz ≤ R M R ∫ e
γR
0
0
π 2
(
≤ 2 R M R ∫ e − 2 m R (t π ) dt = 1 − e − m R
0
) πm M
R
→∞
⎯R⎯
⎯→ 0
olur.
Lemma 3.1.4: f , reel eksen üzerinde bulunmayan sonlu sayıdaki kutup yeri dışında,
’de analitik ve lim M R = lim max f ( z ) = 0 olsun. Bu durumda, m > 0 ise z j ’ler
R →∞
R →∞
z =R
üst yarı düzlemde sonlu çoklukta kutup yerleri olmak üzere
∞
∫e
−∞
imx
f ( x ) dx = 2 π i ∑ Re z ( ei m z f ( z ) , z j )
j
dir.
İspat: γ = − RR + γ R şeklindeki γ kapalı eğrisini göz önüne alalım ve e i m z f (z )
80
fonksiyonunun üst yarı düzlemdeki tüm kutup yerleri γ ’nın içinde kalacak şekilde
R ’yi seçelim. O halde
R
imz
imx
imz
∫ e f (z )dz = ∫ e f (x )dx + ∫ e f (z )dz
γ
γR
−R
yazabiliriz. Cauchy Rezidü Teoremi gereği,
∫γ e
imz
f ( z ) dz = 2 π i ∑ Re z ( ei m z f ( z ) , z j )
j
olduğundan, Jordan Lemması 3.1.3 gereği, R → ∞ için
∞
∫e
imx
f ( x ) dx = 2 π i ∑ Re z ( ei m z f ( z ) , z j )
j
−∞
bulunur.
Not: Eğer m < 0 ise bu eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin önüne " − " işareti konur ve
alt yarı düzlemdeki kutup yerleri alınır.
Sonuç 3.1.1: P ve Q birer polinom olmak üzere f =
P
fonksiyonunu ele alalım.
Q
Eğer Q ’nun reel eksen üzerinde sıfır yeri yok ve derQ ≥ 1 + derP ve m > 0 ise z j
ler üst yarı düzlemdeki kutup yerleri olmak üzere
∞
∫e
−∞
imx
f ( x ) dx = 2 π i ∑ Re z ( ei m z f ( z ) , z j )
j
olur.
Lemma 3.1.5: Eğer f , reel eksen üzerinde bulunmayan sonlu sayıdaki kutup yeri
’de analitik ve lim max f ( z ) = 0 ise, m > 0 iken z j ’ler üst yarı
dışında,
R →∞
z =R
düzlemdeki kutup yerleri olmak üzere
∞
⎡
∫ f ( x ) cos ( mx ) dx = Re ⎢⎣2 π i∑ Re z ( e
−∞
j
81
imz
⎤
f ( z ) , z j )⎥
⎦
(3.1.4)
⎡
∞
∫ f ( x ) sin ( mx ) dx = İm ⎢⎣2π i∑ Re z ( e
imz
j
−∞
⎤
f ( z ) , z j )⎥
⎦
(3.1.5)
dir.
İspat: γ = − RR + γ R şeklindeki γ kapalı eğrisini göz önüne alalım ve e i m z f (z )
fonksiyonunun üst yarı düzlemdeki tüm kutup yerleri γ ’nın içinde kalacak şekilde
R ’yi yeterince büyük seçelim. Lemma 3.1.4 gereği,
∞
∫
f ( x ) cos ( mx ) dx =
−∞
∞
∫
f ( x ) Re ( ei m x ) dx = Re
−∞
∞
∫e
f ( x ) dx
imx
−∞
⎡
⎤
= Re ⎢ 2 π i ∑ Re z ( ei m z f ( z ) , z j ) ⎥
j
⎣
⎦
olur. Benzer şekilde
∞
∫
f ( x ) sin ( mx ) dx =
−∞
∞
∫
f ( x ) İm ( ei m x ) dx = İm
−∞
∞
∫e
imx
f ( x ) dx
−∞
⎡
⎤
= İm ⎢ 2 π i ∑ Re z ( ei m z f ( z ) , z j ) ⎥
j
⎣
⎦
elde edilir.
