2. Determinant ve matrislerle dört işlem

Transkript

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
Mühendislik Mimarlık Fakültesi
İnşaat Mühendisliği Bölümü
E-Posta: [email protected]
Web: http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
Bilgisayar Destekli
Nümerik Analiz
Ders notları 2014
Ahmet TOPÇU
Determinant
Matris
 a11
a
det A = det  21
 .

 a n1
a12
...
a 22
...
.
...
...
an2
a1n  a11
a 2 n  a 21
=
. 
.

a nn  a n1
a12
...
a1 n
a 22
...
a2n
.
...
...
.
an2
a nn
Cnxs=Anxm Bmxs
2
DETERMİNAT VE MATRİSLERLE DÖRT
İŞLEM
22
2. DETERMİNANT VE MATRİSLERLE DÖRT İŞLEM
Kare matrisin determinantı
Matris çok sayıda sayıyı barındıran bir tablodur, kendi sayısal değeri yoktur. Fakat her kare
matrise ait determinant1 denilen; pozitif, negatif veya sıfır olabilen bir sayı vardır.
Determinantını bildiğimiz matris hakkında önemli bazı yorumlar yapabilir, karar verebiliriz.
Determinant kelimesi; belirleyen, tanımlayan, vurgulayan, egemen, karar veren
anlamındadır. Bazı Türkçe kaynaklar matrisin determinantını “matrisin belirteni” olarak
tercüme etmektedirler.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin klasik cebir ve matris notasyonunda
a11 x1 + a12 x 2 = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 = b2
→
 a11
a
 21
a12   x1   b1 
=
a 22   x 2  b2 
→ A x=b
(2.1)
şeklinde yazıldığını biliyoruz. Örnek:
4 9  x1  30
→ 
  =  
1 3  x 2   9 
4 x1 + 9 x2 = 30
x1 + 3x2 = 9
→ A x=b
2.1 denklem sistemini çözmeye, denklem sistemini sağlayan x1 ve x2 bilinmeyenlerini
hesaplamaya, çalışalım. Bu amaca yönelik çok sayıda yöntem vardır. Orta öğretimden bu
yana kullandığımız değişken yok etme yöntemini kullanalım.
2.1 in birinci denklemini a22 ile, ikinci denklemini –a12 ile çarpar ve her iki denklemi
toplarsak x2 bilinmeyeni yok olur, x1 i hesaplayabiliriz:
a 22 a11x 1 + a 22 a12 x 2 = a 22b1
- a12 a 21x 1 − a12 a 22 x 2 = −a12b 2
a 11 a 22 x 1 − a 12 a 21 x 1 = a 22 b 1 − a 12 b 2
x1 =
a 22 b1 − a12 b2
a11 a 22 − a12 a 21
2.1 in birinci denklemini -a21 ile, ikinci denklemini a11 ile çarpar ve her iki denklemi toplarsak
x1 bilinmeyeni yok olur, x2 yi hesaplayabiliriz:
Eşit
-a 21 a 11 x 1 − a 21 a 12 x 2 = −a 21 b1
a 11 a 21 x 1 + a 11 a 22 x 2 = a 11 b 2
-a 21 a 12 x 2 + a 11a 22 x 2 = −a 21 b1 + a 11 b 2
x2 =
a11b2 − a 21b1
a11 a 22 − a12 a 21
Bu bağıntıları kullanarak yukarıdaki sayısal örneğin bilinmeyenlerini hesaplayalım:
x1 =
3 ⋅ 30 − 9 ⋅ 9 9
4 ⋅ 9 − 1 ⋅ 30 6
= = 3 , x2 =
= = 2
4 ⋅ 3 − 9 ⋅1 3
4 ⋅ 3 − 9 ⋅1 3
x1 ve x2 değişkenlerinin hesabında kullanılan yukarıdaki bağıntılar incelenirse paydada aynı
sayı, a11a22-a12a21, vardır. Bu sabit sayı sadece A katsayılar matrisinin terimlerinden
oluşmaktadır. Sayısal örnek için bu sayı 4.3-9.1=3 tür.
n bilinmeyenli bir denklem sisteminin çözümünde de benzer durum vardır: x1, x2, … , xn
bilinmeyenlerinin hesabında paydaya daima aynı sabit bir sayı bölen olarak gelmektedir.
İşte bu sayıya katsayılar matrisinin determinantı denilmektedir. Determinant ile n
bilinmeyenli denklem sisteminin sistematik çözümünü ilk kez Cramer1 vermiştir, Cramer
kuralı olarak bilinir.
Yukarıda, 2.1 de verilen 2x2 boyutlu A matrisinin determinantı a11a22-a12a21 diyagonal
elemanların çarpımının farkıdır. Matris matematiğinde 2x2 matrisin determinantı
Determinat gösterimi
det A = A =
a 11
a 12
a 21
a 22
= a 11 a 22 − a 12 a 21
(2.2)
şeklinde gösterilir.
1
“Determinat” kavramı matematikte “matris” kavramından çok daha önce, MÖ 300-200 civarında Çin’de denklem sistemi
çözümünde kullanılmıştır. Japon Shinsuke Kova Seki’nin 1683 yılı çalışmalarında ve Alman Leibniz’in L’ Hospital’e 1693 yılında
yazdığı bir mektupta rastlanmaktadır. Determinantı denklem sistemi çözümünde sistematik olarak ilk kez İsviçreli Cramer 1750
yılında kullandı. “Determinant” kelimesinin isim babası Fransız Cauchy dir(1812).
Ahmet TOPÇU, Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/
22
23
Determinant çok önemli bir sayıdır, çünkü ait olduğu katsayılar matrisi ve denklem sistemi
hakkında yorum yapabilmemize olanak sağlar. Yukarıdaki bağıntılardan da anlaşıldığı gibi,
katsayılar matrisi Anxn olan bir denklen sisteminin x1, x2, … , xn bilinmeyenlerinin
hesaplanabilmesi için det A≠0 olmalıdır. Det A=0 durumunda, sıfıra bölüm yapılamayacağı
için, denklem sisteminin çözümü yoktur.
Büyük boyutlu matrislerin determinantının hesabı 2.2 deki kadar basit değildir. Matris
büyüdükçe dört işlem sayısı hızla artar. Küçük boyutlu matrislerin determinantı SARRUS
kuralı, CHIO metodu ve LAPLACE açılımı ile ve elle hesaplanabilir. Büyük matrislerin
determinantı GAUSS, CHOLESKY gibi metotlar ile ve bilgisayarda hesaplanır.
SARRUS kuralı1: Sadece 3x3 boyutlu matrisler için geçerlidir. Determinantı hesaplanacak
3x3 matrisin ilk iki kolonu determinant işaretinin sağ tarafına yazılır. Ana ve yan
diyagonaller şekilde görüldüğü gibi kesik ve sürekli çizgiler ile birleştirilir. Her sürekli çizgi
üstündeki elemanlar birbirleri ile çarpılıp toplanır. Her kesik çizgi üzerinde olan elemanlar
birbirleri ile çarpılır, önceki toplamdan çıkarılır.
 a11
A = a 21
a 31
+
+
a13 
a 11
a 23  → det A = a 21
a 31
a 33 
a12
a 22
a 32
Örnek:
+
2
A =  3
 4
-
+
a 13 a 11
a 23 a 21
a 12
a 22 → det A = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21a 32
a 32
a 33 a 31
a 32
- -
+ +
-1 3 
2

2 - 2 → det A = 3
3 1 
4
-
-
a 12
a 22
-1 3 2
2 -2 3
3 1 4
− a 13 a 22 a 31 − a 11a 23 a 32 − a 12 a 21a 33
(2.3)
-
-1
2
3
→ det A = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−2) ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 ⋅ 3
− 3 ⋅ 2 ⋅ 4 − 2 ⋅ (−2) ⋅ 3 − (−1) ⋅ 3 ⋅ 1 = 30
CHIO2 metodu: nxn boyutlu matrisin determinant formülü
A nxn
 a11
a
=  21
 .

