Halil Erkaya

Transkript

Halil Erkaya

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
İNŞAAT FAKÜLTESİ
JEODEZİ VE FOTOGRAMETRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
YÜKSEKLİK
ÖLÇMELERİ
(DERS NOTLARI)
Doç. Dr. Halil ERKAYA
Ölçme Tekniği Anabilim Dalı Öğretim Üyesi
İSTANBUL - 2006
İçindekiler
İÇİNDEKİLER
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ …………………………………….
Yükseklik Kavramı ……………………………………………….
Yükseklik Sistemleri …………………………………………….
Bilimsel Yükseklikler …………………………………………….
Geopotansiyel Yükseklik ……………………………………….
Dinamik Yükseklik ..…………………………………………….
Ortometrik Yükseklik …………………………………………….
Pratik Yükseklikler ……………………………………………….
Normal yükseklik …………………………………………….…
Normal Ortometrik Yükseklik (Sferoidik Ortometrik Yükseklik)
Elipsoidal Yükseklik ……………………………………………
Nivelman Ağları …………………………………………………..
Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı (TUDKA) …………………
Nivelman Ağlarının Derecelendirilmesi ………………………
Nivelman Kapanma Hataları ………………………………….
Nivelman Ölçülerinin Değerlendirilmesi ……………………….
1
1
3
3
6
7
8
10
11
12
13
14
15
17
18
19
2.1.
2.1.1.
2.1.1.1.
2.1.1.2.
2.1.1.3.
2.1.1.4.
2.1.2.
2.1.2.1.
2.1.2.2.
2.1.2.3.
2.1.2.4.
2.1.2.5.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
GEOMETRİK NİVELMAN ……………………………………
Nivolar ……………………………………………………………
İncelikleri Yönünden Nivelman Aletleri …………………………
Düşük İncelikli Nivolar (İnşaat Nivoları) ……………………….
Orta İncelikli Nivolar ……………………………………………
Yüksek İncelikli Nivolar ………………………………………….
Çok Yüksek incelikli Nivolar …………………………………….
Yapıları Bakımından Nivelman Aletleri ………………………
Eğim Vidalı Nivolar ………………………………………………
Kompensatörlü (Otomatik) Nivolar ……………………………
Sayısal (Elektronik Sayısal) Nivolar …………………………..
Lazer Nivoları …………………………………………………….
Optik Mikrometreli Nivolar ………………………………………
Nivelman Miraları ……………………………………………….
Miraların Kontrolü ……………………………………………….
Mira Altlıkları (Mira Pabucu, Mira Çarığı) …………………….
Nivoların Kontrolü ve Eksen Koşulları …………………………
Nivoların Yatay Gözlem Çizgisinin Yataylığının Kontrolü …..
Nivolarda Eksen Koşulları ………………………………………
20
20
23
24
24
24
24
25
25
26
28
30
32
33
34
35
36
36
36
1.
1.1.
1.2.
1.2.1.
1.2.1.1.
1.2.1.2.
1.2.1.3.
1.2.2
1.2.1.4.
1.2.1.5.
1.2.1.6.
2.
I
İçindekiler
2.3.2.1.
2.3.2.2.
2.4.
2.5.
2.5.1.
2.5.2.
2.5.3.
2.5.4.
2.6.
2.6.1.
2.6.2.
2.6.3.
2.7.
2.8.
2.8.1.
2.8.2.
2.8.3.
2.8.4.
2.8.4.1.
2.8.4.2.
2.8.4.3.
2.8.4.4.
2.9.
2.9.1.
2.9.2.
3.
Küresel düzeç ekseni, düşey eksene paralel olmalıdır ……..
Nivelmanda Teme Koşul, Gözlem Ekseninin Yatay Olması ...
Nivelman Noktalarının Tesisi …………………………………...
Doğrultu (Hat) Nivelmanı ………………………………………
Açık Nivelman ……………………………………………………
Dayalı Nivelman …………………………………………………
Kapalı Nivelman ………………………………………………...
Gözlem Düzlemi Yüksekliğine Göre Nivelman ………………
Yüzey Nivelmanı ………………………………………………...
Kareler Ağı Yöntemiyle Yüzey Nivelmanı …………………….
Işınsal (Kutupsal) Nivelman ……………………………………
Hacim Hesabı ……………………………………………………
Hassas Nivelman ……………………………………………….
Kesit Nivelmanı …………………………………………………
Boy Kesit …………………………………………………………
En Kesit ………………………………………………………….
Cross Yöntemine Göre Kesitlerle Alan Hesabı ………………
Kesitlerle Hacim Hesabı ………………………………………..
Kesitlerin İkisi de Dolgu ya da Yarma ………………………...
Kesitlerin Biri Dolgu Diğeri Yarma ……………………………
Kesitlerin Biri Dolgu ya da Yarma Diğeri Karışık ……………
Kesitlerin İkisi de Karışık ……………………………………….
Nivelmana Etki Eden Hatalar ………………………………….
Düzenli (Sistematik) Hatalar …………………………………...
Düzensiz (Tesadüfî) Hatalar ……………………………………
TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ …………………
3.1.
Düşey Açı ………………………………………………………...
3.1.1.
Gösterge (Düşey Kolimasyon) Hatası …………………………
3.1.2.
Düşey Açı Ölçümü ve Hesabı ………………………………….
3.2.
Kısa Mesafede (S<250 m) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü ..
3.2.1.
Kule Yüksekliği Ölçümü …………………………………………
3.2.1.1. S Uzunluğu Ölçülüyor …………………………………………..
3.2.1.2. S Uzunluğu Ölçülemiyor ……………………………………….
3.2.2.
Trigonometrik Nivelman ………………………………………..
3.2.3.
İki Nokta Arasındaki Uzunluğu Ölçmeden Yükseklik Farkının
Bulunması ………………………………………………………..
II
37
37
40
40
41
42
43
43
45
46
47
49
50
52
52
54
57
57
57
58
59
60
61
61
64
65
65
66
67
68
69
69
70
72
73
İçindekiler
3.2.4.
3.3.
3.3.1.
3.4.
3.5.1.
Kısa Uzunluklarda Trigonometrik Yükseklik Ölçümünde İncelik
Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman …….
Işığın Kırılma (Refraksiyon) Katsayısının (k) Belirlenmesi ….
Karşılıklı Gözlemlerle İki Nokta Arasındaki Yükseklik Farkı …
Zenit Açılarının Zemin Noktasına İndirgenmesi ……………..
74
75
77
78
81
4.1.
4.1.2
TAKİMETRİ ………………………………………………..…….
Takimetrik Alımın Yapılışı ……………………………………...
Uzunlukların Optik Olarak Ölçülmesi ……………………….
82
83
84
4.
III
Yükseklik Sistemleri
1. BÖLÜM
YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ
1.1. Yükseklik Kavramı
Yeryüzünün şekli denilince, katı ve sıvı dünya kitlesinin atmosfer ile olan sınırı
anlaşılır. Katı kısımlar girinti ve çıkıntılar nedeniyle düzgün bir yüzey değildir. Genel
olarak yüzeyler, normalleri yardımıyla incelenebilir. Yeryüzü normalleri, ağırlık kuvveti
doğrultusundadır. Ağırlık kuvvetinin doğrultusu uygulamada çekül doğrultusuyla
gösterilir. Çekül doğrultusunun ölçmelerdeki rolü çok önemlidir. Ölçme aletlerinin
düşey eksenleri çekül doğrultusuna göre düzenlenir (Ulsoy, 1977).
Yeryüzündeki noktaların yüksekliklerini tanımlayabilmek için, bir başlangıç yüzeyi ve
bu yüzeye dik doğrultuların saptanması gerekir. Yeryüzünde en kolay belirlenebilen
doğrultular, çekül doğrultularıdır. Bilindiği gibi durgun bir sıvı yüzeyi çekül
doğrultusuna diktir. Çekül doğrultuları da her noktada denge halindeki deniz yüzeyine
diktir. Karaların altında da devam ettiği düşünülen denge halindeki deniz yüzeyi,
başlangıç yüzeyi yani sıfır yükseltili yüzey olarak alınabilir ve bu yüzey Geoit olarak
adlandırılmıştır. Buna göre yükseklik, yeryüzü noktalarının çekül doğrultusunda
başlangıç yüzeyine yani geoide olan uzaklığıdır. Başlangıç yüzeyinin altında bulunan
noktaların çekül doğrultusunda geoide olan uzaklıkları da derinlik olarak adlandırılır.
Noktalar arasındaki yükseklik farklarının ölçülmesi işine nivelman denilmektedir.
Uygulamada kullanılan nivelman yöntemleri şunlardır:
1. Geometrik Nivelman: Geometrik nivelmanda, noktaların düşey doğrultuda yatay
bir düzleme olan uzaklıkları ölçülmekte ve bu uzaklık farklarından iki nokta
arasındaki yükseklik farkları elde edilmektedir. Nivelmanda incelik (doğruluk)
genel olarak 1 km’lik nivelman yolunda gidiş-dönüş ölçü farklarından bulunan
standart sapma değeri ile ifade edilmektedir. Geometrik nivelmanda incelik 1
km’de ±1mm ile ±20 mm arasındadır. Hassas nivelmanda ise incelik, 1 km’de
±0.2 mm ile ±0.5 mm arasındadır.
1
Mira
Mira
Nivelman
düzlemi
∆h= HB - HA= geri-ileri= g-i
∆h= g - i
i
g
B
∆h
A
Şekil 1.1 Geometrik nivelman
Geometrik nivelman, her türlü mühendislik uygulamalarında ve teknik hizmetlerde
kullanılır. Yüksek incelik istenen köprü, baraj vb. mühendislik yapılarında düşey
yöndeki deformasyonların belirlenmesinde ve ülke birinci ve ikinci derece
nivelman ağlarının ölçümünde hassas nivelman yöntemi kullanılır.
2. Trigonometrik Nivelman: Trigonometrik nivelmanda yükseklik farkları basit
olarak, iki nokta arasındaki uzunluk ile düşey açıdan yararlanılarak elde
edilmektedir. Bu yöntemde incelik 1 km’de ±1cm ile ±10 cm arasındadır.
Trigonometrik nivelman, daha çok konum koordinatlarının elde edilmesi için
oluşturulan jeodezik ağlarda nokta yüksekliklerinin belirlenmesinde, sağladığı
incelik yeterli olduğu sürece mühendislik hizmetlerinde ve geometrik nivelmanın
uygulanamadığı dağlık arazideki her türlü yükseklik ölçmesinde uygulanır.
Z
h
i
B
A
t
HB = HA + i + h – t
h = S*cotZ
HB = HA + i +S*cotZ – t
∆H
s
Şekil 1.2 Trigonometrik nivelman
3. Barometrik Nivelman: Hava basıncı, deniz seviyesinden yukarılara doğru
çıktıkça düşmektedir. Hava basıncı ölçülerek barometrik yükseklik elde
edilmektedir. Barometrik nivelmanda iki nokta arasındaki yükseklik farkı ± 1-2 m
incelikle bulunur. Barometrik nivelman yalnızca keşif işlerinde kullanılır.
4. Hidrostatik Nivelman: Fizikteki birleşik kaplar ilkesinden yararlanılarak
geliştirilen hortumlu su düzeci denilen aletlerle, noktalar arasındaki yükseklik
farkları ± 0.01 mm incelikle ölçülebilmektedir. Genel olarak hidrostatik nivelman,
hortumlu su düzeçleri ile basit şantiye ölçmelerinde; hassas hortumlu su düzeçleri
ile çok yüksek incelik gerektiren makine aplikasyonlarında ve kapalı yerlerde
düşey yöndeki deformasyonların ölçülmesi işlerinde başarıyla kullanılmaktadır.
2
1.2. Yükseklik Sistemleri
Ülke nivelman ağlarının hesabında, önceleri durgun deniz yüzeyinin başlangıç olarak
alınabileceği düşünülür; fakat bir çok ülkenin nivelman ağlarının birleştirilmesi ile elde
edilen sonuçlar, bu kanının sarsılmasına neden olur. Örneğin, 1862’deki ölçümlere
göre Atlantik seviyesi, Akdeniz seviyesinden 64 cm daha yüksek bulunur. Nivelman
sonuçlarına normal ağırlık ivmesi ile ortometrik düzeltmeler getirilince iki seviye
arasındaki farkın çok daha az olduğu görülür. Yapılan hesaplamalardan çeşitli deniz
seviyeleri arasındaki farkın ölçü hataları içinde kaldığı kanaatine varılır. Böylece her
ülkenin kendi nivelman ağının en yakın deniz seviyesine bağlanması gereği ortaya
çıkar (Ulsoy, 1976).
Geoit başlangıç olmak üzere, farklı yollardan gidilerek bir noktanın yüksekliği
nivelmanla belirlense, sonuçların eşit olmadığı görülür. Nivo yüzeyleri birbirlerine
paralel olmadıkları için nivelman sonuçları yola bağımlıdır. Yüksekliklerin açık ve
kesin biçimde tanımlanması için yalnızca yükseklik farklarının ölçülmesi yeterli olmaz;
nivelman yolları boyunca ağırlık (yerçekimi ivmesi) değerlerinin de ölçülmesi gerekir.
Problemin çözümü için yükseklikler, ya potansiyel değerlerden dönüştürülür ya
da ölçülen yükseklik farklarına bir düzeltme getirilerek elde edilir (Demirel,
1983).
Geoidin denklemi, ağırlık kuvveti ve onun potansiyeli ile açıklanabilir. Kitle yoğunluğu
sürekli olduğu sürece geoidin eğriliği de süreklidir. Yoğunluğun ani değişikliğe
uğradığı yerlerde geoidin eğriliği de değişir. Geoidin yeryüzü noktalarına göre
konumu kesin olarak bilinmediğinden yüksekliklerin belirlenmesi için çeşitli hipotezler
ortaya atılmıştır. Yükseklikler, bilimsel yükseklikler ve pratik yükseklikler olarak
sınıflandırılır.
1.2.1. Bilimsel Yükseklikler
Yeryüzündeki herhangi bir noktanın geoide olan uzaklığı, noktadan geoide indirilen
normal eğrisinin uzunluğu ile veya geoidden noktaya erişmek için kullanılacak iş
veya potansiyel yöntemleri ile tanımlanabilir. Sıfır yükseltili yüzey olarak geoidin
alındığı daha önceden belirtilmişti. Nokta yüksekliklerini çekül doğrultusunda ölçmek
üzere sıfır yükseltili bir yüzey şöyle de tanımlanabilir: Bir m kütlesi yerçekimi kuvveti
doğrultusunun ters yönünde, yeryüzünde bir A noktasından dh yüksekliğine
çıkarılırsa dA işi yapılır.
dA=m·g·dh
[gr·cm2·saniye-2]
(1.1)
3
Burada g, A noktasındaki yerçekimi ivmesi (ağırlık) ve dh, geometrik nivelmanla
bulunan yükseklik farkıdır. m kütlesi yerçekimi kuvveti doğrultusuna dik yönde
hareket ettirilirse hiçbir iş yapılmış olmaz. Çünkü dh=0 dır. O halde bir m kütlesinin
üzerinde taşınmasıyla hiçbir iş yapılmayan yüzey sıfır yükseltili bir yüzeydir. Bu
şekilde sonsuz sayıda yüzey bulunabilir ve bunlara nivo yüzeyi de denir. Geoit de bu
nivo yüzeylerinden biridir.
m kütlesi, bir nivo yüzeyinden başka bir nivo yüzeyine taşınırsa, hangi yoldan gidilirse
gidilsin aynı iş yapılır. Örneğin, aşağıdaki şekilde D noktası, A noktasından geçen
nivo yüzeyinde, C noktası da B noktasından geçen nivo yüzeyi üzerinde alınmıştır ve
noktalar, BA, CD çekül doğrultuları üzerindedir. Bir m kütlesi önce ABC yoluyla A
noktasından C noktasına, sonra da ADC yoluyla A noktasından C noktasına taşınsın.
C
B
g1
dh1
A
g2
dh2
D
ABC yolundan geçerken yapılan iş dA1=m·g1·dh1
ADC yolundan geçerken yapılan iş dA2=m·g2·dh2
dA1=dA2 olmalıdır. Bu durumda,
m·g1·dh1= m·g2·dh2
g1·dh1= g2·dh2
olur.
Şekil 1.3 Nivo yüzeyleri
Yeryüzünde yerçekimi ivmesi sabit olmayıp, coğrafi enlem ve yüksekliğe bağlıdır. Bir
nivo yüzeyinin değişik noktalarında yerçekimi ivmeleri farklı yani g1≠g2 olduğundan
dh1≠dh2 olur. Bu da bize, iki nivo yüzeyinin birbirine paralel olmadıklarını
gösterir. Bu nedenle yüksekliklerin bulunmasında g nin göz önünde bulundurulması
gerekir. Buna karşın sarkıtılan çekülün ipi, nivo yüzeylerine diktir ve bu ip bir doğru
olmayıp uzay eğrisi olacaktır. Bu eğriye çekül eğrisi denir (Aydın, 1997).
Yeryüzünün herhangi bir noktasındaki yerçekimi ivmesine bağlı olarak o noktanın
potansiyeli W olan skaler bir büyüklük tanımlanmıştır. Nokta çekül doğrultusunun
tersine yani yüksekliği artarak hareket ettirilirse potansiyeli azalır. Bu durumda iş ve
potansiyel ters orantılı kavramlardır. İş ve potansiyel arasındaki ilişki
-m·dW= dA
(1.2)
bağıntısıyla verilmektedir. Buna göre;
[
]
dA
m ⋅ g ⋅ dh
=−
= −g ⋅ dh
cm 2 ⋅ san −2
(1.3)
m
m
olur. Bu durumda bir birim kütlenin kaldırılması ile yapılan iş, sayısal değer olarak
kaybedilen potansiyele eşittir. İki nivo yüzeyi arasındaki potansiyel farkı sabit
olduğundan,
dW = −
− dW = g1 ⋅ dh1 = g 2 ⋅ dh2 = g i ⋅ dhi = C = Sabit
4
(1.4)
yazılır. Burada, dhi=0 olursa C=0 olur. Halbuki C≠0 olduğundan dhi≠0 olur. Bu da
bize, iki nivo yüzeyi arasındaki yükseklik farkının sıfır olmadığını, yani nivo
yüzeylerinin kesişmediğini gösterir. Bir nivo yüzeyinde birim kütlenin taşınması ile
hiçbir iş yapılmadığına göre hiçbir potansiyel kaybı da olmaz. Yani bir nivo yüzeyinin
her noktasında potansiyel değeri sabittir. Bu nedenle nivo yüzeylerine eş
potansiyelli yüzeyler de denir.
Sonsuz uzaklıkta bulunan bir noktanın potansiyeli sıfırdır. Bir birim kütlenin sonsuz
uzaklıktan bir nivo yüzeyine taşınması ile açığa çıkarılan iş, sayısal değer olarak o
nivo yüzeyindeki bir noktanın potansiyeline eşittir∗.
Nivo yüzeyinin genel denklemi, W=C=Sabit biçiminde yazılabilir ve ancak seriye
açılımla çözülür. Bu serinin küçük terimleri toplamı T ile gösterilirse W=U+T olur. W
yerine potansiyeli U=C=sabit olan bir yüzey düşünülürse bu yüzeye nivo sferoidi
denir. Nivo sferoidi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi γ ile gösterilir ve buna
normal ağırlık adı verilir. Nivo yüzeyi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi olan g
hesap yoluyla bulunamadığı halde nivo sferoidi üzerindeki bir noktanın yerçekimi
ivmesi olan γ, yani normal ağırlık hesap yoluyla bulunabilir. Yerçekimi ivmesi, coğrafi
enleme ve yüksekliğe bağlıdır.
Pi ve P noktaları arasındaki potansiyel farkı, dW=-gi·dhi idi. Bu eşitliğin her iki
tarafının Pi noktasından P noktasına kadar integrali alınırsa,
P
P
Pi
Pi
∫ dW = − ∫ g ⋅ dh = WP − WPi
Pratikte integral hesabı yerine bir toplam ile yetinilmesinden dolayı,
P
P
Pi
Pi
WP − WPi = − ∫ g ⋅ dh = −∑ g i ⋅ dhi
∗
(1.5)
Potansiyel enerji, bir sistemi oluşturan bölümlerin birbirlerine göre konumlarına bağlı olan,
depolanmış durumdaki enerji. Potansiyel enerji tek bir cisme ya da parçacığa değil, bir sisteme özgü
bir niteliktir. Örneğin, top ile Yer’den oluşan bir sistemin potansiyel enerjisi bu iki cisim birbirlerinden
uzaklaştırıldıkça artar. Topu yeryüzünden yukarı yükseltmek için yapılan iş, sistemin enerjisine eklenir
ve kütle çekimser potansiyel enerji olarak depolanır.
Yer’in yüzeyine yakın bölgelerde kütle çekimsel potansiyel enerji, cismin ağırlığı ile referans noktasına
göre yüksekliği çarpılarak hesaplanır. Bağlı sistemlerde, örneğin elektronların çekirdeğin elektriksel
çekim kuvvetiyle bağlı tutulmakta olduğu atomlarda, potansiyel enerji için sıfır referans noktası,
çekirdeğin elektriksel çekim kuvvetinin algılanamayacak kadar küçüldüğü, çok uzaktaki bir noktadır.
Bu durumda, bağlı elektronların potansiyel enerjisi negatiftir; çekirdeğin etkisinden tam kurtulmakta
olan hareketsiz bir elektronun potansiyel enerjisi ise sıfırdır (AnaBritannica, cilt:18, s:139, 2000 Ana
Yayıncılık A.Ş. İstanbul).
5
yazılır. γ0 herhangi bir enlemdeki normal ağırlık ivmesi olmak üzere yukarıdaki
eşitliğin sağına (-γ0+γ0) eklenir ve eşitliğin her iki tarafı da γ0 ile bölünürse eşitlik
bozulmaz. Böylece,
WP − WPi
γ0
P
= −∫
g −γ0 +γ0
Pi
γ0
dh
eşitliği elde edilir. Başlangıç noktasından kalkarak yine başlangıç noktasına
dönüldüğünde yukarıdaki eşitlik,
∫
g −γ0
γ0
dh + ∫ dh =
olur. Buradan da
∫
∫ dh ≠ 0
WA − WA
γ0
=0
olduğu görülür.
g − γ0
dh = − ∫ dh
γ0
(1.6)
değerine nivelman halkasının (ilmiğinin) kapanması denir (Erbudak ve Tuğluoğlu,
1976).
1.2.1.1.
Geopotansiyel Yükseklik (C)
dW = −g ⋅ dh
P
P
0
0
∫ dW = − ∫ g ⋅ dh
P
− ∫ g ⋅ dh = W0 − WP = CP
[kgal ⋅ m]
0
Şekil 1.4 Geopotansiyel yükseklik
eşitliği ile tanımlanan CP sayısına P noktasının geopotansiyel yüksekliği
(geopotansiyel sayısı) denilir. Burada, W0 geoidin, WP de yeryüzündeki bir P
noktasının potansiyelini ifade etmektedir. Geopotansiyel yükseklik birimi
kilogalmetre∗ olup aynı zamanda geopotansiyel birim (g.p.u) de kullanılmaktadır.
C geopotansiyel sayı ve G ortalama gravite (ağırlık) yardımıyla yükseklik sistemleri,
H=
C
G
(1.7)
genel formülü ile ifade edilmektedir. G yerine g , γ0 , γ , … gibi değerler verilerek
değişik yükseklik sistemleri tanımlanır. Noktaların ya da noktalardan geçen nivo
∗
Gal: özellikle kütle çekimi ölçümlerinde kullanılan ivme birimidir. 1 gal, hareket hızında saniye karede
1 cm değişikliğe eşittir (1 gal =1 cm·san-2). 1 kilogalmetre, 450 enlemindeki deniz seviyesinde 1 kg lık
bir kütleyi 1 metre yüksekliğe kaldırmak için gerekli işdir.
6
yüzeylerinin geoide göre durumlarını gösteren, geoit ile bu yüzeyler arasında
kilogal·metre biriminde ifade edilen geopotansiyel yükseklikler, geometrik ya da pratik
anlamda bir yükseklik olmayıp fiziksel anlamda büyüklüklerdir.
P noktasının geopotansiyel yüksekliği; P0 dan P ‘ye olan geçki üzerinde belirli aralıklı
noktalar arasındaki geopotansiyel yükseklik farkları (∆Ci) nın toplamıyla elde edilir.
K
CP = ∑ ∆C i
∆C i = g i ⋅ dhi
,
i =1
(1.8)
dhi, iki nokta arasındaki geometrik nivelman ile bulunan yükseklik farkı, g i söz
konusu iki yeryüzü noktası arasındaki ortalama gerçek gravitedir. Noktaların
geopotansiyel yükseklikleri belirlendikten sonra istenen yükseklik sisteminde nokta
yükseklikleri belirlenebilir. Ayrıca geometrik nivelman ölçülerine uygun düzeltmeler
(ortometrik düzeltme, normal düzeltme, dinamik düzeltme) getirilerek; düzeltmeye
karşılık gelen yükseklik sisteminde noktalar arasındaki yükseklik farkları doğrudan da
elde edilebilir.
Nivo yüzeylerinden her biri, geopotansiyel yüksekliklerin bir tek sayısal değeriyle
bellidir. Geoidin potansiyel yüksekliği sıfıra eşittir. C geopotansiyel kotların
hesaplanması için dağlık yörelerde her 0,5-1 km de, engebeli yerlerde 1-2 km de ve
düz yerlerde de her 3-5 km de bir g ağırlık ivmesi ölçülür (Erbudak ve Tuğluoğlu,
1976). Geopotansiyel yükseklikler, 1 kgal’e bölünürse metre biriminde sayısal değeri
değişmeyen bir büyüklük elde edilir. Geopotansiyel yükseklikleri metre biriminde
düşünmek onların fiziksel niteliğini değiştirmez.
1.2.1.2.
Dinamik Yükseklik (HD)
Dinamik yükseklik, H =
C
γ0
eşitliği ile tanımlanır. γ0, herhangi bir enlemdeki normal
ağırlık ivmesidir. Pratikte 45° enleminde deniz seviyesindeki ivme değeri olan
γ045 = 980.6294 gal değeri kullanılır (Aydın, 1997). H =
C
γ0
eşitliği yardımıyla A ve B
noktaları arasındaki ∆H yükseklik farkı,
∆H =
1
γ0
(C B − C A ) =
1
γ0
B
1
B
∫ g ⋅ dh = γ ∫ ( g − γ
A
0 A
0
B
B
A
A
+ γ 0 )dh = ∫ dh + ∫
g −γ0
γ0
dh
yazılır. Eşitliğin sağındaki ilk terim geometrik nivelmanla elde edilen yükseklik farkını,
ikinci terim ise,
B
B
g − γ0
g − γ0
dh ≈ ∑
dh
γ0
γ0
A
A
vD = ∫
(1.9)
7
dinamik yükseklik düzeltmesini ifade eder. Aynı nivo yüzeyi üzerindeki noktaların
dinamik yükseklikleri eşittir. Fiziksel boyutu olan geopotansiyel yükseklikler sabit bir
sayı γ 45 ile bölünerek metrik boyutu olan dinamik yükseklikler elde edilir. Dinamik
yüksekliklerin herhangi bir geometrik anlamı yoktur.