Sonuç 3.1 2: f fonksiyonu Lemma 3.1.5’deki gibi olsun. Eğer f çift fonksiyon ise,
∞
⎡
∫ f ( x ) cos ( mx ) dx = Re ⎢⎣π i∑ Re z ( e
imz
j
0
⎤
f ( z ) , z j )⎥
⎦
ve f tek fonksiyon ise,
∞
⎡
∫ f ( x ) sin ( mx ) dx = İm ⎢⎣π i ∑ Re z ( e
0
j
imz
⎤
f ( z ) , z j )⎥
⎦
olduğu kolayca görülür.
Lemma 3.1.6: R(cos t , sin t ) , cos t ve sin t ye göre rasyonel bir fonksiyon olsun.
Eğer R ’nin birim çember üzerinde hiçbir kutup yeri yoksa,
82
⎛ z 2 +1 z 2 −1⎞ 1
⎟
f ( z ) = R⎜⎜
,
2 i z ⎟⎠ i z
⎝ 2z
ve z j < 1 olmak üzere
2π
∫ R ( cos t , sin t ) dt = 2π i∑ Re z ( f ( z ) , z )
j
j
0
dir.
İspat: z = e i t denirse,
e i t − e −i t z − 1 z z 2 − 1
e i t + e −i t z + 1 z z 2 + 1
, cos t =
sin t =
=
=
=
=
2i
2i
2i z
2
2
2z
ve
dz = i e i t dt = i z dt ⇒ dt =
dz
iz
bulunur. Böylece γ birim çember olmak üzere, Cauchy Rezidü Teoremi gereğince
2π
∫
0
⎛ z 2 + 1 z 2 − 1 ⎞ dz
R ( cos t , sin t ) dt = ∫ R ⎜
,
⎟
2i z ⎠ i z
⎝ 2z
γ
= ∫ f ( z ) dz = 2 π i ∑ Re z ( f ( z ) , z j )
j
γ
elde edilir. Dikkat edilirse, R ’nin birim çember üzerinde kutup yeri olmadığında,
f ’in de birim çember üzerinde kutup yeri olmayacağı sonucu, son eşitlikte göz
önüne alınmıştır.
∞
3.2.
∫x
a −1
f ( x ) dx Formundaki İntegraller
0
Lemma 3.2.1: f , hiçbiri pozitif reel eksen üzerinde olmayan sonlu sayıdaki kutup
yerleri hariç
de analitik olsun ve a pozitif fakat tamsayı olmasın.
83
⎧⎪M 1 z b , z ≥ r
f (z ) ≤ ⎨
d
, 0< z ≤ε
⎪⎩M 2 z
eşitsizliği sağlanacak şekilde M 1 , M 2 , r , ε > 0 , b > a ,
0 < d < a sayılarının
var olduğunu kabul edelim. Bu takdirde z i ≠ 0 noktaları, z a −1 f ( z ) ’nin kutup yerleri
olmak üzere,
∞
a −1
∫ x f (x )dx =
0
− π e −π i a
sin (aπ )
∑ Re z (z
a −1
f (z ) , z k )
k
dir. Burada 0 < arg( z ) < 2π ve z a −1 = e (a −1) ln z dir.
İspat: γ = γ r + l1 + l 2 + γ ε kapalı eğrisini, l1 ve l 2 pozitif x-ekseni ile η açısı
yapacak biçimde ele alalım. γ , f ( z ) ’nin tüm kutup yerlerini içinde bulunduracak
şekilde r , ε ve η ’yı seçelim.