a n1
a12
a 22
.
an2
... a1n 
... a 2 n 
1
⇒ det A = n − 2
... . 
a11

... a nn 
a11
a 21
a11
a 31
a12
a 22
a12
a 32
a11
a13
a 21
a11
a 31
a 23
a13
a 33
.
a11
a n1
...
...
.
a12
an2
a11
a n1
a11
a1 n
a 21
a11
a 31
a 2n
a1n
a 3n
...
a13
a n3
...
(2.4)
.
a11
a n1
a1n
a nn
ile verilir. Dikkatli incelenirse, 2x2 boyutlu n-1 adet alt determinant içerir ve düzenli bir
yapısı vardır. Örnekler:
2
det A = 3
4
−2
−1 3
1
2 − 2 = 3− 2
2
3
1
0
1
1
det B =
4
3
0
−1
−2
6
1
0
det B =
1
2
1 1
4 (-6) 3- 2
2
−1
2
3
2
2
−1
3
2
4
3
4
3
5
1
=
1
( − 2 )4 − 2
−8
-6
1
-6
0
-6
0
1
0
-6
-2 -6
-2
3
−2
1 7 − 13 1
=
= ( 7 ⋅ ( − 10 ) − ( − 13 ⋅ 10 )) = 30
3
2 10 − 10 2
1
−2
0
−2
1
−2
4
−2
3
0
0
0
1 −1
−2 1
4 −2
−2 1
6
1
6
1
0
−2
3
1
−2
4
−2
5
−6
3
1
=
0
1
4
−2
3
6
1
− 13
0
− 14
−6
−2
−8
- 13
− 14
1 0 84
1
=
=
(0 − 38 ⋅ 84) = 133
- 13 − 24 38 - 14 − 24
-2
Pierre Frédéric SARRUS (1798-1861), Fransız.
F. CHIO (?-?) tarafından 1853 yılında yayınlandı.
23
24
a11=0 durumunda CHIO doğrudan uygulanamaz. 1. satır ile bir başka satır, a11≠=0 olacak
şekilde, değiştirilir. Her satır değişikliği determinantın işaretini değiştirdiğinden sonuç (-1)p
ile çarpılmalıdır. Burada p satır değiştirme sayısıdır.
LAPLACE1 açılımı: Bu yönteme göre determinantın açılımı bir satıra veya bir kolona göre
yapılabilir.
i. satıra göre açılım:
n
det A =
∑
(−1) i + j a ij A ij ,
j. kolona göre açılım:
n
(i sabit),
det A =
j=1
∑ (−1)
i+ j
a ij A ij ,
(j sabit)
(2.5)
i =1
Buradaki |Aij| terimi, aij elemanının bulunduğu satır ve kolonun silinmesi ile oluşan (n-1)x(n1) boyutlu alt matrisin determinantıdır. Kaynaklarda |Aij| terimine aij nin minörü, (-1)i+j|Aij|
terimine aij nin işaretli minörü ≡ kofaktörü da denilmektedir.
1. satıra göre açılım örneği:
4
det A = − 1
6
−2 3
5
4
5 0
−1 0
−1 5
0 = (−1)1+1 ⋅ 4 ⋅
+ (−1)1+ 2 ⋅ (−2) ⋅
+ (−1)1+3 ⋅ 3 ⋅
= 4(0 − 0) − (−2)(0 − 0) + 3(−4 − 30) = −102
4 0
6 0
6 4
0
3. kolona göre açılım örneği:
4
det A = − 1
6
−2 3
5
4
-1 5
4 -2
4 -2
0 = (−1)1+3 ⋅ 3 ⋅
+ (−1) 2 +3 ⋅ 0 ⋅
+ (−1) 3+3 ⋅ 0 ⋅
= 3(-4 - 30) − 0 ⋅ (16 + 12) + 0 ⋅ (20 − 2) = −102
6 4
6 4
-1 5
0
Örneklerden görülebileceği gibi, çok sıfırlı satır veya kolona göre açılım işlemleri azaltır. Üstü
çizili terimleri yazmaya gerek yoktu!
SARRUS, CHIO ve LAPLACE yöntemleri küçük
matrislerin determinantlarının el hesabında kullanılabilir, sadece tarihsel değeri vardır.
Programlamaya hiç uygun değildirler. Bilgisayarda determinant hesabı için GAUSS ve
benzeri alternatif yöntemler kullanılır.
Determinant özellikleri
1. Matrisin i. satırı ile i. kolonu değiştirilirse determinantın değeri değişmez, dolayısıyla
detA=det AT geçerlidir.
2. Matrisin iki satırının veya iki kolonunun yerleri değiştirilirse determinant işaret değiştirir:
Hesap sırasında, örneğin 2.4 e göre CHIO metodunda a11=0 ise 1. satır ile başka bir satıra
yer değiştirilir. Hesaplanan determinat -1 ile çarpılır.
3. Matrisin bir satırının veya kolonunun tüm elemanları sıfır ise determinant sıfırdır.
4. Diyagonal ve üçgen matrislerin determinantı diyagonal elemanların çarpımına eşittir.
Örnekler:
3


A =  9


20
1

I =  1 

1
3 − 7 0 8 

5 1 2 
C=

4 − 2


− 5

2

6 70 − 98
D = − 2 14  E = 
0
76 
− 2 8 6

9 
Det A=3.9.20=540, det I=1.1.1=1, det C=3.5.4. (-5)=-300, det D=2.14.6=168, det E=6.0.9=0
Gözlem: Diyagonal ve üçgen matrislerin diyagonal elemanlarından biri sıfır ise determinant sıfırdır.
5. Diyagonal elemanları kare alt matris olan bölünmüş diyagonal matrisin determinantı alt
matrislerin determinantlarının çarpımına eşittir.
1
Pierre Simon Laplace(1749-1827), Fransız: 1772 de yayınlandı.
24
25
a11

a 22
A=



.

det a11


det a 22
, det A = det 




a nn 

.


 = det a det a ... det a
11
22
nn


det a nn 
Örnek:
2 − 1 3 


  3 2 − 2
4 3
1 
A=





[6]
 2 −1 3



3 2 −2

4 3

1
, det A = det 


 4 9 

1 1  






6



 2 −1 3
4 9

 = 3 2 − 2 6 1 1 = 30 ⋅ 6 ⋅ (−5) = −900
4 9 4 3
1

1 1

6. Matrisin i. satırı j. satırına eşitse veya i. Kolonu j. Kolonuna eşitse determinant sıfırdır.
7. Matrisin i. satırı j. satırın sabit bir c katı ise matrisin satırları doğrusal(lineer) bağımlıdır
denir. Satır veya kolonları doğrusal bağımlı matrisin determinantı sıfırdır. Dolayısıyla;
determinantı sıfır olan matrisin satır veya kolonları doğrusal bağımlıdır.
8. Matrisin bir satırının veya kolonunun sabit bir c sayısı ile çarpılarak başka bir satır veya
kolona eklenmesine satır veya kolonların doğrusal birleştirilmesi denir. Satır veya kolonları
doğrusal birleştirilen matrisin determinantı değiştirmez.
9. Simetrik ve pozitif tanımlı matrisin determinantı sıfırdan faklıdır.
10. Kesin diyagonal ağırlıklı matrisin determinantı sıfırdan farklıdır (bak:bölüm 1, sayfa 16).
Örnek:
− 7
B =  − 2
 1
3
8
3
− 3
− 3 
5 
|-7|>|3|+|-3|
|8|>|-2|+|-3| olduğundan B kesin diyagonal ağırlıklıdır, det B=-280≠0 dır.
|5|>|1|+|3|
Kofaktör matrisi ve adjoint matris
A kare matrisinin her aij elemanına ait işaretli minörünün=Ã = (-1)i+j |Aij|, o elemanın
olduğu satır ve kolona yazılması ile oluşan matrise kofaktör matrisi; kofaktör matrisinin
transpozuna da adjoint(ek) matris denir. Örnek:
~
A
 4 − 2 3
11

~
A = − 1 5 0 → Kofaktör matrisi K =  A 21
~
A
 6
4 0
 31
adj A = K T
 0
=  12
 − 15
~
A12
~
A 22
~
A32


~
A13  
~  
A 23  = −
~
A33  



5
4
−2
4
-2
5
0
0
3
0
3
0
−1
6
4
6
4
−
-1
−
0
0
3
0
3
0
−1
5

6
4 
4 −2 
−
6
4 
4
-2 
-1
5 
(2.6)
T
0
− 34
12 − 15 
 0
− 18 − 28 =  0
− 18 − 3 
− 34 − 28 18 
− 3 18 
Düzenli matris - düzensiz matris tanımı
Determinantı sıfır olan matrise düzensiz, sıfırdan farklı olan matrise düzenli matris denir.
Başka isimler de verilir. Düzensiz matris: tekil matris, singüler matris. Düzenli matris: tekil
olmayan, regüler, singüler olmayan matris. Özetle:
•
•
•
Det A≠0 ise tekil olmayan veya düzenli veya regüler matris denir.
Det A=0 ise tekil veya düzensiz veya singüler matris denir.
25
26
Doğrusal bağımlılık ve rank tanımı
Bir Anxm matrisinin kolonlarını m tane kolon vektörü ile gösterelim:
A nxm
 a 11

a
=  21
 .

a n1
a11
a 12
a 21
.
a n2
a12
... a 1m 

... a 2m 
= [ a 11
...
. 

