indir

ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
4. TRANSFER FONKSİYONU VE BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME
4.1 Hedefler
Bu bölümün amacı;
1.
Transfer fonksiyonu ile blok diyagramları arasındaki ilişki incelemek,
2.
Fiziksel sistemlerin blok diyagramlarını elde etmek,
3.
Blok diyagramlarının indirgenme yöntemlerinin tanıtmaktır.
4.2 Blok Diyagram
Hatırlanacağı üzere bir sistemin transfer fonksiyonu başlangıç koşulları sıfır kabul edilerek
çıkış değişkenin Laplace dönüşümünün, sistem girişinin Laplace dönüşümüne oranı olarak
tanımlanır. Eğer sistemin giriş değişkeni 𝑟(𝑡) ve Laplace dönüşümü R(s); çıkış değişkeni c(t) ve
Laplace dönüşümü C(s) ise, Sistemin transfer fonksiyonu G(s) :
G(s) 
L  c(t )
L  r (t )

C (s)
R( s )
Transfer fonksiyonu sistemin girişi ile çıkışı arasındaki bağıntıdır ve blok diyagramı yardımı ile
basit şekilde gösterilebilir,
R(s)
G(s)
C(s)
Şekil 4.1 Bir sistemin blok diyagramı
Bir kontrol sistemi birçok elemandan oluşabilir. Kontrol mühendisliğinde, her bir elemanın
yerine getirmiş olduğu işlevi (dinamiğini) göstermek için blok diyagram adı verilen dikdörtgen
şeklinde diyagramlar kullanılır. Bir kontrol sisteminde herhangi bir eleman, giriş ve çıkış
arasındaki ilişkiyi (Transfer fonksiyonu) gösteren bir blok diyagram ile gösterilebilir.
Şekil 4.1. bir kontrol sistemi elemanının ya da sistemin tamamının blok diyagram şeklinde
gösterimidir. Kontrol sistemini oluşturan elemanların transfer fonksiyonları blok diyagramların
içinde gösterilir ve elemanın fiziksel olarak bağlı olduğu diğer elemana yönleri oklarla belirtilen
sinyal akış diyagramları ile bağlanırlar. Blok diyagrama yönelmiş ok tarafındaki değişken girişi,
okun ayrıldığı taraftaki değişken ise çıkışı simgeler.
1
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
Herhangi bir doğrusal kontrol sistemi bloklar, toplama (Summing) ve dallanma (Branch)
noktaları içeren blok diyagramları ile ifade edilebilir.
Toplama Noktası (Summing Point): Blok diyagramlarında iki sinyalin toplam veya farkı Şekil
4.2’de gösterilen çember şeklindeki elemanla gösterilir. Bir sinyalin diğer sinyale ekleneceği ya
da çıkarılacağı sinyali belirten okun ucuna toplam ya da fark işareti konulması ile belirlenir.
E(s)
R(s) +
X(s)
Şekil 4.2 Toplama noktası 𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) ± 𝑋(𝑠)
Dallanma Noktası (Branch Point). Bir sinyal bir bloğun çıkışından alınıp kontrol sisteminin
başka bir kısmındaki toplama noktasında veya blokta kullanılabilir. Sinyalin ayrıldığı bu noktaya
