öğrenme etkili çizelgeleme probleminde maksimum gecikmenin

öğrenme etkili çizelgeleme probleminde maksimum gecikmenin

V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005
ÖĞRENME ETKİLİ ÇİZELGELEME PROBLEMİNDE MAKSİMUM
GECİKMENİN ENKÜÇÜKLENMESİ İÇİN ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
Tamer EREN
Kırıkkale Üniversitesi
Ertan GÜNER
Gazi Üniversitesi
Özet
Öğrenme etkisi, benzer yada aynı işlemlerin sürekli olarak tekrarlanması sonucunda işlem zamanında meydana
gelen azalmayı ifade etmektedir. Bu çalışmada maksimum gecikmenin enküçüklenmesi problemi tek makineli
sistem için öğrenme etkili durumda ele alınmıştır. Maksimum gecikmenin enküçüklenmesi problemi için optimal
çözümler klasik durumda (öğrenme etkisiz) en küçük teslim tarihi (EDD) kuralı ile kısa zamanda bulunabilirken,
öğrenme etkili durumda ise problem NP-zor yapıda olmaktadır. Ele alınan bu problemin çözümü için
matematiksel programlama modeli geliştirilerek küçük boyutlu çözümler gerçekleştirilmiştir. Daha büyük
boyutlu problemleri çözmek için meta sezgisel yöntemlerden tabu arama yöntemi kullanılmış ve çözüm
sonuçları gösterilmiştir.
Anahtar Sözcükler: Tek Makineli Çizelgeleme, Öğrenme Etkisi, Maksimum Gecikme, Matematiksel
Programlama, Tabu Arama Yöntemi.
1. GİRİŞ
Üretim sistemlerinde aynı veya benzer faaliyetlerin sürekli olarak tekrarlanması sonucu üretim işleminde
gelişme kaydedilmesiyle üretim zamanında bir kısalma meydana gelir. Bu olgu literatürde öğrenme etkisi olarak
bilinmektedir. Yöneylem araştırmasının pek çok alanında öğrenme etkisi kullanılmasına rağmen çizelgeleme
konusunda yapılan çalışmalara ancak son yıllarda rastlanmaktadır.
Öğrenme eğrisi, aynı işin tekrarlanmasının bir fonksiyonu olarak performansının gelişim grafiğidir. Öğrenme
eğrisi ilk kez Wright (1936) tarafından tanımlanmıştır. Wright (1936) uçakların üretiminde üretilen uçak sayısı
artarken direk işçilik maliyetlerinde nasıl bir azalma olduğunu tespit etmiştir. Bu gözlem ve gelişme oranı, bir
çok uçak imalatçısı tarafından tutarlı ve doğru kabul edilmiştir. Heizer ve Render (2001), işgücü tahmininde,
maliyet ve bütçe hesaplarında, dışarıdan satın alımlarda, şirket performansının stratejik gelişiminin tespiti vb. bir
çok uygulamalarda öğrenme eğrilerinin yararlı olduğunu ifade etmişlerdir. Araştırmacılar ayrıca, farklı
organizasyonlarda farklı ürünlerin, farklı öğrenme eğrilerine sahip olduklarını ve yönetim kalitesine ile ürün
prosesinin potansiyeline bağlı olarak öğrenme oranlarının değiştiğini, 1920 ve 1955 yılları arasında çelik
endüstrisini örnek göstererek bu endüstride kümülatif üretimin bir önceki üretime göre iki kat arttığında birim
ürün işçilik saatlerinde %79’luk bir azalma olduğunu göstermişlerdir.
Çizelgelemede ise öğrenme etkisi ilk kez Biskup (1999) tarafından incelenmiştir. Yapılan çalışmalar tek
makineli çizelgeleme (Biskup, 1999; Cheng ve Wang, 2000; Mosheiov 2001a; Eren ve Güner 2002;2004a
Mosheiov ve Sidney 2003,2005; Biskup ve Simons, 2004; Lee, 2004; Lee ve diğerleri, 2004) problemlerinde
yoğunlaşmıştır. Ayrıca paralel makineler (Mosheiov 2001b; Eren ve Güner 2004b;2005) ve akış tipi çizelgeleme
(Eren ve Güner 2003;2004c; Lee ve Wu, 2004) problemleri ile yapılan çalışmalarda bulunmaktadır.
