i OPTİK FAZ ELDESİNDE HARTLEY DÖNÜŞÜMÜNÜN

Transkript

OPTĐK FAZ ELDESĐNDE HARTLEY DÖNÜŞÜMÜNÜN KULLANILMASI
Hakan KAYA
Zonguldak Karaelmas Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalında
Yüksek Lisans Tezi
Olarak Hazırlanmıştır
ZONGULDAK
Haziran 2010
i
KABUL:
Hakan
KAYA
DÖNÜŞÜMÜNÜN
tarafından
hazırlanan
KULLANILMASI”
“OPTĐK
başlıklı
FAZ
bu
ELDESĐNDE
çalışma
jürimiz
HARTLEY
tarafından
değerlendirilerek, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi
olarak oybirliğiyle kabul edilmiştir. 16/06/2010.
Başkan: Doç. Dr. Mahmut ÖZER (ZKÜ)
.......................
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Zehra SARAÇ (ZKÜ)
.......................
Üye
: Doç. Dr. Ertan ÖZTÜRK (ZKÜ)
.......................
Üye
: Doç. Dr. Halil ÖZER (ZKÜ)
.......................
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Halit TAŞKIN (ZKÜ)
.......................
ONAY:
Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğretim üyelerine ait olduğunu onaylarım. .../.../2010
Prof. Dr. Kemal BÜYÜKGÜZEL
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
ii
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
OPTĐK FAZ ELDESĐNDE HARTLEY DÖNÜŞÜMÜNÜN KULLANILMASI
Hakan KAYA
Zonguldak Karaelmas Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı
Tez Danışmanı: Doç. Dr. Mahmut ÖZER
Haziran 2010, 89 sayfa
Bu tezde, optik girişim desenlerinin analizinde Hartley Dönüşümünün kullanılması
önerilmiştir. Fourier Dönüşümüne dayalı optik girişim deseni analizinde kullanılan algoritma
Hartley dönüşümü kullanılarak tekrar yazılmıştır. Amaç, sinyal analizi algoritması olarak
Fourier dönüşüm tekniğini kullanan temeli optik girişimölçere dayalı ölçüm sistemlerinin
hızını artırmaktır. Bu iki algoritma sayısal olarak elde edilen girişim desenleri ile test
edilmiştir. Bu test sırasında temel Ayrık Fourier ve Hartley Dönüşümleri ile hızlı dönüşümler
için FFT West Kütüphanesi kullanılmıştır.
Deneysel olarak yapmış olduğumuz algoritmayı test etmek için iki farklı çalışma yapılmıştır.
Đlk olarak; kırılma indisi değişim ölçer sistemi kullanılarak, içinden akım geçirilen sıvının
kırılma indisi değişimi düzenlenen optik sinyal işleme metotları ile tespit edilmiştir. Đkinci
olarak; Izgara projeksiyon (Fringe projection) profilometrisi kullanılarak, seçilen bir nesnenin
üç boyutlu görüntüsü Hartley ve Fourier dönüşümlerine dayalı yöntemler ile elde edilmiştir.
iii
ÖZET (devam ediyor)
Anahtar Sözcükler: Hartley Dönüşümü, Fourier Dönüşümü, optik girişim deseni analizi, 3B
Bilim Kodu: 609.01.00
iv
ABSTRACT
M.Sc. Thesis
PHASE RECOVERY FROM OPTICAL INTERFERENCE PATTERNS BY USING
HARTLEY TRANSFORM
Hakan KAYA
Zonguldak Karaelmas University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Electrical and Electronics Engineering
Thesis Advisor: Assoc. Prof. Mahmut ÖZER
June 2010, 89 pages
In this thesis, Hartley transform was purposed for analysis of optical interference patterns. The
algorithm, which dependes on The Fourier Transform used in analysis of optical interference
patterns, was rearranged using Hartley Transform. The aim of this thesis is to increase speed of
measurement systems, which are based on optical interferometry and use The Fourier Transform
algorithm for signal processing. These two algorithms were tested with interference patterns
obtained numerically. During these tests, Discrete Hartley Transform, Discrete Fourier
Transform, Fast Hartley Transform and Fast Fourier Transform in the FFTWEST Library were
used.
Experimentally, two different process were used to test the algorithm purposed. Firstly, the
change in the refractive index of liquid solution, which current was flowed through, was detected
with interferometric refractometer system by using the methods for optical signal processing.
Secondly, with fringe projection profilometry, 3D image of the objects were measured by
using algorithms based on Hartley and Fourier Transforms
v
ABSTRACT (continued)
Key Words: Hartley Transform, Fourier Transform, optical interfarence patterns analysis, 3D
profilometry
Science Code: 609.01.00
vi
TEŞEKKÜR
Bana her konuda rehberlik eden, yardımlarını esirgemeyen ve beni yüreklendiren sonsuz
saygı ve sevgi duyduğum danışman hocam Sayın Doç. Dr. Mahmut ÖZER’e (ZKÜ), tezin
çeşitli aşamalarında değerli görüş ve düşüncelerinden faydalandığım, çalışma ile ilgili olarak
eksik noktaları görmemde ve bunları gidermemde bana büyük katkıda bulunan ve çalışma
azmimi kendisine borçlu olduğum çok değerli hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Zehra SARAÇ’a
(ZKÜ) teşekkürü bir borç bilirim.
Ayrıca katkılarından dolayı Fen-Edebiyat Fak. Kimya Bölümü Sayın Arş. Gör. Şevket
ATA’ya (ZKÜ), tezin düzenlenmesinde yardımları olan Sayın Murat HAMARAT’a, beni
yetiştiren bugüne kadar maddi ve manevi desteklerini hiçbir zaman üzerimden eksik etmeyen
aileme teşekkür ederim.
vii
viii
ĐÇĐNDEKĐLER
Sayfa
KABUL ....................................................................................................................................... i
ÖZET
..................................................................................................................................... iii
ABSTRACT ............................................................................................................................... v
TEŞEKKÜR ............................................................................................................................. vii
ĐÇĐNDEKĐLER.......................................................................................................................... ix
ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ................................................................................................................... xi
ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ ............................................................................................................ xv
EK AÇIKLAMALAR DĐZĐNĐ............................................................................................... xvii
SĐMGELER VE KISALTMALAR DĐZĐNĐ............................................................................ xix
BÖLÜM 1 GĐRĐŞ ......................................................................................................................... 1
BÖLÜM 2 GENEL BĐLGĐLER ................................................................................................. 5
2.1 IŞIK ................................................................................................................................. 6
2.2 IŞIĞIN GĐRĐŞĐMĐ ............................................................................................................ 8
2.2.1 Girişim Koşulları..................................................................................................... 10
2.2.2 Ahenkli kaynak ve Girişim meydana getirme yolları ............................................. 13
2.3 GĐRĐŞĐM ÖLÇME TEKNĐKLERĐ................................................................................. 14
2.3.1 Temel Fourier Dönüşümüne Dayalı Algoritma ile Girişim Deseni Analizi............ 17
2.3.2 Temel Hartley Dönüşümüne Dayalı Algoritma Đle Girişim Deseni Analizi........... 23
2.3.3 FFTW Kütüphanesi Kullanarak Elde Edilen Hızlı Fourier Dönüşümüne Dayalı
Algoritma Đle Girişim Deseni Analizi...................................................................... 31
2.3.4 FFTW Kütüphanesi Kullanarak Elde Edilen Hızlı Hartley Dönüşümüne Dayalı
Algoritma Đle Girişim Deseni Analizi...................................................................... 32
2.4 SONUÇLAR .................................................................................................................. 35
2.4.1 Algoritmaların Hız Karşılaştırmaları ...................................................................... 35
ix
ĐÇĐNDEKĐLER (devam ediyor)
Sayfa
1.4.2 Hartley Ve Fourier Dönüşümleri Đle Analiz Edilen Girişim Desenlerinin RMS
Hata Grafikleri ......................................................................................................... 46
BÖLÜM 2 OPTĐK GĐRĐŞĐM DESENĐ SĐNYAL ĐŞLEME ALGORĐTMALARININ
DENEYSEL ÇALIŞMALAR ĐLE TEST EDĐLMESĐ............................................... 49
2.1 KIRILMA ĐNDĐSĐ DEĞĐŞĐMĐ ÖLÇER......................................................................... 49
2.1.1 Kırılma Đndisi Ölçer Đle Yapılan Çalışmalar ........................................................... 49
2.1.2 Kırılma Đndisi Değişimi Ölçer Đle Elde Edilen Sonuçlar......................................... 52
2.1.2.1 Malochite Gren Oxolate Sulu Çözeltisi Đçin Elde Edilen Sonuçlar ................. 52
2.1.2.1.1 Malochite Gren Oxolate Sulu Çözeltisi Çalışmasında Sistemden Alınan
Verilerin Analizi Đçin Kullanılan Algoritmalara Göre Geçen Süre
Sonuçları ................................................................................................... 57
2.1.2.2 Victoria Blue (Bozaik Mavi) Çözeltisi Đçin Elde Edilen Deneysel Sonuçlar .. 57
2.1.2.2.1 Victoria Blue (Bozaik Mavi) çözeltisi deneysel sonuçları için Kullanılan
Algoritmaların Zamansal Sonuçları........................................................... 63
2.1 ÜÇ-BOYUTLU (3B) GÖRÜNTÜ ÖLÇER (3-D PROFĐLER) ..................................... 64
2.2.1 Izgara Projeksiyon Profilometresi........................................................................... 64
2.2.2 3B Görüntü Ölçer Đle Yapılan Çalışmalar Ve Sonuçları......................................... 67
2.2.2.1 3B Görüntü Ölçer Đle Elde Edilen Deneysel Girişim Desenleri Đçin Kullanılan
Algoritmaların Sonuçları................................................................................ 77
BÖLÜM 3 SONUÇLAR .......................................................................................................... 81
KAYNAKLAR......................................................................................................................... 83
EK AÇIKLAMALAR A ATOMLAR VE IŞIK ...................................................................... 85
x
ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ
No
Sayfa
1.1 Elektromanyetik dalga.......................................................................................................... 7
1.2 Girişim çeşitleri .................................................................................................................... 9
1.3 Girişim deseni ................................................................................................................... 10
1.4 Girişim koşulları................................................................................................................. 12
1.5 Young girişim ölçeri........................................................................................................... 13
1.6 Michelson girişim ölçeri..................................................................................................... 14
1.7 Girişim deseni ................................................................................................................... 15
1.8 Referans girişim deseni ...................................................................................................... 16
1.9 Faz eklenmiş girişim deseni ............................................................................................... 16
1.10 Eklenen fazın 3 boyutlu çizimi......................................................................................... 17
1.11 Filtreleme işlemi............................................................................................................... 18
1.12 Đstenen faz bilgisi. ............................................................................................................ 19
1.13 Unwrap tekniği ile faz sürekliliği sağlanması .................................................................. 20
1.14 Fourier tekniği akış şeması (Alt akış şeması)................................................................... 21
1.15 Fourier tekniği(Alt program) ile elde edilen faz bilgileri................................................. 21
1.16 Fourier tekniğine dayalı algoritma ile faz eldesi akış şeması........................................... 22
1.17 Fourier tekniği ile elde edilen faz bilgisi.......................................................................... 22
1.18 Hartley dönüşümü ile Fourier dönüşümüne geçiş akış şeması ........................................ 25
1.19 x(n) dizisinin Fourier dönüşümü ( x(n) → F (k ) ) . ............................................................ 26
1.20 x(n) dizisinin Hartley dönüşümü ( x(n) → H (k ) ) ............................................................ 26
1.21 H(k)’nin simetriği H(-k)................................................................................................... 27
1.22 Hartley dönüşümünün çift (He) bileşeni. ......................................................................... 27
1.23 Hartley dönüşümünün tek (H0) bileşeni ........................................................................... 28
1.24 Hartley ile Fourier dönüşümü grafiği............................................................................... 28
1.25 Hartley tekniği akış şeması (Alt akış şeması) .................................................................. 29
1.26 Hartley tekniği(Alt program) ile elde edilen faz bilgileri ................................................ 30
1.27 Hartley tekniğine dayalı algoritma ile faz eldesi akış şeması .......................................... 30
1.28 Hartley ile elde edilen faz bilgisi..................................................................................... 31
xi
ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ (devam ediyor)
No
Sayfa
1.29 Genlik bilgisi. ................................................................................................................... 34
1.30 Faz bilgisi
................................................................................................................... 34
1.31 UNWRAP Bilgisi............................................................................................................. 35
1.32 Fourier algoritması ........................................................................................................... 38
1.33 Hartley algoritması ........................................................................................................... 39
1.34 Hartley özel algoritması ................................................................................................... 40
1.35 Reel-Reel işlem ................................................................................................................ 41
1.36 Reel-Kompleks işlem ....................................................................................................... 41
1.37 Kompleks - Kompleks işlem ............................................................................................ 42
1.38 Filtreleme işleminden sonra Fourier algoritmasının sayısal durumu ............................... 43
1.39 Filtreleme işleminden sonra Hartley algoritmasının sayısal durumu............................... 44
1.40 Algoritmaların sembolik gösterimi .................................................................................. 45
1.41 Fourier RMS hata grafiği ................................................................................................. 47
1.42 Hartley RMS hata grafiği ................................................................................................ 47
1.43 Hartley-Fourier arasındaki RMS hata grafiği.................................................................. 48
2.1 Oluşturulan çözeltiler ......................................................................................................... 50
2.3 Kırılma indisi değişimi ölçer sisteminin bir bölümünün üstten görünümü........................ 51
2.4 Kırılma indisi değişimi ölçer sistemi ................................................................................. 51
2.5 Referans girişim deseni (0A).............................................................................................. 53
2.6 0,25A için elde edilen faz farkı grafikleri ......................................................................... 54
2.7 0,75A için elde edilen faz farkı grafikleri ......................................................................... 55
2.8 1A için elde edilen faz farkı grafikleri .............................................................................. 56
2.9 Referans girişim deseni ...................................................................................................... 59
2.10 0,25A için elde edilen faz farkı grafikleri ........................................................................ 60
2.11 0,75A için elde edilen faz farkı grafikleri ....................................................................... 61
2.12 1A için elde edilen faz farkı grafikleri ............................................................................ 62
2.13 Izgara prokjeksiyon tekniği ............................................................................................. 64
2.14 Girişim deseni boşluğu..................................................................................................... 65
2.15 Yüzey üzerine p boşluklu girişim deseni düşürülmesi..................................................... 65
2.16 Referans girişim deseni. ................................................................................................... 67
2.17 Optik 3B görüntü elde edici sistemin yandan görünüşü. ................................................. 68
2.18 Optik 3B görüntü elde edici sistemin üstten görünüşü. ................................................... 68
xii
ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ (devam ediyor)
No
Sayfa
2.19 Optik 3B görüntü elde edici sistem ile ölçümü yapılacak objeler.................................... 69
2.20 Görüntüsü elde edilecek obje1............................................................................. 69
2.21 Obje1’in Üzerine ızgara deseni düşürülmüş durumu. ...................................................... 70
2.22 Hartley dönüşümü ile obje1’in elde edilen faz farkı. ....................................................... 71
2.23 Fourier dönüşümü ile obje1’in elde edilen faz farkı. ....................................................... 71
2.24 Görüntüsü elde edilecek obje2 ......................................................................................... 72
2.25 Obje2’in üzerine ızgara deseni düşürülmüş durumu........................................................ 73
2.27 Fourier dönüşümü ile obje2’nin elde edilen faz farkı. ..................................................... 74
2.28 Görüntüsü elde edilecek obje3 ......................................................................................... 75
2.29 Obje3’ün üzerine ızgara deseni düşürülmüş hali. ............................................................ 75
2.31 Fourier dönüşümü ile obje3’in elde edilen faz farkı. ....................................................... 76
2.32 Obje1 için Hartley ve Fourier algoritmaları ile bulunan 3B görüntülerin aralarındaki
farkların rms hata cinsinden verilen grafiği. ................................................................... 78
2.33 Obje3 için Hartley ve Fourier algoritmaları ile bulunan 3b görüntülerin aralarındaki
2.34 Obje2 için Hartley ve Fourier algoritmaları ile bulunan 3B görüntülerin aralarındaki
xiii
xiv
ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ
No
Sayfa
1.1 Algoritma-Hız çizelgesi ..................................................................................................... 36
1.2 Algoritma-Đşlem sayısı çizelgesi ........................................................................................ 41
1.3 Algoritma-Đşlem sayısı çizelgesi-2..................................................................................... 42
1.4 Algoritma-Đşlem sayısı ....................................................................................................... 45
2.1 Kayıt edilen örnek sayıları ve kayıt aralığı ........................................................................ 52
2.2 Her akım değeri için Hartley ve Fourier ile kırılma indisi ölçüm süreleri......................... 57
2.3 Kayıt edilen örnek sayıları ve kayıt aralığı ........................................................................ 58
2.4 Her akım değeri için Hartley ve Fourier ile kırılma indisi ölçüm süreleri......................... 63
2.5 Hartley ve Fourier dönüşümlerine dayalı algoritmalar ile 3B görüntü elde etme süreleri. 77
xv
xvi
EK AÇIKLAMALAR DĐZĐNĐ
No
Sayfa
A ATOMLAR VE IŞIK ........................................................................................................ 85
xvii
xviii
SĐMGELER VE KISALTMALAR DĐZĐNĐ
E
: Elektrik alan
H
: Manyetik alan
E0
: Dalganın genliği
ω
: Açısal frekansı( ω = 2πf ),
k
: Dalga katsayısını ( k = 2π / λ )
λ
: Dalga boyu
ϕ
: Faz sabitini
ν
: Elektromanyetik dalgaların boş uzayda görülen hızı
ε
: Dielektrik sabiti
I
: Işıma şiddeti;
ℜe
: Karmaşık sayının gerçel kısmı
ℑm
: Karmaşık sayının sanal kısmı
KISALTMALAR
FFTW
: The Fastest Fourier Transform in the West
FHT
: Fast Hartley Transform
DPD
: Direct Phase Detection
RMS
: Root Mean Square
3B
: 3 Boyut
3D
: 3 Dimension
OpenGL
: Open Graphics Library
xix
xx
BÖLÜM 1
GĐRĐŞ
Gelişen teknoloji ile birlikte ölçüm sistemlerinin de mümkün olan en yüksek hızda ölçüm
yapması gerekmektedir. Optik ölçüm sistemlerinin bazılarının hızı optik girişim desenlerinin
analizine doğrudan doğruya bağlıdır. Bu tezde böyle sistemler de sinyal analizi için kullanılan
tekniklerin hızlandırılmasına yönelik çalışmalar yapılacaktır. Bu kapsamda yeni algoritmalar
sunulacaktır. Optik girişim desenlerinin analizi için kullanılan birkaç teknik vardır. Bunlar
Faz Adımlama (phase stepping) (Chan et al. 1995), Fourier Dönüşümü (Takeda et al. 1982,
Bone et al. 1986), Doğrudan Faz Bulma (direct phase detection) (DPD) (Ichioka and Inuiya,
1972), Wavelet Dönüşümü (Dursun et al. 2004, Abid et al. 2006, Gdeisat et al. 2006) gb. (A.
Rahman 2007). Tezde bu dönüşümlere alternatif olarak ilk kez girişim deseni analizi için
Hartley Dönüşümü önerilmiştir.
Hartley Dönüşümü, ilk defa 1942 yılında R.V.L. Hartley tarafından bulunmuştur. 1948’de
Stanford Goldman’ın kitabında bariz şekilde bahsedilmiştir (1948), 1983 yılında R.N.
Bracewell’in, Journal of the Optical Society of America’da yayınlanan makalesinden sonra
tanınır hale gelmiştir (Bracewell 1983).
R.V.L. Hartley’in gerçel köke sahip Fourier benzeri integral dönüşümü önermesinden sonra
Bracewell tarafından ayrık zamanlı Hartley Dönüşümü ve Hızlı Hartley Dönüşümü (Fast
Hartley Transform - FHT) yayınlanmıştır (1984-1985). Daha sonraları Sorensen- HeidemanBurrus- Jones (1985) Duhamel (1987), Chan (1991), G. Bi (1994-1997), Bouguezel (2004)
vs. Hartley Dönüşümü üzerinde çalışmışlardır.
Zaman domeninde ele alınan serilerin frekans domeninde gösterilmesi için kullanılan lineer
dönüşümler, dijital sinyal ve görüntü işleme gibi uygulamalarda sıkça kullanılmaktadır.
Günümüzde en çok kullanılan yöntem Fourier dönüşüme dayalı yöntemdir. Fourier serisi,
fonksiyonların karmaşık üslü sayıların toplamı olarak gösterilmesidir. Fourier açılımı
1
sayesinde fonksiyonların frekansı kolaylıkla belirlenebilir. Bu yaklaşım farklı periyotlarda
girdiye maruz kalan ya da içerisinde farklı frekans bileşeni barındıran sistemlerin çıktısını ve
çıktısının frekansını belirlemekte kolaylık sağlar (URL-1 2010).
Gerçek zamanlı ya da veri girdisi çok olan uygulamalarda dönüşümün hızlı şekilde icra
edilmesi çok önemlidir. Bu nedenle Hartley dönüşümü popülerlik kazanmıştır. Dönüşüm
esnasında kullanılan çarpma, toplama gibi karmaşık hesaplamaları azaltmak için bir çok hızlı
Hartley dönüşüm algoritmaları yayınlanmıştır (Bracewell 1984, Sorensen et al. 1985,
Bouguezel 2004).
Hartley, Fourierden farklı olarak karmaşık sayılarla değil gerçel sayılarla yürütülen bir
dönüşümdür. Bunun nedeni Hartleyin çekirdeğinin
 2π