... a nm 
a 12
3   1   1   3  
1 1
... a 1m ] , Örnek : A 2x3 = 
 =       
0 − 1 − 2  0 − 1 − 2 
a11
a12
a13
a1m
En az biri sıfırdan farklı olan, bunun dışında tamamen keyfi olan c1, c2, …, cm sabit sayıları ile
kolon vektörleri çarpılıp toplandığında bir sıfır vektör elde edilirse matrisin kolonları doğrusal
bağımlıdır denir:
c1a11+c2a12+ …+ cma1m=0
(2.7)
Bu bağıntı sadece ve sadece c1=0, c2=0, …, cm=0 için sağlanıyorsa kolonlar doğrusal
bağımsızdır. Yukarıda verilen A2x3 matrisinin birinci kolonu 1, ikinci kolonu 2 ve son kolonu
-1 ile çarpılıp toplanırsa
1 
1
 3  0 
1 ⋅ a 11 + 2 ⋅ a 12 − 1 ⋅ a 13 = 1   + 2  − 1  =   = 0
 0
 − 1
- 2  0 
sıfır vektör bulunur. O halde matrisin kolonları doğrusal bağımlıdır. Bunun önemli bazı
anlamı vardır:
•
Vektörlerden biri diğerlerine bağımlı olarak hesaplanabilir. Yukarıdaki ifadeden a13
1
1  3 
1 ⋅ a 11 + 2 ⋅ a 12 − 1 ⋅ a 13 = 0 → a 13 = a 11 + 2a 12 =   + 2   =  
0 
- 1 - 2
•
Kolonları doğrusal bağımlı olan matrisin determinantı sıfırdır. 2.7 ifadesi aslında
 a11
a
 21
 .

a n1
a12
a 21
.
an2
... a1m   c1  0
... a 2 m   c 2  0
=
→ Ac = 0
... .   .   . 
   
... a nm  c m  0
Doğrusal denklem sistemi ile aynı anlamdadır. Bu denklem sistemi c=0 için sağlanır. Ancak
c≠0 ve det A=0 durumunda da sağlanır. O halde ya det A=0 ya da c=0 olmak zorundadır.
Matrisin tüm kolonları doğrusal bağımlı olabilir veya tümü bağımsız olabilir ya da bazıları
bağımsız bazıları da diğerlerine bağımlı olabilir. m vektörün r tanesi bağımsız ise
0≤r≤m
dir ve r ye matrisin rankı denir. d=m-r matrisin doğrusal bağımlı kolon sayısıdır ve rank
artığı denir.
Doğrusal bağımlılık, rank ve rank artığı tanımı matrisin kolon vektörleri için yukarıda verildi.
Aynı tanımlar matrisin satır vektörleri için de geçerlidir. O halde nxm boyutlu bir matrisin
hem satır hem de kolon rankı vardır. Ancak, satır rankı ve kolon rankı birbirine eşittir. Rank
n ve m den küçük olanına eşit veya daha küçüktür.
Verilen bilgiler ışığında r rankını şöyle de tanımlayabiliriz: nxm matrisinin rxr boyutlu öyle
bir alt matrisi vardır ki bu alt matrisin determinantı sıfırdan farklıdır. Uygulamada
karşılaşılan denklem sistemlerinde katsayılar matrisi genelde kare matris, n=m dir. Denklem
sisteminin çözümü ancak ve ancak r=n=m ise mümkündür. Bunun anlamı, hem satır hem
26
27
de kolon vektörlerinin doğrusal bağımsız olması gerektiğidir. Çünkü aksi halde katsayılar
matrisinin determinantı sıfırdır, yani düzensiz bir matristir.
Daha nadir de olsa n<m (az denklem çok bilinmeyen) veya n>m (çok denklem az
bilinmeyen) olan denklem sistemleri ile de karşılaşılır. n<m durumunda, normal olarak,
satırlar doğrusal bağımsız, kolonlar bağımlıdır: r=n, d=m-n. n>m durumunda, normal
olarak, kolonlar doğrusal bağımsız, satırlar bağımlıdır: r=m, d=n-m dir.
Bir matrisin kolon veya satırlarının doğrusal bağımlı olup olmadığını, bağımlıysa hangilerinin
olduğu, yanı r rankının belirlenmesi önemlidir. Ancak, burada verilen bilgiler doğrusal
bağımlılığın ve rankın belirlenmesinde, çok basit matris yapıları hariç, yetersiz kalır.
Örnekler:
2

2

2 − 1 1 




A =  − 4  , B =  0  , C = 1 − 4 − 1


2 5
3
3
3 
Matrislerinden A için r=3 tür, çünkü bu matrisin kolonlarını veya satırların c1=c2=c3=0 ile
çarparsanız 0 bulursunuz, başka hiçbir ci≠0 için bu çarpım 0 olmaz, o halde det A≠0 dır. B
matrisinde r=2 dir, çünkü bu matrisin kolonlarını veya satırlarını c1=c2=c3=0 ile çarparsanız,
veya c1=0, c2≠0, c3=0 çarparsanız 0 bulursunuz, o halde det B=0 dır.
C matrisinin rankının belirlenmesi ise diğerleri kadar kolay görünmüyor, dolayısıyla det C
hakkında hemen bir yorum yapmak mümkün değildir. Daha sonra, 4. 5. ve 6. bölümlerde,
ele alınacak olan denklem sistemlerinin çözüm yöntemlerinde rankın genel olarak nasıl
belirleneceği tekrar ele açıklanacaktır.
Matrislerle dört işlem
Aritmetikte a ve b sayılarının toplanması çıkarılması, çarpılması veya bölünmesi sonucu
üçüncü bir c sayısı hesaplanır. Matris notasyonunda da benzer dört işlemler yapılarak a ve b
matrislerinden c matrisi hesaplanır. Aşağıdaki tabloda aritmetik dört işlem ve matris
notasyonundaki karşılıkları özetlenmiştir.
Dört işlem:
Aritmetik karşılığı
Matris karşılığı
Toplama
çıkarma
Çarpma
c=a+b
c=a-b
c=a b
c=a/b
c=a:b
c=a(1/b)
c=a b-1
c=a+b
c=a-b
c=a b
Yok !
Yok !
Yok !
Bölme
c=a b-1
Bilindiği gibi, b-1 sayısı b sayısının tersidir. Benzer şekilde a-1 matrisi a matrisinin tersidir.
Dikkat edilirse, matrislerde bölme işlemi sadece matrisin tersi ile tanımlanmaktadır.
Toplama ve çıkarma:
İki matrisin toplanabilmesi veya çıkarılabilmesi için boyutlarının aynı olması gerekir. Anxm ve
Bnxm matrislerinin toplanması veya çıkarılması sonucu oluşan aynı boyutlu Cnxm matrisinin
Cnxm= Anxm± Bnxm
(2.8)
Eşit boyutlu
27
28
elemanları A ve B nin karşılıklı elemanlarının toplanması veya çıkarılması ile bulunur:
cij=aij±bij.
Örnek:
3 
3 2  0 − 1  3