Ele alınan tek makineli sistemde maksimum gecikme problemi klasik durumda (öğrenme etkisiz) en erken teslim
tarihi (EDD) kuralı ile optimal çözümleri bulunabilmektedir. Aynı problem öğrenme etkili olduğunda ise NP-zor
yapıda olmaktadır (Cheng ve Wang, 2000).
243
T. Eren, E. Güner
Bu çalışmada, tek makineli öğrenme etkili maksimum gecikme problemi için matematiksel programlama modeli
geliştirilmiş ve geliştirilen modelle 24 işe kadar olan çözümler gerçekleştirilmiştir. Ayrıca EDD ve tabu arama
yöntemi kullanılarak 1000 işe kadar olan problemlerin çözümleri yapılmıştır.
Çalışmanın ikinci bölümünde ele alınan problem tanımlanacaktır. Problemin matematiksel programlama modeli
ise üçüncü bölümde verilecektir. Dördüncü bölümde sezgisel yöntem olarak kullanılan tabu arama yöntemi
hakkında bilgi verilecek aynı zamanda incelenen probleme nasıl uyarlandığı gösterilecektir. Deneysel sonuçlar
ise beşinci bölümde sunulacaktır. Son bölümde ise yapılan çalışma değerlendirilip gelecekte yapılabilecek
çalışmalardan bahsedilecektir.
2. PROBLEMİN TANIMLANMASI
Atölyeye gelen n iş sıfırıncı zamanda işlem için hazırdır. Gelen işler ( j = 1,2,..., n ) tek makinede sırasıyla işlem
görmektedir. p j ve d j , j işinin işlem zamanını ve teslim tarihini göstermektedir. C j ve L j sırasıyla j işinin
tamamlanma zamanı ve gecikmesini ifade etmektedir. L j = C j − d j olarak tanımlanmaktadır. Maksimum
n
{
j =1
}
n
gecikme L max = max C j − d j = max L j dir. Bir işin işlem zamanı öğrenme etkisi olduğunda sıradaki
j =1
pozisyonun bir fonksiyonu olarak azalır. j işi r. pozisyonda çizelgeleniyor ise bu işin işlem zamanı p jr olarak
kabul edilir ve p jr = p j r a olarak belirtilir. Burada p j , j işi ilk pozisyonda yer aldığında işlem zamanı, a ≤ 0
olan öğrenme indeksi sabitidir ve öğrenme oranının iki tabanına göre logaritması olarak verilir. Pozisyonlara
göre farklı işlerin makinelerdeki işlem zamanları matrisi Tablo 1’de verilmiştir.
Tablo 1. Tek makineli çizelgelemede işlem zamanları matrisi
pozisyon
p jr = p j r a
r =1
r=2
r =3
...
r=n
p1r = p1 r a
p1
p1 2 a
p1 3 a
...
p1 n a
p 2r = p 2 r a
p2
p2 2 a
p2 3a
...
p2 n a
p nr = p n r a
pn
pn 2 a
pn 3a
...
pn n a
Çalışmada kullanılan diğer varsayımlar şöyledir: Makine hazırlık zamanları önceden bilinmekte olup işlem
zamanına dahil edilmiştir. İş kesintisine izin verilmeyip başlanan iş makinede tamamlanmadan başka bir iş
başlayamaz ve makinenin çizelgeleme periyodu süresince sürekli çalıştığı varsayılmaktadır. Ayrıca makinede
aynı anda tek bir iş yapılabilmektedir.
3. MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA MODELİ
Model n 2 + 3n + 1 değişkenli ve 6n kısıtlıdır. Kullanılan parametreler ve değişkenler aşağıda belirtilmiştir.