cas 
nk 
 N

gerçel fonksiyon olmasıdır.
Gerçel sayılardan oluşan dizilerin Hartley dönüşüm sonuçları da gerçeldir.
Gerçel sayılardan oluşan dizilerin Hartley dönüşümünün gerçel olmasının getirdiği iki önemli
avantaj vardır. Birincisi hız, ikincisi hafıza depolama alanıdır. Ayrıca Hartley dönüşümünün
ileri ve ters dönüşümleri benzerdir. Buda Hartleyin Fouriere olan diğer bir üstünlüğüdür,
çünkü ileri ve ters Fourier dönüşümü için iki ayrı çekirdek kullanılır.
Hartley dönüşümü, Fourier dönüşümünün kullanıldığı birçok alanda kullanılabilir. Çünkü
Hartley dönüşümü ile Fourierin faz ve genlik bilgilerinin aynısı elde edilebilmektedir. Şu ana
kadar Hartley dönüşümü çoğunlukla bilgisayar, haberleşme sistemlerinde kullanılmıştır. Bu
tezde kullanılmasındaki amaç, optik girişim desenlerinin (optical interference fringe pattern)
gerçel sayılardan oluşması ve Hartleyin gerçel sayılardan oluşan dizilerde Fouriere olan
üstünlüğüdür.
Tez üç aşamada gelişme gösterecektir;
Birinci aşamada girişim ve girişim desenleri analiz yöntemlerinden Fourier ve Hartley
dönüşümüne dayalı teknikler anlatılacak ve sayısal olarak elde edilen girişim deseni üzerinde
bu teknikler test edilecektir. Đkinci aşamada, optik kırılma indisi ölçer ve üç boyutlu ölçer ile
elde edilen veriler Hartley ve Fourier dönüşümlerine dayalı algoritmalar ile analiz edilecektir.
2
Üçüncü aşamada ise, Hartley ve Fourier dönüşümlerine dayalı algoritmalar kullanılarak elde
edilen deneysel ve sayısal sonuçlar tartışılacaktır.
3
4
BÖLÜM 2
GENEL BĐLGĐLER
Elektromanyetik spektrumun optik bölgesinde girişimölçer (interferometre) ışığın girişim
özelliğinden
faydalanılarak
mesafelerin,
yükseklik
bilgisinin,
maddelerinin
kırılma
indislerinin ölçümünde ve saydam cisimlerin yüzeylerinin düzgünlüğünün kontrolünde vs.
kullanılan bir ölçü aletidir (URL–2 2010).
Ölçme işinde kullanılacak araçların belli niteliklere sahip olması beklenir. Bu niteliklerden
birisi olan güvenirlik, herhangi bir ölçme araç veya yönteminin ne derece tutarlı ölçüm
yapabildiğidir. Ölçme ve değerlendirme hangi amaç için yapılırsa yapılsın elde edilen
ölçümlerin hatasız ya da az hatalı olması beklenir (Tekin 1996, Turgut 1997, Baykul 1999).
Diğer bir nitelik ise ölçmenin performansını belirleyen hızdır.
Girişim ölçerlerin temelinde ışığın girişimiyle elde edilen optik girişim desenleri yatmaktadır.
Elde edilen bu desenlerin analizi için kullanılan bir çok yöntem vardır. Örneğin Fourier,
Wavelet, Faz Kaydırma vs. ölçme için kullanılacak bu yöntemlerin en az hata ve hızlı bir
şekilde ölçme işine müsaade etmesi gerekmektedir.
Optik girişim deseni analizinde en çok kullanılan yöntemlerden biri Fourier tekniğidir. Hem
hız hem de hata oranları bakımından Fourier tekniği çoğu zaman tercih sebebi olmaktadır.
Tezde Fourier tekniğine alternatif olarak Hartley dönüşümüne dayalı teknik önerilmiştir.
Bunun nedeni Hartley ve Fourier dönüşümlerinin benzer sonuçlar vermesidir. Fakat Hartley
dönüşümünün Fourier dönüşümüne bir üstünlüğü vardır, “HIZ”… Evet, Hartley dönüşümü
gerçel sayılı girişler için Fouriere göre iki kat daha hızlıdır. Optik girişim desenlerinin de
gerçel sayılardan oluştuğu düşünülürse, Hartley dönüşümü kullanılarak, Fourier ile girişim
deseni analizi için harcanan sürede iyileştirme yapılabilir. Ayrıca Hartley dönüşümünün ters
dönüşümü, ileri dönüşümü ile aynı yazılım kullanılarak yapılır. Böylece daha hızlı ölçen bir
optik girişimölçer gerçekleştirilebilir.
5
Bu önerinin ne kadar doğru olduğunu gözlemlemek için bazı testler ve deneyler yapılacaktır.
Bölüm2’de sayısal olarak elde edilen girişim (interference) desenlerindeki faz bilgisi, Temel
Hartley, Temel Fourier, FFTWEST Kütüphaneli Hızlı Fourier ve FFTWEST Kütüphaneli
Hızlı Hartley Dönüşümleri ile oluşturulan algoritmalar kullanılarak elde edilip, sonuçlar
karşılaştırılacaktır. Bölüm3’te ise temelleri girişim ölçere dayalı kırılma indisi ölçer ve üç
boyutlu görüntü ölçer sistemlerinden alınan optik girişim desen sinyalleri Fourier ve Hartley
dönüşümlerine dayalı teknikler ile analiz edilecek ve karşılaştırmaları sunulacaktır.
Girişim deseni analiz yöntemlerinin anlaşılması için öncelikle girişim desenlerinin ne olduğu,
nasıl meydana geldiği hususunda Bölüm1 konu 2.1’de bilgi verilmiştir.
Bölüm1’de Konu 2.1- 2.2 - 2.2.1 ve 2.2.2 Hecht Optik (2005) ve J Wilson-JFB Hawkes
Optoelektronik (1998) kitaplarından alınan bilgiler doğrultusunda yazılmıştır. Bahsedilen
konuların genelinde bu kitaplardan alıntılar olduğundan satır sonlarında referans verilmemiş
olup, burada bu hususa değinilmiştir.
Girişim desenlerinin temelinde elektromanyetik dalga özelliği gösteren ışık yatmaktadır. Bu
nedenle aşağıdaki kısımda ışık konusunda bilgi vermenin yararlı olacağı düşünülmüştür.
2.1 IŞIK
17. yüzyılda ışık için iki teori geliştirilmiştir. Bunlardan birincisi Hooke ve Huygens’in
‘dalga’ teorisi ve diğeri Newton’un ‘tanecik’ teorisidir. Bu iki teori birbirlerine zıt değil,
aksine tamamlayıcıdır. Özellikle ışığın, enerji değişimi içeren deneylerde parçacık (foton)
doğasının; girişim ve kırınım içeren deneylerde ise dalga doğasının hakim olduğu
söylenebilir.
Bir elektromanyetik dalga olarak ışık, uzayda zamanla değişen elektrik ve manyetik alanların
bir kombinasyonu olarak karakterize edilebilir. Maxwell bu her iki alanın da aynı kısmı
diferansiyel eşitliği sağladığını göstermiştir;
2
→ →  1 ∂ → → 
∇ 2  E, H  = 2 2  E, H 