Şekil 3.2.1
84
∫γ z
a −1
f ( z ) dz = ∫ z a −1 f ( z ) dz + ∫ z a −1 f ( z ) dz + ∫ z a −1 f ( z ) dz + ∫ z a −1 f ( z ) dz
γr
γε
l1
(3.2.1)
l2
olduğu açıktır. Cauchy Rezidü Teoremi gereği,
∫γ z
a −1
f ( z ) dz = 2 π i ∑ Re z ( z a −1 f ( z ) , zk )
(3.2.2)
k
yazabiliriz. Dikkat edilirse f ( z ) ile z a −1 f ( z ) ’nin kutup yerleri, sıfır noktası dışında,
aynıdır. Şimdi (3.2.1) ifadesinin sağ tarafındaki 1. integralin r → ∞ için ve
3. integralin ε → 0 için sıfıra yaklaştığını gösterelim. Gerçekten,
∫z
γ
a −1
f ( z ) dz ≤
∫
γ
r
z a −1 f ( z ) dz ≤ M 1 ∫
γr
r
(z
a −1
z
b
) dz
(3.2.3)
r →∞
≤ 2 π M 1 r a −b ⎯⎯⎯
→0
∫z
γ
a −1
f ( z ) dz ≤
ε
∫
γ
z a −1 f ( z ) dz ≤ M 2 ∫
γε
ε
(z
a −1
z
d
) dz
(3.2.4)
ε →0
≤ M 2 ε a − d −1 l ( γ ε ) < 2 π M 2 ε a − d ⎯⎯⎯
→0
olduğu görülüyor. Diğer yandan ε ve r sabit olmak üzere η → 0 için 2. ve 4.
integralleri gözönüne alalım. l1 üzerinden alınan integralin tanımı ve integral
içindeki ifadenin [ε , r ] üzerinde düzgün yakınsadığı gözönüne alınırsa,
r
(
lim ∫ z a −1 f ( z ) dz = − lim ∫ t ei ( 2π −η )
η →0
η →0
l1
ε
)
a −1
(
)
f t ei ( 2π −η ) ei ( 2π −η ) dt
(3.2.5)
r
= − ∫ t a −1 e 2π i a f ( t ) dt
ε
ve benzer şekilde
r
lim ∫ z a −1 f ( z ) dz = ∫ t a −1 f ( t ) dt
η →0
l2
(3.2.6)
ε
olur. Bu nedenle (3.2.5) ve (3.2.6)’dan
85
r
⎡
⎤
lim ⎢ ∫ z a −1 f ( z ) dz + ∫ z a −1 f ( z ) dz ⎥ = (1 − e 2 π i a ) ∫ t a −1 f ( t ) dt
η →0
⎢⎣ l1
⎥⎦
ε
l2
r
= −2 i eπ i a sin (π a ) ∫ t a −1 f ( t ) dt
ε
elde edilir. Verilen δ > 0 için r yeterince büyük ve ε yeterince küçük seçilerek
r
∞
ε
0
a −1
a −1
∫ t f (t ) dt − ∫ t f (t ) dt < δ 4
yazılabilir. Dolayısıyla r ’yi büyük, ε ve η sayılarını da küçük seçerek
∫z
γ
a −1
f (z ) dz
r
− 2 i e π i a sin (π a )
∫z
γ
a −1
<δ 4
f ( z ) dz
ε
− 2 i e π i a sin (π a )
<δ 4
ve
∫z
a −1
l1
f ( z ) dz + ∫ z a −1 f ( z ) dz
l2
− 2 i e π i a sin (π a )
r
− ∫ t a −1 f (t ) dt < δ 4
ε
yazabiliriz. Buradan da
∞
∫t
a −1
0
f (t ) dt −
∫γ z
a −1
f ( z ) dz
− 2 i e π i a sin (π a )
<δ
olur. δ keyfi olduğundan,
∞
∫t
0
a −1
∫γ z
a −1
f (z ) dz
− π e −π i a
f (t ) dt =
=
− 2 i e π i a sin (π a ) sin (π a )
bulunur. Bu ise istenilen sonuçtur.