1. Parametreler
j
iş sayısı
r
a
j = 1,2,..., n
pj
r. pozisyona bağlı öğrenme indeksi,
j işinin işlem zamanı,
r = 1,2,..., n
j = 1,2,..., n
dj
j işinin teslim tarihi,
j = 1,2,..., n
2. Karar değişkeni
Z jr
Eğer j işi r. pozisyonda işlem görmek için çizelgelenmişse 1, aksi halde 0,
j = 1,2,..., n
r = 1,2,..., n
3. Yardımcı değişkenler
n
p [r ]
r. pozisyondaki işin işlem zamanı
p[ r ] = ∑ Z jr p j r a
j =1
244
r = 1,2,..., n
(1)
V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005
n
d r*
r. pozisyondaki işin teslim tarihi
d r* = ∑ Z jr d j
r = 1,2,..., n
(2)
j =1
r. pozisyondaki işin tamamlanma zamanı
Cr
r = 1,2,..., n
(3)
r = 1,2,..., n
(4)
∑ Z jr = 1
j = 1,2,..., n
(5)
C1 ≥ p [1] ve C r − C r −1 ≥ p [r ]
(1)-(3) nolu yardımcı değişken kısıtları
r = 2,3,..., n
(6)
Lmax
maksimum gecikme
r = 1,2,..., n
C r − d r*
Lmax ≥
4. Matematiksel programlama modeli
Amaç fonksiyonu:
Min Z = Lmax
Kısıtlar:
n
∑ Z jr = 1
j =1
n
r =1
Kısıt (4); r. iş önceliğinde sadece bir tek iş çizelgelenmesini, kısıt (5); her bir iş sadece bir kez çizelgelenmesini
ifade etmektedir. Kısıt (6); r. sıradaki işin tamamlanma zamanı bir önceki işin tamamlanma zamanı arasındaki
farkın r. pozisyondaki işin işlem zamanından büyük veya eşit olma durumunu göstermektedir. Atanan işlerin
Gantt şeması Şekil 1’de gösterilmiştir.
Şekil 1. Atanan işlerin Gantt şeması
5. Sayısal örnek
15 işli bir örnek için işlem zamanları ve teslim tarihleri Tablo 2’de verilmiştir. Öğrenme etkisi % 80
( a = −0.322 ) için maksimum gecikmeyi enküçükleyecek eniyi sıralamayı bulalım.
2
64
3
91
4
41
Tablo 2. Sayısal örnek verileri
5
6
7
8
9
10 11
63 31 95 44 86 37 83
j
pj
1
79
12
42
13
67
14
54
15
20
dj
97 148 330 79 367 284 441 277 169 312 178 103
3
204 304
Problem önerilen modelle ve EDD kuralı ile çözüldüğünde bulunan değerler ve sıralamalar Tablo 3’de
gösterilmiştir. Tablo 3’de görüldüğü gibi önerilen matematiksel modelle eniyi çözüm elde edilmiştir.
Tablo 3. Bulunan değerler ve sıralamalar
Kullanılan yöntem
Matematiksel programlama
EDD
Bulunan değer
120.28
136.50
Eniyi sıralama
15-4-13-12- 2-1- 9-11-14- 8- 6-10-5-3-7
13-4- 1-12- 2-9-11-14- 8- 6-15-10-3-5-7
4. TABU ARAMA YÖNTEMİ
Önerilen matematiksel programlama modeli ile ancak küçük boyutlu problemler çözülebilmektedir. Halbuki
uygulamalarda daha büyük boyutlu problemleri çözmek gerekebilir. Bunun için tabu arama yöntemi
kullanılmıştır. İlk olarak Glover (1986) tarafından ortaya atılan tabu arama yöntemi, bu çalışmada ele alınan
245
T. Eren, E. Güner
problemin çözümünde kullanılan sezgisel yöntemdir. Bu yöntem, eniyi veya eniyiye yakın çözümleri bulmak
için çözüm uzayını araştırır. Kombinatoryal problemlerde kullanılan sezgisel optimizasyon tekniklerinden en çok
kullanılan yöntemlerden biridir. Tabu arama, seçilen herhangi bir başlangıç çözümü ile aramaya başlar. Mevcut
çözümün tanımlanan bir hareket mekanizmasına göre komşuluğu oluşturulur ve bu komşuluk içinden en iyi
amaç değerine sahip olan çözüm eğer tabu sınıfına girmiyorsa yeni mevcut çözüm olarak seçilir. Yöntemde tabu
sınıflarının belirlenmesi için kısa dönemli hafıza (tabu listesi) kullanılır. Belli bir iterasyon seviyesinde veya
iyileşme olmadığında arama durdurulur.
Tabu arama yönteminin probleme uyarlanması şu şekildedir:
Başlangıç çözümü seçimi: Tabu arama yönteminin başlangıç çözümü öğrenme etkisiz durumda eniyi çözümü
veren en erken teslim tarihi (EDD) kuralı olarak seçilmiştir.
Komşu arama stratejisi: Komşu arama stratejisi olarak bitişik iş çiftlerinin yer değiştirilmesi (API)
kullanılmıştır. API stratejisi ile her iterasyonda (n-1) tane komşu üretilmektedir.
Tabu listesi uzunluğu: Tabu listesi uzunluğu iş sayısı n’e göre belirlenmiş ve 2 n olarak alınmıştır.
Durdurma kriteri: problem için n iterasyonda iyileşme olmadığında tabu arama yöntemi son verilmesi
istenmektedir.