 c ∂t 

(2.1)
6
Bu dalga eşitliği olarak isimlendirilir.
Elektrik ve manyetik alanlar bir diğerine ve her ikisi de ilerleme yönüne dik olacak şekilde
titreşirler (Şekil 2.1). Bu, ışık dalgalarının enine dalgalar olması anlamına gelir. Optik
kavramların tanımlanmasında genelde manyetik alan vektörünü ihmal ederiz. Bu, diyagram
ve matematik ifadeleri basite indirger.
Şekil 2.1 Elektromanyetik dalga (Thomson Higher Education 2007).
En basit dalgalar sinüzoidal dalgalardır. Matematiksel olarak;
E ( x, t ) = E0 cos(ωt − kx + ϕ )
(2.2)
şeklinde ifade edilir. Burada E elektrik alanın t anında x noktasındaki değerini, E0 dalganın
genliğini, ω açısal frekansı( ω = 2πf ), k dalga katsayısını ( k = 2π / λ ) ve ϕ faz sabitini
göstermektedir. (ωt − kx + φ ) dalganın fazıdır. Pozitif x-yönünde ilerleyen sonsuz uzunluklu
bir mükemmel tek renkli düzlem dalgayı tanımlayan (2.2) eşitliği (2.1) eşitliğinin bir
çözümüdür.
Işığın girişme kabiliyeti girişimölçerlerin temelini oluşturmaktadır. Bu nedenle aşağı kısımda
ışığın girişimi hususunda bilgi verilmiştir.
7
2.2 IŞIĞIN GĐRĐŞĐMĐ
Işığın dalga özelliğini en iyi açıklayan olaylardan biriside girişim olayıdır. Genliğe ve faza
bağlı olarak dalgalar ya birbirinin üzerine eklenir, ya da birbirini yok ederler. Bu durum üst
üste gelme ilkesi ile açıklanabilir. Bu ilkeye göre “iki veya daha çok sinüssel dalganın birlikte
hareketi sebebiyle belirli bir zaman ve noktadaki elektrik alan, tek tek dalgaların elektrik alan
toplamıdır” ;
E = E1 + E 2 + E3 + ...
(2.3)
Burada E1 , E 2 , E3 ,... belirli zaman ve noktada her bir ferdi dalgaya ait elektrik alanlardır.
E1 = E01 sin(ωt − kx + ϕ1 )
(2.4)
E 2 = E02 sin(ωt − kx + ϕ 2 )
(2.5)
E1 ve E2 aynı yönde ilerleyen, aynı frekanslı iki dalga olsun. Bu iki dalganın toplamı
E 02 = E 012 + E 022 + 2 E 012 E 022 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
(2.6)
ifadesi ile elde edilir.
Genel olarak, N sayıda dalganın toplamı;
N
N
N
i =1
j >1 i =1
E 02 = ∑ E 02i + 2∑∑ E0i E 0 j cos(ϕ i − ϕ j )
(2.7)
ifade edilir.
Doğrusal, homojen, eşdoğrultusal bir dielektrikteki ışıma şiddeti;
I = ενE 2
(2.8)
8
şeklinde verilir. ν , elektromanyetik dalgaların boş uzayda görülen hızını; ε , dielektrik
sabitidir.
Sadece aynı ortamdaki bağıl ışıma şiddetleriyle ilgilendiğimizden şimdilik sabitleri basitçe
ihmal eder ( I = E 2 ) ve (2.4) ve (2.5)’teki dalgaların P noktasında meydana getirdiği ışıma
şiddeti toplamını yeniden düzenlersek;
I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cosϕ
(2.9)
ϕ = ϕ 2 − ϕ1
elde edilir.
(2.9) girişim (interference) eşitliği olarak bilinir. Burada 2 I 1 I 2 cos ϕ girişim terimidir.
ϕ = 2πm olduğunda ışıma şiddeti maksimum (Yapıcı girişim - Constructive interference)
(Şekil 2.2a); ϕ = ( 2m + 1)π
olduğunda ışıma şiddeti minimumdur (Yıkıcı Girişim -
Destructive interference) (Şekil 2.2b).
(a) Yapıcı girişim (Constructive Interference)
(b) Yıkıcı girişim (Destructive Interference)
Şekil 2.2 Girişim çeşitleri (John Wiley and Sons, Inc. 1998).
Bu minimum ve maksimum ışık şiddetleri, girişimin önüne konulan bir beyaz ekranda
karanlık ve aydınlık şeklinde gözlemlenebilir. Bu görüntüye Girişim Izgara Deseni
(Interference Fringe Pattern) denir (Şekil 2.3).
9
Şekil 2.3 Girişim deseni (URL-3 2010).
2.2.1 Girişim Koşulları
Bir girişim deseni gözlenebilmesi için iki kaynağın birbirleriyle aynı fazda olması gerekmez.
Kaynaklar arasında bir başlangıç faz farkı varsa, bu fark sabit kaldığı sürece (sabit faz) bir
parça kaymanın dışında özdeş girişim deseni meydana gelir. Böyle kaynaklara faz uyumlu
kaynaklar denir.
Đki ışık ampulü veya mum alevi gibi sıradan iki kaynağın, sabit bir fazı, ∆t c den daha uzun bir
süre sürdürmesi beklenemez. Bu nedenle bunların oluşturduğu girişim deseni, pratik olarak
gözlenemez.
Basit bir ışık kaynağını oluşturan (bir akkor ampul, mum alevi veya boşalma lambası) atom
yayıcılarından N tanesi göz önüne alınsın. Her bir atom bağımsız birer foton dalga zinciri
kaynağıdır ve bunların her birinin zamanca uzunluğu kabaca 1ns den 10ns’e kadar değişir. Bir
başka deyişle, atomlar yalnızca 10ns’lik bir süre içinde belirli bir fazı olan dalga zincirleri
yayınlarlar. Bu süre sonunda, yine 10ns süresinde belirli fazı olan, tamamen rastgele fazlı yeni
bir dalga zinciri yayınlanır. Bu böylece devam eder (Bakınız EK AÇIKLAMALAR A). Genel
olarak, her bir atom fazları rastgele ve hızlı bir şekilde değişen fotonlar sağanağından oluşmuş
bir değişim yayınlayıcısı olarak düşünülebilir. Aslında fazı rastgele değişmeden önce, bir
atomdan gelen ışın α i (t ) fazı, başka bir atomdan gelen ışığın α j (t ) fazına göre en çok 10ns
−8
sabit kalır: sadece 10 s'lik bir süreye kadar atomlar faz uyumludur. Akı yoğunluğu oldukça
2
uzun bir zaman aralığı üzerinden alınan E 0 zaman ortalaması ile orantılı olduğundan, (2.7)
eşitliğindeki ikinci toplam cos[ϕ i (t ) − ϕ j (t ))] ile orantılı terimler verecektir. Rastgele hızlı faz
10
değişimleri nedeniyle, her bir katkı teriminin ortalaması sıfır olur. Geriye sadece birinci
toplamın zaman ortalaması kalır ve bunun da terimleri sabittir. Her bir atom aynı E01 genlikli
dalga zincirleri yayınlarsa, bu durumda;
E 02 = NE 012
(2.10)
olur.
Fazı hızla rastgele değişen N kaynağın oluşturduğu toplam akı yoğunluğu, kaynaklardan
birinin akı yoğunluğunun N katıdır. Bir başka deyişle, toplam akı yoğunluğu, kaynakların akı
yoğunlukları toplanarak bulunur. Atomları rastgele yayın yapan bir flaş lambası, faz uyumsuz
dalga zincirlerinin üst üste binmesi ile oluşan ışık yayınlar. Bu ışığın fazı rastgele değişir.
Buna göre iki veya daha fazla bu tür lamba, faz uyumsuz (yani, 10ns den daha uzun süreler
için) ışık yayarlar. Bu ışığın ışıma şiddeti her bir ampulün ışıma şiddetlerinden gelen
katkıların toplamına eşittir. Bu, mum alevi, flaş ampulü ve bütün ısısal kaynaklar (lazer
dışında) için doğrudur. Đki ampulden gelen ışık dalgalarının üst üste binmesi durumunda
girişim beklenemez.
Lazerlerin faz uyumluluk zamanı oldukça büyük (milisaniye mertebesinde) olduğundan
bağımsız lazerler aracılığıyla girişim elektronik olarak dedekte edilmiştir. (oldukça yavaş olan
insan gözü ile bu yapılamaz).
Farklı kaynaklardan elde edilen dalgalar sabit faz ilişkisi sağlarlarsa ahenkli (coherent) olarak
adlandırılır. Eğer bir alan böyle iki veya daha çok ahenkli kaynakla aydınlatılırsa, aydınlanma
şiddeti noktadan noktaya değişecek ve girişim desenleri oluşma şansı artacaktır. Tersi
durumda, farklı kaynaklardan elde edilen dalgalar sabit faz ilişkisi sağlayamazlar ise ahenksiz
(incoherent) olarak adlandırılırlar. Böyle bir durumda girişim desenleri gözlenemez.
Đki demetin, kararlı bir desen meydana getirmek üzere giriştirmek için gereken diğer bir husus
ise koherent kaynakların aynı frekansa sahip olma zorunluluğudur. Bu yukarıda
anlatılanlardan bağımsız değil, oldukça benzerdir. Önemli bir frekans farklılığı, hızla değişen
zamana bağlı bir faz farkı meydana getirir, bu da girişim teriminin ( 2 I 1 I 2 cos ϕ )
deteksiyonu süresince ortalamasının sıfır olmasına yol açar (denklem 2.10 ile aynı). Fakat
11
kaynakların her ikisi beyaz ışık yayıyorsa, kırmızı bileşenler kırmızılarla, mavi bileşenler
mavilerle girişir. Birbirine oldukça benzeyen (frekansı aynı), biraz kayarak üst üste binmiş tek
renkli birçok desen toplam beyaz ışık desenini meydana getirir. Bu desen hemen hemen
tekrenkli bir desen kadar belirgin ve yaygın olmaz, fakat yine de beyaz ışık, gözlemlenebilir
girişim meydana getirir (Şekil 2.4).
Aynı frekanslı (aynı renk) (ahenkli-koherent)
ışık dalgaları yapıcı girişim oluşturur
Aynı frekanslı (aynı renk) (ahenkli-coherent)
ışık dalgaları yıkıcı grişim oluşturur
Farklı frekanslı (farklı renk) (ahenksizincoherent) ışık dalgaları girişim oluşturamaz
Şekil 2.4 Girişim koşulları (URL-4 2010).
12
2.2.2 Ahenkli Kaynak ve Girişim Meydana Getirme Yolları
Lazerin keşfinden önce girişimin gözlenebilmesi için ahenkli dalga zinciri elde etmede bir
takım gereklilikler vardı.
1. Dalga zinciri seti ışığın benzer küçük kaynağından türetilip, daha sonra farklı uzaklık
katedecek şekilde bir araya getirilirdi.
2. Yoldaki farklılıklar dalga zincirlerinin kısmi ahenginden (faz uyumları) az olacak
şekilde ayarlanmalıydı. (bu şu demektir: yol farkları kaynağın ahenk (koherens)
uzaklığından küçük olmalıdır.)
Bu gereklilikleri sağlamak ve girişimi göstermenin temel yolları ‘dalga cephesinin bölümü’ ve
‘genliğin bölümü’ olarak iki ana gruba ayrılabilir.
Dalga cephesi bölerek girişim oluşturma yöntemine Young Girişim Ölçeri örnek verilebilir.
S1 ekranındaki delikten (pinhole) geçen tek renkli (monokromatik) ışık birbirine yakın
yerleştirilmiş özdeş iki delik veya dar yarıkları içeren bir ekranı aydınlatır. S1’den gelen dalga
cephesi S2 ekranındaki b ve c deliklerine aynı anda ulaşır ve böylece b ve c den açığa çıkan
ışık katkıları aynı kökenli dalga cephesinden türemiş ve ahenkli olmuş olur. S2 ekranından
çıkan bu iki dalga cephesi F ekranında girişim oluşturur (Şekil 2.5).
Şekil 2.5 Young girişim ölçeri (URL-5 2010).
13
Genlik bölerek girişim oluşturma yöntemine ise Michelson Girişim Ölçeri örnek verilebilir.
Kaynaktan çıkan ışık, Işın Bölücü (Beam Spilitter) vasıtası ile genliği ikiye bölünür. Birincisi
yansıtılarak Ayna1’e, ikincisi yoluna devam ederek Ayna2’ye düşürülür. Buradan aynalara
çarparak yansıyan iki aynı genlikli ve ahenkli ışık demeti ışın bölücüde birleştirilerek detektör
(ya da ekran) üzerinde girişim gözlenmesi sağlanır (Şekil 2.6).
Şekil 2.6 Michelson girişim ölçeri (URL-6 2010).
2.3 GĐRĐŞĐM ÖLÇME TEKNĐKLERĐ
Girişim
desenlerinin
analizinde
Fourier,
Wavelet,
Faz
Kaydırma
gibi
teknikler
kullanılmaktadır. Analiz sonucunda kamera ile kayıt edilmiş girişim desenleri içinde
kodlanmış olarak bulunan faz bilgisi elde edilebilir.
Şekil 2.7’de deneysel olarak elde edilen ve kamera ile kayıt edilen girişim deseni verilmiştir.
Bu girişim deseni
g ( x, y ) = a ( x, y ) + b( x, y ) cos(2πf 0 x + ϕ ( x, y ))
(2.11)
eşitliği ile matematiksel olarak ifade edilir. Bura da elde edilmek istenen ϕ ( x, y ) fazıdır.
14
Şekil 2.7 Girişim deseni.
Girişim deseni elde etme algoritmaları genel anlamda iki ana gruba ayrılabilir: uzaysal
(spatial) ve zamansal (temporal) teknikler. Uzaysal teknikler, girişim desenindeki komşu
piksellere bağlı olarak faz bilgisini elde etmeye dayalıdır. Örneğin Fourier Girişim Analizi,
Wavelet Girişim Analizi gb. uzaysal teknikler ile faz eldesi için bir adet girişim deseni
yeterlidir. Fakat, zamansal girişim tekniklerinde en az üç girişim deseni gereklidir. Çünkü bu
teknikte faz eldesi bir girişim deseninin komşu pikselleri ile değil, diğer girişim
desenlerindeki pikseller ile karşılaştırılarak yapılır. Örneğin Faz Kaydırma Tekniği (AbdulRahman 2007).
Bu tezde Fourier ve Hartley Dönüşümlerine dayalı teknikler verilecek ve bunlar
karşılaştırılacaktır. Eşitlik 2.11 kullanılarak başlangıç fazı sıfır kabul edilerek elde edilen
referans girişim deseni Şekil 2.8’de verilmiştir.
Bu referans desenine istenen faz bilgisi ϕ ( x, y ) eklenerek sayısal olarak simule edilen girişim
deseni ise Şekil 2.9’da sunulmuştur. Temel Fourier ve Temel Hartley dönüşümlerine dayalı
algoritmalar ile sayısal olarak elde edilen referans girim deseninin ve faz eklenmiş girişim
deseninin analizi yapılarak eklenen faz bilgisi ϕ ( x, y ) elde edilecektir (Şekil 2.10).
15
Şekil 2.8 Referans girişim deseni.
Şekil 2.9 Faz eklenmiş girişim deseni.
16
Şekil 2.10 Eklenen fazın 3 boyutlu çizimi.
1.3.1 Temel Fourier Dönüşümüne Dayalı Algoritma ile Girişim Deseni Analizi
Temel Ayrık Fourier Dönüşümü matris yaklaşımı ile
k
Fourier dönüşümü için ωn = e
ω n0
 0
ω n
ω n0

 M
ω 0
 n
ω n0
ω n1
ω n2
ω n0
ω n2
ω n4
M
ω
( n −1)
n
M
ω
2 ( n −1)
n
(− j 2 π
n k)/ N
ω n0 
K

ω n( n −1) 
K
K ω n2 ( n −1) 

M
M

( n −1) ( n −1) 
K ωn

olmak üzere;
 x0   y 0 
 x   y 
 1   1 
 x2  =  y 2 


 
 M   M 
 x n −1   y n −1 
(2.12)
k
şeklinde ifade edilebilir. Burada ωn , x , y sırasıyla dönüşümün çekirdeği, giriş dizisi ve
çıkıştır.
Fourier dönüşümüne dayalı algoritma ile girişim deseni analizi en popüler tekniklerden bir
tanesidir. Bu teknik ilk defa 1982 yılında bir-boyutlu Fourier dönüşümü kullanılarak Takeda
tarafından önerilmiştir.
17
(2.11) eşitliği Takeda tarafından aşağıdaki gibi ifade edilmiştir (Takeda 1981);
g ( x, y ) = a ( x, y ) + c( x, y )e i 2π f 0 x + c ∗ ( x, y )e −i 2π f 0 x
(2.13)
∗
Burada c , c ’nin karmaşık eşleniğidir.
c ( x, y ) = b ( x, y )
e iϕ ( x , y )
2
c ∗ ( x, y ) = b ( x , y )
(2.14)
e −iϕ ( x , y )
2
(2.15)
Đstenen faz bilgisini bulmak için öncelikle (2.13) eşitliğinin Fourier dönüşümü alınarak
(Takeda 1981);
G ( f , y ) = A( f , y ) + C ( f − f 0 , y ) + C ∗ ( f , f 0 , y )
(2.16)
∗
elde edilir. Burada A( f , y ) arka plan yoğunluğu, C ( f − f 0 , y ) ve C ( f , f 0 , y ) bozulma olan
desen spektrumudur. (2.16) eşitliğinde faz bilgisini içeren kısım C ( f − f 0 , y ) ’dir (Şekil
∗
2.11). Bu nedenle, A( f , y ) ve C ( f − f 0 , y ) filtrelenerek sadece C ( f − f 0 , y ) elde edilir
(Şekil 2.12) (Abdul-Rahman 2007).
Şekil 2.11 Filtreleme işlemi.
18
Şekil 2.12 Đstenen faz bilgisi.
C ( f − f 0 , y ) ’in Ters Fourier Dönüşümü alınarak c( x, y ) elde edilir. c( x, y ) ’in gerçek ve
sanal kısımları bulunarak;
ℜe{c( x, y )} = b( x, y) cos(ϕ ( x, y ))
(2.17)
ℑm{c( x, y )} = b( x, y ) sin(ϕ ( x, y ))
(2.18)
faz bilgisi elde edilir. Faz bilgisi;
ψ ( x, y ) = tan −1
ℜe{c( x, y )}
= ϕ ( x, y ) mod π
ℑm{c( x, y )}
(2.19)
ile elde edilir. Burada elde edilen faz bilgisi trigonometrik ters tanjant fonksiyonu ile elde
edildiğinden faz − π ve π aralığındadır. Bu sürekli olmayan faz atlamalarına sebep olur
(Şekil 2.13a). Bu nedenle faz sürekliliğini sağlamak için unwrap tekniği kullanılır (Şekil
2.13b-c).
(Takeda 1981).
Sayısal olarak elde edilen referans girim deseninin ve faz eklenmiş girişim deseninin Fourier
Tekniği Algoritması ile analizi yapılarak, Şekil 2.10’da gösterilen eklenen faz bilgisi
ϕ ( x, y ) elde edilecektir.
19
Şekil 2.13 Unwrap tekniği ile faz sürekliliği sağlanması.
Đstenen faz bilgisi ϕ ( x, y ) , faz eklenmiş girişim deseninin Fourier tekniği analizi ile elde
edilen faz bilgisinden, referans girişim deseninin aynı tenik ile bulunan fazının çıkartılması ile
bulunmaktadır. Yani Algoritma içerisinde Fourier tekniği, referans fazı ve istenen faz
bilgilerini bulmak üzere iki kez kullanılmaktadır. Bu nedenle Fourier Tekniğine Dayalı
Algoritmanın akış şemasında aynı işlemleri tekrar tekrar yazmak yerine alt akış şeması
(program) (Şekil 2.14) verilecektir. Daha sonra bu alt Akış Şeması, Fourier tekniğine dayalı
analiz programının akış şeması (Şekil 2.16) içinde kullanılacaktır.
Şekil2.15’te, Şekil 2.14 Fourier tekniği akış şeması kullanılarak tek tek elde edilen referans
faz bilgisi ve referans girişim desenine eklenen faz sonrası oluşan faz bilgisi grafikleri
verilmiştir. Şekil 2.15a, Şekil 2.8’deki girişim deseninden elde edilen faz bilgisi; Şekil 2.15b,
Şekil 2.9’daki bozulma olmuş (faz eklenmiş) girişim deseninden elde edilen faz bilgisidir.
Şekil 2.16’da Fourier tekniğine dayalı analiz programının akış şeması verilmiştir.
20
BAŞLA
DESENĐN HER SATIRI ĐÇĐN ĐLERĐ FFT AL
ĐLERĐ DÖNÜŞÜMÜ ALINAN HER SATIR
ĐÇĐN FĐLTRELEME ĐŞLEMĐ YAP
DESENĐN HER SATIRI ĐÇĐN TERS FFT AL
TERS DÖNÜŞÜMÜ ALINAN HER SATIR ĐÇĐN
FAZ BĐLGĐSĐNĐ AL
HEM X HEM Y EKSENLERĐNE GÖRE FAZIN
SÜREKLĐLĐĞĐNĐ SAĞLA
BĐTTĐ
Şekil 2.14 Fourier tekniği akış şeması (Alt akış şeması).
a) Referans fazı
b) Eklenen referans fazı taşıyan faz bilgisi
Şekil 2.15 Fourier tekniği (Alt program) ile elde edilen faz bilgileri.
21
BAŞLA
REFERANS GĐRĐŞĐM DESENĐNĐ OKU
FOURĐER TEKNĐĞĐ AKIŞ ŞEMASINI
(ALT PROGRAM) ÇALIŞTIR
FAZ EKLENMĐŞ GĐRĐŞĐM DESENĐNĐ
OKU
FOURĐER TEKNĐĞĐ AKIŞ ŞEMASINI
ĐSTENEN FAZI ĐÇEREN FAZ BĐLGĐSĐNDEN
REFERANS FAZ BĐLGĐSĐNĐ ÇIKART
ĐSTENEN FAZ BĐLGĐSĐNĐ EKRANDA GÖSTER
BĐTTĐ
Şekil 2.16 Fourier tekniğine dayalı algoritma ile faz eldesi akış şeması.
Şekil 2.17’de, Şekil 2.15’te elde edilen faz bilgileri ve Şekil 2.16’da verilen Fourier tekniğine
dayalı algoritma kullanılarak elde edilen ϕ ( x, y ) faz bilgisi verilmiştir.
Şekil 2.17 Fourier tekniği ile elde edilen faz bilgisi.
22
2.3.2 Temel Hartley Dönüşümüne Dayalı Algoritma Đle Girişim Deseni Analizi
Hartley dönüşümü, Fourier dönüşümüne benzeyen fakat; Fourierden farklı olarak karmaşık
sayılarla değil gerçel sayılarla yürütülen bir dönüşümdür. Gerçel sayılardan oluşan dizilerin
Hartley dönüşüm sonuçları da gerçeldir. x ( n), n = 0,1,2,3,..., N − 1 ayrık zamanlı dizisi için
ayrık Hartley dönüşümü;
N −1
 2π 
H ( w) = ∑ x[ n]cas
nk , k = 0,1,..., N − 1
 N