D = 1 7  −  7
2  = − 6 5 
3 5  6
3   − 3 2 
A −
B
=
D
3 2  0 − 1 3 1
C = 1 7  +  7
2  = 8 9
3 5  6
3  9 8
A +
B
= C
Toplama ve çıkarma özellikleri
A ± B = ±B + A
A ± (B ± C) = (A ± B) ± C
(A ± B)T = A T ± BT
Çarpma
İki matrisin çarpılabilmesi için kurallar vardır:
• A ve B matrislerini çarparak bir C matrisini hesaplayabilmek için A nın kolon sayısı B nin
satır sayısına eşit olmalıdır(uygunluk koşulu):
(2.9)
Cnxs=Anxm Bmxs
Eşit olmalı
• Çarpılan matrislerin eşit boyutları atılır, kalan boyutlar C nin boyutudur: C nin satır sayısı
A nın satır sayısına, C nin kolon sayısı B nin kolon sayısına eşittir.
• C nin i. satır ve j. kolonundaki cij elemanı A nın i. satırındaki elemanların B nin j.
Kolonundaki elemanlar ile karşılıklı çarpılıp toplanması ile bulunur:
m
c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + ... + a im b mj = ∑ a ik b kj
(2.10)
k =1
El hesaplarında, çarpımı anlaşılır kılmak ve kolaylaştırmak için, FALK1 şeması kullanılır:
A4x3=
 x
 x

 a 31

 x
x
x
a 32
x
 x
B3x7=  x

 x
x 

x  
a 33  

x 
x
x
x
x
x
x
x
x
x
c35
Örnek:
A3 x 2
1
1 1 
= 3 1 ,
2 0 
b15
b25
b35
x
x
x
x
x
x






 =C4x7



C=A B çarpımı için A nın sağına ve üste B matrisi çizilir. A
nın sağına A nın satırları kadar satır, B nin altına B nın
kolonları kadar kolon çizilir. Oluşan matris C nin boyutlarıdır.
A nın bir satırındaki sayılar B nin bir kolonundaki sayılarla
karşılıklı çarpılıp toplanır, bu toplam o satır ve o kolonun C
de birleştiği hücreye yazılır. FALK şeması ve c35 elemanının
hesabı solda örnek olarak gösterilmiştir:
c35=a31b15+ a32b25+ a33b35
2 0 0
B2x4 = 
− 1 − 1 1
2 0
B2 x 4 = 
− 1 − 1
0
1
 1 1  1
3  C=A B nin FALK şeması

A 3 x 2 = 3 1  5

2
2 0  4
−1
1
−1
1
0
0
3
2 
5
11 =C3x4
6 
Sigurd FALK (?,?), Alman. 1950 civarında geliştirdi.
28
29
Yukarıda verilen kurallar üç veya daha çok matrisin çarpımı için aynen uygulanır, örnek:
Uygunluk koşulu:
•
A nın kolon sayısı=B nin satır sayısı olmalı
•
B nın kolon sayısı=C nin satır sayısı olmalı
Dnxt = Anxm Bmxs Csxt
Eşit olmalı
•
D nin boyutu=A nın satır sayısı x C nin kolon sayısıdır.
Eşit olmalı
A 3x4=
2
− 1

 2
4
2
1
3
5
−1
0
1 
2 
B4x2=






− 2
0 
1

2
2
1
4
3
1
2
−3
0
2
1
4
3
− 2
0 
1

2
 1
2

−3
2
4
0
2
1
 12
 15

 11
− 3
7 
− 1
 6
 29

 9
− 36
− 45
18
44
45
67
− 33
20
43
C2x5= 


B4x2= 



D=A B C nin FALK şeması
2
4
1
3
 2
5
−1
A 3x4= − 1 2
0
1 
2 
2
2
− 1
2 
4
1
− 1
=C 2x5
2 
− 18 
− 1  =D 3x5
− 13 
A 3x4B4x2
Not: Burada önce A B hesaplanmış, bulunan yeni matris C ile sağdan çarpılarak D bulunmuştur. Önce B C
hesaplanarak bulunan yeni matris soldan A ile çarpılarak aynı D bulunabilirdi. Ancak bu durumun daha çok
işlem gerektireceği açıktır.
Matris çarpımının özellikleri
1. A B C =(A B ) C =A (B C )
2. A (B + C ) = A B + A C
3. (A B C … M N)T=NTMT … CTBTAT
4.
 ka 11

ka
A + A + … + A = k A =  21
 .

k defa
ka n1
ka 12
ka 22
.
ka n2
... ka 1m 

... ka 2m 
...
. 

... ka nm 
Matrisin k defa toplanması matrisin elemanlarının k tam
sayı sabiti ile çarpımıdır.
Genelleştirme: Matrisi bir sabit(gerçek veya tam sayı)
ile çarpmak için tüm elemanları o sabit ile çarpılır.
Ak ifadesi, A kare matrisinin kendisiyle k defa
çarpımı anlamındadır( k pozitif tamsayı):
A0=I, A2 =A A , A3 = A A A , …
5. A A … A= Ak
k defa
Çarpımda matrislerin yeri değiştirilemez. Aritmetikte
ab=ba dır, fakat matrislerde, çok özel durumlar hariç,
matrisin çarpımdaki yeri kesinlikle değiştirilemez.
Değiştirilirse, uygunluk koşulu sağlanmayabilir,
sağlansa bile sonuç farklı olur.
6. A B ≠ B A
Örnekler:
2
A=
3
−1
1
1
0

 B = − 2
2
 1
4 8 
AB = 

3 18
 4 − 10
CD = 

− 7 15 
4
0
3

 C =  1 − 2 D =  2 0





− 2 3 
 − 1 5

 14 3 8
B A = − 4 2 0
 11 2 6
 2 − 4
DC = 

− 11 17 
 2 − 1
E=

− 1 5 
− 2
F =  1 
 3 
Görüldüğü gibi, A B ≠ B A dır. Sonuç matrislerin hem
boyutları hem de elemanları farklıdır!
Görüldüğü gibi, boyutlar aynı olsa bile, C D ≠ D C dır!
29
30
 4 − 11
CE = 

− 7 17 
 4 − 7
EC = 

− 11 17 
− 5
AF =  
1
FA = ?
A F tanımlı, F A tanımsız!
Matrisler simetrik olsa dahi C E ≠ E C dır!
7. aynı boyutlu iki köşegen matrisin çarpımda yerleri değiştirilebilir.
a11

A=



a 22




...

a nn 
b11

B=



b22




...

bnn 
a11b11

AB = B A = 



a 22 b22




...

a nn bnn 
8. Birim matris ile çarpım
1

I 1 =  1 

1
1

I2 = 

1


 3 1 6
A = − 2 7 4
 2 1 5
 4 1
B = − 1 3
 2 1
I1 A =A I1=A
I1 B= B
B I1= tanımsız!
B I2=B
I2 B= tanımsız!
9. İki üçgen matrisin çarpımı
İki alt üçgenin çarpımı bir alt üçgendir.
0 0  1 0
 1 0 0  1
− 2 3 0  1
2 0 = 1 6


 4 1 1  − 1 − 1 1 4 1
İki üst üçgenin çarpımı bir üst üçgendir.
0
0 ,
1
 1 0 0 1 1 − 1  1 1 − 1 
− 2 3 0 0 2 − 1 = − 2 4 − 1 ,


 

 4 1 1  0 0 1   4 6 − 4
1 − 2 4 1 1 − 1 1 − 3 5 
0 3 1 0 2 − 1 = 0 6 − 2


 

0 0 1 0 0 1  0 0
1 
1 1 − 1  1 0 0 − 5 2 − 1
0 2 − 1 − 2 3 0 = − 8 5 − 1


 

0 0 1   4 1 1  4 1 1 
Bir üst ve bir alt üçgenin çarpımı dolu bir matristir.
Bir alt ve bir üst üçgenin çarpımı dolu bir matristir.
10. İki vektörün çarpımı
4
6
 2
 2
 − 1[1 2 3] =  − 1 − 2 − 3 ,
 


− 2
− 2 − 4 − 6
Kolon vektörü ile satır vektörünün
çarpımı bir matristir.
2
[1 2 3] − 1 = −6
− 2
Satır vektörü ile kolon vektörünün çarpımı
bir sayıdır.
Genelleştirme:
x = [x1
x2
 x1 x1
x x
T
x x= 2 1
 .

 x n x1
 x1 y 1
x y
T
x y= 2 1
 .

 x n y1
... xn ],
x1 x 2
x2 x2
.
xn x2
x1 y 2
x2 y2
.
xn y2
y = [ y1
y2
... y n ] için
... x1 x n 
 y1 y1

y y
... x 2 x n 
T
, y y= 2 1
 .
.
. 


... x n x n 
 y n y1
y1 y 2
y2 y2
... x1 y n 
 y1 x1
y x
... x 2 y n 
T
, y x= 2 1
 .
.
. 


... x n y n 
 y n x1
y1 x 2
y2 x2
.
yn y2
.
yn x2
... y1 y n 
... y 2 y n 
.
. 

... y n y n 
... y1 x n 
... y 2 x n 
.
. 