dallanma noktası adı verilir ve Şekil 4.3’te gösterilmiştir.
Y(s)
Y(s)
Şekil 4.3 Dallanma noktası
Bir sistemin blok diyagramı sistemi oluşturan her bir elemanın işlevini ve diğer sistem
elemanları ile olan ilişkisini bloklar ve sinyal akış şemaları kullanarak resimsel olarak
gösterimidir. Bu sayede tamamen matematiksel ifadeler ile sistemin anlamak yerine blok
diyagramları vasıtası ile sistemin işleyişi daha net şekilde anlaşılabilir.
Bir blok diyagram sistemin dinamiği ile ilgili bilgi içermesine karşın sistemin fiziksel
yapısı hakkında bir bilgi vermez. Bu nedenle birçok farklı ve birbiri ile benzerliği olmayan
fiziksel sistem aynı blok diyagram gösterimine sahip olabilir. Bir blok diyagramda enerji kaynağı
açık bir şekilde gösterilmez ve ayrıca aynı sistem farklı blok diyagramlar ile de ifade edilebilir.
Aynı sistem için analiz yaklaşımına göre farklı blok diyagramlar elde edilebilir.
4.3 Kapalı çevrim bir sistemin blok diyagramı
Şekil 4.4’ kapalı çevrim basit bir sistemin blok diyagramı verilmiştir. Çıkış C(s) toplama
noktasına geri beslenmektedir. Geri besleme işleminin yapılabilmesi için bir ölçüm cihazına
2
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
ihtiyaç vardır ve burada H(s) ölçüm cihazının karakteristiğini belirtmektedir. Çıkış değeri C(s),
ölçüm cıhazı karakteristiği ile çarpılarak R(s) ile aynı niceliğe getirilmekte ve toplam noktasına
geri beslenmektedir. Geri besleme sinyali, toplam noktasında referans girişi R(s) ile
kıyaslanmaktadır. E(s) ise gerçek çıkış değeri ve referans değeri arasındaki fark veya toplamdır.
R(s)
+
+
E(s)
C(s)
G(s)
B(s)
H(s)
Şekil 4.4 Basit bir geri beslemeli sistem blok diyagramı
Geri besleme sinyali B(s) ile hata sinyali E(s) oranına açık-çevrim (open-loop) transfer
fonksiyonu adı verilir.
Açık çevrim transfer fonksiyonu =
B( s )
 G( s) H (s)
E ( s)
Çıkış C(s)’in hata sinyali E(s)’e oranına ileri-besleme (feedforward) transfer fonksiyonu
denir ve aşağıdaki gibi ifade edilir:
İleri-besleme transfer fonksiyonu =
C ( s)
 G(s)
E ( s)
Eğer H(s)=1 ise İleri-besleme transfer fonksiyonu ile Açık çevrim transfer fonksiyonu
aynıdır.
Kapalı Çevrim Transfer Fonksiyonu: Şekil 4.4 ile verilen sistem transfer fonksiyonu
C (s)
R(s)
bulunarak tek bir blok ile gösterilebilir. Şekil 4.4 ile verilen basit bir kapalı çevrim sisteminin
transfer fonksiyonunun bulunması aşağıda verilmiştir (C(s): Çıkış ve R(s): Giriş):
3
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
C ( s)  E ( s)G( s)