Geometrik nivelman ölçülerine dinamik düzeltme getirilerek dinamik yükseklik farkları
elde edilebilir. Ağırlık ivmesi*, ekvatordan kutuplara doğru 5 gal büyüklüğünde bir
değişmeye uğradığından, yükseklik düzeltmeleri de büyük olabilir. Örneğin,
ekvatorda 2000 metrelik yükseklik için,
γE − γ045
γ045
⋅ 2000 m =
978.049 − 980.6294
− 2.5804
⋅ 2000 m =
⋅ 2000 m = −5.26 m
980.6294
980.6294
olur. Dinamik yükseklik düzeltmesi özellikle dağlık bölgelerde büyük değerlere
ulaştığından, bu yükseklik sistemi uygulama açısından uygun değildir.
1.2.1.3.
Ortometrik Yükseklik (H)
Şekil 1.5 Ortometrik yükseklik
Ortometrik yükseklik, Yeryüzündeki bir noktanın çekül eğrisi boyunca geoide olan
uzaklığıdır ve g ortalama ağırlık ivmesi olmak üzere, H =
C
eşitliği ile ifade edilir.
g
Yeryüzündeki bir noktanın ortometrik yüksekliği doğrudan doğruya ölçülemez. Geoit
üzerindeki bir A noktasından C noktasına yapılan nivelman sonunda elde edilen
yükseklik farkı [∆h], nivelman yoluna ve dolayısıyla g yer çekimi ivmesine bağlıdır.
Yine geoit üzerindeki diğer bir B noktasından C noktasına yapılan nivelman sonunda
bulunan yükseklik farkı [∆h’] dır. Böylece C noktası için A dan ve B den farklı
nivelman yükseklikleri bulunmuş olur. Nivo yüzeyleri birbirlerine paralel olmadıkları
için C noktasının nivelmanla bulunan yükseklikleri [∆h] ve [∆h’], bu noktanın
ortometrik yüksekliği olan H ‘ya eşit değildir.
*
0
90
Normal ağırlık ivmesi, ekvatorda γ 0 = 978.049 gal ve kutupta γ 0 = 983.2213 gal dır.
8
Yükselti (nivo) yüzeyleri paralel olmadıklarından aynı yükselti yüzeyi üzerindeki
noktaların ortometrik yükseklikleri eşit değildir. Çekül eğrilerinin yeryüzü ile geoit
arasında kalan noktalarında ağırlıkları ölçmek ya da
belirlemek olanaksız olduğundan ortalama
hesaplanabilir. Örneğin, Helmert’e göre;
g ortalama değerini ölçümle
ağırlık
ivmesi,
çeşitli
yollardan
g P = g P + 0.0424 ⋅ H [km ]
(1.10)
formülü ile hesaplanır (şekil 1.6). Burada gP, P yeryüzü noktasında ölçülen gravitedir.
Ortometrik Düzeltme (vo) :
Ortometrik yükseklikler, geometrik nivelmanla bulunan yükseklik farklarına, bir
düzeltme getirilerek bulunur. Deniz seviyesinden oldukça yüksek olan bölgelerde,
kuzey-güney doğrultusunda bu düzeltmeler hissedilir derecede büyük değerlere
ulaşabilir. Uygulamada ortometrik düzeltmelerin toplam nivelman boyu yerine, iki
röper noktası arasındaki her parça için uygulanması uygundur. (Özgen, 1984).
w=wP
P
gP
B
A
h
2
hB , g B
hA , g A
h
B’
A’
w=w0
w=wP
w=w0
Şekil 1.6 Ortometrik düzeltme
Şekildeki A ve B noktaları arasında yapılan geometrik nivelman sonucunda elde
edilen
∑ ∆h
toplamına getirilecek düzeltmeyi hesaplamak için
∫ dh = 0
eşitliğinden
yararlanılır. Böylece,
A′
B′
B
A
A
A′
B′
B
∫ g ⋅ dh + ∫ g ⋅ dh + ∫ g ⋅ dh + ∫ g ⋅ dh = 0
(1.11)
B′
denklemi elde edilir. Aynı yükselti yüzeyi üzerinde,
∫ g ⋅ dh = 0 olduğundan,
A′
A
−∫
g −γ0 +γ0
γ0
A′
g −γ0 +γ0
B
dh + ∫
B′
γ0
B
dh − ∫
g −γ0 +γ0
γ0
A
dh = 0
ya da
A
−∫
A′
g −γ0
γ0
B
dh − H A + ∫
B′
g −γ0
γ0
B
dh + H B − ∫
A
elde edilir. Buradan,
9
g −γ0
γ0
B
dh − ∑ ∆h = 0
A
B
B
A
A
H B = H A + ∑ ∆h + ∑
g −γ0
γ0
dh +
gA − γ0
γ0
HA −
gB − γ 0
γ0
HB
yazılarak,
B
vD = ∑
A
g − γ0
g − γ0
g − γ0
dh + A
HA − B
HB
γ0
γ0
γ0
düzeltmesi elde edilir.
(1.12)
(Erbudak ve Tuğluoğlu, 1976). Düzeltme miktarını
hesaplayabilmek için önce, çekül eğrisi boyunca A noktasındaki g A
ve B
noktasındaki g B ortalama ağırlık ivmesi, örneğin (1.10) ‘a göre hesaplanır.
Gerek geopotansiyel yükseklikler gerekse dinamik yükseklikler, hem düzeltmelerinin
büyük olması hem de gerçek anlamda yükseklik ifade etmedikleri için teknik
yükseklikler olarak kullanılmaya elverişli değillerdir. Ortometrik yüksekliklere
getirilecek düzeltmeler de teknik nivelman sonuçlarının düzeltilmesini zorunlu kılacak
kadar büyüktür.
1.2.2.
Pratik Yükseklikler
Teknik nivelman sonuçlarına düzeltme getirme zorunluluğunu ortadan kaldırmak
amacıyla küçük düzeltmeli yükseklik sistemleri araştırılmış ve sonuçta pratik
yüksekliklerin bir dizisi geliştirilmiştir. Araştırmalar, bu sistemlerin küçük ya da belli bir
topografik yapıya uyan bölgelerde iyi sonuçlar verdiklerini, ama büyük ve dağlık
ülkeler için uygun düşmediklerini göstermektedir.
C : Geopotansiyel yükseklik
H : Ortometrik yükseklik
HN : Normal yükseklik
HNO : Normal ortometrik yükseklik
h : Elipsoidal yükseklik
N : Geoit yüksekliği (N=h-H)
ζ : Kuazigeoit yüksekliği (ζ=h-HN)
Şekil 1.7 Yükseklik sistemlerinin başlangıç yüzeyleri ve çeşitli yükseklikler
Molodenski tarafından 1945 de tanımlanan normal yükseklikler, teori ve uygulamanın
gereksinimlerini karşılayacak niteliktedir. Değişik yükseklik sistemlerini karşılaştırmak
amacıyla bazı nivelman poligonlarında yapılan incelemelerde normal yüksekliklere
ilişkin düzeltmeler, ötekilere oranla küçük çıkmaktadır. Şekil 1.7 de, çeşitli yükseklik
sistemlerinin başlangıç yüzeyleri ve bu yüzeylere göre tanımlanan yükseklikler
görülmektedir.
10
1.2.2.1.
Normal yükseklik (HN)
Yeryüzünün gerçek gravite alanının normal gravite alanı olduğu, yani W=U, g=γ, T=0
olduğu kabul edilsin. İşte bu varsayıma karşılık gelen ortometrik yüksekliklere normal
yükseklik adı verilir ve H N =
C
eşitliği ile ifade edilir. γ , çekül eğrisi boyunca olan
γ
ortalama gravitedir ve iteratif olarak aşağıdaki eşitlikten çözülür.
γ = γ ⋅ [ 1 − (1 + f + m − 2 ⋅ f ⋅ sin 2 φ ) ⋅
HN
HN 2
) ]
+(
a
a
ω2 ⋅ a ⋅ b
m=
kM
(1.13)
Burada γ, aynı ϕ enleminde elipsoit üzerindeki normal gravite, ϕ jeodezik enlem, f
basıklık, ω Yerin açısal dönme hızı, a ve b elipsoidin büyük ve küçük yarı eksenleri,
kM Newton çekim sabiti ile yerin kitlesinin çarpımıdır (Demir ve Cingöz).
Elipsoit üzerinde ζ yükseklik anomalileri de çizilebilir. Bu yolla okyanuslar üzerinde
geoitle özdeş olan bir yüzey elde edilir. Çünkü orada ζ = N olup diğer taraflarda da
geoide çok yakındır. Bu yüzeye Molodenski tarafından kuazigeoit denmiştir. Normal
yüksekliklerin başlangıç yüzeyi, okyanuslarda geoit ile çakışan, karalarda farklılık
gösteren kuazigeoit (kogeoit) dir. Kuazigeoitte geoidin dış yüzeyindeki kütle ve bunun
yerçekimi ivmesi üzerindeki etkisi dikkate alınmaz. Bununla beraber kuazigeoit bir
nivo yüzeyi değildir ve hiçbir fiziksel anlamı da yoktur. Bu, geoide benzer bir yüzeye
çağrışım yaptırır (Gürkan, 1984).
Normal potansiyel U basit bir analitik fonksiyon olduğundan bu formüller kolaylıkla
değerlendirilebilir. Fiziksel yeryüzündeki bir P noktasının belirli bir WP gerçek
potansiyeli ve belirli bir UP normal potansiyeli vardır. Genel anlamda WP ≠ UP dir;
fakat P den geçen çekül eğrisi üzerinde UQ=WP olan belirli bir Q noktası vardır. Bir
başka deyişle, Q daki U normal potansiyeli P deki W gerçek potansiyele eşittir. P nin
HN normal yüksekliği, aynen P nin geoit yüzünden olan ortometrik yüksekliği gibi, Q
nun elipsoit yüzünden olan geometrik yüksekliğinden başka bir şey değildir (Gürkan,
1984).
Başlangıç elipsoidi ile kuazigeoit arasındaki uzaklık, yükseklik anomalisi (kuazigeoit
yüksekliği) ζ=h-HN olarak tanımlanır. Yüksek dağlık yerlerde kuazigeoit ile geoit
arasındaki fark (uzaklık) yaklaşık 2 m yi bulur (Möser u.a. 2000).
Elipsoitten HN yüksekliğinde olan noktalar, tellüroit adı verilen Yeryüzünün bir
modelini oluştururlar. Şekil 1.8 den görüldüğü gibi P noktasının gerçek çekül eğrisi
boyunca geoide olan uzaklığı ortometrik yükseklik, normal çekül eğrisi boyunca
11
kuazigeoide olan uzaklığı ise normal yüksekliktir. Ortometrik yükseklikler yer
yoğunluğu ile ilgili bazı varsayımlara dayanmasına karşın, normal yükseklikler için
herhangi bir varsayım söz konusu olmayıp her iki yükseklik sistemi tam diferansiyel
ve tek anlamlıdır.
Şekil 1.8 Ortometrik ve normal yükseklik
Dinamik ve ortometrik düzeltmeler gibi, ölçülen yükseklik farkları için de bir normal
düzeltme vN vardır. g yerine γ ve H yerine HN konarak,
B
vN = ∑
A
g − γ0 γ A − γ0
γ − γ0
+
⋅ H AN − B
⋅ H BN
γ0
γ0
γ0
(1.14)
yazılabilir. Böylece,
N
∆H AB
= H BN − H AN = ∆h AB + v N
(1.15)
olur.
1.2.2.2. Normal Ortometrik Yükseklik (Sferoidik Ortometrik Yükseklik) (HNO)
Gerçek gravite değerinin bilinmediği durumlarda g i yerine ortalama normal gravite γi
alınarak ∆Ci’ normal geopotansiyel yükseklik farkı elde edilmekte ve böylece normal
geopotansiyel yükseklik (CP’) hesaplanmaktadır.
K
CPı = ∑ ∆C iı
i =1
,
∆C iı = γ i ⋅ dhi
12
(1.16)
Normal geopotansiyel yükseklikten normal ortometrik yükseklikler,
H
NO
CPı
=
G
,
H NO
G = γ - 0.3086 ⋅ (
)
2
(1.17)
eşitlikleriyle elde edilmektedir. Normal geopotansiyel yükseklikler, gerçek gravite
alanına dayanmadığı için tam diferansiyel ve tek anlamlı değildir. Bunun anlamı, bir
halkayı (lupu) oluşturan normal geopotansiyel yükseklik farklarının toplamı teorik
olarak sıfır olmaz. Bu da bir yükseklik sisteminden beklenen temel özellikleri
yansıtmamaktadır. Ölçülen geometrik yükseklik farklarına normal graviteden yararla
normal ortometrik düzeltme getirilerek normal ortometrik yükseklik farkları elde
edilebilmektedir. Normal ortometrik düzeltme (vNO);
v NO = 2H NO ⋅ α ⋅ sin 2φ [ 1 + ( α ⋅
2β
) ⋅ cos 2φ ] ∆φ
α
(1.18)
eşitliği ile hesaplanır. Burada H NO ortalama yükseklik α ve β bilinen katsayılar, φ iki
düşey kontrol noktasının ortalama enlemi, ∆φ ise aralarındaki enlem farkıdır.
Türkiye'de mevcut yükseklikler Normal Ortometrik Yükseklik Sistemi’nde olup ölçülen
yükseklik farkları; yukarıdaki eşitlikte α=0.002644 ve β=0.000007 (Hayford Elipsoidi)
alınarak hesaplanan normal ortometrik düzeltme ile normal ortometrik yükseklik
farklarına dönüştürülmüştür (Demir ve Cingöz).
Normal ortometrik yükseklik, NN (“normal sıfır”) yüksekliği olarak da ifade edilir. Sıfır
noktası olarak Ülkemizde Antalya Mareograf İstasyonundaki röper noktası alınmıştır.
NN-başlangıç yüzeyi, bir elipsoit yüzeyidir. NN-yüzeyi, normal ağırlık ivmesinin
etkisinin dikkate alındığı bir vNO normal ortometrik indirgemesiyle NN-yüksekliği
belirlenerek elde edilir.
1.2.3.
Elipsoidal Yükseklik (h)
Uygulamada, geometrik nivelman ve gravite ölçülerine dayalı olarak hesaplanan
ortometrik yükseklikler kullanılır. GPS ölçüleri ile üç boyutlu geosentrik bir koordinat
sisteminde seçilen başlangıç elipsoidine göre elipsoidal yükseklik h, belirlenmekte
olup elipsoidal yükseklik ile ortometrik yükseklik arasında,
h=H+N
(1.19)
ilişkisi bulunur. Burada, H ortometrik yükseklik, h elipsoidal yükseklik ve N geoit
yüksekliği (geoit ondülasyonunu) olup geoit ile elipsoit arasındaki uzaklıktır.
Ortometrik yükseklik ve elipsoidal yükseklik arasındaki ilişkiler Şekil 1.9’da
görülmektedir.
13
Şekil 1.9 Elipsoidal yükseklik ve ortometrik yükseklik
Elipsoidal yükseklikler, yerin çekim alanından tamamen bağımsızdır. Hâlihazırda
komşu GPS noktaları arasındaki 4 ile 10 mm lik yükseklik inceliği, hassas nivelman
noktalarının inceliğine yetişemez. Verilen elipsoide ilişkin GPS yükseklikleri ile ağırlık
alanında nivelmanla belirlenmiş yüksekliklerin birlikte değerlendirilmesi için geoidin
hassas bilgileri gereklidir. GPS gözlemlerinden türetilen ortometrik yükseklikler,
elipsoidal ve geoit yükseklikleri arasındaki ilişkilerin hassasiyetine bağlıdır. Yükseklik
belirlemesinin doğruluk istemlerine uygun yerel bir geoit kullanılırsa, mühendislik
ölçmeleri için GPS yükseklikleri kullanılabilir.
1.3. Nivelman Ağları
Yükseklikleri nivelman yoluyla belirlenmiş noktaların oluşturduğu ağlara nivelman
ağları denir. Nivelman ağları değişik incelikle belirlenmiş nivelman geçkilerinden
meydana gelir. Nivelman geçkileri, inceliklerine göre çeşitli derecelere ayrılır. I. ve II.
derece nivelman ölçmeleri, genellikle ülke nivelman ağlarında ve deformasyon
ölçmeleri gibi araştırma işlerinde uygulanır. Diğer derecelerdeki nivelman ölçmeleri,
yol inşaatı, su işleri, şehir haritalarının yapımı, yüzey nivelmanı gibi bütün teknik
işlerde uygulanır.
1.3.1. Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı (TUDKA)
Türkiye’de Düşey Kontrol (Nivelman) Ağı ile ilgili çalışmalar 1935 yılında Antalya
mareograf (deniz seviyesi ölçer) istasyonunun kurulması ile başlamıştır. Ana
karayolları ve demiryolları boyunca 2.5–3 km de bir oluşturulan I. ve II. derece
14
nivelman noktaları arasındaki ölçmeler, Akdeniz, Karadeniz ve Eğe Denizindeki
mareograf istasyonlarına bağlı olarak gidiş-dönüş yapılmıştır. I. derece nivelman
halkasının çevresi 650–1400 km ve bunların kapanma hataları 10–15 cm’dir. II.
derece nivelman noktaları, I. derece geçkilerin aralarını doldurmak ve bunları
birbirine bağlamak amacı ile yapılmıştır. III. Derece nivelman noktaları sıklaştırma
amacı ile yapılmışlardır. Ölçmeler Wild N3 ve 1988 ‘den itibaren Zeiss Ni 002 nivoları
ile invar miralar kullanılarak yapılmıştır. 1955 yılında İstanbul Boğazı’ndan (860 m) ve
Çanakkale Boğazı’ndan (1450 m) vadi geçiş nivelmanı ile karşı tarafa geçilmiştir
(Şerbetçi, 1995). 1965 yılında ülke nivelman ağı için dengeleme çalışmalarında,
mareograf istasyonları arasında çıkan bazı farklılıklar nedeniyle, Ülkenin ortasındaki
bir noktaya mareograf istasyonlarından yükseklik taşınarak bunların ortalaması, ülke
nivelman ağının başlangıç kotu olarak seçilmiştir (Şerbetçi 1992). Ancak ayrı
bölgelerden yükseklik verilen ortak noktalarda önemli farklar olduğu görülerek bu
uygulamadan vazgeçilmiştir. Mareograf istasyonları arasındaki yükseklik farklarından
dolayı ülke nivelman ağına, Doğu Akdeniz Bölgesi hariç, Antalya Mareograf
İstasyonunun 1936–1958 yılları arasındaki 22 yıllık gözlemlerinin aritmetik ortalaması
alınarak ortalama deniz seviyesine göre yükseklik değeri verilmiştir.
Dengeleme etütlerinde yerçekimi ölçülerinin önemi anlaşıldığından; I. ve II. derece
noktalardan oluşan ülke temel nivelman ağının iyileştirilmesi ve uluslararası
standartlara uygun duruma getirilmesi çalışmalarına hız verilmiş ve bu amaçla 1983
yılında eski mareograf istasyonları iptal edilerek bunların yerine başta Antalya,
İzmir/Menteş, Bodrum ve Erdek’te olmak üzere yeni istasyonlar kurulmuştur.
158 tane I. derece ve 87 tane II. derece geometrik nivelman geçkisinin ilk faz
ölçümleri 1970 yılına kadar yapılarak Düşey Kontrol Ağı tesis edilmiştir. Gravite ağı
ile ilgili çalışmalar 1956 yılında başladığından 1970 yılına kadar düşey kontrol
noktalarında gravite ölçülmemiştir. 1973 yılından itibaren ikinci faz geometrik
nivelman ölçmeleri başlatılmıştır. Bu kapsamda günümüze kadar sürdürülen
çalışmalarda daha önce tesis edilen geçki ölçümleri yenilenmiş, alt yapı nedeniyle
tahrip olan geçkiler yerine yenileri, gerek duyulan yerlerde ise yeni geçkiler tesis
edilmiş ve düşey kontrol noktalarında gravite ölçülmüştür. 1993 yılına kadar
gerçekleştirilen ölçme çalışmaları ile 151 adet I. derece ve 39 adet II. derece geçki
ölçümü yenilenmiş, 2 yeni II. derece geçki tesis edilerek ölçülmüştür. 1985–1992
yıllarında yapılan çalışmalarla, 1973–1991 yıllarında ölçümü yenilenen 151 adet I.
derece ve 35 adet II. derece geçki ile 1970 yılından önce ölçülen 5 adet I. derece
geçkinin, gravite değerleri ile birlikte ilk değerlendirmesi yapılarak Türkiye Ulusal
Düşey Kontrol Ağı–1992 (TUDKA92) oluşturulmuştur. Ölçümü yenilenmemiş 52 II.
derece geçki bu değerlendirmeye alınmamıştır (Demir ve Cingöz).
15
TUDKA92 oluşturulurken dengeleme sonrası yapılan istatistik analizde, uyuşumsuz
olduğu saptanan üç adet geçki değerlendirme dışı bırakılmıştır. Sonraki yıllarda,
uyuşumsuz bulunan üç geçkiden iki tanesi (biri tamamen, diğerinin bir bölümü)
ölçülmüştür. Ayrıca 1993 yılında dört eski ve iki yeni olmak üzere altı adet II. derece
geçki ölçümü yapılmıştır. Diğer taraftan daha önce değerlendirme dışı bırakılan 52
adet II. derece geçkiden 44 ‘ünün ağa bağlantısı gerçekleştirilmiş ve bu geçkilerdeki
noktaların tamamında gravite değerleri prediksiyonla kestirilmiştir. Ağa bağlantısı
sağlanamayan diğer 8 adet eski II. derece geçki değerlendirme dışı tutulmuştur.
Daha sonra tüm geçkilerdeki noktaların koordinatları (enlem ve boylam) 1/25000
ölçekli haritalardan sayısallaştırılarak elde edilmiş ve mevcut tüm veriler (gravite,
enlem, boylam, geometrik yükseklik farkı, uzaklık) kontrol edilmiştir.
Yukarıda sözü edilen kontrol işlemleri tamamlandıktan sonra, yapılan ek ölçülerin de
katılımı ile TUDKA dengelemesi yeniden yapılarak, TUDKA99 oluşturulmuştur. Bu
değerlendirmeye 1970 yılından sonra ölçülen 151 adet I. derece ve 41 adet II. derece
ile 1970 yılından önce ölçülen 7 adet I. derece ve 44 adet II. derece geçki olmak
üzere toplam 243 adet I. ve II. derece geçki dahil edilmiştir. TUDKA99 toplam 29316
km uzunluğunda, 243 geçki ve 25680 noktadan oluşan ağın dengelenmesiyle
oluşturulmuştur.
Şekil 1.10 Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı-1999 (TUDKA-99)
TUDKA99 için düşey datum Antalya mareograf istasyonunda 1936–1971
yıllarında elde edilen anlık deniz seviyesi ölçülerinin ortalamasıyla
belirlenmiştir. Dengelemede ölçü olarak geopotansiyel yükseklikler alınmış ve
tüm noktalarda geopotansiyel yükseklik, Helmert ortometrik yüksekliği ve
16
Molodenski normal yüksekliği hesaplanmıştır. Geopotansiyel yükseklik
hesabında, düzenlenmiş Potsdam datumundaki gravite değerleri kullanılmıştır.
Dengeleme sonucunda datuma bağlı nokta yüksekliklerinin duyarlılıkları 0.3 cm ile 9
cm arasında bulunmuştur.
TUDKA99’un sıklaştırılması amacıyla, TUDKA99'un I. ve II. derece noktalarına dayalı
III. derece nivelman ağı (Ana Nivelman Ağı=ANA) oluşturulur. TUDKA99 noktaları
geçki kontrolü yapılarak kullanılır. TUDKA99 noktalarına dayalı olarak daha önceden
oluşturulan ağlardaki yüksek dereceli noktaları, dayanak noktası olarak almak için
ilgili idarenin onayı alınır. Sıklaştırma alanında TUDKA99'un I. veya II. derece
noktaları yoksa bu ağa bağlantıyı sağlayacak ‘bağlantı nivelmanı’ yapılır. Bağlantı
nivelmanı, hassas geometrik nivelman veya GPS nivelmanı yöntemiyle yapılabilir.
1.3.2. Nivelman Ağlarının Derecelendirilmesi
15 Temmuz 2005’te Bakanlar Kurulu’nca onaylanarak yürürlüğe giren “Büyük Ölçekli
Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeliği”ne göre Türkiye Ulusal Düşey Kontrol
(Nivelman) Ağı ve bu ağa dayalı olarak oluşturulan düşey kontrol ağlarının
derecelendirilmesi aşağıdaki gibidir:
I. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Ülke Nivelman Ağı ve Noktaları
II. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Ülke Nivelman Ağı ve Noktaları
III. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: En çok 40 km uzunluğundaki luplarla üst
dereceli ağlara dayalı sıklaştırma ağları ve noktaları. Ana Nivelman Ağı
IV. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: I., II. ve III. Derece noktalara dayalı en çok
10 km uzunluğundaki luplarla (halkalarla) sıklaştırma ağı ve noktaları. Ara
Nivelman Ağı
V. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Poligon ve tamamlayıcı nivelman ağı ve
noktaları
Ana nivelman ağı, proje alanını kapsayacak şekilde, çevresi 40 km’yi aşmayan
luplar biçiminde düzenlenir. Nivelman geçkileri hassas geometrik nivelman
yapılabilecek yollar üzerindeki C3 ve daha yüksek dereceli noktalar ve poligon
noktaları ile bölgede önceden tesis edilen nivelman ağlarının yüksek dereceli
noktalarını içerecek şekilde seçilir. Geçki üzerindeki nokta sıklığı en çok 1.5 km
olmalıdır. Seçimi yapılan noktalar için bir seçim kanavası düzenlenir. Seçim
kanavası onaylandıktan sonra, yeni noktalar tesis edilir ve röperlenir.
Ara nivelman ağı, başı ve sonu ana nivelman ağı noktalarına bağlı toplam uzunluğu
10 km'yi geçmeyen nivelman geçkileri veya en az iki ana nivelman noktasını içeren
17
ve toplam uzunluğu 10 km’yi geçmeyen luplar biçiminde plânlanır. Geçki üzerindeki
nokta sıklığı 750 m -1000 m olmalıdır. Seçimi yapılan ana nivelman noktaları, seçim
kanavasında gösterilir.