n=0
(2.20)
şeklinde ifade edilebilir (Agaian and Çağlayan 2006).
Burada cas (θ ) = cos(θ ) + γ sin(θ ) eşitliği ile ifade edilir. Hartley dönüşümü için γ = 1 alınır.
Eğer γ = − j alınırsa eşitlik Fourier dönüşümüne dönmektedir (2.21); (Agaian and Çağlayan
2006).
N −1
F ( w) = ∑ x[ n] e
(− j 2 π n k ) / N
, k = 0,1,..., N − 1 .
(2.21)
n=0
Hartley dönüşümünün ileri ve ters dönüşümleri benzerdir (2.22).
N −1
 2π 
x ( n) = ∑ H [ w]cas
nk , k = 0,1,..., N − 1
 N

n=0
(2.22)
Bir dizinin Hartley dönüşümünün tek (2.23) ve çift (2.24) bileşenleri kullanılarak, Fourier
dönüşümüne kolaylıkla geçilebilir;
He =
H [ w] + H [ − w]
2
(2.23)
Ho =
H [ w] − H [ − w]
2
(2.24)
Hartley ve Fourier arasındaki bağlantılar;
23
ℜ{F ( w)} = H e
(2.25)
ℑ{F ( w)} = H o
(2.26)
(2.25) ve (2.26) bağlantıları yardımıyla Fourier dönüşümü;
F ( w) = H e − iH o
(2.27)
olur.
Buradan da anlaşılacağı gibi Hartley dönüşümü, Fourier dönüşümü için alternatif bir
dönüşümdür. Yani Hartley dönüşümünü kullanılarak tamamen Fourier dönüşümü ile aynı
sonuçlar elde edilebilir.
Temel ayrık Fourier dönüşümünde olduğu gibi, temel ayrık Hartley dönüşümü matris
yaklaşımı ile;
 2π 
k
nk 
Hartley dönüşümü için ωn = cas
 N

ω n0
 0
ω n
ω n0

 M
ω 0
 n
ω n0
ω n1
ω n2
ω n0
ω n2
ω n4
M
ω
( n −1)
n
M
ω
2 ( n −1)
n
ω n0 
K

ω n( n −1) 
K
K ω n2 ( n −1) 

M
M

( n −1) ( n −1) 
K ωn

 x0   y 0 
 x   y 
 1   1 
 x2  =  y 2 

 

 M   M 
 x n −1   y n −1 
(2.28)
k
şeklinde ifade edilebilir. Burada ωn , x , y sırasıyla dönüşümün çekirdeği, giriş dizisi ve
çıkıştır.
Daha önce Fourier tekniğine dayalı algoritma ile faz eldesi için söylenen her şey Hartley
tekniğine dayalı algoritma içinde geçerlidir. Yani, istenen faz bilgisi ϕ ( x, y ) , faz eklenmiş
girişim deseninin Hartley tekniği analizi ile elde edilen faz bilgisinden, referans girişim
deseninin aynı teknik ile elde edilen faz bilgisinin çıkartılması ile bulunmaktadır. Fourier
tekniğine dayalı algoritma akış şemasında olduğu gibi burada da akış şeması ikiye bölünerek
anlatılacaktır.
24
Fakat, Hartley tekniğine dayalı algoritmaya geçmeden, algoritmanın anlaşılabilmesi için önce
ayrık zamanlı bir x(n) girişi için Hartley dönüşümünden Fourier dönüşümüne geçiş için
yapılması gerekenleri adım adım göstermekte fayda vardır. Aşağıdaki akış şemasında (Şekil
2.18) Hartley dönüşümünden Fourier dönüşümüne geçiş için yapılması gerekenler verilmiştir.
BAŞLA
GĐRĐŞ DESENĐNĐ OKU
DESENĐN HER SATIRI ĐÇĐN HARTLEY
DÖNÜŞÜMU AL - H(w)
H(-w)’yi ELDE ET
HARTLEY DÖNÜŞÜMÜNÜN ÇĐFT (He) VE TEK
(H0) BĐLEŞENLERĐNI ELDE ET
HARTLEY DÖNÜŞÜMÜNDEN FOURĐER
DÖNÜŞÜMÜNE GEÇ
BĐTTĐ
Şekil 2.18 Hartley dönüşümü ile Fourier dönüşümüne geçiş akış şeması.
Şekil 2.18’de verilen akış diyagramı kullanılarak şekil 2.19’da verilen 600 elemanlı ayrık
zamanlı bir x(n) girişi için alınan Fourier dönüşümü, Hartley dönüşümü kullanılarak adım
adım elde edilecektir.
25
Şekil 2.19 x(n) dizisinin Fourier dönüşümü ( x(n) → F (k ) ) .
Adım 1 – Şekil 2.20’de 600 elemanlı ayrık zamanlı bir x(n) girişi için alınan Hartley
dönüşümü verilmiştir.
Şekil 2.20 x(n) dizisinin Hartley dönüşümü ( x(n) → H (k ) ) .
26
Adım 2 -Şekil 2.21’de H(k)’nin simetriği olan H(-k) verilmiştir.
Şekil 2.21 H(k)’nin simetriği H(-k).
Adım 3 - H(k) ve H(-k) kullanılarak eşitlik 2.23’te verilen Hartley dönüşümünün çift He ve
eşitlik 2.24’te verilen Hartley dönüşümünün tek H0 bileşenleri elde edilmiştir (Şekil 2.22 –
Şekil 2.23).
Şekil 2.22 Hartley dönüşümünün çift (He) bileşeni.
27
Şekil 2.23 Hartley dönüşümünün tek (H0) bileşeni.
Adım 4- Şekil 2.24’te Hartley dönüşümü kullanılarak elde edilen Fourier dönüşümü
verilmiştir.
Şekil 2.24 Hartley ile Fourier dönüşümü grafiği.
28
Şekiller gösteriyor ki Hartley dönüşümünü kullanılarak elde edilen grafik (Şekil 1.24)
tamamen Fourier dönüşümü ile elde edilen grafikle (Şekil 2.19) aynı sonuçları vermektedir.
Demek ki temel Hartley dönüşümüne dayalı algoritma ile analiz yapılarak, daha önce sayısal
olarak elde edilen referans girim deseninin ve faz eklenmiş girişim deseninin Fourier
algoritması ile elde edilen (Şekil 2.17) faz bilgisi ϕ ( x, y ) ’nin aynısı elde edilebilir.
Daha önce de değinildiği gibi Hartley tekniğine dayalı algoritma akış şeması ikiye bölünerek
anlatılacaktır. Đlk akış şeması Hartley tekniği ile herhangi bir girişim deseninden faz eldesi
için kullanılan alt program akış şemasıdır (Şekil 2.25).
BAŞLA
DESENĐN HER SATIRI ĐÇĐN ĐLERĐ HARTLEY
DÖNÜŞÜMÜ AL
DESENĐN HER SATIRI ĐÇĐN
HARTLEY-FOURĐER DÖNÜŞÜMÜNÜ YAP
DÖNÜŞÜMÜ ALINAN HER SATIR ĐÇĐN
FĐLTRELEME ĐŞLEMĐ YAP
FĐLTRELENEN HER SATIRIN HARTLEY
DÖNÜŞÜMÜNÜ AL
2. DEFA HARTLEY DÖNÜŞÜMÜ ALINAN HER
SATIR ĐÇĐN FAZ BĐLGĐSĐNĐ AL
HEM X HEM Y EKSENLERĐNE GÖRE FAZIN
SÜREKLĐLĐĞĐNĐ SAĞLA
BĐTTĐ
Şekil 2.25 Hartley tekniği akış şeması (Alt akış şeması).
Şekil 2.26’da, Şekil 2.25’te verilen Hartley tekniği akış şeması kullanılarak tek tek elde edilen
referans faz bilgisi ve referans girişim desenine eklenen faz sonrası oluşan faz bilgisi
grafikleri verilmiştir. Şekil 2.26a, Şekil 2.8’deki girişim deseninden elde edilen faz bilgisi;
Şekil 2.26b, Şekil 2.9’daki bozulma olmuş (faz eklenmiş) girişim deseninden elde edilen faz
bilgisidir.
29
a) Referans fazı
b) Eklenen referans fazı taşıyan faz bilgisi
Şekil 2.26 Hartley tekniği(Alt program) ile elde edilen faz bilgileri.
Şekil 2.27’de Hartley tekniğine dayalı analiz programının akış şeması verilmiştir.
BAŞLA
REFERANS GĐRĐŞĐM DESENĐNĐ OKU
HARTLEY TEKNĐĞĐ AKIŞ ŞEMASINI
FAZ EKLENMĐŞ GĐRĐŞĐM DESENĐNĐ
OKU
HARTLEY TEKNĐĞĐ AKIŞ ŞEMASINI
ĐSTENEN FAZI ĐÇEREN FAZ BĐLGĐSĐNDEN
REFERANS FAZ BĐLGĐSĐNĐ ÇIKART
ĐSTENEN FAZ BĐLGĐSĐNĐ EKRANDA GÖSTER
BĐTTĐ
Şekil 2.27 Hartley tekniğine dayalı algoritma ile faz eldesi akış şeması.
30
Şekil 2.28’de, Şekil 2.26’da elde edilen faz bilgileri ve Şekil 2.27’de verilen Hartley tekniğine
dayalı algoritma kullanılarak elde edilen ϕ ( x, y ) faz bilgisi verilmiştir.
Şekil 2.28 Hartley ile elde edilen faz bilgisi.
2.3.3 FFTW Kütüphanesi Kullanarak Elde Edilen Hızlı Fourier Dönüşümüne Dayalı
Algoritma Đle Girişim Deseni Analizi
FFTW kütüphanesi Hızlı Ayrık Zamanlı Fourier dönüşümü hesaplamak için kullanılan, geniş
kapsamlı hızlı C Dili rutinlerinden oluşmaktadır. FFTW kütüphanesi sadece Fourier
dönüşümü hesabına olanak tanımamaktadır. Aynı zamanda Hartley dönüşümü içinde
hesaplama yapmak mümkündür. Fourier ve Hartley algoritmalarını test etmek için aynı
yöntemle hızlı dönüşüm alan kütüphaneleri (algoritmaları) kullanmak daha doğru sonuç
vermektedir. FFTW kütüphanesi hem Hartley hem de Fourier dönüşümünü barındırdığı için
tezde kullanılması tercih edilmiştir.
Daha önce temel ayrık Fourier dönüşümü ile alınan sonuçların aynısı FFTW kütüphanesi
kullanılarak da elde edilebilir. Burada değişen FFTW kütüphanesinde kullanılan algoritmaya
göre değişen hız farkıdır. Bölüm sonunda diğer algoritmalarla birlikte karşılaştırmalı olarak
FFTW Fourier algoritma sonuçları verilecektir.
31
2.3.4 FFTW Kütüphanesi Kullanarak Elde Edilen Hızlı Hartley Dönüşümüne Dayalı
Algoritma Đle Girişim Deseni Analizi
FFTW kütüphanesi içerisindeki Hartley dönüşümü kullanılarak oluşturulan algoritma, temel
ayrık Hartley dönüşümü ile oluşan algoritmadan biraz farklıdır. Nedeni FFTW
kütüphanesindeki Hartley dönüşümünün karmaşık sayı girişine izin vermemesidir. FFTW
Hartley sadece gerçek girişten gerçek girişe dönüşüm yapmaktadır (Bunun sadece FFTW
Kütüphanesi için geçerli olduğu unutulmamalıdır, temel Hartley dönüşümünde ya da
tasarlanacak programlarda böyle bir sorun oluşmaz). Şekil 2.25’te verilen akış şemasında
Hartleyden-Fourier dönüşümü yapılmış ve filtrelemeden sonra ters Hartley dönüşümü
alınmıştı. Burada ters Hartley dönüşümü alınmak istenen diziler karmaşık sayılardan
oluşmaktadır. Normalde FFTW kütüphanesindeki Hartley dönüşümünün karmaşık sayı
girişine izin vermemesinden dolayı bu dönüşümü yapamamamız gerekirdi. Fakat karmaşık
sayıların gerçek ve sanal kısımlarının ayrı ayrı Hartley dönüşümü alınıp sonradan
birleştirilmesi sonucunda karmaşık sayılar için de Hartley dönüşümü ile karmaşık girişten
karmaşık çıkış elde edilebilir.
Yukarıdaki anlatılanları kavramak için aşağıdaki basit örneğe bakalım. Şekil 2.25’te verilen
akış şemasında, her satırı dört elemandan oluşan olan girişim deseninin birinci satırının
Hartley dönüşümü alınmış ve Hartley-Fourier dönüşümü yapılmış olsun (C (w)) . Bu aşamada
dizi karmaşık sayılardan oluşmaktadır.
C(w) =[
14.80 +71.00i
25.98 + 26.00i
36.24 + 38.00i
47.01 – 400.00i ]
(2.29)
Normal şartlarda bu karmaşık dizinin Hartley dönüşümünü FFTW kütüphanesi ile alamayız,
Çünkü C(w) dizisinin her bir elemanı karmaşık sayılardan oluşmaktadır. Bilindiği gibi FFTW
Hartley dönüşümü karmaşık giriş kabul etmiyordu. Fakat burada Hartley dönüşümünün bir
özelliği devreye girmektedir.
32
Hartley dönüşümünün özelliği sayesinde karmaşık girişli sayıların dönüşümünü şöyle
alabiliriz. C(w)’yi ilk önce gerçek ℜ(C (w) ) ve sanal kısımlarına ℑ(C (w) ) ayıralım ve ayrı
ayrı diziler oluşturalım;
ℜ(C (w) ) =[14.8000 -25.9800 36.2400 47.0100 ]
(2.30)
ℑ(C (w) ) =[ 71 26 38 -400 ]
(2.31)
Daha sonra oluşturulan bu dizilerin tek tek Hartley dönüşümü alalım;
H[ ℜ(C (w) ) ] =[ 72.0700 -94.4300 30.0100 51.5500]
(2.32)
H[ ℑ(C (w) ) ] =[ -265.0000 459.0000 483.0000 -393.0000 ]
(2.33)
Son olarak eşitlik (2.32) ve eşitlik (2.33)’u tekrar birleştirelim.
c(h) = H[ ℜ(C (w) ) ] +J* H[ ℑ(C (w) ) ]
(2.34)
olur.
Buda daha önce verilen C(w)’nin (eşitlik 2.29) direk alınan Hartley dönüşümü ile aynı
sonuçtur.
c(h) =[
72.07 + 265.00i
-94.43 - 459.00i
30.01 - 483.00i
51.55 + 393.00i ]
(2.35)
Elde edilen bir girişim deseninin bir satırının Fourier dönüşümü ile elde edilen genlik bilgisi
Şekil 2.29a’da verilmiştir. Şekil 2.25’te verilen Hartley Tekniğinin yukarıda anlatılan FFTW
kütüphanesi kullanarak elde edilen hızlı Hartley dönüşümüne dayalı algoritma ile revize
33
edilmesiyle oluşan yeni algoritmanın girişim deseninin bir satırına uygulanması sonucunda
elde edilen genlik bilgisi de Şekil 2.29b’de verilmiştir.
a) Fourier dönüşümü alınan dizinin genlik bilgisi
b) Fourier dönüşümü alınan dizinin genlik bilgisi
Şekil 2.29 Genlik bilgisi.
Elde edilen bir girişim deseninin bir satırının Fourier dönüşümü ile elde edilen faz bilgisi ve
Şekil 2.30a’da verilmiştir. Şekil 2.25’te verilen Hartley Tekniğinin yukarıda anlatılan FFTW
kütüphanesi kullanarak elde edilen hızlı Hartley dönüşümüne dayalı Algoritma ile revize
edilmesiyle oluşan yeni algoritmanın girişim deseninin bir satırına uygulanması sonucunda
elde edilen faz bilgisi de Şekil 2.30b’ de verilmiştir.
a) Fourier dönüşümü alınan dizinin faz bilgisi
b) Hartley dönüşümü alınan dizinin faz bilgisi
Şekil 2.30 Faz bilgisi.
Şekil 2.31a’da, elde edilen herhangi bir girişim deseninin bir satırı Şekil 2.14’te verilen
Fourier tekniği algoritması ile analiz edilmiş ve Unwrap bilgisi verilmiştir. Şekil 2.31b’de ise
34
Şekil 2.25’te verilen Hartley tekniğinin yukarıda anlatılan FFTW kütüphanesi kullanarak elde
edilen hızlı Hartley dönüşümüne dayalı algoritma ile revize edilmesiyle oluşan yeni
algoritmanın girişim deseninin bir satırına uygulanması sonucunda elde edilen unwrap faz
bilgisi verilmiştir.
a) Fourier tekniği ile elde edilen unwrap bilgisi
b) Hartley tekniği ile elde edilen unwrap bilgisi
Şekil 2.31 UNWRAP bilgisi.
Grafiklerden görüldüğü üzere karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarının gerçel olarak
tek tek Hartley ile alınan dönüşümlerinin sonradan karmaşık sayıya çevrilerek elde edilen
sonuçlar tamamen Fourier ile aynıdır. Böylece Hartley dönüşümü ile daha esnek kod
parçacıkları yazılabilir.
2.4 ANALĐZ SONUÇLARI
Bu kısımda algoritmaların girişim desenlerini hesaplamalarındaki hızları ve analiz sonuçları
karşılaştırılacaktır.
2.4.1 Algoritmaların Hız Karşılaştırmaları
Bu kısımda temel Hartley, temel Fourier, FFTW Fourier, FFTW Hartley algoritmaları ile
girişim desenlerin analiz sonuçları verilecek ve karşılaştırmaları yapılacaktır.
Şekil 2.27’deki Hartley tekniğine dayalı algoritma ile faz eldesi akış şemasının temel Hartley
matris dönüşümü ile icra edilmesiyle elde edilen programın, Şekil 2.8 referans girişim deseni
35
ve Şekil 2.9 faz eklenmiş girişim desenlerinin analizinde kullanılması ile elde edilen sonuç
Şekil 2.28’de verilmiştir. Çizelge 2.1'in ikinci sütununda bu işlem için harcanan süre
verilmiştir.
Şekil 2.16’daki Fourier tekniğine dayalı algoritma ile faz eldesi akış şemasının temel Fourier
matris dönüşümü ile icra edilmesiyle elde edilen programın, Şekil 2.8 referans girişim deseni
ve Şekil 2.9 Faz Eklenmiş Girişim Deseninin analizi için kullanılması sonucu Şekil 2.17’de
verilen faz bilgisi elde edilmiştir. Çizelge 2.1'in üçüncü sütununda bu işlem için harcanan süre
verilmiştir.
Şekil 2.8 referans girişim deseni ve Şekil 2.9 faz eklenmiş girişim deseninin C++ ortamında
560x560 piksel boyutunda matrisler ile sayısal olarak modellenmesi yapılmıştır.
Şekil 2.27’deki Hartley tekniğine dayalı algoritma ile faz eldesi akış şemasının FFTW Hartley
dönüşümü icrası ile elde edilen programın, Bu C++ ortamındaki girişim deseni modelleri
üzerindeki analizi için geçen süre Çizelge 2.1’in dördüncü sütununda verilmiştir.
Şekil 2.16’daki Hartley tekniğine dayalı algoritma ile faz eldesi akış şemasının FFTW Fourier
dönüşümü icrası ile elde edilen programın, C++ ortamındaki girişim deseni modelleri
üzerindeki analizi için geçen süre Çizelge 2.1’in beşinci sütununda verilmiştir.
Çizelge 2.1 Algoritma-Hız çizelgesi.
Temel Hartley Dönüşümü
Temel Fourier Dönüşümü
2,813
5,033
Zaman (sn)
Temel Hartley ve Temel Fourier dönüşümü arasındaki oran;
DHT 2,813
=
= 0,56
DFT 5,033
FFTW Fourier ve FFTW Hartley dönüşümü arasındaki oran;
FFTW _ FHT 0,047
=
= 0,7460
FFTW _ FFT 0,063
36
FFTW Hartley
Dönüşümü
0,047
FFTW Fourier
Dönüşümü
0,063
Temel anlamda baktığımızda Hartley ve Fourier dönüşümleri için eşitlik (2.20) ve (2.21)’de
her k değeri için N adet çarpma ne N-1 adet toplama işlemi yapılması gerekmektedir. Buda
2
toplamda N noktalı DFT ve DHT için N ile orantılı işlem sayısı demektir. Fakat; Fourier ve
Hartleyin yapılarına baktığımızda Fourierin çekirdieğini
 2π