E ( s )  R( s ) B( s ) 

  E ( s )  R( s ) C ( s ) H ( s) 
B( s )  C ( s) H ( s) 

C ( s)   R( s) C ( s) H ( s) G( s)
Yukarıdaki denklemlerden E(s) yok edilirse;
C (s)   R(s) C (s) H (s)G(s)  C( s)1  G( s) H ( s)  R( s)G( s)
C (s)
G(s)

R( s ) 1  G ( s ) H ( s )
Kapalı çevrim transfer fonksiyonu olarak elde edilir.
4.4 İki Girişli Sistemler ( Gürültü Sinyali N(s) veya Bozucu giriş D(s)’in Sistem
Üzerindeki Etkisi )
Kontrol sistemleri çalışmalarında önemli bir konu da sisteme bozucu bir sinyal girişi
olması durumudur. Bozucular genellikle kontrol sistemlerinin performanslarını kötü yönde
etkilerler. Bozucu içeren basit bir kapalı çevrim sistem Şekil 4.5’te verilmiştir. Sistemde bozucu
olması durumunda kontrolcü tasarlamadan önce bozucu N(s)’in sistem üzerindeki etkisinin
incelenmesi gereklidir. Bunun için çok girişli sistemlerde Süperpozisyon ilkesi uygulanır.
Disturbance (Bozucu)
N(s)
R(s)
+
G (s)
+
+
G (s)
1
C(s)
2
H(s)
Şekil 4.5 Bozucu giriş içeren basit bir kapalı çevrim sistemin blok diyagramı
Önce bozucu giriş N(s) = 0 alınarak sadece referans giriş R(s)’in ürettiği sistem çıkışı
CR ( s) elde edilir ve sonra da referans giriş R(s) = 0 olarak alınarak bozucu giriş N(s)’in ürettiği
4
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
sistem çıkışı CN ( s) elde edilir. Her iki giriş R(s) ve N(s)’in eş zamanlı sistem üzerine etki etmesi
durumu Süperpozisyon ilkesi yardımıyla, elde edilen çıkışların toplanması ile bulunur:
C (s)  CR (s)  CN (s)
(i)
CR ( s) : R(s)’in tek başına sisteme etki ettiği durumdaki sistem çıkışı (N(s)=0):
N(s) = 0 olduğunda, blok diyagramın basitleştirilmiş hali,
N ( s)  0 
CR ( s )
G1 ( s)G2 ( s)

R( s) 1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
R(s)
+
G (s)
CR(s)
G (s)
1
2
H(s)
(ii)
Benzer şekilde sadece N(s) olduğu durumda elde edilen çıkış CN ( s) (R(s)=0)
R(s) = 0 olduğunda, blok diyagramın basitleştirilmiş hali,
R( s )  0 
CN ( s )
G2 ( s)

N ( s) 1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
N(s)
+
CN(s)
G (s)
2
G (s)
1
H(s)
Doğrusal sistemler için sistemin toplam çıkış cevabı ayrı ayrı girişler için elde edilen
çıkış cevaplarının toplamı ile bulunabilir:
C ( s )  CR ( s )  C N ( s )  C ( s ) 
G2 ( s)
G1 (s) R(s)  N (s) 
1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
G1 (s)G2 (s) H (s) açık çevrim transfer fonksiyonudur. Sistemin karakteristik denklemi kapalı
çevrim transfer fonksiyonun paydasıdır: 1  G1 (s)G2 (s) H ( s)
5
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
Gözlemler:
a)
𝐺1 (𝑠)𝐻(𝑠) ≫ 1 ve 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)𝐻(𝑠) ≫ 1 olduğu durum için:
Bu durumda, kapalı çevrim transfer fonksiyonu
CN ( s)
sıfıra çok yakın bir değer alır ve
N ( s)
böylelikle bozucu etkisi bertaraf edilmiş olur:
G2 ( s)
CN ( s )
1


 1  0
N ( s) G1 ( s) G2 ( s) H ( s) G1 ( s) H ( s)
Kapalı çevrim sistemlerin en büyük avantajlarından biri bozucu etkisini yok etmeye
çalışmalarıdır.
b)
Diğer yandan, G1 (s)G2 (s) H (s) değeri arttıkça kapalı çevrim transfer fonksiyonu
→
CR ( s )
R( s)
1
‘e yaklaşır.
H (s)
Diğer bir ifade ile 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)𝐻(𝑠) ≫ 1. ise
G1 ( s)G2 ( s)
CR ( s )
1


R( s )
G1 ( s)G2 ( s) H ( s) H ( s)
Kapalı çevrim transfer fonksiyonu
CR ( s )
, G1 ( s) ve G2 ( s) ’den bağımsız hale gelir. Bu
R( s)
kapalı çevrim sistemlerin diğer bir avantajıdır. H (s)  1 durumunda açıkça görülmektedir
ki kapalı çevrim bir sistem giriş ve çıkışı eşitlemeye çalışır;
Geri besleme hatası: E (s)  R(s)  CR (s)  0