... y n x n 
x x tanımsız!
y y tanımsız!
x y tanımsız!
y x tanımsız!
30
31
 x1 
 y1 
x 
y 
x =  2 , y =  2  →
.
 . 
 
 
xn 
 yn 
x x tanımsız!
x x = x12 + x 22 + ... + x n2
T
y y tanımsız!
y y = y12 + y 22 + ... + y n2
x y tanımsız!
x y = y x = x1 y1 + x 2 y 2 + ... + x n y n
y x tanımsız!
T
T
T
11. Köşegen matrisin bir matris ile çarpımı
d 11





 a 11
a
 21
 .

a n1




...

d nn 
d 22
 a 11
a
 21
 .

a n1
... a 1m  d 11
... a 2 m  
...
. 

... a nm  
a 21
a 22
.
an2
a 21
a 22
.
an2
d 22
... a 1m   d 11 a 11
... a 2 m  d 22 a 21
=
... .   .
 
... a nm  d nn a n 1
  d 11 a 11
 d a
 =  11 21
  .
...
 
d nn  d 11 a n1
d 11 a12
d 22 a 22
.
d nn a n 2
d 22 a 12
d 22 a 22
.
d 22 a n 2
... d 11 a 1m 
... d 22 a 2 m 
...
. 

... d nn a nm 
Çok az çarpım gerektirir, sıfır
sayıları ile çarpım yapılmaz.
... d nn a 1m 
... d nn a 2 m 
...
. 

... d nn a nm 
12. İki simetrik matrisin çarpımı simetrik değildir.
1 2 
T
A= A =

 2 3
Simetrik
 − 1 4
T
B=B =

 4 5
 7 14 
AB = 

10 23
Simetrik değil!
13. Matrisin izi: Anxn kare matrisinin köşegen elemanlarının toplamına matrisin izi denir, iz
A ile gösterilir: iz A=a11+a22+…+ann. Anxm Bmxn≠ Bmxn Anxm olmasına rağmen her iki çarpımın
izi aynıdır:
2
A=
 −1
1
4
− 3
2 
iz A B=-8+14=6,
2
1

B =  − 1 5 
 3 − 2
− 8 15
AB = 

 1 14
9
1 
0

B A = − 7 19 13 
 8 − 5 − 13
iz B A =0+19-13=6
14. A B ≠ B A olmasına rağmen, aşağıdaki bağıntı geçerlidir (A ve B kare matris):
det (A B)=det (B A)=det A det B
 2 − 1
A=

− 1 3 
− 3 2
B=

 2 3
− 8 1 
AB = 

 9 7
− 8 9
BA = 

 1 7
det (A B)=-8.7-1.9=-65, det B A=-8.7-1.9=-65,
det A=2.3-1.1=5, det B=-3.3-2.2=-13
det (A B)= det (B A) = det A det B=-5.13=-65
31
32
15. det (A ± B) ≠ det A ± det B dir. Bir üstteki matrislerden:
 2 − 1
A=

− 1 3 
 − 3 2
B=

 2 3
-1 1
A+ B = 

 1 6
det (A+B)=-1.6-1.1=-7 ≠ det A + det B=2.3-(-1)(-1)+(-3).3-2.2=-8
16. Sıfırdan farklı A ≠ 0 ve B ≠ 0 gibi iki matrisin çarpımı sıfır matris olabilir.
 2 4
0 0 
B = 3 6 matrisleri için AB = 
 = 0 dır.
0 0 
1 2
Fakat, ne A nede B sıfırdır?
 1 −2 4 
A=

− 2 3 − 5 
A B=0
A B=A C
Bu özellik nedeniyle soldaki ifadelerde A matrisi, özel
durumlar dışında, kısaltılamaz.
Özel durumlar: det A≠0 ise veya A matrisinin
kolonları doğrusal bağımsız ise kısaltma yapılabilir.
Ters matris hesabı sonrası bu konuya dönülecektir.
A (B+C)=0
A (B-C)=A (D+E)
17. i. satırı j. satırı ile değiştirilmiş birim matris bir A matrisi ile soldan çarpılırsa A nın i.
satırı ile j. satırı yer değiştirir, sağdan çarpılırsa i. Kolonu ile j. Kolonu yer değiştirir.
1 0 0 1 2 − 3 1 2 − 3
0 0 1   1 0 1  =  2 2 0 


 

0 1 0 2 2 0  1 0 1 
1 2 − 3 1 0 0 1 − 3 2
1 0 1   0 0 1  = 1 1 0 


 

2 2 0  0 1 0 2 0 2
2. satırı ile 3. satırı değiştirilmiş birim
matrisin soldan çarpıldığı matrisin de
aynı nolu satırları yer değiştirmiş.
2. satırı ile 3. satırı değiştirilmiş birim
matrisin sağdan çarpıldığı matrisin de
aynı nolu kolonları yer değiştirmiş.
18. Bölünmüş matrislerin çarpımı
Büyük matrislerin çarpımı için matrisler bölünmek zorunda kalınabilir. A ve B matrisleri
çarpılarak C=A B hesaplanacaksa, A ve B düşey ve yatay doğrularla alt matrislere bölünür:
• A nın satırdaki alt matris sayısı B nin kolondaki alt matris sayısına eşit olmalı (uygunluk
koşulu).
•
A nın alt matrisleri ile B nin alt matrisleri uygunluk koşulunu sağlamalı.
a11
 a11
A =  a 21
 a 31
a12
a 22
a13
a 23
a14
a 24
a 32
a 33
a 34
a21
 b11
b
 21
B = b31

b41
b51
a12
a22
b12
b13
b22
b32
b23
b33
b42
b52
b43
b53
a13
a15 
a
a 25  =  11
a
a 35   21
a 12
a 22
a 13 
a 23 
b14 
b24   b 11
b34  = b 21

b44  b 31
b54 
b 12 
b 22 
b 32 
 a11
 a 21
A= 
a23
Matrisler amaca uygun ve
çarpım uygunluk koşulunu
sağlayacak şekilde alt
matrislere bölünür.
Bolünmüş matrislerin alt
matrisleri çarpılarak sonuç
matrisin alt matrisleri hesaplanır
a12
a 22
 b11

B= b 21
b 31

a13   c11
a 23  c 21
b12 

b 22 
b 32 
c12 
 =A B= C
c 22 
c11=a11b11+a12b21+a13b31
c12=a11b12+a12b22+a13b32
c21=a21b11+a22b21+a23b31
c22=a21b12+a22b22+a23b32
32
33
Örnek:
0 − 1
3
a 12 

 a
A = − 5 2
4  =  11
a
a 22 
− 2 − 6 3   21
2
1
b 

B = − 3 4  =  11 
b
 2
1   21 
Alt matrislerin çarpımı:
 3 0  1
a 11 b 11 = 

− 5 2   − 3
- 1
a 12 b 21 =  [2
4
2  3
6
=

4 - 11 - 2
- 2 - 1
1] = 

 8 4
 1 2
- 6] 
 = [16 − 28]
- 3 4
a 21 b11 = [- 2
b11 

b 21 
B= 
A=
 a 11
a
 21
a 12 
a 22 
 c 11 
c  =A B= C
 21 
c11=a11b11+a12b21
c21=a21b11+a22b21
6  - 2 - 1  1 5
 3
c 11 = 
+
=

- 11 - 2  8 4  - 3 2
 1
C =  − 3
 22
5 
2 
− 25
c 21 = [16 − 28] + [6 3] = [22 − 25]
a 22 b 21 = [3] [2 1] = [6 3]
19. Diyagonal elemanları alt matris olan iki matrisin çarpılmasıyla bulunan yeni matrisin de
diyagonal elemanları alt matris olur.
a11 0
A =  0 a 22
 0
0
0
0  ,
a 33 
0
b11 0