Yardımcı nivelman noktaları, Proje alanı içinde, her dereceden nivelman
noktalarının yoğunluğu yerleşim bölgelerinde ortalama 400–500 m aralıklarla ve diğer
bölgelerde ortalama 700–800 m aralıklarla olmalıdır. Bu yoğunluğu yeterince
sağlamak için yardımcı nivelman noktaları (RS) tesis edilir. Bu noktalar seçim
kanavasında gösterilir.
Proje alanındaki yatay koordinatları hassas olarak belirlenmemiş nivelman
noktalarının koordinatları ± 15 cm doğrulukta belirlenir.
1.3.3. Nivelman Kapanma Hataları
Nivelman kapanma hataları, bağlantı nivelmanı, ana ve ara nivelman ağındaki
yükseklik farklarının belirlenmesinde, gidiş-dönüş nivelmanı yapılır ve gidiş-dönüş
nivelmanıyla yükseklik farkının ± 1.5 mm/km veya daha iyi duyarlıkla belirleyebilen
nivo ve miralar kullanılır. Yardımcı nivelman noktalarının yükseklikleri, ana ve ara
nivelman noktalarına bağlı nivelman geçkilerinde gidiş-dönüş nivelmanı ile
olabildiğince poligon noktalarından geçilerek belirlenir. Bu nivelmanda, gidiş-dönüş
nivelmanıyla yükseklik farkını ± 2.5 mm/km veya daha iyi doğrulukla belirleyebilen
nivo ve miralar kullanılır. Nivelman yolunun uzunluğu bağlantı noktaları arasındaki
geometrik uzunluğun 2 katını geçemez.
Gidiş – dönüş nivelmanında bulunan kapanma değeri (w),
Ana ve bağlantı nivelmanında
: w[ mm ] ≤ 12
S [km]
Ara nivelmanda
: w[ mm ] ≤ 15
S [km]
Yardımcı nivelmanda
: w [mm ] ≤ 20
S [km] + 0.0002 ∆H
olmalıdır. Burada S, km biriminde nivelman yolunun uzunluğu, ∆H iki nokta
arasındaki yükseklik farkıdır. Nivelman yolu üzerindeki ardışık noktalar arasında bu
kontrol yapılır.
Gidiş–dönüş yükseklik
kapanmaları (wL),
Ana nivelmanda
farklarının
:
ortalamalarından
w L[mm] ≤ 15 L [km ]
18
hesaplanan
lup
Ara nivelmanda
:
w L[mm ] ≤ 18 L [km ]
olmalıdır. Burada L, km biriminde nivelman lup uzunluğudur.
1.3.4. Nivelman Ölçülerinin Değerlendirilmesi
Ana, ara ve yardımcı nivelman ağı, ayrı ayrı veya birlikte uygun ağırlıklandırma ile
gidiş-dönüş yükseklik ortalamaları ölçü ve bir nokta değişmez alınarak, zorlamasız
veya serbest dengelenir ve uygun testlerle uyuşumsuz ölçüler ayıklanır. İstatistik
güven düzeyi 1-α=0.95 alınmalıdır. Ağda uyuşumsuz ölçü kalmayıncaya kadar
dengeleme, uyuşumsuz ölçü testi ve ölçü tekrarına devam edilir. TUDKA99
noktalarının, oluşturulan nivelman ağı ile uyuşumlu olup olmadığı test edilir ve
uyuşumlu TUDKA99 noktalarının yükseklikleri değişmez alınarak, topluca veya ana,
ara ve yardımcı nivelman ağları ayrı ayrı dengeleme ile bu ağlardaki noktaların
Helmert ortometrik yükseklikleri hesaplanır. İstatistik güven düzeyi 1-α=0.95
alınmalıdır.
19
Geometrik Nivelman
2. BÖLÜM
GEOMETRİK NİVELMAN
Geometrik nivelmanda∗ noktalar arasındaki yükseklik farkları, bu noktaların yatay bir
düzleme olan düşey uzaklıkları ölçülerek, bunların farkı alınmak suretiyle bulunur
(Bakınız Şekil 1.1). Noktaların yatay düzlemden düşey doğrultudaki uzaklıklarını
ölçmek için, noktalar üzerine düşey olarak mira tutulur ve nivelman düzleminin bu
miraları kestiği yerde mira okumaları yapılır.
Nivelmanla noktalar arasındaki yükseklik farkları ölçülür. Ölçülen yükseklik farkları,
yüksekliği önceden belli olan noktaların yüksekliklerine eklenerek yeni noktaların
yükseklikleri bulunur. Yöntemine uygun olarak tesis edilmiş, yapılan ölçme ve
hesaplamalarla, yükseklikleri belirlenmiş olan noktalara nivelman noktası denilir.
2.1. Nivolar
Nivelman aletlerinin esası, yatay bir gözlem düzlemini gerçekleştirecek bir düzenden
ibarettir. Geometrik nivelmanda yatay bir gözlem düzlemi oluşturmak amacıyla
genellikle nivo; noktaların yatay gözlem düzleminden olan uzaklığını ölçmek için de
mira kullanılır.
Nivoda yataylığı sağlamak için düzeç ve miradaki okumaları kolaylaştırmak için de
dürbün kullanılır. Aleti istenilen yöne çevirmeye yarayan bir düşey ekseni ve
yataylanması için de üçayak ile donatılmıştır. Nivolarda yatay düzlem, dürbünün optik
ekseninin yataylanması ile sağlanır. Bir de aleti taşımaya yarayan sehpası vardır.
∗
Uygulamada “geometrik nivelman” yerine kısaca “nivelman” kavramı da kullanılmaktadır.
20
Geometrik Nivelman
Nivolar alt ve üst yapı olmak üzere iki kısımdan oluşur. Alt yapıda düşey eksen ile
üçayak bulunur. Ayrıca yatay az hareket ve yatay genel hareket vidaları vardır. Bazı
nivolarda yatay hareket sürtünme esasına göre olduğundan yatay genel hareket
vidaları yoktur. Üst yapı ise dürbün ve silindirsel (boru) düzeçten oluşur.
Dürbün:
Basit bir dürbünün şematik kesiti Şekil 2.1 de görülmektedir. 1 objektifine giren
ışınlar, görüntü düzleminde miranın ters bir görüntüsünü verir. Görüntü 4 oküleri
yardımıyla önemli ölçüde büyütülür. Aynı görüntü düzleminde bir cam plaka üzerine
kazınmış gözlem çizgileri vardır (Şekil 2.2). Dürbün oküleri, gözlem çizgileri net ve
keskin görününceye kadar hareket ettirilir. Yatay ve düşey çizgilerin kesim noktası
ile objektif merkezi dürbünün gözlem doğrultusunu oluşturur. Bazı nivolarda
ters görüntüyü düz görüntü haline getirmek için 2 ile 3 arasına bir prizma sistemi
yerleştirilir.
1
Objektif
2
3
Görüntü netleştirme
merceği
4
Oküler
Gözlem çizgileri
Şekil 2.1 Basit bir dürbünün şematik kesiti
Mira üzerinde yapılacak okuma ve tahmin etme inceliği, dürbünün büyütme
gücüne bağlıdır. Nivelman miraları genellikle santimetre bölümlü olduklarından
milimetre bölümlerinin tahmin edilmesi gerekir. Bir A dürbünü, B dürbününün iki katı
büyütüyorsa, A dürbünü ile milimetreler iki kat daha incelikli tahmin edilir. Bir
dürbünün büyütmesi yaklaşık olarak objektif ve oküler odak uzaklıklarının oranına
eşittir.
a) Normal nivolarda
b) Hassas nivolarda (kama şeklinde)
Şekil 2.2 Nivolarda kullanılan gözlem çizgileri
21
Geometrik Nivelman
Düzeçler:
Nivoların kaba yataylanmasında küresel düzeç, hassas yataylanmasında da
silindirsel (boru) düzeç kullanılır. Bir nivonun inceliği, silindirsel düzecin duyarlığı
ve dürbünün büyütme gücüne bağlıdır. Düzeç duyarlığı ise silindirsel düzecin
eğrilik yarıçapına bağlıdır. Şekilde değişik eğrilik yarıçaplı iki düzeç görülmektedir.
Her iki düzecin bir uçlarının yataydan α miktarı kadar kaldırılması durumunda A
düzecinin kabarcığı, eğrilik yarıçapının B den büyük olması nedeniyle, B düzecinin
kabarcığından daha fazla miktarda hareket eder. Bu şekilde kabarcığın ortadan
ayrılması daha iyi saptanır.
2a
a
α
2R
α
α
α
R
B
A
Şekil 2.3 Düzeç duyarlığı
Nivelman aletlerinde düzeç duyarlıkları, kabarcığın 2 milimetrelik bölümü kadar yer
değiştirmesine karşılık olan açı büyüklüğü ile verilmektedir. Çakıştırma prizma
sistemli düzeçler, bir koruyucu içinde olup dış etkenlerden ve güneş ışınlarından
korunmaktadır.
2 mm
= 0.4 mm
5
2 mm
Çakıştırma prizma sisteminde, kabarcığının ortalanma inceliği
= 0.05 mm dir.
Açık bir skalada düzeç kabarcığının ortalanma inceliği
40
Kabarcığı ortalanmış
açık skalalı düzeç
Ayarlanmamış
Ayarlanmış
Düzeç kabarcığının prizma ile yansıtılması
(çakıştırma prizma sistemli)
Şekil 2.4 Düzeç kabarcığının ortalanması
22
Geometrik Nivelman
Nivoların Kurulması ve Düzeçlenmesi:
Işınsal (kutupsal) nivelman işlemi dışında nivoların belirli bir nokta üzerine
merkezlendirilerek kurulması zorunluluğu olmadığından, nivolar kurulurken genellikle
nokta üzerine merkezlendirme işlemi yapılmaz. Öncelikle nivoyu kullanan kişi
(operatör), alet sehpasını boyuna göre açar ve sehpa tablası yaklaşık yatay olacak
şekilde sehpayı kurar. Nivo kutusundan çıkartılır ve sehpanın üzerine yerleştirilerek
alttan sehpaya vidalanır. Sehpa ayaklarına el ile (ayakla değil) bastırılarak sehpanın
zemine iyice yerleşmesi sağlanır. Her iki yöndeki hareket alanını geniş tutabilmek
için, düzeç ayak vidalarının yaklaşık olarak ortada olmasına dikkat edilir (düzeç ayak
vidalarının bazıları çok aşağıda, bazıları da çok yukarıda olmamalıdır). Küresel
düzeç, sehpa ayaklarıyla yaklaşık olarak; düzeç ayak vidalarıyla da tam olarak
ortalanır. Silindirsel düzeç, önce iki düzeç ayağına paralel hale getirilir ve düzeç
ayaklarının ikisi de içe veya dışa çevrilerek kabarcık ortalanır. Düzeç 90o
döndürülerek kullanılmayan üçüncü ayak vidası ile kabarcık yine ortalanır. Kontrol
amacıyla işlem tekrarlanır. Düzeçleme işlemi tamamlandıktan sonra, düzeç hatası
yoksa alet ne tarafa çevrilirse çevrilsin kabarcık ortada kalır. Düzecin hatalı olup
olmadığı düzeç kontrolüyle belirlenir.
Düzeç Kontrolü:
Nivo kurulup düzeçlendikten sonra silindirsel düzeç, iki düzeç ayağına paralel hale
getirilir. Düzeç kabarcığı tam ortada olmalıdır. Düzeç 200g döndürülür; kabarcık
ortada ise düzeçte hata yoktur; kabarcık ortadan kaymışsa, kayma miktarı hatanın iki
katıdır. Bu kayma miktarının yarısı düzeç ayak vidaları yardımıyla, diğer yarısı da
düzeç ayar vidası yardımıyla giderilir. Kontrol için işlem yinelenir.
Ayar vidası
1.Durum
Küresel düzeç
2.Durum
Silindirsel düzeç
Yataylanmış düzeç
Ayarlanmış düzeç
Şekil 2.5 Düzeçler ve düzeç hatasının giderilmesi
2.1.1 İncelikleri Yönünden Nivelman Aletleri
Nivelman aletleri, sağladıkları incelik bakımından birbirlerinden farklıdırlar. Bu
nedenle belirli işlerde istenilen inceliği sağlayacak olan çeşitli aletlere ihtiyaç duyulur.
Nivelmanda incelik, 1 kilometrelik nivelman yolunda gidiş-dönüş ölçü farklarından
23
Geometrik Nivelman
hesaplanan standart sapma (karesel ortalama hata) ile ifade edilmektedir.
Nivelmanda incelik aşağıdaki koşullara bağlıdır (Möser, Müler, Schlemmer, Verner,
2000):
•
Alet ve sehpasına,
•
Mira bölümlendirmelerinin doğruluğuna ve mira altlığına,
•
Ölçme yöntemi ve ölçme sürecindeki sistematik hataların elimine edilmesine,
•
Çevre koşullarına (atmosferik, aydınlık, yeraltı).
Nivelman aletleri incelik yönünden 4 grupta ele alınabilir.
2.1.1.1 Düşük İncelikli Nivolar (İnşaat Nivoları)
Bu nivolar genel olarak inşaat alanlarında, inşaat noktalarına kot verilmesinde, kısa
bağlantı nivelmanında, basit enine ve boyuna kesit çıkarma işlerinde kullanılır.
İnceliği ±10–20 mm, dürbün büyütmeleri 15–20 ve düzeç duyarlıkları 30”-60” dir.
Yüzey nivelmanında kullanılabilmeleri için yatay açı bölüm daireleri vardır.
2.1.1.2 Orta İncelikli Nivolar
Bu tür nivelman aletleri de genel olarak inşaat işleri ve yakın yerler arasında yeni
nivelman noktalarının tesisi işlerinde kullanılır. Dürbün büyütmeleri 20-25, düzeç
duyarlıkları 20”-30”, düzecin yataylama hatası 1”-3”, inceliği 5-10 mm arasındadır.
2.1.1.3 Yüksek İncelikli Nivolar
Bu tür nivolar, III. Derece nivelman ölçümlerinde, yüzey nivelmanında, hacim
hesapları için yapılan enine ve boyuna kesitlerin çıkarılmasında kullanılır. İnceliği ±1–
2 mm, dürbün büyütmeleri 25-30 ve düzeç duyarlıkları 10”-30” arasındadır. Düzeçleri
genellikle çakıştırma prizma sistemlidir. Kompensatörlü nivolarda küresel düzeç
duyarlığı 10’ civarındadır. Kompensatörün ortalama yataylama hatası ±0,5” kadardır.
Bu gruptaki nivolar, eğim vidalı, kompensatörlü veya elektronik (sayısal) olabilir.
Uygulamada, genellikle kompensatörlü ve elektronik nivolar kullanılır. Eğim vidalı
nivoların kullanımı ise oldukça azalmıştır.
2.1.1.4 Çok Yüksek incelikli Nivolar
Bu aletler I.ve II. derece nivelman ağlarının ölçümünde, köprü, baraj, vb. yapılardaki
deformasyon ölçmelerinde kullanılır. İnceliği ≤0.5 mm, dürbün büyütmeleri 35–50 ve
düzeç duyarlıkları 5”-10” arasındadır. Düzeçleri, çakıştırma prizma sistemli olup
görüntüleri, genellikle okülere yansıtılır. Bu tip aletlerde yatay açı bölüm dairesi
yoktur. Ölçmelerde çift bölümlü ve payandalı invar miralar kullanılır. Gözlem çizgileri
kama şeklindedir. Düzlem paralel camlı mikrometre düzenleri vardır. Kompensatörlü
olanlarda Kompensatörün hassasiyeti 0.2” dir.
24
Geometrik Nivelman
2.1.2. Yapıları Bakımından Nivelman Aletleri
Nivelman aletleri, yatay bir ölçme düzlemi oluşturmak için geliştirilmiş aletlerdir. Bu
yatay düzlem, her tarafa dönebilen dürbünün yatay duruma getirilmiş optik ekseni
(gözlem ekseni) yardımıyla sağlanır. Dürbünün her yöne döndürülebilmesi bir düşey
eksen yardımıyla, optik eksenin yatay duruma getirilmesi ise bir silindirsel düzeç
yardımıyla ya da kompensatör sistemiyle olmaktadır. Günümüzde kullanılan nivolar,
yapıları ve çalışma sistemleri açısından 4 grupta ele alınabilir*:
1.
2.
3.
4.
Eğim vidalı nivolar
Kompensatörlü (otomatik) nivolar
Sayısal (elektronik sayısal) nivolar
Lazer nivoları
2.1.2.1. Eğim Vidalı Nivolar
Şekil 2.6 Eğim vidalı nivo
Eğim vidalı nivolarda dürbün, bir eğim vidası yardımıyla bir miktar aşağı-yukarı
hareket ettirilebilir. Aletin gözlem ekseni (NN), düzeç ekseni (DD), düşey ekseni (VV)
ve küresel düzeç ekseni (KK) olmak üzere dört ekseni vardır. Silindirsel düzeç
dürbünün yan tarafında olup, güneş ışınlarına karşı korunmalıdır. Düzeçler optik
çakıştırmalı olup, görüntü oküler yanındaki büyütece yansıtılmıştır. Ölçüme
başlamadan önce, alet küresel düzeç yardımıyla kabaca yataylanır. Her mira
okumasından önce silindirsel düzecin kabarcığı eğim vidası yardımıyla ortalanır.
*
Günümüzde artık pek kullanılmayan sabit dürbünlü nivolarla, tersinir nivolar gruplandırmaya dahil
edilmemiştir.
25
Geometrik Nivelman
2.1.2.2. Kompensatörlü (Otomatik) Nivolar
Kompensatörlü nivoların dürbünlerinde gözlem doğrultusunu otomatik olarak yatay
duruma getiren düzenler bulunmaktadır. Bu aletlerde gözlem ekseninin otomatik
olarak yataylanmasını sağlayan düzen; düzeç ve kompensatör sisteminden
oluşmaktadır. Küresel düzeç değişik tip aletlerde 8’-15’ arasında bir yataylama
inceliğine sahipse kompensatör otomatik olarak faaliyete geçer. Kompensatör yatay
doğrultuyu sağlayan mekanik bir düzendir. Zeiss Ni 2 de kompensatör, sarkaç,
prizma, salınım yapan bir ayna ve bir optik kamadan oluşur.
Şekil 2.7 Kompensatörün çalışma ilkesi
Gözlem ekseni yataylanmış bir dürbünün, gözlem ekseninin uzantısı üzerinde
bulunan bir noktadan gelen hedef ışınları, objektifin arka odak noktasında kesişirler.
Doğru bir ayarlama yapıldığında gözlem çizgilerinin kesişme noktası, odak noktası ile
çakışır. Eğer dürbün α kadar yukarı doğru eğikse, görüntü yine odak noktasında
fakat s = f ⋅ α kadar yukarıda oluşur. Görüntü noktası, gözlem çizgilerinin kesişme
noktasından yukarıdadır. Görüntüyü gözlem çizgilerinin kesişme noktasına indirmek
için, noktadan gelen ışınlar odak noktasının önünde a uzaklıkta bulunan K
noktasındaki ayna veya prizma sistemi ile f ⋅ α = a ⋅ β olacak şekilde β açısı kadar
saptırılırlar.
Zeiss Ni 2 de otomatik yataylamayı sağlayan kompensatör üç prizmadan oluşur.
Kompensatörün iki kenar prizması sabit, ortadaki prizma ise hareketlidir. Orta prizma
4 tel ile dürbünün tavanına asılı olup, cisim yönünden gelen ışınları dürbünün eğik
durumunda daima, gözlem çizgilerinin kesişme noktasına saptırır. Kompensatör
(dolayısıyla kırılma noktası) gözlem çizgilerine yaklaştırılarak α ile β arasında
istenilen oran sağlanabilir.
Kompensatörlü nivolarda küresel düzeç kabarcığı ortalanınca kompensatör çalışır
duruma gelir. İlk kompensatörlü nivo, 1950 yılında Carl-Zeiss Oberkochen firması
tarafından üretilen Ni2 dir. Kompensatör olarak eklemli dörtgen kullanılmıştır.
Kompensatörlü nivolarda çeşitli türde Kompensatör sistemleri kullanılmaktadır.
26
Geometrik Nivelman
Şekil 2.8 Zeiss Ni2 nivosu ve kompensatörü
Kompensatörlü Nivolarda Ufuk Hatası
α’ α
α’
eksen
Düşey
eksen
Düşey
α
Şekil 2.9 Kompensatörlü nivolarda ufuk hatası
Özellikle mekanik olarak çalışan kompensatörlerde, gözlem ekseninin
yataylanmasında küçük hata kalıntıları varsa buna gözlem ekseninin ufuk hatası
denir. Kompensatörlü bir nivoda ufuk hatası kompensatörün tipine, düşey eksenin
eğimine ve objektif optik merkezinin düşey eksene olan uzaklığına bağlıdır. Eğer
düşey eksen tam düşey durumda değilse, eğiklik derecesine göre gözlem ekseni tam
yataylanamaz. Dürbün yataya göre α kadar eğikse, Kompensatör gözlem eksenini
yataya göre α’ kadar yaklaştırır ve yatayla arada α-α’ kadar bir fark kalır. Dürbün,
yukarı doğru eğikken bu fark da yukarı doğrudur; aşağıya doğru eğikse aynı fark
aşağıya doğrudur. 5’ lık bir yataylama hatası, objektif optik merkezi ile düşey eksen
arasındaki uzaklık 15 cm ise yükseklikte 0.4 mm kadar hata meydana getirebilir. Bu
hata ileri ve geri okumalar farkı alınarak giderilemez.
27
Geometrik Nivelman
2.1.2.3. Sayısal (Elektronik Sayısal) Nivolar
İlk sayısal nivo olan WILD NA2000, 1990 yılında Leica Firması tarafından üretilmiştir.
Bu aletle, özel olarak yapılmış barkodlu bir miranın görüntüsü, sayısal görüntü işleme
ve korelasyon yöntemine göre değerlendirilmektedir. Burada insan gözünün görevini,
sıralı dedektörler üstlenmişti (Uzel, Gülal 1997). Sayısal nivo ile yapılan nivelman,
verileri işleyen ve depolayan programlar ve kontrol hesaplamaları ile desteklenmiştir.
Netleştirme
Konumu
Kayıt
Birimi
Netleştirme
Çözümü
A
Kompensatör
Kontrolü
S
Ekran
Barkod
Görüntüsü
Sıralı
Dedektör
Video
Sinyali
Mikro
İşlemci
Elektronik
Okuyucu
Klavye
Akü
500 mAh
Şekil 2.10 Sayısal nivoların çalışma ilkesi
Sayısal nivoların yapısı, bir sayısal kamera ile bir Kompensatörlü nivonun
kombinasyonu ilkesine dayanır. Sayısal nivolar, optik ve mekanik yapı elemanları
bakımından normal nivolara benzer ve klasik optik nivo olarak da kullanılabilir.
Sayısal nivo ile yükseklik ölçümlerinin yanı sıra, 1-2 cm incelikle mira ile nivo
arasındaki uzunluklar da ölçülebilmektedir. Sayısal nivoların elektronik olarak çalışma
ilkesi şekil 2.10 ‘da görülmektedir. Miranın üzerinde bulunan barkod çizgilerinin
görüntüsü, bir sıralı dedektör (CCD kamera) üzerine yansır. 25 µm aralıklarla
düzenlenmiş 256 ışık alıcılı fotodiyoddan oluşan sıralı dedektör, miranın üzerinde
bulunan barkod çizgilerinin görüntüsünü analog bir video sinyaline dönüştürür. Bir
elektronik okuyucu, bu video sinyalini güçlendirerek A/S (Analog/Sayısal)
dönüştürücüsüne iletir. Ölçü verilerinin değerlendirilmesi, mikro işlemcide yapılır. Mira
değerleri, elektro optik olarak üretilen miranın sayısal ölçü sinyaliyle referans
sinyalinin korelasyon yöntemine göre karşılaştırılmasıyla elde edilir. Referans sinyali,
ölçü sinyali ile aynı kurallara göre üretilir ve aletin görüntü işleme kısmında saklanır.
Bu karşılaştırmayla, miradan elde edilen sinyalin miranın başlangıç noktasından ne
kadar kaydığı saptanır (Uzel, Gülal, 1997).
Nivo optiğinin açılım açısı, üretici firma verilerine göre 2o dir. Buna göre nivo ile alet
arasındaki uzaklığa bağlı olarak farklı büyüklükteki mira kesitinin görüntüsü,
dedektörler üzerine yansır. Sinyalin bar kodlu mira üzerinde taradığı bölge, alet ile
28
Geometrik Nivelman
mira arasındaki uzaklığın bir fonksiyonu olduğundan, yüksekliklerin belirlenmesinde,
ek olarak bu bilgiye de gereksinim duyulur. Miraya olan uzaklık, netleştirme
k
s
bağıntısı ile mikro işlemci tarafından hesaplanır. Burada, d netleştirme uzaklığı, k
optik sabiti ve s netleştirme merceğinin durumunu gösterir. Bu uzaklık değeri,
yükseklik ile birlikte ekranda sayısal olarak gösterilir veya kaydedici üniteye aktarılır
(Uzel, Gülal, 1997).
merceğinin konumuna göre yaklaşık olarak elde edilebilir. Bu uzaklık,
Mira
2°
d=
Mira
63 mm
3500 mm
Dedektör
0
1.8
100 m
Şekil 2.11 Dürbünün görüş alanı ve mira görüntüsü sınırları
Sayısal nivoların geliştirilmesiyle ona uygun barkodlu miralar da üretilmiştir. Wild NA
3000 için önerilen miralar, GPCL3 mira tipidir. Bu miralar, 3.05 m boyunda,
alüminyumdan yapılmış ve ortasından invar şerit geçen miralardır. İnvar şeridin
genleşme katsayısı, 1 ppm/oC den küçüktür ve invar şeridin üzerine 5 cm eninde bar
kod çizgileri işaretlenmiştir. Başka bir mira tipi ise, 1.35 m lik 3 parçadan oluşan
GKLN4 tipi mika cinsi malzemeden yapılan miradır. Bunun genleşme katsayısı 10
ppm/oC den küçüktür. Bu tip miralar, daha az duyarlılıkla çalışan NA 2000 sayısal
nivoları ile birlikte kullanılır. Barkodlu miraların arka yüzü, normal nivelmanda
kullanılabilmeleri için, metrik birimde bölümlendirilmiştir.