cas 
nk 
 N

e
(− j 2 π n k ) / N
, Hartleyin çekirdeğini
fonksiyonlarının oluşturduğunu görürüz. Bunun anlamı şudur, Fourier’in
çekirdeği karmaşık sayı, Hartleyin çekirdeği gerçeldir. Bu nedenden dolayı N noktalı DFT ve
DHT için işlem sayıları aynı olsa da işlem süreleri (performans) farklıdır. Çünkü DFT için
N 2 ile orantılı karmaşık işlem, Hartley için ise N 2 orantılı gerçel işlem sayısı gerekmektedir.
2
Ayrık dönüşümler için gerekli olan N adet işlem sayısı, hızlı dönüşüm algoritmalarıyla
birlikte N log(N ) adet işlem sayısına kadar düşürülmüştür. Bu sayede işlem sayısında
2p
N2
N
=
=
N log( N ) log( N )
p
oranında bir azalma sağlanmıştır. p değişkeni, giriş fonksiyonun eleman sayısının 2’nin üssü
p
ile ifade edilmesi ile elde edilen üs bilgisidir. N = 2 . Fakat hızlı algoritmalar geliştirilse de
Hartley ve Fourier dönüşümleri arasındaki hız farkı korunmaktadır. Çünkü hem Hartley
2
hemde Fourier temel algoritmalarındaki işlem sayısı N , hızlı algoritmalarda N log(N )
sayısına düşmektedir.
Bu anlatılanları aşağıdaki akış şemaları ile açıklamak olayı kavramak açısından verimli
olacaktır.
Aşağıdaki akış şemasında (Şekil 2.32) optik girişim deseni analizi programında kullandığımız
Fourier algoritmansın sayı ilişkileri basit şekilde verilmiştir. Burada optik girişim desenleri
gerçel olduğundan giriş gerçeldir. Bu gerçel girişin Fourier dönüşümü alınarak karmaşık sayı
elde edilir. Tabii bu dönüşüm sırasında Fourierin çekirdeği karmaşık olduğundan işlemler
2
karmaşıktır. Yani temel ayrık Fourier dönüşümü için N karmaşık işlem, hızlı ayrık Fourier
dönüşümü için N log(N ) karmaşık işlem gerekir. Daha sonra aynı şekilde ters Fourier
37
2
dönüşümünde de temel ayrık Fourier dönüşümü için N karmaşık işlem, hızlı ayrık Fourier
dönüşümü için N log(N ) karmaşık işlem gerekir. Toplamda;
2
•
Temel ayrık Fourier dönüşümü için 2* N karmaşık işlem
•
Hızlı ayrık Fourier dönüşümü için 2* N log(N ) karmaşık işlem gerekir.
GERÇEL SAYI
FOURĐER DÖNÜŞÜMÜ
KARMAŞIK SAYI
TERS FOURĐER DÖNÜŞÜMÜ
KARMAŞIK SAYI
Şekil 2.32 Fourier algoritması.
Aşağıdaki akış şemasında (Şekil 2.33) ise optik girişim deseni analizi programında
kullandığımız Hartley algoritmasının sayı ilişkileri verilmiştir. Gerçel girişin Hartley
dönüşümü alınarak gerçel sayı elde edilir. Bu dönüşüm sırasında Hartleyin çekirdeği gerçel
2
olduğundan işlemler gerçeldir. Yani temel ayrık Hartley dönüşümü için N gerçel işlem, hızlı
ayrık Fourier dönüşümü için N log(N ) gerçel işlem gerekir. Daha sonra Hartley dönüşümü
ile elde edilen gerçel dizinin Hartley-Fourier Dönüşümü alınır. Bu aşamada ters Hartley
dönüşümünün girişi karmaşık sayı olmaktadır. Bu şu demektir; ters temel ayrık Hartley
2
dönüşümü için N karmaşık işlem, hızlı ters ayrık Hartley dönüşümü için N log(N )
karmaşık işlem gerekir. Yani karmaşık girişler için Hartleyin Fourier üzerinde bir üstünlüğü
yoktur.
38
Toplamda ;
•
2
2
Temel Ayrık Hartley dönüşümü için N gerçel, N karmaşık işlem,
•
Hızlı Ayrık Fourier dönüşümü için N log(N ) gerçel, N log(N ) karmaşık işlem
gerekir.
GERÇEL SAYI
HARTLEY DÖNÜŞÜMÜ
GERÇEL SAYI
HARTLEY-FOURĐER DÖNÜŞÜMÜ
KARMAŞIK SAYI
HARTLEY(TERS) DÖNÜŞÜMÜ
KARMAŞIK SAYI
Şekil 2.33 Hartley algoritması.
2.3.4’te FFTW kütüphanesi kullanarak elde edilen hızlı Hartley dönüşümüne dayalı algoritma
ile girişim deseni analizi anlatımında yukarıdaki akış diyagramının (Şekil 2.33) özel bir
şeklinden bahsedilmişti. Bu özel durumun, Optik girişim deseni analizi programında
kullandığımız bölümünün akış şeması (Şekil 2.34) aşağıda verilmiştir. Burada yukarıda
verilen akış şemasından farklı olarak ileri Hartley dönüşümünden sonra Hartley-Fourier
dönüşümü ile karmaşık sayıya geçilip karmaşık sayının Hartley dönüşümü alınmadan,
karmaşık sayı gerçel ve sanal kısımlara ayrılıp, Bu gerçel ve sanal kısımlarının Hartley
dönüşümü alınmıştır. Yani tüm dönüşümler gerçeldir.
39
2
Burada temel ayrık Hartley dönüşümü için N gerçel işlem, hızlı ayrık Fourier dönüşümü
2
için N log(N ) gerçel işlem gerekir. Ters temel ayrık Hartley dönüşümü için 2* N gerçel
işlem, hızlı ters ayrık Hartley dönüşümü için 2* N log(N ) gerçel işlem gerekir.
Toplamda;
2
•
Temel Ayrık Hartley dönüşümü için 3* N gerçel
•
Hızlı Ayrık Fourier dönüşümü için 3* N log(N ) gerçel işlem gerekir
GERÇEL SAYI
GERÇEL KISIM
SANAL KISIM
GERÇEL SAYI
GERÇEL SAYI
GERÇEL KISIM
SANAL KISIM
GERÇEL KISIM + J*SANAL KISIM
Şekil 2.34 Hartley özel algoritması.
Üç algoritma için işlem sayıları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
40
Çizelge 2.2 Algoritma-Đşlem sayısı çizelgesi.
Gerçel Đşlem Sayısı Karmaşık Đşlem Sayısı
2
Temel Fourier Algoritması
2* N
Hızlı Fourier Algoritması
2* N log(N )
2
Temel Hartley Algoritması
N
N2
N log(N )
N log(N )
Hızlı Hartley Algoritması
Özel Hartley Algoritması
3* N log(N )
Tabloda verilen işlem sayıları algoritmanın hız performansıyla doğrudan ilgilidir. GerçelGerçel işlemler için aşağıdaki blok şema (Şekil 2.35) geçerli iken;
Şekil 2.35 Gerçel-Gerçel işlem (MATLAB Help 2010).
Karmaşık-Gerçel ve Karmaşık-Karmaşık işlemler için aşağıdaki blok şemalar geçerlidir.
(Şekil 2.36-2.37).
Şekil 2.36 Gerçel-Karmaşık işlem (MATLAB Help 2010).
41
Şekil 2.37 Karmaşık-Karmaşık işlem (MATLAB Help 2010).
Yukarıdaki Blok şemalardan da görüldüğü gibi gerçel işlemlerde bir çarpıcı varken karmaşık
işlemlerde 2 ya da 4 çarpıcı vardır. Şekil 2.35 ve Şekil 2.36 dikkate alınırsa, gerçel işlemlerin
karmaşık işlemlere oranla en az 2 kat daha hızlı çalışacağı anlamına gelmektedir.
2
Yukarıda verilen tabloda gerçel işlemler için N adet işlem sayısının yerine getirilme süresi
2
X sn olsun, bu durumda karmaşık işlemler için N adet işlem sayısının yerine getirilme
süresi 2*X olur.
Aynı şekilde hızlı dönüşümler için gerçel işlemlerde N log(N ) adet işlem sayısının yerine
getirilme süresi Y sn olsun, bu durumda karmaşık işlemler için N log(N ) adet işlem sayısının
yerine getirilme süresi 2*Y olur. Bu durumda tabloyu hız cinsinden yeniden düzenlersek;
Çizelge 2.3 Algoritma-Đşlem sayısı çizelgesi-2.
Gerçel Đşlem Süresi Karmaşık Đşlem Süresi
-
2*2*X
-
2*2*Y
X
2*X
Y
2*Y
3*Y
-
42
Yukarıdaki çizelgeden (Çizelge 2.3) Hartley ve Fourier Dönüşümleri hız oranları en az ;
TEMEL HARTLEY DONUSUMU
X + 2X 3 X
=
=
= 0,75
TEMEL FOURIER DONUSUMU 2 * 2 * X 4 X
HIZLI HARTLEY DONUSUMU
Y + 2Y 3Y
=
=
= 0,75
HIZLI FOURIER DONUSUMU 2 * 2 * Y 4Y
ÖZEL HARTLEY DONUSUMU
3* Y
3Y
=
=
= 0,75 olur.
HIZLI FOURIER DONUSUMU 2 * 2 * Y 4Y
Hatırlanacak olursa, ters dönüşümlerden önce karmaşık olan dizi filtreleniyordu. Bu filtreleme
işleminden sonra dizinin ortalama %90 ile %99’luk kısımları sıfırlanmaktadır( yani ters
dönüşümlerden önce karmaşık sayılar gerçel sayıya dönüyor). Son durum olarak Şekil 2.32’de
Fourier dönüşümü algoritması için verilen akış diyagramı, filtreleme işleminden sonra Şekil
2.38’e dönüşecektir. Yalnız kaçırılmaması gereken nokta, üst paragrafta değinildiği gibi
filtreleme işleminden sonraki adımda gösterilen gerçel sayı bloğunun (kırmızı kutu ile
gösterilen) %90 ile %99’luk kısmı gerçeldir.
REEL SAYI
FOURĐER DÖNÜŞÜMÜ
KOMPLEKS SAYI
FĐLTRELEME ĐŞLEMĐ
REEL SAYI
TERS FOURĐER DÖNÜŞÜMÜ
KOMPLEKS SAYI
Şekil 2.38 Filtreleme işleminden sonra Fourier algoritmasının sayısal durumu.
43
Hartley algoritmasında son durum olarak Şekil 2.33’te Hartley dönüşümü algoritması için
verilen akış diyagramı, filtreleme işleminden sonra Şekil 2.39’a dönüşecektir. Burada dikkat
edilmesi gereken nokta, filtreleme işleminden sonraki adımda gösterilen gerçel sayı bloğunun
(kırmızı kutu ile gösterilen) %90 ile %99’luk kısmı gerçeldir.
Şekil 2.40’ta Fourier ve Hartley dönüşümleri algoritmalarının sayısal akışı sembolik olarak
gösterilmiştir. Gerçel ve karmaşık sayılar sırasıyla 8bit ve 16 bit ile gösterilmiştir.
Şekil 2.40a’dan da görüldüğü gibi Fourier için giriş gerçel olsa bile çekirdeği karmaşık (16bit)
olduğundan ileri dönüşümler, Şekil 2.40b’de gösterilen Hartleye göre ortalama iki kat daha
yavaştır. Çünkü hartlety’in çekirdeği gerçel (8bit)’dir.
REEL SAYI
REEL SAYI
KOMPLEKS SAYI
FĐLTRELEME ĐŞLEMĐ
REEL SAYI
KOMPLEKS SAYI
Şekil 2.39 Filtreleme işleminden sonra Hartley algoritmasının sayısal durumu.
44
a)Fourier Sembolik Gösterimi
a)Hartley Sembolik Gösterimi
Şekil 2.40 Algoritmaların sembolik gösterimi.
Ters dönüşümlerde, filtreleme işleminden sonra karmaşık sayıların %90-%99’luk kısmı gerçel
sayıya döndüğünden Hartley dönüşümünde avantaj sağlanır. Çünkü ters dönüşümlerde de
giriş sayılarının büyük bir kısmı filtreleme işlemine tutulduğundan gerçel sayıya (sıfır-0)
dönüşmektedir. Hartleyin de çekirdeği gerçel (8bit) olduğundan işlemler karmaşık sayıya göre
daha hızlı olmaktadır.
Bu bilgiler ışığında Çizelge 2.3’ü yeniden düzemlersek Çizelge 2.4’ü elde ederiz.
Çizelge 2.4 Algoritma-Đşlem sayısı.
Gerçel Đşlem Süresi Karmaşık Đşlem Süresi
-
2*2*X
-
2*2*Y
X+X
-
Y+Y
-
3*Y
-
45
Bu durumda;
TEMEL HARTLEY DONUSUMU 2X
=
= 0,5
TEMEL FOURIER DONUSUMU
4X
HIZLI HARTLEY DONUSUMU 2Y
=
= 0,5
HIZLI FOURIER DONUSUMU
4Y
ÖZEL HARTLEY DONUSUMU
3* Y
3Y
=
=
= 0,5 olur.
HIZLI FOURIER DONUSUMU 2Y + 4Y 6Y
HARTLEY DONUSUMU
Çizelge 2.1 den, FFTW kütüphanesi ile yapılan ölçümlerde FOURIER DONUSUMU oranı
0,74 MATLAB ortamında bu oran 0.56 çıkmıştır.
2.4.2 Hartley Ve Fourier Dönüşümleri Đle Analiz Edilen Girişim Desenlerinin RMS Hata
Grafikleri
Şekil 2.8 referans girişim deseni ve Şekil 2.9 faz eklenmiş girişim deseninin Fourier ve
Hartley dönüşümlerine dayalı algoritmalar ile analizi sonucunda elde edilen faz bilgisi
ϕ ( x, y ) sırasıyla Şekil 2.17 ve Şekil 2.28’de verilmiştir. Bulunan bu faz bilgileri Şekil 2.10’da
verilen eklenen faz bilgisi ile hata bakımından karşılaştırılmıştır. Bu kısımda tüm faz bilgileri
560x560 (piksel) boyutunda matrislerden oluşmaktadır.
Şekil2.17’de Fourier algoritması ile bulunan faz bilgisinin her matris elemanın karesinden,
Şekil 2.10 eklenen faz bilgisinin her aynı numaralı matris elemanının karesi çıkartılıp
ortalaması alındıktan sonra karekökü alınmıştır. Bunun sonucunda Fourier RMS hata değeri
bulunmuştur. Bulunan bu RMS hata Şekil 2.41’de verilmiştir.
Şekil 2.28’de Hartley algoritması ile bulunan faz bilgisinin her matris elemanın karesinden,
Şekil 2.10'da eklenen faz bilgisinin her aynı numaralı matris elemanının karesi çıkartılıp
ortalaması alındıktan sonra karekökü alınmıştır. Bunun sonucunda Hartley RMS hata değeri
bulunmuştur. Bulunan bu RMS hata Şekil 2.42’de verilmiştir.
46
Şekil 2.41 Fourier RMS hata grafiği.
Şekil 2.42 Hartley RMS hata grafiği.
Şekil 2.43’te, Şekil 2.17’deki Fourier dönüşümüne dayalı algoritma ile elde edilen faz bilgisi
ile Şekil 2.28’deki Hartley dönüşümüne dayalı algoritma ile elde edilen faz bilgisi arasındaki
RMS hata grafiği verilmiştir.
47
Şekil 2.43 Hartley-Fourier arasındaki RMS hata grafiği.
Şekil 2.38 ve Şekil 2.39’daki Faz-Hartley algoritması ile elde edilen faz ve Faz-Fourier
algoritması ile elde edilen fazın arasındaki RMS hata oranlarının ortalaması 4.3908e-006
mertebesinde iken, Şekil 2.40 Hartley-Fourier arasındaki RMS hata 7.5065e-018
mertebesindedir.
48
BÖLÜM 3
OPTĐK GĐRĐŞĐM DESENĐ SĐNYAL ĐŞLEME ALGORĐTMALARININ DENEYSEL
ÇALIŞMALAR ĐLE TEST EDĐLMESĐ
Bu bölümde temeli optik girişim ölçere dayalı kırılma indisi değişimi ölçer ve üç-boyutlu
(3B) görüntü ölçer (3-Dprofiler) sistemlerinden elde edilen veriler yapmış olduğumuz
algoritmaların test edilmesinde kullanılacak ve sonuçları sunulacaktır.
2.1 KIRILMA ĐNDĐSĐ DEĞĐŞĐMĐ ÖLÇER
Bu sistem maddelerin kimyasal, fiziksel özelliklerinin ölçümü için kullanılabilmektedir. Bu
özelliklerden biri de kırılma indisidir. Bir maddenin kırılma indisi, o maddede yol alan ışığın,
boşlukta yol alan ışığa göre ne kadar yavaş ilerlediğini gösteren bir katsayıdır. Kırılma indisi
fiziksel bir özellik olup, maddenin kimyasal yapısına, bileşimine vs. bağlı olarak
değişmektedir. Kırılma indisi değişimi ölçer ile çeşitli etkiler altında malzemede meydana