Tabu aramanın parametreleri toplu olarak Tablo 4’de verilmiştir.
Tablo 4. Tabu arama parametreleri
Parametreler
Değerli
Başlangıç çözümü
EDD
Tabu listesi uzunluğu
2 n
Komşu arama stratejisi
API
Durdurma kriteri
n iterasyonda iyileşmeme
5. DENEYSEL SONUÇLAR
Yapılan çalışmada bütün deneysel testler için Pentium IV/2 GHz 512 RAM kapasiteli kişisel bilgisayar
kullanılmıştır. Ele alınan problemin eniyi çözümlerini bulmak için Hyper LINDO/PC 6.01 programı
kullanılmıştır. İşlem zamanları p j , 1 ile 100 arasında, teslim tarihleri d j ise 0 ile
n
∑ p j arasında düzgün
j =1
dağılımdan üretilmiştir. Öğrenme etkisi olarak % 80 alınmıştır. Deney seti toplu olarak Tablo 5’de verilmiştir.
Tablo 5’de görüldüğü gibi toplam 240 problem çözülmüştür.
Tablo 5. Problemin deneysel seti
Parametreler
Değerleri
İş sayısı, n
10,12,14,16,18,20,22,24
Öğrenme etkisi
% 80
İşlem zamanı pj
U[1,100]
Teslim tarihi dj
U[0, ∑ p j ]
Çözülen problem 30
Toplam problem
8×30=240
Tablo 6’da ele alınan problemin matematiksel programlama çözüm süreleri ile sezgisel yöntem olarak kullanılan
EDD ve tabu aramanın hataları verilmektedir. Sezgisellerin hatası aşağıdaki formülle göre hesaplanmıştır:
hata =
sezgisel çözüm değeri − optimal çözüm değeri
optimal çözüm değeri
Tablo 6’da görüldüğü gibi tabu arama yöntemi tüm problemlerde % 1’in altında hata vermiştir. EDD yöntemi ise
ortalama olarak % 12’ye yakın hata değeri vermektedir. Tabu arama sezgiseline göre problemlerin çözüm süresi
çok kısa olduğu için yukarıdaki çizelgede bu süreler verilmemiştir.
246
V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstanbul Ticaret Üniversitesi, 25-27 Kasım 2005
Tablo 6. Tamsayılı programlamanın CPU çözüm süreleri (saniye) ile EDD ve tabu
arama yöntemlerinin hataları
Sezgisellerin hataları
n
Optimal çözüm süreleri (sn)
EDD
Tabu arama
10
2.12
0.1182
0.0058
12
6.64
0.1254
0.0053
14
21.33
0.1396
0.0026
16
73.22
0.1334
0.0069
18
233.98
0.1067
0.0100
20
732.32
0.1096
0.0087
22
2221.22
0.1214
0.0077
24
7010.48
0.1007
0.0045
Ortalama hata
0.1194
0.0064
Büyük boyutlu problemlerin deneysel seti Tablo 7’de verilmiştir. İşler EDD yöntemleri ile çözülüp tabu arama
yöntemiyle ne kadar geliştirildiği 1000 işe kadar olan problemlerde gösterilecektir. EDD yöntemindeki gelişme
şu şekilde hesaplanmaktadır:
EDD çözüm değeri − Tabu arama çözüm değeri
EDD yönteminde gelişme =
Tabu arama çözüm değeri
Tablo 7. Büyük Boyutlu Problemlerin Deneysel Seti
Parametreler
Iş sayısı, n
Öğrenme etkisi
İşlem zamanı pj
Teslim tarihi dj
Çözülen problem
Toplam problem
Değerleri
100,200,…,1000
% 80
[1,100]
[0, ∑ p j ]
30
10×30=300
EDD yöntemindeki tabu aramayla gelişme ve çözüm süreleri Tablo 8’de gösterilmiştir. Tablo 8’de de görüldüğü
gibi ortalama olarak % 15 gelişme görülmektedir.