86
∑ Re z (z
k
a −1
f (z ) , z k
)
3.3. Genelleştirilmiş İntegraller ve Cauchy Esas Değeri
Tek değişkenli fonksiyonların belirli integrallerinde integral sınırlarından en
az biri veya ikisi sonsuz ancak fonksiyon sürekli; integral sınırları sonlu fakat
integralleme aralığındaki bir noktada fonksiyon sınırsız ya da integral sınırlarından
en az bir tanesi sonsuz ve aynı zamanda fonksiyonun integralleme aralığındaki bir
noktada sınırsız ise bu tip integrallere genelleştirilmiş integraller denir.
Genelleştirilmiş integrallerin sonuçlarının mevcut olması durumunda
integrale yakınsak aksi halde ıraksak denir.
∞
∫ f (x )dx genelleştirilmiş integrali verilsin.
Tanım 3.3.1:
−∞
∞
(a)
r
c
∫ f (x ) dx = lim ∫ f (x ) dx + lim ∫ f (x ) dx
r →∞
−∞
c
r →∞
−r
∞
integral değeri mevcutsa
∫ f (x ) dx integralinin alışılmış değeri;
−∞
∞
(b)
∫
−∞
r
f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx
r →∞
−r
∞
integralinin sonucu mevcut ise bu sonuca da
∫ f (x ) dx
integralinin Cauchy Esas
−∞
Değeri denir.
Bu iki hali birbirinden ayırt etmek için alışılmış değeri,
∞
∫ f (x ) dx
−∞
simgesi ile, Cauchy Esas Değerini de
∞
P.V . ∫ f ( x ) dx
−∞
87
simgesi ile gösterelim.
Not: Bir genelleştirilmiş integralin alışılmış değeri ile Cauchy Esas Değeri mevcut
ise bu sonuçlar eşit olmak zorundadır. Ancak bir integralin Cauchy Esas Değeri
mevcut olduğu halde alışılmış değeri olmayabilir. Çünkü (a) şıkkındaki limitlerden
bir tanesi mevcut olmayabilir. Bu durumda integral alışılmış anlamda ıraksaktır.
Diğer taraftan (b) şıkkındaki Cauchy Esas Değeri’nde iki limit bir arada olduğunda,
birisi diğerinin ıraksaklığını ortadan kaldırabilir. Örneğin,
ε
∞
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
dx
dx
dx
=
+
− 2 ⎟ + lim ⎜ 2 ⎟ = ±∞
lim
lim
⎜
∫− ∞ x3 ε →0 −∫∞ x3 ε →0 ∫ε x3 = lim
ε →0
⎝ 2 ε ⎠ ε →0 ⎝ 2 ε ⎠
∞
yani alışılmış değeri yoktur. Halbuki,
∞
r
1 ⎞
dx
dx
⎛ 1 ⎞r
⎛ 1
=
=
lim
lim
⎜ − 2 ⎟ = lim ⎜ − 2 + 2 ⎟ = 0
3
3
∫
r →∞
r →∞
2r ⎠
⎝ 2 x ⎠ − r r →∞ ⎝ 2r
−∞ x
−r x
P.V . ∫
yani Cauchy Esas Değeri vardır.
Olası bir yanlışlığı önlemek için (a) daki tanımı
∞
∫
−∞
ε
f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim
ε →∞
η →∞
c
c
∫ f (x ) dx
−η
biçiminde yazmakta yarar vardır. Çünkü çoğu kez, limitleri ayrı ayrı almak yerine,
aynı değişkene bağlılığı nedeniyle toplamın limiti alınabilir. Bu da yanlış sonuç verir.
Buna göre yukarıdaki örnekte
∞
∫
−∞
ε
∞
dx
dx
dx
= lim ∫ 3 + lim ∫ 3
3
ε →0
η →0
x
−∞ x
η x
şeklinde yazılması daha uygun olur. Bu uyarıya göre, örneğin;
f,
[a, b]
b
aralığında c noktası hariç sürekli ise,
∫ f (x )dx
a
alışılmış değeri ve Cauchy Esas Değeri sırasıyla,
88
integralinin
c −ε
b
b
∫ f (x )dx = lim
∫ f (x )dx + ηlim ∫η f (x )dx
ε
→0
a
→0
a
c+
ve
b
b
⎡ c −ε
⎤
P.V . ∫ f ( x ) dx = lim ⎢ ∫ f ( x ) dx + ∫ f (x ) dx ⎥
ε →0
a
c +ε
⎣ a
⎦
olarak tanımlanır.