getirilen kırılma indisi değişimi ölçülebilmektedir.
Bu çalışmada, malzemeler içerisinden geçirilen akım değerlerine bağlı olarak meydana gelen
kırılma indisi değişiminin incelenmesi amaçlanmıştır. Tezde mol ağırlığı M A = 927,10 gr/mol
olan Malochite Gren Oxolate ve mol ağırlığı M A = 506,10 gr/mol olan Victoria Blue (Bozaik
Mavi) malzemeleri kullanılmıştır. Bu malzemelerden (ışığı geçirmeleri için) sulu çözeltiler
yapılmıştır. Bu çözeltilerin konsantrasyonları 1 ppm olacak şekilde ayarlanmıştır (Şekil 3.1).
3.1.1 Kırılma Đndisi Ölçer Đle Yapılan Çalışmalar
Bu sistemin temeli Bölüm1'deki Şekil 1.6’daki Michelson girişim ölçerine dayanmaktadır
(Bakınız Şekil 3.2). Sistemde ayna1 ile ışın bölücü (Beam Splitter) arasına çözelti
konulmuştur (Şekil 3.2-3.3 ve Şekil 3.4). Çözeltinin içerisine daldırılan rezistans üzerinden
geçirilen akım sayesinde kırılma indisinde değişim yaratılmıştır (Şekil 3.4). Kırılma indisinin
49
“maddede yol alan ışığın, boşlukta yol alan ışığa göre ne kadar yavaş ilerlediğini gösteren
bir katsayı” olduğu daha önce verilmiştir. Çözeltinin içerisinden akım geçirilmesinden dolayı
maddede meydana gelen değişmeden dolayı madde içerisinden geçen ışığın hızında değişme
olmaktadır. Bu ışığın hız değişimi, diğer aynadan yansıyan ışınla arasındaki faz farkının
değişmesine; dolayısıyla optik girişim deseninin bozulmasına neden olmaktadır.
Şekil 3.1 Oluşturulan çözeltiler.
Şekil 3.2 Kırılma indisi değişimi ölçer sistemi yandan görünüm.
50
Şekil 3.3 Kırılma indisi değişimi ölçer sisteminin bir bölümünün üstten görünümü.
Şekil 3.4 Kırılma indisi değişimi ölçer sistemi.
51
3.1.2 Kırılma Đndisi Değişimi Ölçer Đle Elde Edilen Sonuçlar
3.1.2.1 Malochite Gren Oxolate Sulu Çözeltisi Đçin Elde Edilen Sonuçlar
Bu çalışmada Malochite Gren Oxolate çözeltisi içerisinden sırasıyla 0,25A, 0,75A ve 1A
geçirilmiştir. Aşağıdaki çizelgede (Çizelge 3.1) ölçüm sırasında CCD kamera ile alınan örnek
sayıları ve kayıt aralıkları süreleri verilmiştir.
Çizelge 3.1 Kayıt edilen örnek sayıları ve kayıt aralığı.
Uygulanan Akım (A) Kayıt Aralığı (saniye) Kayıt edilen girişim deseni sayısı
0,25
30
10
0,75
20
10
1
10
15
Çizelge 3.1’den görüldüğü üzere çözelti içerisinden 30x10s süreyle 0,25A, 20x10s süreyle
0,75A, 10x15s süreyle 1A geçirilmiştir. Ve sırasıyla 0,25 A için 30s aralıklarla 10 adet, 0,75A
için 20s aralıklarla 10 adet ve 1 A için 10s aralıklarla 10 adet girişim deseni alınmıştır.
Đlk olarak çözelti içerisinden akım geçirilmediği an (0A) kamera ile kaydedilerek Şekil 3.5’te
ki referans görüntü alınmıştır.
Referans görüntü alındıktan sonra çözelti içerisinden 0,25A geçirilmeye başlanmıştır. Çözelti
içerisinden geçen akım değerine bağlı olarak girişim deseninde bozulma meydana gelmeye
başlamıştır. 30x10s sonra 10. örnekten itibaren girişim deseninde meydana gelen bozulmanın
değişmediği gözlemlenmiştir. Bu andaki 10. örnek Şekil 3.6a’da verilmiş olup, Şekil3.6b ve
Şekil3.6c’de sırasıyla temel Fourier dönüşüm tekniğine dayalı ve temel Hartley dönüşüm
tekniğine dayalı algoritmalar ile elde edilen faz bilgileri verilmiştir.
30x10sn çözelti içerisinden 0,25A geçirildikten sonra girişim deseninde meydana gelen
bozulmanın değişmediği gözlemlendiğinden akım değeri önce 0,5A ve sonra 0,75A’e
çıkartılmıştır. Çözelti içerisinden 20x10sn süreyle 0,75A geçirilmiştir. Yine çözelti
başlamıştır. 20x10sn 10. örnekten itibaren girişim deseninde meydana gelen bozulmanın
değişmediği gözlemlenmiştir. Bu andaki 10. örnek Şekil 3.7a’da verilmiş olup, Şekil 3.7b ve
52
Şekil 3.7c’de sırasıyla temel Fourier dönüşüm tekniğine dayalı ve temel Hartley dönüşüm
Son olarak akım değeri 1A’e çıkartılmıştır. Çözelti içerisinden 10x15s süreyle 1A
geçirilmiştir. Yine çözelti içerisinden geçen akım değerine bağlı olarak girişim deseninde
bozulma meydana gelmeye başlamıştır. 10x15s 15. örnekten itibaren girişim deseninde
meydana gelen bozulmanın değişmediği gözlemlenmiştir. Bu andaki 15. örnek Şekil 3.8a’da
verilmiş olup, Şekil 3.8b ve Şekil 3.8c’de sırasıyla temel Fourier dönüşüm tekniğine dayalı ve
temel Hartley dönüşüm tekniğine dayalı algoritmalar ile elde edilen faz bilgileri verilmiştir.
Şekil 3.5 Referans girişim deseni (0A).
53
Şekil 3.6
0,25A için elde edilen faz farkı grafikleri, a)Bozulmuş girişim deseni,
b)Fourier algoritması ile elde edilen faz farkı bilgisi, c)Hartley algoritması ile elde
edilen faz farkı bilgisi.
54
Şekil 3.7
0,75A için elde edilen faz farkı grafikleri, a)Bozulmuş girişim deseni,
55
Şekil 3.8 1A için elde edilen faz farkı grafikleri, a)Bozulmuş girişim deseni,
56
3.1.2.1.1 Malochite Gren Oxolate Sulu Çözeltisi Çalışmasında Sistemden Alınan
Verilerin Analizi Đçin Kullanılan Algoritmalara Göre Geçen Süre Sonuçları
3.1.2.1 konu sonunda anlatıldığı üzere Şekil 3.5’te verilen referans girişim deseni Şekil 3.6a,
Şekil 3.7a, Şekil 3.8a’da verilen bozulmuş girişim desenleriyle birlikte ayrı ayrı analiz
edilerek sonuçları Şekil 3.6b-c, Şekil 3.7b-c, Şekil 3.8b-c’de verilmiştir.
Her bir akım değeri için temel Hartley tekniğine dayalı ve temel Fourier tekniğine dayalı
algoritmalar ile girişim deseni analizi işlemleri için geçen süreler Çizelge 3.2’de verilmiştir.
Çizelge 3.2 Her akım değeri için Hartley ve Fourier ile kırılma indisi ölçüm süreleri.
Hartley Algoritması Fourier Algoritması Girişim Desenleri
Süresi (Saniye)
Süresi (Saniye)
Boyutları (Piksel)
0,25A 4,92
8,98
560x400
0,75A 5,11
9,26
560x400
1A
9,08
560x400
4,97
Çizelge 3.2’den;
•
0,25A için
Hartley
Fourier
A lg oritmas ı
A lg oritmas ı
hız oranı 0,547
•
0,75A için
Hartley
Fourier
A lg oritmas ı
A lg oritmas ı
hız oranı 0,551
•
1A için
Hartley
Fourier
A lg oritmas ı
A lg oritmas ı
hız oranı 0,547
bulunmuştur.
3.1.2.2 Victoria Blue (Bozaik Mavi) Çözeltisi Đçin Elde Edilen Deneysel Sonuçlar
Bu çalışmada Victoria Blue (Bozaik Mavi) çözeltisi içerisinden sırasıyla 0,25A, 0,75A ve 1A
geçirilmiştir. Aşağıdaki çizelgede (Çizelge 3.3) ölçüm sırasında CCD kamera ile alınan örnek
sayıları ve kayıt aralıkları süreleri verilmiştir.
57
Çizelge 3.3 Kayıt edilen örnek sayıları ve kayıt aralığı
Uygulanan Akım (A) Kayıt Aralığı (saniye) Kayıt edilen girişim deseni sayısı
0,25
30
15
0,75
15
15
1
10
10
Çizelge3.3’ten görüldüğü üzere çözelti içerisinden 30x15s süreyle 0,25A, 15x15s süreyle
0,75A, 10x10s süreyle 1A geçirilmiştir. Ve sırasıyla 0,25 A için 30sn aralıklarla 10 adet,
0,75A için 15s aralıklarla 15 adet ve 1 A için 10sn aralıklarla 10 adet girişim deseni
alınmıştır.
Đlk olarak çözelti içerisinden akım geçirilmediği an(0A) kamera ile kaydedilerek Şekil
3.9’daki referans görüntü alınmıştır.
Referans görüntü alındıktan sonra çözelti içerisinden 0,25A geçirilmeye başlanmıştır. Çözelti
başlamıştır. 30x15s sonra 15. örnekten itibaren girişim deseninde meydana gelen bozulmanın
değişmediği gözlemlenmiştir. Bu andaki 15. örnek Şekil 3.10a’da verilmiş olup, Şekil 3.10b
ve Şekil 3.10c’de sırasıyla temel Fourier dönüşüm tekniğine dayalı ve temel Hartley dönüşüm
30x15sn çözelti içerisinden 0,25A geçirildikten sonra girişim deseninde meydana gelen
bozulmanın değişmediği gözlemlendiğinden akım değeri önce 0,5A ve sonra 0,75A’e
çıkartılmıştır. Çözelti içerisinden 15x15s süreyle 0,75A geçirilmiştir. Yine çözelti içerisinden
geçen akım değerine bağlı olarak girişim deseninde bozulma meydana gelmeye başlamıştır.
15x15s 15. örnekten itibaren girişim deseninde meydana gelen bozulmanın değişmediği
gözlemlenmiştir. Bu andaki 15. örnek Şekil 3.11a’da verilmiş olup, Şekil 3.11b ve Şekil
3.11c’de sırasıyla temel Fourier dönüşüm tekniğine dayalı ve temel Hartley dönüşüm
Son olarak akım değeri 1A’e çıkartılmıştır. Çözelti içerisinden 10x10s süreyle 1A
geçirilmiştir. Yine çözelti içerisinden geçen akım değerine bağlı olarak girişim deseninde
bozulma meydana gelmeye başlamıştır. 10x10s 10. örnekten itibaren girişim deseninde
meydana gelen bozulmanın değişmediği gözlemlenmiştir. Bu andaki 10. örnek Şekil 3.12a’da
58
verilmiş olup, Şekil 3.12b ve Şekil 3.12c’de sırasıyla temel Fourier dönüşüm tekniğine dayalı
ve temel Hartley dönüşüm tekniğine dayalı algoritmalar ile elde edilen faz bilgileri verilmiştir.
59
Şekil 3.10 0,25A için elde edilen faz farkı grafikleri, a)Bozulmuş girişim deseni,
60
Şekil 3.11 0,75A için elde edilen faz farkı grafikleri, a)Bozulmuş girişim deseni,
b)Fourier algoritması ile elde edilen faz farkı bilgisi, c)Hartley algoritması ile
elde edilen faz farkı bilgisi.
61
Şekil 3.12 1A için elde edilen faz farkı grafikleri, a)Bozulmuş girişim deseni,
b)Fourier algoritması ile elde edilen faz farkı bilgisi, c)Hartley algoritması ile
elde edilen faz farkı bilgisi.
62
3.1.2.2.1 Victoria Blue (Bozaik Mavi) çözeltisi deneysel sonuçları için Kullanılan
Algoritmaların Zamansal Sonuçları
Her bir akım değeri için Hartley ve Fourier algoritmalarıyla girişim desenlerinin analizi için
geçen süreler aşağıdaki çizelgede verilmiştir.
3.1.2.2 kısım sonunda anlatıldığı üzere Şekil 3.9’da verilen referans girişim deseni Şekil
3.10a, Şekil 3.11a, Şekil 3.12a’da verilen bozulmuş girişim desenleriyle birlikte ayrı ayrı
analiz edilerek sonuçları Şekil 3.10b-c, Şekil 3.11b-c, Şekil 3.12b-c’de verilmiştir.
Her bir akım değeri için temel Hartley tekniğine dayalı algoritma ve temel Fourier tekniğine
dayalı algoritmalarıyla girişim deseni analizi işlemleri için geçen süreler Çizelge 3.4’te
verilmiştir.
Çizelge 3.4 Her akım değeri için Hartley ve Fourier ile kırılma indisi ölçüm süreleri.
Hartley Algoritması Fourier Algoritması Girişim Desenleri
Süresi (Saniye)
Süresi (Saniye)
Boyutları (Piksel)
0,25A
4,82
9,15
560x560
0,75A
4,60
8,92
560x560
1A
4,98
9,28
560x560
Çizelge 3.4’ten;
•
0,25A için
Hartley
Fourier
A lg oritmas ı
A lg oritmas ı
hız oranı 0,526
•
0,75A için
Hartley
Fourier
A lg oritmas ı
A lg oritmas ı
hız oranı 0,516
•
1A için
Hartley
Fourier
A lg oritmas ı
A lg oritmas ı
hız oranı 0,536
bulunmuştur.
63
3.2 ÜÇ-BOYUTLU (3B) GÖRÜNTÜ ÖLÇER (3-D PROFĐLER)
Bu kısımda optik girişim ölçere dayalı temassız, optik üç-boyutlu(3D) görüntü alıcı sistem
verilmiştir. Bu türlü sistemlerde, maddenin fiziksel yapısına (yüzey profili - yüksekliği) bağlı
olarak girişim desenlerinde meydana gelen bozulmadan faydalanılarak üç-boyutlu görüntü
elde edilmektedir.
Tezin bu kısmında üç-boyutlu görüntü elde etmek için ızgara projeksiyon (fringe projection)
tekniğine dayalı 3B optik görüntü alıcı (profilometri) kullanılacaktır. Amaç bu sistemden elde
edilen optik girişim desenleri ile geliştirilen algoritmaları test etmektir. Öncelikle bu
profilometri hakkında kısaca bilgi verilecektir.
3.2.1 Izgara Projeksiyon Profilometresi
Bu teknikte üç-boyutlu görüntüsü elde edilecek obje üzerine ızgara deseni düşürülür. Izgara
deseni tezde olduğu gibi lazer (He-Ne λ = 632,8nm ) girişim düzeneği ile oluşturulabileceği
gibi bilgisayar ortamında simülasyonu yapılan ve projeksiyon cihazı ile obje üzerine
düşürülen ızgara deseni ile de yapılabilir. Obje üzerine düşürülen ızgara deseni, obje
yüksekliğine göre bozulmaya uğrar. Bu bozulma kamera ile kayıt edilerek objenin üç-boyutlu
görüntüsü elde edilir (Şekil 3.13).
Şekil 3.13 Izgara prokjeksiyon tekniği (URL-7 2010).
64
Objenin üzerine yansıtılan ızgara desenini oluşturan girişim desenini meydana getiren iki
düzlemsel dalga cephesinin faz farkı θ olsun. Bu durumda ekrana yansıyan girişim deseninin
siyah ve beyaz çizgileri arasındaki uzaklık (fringe spacing) (Şekil 3.14) (Tulsiani 2005);
p=
λ
(3.1)
2 sin θ
olur.
Şekil 3.14 Girişim deseni boşluğu.
z
Şekil 3.15 Yüzey üzerine p boşluklu girişim deseni düşürülmesi (Tulsiani 2005).
65
Şekil 3.15’te ki bir sistemdeki uzaysal faz (spatial frequency) (Tulsiani 2005);
f cx =
1
cos α
=
px
p
(3.2)
z = f (x, y ) ile verilen yüzeyin uzaysal faz üzerinde meydana getirdiği modülasyon (Tulsiani
2005);
ψ ( x, y ) =
z sin α
p
(3.3)
olur.
CCD kamera ile kayıt edilen girişim deseninin ışıma şiddeti (Tulsiani 2005);