B =  0 b 22 0 
 0
0 b33 
0
a11 b11

, AB =  0
a 22 b 22
 0
0
0 
0 
a 33 b33 
Örnek:
0
1 2
2 − 4


1 2 −1

0
1 1 2
−
A=

−1 2 3


0
0


0
0
2
4
3

3
0
0
1

− 1 − 2






3 −1 −1 


 , B=0
1 1
2 0 ,



2 −2 −3 

3


2

2
0

0
1

3
0
0
− 1 − 1
 6 14





3 3
6


−
−
0
2
2
3
0

AB = 


5 −3 −4


7


0
0
10


9 

Ters matris
Ters matris kavramı aritmetikteki bölme işleminin karşılığıdır. Ancak, matris işlemlerinde
hiçbir zaman bölme işleminden bahsedilmez. Aritmetikte bir a≠0 gerçek sayısının tersi
a
1
−1
= aa −1 = 1 ile tanımlanır. aa = 1 ifadesinin matris işlemlerinde karşılığı
a
A A-1=I
(2.11)
-1
şeklindedir. Burada A matrisi A matrisinin tersi, I birim matristir. Matris kendine ait ters
matrisi ile çarpıldığında birim matris bulunur. Bilindiği gibi bir sayının tersinin olması için o
sayı sıfırdan farklı olmalıdır. Benzer şekilde, bir matrisin tersinin olması için o matrisin
determinantı sıfırdan farklı olmalıdır. Bu nedenle ters matris sadece determinantı sıfırdan
farklı (düzenli) kare matrisler için tanımlıdır.
Verilmiş bir Anxn matrisinin tersinin hesabı için farklı yöntemler vardır. Burada 2x2 boyutlu
matris için basit bir formül ve ve nxn matris için adjoint(ek) matris yöntemi açıklanacaktır.
Bu yöntemin sadece teorik önemi vardır, bilgisayar programları için hiç uygun
değildir(uygulamada kullanılan yöntemler için bak: Bölüm 8).
33
34
2x2 boyutlu matrisin tersi için formül:
a
A =  11
 a 21
a12 
,
a 22 
−1
A =
1  a 22
det A − a 21
− a12 
,
a11 
1.
2.
3.
4.
A nın ana diyagonal elemanlarının yerini değiştir.
Tali diyagonalin işaretlerini değiştir.
Det A yı hesapla
Her elemanı det A ya böl.
det A = a11 a 22 − a 21 a12 ≠ 0
(2.12)
Örnek:
 2 − 3
A=
,
4 − 7
A
−1
=
− 7 3 3.5 − 1.5
1
=
− 1 
2 ⋅ ( − 7 ) − 4( − 3 ) − 4 2  2
Adjoint matris yöntemi: Bu yönteme göre Anxn matrisinin tersi
A −1 =
adj A
,
det A
(2.13)
det A ≠ 0
formülü ile hesaplanır. Kofaktör ve Adjoint matrisin tanımı sayfa 19 da verilmişti.
Örnek:
1
A =  1
 − 1
− 3
1  ,
1 
1
0
2
−1
A =?
SARRUS kuralına göre, det A= 1.0.1+1.1.(-1)+1.2.(-3)-(-3).0.(-1)-1.1.1-1.2.1=-10,
olduğundan matrisin tersi vardır.
det A ≠0
Kofaktörler matrisi
 0 1

 2 1
 1 −3
K = −
 2 1
 1 −3
 0
1

1 1
−
−1 1
1 −3
−1 1
1 −3
−
1
1
1
−1
1
−
−1
1
1
0
2
1
2
1
0


 − 2 − 2 2 
 

 = − 7 − 2 − 3 ,
  1 − 4 − 1

 


Ters matris A
− 2 − 7 1 
Adj A = K = − 2 − 2 − 4
 2 − 3 − 1 
T
−1
− 2 − 7 1   0.2 0.7 − 0.1
1 
=
− 2 − 2 − 4 =  0.2 0.2 0.4 
− 10 
 2 − 3 − 1 − 0.2 0.3 0.1 
A A-1=A-1A=I olduğu kontrol edilebilir.
Ters matrisin özellikleri
A A-1=A-1A=I
(A-1)-1=A
(AT)-1=(A-1)T
(Not: (A-1)T ifadesi bazen basitçe A-T şeklinde de yazılır)
T
-1 T
-1
A=A ise (A ) =A dir.
(A B C … M N)-1=N-1M-1 … C-1B-1A-1
1
6. (k A) −1 = A −1
(k≠0 olmak üzere herhangi bir sabit sayı)
k
1.
2.
3.
4.
5.
7. det A −1 =
1
det A
8. 2x2 matris için formül:
a
A =  11
a 21
a12 
,
a 22 
A
−1
=
1  a 22
det A − a 21
− a12 
,
a11 
det A = a11 a 22 − a 21 a12 ≠ 0 olmalı!
34
35
9. Köşegen matrisin tersi:
 1


d
dii≠ 0 olmalı.
d11


 11
1




d22
−1
,
Dnxn = 
Dnxn = 

d22


...


.
..




d
1 
nn 



dnn 
10. Köşegen elemanları kare alt matris olan köşegen matrisin tersi alt matrislerin tersi
alınarak aynı köşegene yazılmasıyla hesaplanır:
A nxn
a 11

=





,

...

a nn 
a 22
−1
A nxn
Örnek:
a11
− 2



A=




1
1
−1
−1
a 11

=



a
−1
22




...
−1 
a nn 
det aii≠ 0 olmalı.
a22
1
0
2
−1
a 11
= [− 0.5]






3

1 
−3
1
1
4
1
 0.2 0.7 − 0.1
−1
=  0.2 0.2 0.4 
a 22
− 0.2 0.3 0.1 
1 − 3

−1
=
a 33

−
 1 4
a33
A −1
 − 0.5

02


0.2
=
− 0.2




0.7
0.2
0.3
− 0.1
0.4
0.1
1
−1






−3 

4 
11. Alt üçgen matrisin tersi gene bir alt üçgen, üst üçgen matrisin tersi gene bir üst
üçgendir. Örnek:
− 3

− 1 4

 ,
L=
 2 −2 6 


 1 − 1 5 8
L
1
− 3 − 1 2

4 − 2 − 1
U =
,

6
5


8

−1
U
−1
Noktadan sonra sadece üç
hane verilmiş, üçüncü
hane yuvarlatılmıştır.
− 0.333

− 0.083 0.25


=
 0.083

0.083 0.167


 -0.021 − 0.021 -0.104 0.125
− 0.333 − 0.083 0.083 -0.021 

0.25
0.083 − 0.021
=

0.167 -0.104 


0.125 

12. Bant matrislerin tersi tamamen doludur. Örnek:
1
1

−1

A=






−1
2
1
2
0
1
1
1
2 −2
−3 0
1
−1
3
−1
−1
1
1
2
0
1
0
3
1
3
1
2
−1
3
2
2






1 

− 1
3 

3 
 217
 - 432

 484

- 134
A −1 = 10 − 3 
 54

 109
 - 115

 78
172
296
− 611 − 127 − 176
- 136 - 25
0
102
37
- 362
- 25
76
48
561
- 86
332
- 229
529
- 353
- 233
168
38
300
13
26
68
135
28
57
176
353
46
92
264
- 473
- 68
- 182
20
- 412
264
138
59
137
- 39
294
- 294
20
455 
37 
- 292 

- 126 
- 307 

386 
87 

118 
13. Kısaltma: matris bağıntılarında kısaltma işlemi belli koşullar sağlanmadıkça yapılamaz!
• det A≠0 ise, her iki taraf A-1 ile soldan çarpılır ve A-1 A=I olduğu hatırlanırsa, aşağıdaki
ifadelerde A matrisi kısaltılabilir:
A
A
A
A
B=0
B=A C
(B+C)=0
(B-C)=A (D+E)
A-1 A B= A-1 0
A-1 A B= A-1 A C
A-1A (B+C)= A-10
A-1 A (B-C)= A-1A (D+E)
B=0
B= C
B+C=0
B-C= D+E
35
36
•
Anxm
F=A
T
nxm
dikdörtgen
matrisinin
kolonları
doğrusal
bağımsız
ise,
yani
A nxm matrisi mxm boyutlu düzenli bir matris olur, yani F
−1
rank=m
= (A
T
nxm
ise,
A nxm ) −1
tanımlıdır, det F≠0 dır. Bu nedenle aşağıdaki ifadeler yazılabilir:
Anxm Bmxs=0
(Anxm)T Anxm Bmxs=(Anxm)T 0
F matrisi, det F ≠ 0, F-1
var. Dolayısıyla bu
matris kısaltılabilir.
Bmxs= 0
Sıfır matris
F matrisi, det F ≠ 0, F-1 var.
Dolayısıyla bu matris
kısaltılabilir.
Sonuç mxs boyutlu bir matris olur
Anxm(Bmxs-Cmxs)=(Dnxs+Enxs) (Anxm)TAnxm (Bmxs-Cmxs)=(Anxm)T(Dnxs+Enxs)
•
Bmxs-Cmxs=(Anxm)T(Dnxs+Enxs)
det A =0 durumunda A B=A C ifadesinde A kısaltılamaz:
1 − 2 2 
A = 3 1 − 2 ,
5 − 3 2 
1 4 2
3 2 6
 7 6 10 