Sayısal nivolarda ölçme işlemi, aletin ölçüye hazır hale getirilmesinden sonra
yaklaşık olarak 4 saniye süren 4 aşamadan oluşmaktadır. İlk aşamada miradan gelen
sinyal, dedektör tarafından okunur ve kaydedilir. İkinci aşama olan kaba
optimizasyonda, hedef yüksekliği ve yansıma ölçeği yaklaşık olarak belirlenir. İnce
optimizasyon olan üçüncü aşamada mirada okunanın kesin değeri ve miraya olan
uzaklık hesaplanır. Son aşamada ise elde edilen bu değerler ekranda gösterilerek
kayıt birimi üzerine kaydedilir. Kayıt birimine kaydedilen bu ölçüler, daha sonraki
değerlendirme işlemlerinde kullanılmak üzere bilgisayara aktarılabilir. Böylece
arazide ölçümlerin yapılması, ölçülerin bilgisayara aktarılması, değerlendirilmesi ve
29
Geometrik Nivelman
arşivlenmesine kadar uzanan bir otomasyon ağı kurulur. Sayısal nivolarda ölçme
sonuçlarını etkileyen faktörler:
•
Yöneltme ve netleştirme doğruluğu
•
Atmosferik değişim, titreşim ve mira bölümlerinin etkisi
•
Aydınlatma
•
Gölgeleme, Miranın örtülmesi
olarak sıralanır. Sayısal nivolarla ölçüm yapabilmek için miranın %30 da fazlasının
kapalı olmaması gerekir.
2.1.2.4. Lazer Nivoları
Klasik jeodezik yöntemlere pasif gözlem ışınları egemendir. Yani gözlemci, hedefi
dürbünün gözlem çizgileriyle çakıştırır. Lazer tekniği ile aktif hedef ışınlarının yararları
ortaya çıkar. Özellikle üretim akışı içinde, yerinde doğrudan doğruya ölçmeyi sağlar.
Mühendislik ölçmelerinde lazer ışınlarının yönlendirilmesi çok önemlidir. Görülebilir
lazer ışınları bir doğrultu boyunca yayılır ve bunlar uygulamada nivelman için
uygundur. Düşey yönlendirmede lazer çeküllemesi ele alınabilir. Lazer ışınları,
silindirsel mercekler yardımıyla yelpazelenebilir ve böylece uzayda arzu edilen
konumda düzlem oluşabilir.
1960’lı yılların sonlarına doğru, lazer ışınlarının özelliklerinden nivelmanda da
yararlanmak üzere çalışmalar yoğunlaştırılmıştır. Bu çalışmaların sonucunda,
•
•
•
Fotoelektrik lazer nivosu
Değiştirilmiş lazer nivosu
Entegre merkezleme dedektörleri
geliştirilmiştir. Lazer nivoları, geometrik nivelmanda geri ve ileri okuma aralıklarını 50
metreden 100 metreye kadar çıkarmıştır (Uzel, 1984).
Şekil 2.12 Lazer nivolarının oluşturdukları doğrultu ve düzlemler.
Günümüzde yararlanılan merkezleme dedektörleri, kısa mesafelerde lazer ışığının
enerji merkezini büyük bir incelikle saptayabilmektedir. 100 metreden daha uzakta,
merkezleme inceliği hızla düşmektedir. Dedektörler, bir referans çizgisi ile lazer ışık
spotunun merkezi arasındaki aralığı 0.01 mm incelikle ölçebilir ve bunu sayısal olarak
30
Geometrik Nivelman
verir. Bunun için klasik nivelmanda kullanılan miraya benzer özel biçimli bir mira
kullanılır ve buna bir dedektör bağlanır (Şekil 2.13).
Şekil 2.13 Lazer nivosu ve mira üzerinde okuma
Çekül Lazerleri, çekül hattı gerektiren işlerde örneğin, yüksek binalarda yüzey
kaplamalarında, aks çıkılmasında, asansör boşluğu yapımında (ray aliymanında),
kuyu açımında, yüksek baca yapımında vb. yerlerde büyük kolaylıklar sağlar.
TOPCON PL-1 çekül lazeri ±3o aralığında kendi kendini düzeçleme özelliği bulunan
aletle yukarıya doğru 100m ve daha fazla (ortamın aydınlığına bağlı olarak), aşağıya
doğru ise 5 metrelik çekül doğrultusu oluşturur.
Dönen Lazerler, 360o’lik bir açıda devamlı gözle görülebilir lazer ışını yayan bu
aletler, yatay ve düşey uygulamalarda hatasız bir referans yüzeyi oluştururlar. Bina
içi ve bina dışı uygulamalarda düşük maliyetli gözle görülebilir lazer ışını kullanılır.
Maksimum görünebilirlik sağlamak için tarama özelliklidir. Yatay lazer hattı ve düşey
çekül doğrultusu oluştururlar. Opsiyonel sensörler ile basit eğim seviyeleme
mekanizmaları bulunur. Kullanım alanları:
Düşey aliyman olarak;
•
Duvar yapımı,
•
Hareketli bölme (sürgülü kapı) yapımı,
•
Asansör rayı aliymanı,
•
Çevre duvarı
Yatay seviyeleme;
•
Asma tavan sistemleri ve asma giriş katı,
•
Mutfak dolaplarının, pencerelerin, yangın söndürme fıskiyelerinin vb. montaj
işleri,
•
Eğimli tavan yapımında
31
Geometrik Nivelman
•
Dört köşe yapma, Kaplama;
•
Konstrüksüyon montajı,
•
Bilgisayar döşeme montajı,
•
Çeşitli çekül hattı uygulamaları,
•
İlgili sensörlerin kullanımı ile 200m çaplı bir alanda eğim seviyeleme ve beton
dökme işi, eğimli çatı ve eğimli duvar yapımı.
Kendini otomatik olarak düzeçleyip gözle görülür lazer ışını yayan dönerli lazerler,
devamlı rotasyon halindeki lazer ışını, bir ışık düzlemi oluşturup yatay ve düşey
aliyman işlerinde referans sağlarlar. Bu lazerler aynı zamanda aşağı ve yukarı
doğrultuda çekül hattı oluşturur.
Boru Hattı Lazerleri, Görülebilen kırmızı veya yeşil ışıklı, otomatik aliymanlı, eğim ve
seviyeleme sistemli 3 ışınlı boru hattı lazerinde yatay ışın boru eğimini kontrol
ederken, düşey ışın çekül hattı oluşturur. Otomatik merkezleme ve sıfırlama özelliği
bulunur. Işın yanıp sönebilir, eğim ve hat için uzaktan kumandalı kilit sistemi, uzun
mesafeden algılama ve uzaktan kumanda ile eğim girişi yapılabilir.
Genel inşaat lazerleri, geleneksel optik seviyeleme yöntemleriyle karşılaştırıldığında
kullanıcıya büyük yararlar sağlar.
•
İnşaat alanı seviyelemesi,
•
Temel kazıları ve beton dökümü,
•
Drenaj, peyzaj işlerinde,
•
Kazıların kontrolü,
•
Havuz, çit, avlu, kısaca optik seviyeleme yapılan her yerde
Kullanılabilir. Lazerler, iş gücünden %50 ye varan oranlarda tasarruf sağlar. Optik
okuyucu ile rodu (çubuğu) tutan kişi arasındaki irtibatlaşma problemini ortadan
kaldırır. İş yapımını hızlandırıp hataları azaltır.
2.1.2.5. Optik Mikrometreli Nivolar
Yüksek incelikli nivelman aletlerinde gözle yapılan mm tahminleri yeterli değildir. Bu
amaçla kullanılan nivolar, ek bir düzenle donatılmışlardır. Objektif önüne takılan
paralel yüzlü cam plakanın hareket ettirilmesi ile hedef (gözlem) noktasından gelen
ışınlar, bir mira bölümünün tamamı (genellikle 1 cm) kadar kendisine paralel olarak
kayabilmektedir. Düzeç kabarcığı ortalanmış bir aletle, gözlem çizgileri ile miranın bir
sonraki bölümü arasında kalan parçayı ölçmek mümkün olmaktadır. Gözlem
doğrultusunun mira bölüm çizgisine kadar kaydırılması bir mikrometre vidasının
döndürülmesi ile sağlanmaktadır. Mikrometre vidasının dönme miktarı, cam bir skala
üzerine aktarılmakta ve skala üzerinde milimetreler, milimetrenin onda birleri
32
Geometrik Nivelman
doğrudan doğruya okunabilmekte ve milimetrenin yüzde birleri de tahmin
edilmektedir. Camın kalınlığı d, kırılma indisi n ve camın dönme açısı α ise, gözlem
doğrultusunun kayma miktarı e =
n −1
⋅ d ⋅ tan α dır.
n
Şekil 2.14 Optik mikrometreli nivoların çalışma ilkesi ve mira üzerinde okuma
2.2. Nivelman Miraları
Mira, noktaların nivelman düzleminden olan uzaklığını ölçmek için kullanılan,
fırınlanmış ahşaptan ya da metalden yapılmış cetvellerdir. Bazı ahşap miralarda,
eğilmeyi önlemek için miranın arka tarafına veya yan taraflarına destek parçaları
eklenir. Miranın alt uç kısmına çelikten yapılmış bir parça eklenir. Miranın
bölümlemesi bu levhanın alt kısmından başlar. Nivelman miraları tek parçalı,
katlanabilir ya da sürgülü olabilirler. Uzaktan iyi seçilebilmeleri için 1 metrelik ara ile
siyah-beyaz ve kırmızı-beyaz şeklinde bölümlendirilmiştir. Miralar, genellikle 4 m
uzunluğunda ve cm bölümlüdür. 2 adet tutamağı olan miraların düşeyliğini
sağlayabilmek için, bir küresel düzeçle donatılmışlardır.
Hassas nivelmanda
kullanılan miralar ise, 3 m boyunda tek parçalı olup 1 cm ya da yarım cm aralıklarla
bölümlendirilmiştir. Bu miralar ahşaptan olup, bölümlendirmeler ahşap üzerine
yerleştirilen invar şerit üzerine yapılmıştır ve tam düşey tutulabilmeleri için de
payandalarla desteklenmiştir. Kullanılmadıkları zaman bir kutu içinde korunurlar.
33
Geometrik Nivelman
a) Normal mira
b) Hassas nivelman mirası ve payandası
Şekil 2.15 Nivelman miraları
Nivelman miralarının boyları, sıcaklık ve nemin etkisiyle zamanla değişebilir. Bu
nedenle miraların boyları sık sık bir normal metre ile ya da komparator aletiyle
karşılaştırılarak kontrol edilmelidir. Ahşap miralar yaklaşık 10 oC lik bir sıcaklık
değişiminde boyları 0.1- 0.2 mm kadar değişebildiği halde invar miralarda bu değişim
ancak 0.04 mm kadardır. İnvar miraların bölümleri çizgi şeklindedir. Çizgi aralıkları 1
cm veya 0.5 cm olabilir.
2.2.1. Miraların Kontrolü
Miralarda şu hatalar olabilir:
1. Düzeç Hatası: Düşey olarak duran miranın yanına bir çekül asılır ve mira çekülün
ipine paralel olarak tutulur. Mira düzecinin kabarcığı ortada değilse düzeç hatası
vardır. Bu hata düzeç ayar vidalarıyla giderilir.
34
Geometrik Nivelman
2. Bölümleme Hatası: Basit miralarda iyi bir cetvel ile, invar miralarda komparatorlar
yardımıyla mira bölümleri kontrol edilebilir. Özenle yapılmış basit miralarda bölüm
hatası ± 0.1 mm den, invar miralarda ise ± 0.03 mm den fazla olmamalıdır.
3. Bölüm Başlangıç Hatası: Bu hata bölümlemenin, miranın tam yere konulan
ucundan başlamamasından ileri gelir. Bu hata geri ve ileri okumalarda etkisiz hale
gelir. Ancak geri ve ileri okumalarda değişik miralar kullanılıyorsa bölüm başlangıç
hatası, yükseklik farkına etki eder. Hatanın saptanması için farklı yükseklikte birkaç
noktaya, örneğin bir merdivenin basamaklarına mira altlıkları konur ve iki mira ayrı
ayrı tutularak nivo ile okumalar yapılır. Aynı noktalara ait okumalar arasındaki fark
bölüm başlangıç hatasıdır. Çeşitli noktalar için bulunan hataların ortalaması alınarak
hata miktarı belirlenir. Bu hatanın etkisini ortadan kaldırmak için, ölçmelere hangi
mira ile başlanmışsa, ölçümler yine aynı mira ile bitirilmelidir.
4. Mira Tabanının Eğiklik Hatası: Mira tabanındaki çelik levhanın alt yüzeyinin mira
bölüm çizgisine tam paralel olmamasından ileri gelir. Bu hatanın belirlenmesi için
mira ucundaki çelik levha ortadan itibaren sağa ve sola doğru eşit parçalara bölünüp
işaretlenir. Bir mira altlığına işaretlenen noktalar ayrı ayrı tutularak nivo ile okumalar
yapılır. Okumalar arasında fark varsa hata var demektir. Hatanın etkisiz duruma
getirilmesi için mira altlığı üzerine daima miranın ortası tutulmalıdır.
5. Katlanma Yeri Hatası: Kalitesiz miralarda görülen bir hatadır. Mira açıldığı zaman
katlanan parçalar arasında hiç boşluk kalmamalıdır. Ayrıca katlanma noktasından ön
ya da arkaya doğru kırılmamalıdır.
2.2.2. Mira Altlıkları (Mira Pabucu, Mira Çarığı)
Sağlam olmayan zeminlerde ve hassasiyet
aranan
nivelman
işlerinde,
miraların
çökmesini önlemek, geri ve ileri okumalarda
mira döndürülürken yüksekliğin değişmemesi
için kullanılan pik demirden yapılmış bir
alettir. Ortasında küresel başlı bir çıkıntı
vardır. Mira bu çıkıntıya tutulur. Ayrıca
toprağa iyi gömülebilmesi için üç sivri ayağı
vardır. Yumuşak zeminde üzerine basılarak
toprağa
sağlamca
oturması
sağlanır.
Taşınmasını kolaylaştırmak amacıyla bir
kulpu vardır.
Şekil 2.16 Mira altlığı
35
Geometrik Nivelman
2.3. Nivoların Kontrolü ve Eksen Koşulları
Nivolarla ölçmelere başlamadan önce nivoların, kontrol edilmeleri gerekir. Hatalı bir
aletle yapılan ölçmelerin hiçbir işe yaramayacağı açıktır. Böyle bir durumla
karşılaşmamak için nivoların belli aralıklarla kontrol edilmeleri gerekir. Aynı şekilde ilk
defa kullanılacak aletlerin eski veya yeni olmasına bakılmaksızın kontrol edilmeleri
gerekir. Eksen koşullarına geçmeden önce nivoların yatay gözlem çizgisinin yatay
olup olmadığının kontrolünü ele alalım.
2.3.1. Nivoların Yatay Gözlem Çizgisinin Yataylığının Kontrolü
Alet ayarlanarak düşey eksen tam düşey duruma getirildikten sonra yatay gözlem
çizgisinin bir ucu, arazide net ve keskin görünen bir noktaya yöneltilir. Sonra dürbün
yatay yönde yavaş yavaş döndürülerek yatay gözlem çizgisi üzerindeki noktanın,
çizginin öteki ucuna kayması sağlanır. Eğer nokta, yatay çizgi üzerinden ayrılmadan
hareket ediyorsa, yatay gözlem çizgisinin yatay olduğu anlaşılır. Eğer nokta, yatay
gözlem çizgisinin diğer ucuna alındığında çizgiden ayrılmış ise ayrılma miktarı
hatanın iki katıdır. Hata, gözlem çizgileri ayar vidası yardımıyla giderilir. Yatay gözlem
çizgisinin yatay duruma getirilmesi genellikle yandaki ayar vidasının (3 numaralı)
gevşetilerek gözlem çizgilerinin, kayma miktarının yarısı kadar döndürülmesiyle
sağlanır. 1 ve 2 numaralı vidalar, gözlem çizgilerinin aşağı–yukarı kaydırılması içindir.
Mira okumaları, gözlem çizgilerinin kesiştiği yerden yapılırsa bu hata etkisiz kalır.
1
d
2d
3
2
Şekil 2.17 Yatay gözlem çizgisinin yataylığının kontrolü
2.3.2. Nivolarda Eksen Koşulları
V
K
DD : Silindirsel düzeç ekseni
D
D
N
N
V
NN : Gözlem(nişan, optik) ekseni
VV : Düşey (asal) eksen
KK : Küresel düzeç ekseni
K
Genel olarak bir nivoda 4 eksen bulunur ve bu eksenler arasında şu koşullar
sağlanmalıdır:
36
Geometrik Nivelman
2.3.2.1. Küresel düzeç ekseni, düşey eksene paralel olmalıdır ( KK // VV ).
Küresel düzeç, üçayak vidası ile ortalanır ve sonra nivo 200g döndürülür. Eğer
kabarcık ortada ise küresel düzeç ekseninin düşey eksene paralel olduğu anlaşılır.
Kabarcık kaymışsa, kayma miktarı hatanın iki katıdır. Hatanın yarısı üçayak vidaları
yardımıyla, diğer yarısı da küresel düzecin ayar vidaları yardımıyla giderilir.
2.3.2.2. Nivolarda temel koşul, gözlem ekseninin yatay olmasıdır. Bu koşul, eğim
vidalı nivolarda; gözlem ekseni, düzeç eksenine paralel olmalıdır (NN // DD)
biçiminde ifade edilirken otomatik (kompensatörlü) nivolarda; gözlem ekseni,
kompensatörün çalışma alanı içinde yatay olmalıdır biçiminde ifade edilir. Bu koşulun
kontrolü ve sağlanması 3 şekilde yapılabilir:
1. Yöntem
Mira
Mira
c
a1’
β
b1
e
e
β
c
β
a1
A
Mira
Mira
b1’
a2’
B
a2
A
b2’
b2
B
2-5m
60 ̴ 100 m
Şekil 2.18 Nivolarda gözlem ekseninin yataylığının kontrolü – 1. yöntem
Kontrol edilecek alet, oldukça düz bir arazide aralarındaki uzaklık 60m ̴ 100m olan A
ve B noktalarının ortasına kurulur. Alet ayarlandıktan sonra A ve B noktalarındaki
miralara bakılarak a1′ , b1′ okumaları yapılır. Alet hatasız olsaydı a1 ve b1 değerlerinin
okunması gerekirdi. A ve B noktalarındaki mira okumalarında yapılan hata miktarları
birbirine eşittir. İki nokta arasındaki yükseklik farkı,
∆h = a1 − b1 = a1′ − c − (b1′ − c) = a1′ − c − b1′ + c = a1′ − b1′
ile hatasız olarak elde edilir.
Alette hata olup olmadığını anlamak için B noktasının 2-5 m uzağına alet kurulur. A
ve B noktalarındaki miralara bakılarak a 2′ ve b2′ okumaları yapılır. B noktası alete çok
yakın olduğundan B noktasındaki hatasız kabul edilebilir yani b2 = b2′ alınır. Alet
hatasız olsaydı,
a 2 = b2 + ∆h = b2 + a1′ − b1′
okumasının yapılması gerekirdi. Hatanın giderilmesi için gözlem çizgileri, A
noktasında a2 değeri okununcaya kadar kaydırılır. Gözlem çizgilerinin kaydırılması,
37
Geometrik Nivelman
eğim vidalı nivolarda eğim vidası döndürülerek yapılır. Bu durumda silindirsel düzeç
kabarcığı kayacaktır; kayan düzeç kabarcığı da düzeç ayar vidaları yardımıyla
ortalanır. Kompensatörlü nivolarda gözlem çizgilerinin kaydırılması farklı aletlerde
değişik şekillerde olabilir. Bazı aletlerde gözlem çizgileri kaydırılmak suretiyle,
bazılarında objektifin önündeki prizmatik bir camın döndürülmesiyle, bazılarında ise
Kompensatörün ayar vidası ile bazılarında da optik eksen üzerindeki bir prizmanın
kaydırılmasıyla sağlanır. En iyisi, kontrol edilen nivonun kullanım kitapçığında
belirtildiği şekilde gözlem çizgilerinin kaydırılmasıdır. Kontrol için işlem, değişik alet
yüksekliklerinde tekrarlanır.
2. Yöntem
Mira
Mira
a’3
a’4
a4
a3
a’1
a’2
a1
a2
B
C
D
A
s
s
s
a4 - a1 = a3 - a2
a’3 den a’1 a’2 ye paralel çizilirse, bu paralel B mirasını a4 de keser.
a4 = a’1 - a’2 + a’3
a4 - a’1 = a’3 - a’2
Örnek:
a’1=1.998
a’3=1.456
a’2=0.890
a’4=2.574
a’1 - a’2=1.108
a’3
=1.456
a4 = a’1 - a’2 + a’3=2.564
Nivo D noktasında iken B noktasındaki mirada 2.564 değeri okununcaya kadar
gözlem çizgileri kaydırılır.
38
Geometrik Nivelman
3.
Yöntem (Kukkamäki Yöntemi)
a’1
a1
d/2
d/2
d
2d
a’2
a2
s
A
s/2
s/2
b’1
b1
b’2
b2
B
a1 − b1 = a 2 − b2
a1 − b1 = a1′ −
a 2 = a 2′ − d
b2 = b2′ − 2d
d
d
d
d
− (b1′ − ) = a1′ − − b1′ + = a1′ − b1′
2
2
2
2
a 2 − b2 = a 2′ − d − (b2′ − 2d ) = a ′2 − d − b2′ + 2d = a ′2 − b2′ + d
a1 − b1 = a 2 − b2 idi,
a1′ − b1′ = a 2′ − b2′ + d ⇒ d = (a1′ − b1′ ) − (a 2′ − b2′ )
d nin bulunan bu değeri, yukarıda a2 ve b2 yi veren eşitliklerde yerine konulursa,
a 2 = a 2′ − d = a 2′ − [(a1′ − b1′ ) − (a 2′ − b2′ )]
b2 = b2′ − 2d = b2′ − 2 ⋅ [(a1′ − b1′ ) − (a ′2 − b2′ ))
elde edilir.
Örnek:
a1′ = 1.837
b1′ = 1.425
a 2′ = 1.672
b2′ = 1.250
a1′ − b1′ = 0.412
a 2′ − b2′ = 0.422
d = (a1′ − b1′ ) − (a 2′ − b2′ ) = 0.412 − 0.422 = −0.010
a 2 = a 2′ − d = 1.672 − (−0.010) = 1.682
b2 = b2′ − 2d = 1.250 − (−0.020) = 1.270
A noktasındaki mirada a2=1.682 veya B noktasındaki mirada ise b2=1.270 değeri
okununcaya kadar gözlem çizgileri kaydırılır. A veya B noktasındaki miraların birinde
okunması gereken değere okununcaya kadar gözlem çizgileri kaydırılır; diğer
noktada ise kontrol yapılır.
39
Geometrik Nivelman
2.4. Nivelman Noktalarının Tesisi
Yerleşim alanları dışında (kırsal kesimde) ve sağlam bina, köprü gibi yapıların
bulunmadığı durumlarda nivelman noktaları, şekil 2.21a daki biçim ve özelliklerde
zemin tesisi olarak yapılır. Yerleşim alanlarında ise, binaların sağlam temel
duvarlarına ya da kolonlarına, sağlam duvar ve yapıların uygun yerlerine şekil 2.21b
deki biçim ve özelliklerde duvar tesisi olarak yapılır.
Şekil 2.21 a) Kırsal alanda nivelman zemin tesisi, b) Yerleşim alanında nivelman duvar tesisi
2.5. Doğrultu (Hat) Nivelmanı
Bir geçki boyunca iki ya da daha fazla nokta arasındaki yükseklik farklarını
belirlemeye yönelik olarak yapılan nivelmana doğrultu (hat) nivelmanı denilir.
Yükseklik farkı belirlenecek A ve B noktaları birbirlerine yakın ve aralarında fazla
yükseklik farkı yoksa yaklaşık her iki noktaya da eşit uzaklıkta ortada bir yere, alet bir
kere kurularak bu iki nokta arasındaki yükseklik farkı belirlenir. A ve B noktalarında
düşey olarak tutulan miralara bakılarak, nivonun gözlem çizgilerinden ortadaki yatay
çizgiye rastlayan mira bölüm değerleri okunur. İşlem yönüne göre gerideki mirada
yapılan okuma değerine, geri okuma (g), ilerideki mirada yapılan okuma değerine de
ileri okuma (i) adı verilir. Bir noktada alet kaldırılmadan ikiden fazla mira okuması
yapılmışsa, ilk okuma geri, son okuma ileri, aradaki tüm okumalar da orta okuma
olarak adlandırılır.
40
Geometrik Nivelman
o2
g1
gA
i1
A
1
∆hA1 = ga - i1
iB
g4
i4
o3
∆h12 = g1 - o2
∆h23 = o2 –o3
3
2
∆h34 = o3 – i4
B
4
∆h4B = g4 - iB
[∆h]=[g]+[o]-[i]-[o]=[g]-[i]
A
1
2
3
4
B
Şekil 2.22 Orta okumalı doğrultu (hat) nivelmanı
2.5.1. Açık Nivelman
Yüksekliği bilinen bir noktadan nivelman işlemine başlanır, fakat yüksekliği bilinen
başka bir noktaya bağlanılmazsa bu tür nivelmana açık nivelman diyoruz. Açık
nivelmanda yapılan ölçümün kontrolü olmadığı için nivelman ve poligon noktalarının
yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılmaz.
Örnek:
Gidiş Nivelmanı
Mira Okumaları (m) Yükseklik Farkları (∆h)
Nokta Geri Orta İleri
+ (m) A
1.815
1
2.372
0.817 0.998
2
1.783
1.561 0.811
3
2.563
2.158
0.375
4
1.218 1.345
[g]= 8.533
[i]= 5.754 3.154
-0.375
[i]= 5.754
-0.375
[g]-[ i]= 2.779
[∆h] = 2.779 m
41
Geometrik Nivelman
Nokta
4
3
2
1
A
[g]=
[i]=
[g]-[ i]=
Dönüş Nivelmanı
Mira Okumaları
Yükseklik Farkları
(m)
∆h
Geri Orta İleri
+ (m) 1.361
1.879
2.702
1.341
2.124
1.502 0.377
1.543
2.932
0.808
2.546
1.003
6.907 [i]= 9.682 0.377
-3.152
9.682
3.152
-2.775
[∆h] = -2.775 m
Gidiş - Dönüş ortalamasıyla Kesin Yükseklikler
Yükseklik Farkları (∆h)
Nokta
A
1
2
3
4
Gidiş
0.998
0.811
- 0.375
1.345
Dönüş
1.003
0.808
- 0.377
1.341
Yükseklik
H
Ortalama
95.740 m
96.740
97.550
97.174
98.517
1.000
0.810
- 0.376
1.343
Gidiş – dönüş ölçüleriyle elde edilen yükseklik farklarının ortalaması alınırken, dönüş
ölçüleriyle elde edilen yükseklik farklarının işareti ters alınır.