Not: f , x1 < x 2 < x3 < … < x n özelliğindeki xi noktaları dışında
üzerinde sürekli
olsun. Eğer her ε > 0 için,
x1 −ε
∫
∞
f ( x ) dx
∫ f (x ) dx
ve
xn + ε
−∞
integralleri yakınsak ve
x 2 −ε
⎧⎪ x1 −ε
lim ⎨ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx +
ε →0
⎪⎩ − ∞
x1 +ε
∞
var ve sonlu ise
∫
−∞
+
x n −ε
∫
f ( x ) dx +
xn −1 +ε
⎫⎪
(
)
f
x
dx
⎬
∫
⎪⎭
xn +ε
∞
∞
f ( x ) dx genelleştirilmiş integralinin P.V . ∫ f ( x ) dx ile gösterilen
−∞
Cauchy Esas Değeri
⎧⎪ x1 −ε
P.V . ∫ f ( x ) dx = lim ⎨ ∫ f (x ) dx +
ε →0
⎪⎩ − ∞
−∞
∞
+
x n −ε
∫
f ( x ) dx +
xn −1 +ε
⎫⎪
(
)
f
x
dx
⎬
∫
⎪⎭
xn + ε
∞
şeklinde hesaplanır.
Lemma 3.3.1: f fonksiyonunun, z 0 daki rezidüsü b1 = Re z ( f , z 0 ) olan bir basit
kutup yeri bulunsun. γ = γ (ε , t ) ,
z − z0 = ε
çemberi üzerinde bulunan ve
merkezden θ açısı ile görülen bir yay olsun. Bu durumda,
lim
ε →0 +
∫γ f (z ) dz = iθ b
1
dir.
89
İspat: Varsayım gereği g , z 0 ’ın bir komşuluğunda, dolayısıyla bir δ > 0 için
z − z 0 ≤ δ üzerinde analitik olmak üzere, f ( z ) = g ( z ) + b1 ( z − z 0 )
−1
yazabiliriz.
Eğer z − z 0 = ε çemberi bu komşulukta bulunuyor ve γ bu çemberin yayı oluyor
ise
∫γ f ( z ) dz = ∫γ g ( z ) dz + b ∫γ
1
dz
z − z0
(3.3.1)
olur. M , g ( z ) için z − z 0 ≤ ε üzerinde bir sınır olmak üzere
∫γ g (z ) dz
≤ εθ M
dir. γ üzerinde z = z 0 + ε e i t noktası alınırsa,
∫γ
dz
=
z − z0
t 0 +θ
∫
t0
i e i t dt
= iθ
e it
dır. Böylece bu değerler (3.3.1)’de yerine konup ε → 0 + için limit alınırsa istenen
sonuç elde edilir.
Teorem 3.3.1: f ( z ) , sonlu sayıda kutup noktası hariç analitik fonksiyon ve
x1 , x 2 ,…, x n noktaları f ’nin reel eksen üzerindeki basit kutup yerleri olsun. Bu
durumda, İm z ≥ 0 ve z ≥ R için f ( z ) ≤ M z
2
olacak biçimde M > 0 ve R > 0
sayıları varsa,
∞
P.V . ∫ f ( x ) dx
−∞
vardır ve z j ler f ’nin üst yarı düzlemdeki aykırı noktaları olmak üzere,
∞
P.V . ∫ f ( x ) dx = 2 π i ∑ Re z ( f ( z ) , z j ) + π i ∑ Re z ( f ( z ) , x k )
−∞
n
k =1
j
dir.
90
İspat: Şekil 3.3.1 de görüldüğü gibi her bir xi merkez olmak üzere ε i yarıçaplı
çemberler çizelim ve bunların üst yarı düzlemdeki yaylarını sırasıyla γ 1 , γ 2 , …, γ n ile
gösterelim.