B = − 6 5 − 9 , C = 2 − 3 7  matrisleri için A B = A C =  3 5 7  dir.
 − 3 6 − 5
4 − 1 9 
17 17 27
Burada A kısaltılarak B=C dir denilemez, neden? Çünkü açıkça görüldüğü gibi B≠C dir.
det A=0 dır, yani A-1 yoktur. A yı kısaltmamız sıfıra bölme yaptığımız anlamına gelir.
•
A B= C A ifadesinde, det A≠0 olsa dahi, A kısaltılamaz, çünkü:
A-1A B= A-1 C A
•
B= A-1C A D dir
A kare matris ve r, s kolon matrisleri olsun:
T
a=
r r
T
Burada r vektörlerinden hiç
biri kısaltılamaz! a sabit bir
sayıdır.
r Ar
T
r As
a= T
s As
T
rr
a= T
r r
•
A B A-1= C dir
A B= C A D ifadesinde, det A≠0 olsa dahi, A kısaltılamaz, çünkü:
A-1A B= A-1C A D
•
B= A-1 C A veya A B A-1= C A-1
Burada ne s ne de A s
kısaltılabilir! a sabit bir
sayıdır.
Burada r vektörlerinden
hiç biri kısaltılamaz! a bir
matristir.
Matris eşitliğinde, yukarıda açıklanan koşullar sağlanmadıkça, keyfi kısaltma
yapılamayacağı gibi eşitliğin solu ve sağı keyfi bir matris ile de çarpılamaz. Aksi halde
eşitlik bozulur. Eşitliğin her iki tarafı sadece ve sadece çarpıldıktan sonra, gerekirse,
kısaltılabilen bir matris ile çarpılabilir. Örneğin, determinantı sıfırdan farklı herhangi bir
matris ile veya kolonları doğrusal bağımsız bir matris ile çarpılabilir.
36
37
Ortogonal matris
1) Anxn kare matrisi kendi transpozu ile soldan veya sağdan çarpıldığında birim matris
oluşuyorsa Anxn ortogonaldır denir:
T
T
−1
−1
A nxn A nxn = A nxn A nxn = I . Ters matris tanımı A A = A A = I ile karşılaştırılırsa A ortogonal1
matrisinin transpozunun aynı zamanda A nın tersi olduğu anlaşılır: A
 Cosα
A = − Sinα
 0
Sinα
Cosα
0
0
T
0 → A A =
1
Cosα
 Sinα

 0
− Sinα
0  Cosα
0 − Sinα
1  0
Cosα
0
Sinα
Cosα
0
0
0 =
1
−1
T
= A nxn . Örnek :
1

Cosα
 1  → AT = A−1 =  Sinα




 0
1
− Sinα
0
0
1
Cosα
0
2) Anxm dikdörtgen matrisi kendi transpozu ile soldan çarpıldığında birim matris oluşuyorsa
T
Anxm ortogonaldır denir: A nxm A nxm = I . Örnek:
0 
Cosα
 Sinα
0 
1 0
T
A=
→A A=
 = I,
 0
Cosα 
0 1


Sinα 
 0
0 
 Cos2 α

Cosα
SinαCosα
0
0


 Sinα

2
0
Cos
α
Sin
α
0
0


Sin
α
Cos
α
Sin
α
0
0
T

 ≠I

AA = 
=
2
 0
Cosα   0
0
Cosα Sinα  
0
0
Cos α
SinαCosα 




Sinα 
0
0
SinαCosα
Sin 2 α 

 0
Dikkat: Anxm dikdörtgen ortogonal matrisinin tersi tanımlı olmadığı gibi A nxm A nxm ≠ A nxm A nxm
dir.
T
T
Matrislerin analitik türev ve integrali
Nümerik analizde, nadiren de olsa, analitik türev ve integral almak gerekir. Özet bilgiler
aşağıda verilmiştir.
Analitik türev
Elemanları bir x değişkeninin fonksiyonu olan matrisin x e göre türevi her elemanın türevi
alınarak bulunur:
A = [a1
... a n ] →
a2
dA d
=
[a1
dx dx
a2
 da
... a n ] =  1
 dx
da 2
dx
...
da n 
dx 
 da1 
 a1 
 a1   dx 

a 
  
d A d a 2   da 2 
A=  2 →
=
=  dx 
 . 
dx dx  . 
 
   . 
a n 
a n   da n 
 dx 
 a11
a
A =  21
 .

a n1
1
a12
a 22
.
a n2
... a1m 
 a11


... a 2 m 
d A d a 21
→
=
...
. 
dx dx  .


... a nm 
a n1
a12
a 22
.
a n2
 da11
... a1m   dx

... a 2 m   da 21
=  dx
...
. 
  .
... a nm   da n1
 dx
da12
dx
da 22
dx
.
da n 2
dx
da1m 
dx 
da 2 m 

...
dx 
...
. 
da nm 
...
dx 
...
Bazı kaynaklar “ortogonal” yerine “ortonormal” olarak adlandırmaktadır, standart bir kavram yoktur.
37
38
Örnek: Aşağıdaki A matrisinde a ve b sabit gerçek sayılar, x değişkendir. A nın x e göre 1.
ve 2. türevi?

 1
Sin 2 ( x) 2ax 3 
d A 0
A=
→
=
b

dx 
5x
e 2x 
bLog ( x)
x
Sin( 2 x) 6ax 2 
,
5
2e 2 x 

0
d 2 A 
b
=
dx 2 − 2
x

2Cos ( 2 x) 12ax 

0
4e 2 x 

Örnek: Aşağıdaki A matrisinde a ve b sabit sayılar, x ve y değişkendir. A nın x e ve y ye
göre 1. türevi?

ySin 2 ( x) 2ayx 3 
∂A  0
→
=
by

dx 
5 xy
ye 2 x 
x

1
A= 2
by
Log
( x)

y Sin(2 x) 6ayx 2 
,
5y
2 ye 2 x 

0
Sin 2 ( x) 6ax 2 
∂A 
=

dy  2byLog ( x)
5x
e 2x 
c bir sabit, A ve B matrislerinin terimleri x in fonksiyonu olmak üzere aşağıdaki bağıntılar
geçerlidir:
d
dA
(c A) = c
dx
dx
d
dA dB
( A + B) =
+
dx
dx dx
d
dA
dB
( AB) =
B+
A
dx
dx
dx
Türev vektörü:
x1, x2, …, xn bilinmeyenlerinden oluşan kolon vektörü
x = [x1
T
x2 ... xn ] olsun.
x
∂
∂
∂ kısmi türev operatörlerinin vektörüne türev vektörü veya türev
,
, ...,
∂x1 ∂x 2
∂x n
vektörünün
operatörü veya diferansiyel operatör denir:
 ∂ 
 ∂x 
 1
∂ 
∂ 
=  ∂x 
∂x  2 
.
 ∂ 


 ∂xn 
Türev operatörü
Vektörün vektöre göre türevi
a)
x = [x1
x2 ... xn ]
olan y = [ y1
T
kolon vektörü ve elamanları x1,…, xn bilinmeyenlerinin fonksiyonu
T
y 2 ... y m ] kolon vektörü verilmiş olsun. y vektörünün x vektörüne göre
türevini almak isteyelim:
 ∂
 ∂x
 1
 ∂
1) ∂
y =  ∂x 2
∂x
 .
 ∂

 ∂ x n

 y
 1
 y2

 .
  y m




 türevi yoktur, çünkü bu iki vektörün matris çarpımı tanımsızdır!



38
39
 ∂ 
 ∂x 
 1
2) ∂ T  ∂ 
y =  ∂x 2 [ y1
∂x
 . 
 ∂ 


 ∂x n 
y2
 ∂y1
 ∂x
 1
 ∂y1
... y m ] =  ∂x
 .2
 ∂y
 1
 ∂x n
∂y 2
∂x1
∂y 2
∂x 2
.
∂y 2
∂x n
∂y m   ∂
∂x1   ∂x1
 
∂y m   ∂
...
∂x 2  =  ∂x 2
...
.   .
∂y m   ∂
 
...
∂x n   ∂x n
...
Bu matrise Jacobian denir
ve genellikle J ile gösterilir.
∂
∂x1
∂
∂x 2
.
∂
∂x n
∂ 
∂x1   y1 

∂  y 
...
 2
∂x 2   
.
...
.  

y
∂  m
...