Tablo 8. Büyük boyutlu problemlerde EDD yönteminin tabu arama ile
gelişmesi ve çözüm süreleri
n
EDD geliştirme Süre (sn)
n
EDD geliştirme Süre (sn)
100
600
0.2149
3.49
0.1636
183.69
200
700
0.1695
8.40
0.2021
386.83
300
800
0.1322
16.96
0.1070
907.02
400
900
0.1633
37.05
0.1421
2112.22
500
1000
0.1364
85.79
0.1133
4823.11
6. SONUÇ
Bu çalışmada tek makineli çizelgeleme probleminde öğrenme etkili maksimum gecikmenin enküçüklenmesi
problemi dikkate alınmıştır. NP-zor olan bu problemi çözmek için bir matematiksel programlama modeli
önerilmiştir. Ayrıca tabu arama sezgiseli kullanılarak 1000 işe kadar olan problemlerin çözümleri
gerçekleştirilmiştir. Öğrenme etkili çizelgeleme problemlerinde diğer performans ölçütleri de tek ve çok
makineli ortamlar için incelenebilir.
247
T. Eren, E. Güner
7. KAYNAKÇA
BISKUP, D., 1999, “Single Machine Scheduling with Learning Considerations”, European Journal of
Operational Research, 115, 173¯ 178.
BISKUP, D., SIMONS, D., 2004, “Common Due Date Scheduling with Autonomous and Induced Learning”,
European Journal of Operational Research, 159, 606–616.
CHENG, T. C. E., WANG, G., 2000, “Single Machine Scheduling with Learning Effect Considerations”,
Annals of Operations Research, 98, 273-290.
EREN, T., GÜNER, E., 2002, “İşe Bağımlı Öğrenme Etkili Çizelgeleme Problemlerinin Çözümü için Bir
Matematiksel Model”, Z. K.Ü. Karabük Teknik Eğitim Fakültesi Teknoloji Dergisi, 3-4, 121-129.
EREN, T., GÜNER, E., 2003, “Akış Tipi Çizelgeleme Problemlerinde İşe-Bağımlı Öğrenme Etkisi”, K.H.O.
Savunma Bilimleri Dergisi, 2 (2), 1-11.
EREN, T., GÜNER, E., 2004a, “Öğrenme Etkisinin Çizelgeleme Problemlerine Uygulanması”, 10. Ergonomi
Kongresi. 7-9 Ekim, Bursa. 61.
EREN, T., GÜNER, E., 2004b, “Öğrenme Etkisinin İki Ölçütlü Paralel Makinalı Çizelgeleme Problemlerinde
Uygulanması”, YA/EM’2004, XXIV. Ulusal Kongresi. 15-18 Haziran Gaziantep–Adana. 473-475.
EREN, T., GÜNER, E., 2004c, “Öğrenme Etkili Akış Tipi Çizelgeleme Probleminde Ortalama Akış
Zamanının Enküçüklenmesi”, Gazi Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Dergisi. 19 (2), 119-124.
EREN, T., GÜNER, E., 2005, “Öğrenme Etkili İki Ölçütlü Paralel Makineli Çizelgeleme Problemlerinin
Çözümü için Tamsayılı Programlama Modeli”, 4. İstatistik Kongresi, Antalya, 12-15 Mayıs.
GLOVER F., 1986, “Future Paths for Integer Programming and Links to Artificial İntelligence”, Computers
and Operations Research, 5, 533-549.
HEIZER, J., RENDER, B., 2001 “Operations Management”, (6. ed.), Prentice Hall, New Jersey, ABD.
LEE, W.-C., 2004, “A Note on Deteriorating Jobs and Learning in Single-Machine Scheduling Problems”,
International Journal of Business and Economics, 3, 83-89.
LEE, W.-C., WU, C.-C., 2004, “Minimizing Total Completion Time in A Two-Machine Flowshop with A
Learning Effect”, International Journal of Production Economics, 88, 85–93.
LEE, W.-C., WU, C.-C., SUNG, H.-J., 2004, “A Bi-Criterion Single-Machine Scheduling Problem with
Learning Considerations”, Acta Informatica, 40, 303–315.
MOSHEIOV, G., 2001a, “Scheduling Problems with Learning Effect”, European Journal of Operational
Research, 132, 687 693.
MOSHEIOV, G., 2001b, “Parallel Machine Scheduling with Learning Effect”, Journal of the Operational
Research Society, 52, 1165-1169.
MOSHEIOV, G., SIDNEY, J. B., 2003, “Scheduling with General Job-Dependent Learning Curves”,
European Journal of Operational Research, 147, 665-670.
MOSHEIOV, G., SIDNEY J. B., 2005, “Note on Scheduling with General Learning Curves to Minimize the
Number of Tardy Jobs”, Journal of the Operational Research Society, 56, 110–112.
WRIGHT, T. P., 1936, “Factors Affecting The Cost of Airplanes”, Journal of The Aeronautical Sciences, 3,
122-128,
248