2.5.2. Dayalı Nivelman
Yüksekliği bilinen bir noktadan nivelmana başlanır ve yüksekliği bilinen başka bir
noktaya bağlanılır. Dayalı nivelmanda yapılan ölçümler kontrol edilebilir. Noktalar
arasındaki yükseklik farklarının ölçülmesinde en çok kullanılan yöntemdir.
Mira Okumaları
Yükseklik Farkları Yükseklik
Kroki
Uzunluk
(m)
H
ve
(∆h)
(m)
Geri
Orta
İleri
(m)
Açıklama
+ (m) +4
1.375
A
203.125
1
2.934
1.555
201.570
2
1.861
1.073
202.643
3
2.238+4
2.747
0.886
201.757
+4
4
1.657
1.915 0.327
202.084
5
2.545
0.884
201.200
0.995 1.550
B
202.750
[i] = 5.657
2.950
-3.325
[g] = 5.270
-0.375
[i] = 5.657
3.325
[g] - [i] = -0.387
[∆h] = -0.375 m
HB -HA = - 0.375
Kapanma hatası = - 0.012 m = -12 mm
Nokta
42
Geometrik Nivelman
2.5.3. Kapalı Nivelman
Bir noktadan nivelmana başlanır ve bir halka oluşturularak aynı noktaya bağlanılır.
Kroki
Mira Okumaları
Yükseklik Farkları Yükseklik
H
ve
(m)
∆h
(
m
)
Açıklama
Geri
Orta
İleri
+ (m) 1.371+3
A
100.000
1
1.864
0.490
99.510
2
1.615+3
2.718
0.854
98.656
+2
3
1.399
0.985 0.633
99.289
4
2.078
0.677
98.612
0.690 1.388
A
100.000
[i] = 4.393 2.021
2.021
[g] = 4.385
0.000
[i] = 4.393
2.021
[g] - [i] = -0.008
[∆h] = 0.000
HB -HA = 0.000
Kapanma hatası = - 0.008 m = -8 mm
Nokta
Uzunluk
(m)
2.5.4. Gözlem Düzlemi Yüksekliğine Göre Nivelman
Gözlem düzlemi kotuna göre nivelman hesabı, orta okuma sayısı fazla olduğunda
hesap kolaylığı sağlar.
g4
gA
o1
1
A
o2
o3
o6
o7
o8
4
5
6
7
8
Şekil 2.23 Gözlem düzlemi yüksekliğine göre nivelman
Nokta
No
A
1
2
3
4
5
6
7
8
B
Geri
2.146+2
2.695+2
Orta
2.062
1.854
1.250
2.443
2.321
2.056
1.875
[g] = 4.841 [i] = 2.639
[i] = 2.639
[g]-[i] = 2.202
iB
i4
3
2
o5
İleri
0.985-2
1.654-2
Gözlem Düzlemi
Yüksekliği
102.148 m
Yükseklik
H
100.000 m
100.086
100.294
100.898
101.165
103.862 m
101.419
101.541
101.806
101.987
102.210 m
HB - HA = 2.210 m
[g]-[i] = 2.202
Düzeltme miktarı
43
=+0.008 m = 8 mm
B
Geometrik Nivelman
GİDİŞ NİVELMANI
Mira Okumaları
Yükseklik Farkları Yükseklik Ortalama
Kroki
Uzunluk
(m)
H
Yükseklik
ve
(∆h)
(m)
Geri Orta İleri
(
m
)
(
m
)
Açıklama
+ (m) Rs.285
12 0.524-2
72.568
72.568
15 - 16 0.460
3.806
3.284
P.1
13 - 17 0.520-2
2.844
2.384
66.900
66.900
20 - 16 0.646
2.968
2.450
8 - 21 0.455
2.972
2.326
P.2
7 - 10 0.559-2
2.263
1.808
60.316
60.310
15 - 12 0.459
3.313
2.756
20 - 18 0.789
3.089
2.630
P.3
16 - 25 0.504-2
2.589
1.800
53.130
53.124
18 - 20 0.218
3.622
3.120
15 - 16 0.840
2.780
2.562
-1
P.4
17 - 13 2.898
1.912
1.072
46.376
46.370
21 - 24 0.820
2.389
0.508
22 - 25 0.945
3.386
2.566
P.5
26 - 30 1.184-1
2.645
1.700
42.618
42.618
25 - 34 0.951
1.882
0.699
Rs.344
- 20 12.772
2.334
1.383
40.536
40.536
[L]=
587 m
42.794
44.794
0.508 -32.540
-32.032
[g]-[i]=
-32.022
-32.540 m
H344-H285 =
-32.032
[|h|]=33.048 m
[∆h] = -32.032 m
Hata miktarı=+0.010m=10 mm
Hoşgörü sınırı: d=0.02√ [L] +0.0003∗[|h|] =0.02√ 0.587 +0.0003 ∗ 33.048 =0.025 m =25 mm
Hata miktarı < Hoşgörü sınırı (10 mm < 25 mm ) olduğu için hata dağıtımı yapılır.
Nokta
DÖNÜŞ NİVELMANI
Mira Okumaları
Yükseklik Farkları
Nokta
Uzaklık
(m)
(∆h)
(m)
Geri
Orta İleri
+ (m) Rs.344
2.492+2
1.900
1.102
1.392
P.5
1.576+2
1.211
0.689
3.211
1.840
0.262
2.209
0.751
2.460
P.4
2.224+3
0.660
1.549
3.527
0.420
1.807
2.832
0.655
2.872
P.3
2.482+3
0.757
2.075
3.274
0.572
1.913
3.032
0.441
2.833
P.2
3.253+3
0.592
2.440
2.662
0.465
2.791
2.262
0.633
2.029
+3
P.1
2.435
0.487
1.775
2.775
0.788
1.650
2.693
0.492
2.283
Rs.285
44.839
0.957
1.736
[g]=
12.823
12.823
32.294
0.262
[g]-[i] = 32.016
-0.262
H285-H344=
32.032
32.032
Hata miktarı =- 0.016 m =-16 mm
44
Yükseklik
H
(m)
40.536
Ortalama
Yükseklik
(m)
42.617
46.364
53.118
60.304
66.899
72.568
32.032m
32.016
+0.016 m =+16 mm
Kroki
ve
Açıklama
Geometrik Nivelman
Poligon noktalarının yükseklikleri, genellikle iki nivelman noktasına dayalı olarak
yapılan gidiş - dönüş nivelmanıyla belirlenir. Yukarıda böyle bir örnek görülmektedir.
Ara nivelman noktalarının yükseklikleri aşağıdaki çizelgede görüldüğü gibi
hesaplanabilir. Düzeltme değerleri, nivelman yolu uzunluğu ile orantılı olarak verilir.
Bilinen
Nokta
Yeni
Nokta
Nivelm.
Def. No
Say. No
NİVELMAN HESAP ÇİZELGESİ
Rs.ler
Ölçülen Yükseklik Farkları
Arası
∆h
Ortalama ∆h
Mesafe
Gidiş
Dönüş
+
m
m
m
m
Yükseklik
m
Açıklama
m
Rs 5
122.514
Rs 12
Rs 21
Rs 14
Rs 2
G.13
D.29
G.14
D.26
G.18
D.32
G.16
D.34
13.878
+3
572
+13.874
+13.882
461
-21.613
-21.605
21.609+2
+3
136.395
114.788
695
-11.988
-11.982
880
+34.396
+34.388
11.985
102.806
2608
34.392+4
48.270
33.594
33.594
137.202
14.688
14.676
14.676
Düzeltme
+12 mm
81
121.349
88
83
G.1/7
D.2/16
G.1/8
D.2/7
-13.750
-13.756
13.753+3
-35.857
+2
107.599
-35.853
Ortalama
107.600
35.855
49.608
Düzeltme
82
71.746
-49.603
-49.608
+ 5 mm
97.815
88
G.1/21
D.2/20
+9.783
+9.790
+9.786
107.601
2.6. Yüzey Nivelmanı
İnşaat işleri, arazi tesviyesi, spor alanları gibi projelerin uygulanmasında, özellikle
kazılacak ve doldurulacak toprak miktarlarının hesaplanması için arazinin eşyükseklik
45
Geometrik Nivelman
eğrili planına ihtiyaç duyulur. Bunun için, arazinin topografik yapısı çok engebeli
değilse ya kareler ağı yöntemiyle ya da ışınsal yöntemle yüzey nivelmanı yapılır.
2.6.1. Kareler Ağı Yöntemiyle Yüzey Nivelmanı
Şekil 2.24 Kareler ağı yöntemine göre yüzey nivelmanı krokisi
Yüzey nivelmanı yapılacak arazide bir ölçü doğrusu belirlenir ve bu doğru üzerinde
belirli aralıklarla, takeometre, nivo ya da prizmalarla dikler çıkılır. Sonra aynı işlem bu
dikler üzerinde tekrarlanarak arazi karelere bölünür. Kareler ağı yönteminde karelerin
kenar uzunluğu, arazinin topografik yapısı ve ihtiyaca göre 5–30 m arasında
seçilebilir. Kare köşelerine ve kare kenarlarının arazi detaylarını kestiği noktalara kot
verilir. Parselin çizimi için, kare uzantılarının arazi sınırını kestiği noktaya olan
mesafelerden gerekli olanları çelik şerit ile ölçülür. Arazinin yakınındaki yüksekliği
bilinen bir noktaya dayalı olarak nivelman yapılır. Plan çiziminde karelerin kesim
noktasına, ölçülen yükseklik değerleri yazılır. Yükseklik değerlerinin metre ve alt
birimlerini ayıran “.” işareti, aynı zamanda karelerin kesim noktası olacaktır.
46
Geometrik Nivelman
Nokta
Mira Okumaları
No
Geri
Orta
İleri
+2
1.415
P1
1
1.618
2
1.871
3
1.999
4
2.365
5
2.583
6
2.612
7
2.649
8
2.670
9
2.720
10
2.656
11
2.343
12
2.019
13
1.871
14
1.637
15
1.592
16
1.817
17
1.968
18
2.045
19
2.375
+2
20
1.671
2.789
21
1.813
22
1.941
23
1.716
24
1.584
25
1.532
26
1.497
27
1.385
28
1.290
29
1.365
30
1.444
31
1.615
32
1.743
33
1.861
+2
34
1.714
1.957
2.650
P2
[g]= 4.800
[i]= 7.396
[i]= 7.396
[g]-[i]= -2.596
HP2-HP1 = -2.590
Gözlem Düzlemi
Yüksekliği
74.320
Yükseklik
H
72.903 m
72.702
72.449
72.321
71.955
71.737
71.708
71.671
71.650
71.600
71.664
71.977
72.301
72.449
72.683
72.728
72.503
72.352
72.275
71.945
73.204
71.531
71.391
71.263
71.488
71.620
71.672
71.707
71.819
71.914
71.839
71.760
71.589
71.461
71.343
71.247
72.963
70.313
HP2-HP1 = -2.590
[g]-[i] = -2.596
Düzeltme Miktarı= +0.006 m= +6 mm
Hata miktarı= -0.006 m = - 6 mm
2.6.2. Işınsal (Kutupsal) Nivelman
Yatay açı bölüm dairesi bulunan nivelman aletleri ile yapılır. Nivelman aleti, ölçme
alanındaki poligon noktası gibi konumu ve yüksekliği bilinen bir noktaya kurularak,
47
Geometrik Nivelman
konumu ve yüksekliği bilinen başka 2 noktaya bakılarak mirada alt, orta, üst çizgi
okumaları ile yatay açı okumaları yapılır. Ayrıca alet yüksekliği ölçülür. Işınsal
nivelmanda mira okumaları cm biriminde yapılır. Yüzey nivelmanı yapılacak alanın
kırık noktalarına, arazinin karakteristik noktalarına ve belli aralıklarla arazi taranarak
mira tutulur. Bakılan tüm noktalarda miradaki alt, orta, üst çizgi okumaları ile yatay
açı değerleri okunur. Üst-orta çizgi okuması farkı ile orta-alt çizgi okuması farkının
birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca, bu iki farkın toplamı ile üst çizgi-alt çizgi
okumaları farkının eşit olması gerekir. Üst-alt çizgi okumalarının cm birimindeki farkı,
100 ile çarpılarak alet ile mira arasındaki uzunluklar cm biriminde bulunur. Ya da
başka bir deyişle, cm birimindeki üst çizgi-alt çizgi okumaları farkı, m biriminde aletle
mira arasındaki uzunluğu verir.
2
5
3
1
P2
P3
P1
Şekil 2.25 Işınsal nivelman
Mira
DN
BN
Yatay Açı Okumaları
g
P2
P1
0 .00
i = 1.55 m
HP2=135.43 m
136.98 m
P3
248,50
1
46,75
2
85,60
3
112,40
144
181
218
198
243.4
288.8
316.8
338.3
359.8
90
115.5
141
205.2
221.0
236.8
Mira
Farkları
Yatay
Uzaklık
Yükseklik
H
37 cm
37
74.0 m
135.17 m
45.4
45.4
90.8
134.55
21.5
21.5
43.0
133.60
25.5
25.5
51.0
135.82
15.8
15.8
31.6
134.77
Yatay açı ve uzunluklarla, bakılan noktaların konumları kutupsal olarak belirlenir. Alet
kurulan noktanın yüksekliğine, alet yüksekliği eklenince aletin gözlem düzleminin
yüksekliği elde edilir. Aletin gözleme düzleminin yüksekliğinden, orta çizgi okumaları
(m biriminde) çıkartılırsa, bakılan noktanın yüksekliği m biriminde bulunur.
48
Geometrik Nivelman
2.6.3. Hacim Hesabı
Yüzey nivelmanı yapılan yerde çoğunlukla bir kazı ya da dolgu işlemi vardır. Kazı
veya dolgu miktarının (kazılacak ya da doldurulacak toprağın hacminin) bulunması
kareler ağı yönteminde daha kolay olmaktadır. Oluşturulan her bir kare için, kare
köşelerindeki kazı ya da dolgu yüksekliği hesaplanır; hacim hesabında ise bu kare
köşelerindeki kazı ve dolgu yüksekliklerinin ortalaması alınmak suretiyle her kare için
bir ortalama kazı ya da dolgu yüksekliği bulunur. Problem, tabanı ve tavanı kare,
yüksekliği ortalama kazı ya da dolgu yüksekliği olan bir kare prizmanın hacminin
bulunmasına dönüşür. Bu kare prizmanın hacmi, karenin alanı ile ortalama kazı veya
dolgu yüksekliğinin çarpılması ile bulunur.
Hâlbuki ışınsal nivelmanda ölçüm yapılan noktalar, kare veya dikdörtgen gibi alanı
kolay hesaplanabilir bir geometrik şekil oluşturmadıkları için alan hesabında temel
şekil olarak üçgen alınır. Hâlbuki bu üçgenlerin hiç bir elemanı doğrudan
ölçülmemiştir. Dolayısıyla alan ve hacim hesabı direkt yapılamaz. Alan ve hacim
hesabı için dolaylı yollara başvurulur. Örneğin, ölçülen tüm noktaların önce
koordinatları, sonra da bu koordinatlardan üçgenlerin alanı bulunur veya yapılan
ölçümlere göre ölçekli bir çizim yapılır ve oluşturulacak üçgenlerin kenarları grafik
olarak ölçülerek alan hesabı yapılabilir. Daha sonra bu üçgenlerin ortalama kazı
yüksekliği bulunarak üçgen prizmaların hacmi hesaplanır. Fakat burada işlemler
oldukça uzun olmaktadır. Hesaplama işlemi bilgisayar yardımıyla bir programa dayalı
olarak yapılmayacaksa yüzey nivelmanı için ışınsal nivelman tercih edilmemelidir.
ÖRNEK:
Şekildeki alan, 95.000 m yüksekliğine kadar kazılacaktır. Verilenler, P noktasının
yüksekliği ve mira okumaları olduğuna göre kazı miktarını bulunuz.
1
10m
2
3
10m
I
8
10m
10m 7
IV
6
P
II
4
III
10m
5
Nokta
P
1
2
3
4
5
6
7
8
Mira Okumaları
Geri
Orta
İleri
2.345
1.954
2.312
2.564
1.988
1.999
1.492
2.550
2.300
1.640
49
Gözleme
Düzlemi Kotu
102.345
102.852
Yükseklik
H
100.000
100.391
100.033
99.781
100.357
100.853
100.302
100.552
101.212
Kazı
Yüksekliği (h)
5.391 m
5.033
4.781
5.357
5.853
5.302
5.552
6.212
Geometrik Nivelman
h + h 2 + h 7 + h8 5.391 + 5.033 + 5.552 + 6.212 22.188
=
=
= 5.547m
hI = 1
4
4
4
h + h3 + h 4 + h 7 5.033 + 4.781 + 5.357 + 5.552 20.723
hII = 2
=
=
= 5.18075m
4
4
4
h + h5 + h 6 + h 7 5.357 + 5.853 + 5.302 + 5.552 22.064
hIII = 4
=
=
= 5.516m
4
4
4
h + h7 + h 8 5.302 + 5.552 + 6.212 17.066
hIV = 6
=
=
= 5.68867m
3
3
3
FI = FII = FIII = 10 ∗ 10 = 100m 2
FIV = 10 ∗ 10 / 2 = 50m 2
VI = FI ∗ hI = 5.547 ∗ 100 = 554.700m 3
VII = FII ∗ hII = 5.18075 ∗ 100 = 518.075m 3
VIII = FIII ∗ hIII = 5.516 ∗ 100 = 551.600m 3
VIV = FIV ∗ hIV = 5.68867 ∗ 50 = 284.433m 3
V = VToplam = VI + VII + VIII + VIV = 1908.808m 3
2.7. Hassas Nivelman
Hassas nivelman, birinci ve ikinci derece ülke nivelman ağlarının ölçülmesinde,
köprü, baraj, gökdelen gibi mühendislik yapıları ve yakın çevresindeki düşey yöndeki
hareketlerin belirlenmesinde kullanılır. Hassas nivelmanda kullanılan nivoların dürbün
büyütmeleri 40–50, silindirsel düzecin duyarlığı ya da kompensatörün çalışma
duyarlığı 10” den az olmalıdır. Optik mikrometre düzeni bulunan nivolar kullanılır.
Aletin sehpası sağlam ve tek parça (sürgüsüz) olmalıdır. Genellikle tek parçalı ve 3 m
boyunda invar miralar kullanılır. Miraların çift bölümlü olanları yeğlenir. Hassas
nivelmanda daima çift mira kullanılır. Miralar yarım santimetre ya da bir santimetre
bölümlü olurlar. Miranın düşeyliği mira üzerindeki bir küresel düzeçle kontrol edilir ve
miranın sallanmadan durması için mira destekleri kullanılır.
Hassas nivelman mutlaka gidiş-dönüş olarak ve olanaklıysa farklı zamanlarda
yapılmalıdır. Bu şekilde eşit atmosfer koşullarından doğabilecek düzenli hatalardan
sakınılmış olunur. Hassas nivelmanda yüksek bir doğruluk elde etmek için ölçmeler
sırasında şu hususlara dikkat etmek gerekir:
1. Alet, ölçme yaparken sallanmayacak şekilde kurulmalıdır.
2. Miralar, mutlaka mira altlıkları üzerine tutulmalıdır.
3. Aletle mira arasındaki uzaklık 35 metreden fazla olmamak üzere eşit olarak
alınmalıdır. Geri ve ileri uzaklıklar arasındaki fark 0.50 metreden fazla
olmamalıdır.
50
Geometrik Nivelman
4. Işığın kırılmasının (refraksiyonun) etkilerini önlemek amacıyla alet mümkün
olduğunca yüksek kurulmalı ve gözlem ışını yerden en az 70 cm yüksekten
geçmelidir.
5. Mira bölüm başlangıç hatasının etkisini önlemek amacıyla, ölçmeye hangi mira ile
başlanmışsa o mira ile bitirilmelidir. Gidiş-dönüş ölçmelerine farklı miralarla
başlanmalı.
6. Düzenli hataların etkisini azaltmak için gidiş ve dönüş ölçmeleri mutlaka aynı yol
üzerinde yapılmalıdır.
7. Ölçmeler, bulutlu havalarda ya da sabah ve akşam saatlerinde yapılmalıdır. Hiçbir
zaman güneşli havalarda ve öğle saatlerinde nivelman yapılmamalıdır.
8. Miralar daima mira payandaları ile desteklenmeli ve mira düzeci yardımıyla tam
düşey durumda tutulmalıdır.
9. Her mira okumasında eğim vidası yardımıyla silindirsel düzeç, yeniden ve çok iyi
ayarlanmalıdır.
10. Mira okumalarında önce gerideki mirada sol bölüm (gı), sonra ilerideki mirada sol
bölüm (iı), daha sonra yine ilerdeki mirada sağ bölüm (iıı) ve son olarak da
gerideki mirada sağ bölüm (gıı) okunur.
11. Otomatik (kompensatörlü) nivolarda ufuk hatasının etkisini azaltmak için daha
dikkatli olunmalı ve alet sürekli aynı miraya doğru yöneltilerek küresel düzeç
ortalanmalı ve ilk mira okuması hep aynı mirada yapılmalıdır (iı gı gıı iıı).
12. Ölçmeler ne kadar çabuk yapılırsa o kadar iyi sonuç alınır.
13. Miranın ucu ve mira altlığı daima temiz tutulmalıdır.
Hassas nivelmanda hesap şu formüllere göre yapılır.
g ı − i ı = hı 
[hı ] + [hıı ]
H B − H A =
2
g ıı − i ıı = hıı 
Kontroller ise,
[g ı ] − [i ı ] = [hı ]
[g ıı ] − [i ıı ] = [hıı ]
[hı ] − [hıı ] = [hı − hıı ]
formüllerine göre yapılır. Bulunan değer mira bölümü birimindendir.
Nivelmanda tek bölümlü mira kullanılmış ise geri ve ileri okumalar yapıldıktan sonra,
aletin üçayağı oynatılmak suretiyle alet yüksekliği biraz değiştirilip ikinci bir okuma
yapılarak çift bölümlü miralarla olduğu gibi ölçmeler yapılabilir.
51
Geometrik Nivelman
Nokta Mira Uzaklık
No
No
Bakılan
Yön
gı
iı
(cm)
gı - iı = hı
[hı]
(cm)
A
1
1
2
34 m
34
g
i
115.32
178.27
1
2
2
1
30
30
g
i
193.86
177.41
2
3
1
2
32
32
g
i
138.74
221.28
3
4
2
1
27
27
g
i
193.11
200.24
4
5
1
2
25
25
g
i
218.47
116.82
5
B
2
1
30
30
350
g
i
[g]
[i]
[g]-[i]=
167.45
136.54
1026.95
1030.56
-3.61
HB − H A =
[hı ] + [hıı ] = −
-62.95
16.45
-46.50
-82.54
-129.04
-7.13
-136.17
101.65
-34.52
30.91
-3.61
gıı
iıı
(cm)
448.83
511.79
527.33
510.89
472.26
554.77
526.62
533.73
551.99
450.34
500.95
470.05
3027.98
3031.57
-3.59
gıı - iıı = hıı
[hıı]
(cm)
f=hı-hıı
[f]
-62.96
1
16.44
-46.52
1
2
-82.51
-129.03
-3
-1
-7.11
-136.14
-2
-3
101.65
-34.49
0
-3
30.90
-3.59
1
-2
3.61 + 3.59
= − 3.60 cm
2
2
2.8. Kesit Nivelmanı
Yol, kanal, yüksek gerilim hattı vb. tesislerin yapımında arazinin boyuna ve enine
kesitleri çıkarılır. Boy kesitler güzergâh yönünde, en kesitler de bu yöne dik
doğrultuda çıkarılırlar. İşin amacına ve arazinin topografik yapısına göre, boy kesit
için okumalar 20, 50 ya da 100 m de bir ve ayrıca eğimin değiştiği noktalarda yapılır.
En kesitlerde ise eksen üzerinde, yolun sol ve sağ bitim noktalarında ve ayrıca
eğimin değiştiği noktalarda okumalar yapılır. Uzaklıklar, çelik şerit metre ile ölçülürler.
2.8.1. Boy Kesit
Şekil 2.26 Boy kesit nivelman krokisi
52
Geometrik Nivelman
Boy kesit nivelmanı
Gözlem
Mira Okumaları
Yükseklik
Düzlemi Kotu
Nokta
Uzaklık
H
Açıklama
Geri
Orta
İleri
+2
33 1.806
P6
124.808 m
123.000 m
+2
A
41 - 35 3.125
2.594 125.341
122.214
+2
1+440
- 40 3.186
1.335 127.194
124.006
1+460
1.487
125.707
+2
1+480
1.306
0.696 127.806
126.498
1+500
2.545
125.261
1+513.25
2.740
125.066
+2
1+520
1.445
0.637 128.616
127.169
1+540
0.791
127.825
+2
1+560
34 2.865
1.979 129.504
126.637
+2
B
40 - 34 3.203
0.722 131.987
128.782
- 43
1.473
P19
130.514 m
16.936
9436
7.514
9.436
7.500
7.500
Düzeltme miktarı : 0.014 m = 14 mm
128
1/100
127
1/1000
126
125
1+480
1+500
1+513.25
1+520
1+540
1+560
126.20 125.261
126.49 125.066
126.63 127.169
127.07 127.825
127.50 126.637
1+460
125.77 126.498
Kırmızı Kot
125.33 125.707
Siyah Kot
124.90 124.006
Başlangıca uzaklıklar
1+440
Referans Kotu 124 m
Şekil 2.27 Boy kesit çizimi
53
Geometrik Nivelman
∆h
α
Eğim = m = tan α =
yükseklik farkı
∆h
=
yatay uzunluk
s
s
Önek :
s AB = 120.00 m 

H A = 124.90 m  m AB = ?
H B = 127.50 m 
H − H A 127.50 − 124.90
2.60
m AB = tan α = B
=
=
= 0.0216667 = %2.2
s AB
120.00
120.00
Aliyman şeklindeki kırmızı çizginin ilk (1+440 m) ve son (1+560) noktalarının
yükseklikleri boy kesitten alınır. Yatay uzunlukla kırmızı çizginin eğiminin çarpımı ile
iki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanır. İlk noktaya göre hesaplanan yükseklik
farkları, ilk nokta yüksekliğine eklenerek ara noktalardaki kırmızı kotlar elde edilir.