∂x n 
...
Diferansiyel operatör
matrisi
Örnek:
 x1 
x =  ,
x1 
 y1   3x1 x 22 

y  
x Sin(x2 ) ,
y =  2  =  1x
 y3   e 1 + x2 

  
5

 y 4  
y nin x vektörüne göre türevi?
2
 ∂   3x1 x 2 

 ∂x  x Sin( x )  tanımsız!
1) ∂
2 
y =  1   1x
1
∂


∂x
e
+
x


2

 ∂x 2  
5


 ∂ 
 ∂x 
2) ∂ T
y =  1  3 x1 x 22
∂x
 ∂ 
 ∂x 2 
[
b) x =
[x1
Jacobian
x1 Sin( x 2 ) e 2 x1 + x 2
]
 3x 2
5 = 2
6 x1 x 2
Sin( x 2 ) 2e 2 x1
1
x1Cos( x 2 )
0

0
T
x2 ... xn ] kolon vektörünün x1,…, xn bilinmeyenlerine göre türevi:
 ∂ 
 ∂x  x
 1  1 
 ∂   x  tanımsızdır!
1) ∂
x =  ∂x 2   2 
∂x
 .  . 
 ∂   x n 


 ∂x n 
 ∂ 
 ∂x 
 1
2) ∂ T  ∂ 
x =  ∂x 2 [x1
∂x
 . 
 ∂ 


 ∂x n 
x2
 ∂x1
 ∂x
 1
 ∂x1
... x n ] =  ∂x
2
 .
 ∂x
 1
 ∂x n
c) Birbirinin fonksiyonu olmayan
∂x 2
∂x1
∂x 2
∂x 2
.
∂x 2
∂x n
x = [x1
Jacobian=birim matris
...
...
...
...
∂x n 
∂x1  1 0 ... 0

∂x n  0 1 ... 0


∂x 2  =  . . ... . 

.


∂x n  0 0 ... 1 

∂x n 
T
x2 ... xn ] ve y = [ y1
T
y 2 ... y m ] kolon vektörleri
verilmiş olsun:
 ∂ 
 ∂x  y
 1  1 
1) ∂
 ∂   y  tanımsızdır!
y =  ∂x 2   2 
∂x
 .  . 
 ∂   y m 


 ∂x n 
39
40
 ∂ 
 ∂x 
 1
∂ 
2) ∂ T 
y =  ∂x 2 [ y1
∂x
 . 
 ∂ 


 ∂x n 
y2
 ∂y1
 ∂x
 1
 ∂y1
... y m ] =  ∂x
2
 .
 ∂y
 1
 ∂x n
∂y 2
∂x1
∂y 2
∂x 2
.
∂y 2
∂x n
Jacobian=sıfır matris. Çünkü
∂y m 
x
∂x1 

∂y m 
∂x 2  = 0
. 
∂y m 

∂x n 
...
...
...
...
y
nin elemanları
in elemanlarından bağımsızdır.
3) Benzer şekilde:
∂ x tanımsız!
∂y
∂x
=0
∂y
T
=0 (sıfır matris)
=0 (sıfır matris)
T
∂y
∂ T
∂x
x y=
y+
x=y
∂x
∂x
∂x
∂y
∂ T
∂x
y x=
x+
y=y
∂x
∂x
∂x
T
T
∂ T
x x = 2x
∂x
T
=I (birim matris)
=I (birim matris)
d) Sıkça karşılaşılabilecek matris türev formülleri aşağıda verilmiştir. x ve
A sabit gerçek sayılar içeren bir matristir.
x ve
y
y kolon vektörü,
birbirinden bağımsızdır. Matris
çarpımlarının tanımlı olduğu varsayılmıştır:
 ∂ 
 ∂x 
 1
∂ 
∂ 
=  ∂x2 
∂x 
. 
 ∂ 


 ∂xn 
∂
T
Ax = A
∂x
∂ T
x =I
∂x
∂ T
x A= A
∂x
∂ T
T
x Ax = Ax + A x
∂x
∂2
∂x
2
x Ax = A + A
T
∂ T
x Ay = Ay
∂x
∂ T
x =0
∂y
∂ T
x x = 2x
∂x
∂ T
x y=y
∂x
∂ T
y x=x
∂y
∂ T T
T
x A =A
∂x
A≠ AT, yani A
simetrik değildir!
∂ T
x A x = 2 Ax
∂x
∂2
T
∂x
∂ T
T
y Ax = A y
∂x
2
A= AT, yani A
simetriktir!
x Ax = 2 A
T
∂ T
T
x Ay = A y
∂y
40
41
Özel uygulama: Sonlu elemanlar metodunda bir sistemin toplam potansiyeli
1 T
T
x Ax − x b
2
T
ile verilir. Burada x yer değiştirme kolon vektörü, b dış yük kolon vektörü, A = A
toplam potansiyelidir.
A, b sabit sayılardan oluşur ve bilinir, x hesaplanmak
π=
konumunda
π
minimumdur.
π
değeri
x
sistem rijitlik matrisi,
π
istenir. Sistemin denge
in fonksiyonudur. Sistemin denge konumunda
∂π
=0
∂x
olmalıdır:
∂π 1 ∂ T
∂ T
1
=
x Ax −
x b = 2A x − b = 0
∂x 2 ∂x
∂x
2
Ax = b
bulunur. Bu bağıntı sistemin denge koşuludur ve doğrusal bir denklem sistemidir. Denklem sistemi çözülerek
x
bilinmeyen yer değiştirme vektörü hesaplanır.
Analitik integral
Bir matrisin tek veya çok katli integrali, her elemanın integrali alınarak bulunur, örnekler:
A = [a 1 a 2
... a n ] → ∫ Adx = ∫ [a 1
a1 
a1 
a 
a 
A =  2  → ∫ Adx = ∫  2  dx =
 . 
 . 
 
 
a n 
a n 
a 11
a
A =  21
 .

a n1
a 12
a 22
.
a n2
a2
... a n ]dx =
 a 1dx 
∫

 ∫ a 21dx 
 . ,


 ∫ a n dx 


... a 1m 
a 11 a 12

a
... a 2m 
a 22
→ ∫ Adx = ∫  21
 .
...
. 
.


... a nm 
a n1 a n2
[∫ a dx
1
∫a
2
dx ...
a1 
a 
2
A
dx
dy
=
∫∫
∫∫  .  dx dy =
 
a n 
 a 11dx
... a 1m 
∫
... a 2m 
 a dx
dx =  ∫ 21
...
. 
.


... a nm 
 ∫ a n1dx

∫a
n
dx
]
 a 1dxdy 
 ∫∫

 ∫∫ a 21dxdy 


.


 ∫∫ a n dxdy 


dx 

...
22 dx
2m dx 

.
...
.


a
dx
...
a
dx
n
2
nm
∫
∫

∫a
∫a
12
dx ...
∫a
∫a
1m
Özel uygulama: Sonlu elemanlar metodu iç kuvvetlerin işinin hesabında karşılaşılan bir integral:
w i = ∫ x A dx =
T
1 T
x Ax
2
Burada A simetriktir ve sabit terimli, yani A=AT dir.
Matris çarpımının integrali
∫∫∫ A
T
B A dx dy dz
tipinde integraller ile teoride karşılaşılır. A nın elemanları x, y ve z nin fonksiyonu, B ise
gerçek sayılardan oluşur. AT B A matris çarpımı yapılmadan integral alınamaz. Önce, çarpım
yapılarak, D = A T B A matrisi, sonra
∫∫∫ D dx dy dz
integrali hesaplanır.
D matrisinin elemanları genelde çok karmaşık fonksiyonlar içerir, bu durumda analitik
integrasyon yerine nümerik integrasyon metotları kullanılır.
41

2. Determinant ve matrislerle dört işlem

Transkript

Benzer belgeler

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Ayten KOÇ

1. GİRİŞ: Matrisler, tanımlar - Eskişehir Osmangazi Üniversitesi

Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri

Lineer Cebir - Mekatronik Mühendisliği Bölümü

ok diyagramları

P8000 PDF Broşür (Tr)

2013 Yılı Soruları - KTÜ Bilgisayar Mühendisliği

Sigma 30 - Yıldız Teknik Üniversitesi

l-matris

Ders Dosyası

16. Bölüm