H (s)  1 yapılarak geri besleme hatası etkin bir şekilde azaltılabilir.
Not: Bununla birlikte G1 ( s) kazancının belirli bir değerin üzerine çıkması sistemi kararsız
yapabilir.
6
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
4.5 Blok diyagram indirgeme yöntemleri
Bir kontrol sisteminin transfer fonksiyonu blok diyagramının sadeleştirilerek tek bir bloğa
indirgenmesi ile bulunabilir. Karmaşık blok diyagramlar için kıyaslama elemanının (Fark yada
toplam elemanı) veya dallanma noktasının yer değiştirilmesi indirgeme işlemini kolaylaştırır.
Aşağıdaki tabloda blok diyagram indirgeme kurallarının en yaygınları verilmiştir:.
B
+
A
A
A-B
+
C
+
B
A+C-B
+
A-B+C
-
-
A
C
A+C
+
-
+
C
A
A
AG1
G1
G1
G2
A
G
G2
AG1 +
-+
AG1G 2
-
AG1+AG2
A
A
G
B
G 1G 2
-
G 1+G2
AG1G 2
-
AG1+AG2
AG2
AG
A
AG
A
A+C-B
AG
A
G
G
A
AG
AG
AG
G
1
G
A
7
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
A +
-+
B
G1
A
B
G1
+
1 G1G 2
-
G2
4.6 Karmaşık sistemlerin Blok diyagramlarının indirgenmesi
Örnek 1: Aşağıda verilen kapalı çevrim sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz.
Kural 5’i kullanarak H1 içeren dalı sağa kaydır.
H1
R(s) +
--
-
G1
+
+
+
G2
+
G3
-
+
G4
C(s)
H2
H3
H4
Kural 2’i kullanarak iki seri bağlanmış G3 ve G4’ü tek bloğa indirge.
Kural 6’i uygulayarak içteki kapalı çevriminin transfer fonksiyonunu elde et.
R(s) +
--
-
G1
+
H1
G4
+
G2
+
+
+
-
G3
A1
G4
C(s)
H2
H3
H4
A1 ( s) 
G3 ( s) G4 ( s)
1  G3 ( s) G4 ( s) H 2 ( s)
8
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
Tekrar Kural 6’i uygulayarak içteki kapalı çevriminin transfer fonksiyonunu elde et.
H1
G4
-
R(s) +
G1
--
+
+
G2
A1
+
C(s)
A2
H3
H4
A2 ( s) 
A1 ( s)
1  A1 ( s) H 3 ( s)
Kural 2’i kullanarak iki seri bağlanmış G2 ve A2’yi tek bloğa indirge.
Kural 6’yı uygulayarak üstteki kapalı çevriminin transfer fonksiyonunu elde et.
A3
-
R(s) +
G1
--
+
H1
G4
G2
A2
C(s)
A4
H4
A3 ( s) 
G2 ( s) A2 ( s)
H ( s)
1  1 G2 ( s) A2 ( s)
G4 ( s)
A4 ( s) 
G1 ( s) A3 ( s)
1  G1 ( s) A3 ( s) H 4 ( s)
Kural 2’i kullanarak iki seri bağlanmış G1 ve A3’yi tek bloğa indirge.
Kural 6’yı uygulayarak kapalı çevriminin transfer fonksiyonunu elde et.
R(s) +
--
G1
A3
A4
C(s)
R(s)
A4
C(s)
H4
9
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
Örnek 2:
H1
R(s) +
+
--
+
-
+
G1
G2
C(s)
G3
H2
R(s) +
+
--
+
-
G1
H1
A1
+
G2
G3
C(s)
H2
G3
G2 ( s) G3 ( s)
1  G2 ( s) G3 ( s) H1 ( s)
A1 ( s) 
R(s) +
+
--
+
A2 ( s) 
G1
G1 ( s) A1 ( s)
H ( s)
1  G1 ( s) A1 ( s) 2
G3 ( s)
C(s)
A1
A2
H2
G3
R(s)
+
-A3 ( s) 
A2
A3
C(s)
R(s)
A3
C(s)
A2 ( s)
C ( s)

