Ders Notu-1

HİDROLİK
Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU
Ders Hakkında Genel Bilgiler
Görüşme Saatleri:---------Tavsiye edilen kitaplar:
1-Hidrolik (Prof. Dr. B. Mutlu SÜMER, Prof. Dr. İstemi ÜNSAL……. )
2-Akışkanlar Mekaniği ve Hidrolik Problemleri (Cemil Ilgaz, M. Emin
Karahan, Atıl Bulu – İTÜ)
Web sayfası:
http://www.erzurum.edu.tr/PersonelDetay/142/3012/fatihtosunoglu
Ortalama: Ödevler %10
Vizeler %40
Final %50
BÖLÜM 1: BORU HİDROLİĞİ
BORULAR İÇERİSİNDEKİ AKIM
1-HAREKET DENKLEMİ
Aşağıdaki şekilde gösterilen D çaplı boru içerisindeki, zamanla değişmeyen
akımı düşünelim;
Şekil 1
Şekilde gösterilen r yarıçapında, diğer boyutu Δx olan silindirik akışkan parçası
için hareket denklemini yazalım;
Bu akışkan parçasına eksen doğrultusunda tesir eden kuvvetler;
a- Silindirik parçanın taban yüzeyine etki ederek bu parçanın yukarı doğru
hareketine sebep olan basınç kuvveti;
b- Silindirik parçanın diğer yüzeyini etkileyen basınç kuvveti;
p  r 2
c-Parçanın kendi ağırlığının akım doğrultusundaki bileşeni;
d-Akışkanın viskozitesi sebebiyle silindirik parçanın yüzeyi boyunca etkiyen
sürtünme gerilmelerinin bileşkesi olan sürtünme kuvveti;
Bu bilgilere göre hareket denklemi;
(1)
O halde denklem-1 den;
(2)
Denklem 1 ve 2 ‘den;
(3)
(4)
(Şekil 1)
2. LAMİNER AKIM (HAGEN-POISEUILLE AKIMI)
Laminer akımda akışkan parçacıkları birbiri üzerinde kayarak, birbirine paralel
hareket eder. Su zerreleri birbiri içerisine karışmaz. Bu akıma düzenli akım da
denir. Laminer akımın tabiatta rastlanan tipik örneği yer altı suyu akımıdır.
Zemin içindeki boşluklardan her yönde akan akımı, sanki bütün toprak kesiti
içinde akıyormuş gibi kabul ederek filtre akımı diye tanımlanır. Kalın yağların
veya süzülmüş balın akımları laminer akıma iyi birer örnek oluştururlar.
Şimdi boru içerisindeki akımın Laminer olduğunu düşünelim. Akımın laminer
olması halinde, τ kayma gerilmesinin Newton’un viskozite kanunundan;
(5)
olduğunu Akışkanlar Mekaniği dersinden biliyoruz.
Burada μ akışkanın dinamik viskozite katsayısıdır. u ise akım hızı olup Şekil 1’de
gösterildiği gibi kesit içerisinde değişmektedir. Bu bölümde bizim amacımız u
hızının kesit içerisinde nasıl değiştiğini belirlemektedir.
Denklem 4 ve 5’ten;
(6)
İntegral alarak;
(7)
y=0 da u=0 sınır koşulundan sabit=0 bulunur.
Hemen dönmek üzere denklem 7’yi bir kenara bırakıp, şu önemli tanımı
yapalım. ρ akışkanın özgül kütlesi olmak üzere,
büyüklüktür; biz bundan sonra bu büyüklüğü
hız boyutunda bir
ile göstereceğiz ve
‘a
kayma hızı diyeceğiz;
(8)
O halde denklem 7 ve 8 den,
(kinematik viskozite katsayısı) olduğunu
da göz önünde tutarak, u hız dağılımı;
(9)
veya r cinsinden;
(10)
Bu bir parabol denklemidir. Olayda eksenel simetri olduğunda, hız dağılımının
bir paraboloid olması gerekir.
Akımın ortalama hızı;
(11)
şeklinde tanımlanmıştı. Burada Q debi, A kesit alanıdır. O halde dairesel kesitli
bir boru için ortalama hız (Şekil 1);
(12)
Denklem 9 ve10’daki ifadeyi denklem 12’de yerine koyarak;
(13)
ifadesi elde edilir.
olduğundan denklem 1’e göre;
ifadesi
şeklinde
yazılabilir ve bu denklem 13’de (ortalama hız denklemi) yerine konularak
laminer akım için ortalama hız denklemi şu şekilde bulunur.