Şekil 3.3.1
Orijin merkezli r yarıçaplı çember bütün γ i yaylarını ve üst yarı düzlemdeki
kutup yerlerini içinde bulunduracak şekilde bir r seçelim ve bunun üst yarı
düzlemdeki kısmını da γ r ile gösterelim. γ~ da reel eksen üzerinde belirtilen doğru
+ γ n + γ~ kapalı bir eğri
parçalarının toplamı olsun. Bu durumda γ = γ r + γ 1 + γ 2 +
olur ve
∫γ f ( z ) dz = γ∫ f ( z ) dz + γ∫ f ( z ) dz +
r
=
1
+ ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( x ) dx
γn
n
∫ f ( z ) dz + ∑ γ∫ f ( z ) dz + ∫γ f ( x ) dx
i =1
γr
γ
(3.3.2)
i
eşitliği yazılabilir. Cauchy Rezidü Teoremi gereğince,
∫γ f ( z ) dz = 2π i∑ Re z ( f ( z ) , z )
j
j
dir. Diğer yandan Teorem 3.1.1 gereği,
91
(3.3.3)
lim ∫ f ( z ) dz = 0
r →∞
(3.3.4)
γr
olur. Çünkü İm z ≥ 0 özelliğindeki büyük z ler için
f (z ) ≤ M z
2
dir. Lemma
3.3.1 dikkate alınırsa, i = 1, 2 ,…, n için
n
lim ∑
r →∞
∫ f ( z ) dz = − π i Re z ( f , x )
(3.3.5)
i
i =1 γ i
yazılabilir. Dolayısıyla her ε > 0 için
x1 −ε
∫
∞
f ( x ) dx
∫ f (x ) dx
ve
xn + ε
−∞
integrallerinin yakınsak olduğu,
f (z ) ≤ M z
2
İm z ≥ 0
özelliğindeki büyük
z
ler için
oluşundan ve integraller için karşılaştırma kriterinden görülür. Bu
nedenle
lim ∫ f ( x ) dx
r →∞ ~
γ
limiti vardır. O halde
⎛
lim ⎜ lim
ε →0 ⎜ r →∞
⎝
⎞
∫γ f ( x ) dx ⎟⎟
(3.3.6)
⎠
değeri vardır ve bu eğer, Cauchy Esas Değerinin tanımı gereği,
∞
P.V . ∫ f ( x ) dx
−∞
dir. Dolayısıyla (3.3.2),(3.3.3),(3.3.4),(3.3.5) ve (3.3.6)’dan
∞
n
P.V . ∫ f ( x ) dx = 2 π i ∑ Re z ( f ( z ) , z j ) + π i ∑ Re z ( f ( z ) , xk )
−∞
k =1
j
elde edilir.
92
∞
∞
sin x
π
dx =
x
2
0
ei x
Sonuç 3.3.1: (i) P.V . ∫
dx = π i
x
−∞
(ii) P.V . ∫
dir.
∞
ei x
Örnek 3.3.1: P.V . ∫
dx = π i olduğunu gösterelim.
x
−∞
Teorem 3.3.1 gereği,
e
f (z ) =
iz
z
nin sadece z = 0 ’da bir basit kutup yeri
vardır. Buradaki rezidü ise,
Re z ( f , z 0 ) = lim ( z − z 0 ) f ( z ) = lim z
z → z0
z →0
ei z
=1
z
dir. Böylece Teorem 3.3.1 gereği,
∞
P.V .
ei x
∫ x dx = π i
−∞
elde edilir.
∞
sin x
π
dx = olduğunu gösterelim.
x
2
0
Örnek 3.3.2: P.V . ∫
( )
İm e i x = sin x ve f ( x ) =
∞
sin x
çift fonksiyon olduğundan,
x
∞
∞
sin x
1
sin x
1
ei x
⎛π i ⎞ π
dx = P.V . ∫
dx = İm ∫
dx = İm ⎜ ⎟ =
2
2
x
x
x
⎝ 2 ⎠ 2
−∞
−∞
0
P.V . ∫
elde edilir.