∆hi = m ⋅ s i
∆h1 = 0.0217 ⋅ 20 = 0.433 m
H1 + 460 = H1 + 440 + ∆h1 = 124.90 + 0.43 = 125.33 m
∆h2 = 0.0217 ⋅ 40 = 0.867 m
H1 + 480 = H1 + 440 + ∆h2 = 124.90 + 0.87 = 125.77 m
2.8.2. En Kesit
En kesitler genellikle hacim hesapları için kullanılır. En kesit için yapılan yükseklik ve
uzunluk ölçümleri genelikle bir kroki üzerine yazılır. Eğer nivonun bir kez kurulmasıyla
tüm kesit noktaları ölçülemez ve alet ikinci bir kez daha kurulmuşsa, kroki buna göre
düzenlenir. En kesitlerde yatay ve düşey ölçekler aynı ve genellikle de 1/100 ya da
1/200 alınır.
Şekil 2.28 En kesit nivelman krokisi
54
Geometrik Nivelman
En Kesit Nivelmanı Ölçüm ve Hesap Çizelgesi
Gözlem Düzlemi Yükseklik
Yüksekliği
H
124.408
124.797
124.705
127.650
126.498
129.169
126.575
127.297
127.784
Eksenden
Mira Okumaları
Uzaklık
Geri
Orta
İleri
10.00
3.242
8.64
2.853
5.26
2.945
0.00
1.152
3.36
2.594
1.075
5.85
1.872
10.00
1.385
Açıklama
Sol
Sağ
En kesitler, tip en kesite uygun olarak ölçü değerlerine göre çizilir. Aşağıdaki şekilde
bir tip en kesit örneği görülmektedir.
%2
0.000
0.000
126.498
124.705
Siyah Kot
%2
%2
−0.045
− 2.269
− 1.065
− 0.973
− 5.260
− 8.640
1.36 3.38
5.26
124.797
Uzaklık
4/1
124.408
124.000 m
− 1.120
− 10.000
− 1.362
− 10.000
−0.120
− 6.000
1.966 2.014
9.585 10.000
1/1
−0.120
6.000
3.36
2.49
− 0.870
6.750
4.15
127.784
1/100
0.805
3.360
0.728
0.000
1.527
5.850
127.297
1/100
Tip En Kesit
1/1
1/1
126.575
4/1
K.K. 125.77
%2
Şekil 2.29 En kesit çizimi
Şev eğimi =
s
= cot α
dh
Yarmada şev eğimi, zeminin cinsine göre değişik değerler alır. Dolguda şev eğimi,
dolgunun h yüksekliğine göre değişir. Karayollarının kabul ettiği değerler:
h < 1.5 m için 4/1
1.5 ≤ h < 3.0 m için 3/1
3.0 ≤ h < 5.0 m için 2/1
h ≥ 5.0 m için 3/2
55
Geometrik Nivelman
Arazi Eğimi ve Şev Eğimi Aynı Yönde
x
→ x = s ⋅ ma
s
x+p
Şevin eğimi (m ş ) =
→ x + p = s ⋅ mş → x = s ⋅ mş − p
s
s ⋅ ma = s ⋅ m ş − p
Arazi eğimi (m a ) =
s
x
ma
mş
p
p = s ⋅ m ş − s ⋅ m a = s ⋅ (m ş − m a ) → s =
p
m ş − ma
Arazi Eğimi ve Şev Eğimi Ters Yönde
p−x
→ ma ⋅ s = p − x
s
x
mş =
→ x = mş ⋅ s
s
ma =
mş
s
x
p
ma
mş ⋅ s = p − ma ⋅ s → mş ⋅ s + ma ⋅ s = p
0.728
0.000
ma
mş
− 1.065
− 5.260
− 0.045
− 2.269
1.633
1.527 6.750
5.850
ℓ
k
x
- 0.120
6.000
s
ma
0.000
0.000
2.014
10.000
1.633 + x
6.750 + s
mş=1/1
mş
- 0.870
6.750
2.014 − 1.527
= 0.11735
10.000 − 5.850
→ s=
p
mş + ma
m ş = 0.02
x
1.966
s 9.585
p
ma =
→ x = p - ma ⋅ s
0.728 − ( −1.065) 1.793
=
= 0.34087
5.260
5.260
0.728
0.728
p
=
=
s=
m ş − m a 0.02 − 0.34087 − 0.32087
ma =
s = 2.269 m
x = m ş ⋅ s = 0.02 ⋅ 2.269 = 0.045 m
1
=1
1
k = 6.750 − 5.850 = 0.900 m
mş =
l = 0.900 ⋅ 0.11735 = 0.106 m
1.527 + l = 1.527 + 0.106 = 1.633 m
p = 1.633 - (-0.870) = 2.503 m
s=
p
2.503
2.503
=
=
= 2.8353
m ş − m a 1 − 0.11735 0.88265
x = ma ⋅ s = 0.11735 ⋅ 2.8353 = 0.333 m
x = s ⋅ mş − p = 2.835 − 2.503 = 0.332 m (kontrol)
1.633 + x = 1.633 + 0.333 = 1.966 m
6.750 + s = 6.750 + 2.835 = 9.585 m
56
Geometrik Nivelman
2.8.3. Cross Yöntemine Göre Kesitlerle Alan Hesabı
0.00
0.00
-0.15
-7.50
-0.15
7.50
I
-1.25
-9.50
-1.40
-5.81
-0.15
-7.50
-1.28
10.20
-1.32
2.15
0.00
0.00
-0.15
7.50
II
-1.27
-9.75
-1.22
-6.05
-1.36
1.95
-1.12
6.74
-1.23
10.12
Şekil 2.30 Kesitlerle alan hesabı
Her hangi bir noktadan başlanarak saat ibresinin ters yönünde sırayla tüm koordinat
değerleri yazıldıktan sonra, ilk noktanın koordinatları tekrar yazılır. + yönündeki
okların çarpımlarının toplamından – yöndeki okların çarpımlarının toplamı çıkartılır.
h
+
x
-
2FI =
Saat ibresinin ters yönünde
0.00 − 0.15 − 1.25 − 1.40 − 1.32 − 1.28 − 0.15 0.00
=
0.00 − 7.50 − 9.50 − 5.81 2.15 10.20 7.50 0.00
2FI = 26.0622 − ( −17.3865 ) = 43.4487
2FII =
-
⇒ FI = 21.72435 m 2
0.00 − 0.15 − 1.27 − 1.22 − 1.36 − 1.12 − 1.23 -0.15 0.00
=
0.00 − 7.50 − 9.75 − 6.05 1.95
6.74 10.12 7.50 0.00
2FII = 17.6558 − ( −22.9588 ) = 40.6146
-
⇒ FII = 20.3073 m 2
2.8.4. Kesitlerle Hacim Hesabı
2.8.4.1.
Kesitlerin İkisi de Dolgu ya da Yarma
Yukarıda alanları hesaplanan kesitlerin ikisi de dolgudur ve aralarındaki uzaklık s=20
m olsun. Bu iki kesit arasındaki hacim (dolgu miktarı),
FI + FII
21.72435 + 20.3073
⋅s =
⋅ 20.00 = 21.015825 ⋅ 20.00 = 420.3165 m 3
2
2
olarak hesaplanır.
V=
57
Geometrik Nivelman
2.8.4.2.
Kesitlerin Biri Dolgu Diğeri Yarma
Kesitin biri dolgu diğeri yarma ise, dolgudan yarmaya geçilen nokta bulunarak; dolgu
ve yarma hacimleri ayrı ayrı hesaplanır.
A
MN=s=İki kesit arasındaki uzaklık
Fd k
k
= =
Fy
l s−k
B
Fy
D’
A’
k ⋅ Fy = s ⋅ Fd − k ⋅ Fd
D
Fd C’
k ⋅ ( Fy + Fd ) = s ⋅ Fd
C
O
k=
B’
M
k
Fd
O
ℓ
0.00
0.00
-0.13
-6.50
0.90
-8.75
-0.88
-7.35
Fy
l =s−k
N
Dolgu hacmi = Vd =
Fd ⋅ k
2
Fy ⋅ l
Yarma hacmi = Vy =
2
-0.13
6.70
Dolgu
-1.05
-7.95
s ⋅ Fd
Fy + Fd
-0.95
8.10
-1.15
4.10
1.04
-3.15
0.85
9.10
Yarma
-0.13
-6.60
0.00
0.00
-0.13
6.75
-0.90
7.50
Yukarıda alanları hesaplanan kesitlerin birisi dolgu diğeri yarmadır ve aralarındaki
uzaklık s=20 m olsun. Bu iki kesit arasındaki kazı ve dolgu miktarı,
2Fd =
0.00 − 0.13 − 1.05 − 1.15 − 0.95 − 0.13 0.00
0.00 − 6.50 − 7.95 4.10
8.10
6.70 0.00
Fd = 11.095 − ( −18.9515 ) = 29.971 → Fd = 14.9855 m 2
2Fy =
0.00 − 0.13 − 0.90 0.85 1.04
0.90 - 0.88 − 0.13 0.00
0.00 6.75
7.50 9.10 − 3.15 − 8.75 - 7.35 − 6.60 0.00
2Fy = 15.5845 − ( −21.7495 ) = 37.334 → Fy = 18.667 m 2
58
Geometrik Nivelman
k=
Fd ⋅ s
14.9855 ∗ 20.00
299.71
=
=
= 8.906 m
Fd + Fy 14.9855 + 18.667 33.6525
l = s - k = 20.000 - 8.906 = 11.094 m
Fd ∗ k 14.9855 ∗ 8.906
=
= 66.730 m 3 dolgu miktarı
2
2
Fy ∗ l 18.667 ∗ 11.094
Vy =
=
= 103.546 m 3 kazı miktarı
2
2
Vd =
2.8.4.3.
Kesitlerin Biri Dolgu ya da Yarma Diğeri Karışık
a
0.00
0.00
− 0.28
− 13.40
DOLGU
Fd1
− 0.94
− 14.70
C
−0.08
3.85
DOLGU
Fd3
B
0.45
6.20
0.00
0.00
− 0.29
− 13.50
−0.25
12.50
Fd2
D
−1.06
3.85
− 1.42
− 8.95
− 1.05
− 14.22
A
−0.07
3.85
b
−1.34
− 9.75
−1.18
14.20
0.30
15.12
YARMA
Fy
−0.26
12.80
−1.12
13.56
a-b çizgisinin solunda kalan yerlerdeki hacim hesabı, kesitlerin her ikisinin de aynı
olması durumuna göre; sağında kalan yerlerdeki hacim hesabı ise kesitlerden birinin
dolgu, diğerinin yarma olması durumuna göre yapılır.
Fd1 ve Fd2 alanlarının hesabı için öncelikle C noktasının koordinat değerlerinin
hesaplanması gerekir.
− 0.25 − 0.00 − 0.25
=
= −0.02
12.50
12.50
C noktasının eksene uzaklığı, D noktasının eksene uzaklığı olan 3.85 m değerine
eşittir. C noktasının yüksekliği ve koordinat değerleri,
m AB =
H C = H A + 3.85 ∗ m AB = 0.00 + 3.85 ∗ ( −0.02) = 0.00 − 0.077 = −0.077 m ≅ −0.08 m
− 0.08
3.85
şeklinde bulunur.
59
Geometrik Nivelman
0.00 − 0.28 − 0.94 − 1.42 − 1.06 − 0.08 0.00
= 42.649 − 2.981 = 39.668 m 2
0.00 − 13.40 − 14.70 − 8.95 3.85 3.85 0.00
2Fd1 =
Fd1 = 19.834 m 2
2Fd2 =
− 0.08 − 1.06 − 1.18 − 0.25 − 0.08
= −13.174 − ( −31.0725 ) = 17.8985 m 2
3.85 3.85 14.20 12.50 3.85
Fd2 = 8.9492 m 2
2Fd3 =
0.00 − 0.29 − 1.05 − 1.34 − 0.07 0.00
= 33.9123 − 9.2023 = 24.71 m 2
0.00 − 13.50 − 14.22 − 9.75 3.85 0.00
Fd3 = 12.355 m 2
2Fy =
− 0.07 − 0.26 − 1.12 0.30 0.45 − 0.07
= −4.899 − ( −17.7635 ) = 12.8645 m 2
3.85 12.80 13.56 15.12 6.20 3.85
Fy = 6.43225 m 2
Fy
k
Fd2
20.00 ⋅ Fd 2
20.00 ∗ 8.9492
=
= 11.64 m
Fd 2 + Fy
8.9492 + 6.43225
l = 20.00 − k = 20.00 − 11.64 = 8.36 m
O
Fy
k=
ℓ
6.43225
⋅ 8.36 = 26.89 m 3 Kazı miktarı
2
2
F +F
19.834 + 12.355
Vd1 = d1 d3 ⋅ 20.00 =
⋅ 20.00 = 321.89 m 3
2
2
Fd2
8.9492
V d2 =
⋅k =
⋅ 11.64 = 52.08 m 3
2
2
Vy =
⋅l =
Vd = Vd1 + Vd2 = 321.89 + 52.08 = 373.97 m 3 Toplam dolgu miktarı
2.8.4.4.
Kesitlerin İkisi de Karışık
a
Her iki kesitin solunda ve sağında kalan
alanlar aynı tür ise (yandaki şekilde olduğu
gibi), sol ve sağ taraf için ayrı ayrı 1.
durumda açıklandığı şekilde yarma ve
dolgu hacimleri hesaplanır. Aksi takdirde 2.
durumda açıklandığı şekilde hesap yapılır.
1+540
Fy1
Fd1
1+560
Fy2
Fd2
b
60
Geometrik Nivelman
Örnek:
Fd1=6.14 m
2
Fd2=8.25 m
2
Fy1=13.48 m
2
Vd=?
Fy2=14.72 m
2
Vy=?
İki kesit arasındaki uzaklık=1560–1540=20 m
Fd 1 + Fd 2
6.14 + 8.25
⋅s =
⋅ 20.00 = 143.90 m3
2
2
Fy 1 + Fy 2
13.48 + 14.72
Vy =
⋅s =
⋅ 20.00 = 282.00 m 3
2
2
Vd =
2.9. Nivelmana Etki Eden Hatalar
2.9.1. Düzenli (Sistematik) Hatalar
1. Küreselliğin (Yerin Eğriliğinin) Etkisi
si
gi = Geri okuma
ii=İleri okuma
si’
dhi’
dhi
gi
ii
dh
R
R 2 + s 2 = (R + dhi )2
R 2 + s 2 = R 2 + 2 ⋅ R ⋅ dhi + dhi2
Dünyanın yarıçapı R ve s uzaklığına göre,
dhi çok küçük olduğundan
R
dh i2
ihmal
edilebilir. Bu durumda,
dhi ≅
O
s2
2 ⋅R
olur.
dh i = dh i' eşitliği sağlandığı anda hata giderilmiş olur. Bunun için de alet, miraların
ortasına kurulmalıdır (si=si’ olmalıdır). si nin bazı değerleri için bu hatanın etkisi
hesaplanırsa, aşağıdaki çizelgede verilen değerler elde edilir.
si
dhi
50 m
0.2 mm
100 m
0.78 mm
250 m
4.9 mm
500 m
1.96 cm
1 km
7.85 cm
2. Gözlem Ekseninin Kırılması (Simetrik Kırılma)
Gözlem ışını, geçtiği ortamın etkisiyle küçük bir sapmaya uğrar. Bu nedenle gözlem
ışını, bir doğru olmayıp eğri olur. Bu eğrinin yarıçapı R’,
Rı =
R
k
61
Geometrik Nivelman
bağıntısı ile hesaplanır. Burada, R dünyanın yarıçapı, k ışığın kırılma katsayısıdır.
Türkiye için ortalama kırılma katsayısı k=0.13 olarak alınır. Işığın kırılmasının her bir
mira okumasına etkisi, küreselliğin etkisine benzer şekilde,
s2
s2
s2
dhk =
=
=
⋅k
2 ⋅ Rı 2 ⋅ R 2R
k
hesaplanır. Alet ortaya kurulmak suretiyle hatanın etkisi ortadan kaldırılabilir. Işığın
kırılmasının etkisini azaltmak için gözlem ışınları, yerden en az 70 cm yüksekten
geçmelidir.
3. Simetrik Olmayan Kırılma
dhg
dhi
B
A
dhg≠dhi
Arazinin eğiminin fazla olduğu durumlarda,
ışığın kırılması farklı ortamlarda olmakta ve bu
hata ortaya çıkmaktadır.

s2
⋅ kg 

2⋅R
 → dhg ≠ dhi
s2
dhi =
⋅ k i 
2⋅R

dhg =
Bu hatanın etkisini azaltmak için, nivelman yolu, sabit eğimli arazi olarak
seçilmemelidir.
4. Artık Eğim Hatası
Bu hata düzeç kabarcığının iyi ortalanmamasından ileri gelir. Bundan dolayı ortaya
çıkacak hatayı e ile gösterirsek, bunun geri ve ileri okumalara etkisi,
dhe g = s g ⋅ e
dhe i = s i ⋅ e
A düzeç duyarlığı olmak üzere, hata miktarı,
e
dhe
s
dhe (mm ) = 10 − 4 ⋅ 3 ⋅ s i(m ) A cc
eşitliği ile verilmektedir. Hatanı giderilmesi için alet, iki miranın ortasına kurulmalıdır.
Örnek:
s = 50 m,
A = 25 cc olarak verildiğine göre dhe artık eğim hatasını hesaplayalım.
dhe (mm) = 10 − 4 ⋅ 3 ⋅ 50 (m) ⋅ 25 = 0.015 ⋅ 5 = 0.075 mm
dhe = 0.075 mm
5 . Alet ve Miranın Yere Batmasının Etkisi
Hatanın etkisini azaltmak için mira, mümkün olduğunca sabit ve sert zeminlere
tutulmalı ve alet de sert zeminlere kurulmalıdır.
62
Geometrik Nivelman
6. Miranın Eğik Tutulmasından Doğan Hata
Mira dα kadar eğik tutulursa, okunması gereken değerden dr kadar fazla bir değer
okunur.
A da’ B Gözlem ekseni
dr
C da Mira
da' 2 = 2r ⋅ dr + dr 2
ABC üçgeninde → da' 2 = dr 2 + da 2
r
r
OAB üçgeninde → r 2 + da' 2 = (r + dr ) 2
dr 2 + da 2 = 2r ⋅ dr + dr 2
dα
da 2 = 2r ⋅ dr
O
(1)
OCB üçgeninde → da = r ⋅ dα
da’nın bu değeri (1) eşitliğinde yerine konulursa,
r 2 ⋅ dα 2 = 2r ⋅ dr → dr =
1
⋅ r ⋅ dα 2
2
olur.
Örnek 1: r=3.5 m, dα=1E için dr=?
dr =
1
1
1o
1
1
⋅ r ⋅ d α 2 = ⋅ 3 .5 ⋅ ( o ) 2 = ⋅ 3 .5 ⋅ (
) 2 = 0.000533 m = 0.5 mm
2
2
2
57.2958
ρ
Örnek 2: r=3.5 m, dα=20.5 için dr=?
dr =
1
1
2 o.5
1
2. 5
⋅ r ⋅ d α 2 = ⋅ 3 .5 ⋅ ( o ) 2 = ⋅ 3 .5 ⋅ (
) 2 = 0.0033 m = 3.3 mm
2
2
2
57
.
2958
ρ
Mira, dikkatlice dik tutulursa, mira eğikliğinin etkisi ihmal edilebilir. Bir mira,
Çıplak gözle
±20.5 (=0.952 mm/m),
Çekülle
±10.5 (=0.343 mm/m),
Küresel düzeçle
±00.5 ∼10 (=0.038 ∼ 0.152 mm/m)
Küresel düzeç ve mira destekleri ile ±0E.1 (=0.002 mm/m)
lik bir hata ile dik tutulabilir (Banger, 1981).
7. Paralaks Hatası
Düzece yandan bakılırsa kabarcık, p kadar
kaymış görülür. n noktada hata, geri-ileri
okumalarında çift etki göstereceğinden bu
p
Düzeç camı
Kabarcık ucu
Düzeç kabarcığı
kaymanın
etkisi,
2p ⋅ s i ⋅ n
dir.
Hata
sistematiktir. Bu hatanın yok edilmesi için
düzece tam karşıdan; kontrol için bir kere
sağdan bir kere de soldan bakılmalıdır.
63
Geometrik Nivelman
Eğer düzece, bazen sağdan bazen de soldan bakılırsa hata tesadüfidir. Bu durumda
hata, 2p ⋅ s i ⋅ n = 2p ⋅ s i ⋅
S
= p ⋅ 2s i ⋅ S olur.
2s i
2.9.2. Düzensiz (Tesadüfi) Hatalar
1. Mira bölümlerinin tesadüfi ortalama hatası,
2. Mira üzerinde tesadüfi ortalama okuma hatası,
3. Nivelman yolunun değişik eğimde olması dolayısıyla ışığın kırılmasının ortalama
hatası,
4. Düzeçlemeden doğan ortalama hata,
5. Eşit olmayan hedef uzaklıklarından doğan ortalama hatalardır.
64
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
3. BÖLÜM
TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ
Yükseklikler genellikle geometrik nivelmanla belirlenir. Minare kule gibi yanına
gidilemeyen ya da arazinin çok engebeli olduğu durumlarda ve geometrik nivelman
inceliği istenmeyen işlerde, noktaların yükseklikleri trigonometrik nivelmanla belirlenir.
Trigonometrik nivelman, daha çok nirengi noktaları ile takimetrik alımda ve total
station benzeri elektronik aletlerle yapılan üç boyutlu kutupsal alımda nokta
yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılır. Trigonometrik yükseklik belirlemesi için
yüksekliği bilinen bir noktaya teodolit ya da total station kurularak, düşey açı okunur,
alet yüksekliği ve işaret yüksekliği ölçülür. Ayrıca iki nokta arasındaki uzaklığın da
bilinmesi veya ölçülmesi gerekir.
3.1. Düşey Açı
Zenit (Başucu)
Z : Zenit (başucu) açısı
α : Eğim açısı
Z+α = 100g
P
Z
Yatay
Şekil 3.1 Düşey açı
İki çeşit düşey açı vardır. Bunlar zenit (başucu) açısı ve eğim açısıdır. Teodolitlerde
düşey açı ölçme düzenleri genellikle zenit açısı ölçülecek şekilde yapılmıştır. Düşey
açı bölüm dairesi, daire merkezi yatay eksenle çakışacak şekilde ve düşey durumda
dürbüne bağlanmıştır. Dürbün aşağı yukarı hareket ettirildiği zaman düşey açı bölüm
dairesi de dürbünle birlikte hareket eder.
65
3.1.1. Gösterge (Düşey Kolimasyon) Hatası
Düşey açı bir gösterge çizgisiyle okunuyorsa, optik eksen tam yatay durumda iken
gösterge çizgisinin de tam 100 gradı göstermesi gerekir. Optik eksen yatay durumda
iken düşey açı düzeci ayarlandığında gösterge çizgilerini birleştiren doğru ile bölüm
dairesinin 100 ve 300 grad çizgileri çakışmıyorsa açı 100 gradtan biraz farklı
olacaktır. Bu fazla ya da az okunan miktara gösterge hatası veya düşey
kolimasyon hatası denir. Gösterge çizgilerinin yataylanması düşey açı düzeci
yardımıyla veya kompensatörlerle otomatik olarak sağlanmaktadır. Gösterge hatası,
ya optik eksen ile bölüm dairesinin 100g-300g çizgilerini birleştiren doğru, ya da düzeç
ekseni ile gösterge ekseni birbirlerine paralel değilse oluşur. Şekilde birinci hata δ1,
ikinci hata ise δ2 ile gösterilmiştir. Açı ölçümünde bu iki hatanın toplamı bir tek hata
olarak görünür. Düşey kolimasyon hatası, düşey açı bölüm dairesinin zenit
doğrultusundan kayıklığı olarak düşünülürse aşağıdaki şekilde gösterilebilir.
Zenit (başucu)
δ
300
100
δ2 δ
δ1
Z
α1
300
O
300
δ
100
200
P
0
P
0
0
O
Zenit
Zenit
α2
Z
100
200
α1= Z+δ
Z =α1-δ
α2=400g - Z+δ
Z =400g-(α2-δ)
Birinci dürbün durumu
İkinci dürbün durumu
200
Şekil 3.2 Düşey kolimasyon hatası
α1+ α2 = 400g +2δ
δ=( α1+ α2 - 400g) / 2
Eğer alet hatalı değilse dürbünün iki durumunda ölçülen zenit açılarının toplamı 400g
olur. 400 gradtan fazla olan miktar, gösterge hatasının iki katıdır. Bunun yarısı α1 den
çıkarılarak hatasız zenit açısı bulunur. Gösterge hatası her alet kurulan noktada
ölçülen bütün açılar için yaklaşık olarak eşittir. Bir aletle iki dürbün durumunda
yapılan ölçümlerle hatasız zenit açısı elde edilir. Hata büyük olursa hesapta zorluk
yaratacağı ve bir dürbün durumunda yapılan ölçümler hatalı olacağından alet
ayarlanarak bu hata giderilir. Alette hatanın giderilmesi şöyle yapılır: δ hata miktarı
birinci dürbün durumunda okunan açıdan çıkarılarak hatasız zenit açısı Z bulunur.
Z = α1 − δ
66
Sonra alet birinci dürbün durumunda P noktasına yöneltilir ve mikrometre vidası ile
okunması gereken Z açı değeri ayarlanır. Düşey açı bölüm dairesinin bölüm
(taksimat) çizgileri, düşey açı düzeçleme vidası yardımıyla çakıştırılır ve kayan düzeç
kabarcığı düzeç ayar vidası yardımıyla ortalanarak aletin hatası giderilmiş olur. Hata
giderildikten sonra kontrol için işlem yinelenir.
Örnek:
α1=97g.6586
α2=302g.3458
α 1 + α 2 − 400 g
400.0044 − 400 0.0044
=
= 0 g .0022
2
2
2
g
g
g
Z = α 1 − δ = 97 .6586 − 0 .0022 = 97 .6564
δ=
=
3.1.2. Düşey Açı Ölçümü ve Hesabı
Düşey açı ölçümü genellikle refraksiyonun (ışığın kırılmasının) az olduğu öğle
saatlerinde yapılmalıdır. Düşey açılar genellikle 2 silsile olarak ölçülürler. Bir silsile
düşey açı ölçümü şöyle yapılır: Alet nokta üzerine kurulup düzeçlendikten sonra bir P
noktasına yöneltilir ve yatay gözlem çizgisinin ortaya yakın bir yeri dürbünün düşey
az hareket vidası yardımıyla noktaya tatbik edilir. Düşey açı düzeci yataylanır ve
düşey açı okunur. Eğer alet otomatik ise yani gösterge çizgisinin yataylanması bir
kompensatör yardımıyla otomatik olarak yapılıyorsa düzecin ayarlanmasına gerek
yoktur. Dürbün ikinci duruma getirilir ve yatay gözlem çizgisi tekrar noktaya tatbik
edilip, düzeç ayarlandıktan sonra düşey açı okunur. İkinci silsileye başlarken yatay
açı ölçümündeki gibi başlangıç doğrultusunun kaydırılması söz konusu değildir.