 x

I ( x, y ) = 2 I 0 ( x, y ) 1 + cos 2π 
+ ψ ( x, y )  
 px


(3.4)
olur.
Böylece referans ekran ve objenin girişim deseni üzerinde meydana getirdiği bozulma
sonucunda oluşan faz bilgileri sırasıyla ψ 1 ( x, y ) ve ψ 2 ( x, y ) olsun. Bu durumda değişen faz
bilgisi objenin yükseklik bilgisini verir (3.5) (3.6) (Tulsiani 2005);
φ ( x, y ) = ψ 2 ( x , y ) − ψ 1 ( x, y )
(3.5)
λ
h ( x, y )
4π
(3.6)
h( x, y ) =
66
3.2.2 3B Görüntü Ölçer Đle Yapılan Çalışmalar Ve Sonuçları
Bu bölümde temeli Michelson Girişim Ölçere dayalı Optik 3B görüntü ölçer sisteminden elde
edilen veriler yapmış olduğumuz algoritmaların test edilmesinde kullanılacak ve sonuçları
sunulacaktır.
Bu çalışmada ölçüm için, endüstri ortamında kullanılan Şekil 3.19’daki 3 objenin görüntüsü
alınarak algoritmaların hızları test edilecektir. Bunun için Şekil 3.17’de yandan, Şekil 3.18’de
üstten görüntüsü verilen Optik Girişim Ölçeri Düzeneği ile oluşturulan ızgara deseni bir ekran
üzerine düşürülerek Şekil 3.16’daki referans görüntü elde edilmiştir. Burada ekran önünde
hiçbir obje bulunmamaktadır.
Şekil 3.19’da gösterilen objeler metal olduğundan ışıldamaları önlemek ve daha iyi görüntü
elde etmek için objeler beyaz mat boya ile boyanmıştır.
67
Şekil 3.17 Optik 3B görüntü elde edici sistemin yandan görünüşü.
Şekil 3.18 Optik 3B görüntü elde edici sistemin üstten görünüşü.
68
Şekil 3.19 Optik 3B görüntü elde edici sistem ile ölçümü yapılacak objeler.
Şekil 3.20’de verilen Obje, Şekil 3.17’deki ekranın önünde bulunan platform üzerine
oturtulmuştur. Daha sonra ekran yani obje üzerine optik girişim deseni düşürülmüştür. Bu
durumda Şekil 3.16’da verilen referans girişim deseni üzerinde, Şekil 3.21’deki gibi objenin
boyutlarına bağlı olarak bozulma meydana gelmiştir. Yani girişim deseninin siyah ve beyaz
çizgileri arasındaki uzaklık (fringe spacing) buna bağlı olarak da uzaysal frekans (spatial
frequency) değişmiştir. Buda referans girişim deseni içinde var olan faz bilgisinin
değişmesine neden olmuştur.
Şekil 3.20 Görüntüsü elde edilecek obje 1.
69
Şekil 3.21 Obje1’in Üzerine ızgara deseni düşürülmüş durumu.
Son olarak Şekil 3.16’da verilen referans girişim deseni ve Şekil 3.21’deki bozulma olan
girişim deseni içindeki faz bilgileri temel Fourier dönüşüm tekniğine dayalı algoritma ve
temel Hartley dönüşüm tekniğine dayalı algoritma ile tek tek bulunmuştur. Referans girişim
deseni ile bulunan faz sıfır kabul edilip, bozulmuş girişim deseni ile bulunan faz bilgisinden
çıkartılarak objenin 3B görüntüsü elde edilmiştir.
Şekil 3.22’de temel Hartley tekniğine dayalı algoritma ile Obje 1’in elde edilen görüntüsü
verilmiştir. MATLAB ortamında mesh komutu ile çizdirilmiştir. Mesh komutu 3 boyutlu
fonksiyonların yüzey grafiğini çizmemize yarayan MATLAB fonksiyonudur. Şeklin
yanındaki renk çubuğunda (color bar) yükseklik bilgileri koyudan açık renge kadar -0,3 ve 0,6
arasında değişmektedir.
Aynı şekilde Şekil 3.23’te temel Fourier dönüşüm tekniğine dayalı algoritma ile Obje 1’in
elde edilen görüntüsü verilmiştir.
70
Şekil 3.22 Hartley dönüşümü ile obje1’in elde edilen faz farkı.
Şekil 3.23 Fourier dönüşümü ile obje 1’in elde edilen faz farkı.
71
Şekil 3.24’te verilen Obje, Şekil 3.17’deki ekranın önünde bulunan platform üzerine
durumda Şekil 3.16’da verilen referans girişim deseni üzerinde, Şekil 3.25’teki gibi objenin
boyutlarına bağlı olarak bozulma meydana gelmiştir. Girişim deseninin siyah ve beyaz
çizgileri arasındaki uzaklık (fringe spacing) buna bağlı olarak da uzaysal frekans (spatial
Şekil 3.16’da verilen referans girişim deseni ve Şekil 3.25’deki bozulan girişim deseni
içindeki faz bilgileri temel Fourier dönüşüm tekniğine dayalı ve temel Hartley dönüşüm
tekniğine dayalı algoritma ile tek tek bulunmuştur. Referans girişim deseni ile bulunan faz
sıfır kabul edilip, bozulmuş girişim deseni ile bulunan faz bilgisinden çıkartılarak objenin 3B
görüntüsü elde edilmiştir.
Şekil 3.26’da temel Hartley dönüşüm tekniğine dayalı algoritma ile Obje 2’nin elde edilen
görüntüsü MATLAB ortamında mesh komutu ile çizdirilmiştir.
Aynı şekilde Şekil 3.23’te temel Fourier dönüşüm tekniğine dayalı algoritma ile Obje 2’nin
72
Şekil 3.25 Obje 2’in üzerine ızgara deseni düşürülmüş durumu.
Şekil 3.26 Hartley dönüşümü ile obje 2’in elde edilen faz farkı.
73
Şekil 3.27 Fourier dönüşümü ile obje2’nin elde edilen faz farkı.
Şekil 3.28’de verilen Obje, Şekil 3.17’deki ekranın önünde bulunan platform üzerine
durumda Şekil 3.16’da verilen referans girişim deseni üzerinde, Şekil 3.29’daki gibi objenin
boyutlarına bağlı olarak bozulma meydana gelmiştir. Girişim deseninin siyah ve beyaz
çizgileri arasındaki uzaklık (fringe spacing) buna bağlı olarak da uzaysal frekans(spatial
Şekil 3.16’da verilen referans girişim deseni ve Şekil 3.29’daki bozulan girişim deseni
içindeki faz bilgileri temel Fourier tekniğine dayalı algoritma ve temel Hartley tekniğine
dayalı algoritma ile tek tek bulunmuştur. Referans girişim deseni ile bulunan faz sıfır kabul
edilip, bozulmuş girişim deseni ile bulunan faz bilgisinden çıkartılarak objenin 3B görüntüsü
elde edilmiştir.
Şekil 3.30’da temel Hartley dönüşüm tekniğine dayalı algoritma ile Obje3’ün elde edilen
görüntüsü MATLAB ortamında mesh komutu ile çizdirilmiştir.
74
Aynı şekilde Şekil 3.31’de temel Fourier dönüşüm tekniğine dayalı algoritma ile Obje3’ün
Şekil 3.29 Obje 3’ün üzerine ızgara deseni düşürülmüş hali.
75
Şekil 3.30 Hartley dönüşümü ile obje 3’ün elde edilen faz farkı.
Şekil 3.31 Fourier dönüşümü ile obje 3’ün elde edilen faz farkı.
76
3.2.2.1 3B Görüntü Ölçer Đle Elde Edilen Deneysel Girişim Desenleri Đçin Kullanılan
Algoritmaların Sonuçları
Her bir objenin referans girişim deseni üzerinde meydana getirdiği bozulma nedeniyle oluşan
girişim deseni ve referans girişim deseni temel Hartley ve temel Fourier dönüşümlerine dayalı
algoritmalar ile analiz edilmiştir. Bu analiz işlemleri için kullanılan algoritmalar ve geçen
süreler Çizelge 3.5’te verilmiştir.
Çizelge 3.5 Hartley ve Fourier dönüşümlerine dayalı algoritmalar ile 3B görüntü elde etme
süreleri.
Hartley Algoritması
Fourier Algoritması
Girişim Desenleri
Süresi (Saniye)
Süresi (Saniye)
Boyutları (Piksel)
Obje 1
9,172
18,203
768x570
Obje 2
6,031
12,015
600x570
Obje 3
6,359
12,579
600x570
Çizelge 3.3’ten;
•
Hartley A lg oritması
Obje1 için Fourier A lg oritması hız oranı 0,503
•
•
bulunmuştur.
Ayrıca temel Hartley dönüşüm ve temel Fourier dönüşüm algoritmaları ile girişim
desenlerinin analizi sonucunda elde edilen 3B görüntülerin aralarındaki farklar RMS Hata
cinsinden hesaplanmıştır.
Obje 1 için Şekil 3.22’de verilen Hartley dönüşümü ile Obje 1’in elde edilen görüntüsü ve
Şekil 3.23’deki Fourier dönüşümü ile Obje 1’in elde edilen görüntü arasındaki hata grafiği
Şekil 3.32’de verilmiştir.
77
Şekil 3.32 Obje 1 için Hartley ve Fourier algoritmaları ile bulunan 3B görüntülerin
aralarındaki farkların RMS hata cinsinden verilen grafiği.
Şekil 3.32’den görüldüğü gibi Obje 1 için Hartley ve Fourier algoritmaları ile bulunan 3B
görüntülerin aralarındaki farkların (hata oranı) 10 −15 mertebesinde olduğu tespit edilmiştir.
Obje 2 için Şekil 3.26’da verilen Hartley dönüşümü ile Obje 2’nin elde edilen görüntüsü ve
Şekil 3.27’deki Fourier dönüşümü ile Obje2’in elde edilen görüntü arasındaki hata grafiği
Şekil 3.33’te verilmiştir.
Şekil 3.33 Obje 2 için Hartley ve Fourier algoritmaları ile bulunan 3B görüntülerin
78
Şekil 3.33’ten görüldüğü gibi Obje 2 için Hartley ve Fourier algoritmaları ile bulunan 3B
görüntülerin aralarındaki farkların (hata oranı) 10 −16 mertebesinde olduğu tespit edilmiştir.
Obje 3 için Şekil 3.30’de verilen Hartley dönüşümü ile Obje 3’ün elde edilen görüntüsü ve
Şekil 3.31’deki Fourier dönüşümü ile Obje 3’in elde edilen görüntü arasındaki hata grafiği
Şekil 3.34’te verilmiştir.
Şekil 3.34 Obje 3 için Hartley ve Fourier algoritmaları ile bulunan 3b görüntülerin
Şekil 3.34’ten görüldüğü gibi Obje 3 için Hartley ve Fourier algoritmaları ile bulunan 3B
−16
görüntülerin aralarındaki farkların(hata oranı) 10 mertebesinde olduğu tespit edilmiştir.
Tüm bu RMS Farklardan ortaya çıkan sonuç, Hartley ve Fourier dönüşümlerine dayalı
−16
algoritmalar ile elde edilen görüntüler arasında 10 mertebesinde fark olduğudur.
79
80
BÖLÜM 4
SONUÇLAR
Bu tezde optik girişim desenlerinin analiz yöntemlerinden olan Fourier tekniğine alternatif
olarak Hartley dönüşümüne dayalı yeni bir teknik önerilmiştir. Tez sonucunda amaçlanan
hedef, optik girişim deseni algoritmalarından biri olan Fourier tekniğinin yerine Hartley
dönüşümüne dayalı algoritmayı kullanarak temeli girişimölçere dayalı sistemlerin hızını iki
kat daha hızlı olacak düzeye ulaştırmaktır. Yapılan çalışmalar sonucunda bu hedefe
ulaşılmıştır, çünkü daha öncede söylendiği gibi Hartley dönüşümü gerçel çekirdeğe; Fourier
dönüşümü ise karmaşık çekirdeğe sahiptir. Bu hedefi MATLAB ortamında temel ayrık
Hartley ve temel ayrık Fourier algoritmaları kullanarak gerçekleştirmiş bulunuyoruz.
Bölüm 2.3 Analiz Sonuçları konusunda Hartley ve Fourier algoritmalarının hız açısından
karşılaştırılması yapılmıştır. Burada teorik olarak
HARTLEY
FOURIER
DONUSUMU
DONUSUMU
hız oranı
ortalama 0,50-0,75 arasında bulunmuştur. Hızın kullanılan programlama dili, kullanılan