3.4. Çok Değerli Fonksiyonların İntegralleri
Çok değerli fonksiyonların integrallerini hesaplarken fonksiyonun sadece bir
dalına uygun bir eğri seçmek gerekir. Bu tip integrallerin nasıl hesaplanacağını bir
örnekle gösterelim.
93
∞
Örnek 3.4.1:
∫
1
dx
x x −1
2
integralinin değerinin,
π
2
olduğunu gösterelim.
Şekil 3.4.1
z 2 − 1 için uygun bir bölgenin,
’den x ≥ 1 ve x ≤ −1 doğruları
çıkarıldığında elde edilen bölge olarak alınabilir olduğunu biliyoruz. γ , Şekil 3.4.1
deki eğri olsun. Bu durumda
1
z z2 −1
,
’den x ≥ 1 ve x ≤ −1 yarım doğruları
çıkarılarak elde edilen bölgede, z = 0 daki basit kutup yeri hariç analitiktir.
Cauchy Rezidü Teoremi gereğince,
∫γ
⎛
⎞
1
= 2 π i Re z ⎜
, 0 ⎟ = 2π
2
z z2 −1
⎝ z z −1
⎠
dz
(3.4.1)
dir. Diğer yandan
lim ∫
r →0
γr
dz
z z2 −1
=0
(3.4.2)
94
olduğu görülmektedir. Çünkü modülü büyük z ’ler için,
1
z z 2 −1
M
≤
2
z
dır. Ayrıca
lim ∫
ε →0
γε
dz
z z2 −1
=0
(3.4.3)
olduğu görülür. Çünkü bu çember üzerinde,
1
∫
γ
z z2 −1
ε
≤
εk
= ε k , ( k sabit )
ε
dır. ε ve r sabit olduğunda, yatay doğrular üzerindeki integral ise,
r
4
∫ε
1+
dx
x x2 −1
değerine yaklaşır. Böylece (3.4.1), (3.4.2), (3.4.3) ve (3.4.4)’den
∞
∫
1
dx
x x2 −1
=
π
2
olduğu görülür.
95
(3.4.4)
4. TARTIŞMA VE SONUÇ
Bu tezde önce analitik(holomorf) fonksiyonların bazı temel özellikleri verildi.
Daha sonra teknik ve mühendislikte önemli uygulamalara sahip rezidü kavramı ve
rezidü hesaplama metodları incelendi. Rezidünün bir uygulaması olan belli tipten
reel genelleştirilmiş integrallerin rezidü yardımıyla hesaplanması tez içinde ele
alındı. Son olarak bazı genelleştirilmiş integrallerin klasik ve Cauchy esas değeri
karşılaştırmalı olarak incelenmiş ve çok değerli fonksiyonlar için rezidü hesabı
örneklerle ortaya konmuştur.
96
KAYNAKLAR
[1] BAŞKAN, T., “Kompleks Fonksiyonlar Teorisi”, Uludağ Üniv. Basımı, 1996.
[2] BROWN, J. W. and CHURCHILL, R. V., “Complex Variables and
Applications”, MC GRAW-HILL, Inc., 1996.
[3] EVGRAFOV, M. A., “Analytic Functions”, W. B. Saunders Company,
Philadelphia and London, 1966 [Trans. from Russian by GELBAUM, B. R.].
[4] MARKUSHEVICH, A. I., “The Theory of Analytic Functions: A Brief Course”,
MIR
PUBLISHERS,
MOSCOW,
1983
[Trans.
from
Russian
by
YANKOVSKY, E.].
[5] TUTSCHKE, W., “Funktionentheorie für Physiker”, Lecture Notes, Institut für
Mathematik D, TU. GRAZ, 1999.
[6] ULUÇAY, C., “Fonksiyonlar Teorisi ve Riemann Yüzeyleri”, Karadeniz Teknik
Üniversitesi Temel Bilimler Fakültesi Yayınları, 1978.
97