DN
BN
A
B
C
Silsile
No
1
Dürbün
Durumu
I
II
2
I
II
1
I
II
2
I
II
Okunan
Düşey Açı
95g.7718
304.2342
400.0060
95.7730
304.2350
400.0080
107.3641
292.6429
400.0070
107.3623
292.6431
400.0054
δ
-30cc
-30cc
-40cc
-40cc
-35cc
-35cc
-27cc
-27cc
δort=-33
Z
400g-Z
95g.7688
304.2312
400.0000
95.7690
304.2310
400.0000
107.3606
292.6394
400.0000
107.3596
292.6404
400.0000
Ortalama
Z
95g.7689
107.3601
vδ
Vδ2
-3
9
+7
49
+2
4
-6
36
Bir istasyonda s tane noktaya bakılarak n silsile düşey açı ölçülmüşse, ölçü sayısı n·s
olur.
67
vδ i =
[δ i ] − δ
n ⋅s
mz = ±
Mz = ±
mz = ±
i
= δ ort − δ i
[ v δ2 ]
Bir silsile ölçülen açının ortalama hatası
n ⋅ s −1
mz
n silsile ölçülen açının ortalama hatası
n
[ v δ2 ]
98
= ± 5 cc .72
2 ⋅ 2 −1
=±
n ⋅ s −1
m
5.72
Mz = ± z = ±
= ±4 cc .04
n
2
Bir silsile ölçülen bir açının ortalama hatası
2 silsile ölçülen bir açının ortalama hatası
Refraksiyon katsayısı, havanın sıcaklık derecesine, yoğunluğuna, rutubetine ve
basıncına göre değişir. En büyük değişmeler sabah ve akşam saatlerinde, en küçük
değişmeler öğle saatlerinde olmaktadır. Bu nedenle trigonometrik yükseklik
ölçümünde düşey açı ölçümleri öğle saatlerinde yapılmalıdır. Bundan başka, yere ve
su yüzeylerine yakın geçen ışınlar daha fazla kırıldıklarından, açı ölçümünde ışınların
mümkün mertebe yere ve su yüzeyine yakın olmamasına dikkat edilmelidir. k değeri,
Türkiye’nin çeşitli bölgeleri için Harita genel Komutanlığınca 1/200 000 ölçekli 27
pafta için hesaplanmış olan 27 değerin ortalaması alınarak 0.13 bulunmuştur. (C.
Songu, Ölçme Bilgisi, ikinci Cilt, 1975).
3.2. Kısa Mesafede (S<250 m) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Z
D
h
t
Yatay
B
i
∆h
S
A
Şekil 3.3 den,
HB = HA + i + h – t
h = S cotZ
Yatay uzunluğa göre
h = D cosZ
Eğik uzunluğa göre
yazılabilir. h’ın değeri yukarıdaki (3.1) eşitliğinde yerine konursa,
HB = HA + i + S cotZ – t
HB = HA + i + D cosZ – t
68
(3.1)
(3.2)
eşitlikleri elde edilir. İki nokta arasındaki yükseklik farkının trigonometrik olarak
hesaplanabilmesi için, bu noktalardan birine teodolit kurularak, diğer noktadaki
işarete bakılır ve düşey açı ile birlikte yatay ya da eğik uzunluk ölçülür. Ayrıca
durulan noktada alet yüksekliği (yatay eksene kadar), bakılan noktada da işaret
yüksekliği ölçülür. Yerin küreselliğinin ve refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi 250
metreye kadar uzunluklarda 1 cm nin altında kaldığı için bu iki faktörün etkisi, 250
metreye kadar olan uzunluklarda dikkate alınmaz. Trigonometrik yükseklik hesabında
250 metreye kadar olan uzunluklar, kısa mesafe olarak adlandırılır.
3.2.1. Kule Yüksekliği Ölçümü
Kule Yüksekliği belirlemesi, alet kurulan nokta ile kule arasındaki S uzunluğunun
doğrudan ölçülüp ölçülmemesine bağlı olarak iki şekilde ele alınır.
3.2.1.1. S Uzunluğu Ölçülüyor
T
Z2
Z1
Bilinen: HA
Ölçülen: Z1, Z2, S
h
İstenen: h = ?
i
A
S
T’
Şekil 3.4 S uzunluğunun ölçülmesi durumunda kule yüksekliği hesabı
h kule yüksekliği, şekilden de görüldüğü üzere h = HT - HT’ bağıntısı ile hesaplanır.
Öncelikle verilenlere göre HT ve HT’ nün hesaplanması gerekir.
HT = HA +i+ S cotZ1
HT’ = HA +i+ S cotZ2
h = HT – HT’ = S (cotZ1 – cotZ2)
Örnek:
Z1 = 95g.3674
S = 75.14 m
g
Z2 = 102 .1826
h=?
h = S (cotZ1 – cotZ2) = 75.14 * (cot95.3674 – coot102.1826) = 8.0546 m
h = 8.05 m
Eğer kulenin tabanı olan T’ noktasının yüksekliği önceden biliniyorsa ya da geometrik
nivelmanla belirlenmişse, trigonometrik olarak yalnızca kulenin tepesinin
yüksekliğinin (HT) hesaplanması yeterlidir. Yine h=HT-HT’ bağıntısı kullanılarak h
hesaplanır. Bu durumda Z2 nin ölçülmesine ihtiyaç yoktur; fakat i alet yüksekliğinin
ölçülmesi gerekir.
69
Örnek :
Z = 93g.7853
S = 86.55 m
HA = 125.82 m
i = 1.50 m
HT’ = 127.39 m
h=?
HT = HA + i + S cotZ = 125.82 + 1.50 + 86.55 * cot93.7853 = 125.82 + 1.50 + 8.48 =
135.80 m
h = HT – HT’ = 135.80 – 127.39 = 8.41 m
3.2.1.2. S Uzunluğu Ölçülemiyor
a) Yatayda Oluşturulan iki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı
Bilinenler
Ölçülenler
: HA, HT’ yükseklikleri
: Z düşey açısı
İstenen: h = ?
α, β, γ, δ yatay açıları
a ve b kenarları
T
B
Z
α
a
β
A
T’
A
γ
b
S
T
S
δ
C
Şekil 3.5 Yatayda oluşturulan iki üçgen yardımıyla kule yüksekliği hesabı
sinα
sin(α + β)
sinδ
ATC → S = b ⋅
sin(γ + δ)
ABT → S = a ⋅
Buradan ortalama S bulunur ve bu değerle de HT
yüksekliği hesaplanır.
HT = HA + i + S ∗ cotZ
h = HT – HT’
Örnek :
a = 28.15 m
α = 75g.1428
b = 23.90 m
β = 67.3920
g
Z = 95 .1686
γ = 71.2675
i = 1.50 m
δ = 80.4750
HA = 101.00 m
HT’=101.95 m
h=?
70
sinα
= 33.162 m
sin(α + β)
sinδ
S = b⋅
= 33.142 m
sin( γ + δ )
S = a⋅
Sort = 33.152 m
HT = HA + 1.50 + S * cotZ = 101.00 + 1.50 + 33.152 * cot95g.1686 =
= 101.00 + 1.50 + 2.52 = 105.02 m
h = HT –HT’ = 105.02 -101.95 = 3.07 m
b) Düşey Düzlemde Oluşturulan İki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı
Bu yöntemde A, B ve T noktaları, aynı düşey düzlem içinde olacak şekilde seçilir.
T
Bilinenler: HA, HB, HT’
Ölçülenler :
d uzaklığı
ia, ib alet yükseklikleri
İstenen: h = ?
ZB
ZA
ZA, ZB düşey açıları
ib
ia
B
h
T’
d
e
A
Şekil 3.6 Düşey düzlemde iki üçgen oluşturulması
HT = HA + ia + (d + e) cotZA
HT = HB + ib + e cotZB
HA +ia + (d+e) cotZA = HB + ib + e cotZB
e cotZA - e cotZB = HB + ib - HA - ia - d cotZA
e=
H B − H A + i b − i a − d ⋅ cotZ A
cotZ A − cotZ B
T noktasının yüksekliğinin incelikli olarak hesaplanabilmesi için şu noktalara dikkat
edilmelidir:
1. B noktası, ZB açısı yaklaşık 50g olacak şekilde seçilmelidir.
2. d uzunluğu, kule yüksekliğinin yaklaşık iki katı olmalıdır. Bunun için de ZA, 80g
civarında olur.
3. A noktasındaki zenit açısı ZA, ZB ye göre daha hassas ölçülmelidir.
4. d uzunluğu hassas bir şekilde ölçülmelidir.
5. Kulenin yüksekliği, A noktasındaki ölçümlere göre hesaplanmalıdır. B
noktasındaki hesap kontrol için yapılmalıdır.
Hesap : HT = HA + ia + (d+e) * cotZA
Kontrol: HT = HB + ib + e * cotZB
6. A ve B noktalarının en uygun konumu, kulenin ayrı ayrı tarafında seçilmeleridir.
71
Örnek:
ZA= 82g.1694
ZB= 53g.4961
HA = 100.00 m
HB = 102.15 m
HT’ = 105.24 m
ia =1.55 m
ib =1.42 m
d = 42.76 m
h=?
HT = H A + i a + (d + e) ⋅ cotZ A
HT = H B + i b + e ⋅ cotZ B
H A + i a + (d + e) ⋅ cotZ A = H B + i b + e ⋅ cotZ B
e=
H B − H A + i b − i a − d ⋅ cotZ A 102.15 − 100.00 + 1.42 − 1.55 − 42.76 ⋅ cot82.1694
=
cotZ A − cotZ B
cot82.1694 − cot53.4961
− 10.2796382 2
= 16.903 m
− 0.60814156 92
Hesap → HT = 100.00 + 1.55 + (42.76 + 16.90) ⋅ cot82.1694 = 118.712 m
e=
Kontrol → HT = 102.15 + 1.42 + 16.90 ⋅ cot53.4961 = 118.709 m
h = HT − HT ′ = 118.71 − 105.24 = 13.47 m
3.2.2. Trigonometrik Nivelman
ZA
hA
ℓA
A
hB
ZB
ℓB
ileri
geri
sa
P
Bilinen
: HA
Ölçülenler: ZA, ZB, sa, sb, ℓA, ℓB
İstenen
: HB = ?
B
sb
Trigonometrik nivelmanla iki nokta arasındaki yükseklik farkının bulunmasında,
geometrik nivelmandaki geri - ileri bağıntısından yararlanılır.
∆H AB = H B − H A = geri − ileri = ( l A − h A ) − ( l B − hB )
H B − H A = l A − s a ⋅ cotZ A − l B + s b ⋅ cotZ B
H B = H A + s b ⋅ cotZ B − sa ⋅ cotZ A + l A − l B
Yukarıdaki bağıntı∗, şu şekilde de elde edilebilir: Alet kurulan P noktasına göre, A ve
B noktalarının yüksekliklerini veren bağıntılar yazılır ve sonra bu bağıntılardan
HB -HA oluşturulur.
∗
Bu bağıntı çıkartılırken ZA ve ZB nin değerleri ne olursa olsun, ZA ve ZB nin 100g dan küçük, yani hA ve
hB nin pozitif olduğu şekil 3.7 esas alınır. ZA ve ZB nin tüm değerleri için yukarıdaki eşitlik geçerlidir.
72
H B = H P + i + s b ⋅ cot Z B − l B
H A = H P + i + sa ⋅ cot Z A − l A
H B − H A = s b ⋅ cot Z B − s a ⋅ cot Z A + l A − l B
H B = H A + s b ⋅ cot Z B − sa ⋅ cot Z A + l A − l B
Örnek :
ZA
hB
ZB
ℓB
hA
ℓA
A
P
141.72 m
B
121.17 m
Bilinen
: HB=1000.00 m
Ölçülenler : ZA=106g.1871
ZB=95g.3943
ℓA=1.20 m
ℓB=3.46 m
İstenen : HA = ?
ΔH AB = H B − H A = (l A − s a cot Z A ) − (l B − s b cot Z B )
H A = H B + s a cot Z A − s b cot Z B − l A + l B
H A = 1000.00 + 141.72 cot 106.1871 − 121.17 cot 95.3943 − 1.20 + 3.46
H A = 1000.00 − 13.817 − 8.782 − 1.20 + 3.46 = 1000.00 − 20.339 = 979.661 m
HA = 979.66 m
3.2.3. İki Nokta Arasındaki Uzunluğu Ölçmeden Yükseklik Farkının Bulunması
Ölçülenler
İstenen
ℓ
Z2
Z1
m
: Z1, Z2, i, t, l
: ∆hAB=?
t
B
i
A
s
∆hAB
Şekil 3.8 Uzunluk ölçülmeden yükseklik farkının hesaplanması
s ⋅ cot Z1 = m + l ⇒ m = s ⋅ cot Z1 − l
s ⋅ cot Z 2 = m
s ⋅ cot Z1 − l = s ⋅ cot Z 2
s ⋅ (cot Z1 − cot Z 2 ) = l
s=
l
cot Z1 − cot Z 2
∆h AB = H B − H A = s ⋅ cot Z1 + i − ( l + t )
∆h AB = H B − H A = s ⋅ cot Z 2 + i − t
73
Örnek:
ℓ
Z2
Z1
m
t
B
i
∆hAB
s
A
s=
Ölçülenler :Z1=96g.7120
Z2 =97g.9122
İ= 1.50 m
t=1.90 m
ℓ= 2.00 m
Bilinen
: HA =101.50 m
İstenen
: HB=?
l
2.00
2.00
=
=
= 105.89 m
cot Z1 − cot Z 2 cot 96.7120 − cot 97.9122 0.0188869
H B = H A + 1.50 + 105.89 ⋅ cot 96.7120 − 2.00 − 1.90 = 104.57 m
H B = H A + 1.50 + 105.89 ⋅ cot 97.9122 − 1.90 = 104.57 m
3.2.4. Kısa Uzunluklarda Trigonometrik Yükseklik Ölçümünde İncelik
Ölçülen büyüklükler, s uzunluğu, Z düşey açısı, i alet yüksekliği ve t işaret yüksekliği
ile bunların ortalama hataları da ms, mz, mi, mt olmak üzere kısa uzunluklarda
trigonometrik yükseklik ölçümündeki inceliği bulmak için,
∆hAB=HB -HA=s cotZ+i-t
formülüne hata yayılma kanunu uygulanırsa;
dh = cot Z ⋅ ds −
s
sin 2 Z
m ∆2 h = cot 2 Z ⋅ ms2 +
dz + di − dt
s2
4
⋅
m z2
sin Z ρ
2
+ mi2 + mt2
elde edilir.
Örnek :
m z = ±15
cc
m ∆2 h
= cot
2
Z ⋅ ms2
+
s2
4
⋅
m z2
sin Z ρ
2
+ mi2 + mt2
ms = ±15 mm
m ∆2 h = 5.644 + 5.834 + 4 + 4 = 19.478
mi = ±2 mm
m ∆h = ±4.4 mm
mt = ±2 mm
Z = 95 g ⇒ m ∆2 h = 1.3936 + 5.586 + 4 + 4 = 14.9796
s = 100 m
m ∆h = ±3.9 mm
Z = 90 g
Z = 99 g ⇒ m ∆2 h = 0.0555 + 5.5544 + 4 + 4 = 13.6099
m ∆h = ?
m ∆h = ±3.7 mm
74
3.3. Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman
Noktalar arasındaki uzaklık 250 metreden fazla ise, yerin küreselliğinin ve ışığın
kırılmasının (refraksiyonun) etkisi hesaba katılır.
B
F
δ
A
γ
2
s
E
C
R
hk
h
R = 6373394 m (Dünyanın yarıçapı),
R’= R/k (Işın yayının yarıçapı),
k = Kırılma (refraksiyon) katsayısı,
hk = Yerin küreselliğinin etkisi,
hr =Refraksiyonun (ışığın kırılmasının)
etkisi,
∆H = A ve B noktaları arasındaki
yükseklik farkı,
hr
∆h
Z = 100g – α
h = s * tan α = s * cot Z
R’
γ
2δ
O
O’
Şekil 3.9 Uzun mesafede trigonometrik nivelman
γ hk
γ
=
⇒ hk = s ⋅ tan
2
2
s
s
AOC üçgeninde tan γ =
R
γ küçük açı olduğundan ,
s
γ
γ
s
⇒ = tan =
γ = tan γ =
R
2
2 2R
Bu değer (1) eşitliğinde yerine konulursa,
AEC üçgeninde tan
(1)
s
s2
=
2R 2R
elde edilir.
Işın yayı, bir daire yayı olarak alınabilir ve yarıçapı R‘ ile gösterilirse, ışığın
kırılmasının etkisi de, yerin küreselliğinin etkisine benzetilerek
hk = s ⋅
s2
s2
s2 ⋅ k
hr =
=
=
R
2R ′
2R
2
k
75
yazılabilir. Şekilden görüldüğü gibi, küreselliğin etkisi daima (+),ışığın kırılmasının
etkisi ise eksi daima (-) dir. Refraksiyon (kırılma) katsayısı verilmezse ya da
bilinmiyorsa, ülkemizde k=0.13 ortalama değeri kullanılır.
∆H = h + hk − hr
∆H = s ⋅ cot Z +
∆H = s ⋅ cot Z +
s2
s2 ⋅ k
−
2R
2R
(1 − k) ⋅ s 2
2R
Alet ve işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
(1 − k) 2
⋅s + i −t
2R
olarak elde edilir. Alet kurulan noktanın yüksekliği biliniyorsa, bakılan noktanın
yüksekliği aşağıdaki eşitlik ile bulunur.
∆H = s ⋅ cot Z +
H B = H A + ∆H = H A + s ⋅ cot Z +
(1 − k ) 2
⋅s + i −t
2R
Yerin küreselliğinin ve ışığın kırılmasının etkisi k=0.13, R=6373394 m alınarak, belirli
uzunluklar için hesaplanmış ve aşağıdaki çizelgede verilmiştir.
si
50 m
hk
0.20 mm
hr
Hk+hr
100 m
250 m
500 m
1 km
-0,03 mm
0.78 mm
-0.10 mm
4.90 mm
-0.64 mm
9.61 mm
-2.54 mm
78,45 mm
10.20 mm
0.17 mm
0.68 mm
4.26 mm
7.07 mm
68.25 mm
Örnek 1:
HA = 2000.00 m
HB = ?
94g.7215
3.10 m
1.50
B
A
H B = H A + s ⋅ cot Z +
s=2462.36m
(1 − k ) 2
⋅s + i −t
2R
(1 − 0.13 )
⋅ ( 2462.36 ) 2 + 1.50 − 3.10
2 ⋅ 6373394
H B = 2000.00 + 204.634 + 0.414 + 1.50 − 3.10 = 2203.45 m
H B = 2000.00 + 2462.36 ⋅ cot 94.7215 +
76
Örnek 2:
103g.4715
ℓ2=1.85 m
g
92 .7524
B
ℓ1=1.50 m
A
i
C
sA=345.14 m
HA=200.00 m
sB=762.94 m
R=6373 394 m
HB = ?
1−k 2
⋅ sB − l 2
2R
1−k 2
⋅ s A − l1
H A = H C + i + s A ⋅ cot Z A +
2R
1−k
2
2
H B − H A = s B ⋅ cot Z B − s A ⋅ cot Z A +
⋅ ( sB
− sA
) + l1 − l 2
2R
1 − 0.13
= 762.94 ⋅ cot 92 g .7524 − 345.14 ⋅ cot 103 g .4715 +
(762.94 2 − 345.14 2 ) + 1.50 − 1.85
2R
H B − H A = 105.755 m → H B = H A + 105.755 m = 305.755 m
H B = H C + i + s B ⋅ cot Z B +
Işığın Kırılma (Refraksiyon) Katsayısının (k) Belirlenmesi
ZB
δ2
s'
ZA
δ1
A
β1
B
β2
α
s
C
R
R'
R'
γ
O
Şekil 3.10 Işığın kırılma katsayısı k nın belirlenmesi
77
AOB üçgeninden
⇒ β1 + β 2 + γ = 200 g
(1)
β1 = 200 − (Z A + δ1 )
β 2 = 200 − (Z B + δ 2 )
Bu iki değer yukarıda (1) de yerlerine konulursa,
200 g − Z A − δ 1 + 200 − Z B − δ 2 + γ = 200
(2)
Z A + Z B + δ 1 + δ 2 = 200 + γ
elde edilir. AB ışın yayı bir daire yayı olarak alınırsa, δ1= δ2 olur. İnceliğe bir etkisi
olmadığından s’=s alınabilir. Bu durumda,
δ1 = δ 2 =
s
=
2 ⋅ R'
γ
s
s
=
⋅k = k
R 2R
2
2⋅
k
olur. Bu değerler (2) de yerlerine konulursa,
Z A + Z B + k ⋅ γ = 200 g + γ
Z A + Z B − 200 g = γ − k ⋅ γ = γ ⋅ (1 − k )
⇒1 − k =
Z A + Z B − 200 g
γ
s
⋅ ρ değeri yerine radyan cinsinden karşılığı yazılırsa,
R
Z + Z B − 200 g
R Z + Z B − 200 g
1−k = A
→ k =1− ⋅ A
s
s
ρ
⋅ρ
R
γ=
3.4. Karşılıklı Gözlemlerle İki Nokta Arasındaki Yükseklik Farkı
Günümüzde hesaplama araçlarının gelişmiş olması nedeniyle ZA ve ZB açıları;
yaklaşık olarak değil kesin olarak hesaplanmalıdır.
ZB
ZA
β1
HA
β2
δ1
A
B
δ2
D
α
γ/2 s
ZB
h
C
R
∆ZA
L
HB
ZA
∆ZB
Z’B
tB
iB
DBA
Deniz yüzeyi
Z’A
γ
B
DAB
tA
iA
O
s
A
Şekil 3.11 Karşılıklı gözlemlerle iki nokta arasındaki yükseklik farkının belirlenmesi
78
Z’ : Ölçülen zenit açısı
Z : İşaret tepesine indirgenmiş zenit açısı
∆ZA ve ∆ZB nin yaklaşık hesabı:
t −i
∆Z A = A A ⋅ ρ
s
t −i
∆Z B = B B ⋅ ρ
s
Z A = Z' A + ∆Z A
Z B = Z' B + ∆Z B
ZA ve ZB nin Kesin hesabı:
DAB ve DBA eğik uzunlukları ölçülmemiş ve s yatay uzunluğu verilmişse öncelikle bu
eğik uzunluklar,
D AB =
s
'
sin Z AB
;
DBA =
s
'
sin Z BA
eşitlikleri ile hesaplanır. Sonra tanjant teoremine göre yazılan aşağıdaki eşitlikten ∆ZA
hesaplanır.
a + D AB
a − D AB
tan
ΔZ A + (200 g − Z A' − ΔZ A )
200 g − Z A'
2
2
=
=
g
'
ΔZ A − (200 − Z A − ΔZ A )
2 ΔZ A − 200 g + Z A'
tan
tan
2
2
tan
tan
2 ΔZ A − 200 g + Z A'
a − D AB
200 g − Z A'
⋅ tan
=
2
a + D AB
2
⎛ a − D AB
2 ΔZ A − 200 g + Z A'
200 g − Z A'
⋅ tan
= atn ⎜⎜
2
2
⎝ a + D AB
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ a − D AB
2 ΔZ A 200 g − Z A'
200 g − Z A'
−
= atn ⎜⎜
⋅ tan
2
2
2
⎝ a + D AB
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ a − D AB
200 g − Z A'
⋅ tan
2
⎝ a + D AB
ΔZ A = atn⎜⎜
⎞ 200 g − Z A'
⎟+
⎟
2
⎠
Benzer şekilde
⎞ 200 g − Z B'
⎟+
⎟
2
⎠
yazılır. Bir üçgende bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit
olduğundan, şekle göre
⎛ b − DBA
200 g − Z B'
ΔZ B = atn⎜⎜
⋅ tan
2
⎝ b + DBA
Z AB = Z A' + ΔZ A
Z BA = Z B' + ΔZ B
79
yazılarak ZA ve ZB hesaplanır.
Tanjant teoremine göre OAB üçgeninden,
( R + HB ) − ( R + H A )
=
( R + H B ) + ( R +H A )
β − β2
tan 1
2
β1 + β2
tan
2
(1)
yazılabilir.
β1 + β2 200 g − γ π γ
=
= −
2
2
2 2
β + β2
π γ
γ
tan 1
= tan( − ) = cot
2
2 2
2
β1 = 200 g − ( Z A +δ1 )
β2 = 200 g − ( Z B + δ 2 )
β1 − β 2 = 200 − Z A − δ1 − 200 + Z B + δ 2 = Z B + δ 2 − Z A − δ1
β −β
Z + δ 2 − Z A − δ1
tan 1 2 = tan B
2
2
yazılabilir.
β − β2
β + β2
değerleri, yukarıda (1) no lu eşitlikte yerlerine konulursa,
ve tan 1
tan 1
2
2
Z +δ − Z A − δ1
tan B 2
HB − HA
2
=
γ
2 R + HB + HA
cot
2
olur. Buradan ∆hAB = HB - HA çekilirse,
Z + δ 2 − Z A − δ1
tan B
2
γ
cot
2
H A + HB
Z B +δ 2 −Z A − δ1
γ
∆H AB =H B −H A = 2 R ⋅ tan ⋅ (1 +
) ⋅ tan
2
2R
2
H + HB
∆H AB = H B − H A = 2 R ⋅ (1 + A
)⋅
2R
γ küçük açı olduğundan
s
γ 2
s
tan = =
2 R 2R
⇒ 2R ⋅ tan
γ
=s
2
yazılabilir. Öte yandan AB ışın yayı bir daire yayı olarak kabul edilirse δ1= δ2 olur.
H A +H B
= Hm
2
denilir ve A ile B noktalarındaki işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
Ayrıca,
80
Hm
Z − ZA
) ⋅ tan B
+ t A − tB
R
2
şeklini alır. Noktalar arasındaki s uzaklığı ya da ortalama yükseklik Hm küçük ise
parantez içindeki terim ihmal edilebilir. Bu durumda,
∆H AB =H B −H A = s ⋅ (1 +
Z − ZA
∆H AB =H B −H A = s ⋅ tan B
+ t A − tB
(2)
2
olur. Formüldeki ZA ve ZB açıları işaret tepesine indirgenmiş zenit açılarıdır. A
noktasının yüksekliği biliniyorsa, B noktasının yüksekliği;
H B = H A + ∆H AB = H A + s ⋅ (1 +
Hm
Z − ZA
) ⋅ tan B
+ t A − tB
R
2
(3)
şeklinde yazılabilir.