derleyici ve programlama planlarına göre 0,50-0,75 arasında değişebileceği görülmüştür.
Nitekim FFTW kütüphanesi ile yapılan ölçümlerde bu oran 0,74 çıkmıştır. MATLAB
ortamında bu oran 0.5 ile 0,6 arasında değişmektedir
Diğer taraftan Hartley ve Fourier dönüşümlerine dayalı Algoritmalar elde edilen bilgilerin
RMS Hata değerleri karşılaştırılmıştır. Hartley algoritması ve Fourier algoritmasıyla elde
edilen fazlar ile sayısal olarak eklenen faz arasındaki RMS Hata oranları 4.3908e-006
mertebesinde iken, Hartley ile elde edilen faz ve Fourier ile elde edilen faz arasındaki RMS
hata (fark) 7.5065e-018 mertebesindedir. Sayısal olarak elde edilen faz bilgisi ile Hartley
−6
dönüşümü ve Fourier dönüşümü algoritmaları ile elde edilen faz arasındaki 10
mertebesindeki RMS hata oranları kabul edilebilir derecededir. Diğer yandan 3B görüntü
ölçer sistemi çalışmasında Hartley ve Fourier algoritmalarıyla elde edilen 3B görüntüler
−16
arasındaki fark oranları 10 mertebelerinde çıkmıştır.
81
Hartley dönüşümü algoritması ve Fourier dönüşümü algoritması arasında girişim deseni
−16
−18
analizi sonuçlarının 10
ila 10
mertebesinde farklılık gösterdiği saptanmıştır. Bu
beklenen bir sonuçtur. Çünkü Bölüm 2.3.2’de tek satır ayrık zamanlı bir x(n) giriş için
Hartley dönüşümü ile elde edilen Fourier dönüşümü, direk olarak Fourier ile alınan dönüşüm
−16
−18
ile aynı olduğu gözlemlenmişti. 10
ila 10
mertebesindeki farklar ihmal edilebilir olup,
Fourier algoritması ve Hartley algoritması sonuçlarının benzer olduğunu göstermektedir.
Sonuç olarak Fourier dönüşüm tekniği algoritmasının hızında, hata oranlarında bozulma
yaratılmadan Hartley dönüşümü algoritması kullanılarak önemli bir iyileştirme sağlanmıştır.
Böylece Fourier dönüşüm tekniğini sinyal analizi algoritması olarak kullanan temeli
girişimölçere dayalı sistemlerin hızı iki katına çıkarılmıştır. Verilerin depolanması açısından
kullanılan algoritmalarda Hartleyin Fouriere göre avantajı bulunmadığı gözlenmiştir. Çünkü
Hartley algoritması içerisinde ters dönüşüm sırasında faz bilgisini elde etmek için Fourier
Dönüşümüne yani karmaşık sayıya dönülmektedir. Hartley dönüşümünün, Fouriere olan diğer
bir üstünlüğü ileri ve ters dönüşümlerinin benzer olmasıdır. Böylece ileri ve ters dönüşümler
için ayrı kod parçacıkları yazmaya gerek kalmamıştır.
Bu çalışmada temel Hartley dönüşümü ve hazır kütüphanelerden yararlanılmıştır. Đleriki
çalışmalarda radix-2, radix-4, split-radix gibi hızlı dönüşüm alma algoritmaları kullanarak
optik girişim deseni analiz programının tamamını bir paket program olarak tasarlamak
planlanmaktadır. Programlama dili olarak C++ ve 2B ve 3B grafik çizimleri için OpenGL
(Open Graphics Library- Açık Grafik Kütüphanesi) ‘in kullanılması düşünülmektedir. Bu
girişimölçerler için yazılacak yeni paket programda, dönüşüm algoritmaları için kullanılan
kod parçacıkları sadece istenen amaca yönelik olacağından, arzu edilen hıza ve verime
sistemin kavuşacağı düşünülmektedir.
82
KAYNAKLAR
Abdul-Rahman H. (2007) Three-Dimensional Fourier Fringe Analysis and Phase
Unwrapping,PhD Thesis (unpublished), General Engineering Research Institute
(GERI), Liverpool John Moores University
Wilson J, Hawkes J (1998) Optoelectronics, Çeviri: Dr. Đbrahim Okur, Değişim Yayınları
518 s.
Agaian S S and Caglayan O (2007) New Fast Hartley Transform With Linear Multiplicative
Complexity, Multimedia and Mobile Signal Processing Laboratory, University of Texas
at San Antonio
Bi G (1994) Split-radix algorithm for the discrete Hartley transform, Electron. Lett., vol. 30,
pp. 1833–1835
Bi G (1997) New Split-Radix Algorithm for the Discrete Hartley Transform, IEEE
Transactions on Signal Processing, vol. 45, no. 2
Bouguezel S, Ahmad M O and Swamy M N S (2004) A New Split Radix FHT Algorithm
for Length q*2m DHTs, IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. 51, no. 10
Chan Y H and Siu W C (1991) New fast discrete Hartley transform algorithm, Electron.
Lett., vol. 27, pp. 347–349
Duhamel P and Vetterli M (1987) Improved Fourier and Hartley transform algorithms:
Applications to cyclic convolution of real data, IEEE Trans. Signal Processing, vol. 35,
pp. 818–824
Goldman S (1948) Frequency Analysis, Modulation and Noise, McGraw-Hill
Hartley R V L (1942) A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission
problems, Proc. IRE(Institute of Radio Engineers), vol. 30, pp. 144-150
Hecht (2005) Optics, Çeviri: Prof. Dr. Nizamettin Armağan, Doç Dr. Nurdoğan Can,
Akademi Yayın Hizmetleri,
R N Bracewell (1983) The Discrete Hartley Transform, Journal of Optical Society of
America, vol. 73, pp. 1832-1835
R N Bracewell (1984) The Fast Hartley Transform, Proc. IEEE, vol. 72, pp. 1010-1018
RN Bracewell (1985) The Hartley Transforms, England, Oxford University Pres
Sorensen H V, Jones D L, Burrus C S and Heideman M T (1985) On computing the
discrete Hartley transform, IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing, vol. ASSP33, pp. 1231–1238
83
KAYNAKLAR (devam ediyor)
Tulsiani Deepti (2005) A Fringe Projection System for Measurement of Condensing Fluid
Films in Reduced Gravity, M.S. Thesis (unpublished),, Worcester Polytechnic Institute
URL-1 (2010) http://tr.wikipedia.org/(Erişim Tarihi: 02.04.2010)
URL-2 (2010) http://tr.wikipedia.org/wiki/Giri%C5%9Fim%C3%B6l%C3%A7er(Erişim
Tarihi: 08.04.2010)
URL-3 (2010) http://www.nanoed.org/concepts_apps/Optical_Tweezers/part3_image003.jpg
(Erişim Tarihi: 12.04.2010)
URL-4 (2010) www.physics.gatech.edu/gcuo/lectures/ModernPhysicsLectures/MP03 Interference.
ppt georgia technical,Coherence and Interference (Erişim Tarihi: 07.05.2010)
URL-5 (2010) : http://spinspanner.com/wp-content/uploads/double-slit-top-view.jpg(Erişim
Tarihi: 12.05.2010)
URL-6 (2010) : http://www.sparknotes.com/physics/optics/phenom/section1.rhtml (Erişim
Tarihi: 17.05.2010)
URL-7 (2010) http://www.turkcadcam.net/rapor/3d-optik-tarama/index.html (Erişim Tarihi:
22.05.2010)
84
EK AÇIKLAMALAR A
ATOMLAR VE IŞIK
85
86
A.1 ATOMLAR VE IŞIK
Işıma enerjisinin, özellikle ışığın, doğal yayınlanmasından ve soğurulmasından sorumlu en
önemli mekanizma , atomlar içine hapsedilmiş elektronlar şeklindeki bağlı yüktür. Her
atomun artı yüklü çekirdeği etrafını saran bu minik yüklü tanecikler, belli bir uzaklıkta ince
bir yük bulutu oluştururlar. Maddenin kimyasal ve optiksel davranışlarının çoğu, en dış veya
valans (değerlik) elektronları ile belirlenir. Bulutun geri kalanı, doğal olarak çekirdek
etrafında ve çekirdeğe sıkıca bağlı “kapalı” fazlaca tepki vermeyen tabakalar oluşturur. Bu
kapalı veya dolu tabakalar belirli sayıda elektron çiftlerinden meydana gelir. Bir atom ışıma
yaptığında iç kısmında ne olup bittiği tamamen açık değilse de, elektron bulutunun en dış yük
dağılımındaki yeniden düzenlemeler sırasında ışık yayınlandığı iyi bilinmektedir. Dünyadaki
ışık kaynaklarının esası çoğunlukla bu mekanizmadır.
Herhangi bir nedenle bir atoma (tipik olarak değerlik elektronuna) yeterli enerji verildiğinde,
atom düşük enerji düzeyinden yüksek enerji düzeyine aniden yükselerek bir tepki gösterebilir.
Genellikle elektron, taban hali yörüngesinden iyi belirlenmiş uyarılmış hallerden birine, enerji
merdiveninin kuantum basamaklarından birine, çok hızlı bir geçiş, bir kuantum atlaması,
yapar. Kural olarak, bu süreçte alınan enerji miktarı ilk ve son haller arasındaki enerji farkına
eşittir ve bu, özgül ve belirgin olduğundan bir atom tarafından soğurulabilen enerji miktarı
kuantumludur(yani belli miktarlarla sınırlıdır). Bu atom uyarılması, kısa süreli bir rezonans
−8
−9
olayıdır. Genellikle, yaklaşık 10 veya 10 s sonra, uyarılmış atom kendiliğinden daha
düşük bir hale, çoğunlukla taban haline, uyarma enerjisini yol boyunca kaybederek geçer.
Enerjinin bu yeniden düzenlenmesi, ışık yayınlanması veya (özellikle yoğun maddelerde)
ortamdaki atomlar arası çarpışmalarla ısı enerjisine dönüşmesi şeklinde olabilir.
Atomsal geçişe ışık yayımlanması eşlik ederse fotonun enerjisi atomun kuantumlu enerji
azalmasına tam eşit olur. Bu hem foton, hem de belli iki hal arasındaki atom geçişi ile ilgili,
∆ε = hν ile verilen belli bir frekansa karşılık gelir. Buna rezonans frekansı denir ve böyle
birçok (her birinin ayrı bir meydana gelme olasılığı vardır) vardır. Bu frekansta atom çok
etkin olarak enerji yayar veya soğurur. Atom, elektron yer değiştirmesi ile bir enerji kuantumu
yayınlar.
87
10 −8 s’lik sürede ne olup bittiği açık olmamakla birlikte, yörünge elektronunun aşağı doğru
enerji geçişini, belli rezonans frekansında bir sönümlü titreşim hareketiyle gerçekleştirdiğini
−8
düşünmek yararlı olabilir. O halde yayımlanan ışık, yarı klasik yolla yaklaşık 10 s den daha
kısa ömürlü kısa bir titreşim atması veya dalga paketi şeklinde yayınlanmış gibi göz önünde
canlandırılabilir.
88

i OPTİK FAZ ELDESİNDE HARTLEY DÖNÜŞÜMÜNÜN

Transkript

Benzer belgeler

Siemens Miyabi sistemini kullanarak hepatoselüler karsinomanın

Fizik-1 Uygulama-5

çeşitli yöntemlerle kurutulmuş hünnaptan bisküvi ve kurabiyeler için

İNTERNET ÜZERİNDEN EĞİTİM`DE EĞİTİM PLATFORMU

GOT-It 2.0.1 ile Elektromanyetik Sistemlerin

Mutfak tipi bir mikrodalga fırının mikroişlemci ile kontrolü

2014/2 MÜHENDİSLİK BÖLÜMLERİ FİZİK 2 UYGULAMA 2 (Gauss

3D Bilgisayar Grafikleri