(14)
Bu bağıntı bize, boru boyunca birim boy için basınç düşmesi arttıkça hızında
artacağını söylemektedir. Süreklilik formülünden debi değeri;
(15)
olur. Boru yatayda bulunuyorsa bağıntı aşağıdaki şekilde ifade edilir;
(16)
Buna Hagen-Poiseuille denklemi denir.
3-TÜRBÜLANSLI AKIM
Bir borudaki akım düşük akış hızlarında laminer, büyük akım hızlarında ise
türbülanslıdır. Boru cidarının yakınındaki bölgede akımın hızı çok küçüktür ve
tam boru cidarı üzerinde ise sıfırdır. Bu nedenle ince bir tabaka halinde tüm
cidarı sıvayan bu bölge de laminer karakterdedir. Bu bölgeye viskoz alt
tabaka denir. Bunun haricindeki bölgeye de çekirdek bölgesi denir (Şekil 2).
Şekil 2.
3.1. Viskoz Alt Tabaka
Viskoz alt tabakanın kalınlığı çok ince olduğundan, bu tabaka içerisinde
kayma gerilmesi, tam cidar üzerindeki değere, yani τ0 a eşit alınabilir;
τ
(17)
Diğer taraftan, bu tabaka içerisindeki akım madem ki laminer karakterde bir
akımdır. O halde;
(18)
yazılabilir ve;
(19)
şeklini alır.
du 
 2
u*  dy

(20)
yazılarak integral alınırsa,
(21)
bulunur. y=0 için u=0 olduğundan integral sabiti sıfırdır ve
olduğu da gözönünde
tutularak, viskoz alt tabakadaki hızın y ile değişimi için aşağıdaki bağıntı bulunur.
(22)
Bu bağıntıdan görüldüğü gibi, viskoz alt tabaka içerisinde hız cidardan olan uzaklıkla
doğrusal olarak değişmektedir. Yapılan laboratuvar çalışmaları sonucunda viskoz alt
tabakanın kalınlığı (δ) için aşağıdaki bağıntı bulunmuştur.
(23)
3.2. Çekirdek Bölgesi
(24)
Türbülanslı akımda
ifadesinin sayısal değeri
(25)
Şeklindedir.
Bu nedenle türbülanslı akımda viskozite terimi olan
terimi ihmal edilerek ve
değerleri yaklaşık olarak sabit kabul edilerek,
bağıntı aşağıdaki şekilde yazılabilir.
(26)
(27)
(28)
Şeklinde ifade edilebilir.
Burada μT türbülans viskozitesi olarak aşağıdaki şekilde tanımlanır;
(29)
Burada, l karışım boyudur. Yapılan deneysel çalışmalar sonucunda
olduğu bölgede l=0.4 y olduğu görülmüştür. 0.4 değerine Von Karman sabiti
denir. Bu değer denklem 23’de yerine konularak aşağıdaki bağıntılar bulunur
Denklemin integrali alınarak
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
Şekil 3
3.3. Pürüzlü Cidar
(35)
Denklem 30 ve 35 den;
(36)
Dolayısıyla denklem 30 ve 36’dan, u hız dağılımının y ile değişimi aşağıdaki şekilde olur;
(37)
Bir önceki bölümde yapılan işleme benzer şekilde, denklem 37 denklem 12’de yerine
konularak pürüzlü cidar halinde ortalama hızı V aşağıdaki şekilde elde edilir;
(38)
4-ENERJİ (YÜK) KAYBI
(39)
Şekil 6
(40)
1 ve 2 kesitleri arasındaki enerji kaybı ki buna yük kaybı da diyebiliriz;
(41)
Şekil 6’daki enerji yüksekliklerinin uçlarını birleştiren çizgiye enerji çizgisi ve
piyezometrik basınç yüksekliklerinin uçlarını birleştiren çizgiye de piyezometre
çizgisi denir.
(42)
dir. O halde denklem 41 ve 42’den;
(43)
Denklem 2 ve 43’ten
, olduğu da hatırlanarak birim boydaki
enerji (yük) kaybı;
(44)
(45)
Şekil 7
Şekil 7b. Moody diyagramı
Problem 1:
Problem 2:
Problem 3:
Problem 4:
5. HİDROLİK YARIÇAP CİNSİNDEN ENERJİ (YÜK) KAYBI
Tablo 5. Dairesel kesitli olan ve olmayan borular için enerji kaybı bağıntıları
Problem 5:
20˚ C sıcaklıktaki hava, 500 m uzunluğunda dikdörtgen kesitli (30 cm x 20 cm)
pürüzsüz düz bir boru içinde Q=0.24 m3/sn debi ile akıtılacaktır. Yük kaybını
hesaplayınız