R( s) 1  A2 ( s)
10
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
ÖRNEK 2b: Öğrenciye çözülmeyecek
H1
R(s) +
+
--
+
-
+
G1
G2
G3
G2
G3
C(s)
H2
R(s) +
+
--
+
H1
G1
-
+
G1
C(s)
H2
A1 ( s) 
G1 ( s) G2 ( s)
1  G1 ( s) G2 ( s) H 2 ( s)
-
R(s) +
+
--
A2 ( s) 
H1
G1
+
+
G1
A1 ( s) G3 ( s)
H ( s)
1  A1 ( s) G3 ( s) 1
G1 ( s)
A2
G2
G3
C(s)
A1
H2
R(s) +
-A3 ( s) 
A2
A3
C(s)
R(s)
A3
C(s)
A2 ( s)
C ( s)

R( s) 1  A2 ( s)
11
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
Örnek 3:
H1
R(s) +
+
G1
--
+
-
+
+
+
G2
G3
C(s)
H2
H3
H1
G2
R(s) +
+
G1
--
A1
+
-
+
G2
A2
+
+
G3
C(s)
H2
H3
A1 ( s) 
H1 ( s)
1
G2 ( s)
R(s) +
A2 ( s) 
G1
--
G2 ( s)
1  G2 ( s) H 2 ( s)
+
A1
+
A2
H3
A1 ( s) A2 ( s) G3 ( s)
1  A1 ( s) A2 ( s) G3 ( s) H 3 ( s)
R(s) +
--
G1
A4
C(s)
A3
A4
A3 ( s) 
G3
A3
A4 ( s) 
G1 ( s) A3 ( s)
C ( s)

R( s) 1  G1 ( s) A3 ( s)
C(s)
R(s)
A4
C(s)
12
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
Örnek 4:
R(s) +
10
s+1
--
R(s) +
C(s)
1
s
--
2
+
R(s) +
1
s
C(s)
2
+
10
s+21
--
10
s+1
C(s)
1
s
R(s)
10
s +21s+10
C(s)
2
Örnek 5:
R(s) +
+
G1
-
+
+
G3
R(s) +
G2
-
G1
-
+
+
+
-
G3
H
G2
C(s)
H
C(s)
G2
1+G2H
G1+G3
-
R(s) +
C(s)
R(s)
G2(G1+G3)
1+G2H+G (G1+G3)
C(s)
Örnek 6:
H4
+
R(s)
+
--
G1
+
-
G2
H3
+
G3
G4
C(s)
+
H1
H2
H3 - H4
R(s)
+
--
G1
+
-
G2
+
G3
G4
C(s)
+
H1
H2
13
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
(H3 - H4)/G4
R(s)
+
+
G1
--
+
G2
-
G3
+
C(s)
G4
A1
H1
H2
H2
(H3 - H4)/G4
A2
R(s)
+
+
G1
--
G2
-
C(s)
A1
A3
H2
A4
H2
R(s)
+
+
G1
--
C(s)
A2
-
R(s)
A3
A4
C(s)
H2
A4
H2
Örnek 7: Aşağıda blok diyagramı verilen sistem için C/R oranını bulunuz.
+
4
R(s)
+
+
--
-
+
7
+
23
+
2
3
C(s)
+
2
+
+
1
8
2
+
2
3
R(s)
+
+
7
+
+
23
+
2
3
C(s)
+
-- -
4
1
8
4
1
8
4
14
ESM 406 Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü
3
+
R(s)
+
7
+
+
+
23
2
+
-- -
3
C(s)
4
1
2
1
2
R(s)
+
+
--
R(s)
R(s)
R(s)
7
+
+
--
-
+
--
-
+
+
--
-
-
23
+
7
7
2
+
-
+
R(s) +
+
+
+
+
3
4
6
23
23
+
+
C(s)
6
23
23
C(s)
C(s)
23
6
R(s)
C(s)
6
7
7
23
6
1
4
C(s)
R(s)
1
3
+
+
--
-
6
C(s)
23
6
C(s)
15