∆H AB yükseklik farkı şu formülle de hesaplanabilir: işaret yükseklikleri dikkate
alınmadan A ve B noktaları arasındaki yükseklik farklar ∆HAB ve ∆hBA ,
∆H AB = s ⋅ cot Z A
∆H BA = s ⋅ cot Z B
biçiminde yazılabilir. Bu iki değerin ortalaması alınmak suretiyle,
∆H AB + ( − ∆H BA ) ∆H AB − ∆H BA s ⋅ cot Z A − s ⋅ cot Z B
cot Z A − cot Z B
=
=
=s⋅
2
2
2
2
elde edilir. İşaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
∆H AB =
cot Z A − cot Z B
+ t A − tB
2
Yatay uzunluk yerine eğik uzunluk kullanılırsa (4 ) numaralı eşitlik yerine,
∆H AB = H B − H A = s ⋅
(4)
cos Z A − cos ZB
+ t A − tB
(5)
2
olur. (4) numaralı eşitlikten elde edilen sonuçla, (2) numaralı eşitlikten elde edilen
sonuçlar aynıdır. İki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanırken, önce (2) veya (4)
numaralı eşitliklerden birine göre aranan nokta yüksekliği hesaplanır ve daha sonra,
(3) numaralı eşitlikten noktanın kesin yüksekliği elde edilir.
∆H AB = H B − H A = D ⋅
81
3.5.1. Zenit Açılarının Zemin Noktasına İndirgenmesi
Z’A
ZB Z’B
D’
Z’B
a
Z’A
tA
∆ZA
tB
∆ZB
D”
ZA
b
D
D
iB
ZA
B
iA
D
s
A
Şekil 3.12 Zenit açılarının zemin noktasına indirgenmesi
Z’A, Z’B : Ölçülen zenit açıları,
ZA, ZB : Zemin noktasına indirgenmiş zenit açıları,
D’, D’’ : Ölçülen eğik uzunluklar,
D
: Zemin noktaları arasındaki eğik uzunluk,
S
: Zemin noktaları arasındaki yatay uzunluk,
iA, iB : Alet yükseklikleri,
tA, tB : İşaret yükseklikleri olmak üzere;
a = tA-iB, b = tB-iA kısaltmaları ile ve uzun mesafede D′ ≅ D′′ ≅ D kabulüyle,
ı
s = D ⋅ sin Z A
→D =
s
ı
sinZ A
b
b
′
⋅ sin Z ′A = ⋅ sin 2 Z A
s
D
a
a
′ = ⋅ sin 2 Z B
′
Sin ∆Z B = ⋅ sin Z B
s
D
′ + ∆Z A
ZA = ZA
′ + ∆Z B
ZB = ZB
Sin ∆Z A =
yazılır. Z = 90 g − 110 g arasında sinZ ≅ sin 2 Z ≅ 1
açılar olduğu da dikkate alınırsa;
b
b
⋅ρ = ⋅ρ
D
s
a
a
∆Z B = ⋅ ρ = ⋅ ρ
D
s
∆Z A =
yazılabilir.
82
alınabilir. ∆Z A ve ∆Z B nin küçük
ÖRNEKLER:
1- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılmıştır. Aşağıdaki verilere göre;
a) k kırılma (refraksiyon) katsayısını hesaplayınız.
b) HA=2500.00 m verildiğine göre, B noktasının yüksekliğini hesaplayınız.
ZA
103g.4116
4.50 m
ZB
ΔZB
ΔZA
96g.5373
5.00 m
1.50
1.40
A
S= 4745.38 m
B
t −i
4.50 − 1.50
ΔZ A = A A ⋅ ρ =
⋅ 63.6620 = 0 g .0402
S
4745.38
t −i
5.00 − 1.40
ΔZ B = B B ⋅ ρ =
⋅ 63.6620 = 0 g .0483
S
4745.38
Z A = 103.4116 + ΔZ A = 103.4116 + 0.0402 = 103 g .4518
Z B = 96.5373 + ΔZ B = 96.5373 + 0.0483 = 96 g .5856
a) k = 1 −
6373394 0.0374
R Z A + Z B − 200 g
R 103.4518 + 96.5856 − 200
⋅
=1− ⋅
=1−
⋅
S
ρ
S
63.6620
4745.38 63.6620
k = 1 − 0.789 = 0.21
b) H B = H A + S ∗ tan
ZB − Z A
+ t A − tB
2
H B = H A + 44745 .38 ∗ tan
96.5856 − 103.4518
+ 4.50 − 5.00
2
H B = 2500 .00 − 256 .1525 − 0.50 = 2243 .347 m
H B = H A + S ⋅ (1 +
Hm =
Z − ZA
Hm
) ∗ tan B
+ t A − tB
2
R
H A + H B 2500.00 + 2243.347
=
= 2371.674 m
2
2
H B = 2500.00 + 4745.38 ⋅ (1 +
96.5856 − 103.4518
2371.674
+ 4.50 − 5.00 =
) ∗ tan
2
6373394
H B = 2500 .00 − 256 .248 − 0.50 = 2243 .25 m
83
2- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HA=2000.00 m olduğuna
göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma (refraksiyon) katsayısını bulunuz
(R=6373394 m alınacaktır).
106g.1836
1.46
93g.8849
ZA
0.55
ΔZB
ZB
ΔZA
1.54 m
A
0.35
S=4785.34 m
B
i −t
1.46 − 055
ΔZ A = A A ⋅ ρ =
⋅ 63.6620 = 0 g .0121
S
4785 .34
i −t
1.54 − 0.35
ΔZ B = B B ⋅ ρ =
⋅ 63.6620 = 0 g .0158
S
4785.34
Z A = 106.1836 − ΔZ A = 106.1836 − 0.0121 = 106 g .1715
Z B = 96.5373 − ΔZ B = 93.8849 − 0.0158 = 93 g .8691
a) k = 1 −
R 106.1715 + 93.8691 − 200
6373394 0.0406
R Z A + Z B − 200 g
⋅
=1− ⋅
=1−
⋅
ρ
S
63.6620
4785.34 63.6620
S
k = 1 − 0.849 = 0.15
b) H B = H A + S ∗ tan
ZB − Z A
+ t A − tB
2
93.8691 − 106.1715
+ 0.55 − 0.35
2
H B = 2000.00 − 463.817 + 0.20 = 1536.38 m
H B = H A + 4785.34 ∗ tan
H B = H A + S ⋅ (1 +
Hm =
Hm
Z − ZA
+ t A − tB
) ∗ tan B
R
2
H A + H B 2000.00 + 1536.38
=
= 1768.19 m
2
2
H B = 2000 .00 + 4785.34 ⋅ (1 +
1768.19
93.8691 − 106.1715
) ∗ tan
+ 0.55 − 0.35
6373394
2
H B = 2000 .00 − 463 .946 + 0.20 = 1536 .25 m
84
3- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HB=3000.00 m olduğuna
göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma katsayısını bulunuz (R=6373394 m
alınacaktır).
108g.3685
1.60
91g.7007
0.45
A
1.50 m
0.65
S = 6666.66 m
B
a) İşaret Tepesine İndirgenmiş Açılarla Çözüm
108g.3685
1.60
91g.7007
ZA
0.45
ΔZB
ΔZA
ZB
1.50 m
A
0.65
S=6666.66 m
B
iA − tA
1.60 − 0.45
⋅ρ =
∗ 63.6620 = 0 g .0110
S
6666.66
i −t
1.50 − 0.65
ΔZ B = B B ⋅ ρ =
∗ 63.6620 = 0 g .0081
S
6666.66
ΔZ A =
Z A = Z A' − ΔZ A = 108.3685 − 0.0110 = 108 g .3575
Z B = Z B' − ΔZ B = 91.7007 − 0.0081 = 91 g .6926
Z A − ZB
108.3575 − 91.6926
+ t B − t A = 6666.66 ∗ tan
+ 0.65 − 0.45
2
2
H A − H B = 877.588 + 0.65 − 0.45 = 877.788 m
ΔH BA = H A − H B = S ⋅ tan
H A = H B + 877 .788 = 3000 .00 + 877 .788 = 3877 .788 m
Hm =
H A + H B 3877 .788 + 3000 .000
=
= 3438 .89 m
2
2
Hm
Z − ZB
) ⋅ tan A
+ tB − t A =
R
2
3438.89
108.3575 − 91.6926
) ∗ tan
+ 0.65 − 0.45 = 878.062 + 0.20
H A − H B = 6666.66 ∗ (1 +
2
6373394
H A − H B = S ⋅ (1 +
H A − H B = 878.262 m
→ H A = H B + 878.262 = 3000.000 + 878.262 = 3878.26 m
H A = 3878.26 m
85
k =1 −
R Z A + Z B − 200 g
R 108.3575 + 91.6926 − 200
6373394 0.0501
⋅
=1 − ⋅
=1 −
⋅
S
ρ
S
63.6620
6666 .66 63.6620
k = 1 − 0.75235 = 0.24765 ≅ 0.248
b) Zemin Noktasına İndirgenmiş Açılarla Çözüm
a=1.50-0.45=1.05
108g.3685
1.60
0.45
ZA
∆ZA
91g.7007
b=1.60-0.65=0.95
∆ZB
A
1.50 m
ZB
0.65
S = 6666.66 m
B
ΔZ A =
i A − tB
0.95
b
1.60 − 0.65
⋅ρ = ⋅ρ =
⋅ 63.6620 =
⋅ 63.6620 = 0 g .0091
6666 .66
S
S
6666 .66
ΔZ B =
iB − tA
a
1.50 − 0.45
1.05
⋅ρ = ⋅ρ =
⋅ 63.6620 =
⋅ 63.6620 = 0 g .0100
S
S
6666 .66
6666 .66
b
0.95
⋅ sin 2 Z A′ =
⋅ sin 2 108.3685 = 0.0001400519 398 → ΔZ A = 0 g .0089
S
6666.66
a
1.05
Sin ΔZ B = ⋅ sin 2 Z B′ =
⋅ sin 2 91.7007 = 0.0001548385 624 → ΔZ B = 0 g .0099
S
6666.66
Z A = Z A′ − ΔZ A = 108.3685 − 0.0089 = 108 g .3596
Sin ΔZ A =
Z B = Z B′ − ΔZ B = 91.7007 − 0.0099 = 91 g .6908
ΔH BA = H A − H B = S ⋅ tan
Z A − ZB
108.3596 − 91.6908
= 6666 .66 ∗ tan
= 877.796 m
2
2
H A = H B + 877.796 = 3000.00 + 877.796 = 3877.796 m
Hm =
H A + H B 3877.796 + 3000.000
=
= 3438.90 m
2
2
H A − H B = S ⋅ (1 +
Hm
Z − ZB
3438 .90
108.3596 − 91.6908
) ⋅ tan A
= 6666 .66 ∗ (1 +
) ∗ tan
R
2
6373394
2
H A − H B = 878.270 m
k =1 −
→ H A = H B + 878.270 = 3000.000 + 878.270 = 3878.27 m
R Z A + Z B − 200 g
R 108.3596 + 91.6908 − 200
6373394 0.0504
⋅
=1 − ⋅
=1 −
⋅
S
ρ
S
63.6620
6666.66 63.6620
k = 1 − 0.7569 = 0.2431 ≅ 0.243
86
Elektronik Takeometrelerle Yapılan Karşılıklı Gözlemlerle
Aralarındaki yükseklik farkı belirlenecek iki noktada da, aşağıdaki şekilde görüldüğü
gibi üzerine reflektör yerleştirilmiş birer elektronik takeometre (total station) olmalıdır.
Bu iki noktada eş zamanlı karşılıklı gözlemlerle düşey açı ve eğik uzunluklar
ölçülürse, iki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanabilir. Elektronik takeometrenin
yatay ekseni ile üzerindeki reflektör arasındaki a mesafesinin her alet için, bir kez
incelikli olarak ölçülmesi yeterlidir. Daha sonra ölçüm anında yalnızca elektronik
takeometrelerin yatay ekseninin zemindeki noktadan olan mesafesinin ölçülmesi
yeterli olur. Düşey açı ölçümünde, yatay gözlem çizgisinin hedef levhasındaki > <
işaretlerinin ortasına tatbik edilmesi yerinde olur.
ZAB
a
Z’AB
tA
ΔZB
L
ZBA
a
ΔZA
DAB
DBA
iA
Z’BA
a
tB
iB
A
S
B
Neper Formüllerine Göre Çözüm:
Yukarıdaki şekil ve notasyonlara göre Neper formüllerine göre,
∆Z A + ( 200 g − Z 'AB − ∆Z A )
200 g − Z 'AB
tan
a + D AB
2
2
=
=
g
'
a − D AB
∆Z A − ( 200 − Z AB − ∆Z A )
2 ∆Z A − 200 g + Z 'AB
tan
tan
2
2
tan
2 ∆Z A − 200 g + Z 'AB a − D AB
200 g − Z 'AB
tan
=
⋅ tan
2
a + D AB
2
⎛ a − D AB
2 ∆Z A − 200 g + Z 'AB
200 g − Z 'AB
= atn ⎜⎜
⋅ tan
2
2
⎝ a + D AB
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ a − D AB
2 ∆Z A 200 g − Z 'AB
200 g − Z 'AB
−
= atn ⎜⎜
⋅ tan
2
2
2
⎝ a + D AB
⎞
⎟
⎟
⎠
87
⎛ a − D AB
200 g − Z 'AB
⋅ tan
∆Z A = atn⎜⎜
2
⎝ a + D AB
⎞ 200 g − Z 'AB
⎟+
⎟
2
⎠
Benzer şekilde
'
⎛ a − DBA
200 g − Z BA
⋅ tan
∆Z B = atn⎜⎜
2
⎝ a + DBA
'
⎞ 200 g − Z BA
⎟+
⎟
2
⎠
yazılır.
Z AB = Z 'AB + ∆Z A
'
Z BA = Z BA
+ ∆Z B
L AB
sin Z 'AB
=
D AB
sin Z AB
→ L AB = D AB ⋅
⎫
⎪
⎪
L AB + LBA
⎬ L=
2
⎪
⎪
⎭
sinZ 'AB
sinZ AB
'
sinZ BA
DBA
=
→ LBA = DBA ⋅
'
sinZ BA
sin Z BA
sin Z BA
L
∆H AB = ⋅ (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B
2
LBA
Kosinüs Teoremine Göre Çözüm
Bu çözüm yolunda düşey açının 100 grad civarında olması durumunda, a kenarının
çok kısa olması nedeniyle ölçülerin formüllerde yerine konmasıyla anlamsız
sonuçlara ulaşılabilmektedir. Bu nedenle düşey açının 100g civarında olduğu
durumlarda Neper formüllerine göre çözüm yapılması daha doğru olacaktır.
∆H AB = H B − H A =
1
S ⋅ (cot Z AB − cot Z BA ) + t A − t B
2
Yatay uzunluğa göre
∆H AB = H B − H A =
1
L ⋅ (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B
2
Eğik uzunluğa göre
⎫
L AB + LBA
⎪
⎬ L=
2
⎪
⎭
2
− 2 ⋅ a ⋅ D AB ⋅ cos Z 'AB
L AB = a 2 + D AB
2
'
− 2 ⋅ a ⋅ DBA ⋅ cos Z BA
LBA = a 2 + DBA
Sinüs teoremine göre,
sin Z AB sin Z 'AB
=
D AB
L
→ sinZ AB =
D AB
⋅ sin Z 'AB
L
D
Z AB = arcsin( AB ⋅ sin Z 'AB )
L
DBA
'
Z BA = arcsin(
⋅ sin Z BA
)
L
∆H AB =
L
(cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B
2
88
Örnek:
A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. Aşağıdaki verilere göre B
noktasının yüksekliğini bulunuz.
'
Z AB
= 103 g .9388
D AB = 57.450 m
t A = 1.80 m
a = 0.22 m
'
Z BA
= 95 g .5718
DBA = 57.475 m
t B = 1.81 m
ΔH AB = ?
a) Neper formüllerine göre çözüm:
⎛ a − D AB
200 g − Z 'AB
⎜
⋅ tan
∆Z A = atn⎜
2
⎝ a + D AB
⎞ 200 g − Z 'AB
⎟+
⎟
2
⎠
200 g − 103.9388 ⎞ 200 g − 103.9388
⎛ 0.22 − 57.450
⎟⎟ +
⋅ tan
= 0 g .24326
2
2
⎝ 0.22 + 57.450
⎠
ΔZ A = atn⎜
200 g − 95.5718 ⎞ 200 g − 95.5718
⎛ 0.22 − 57.475
⎟⎟ +
⋅ tan
ΔZ B = atn⎜
= 0 g .24316
2
2
⎝ 0.22 + 57.475
⎠
'
Z AB = Z AB
+ ΔZ A = 103.9388 + 0.24326 = 104 g .18241
'
Z BA = Z BA
+ ΔZ B = 95.5718 + 0.24316 = 95 g .81496
⎫
sinZ 'AB
sin103.938 8
= 57.450 ⋅
= 57.464 m ⎪
sinZ AB
sin104.182 41
57.464 + 57.460
⎪
= 57.462 m
⎬ L=
'
2
sinZ BA
sin 95.5718
⎪
LBA = DBA ⋅
= 57.475 ⋅
= 57.460 m
⎪
sinZ BA
sin 95.81496
⎭
L
57.462
ΔH AB = ⋅ (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B =
⋅ (cos104 .18241 − cos 95.81496 ) + 1.80 − 1.81
2
2
ΔH AB = −3.783 m
L AB = D AB ⋅
b) Kosinüs teoremine göre çözüm:
'
2
− 2 ⋅ a ⋅ D AB ⋅ cos Z AB
= 0.22 2 + 57.450 2 − 2 ∗ 0.22 ∗ 57.450 ∗ cos103.9388
LAB = a 2 + D AB
LAB = 57.464 m
'
2
LBA = a 2 + DBA
− 2 ⋅ a ⋅ DBA ⋅ cos Z BA
= 0.22 2 + 57.475 2 − 2 ∗ 0.22 ∗ 57.475 ∗ cos 95.5718
LBA = 57.460 m
L AB + LBA 57.464 + 57.460
=
= 57.462 m
2
2
D
57.450
'
) = arcsin(
Z AB = arcsin( AB ⋅ sin Z AB
⋅ sin103.9388 ) = 104 g .1491
L
57.462
D
57.475
'
Z BA = arcsin( BA ⋅ sin Z BA
) = arcsin(
= sin 95.5718 ) = 95 g .7823
L
57.462
L
57.462
ΔH AB = (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B =
⋅ (cos104 .1491 − cos 95.7823 ) + 1.80 − 1.81 =
2
2
ΔH AB = −3.783 m
L=
89
Aralarındaki yüksek farkı belirlenecek olan A ve B gibi iki noktanın deniz
seviyesinden yükseklikleri fazla değilse veya aralarındaki uzunluk çok büyük değilse,
eş zamanlı karşılıklı gözlemlerden iki nokta arasındaki yükseklik farkı şu şekilde de
belirlenebilir.
ZAB
tA
DAB
DBA
iA
ZBA
tB
iB
A
S
B
1− k 2
D AB + i A − t B
2R
1− k 2
= DBA ⋅ cos Z B +
DBA + i B − t A
2R
ΔH AB = D AB ⋅ cos Z A +
ΔH BA
ΔH AB − ΔH BA = D AB ⋅ cos Z A +
1− k 2
1− k 2
D AB + i A − t B − DBA ⋅ cos Z B −
DBA − i B + t A
2R
2R
1− k 2
1− k 2
D AB ≈
DBA
2R
2R
ifadeleri birbirine eşit alınabilir. Bu durumda,
ΔH AB − ΔH BA = D AB ⋅ cos Z A + i A − t B − DBA ⋅ cos Z B − i B + t A
olur. Ayrıca
ΔH AB = − ΔH BA
olduğundan
ΔH AB − ΔH BA = ΔH AB + ΔH AB = 2ΔH AB = D AB ⋅ cos Z A − DBA ⋅ cos Z B + i A − t B − i B + t A
2ΔH AB = D AB ⋅ cos Z A − DBA ⋅ cos Z B + (i A − i B ) + (t A − t B )
ΔH AB =
D AB ⋅ cos Z A − DBA ⋅ cos Z B (i A − i B ) + (t A − t B )
+
2
2
elde edilir.
90
Takimetri
4. BÖLÜM
TAKİMETRİ
Takimetri yönteminde bir noktanın yatay konumu ile yüksekliği birlikte belirlenir.
Koordinatları ve yüksekliği bilinen bir noktaya (örneğin, poligon noktası) takeometre
aleti kurularak ölçülecek noktaların konumları kutupsal koordinat yöntemine göre,
yükseklikleri de trigonometrik olarak belirlenir. Kutupsal alım yönteminde, ölçülecek
noktaların bilinen bir doğrultuyla yaptığı yatay açılar ve alet kurulan noktadan olan
uzaklıkları optik olarak ölçülürler.
Takimetri yöntemi, genel olarak yol ve demiryolu projelerinin yapımında, havai nakil
hatları etütlerinde, konut, fabrika inşaatı alanlarında, yükseklik eğrili haritaların alımı
işlerinde uygulanır.
Şekil 4.1 Takimetrik alım krokisi
82
Takimetri
4.1. Takimetrik Alımın Yapılışı
Takimetri ekibi, 1 krokici, 1 operatör (takeometreyi kullanan), 1 yazıcı ve yeterince
miracıdan oluşur. Ekibi, krokici yönlendirir. Takimetrik alım için operatör takeometreyi,
konumu ve yüksekliği bilinen (genelde poligon) bir noktaya kurar ve alet yüksekliğini
(aletin üzerine kurulduğu zemin noktası ile aletin yatay ekseni arasındaki düşey
uzaklık) çelik şerit ya da mira ile ölçer. Öncelikle konumu ve yüksekliği bilinen başka
bir noktaya bakılarak yatay ve düşey açı okumaları ile birlikte mira okumaları yapılır.
Matematiksel olarak bilinen tek bir noktaya bakmak yeterlidir. Fakat kontrol amacıyla
bilinen ikinci bir noktaya daha bakılarak aynı okumalar orada da yapılır. Yapılan
okumaları, yazıcı takimetrik ölçüm çizelgesine kaydeder.
Krokici, miracılarla birlikte ölçülecek yeri dolaşarak, detayı yerinde çizer ve miracılara,
mirayı tutacakları yerleri gösterir. Her mira tutulan noktaya bir numara verilir ve ölçü
krokisinde “x” işaretiyle (elektrik direği, sokak lambası vb. Özel gösterimi olan
noktalar hariç) gösterilir. Kontrol amacıyla 10 noktada bir, yazıcı ile numaralar
karşılaştırılır ve bir hata varsa düzeltilir. Nokta numarası, haritası yapılacak bölge için
1 den başlar ve birbirini izleyerek devam eder. Takimetrik olarak yollar, elektrik,
telefon direkleri, büyük ağaçlar, duvar, dere, tepe, şev gibi arazinin karakteristik
özellik gösteren yerleri ile yükseklik eğrilerinin çizimini sağlayacak şekilde belli
aralıklarla mira tutularak arazi taranır. Bir poligon noktasından alınabilen tüm detayın
ölçümleri yapılır. Alet (takeometre) bilinen başka bir noktaya kurularak aynı işlemler
tekrarlanır. Noktaların numaralanması kaldığı yerden devam eder.
Takeometre miraya yöneltilince, gözlem çizgilerinin alt çizgisi (küçük okuma değerin
olduğu çizgi) mirada 100 cm değerine tatbik edilir. Eğer 100 değeri okunamıyorsa,
200 değerine, o da okunamıyorsa 300 değerine tatbik edilir. Onlar da görülemiyorsa
özellikle ağaçlık bölgelerde desimetre başlangıçlarına da tatbik yapılabilir. Mira
üzerinde alt, orta ve üst çizgi okumaları yapılır. Daha sonra yatay açı ve düşey açı
okunur. Yazıcı, operatörün okuduğu değerleri takimetrik ölçü çizelgesine kaydeder.
Yazıcı, orta-alt çizgi okuma farkı ile üst-orta çizgi okuma farkını alarak bunların
birbirine eşit olup olmadığını kontrol eder. Eğer farklar, birbirine eşit değilse operatörü
uyararak mira okumalarını yeniden yapmasını sağlar. Bu iki farkın toplamı, aynı
zamanda üst çizgi - alt çizgi okuma farkına eşit olması gerekir. Miralar, nokta üzerine
küresel düzeci yardımıyla düşey olarak tutulurlar.
83
Takimetri
4.1.2. Uzunlukların Optik Olarak Ölçülmesi :
Yatay eksen
Mira
Objektif
p
Alt çizgi okuması
ℓ
δ
p
f
Üst çizgi okuması
D’
C
s
Şekil 4.2 Uzunlukların optik olarak ölçülmesi
l
p
f
= → D' = ⋅ l
D' f
p
C =δ +f
f
S = D' +C = ⋅ l + C
p
f
= k denilirse,
p
S = k ⋅l +C
olur. Aletlerde C = 0 ve k = 100 dür. Bu durumda,
S = k ⋅ l = 100 ⋅ l
olur. Burada k=100 katsayısı, cm biriminde bulunan mira farklarının m birimine
dönüştürülmesini sağlar. Yalnız bu formül, optik eksen yatay, yani miraya dik olduğu
zaman geçerlidir. Hâlbuki eğimli arazide optik eksen miraya dik değildir.
α
ℓ’
Üst çizgi
ℓ
α
t
s’
h
Alt çizgi
B
Z
α
S
i
A
Şekil 10.3 Takimetrik alımda yatay uzunluğun ve yükseklik farkının belirlenmesi
84
Takimetri
ℓN = ℓ cosα
SN = C+ k ℓN = C+ k ℓ cosα
S = SN cosα = C cosα + k ℓ cos2α
cosα ≈cos2α alınabilir (C küçük bir değer ve cosα da 1 ‘e yakın).
S = C cos2α +k ℓ cos2α = (c+k ℓ) cos2α
C = 0 ise, yatay uzunluk,
S = k ℓ cos2α = k ℓ sin2Z
olur.
h = S’ sinα = (c + k ℓ cosα) sinα = c sinα + k ℓ sinα cosα
sinα ≈ sinα = cosα alınabilir.
h = c sinα cosα + k ℓ sinα cosα = (C + k ℓ) sinα cosα
h =½ (C+ k ℓ ) sin2α
C = 0 ise,
h = ½ k ℓ sin2α = ½ k ℓ sin2Z
olur. Ya da S yatay uzunluğu bilindiğine göre h,
h = S cotZ = S / tanZ
şeklinde hesaplanabilir. Durulan noktadaki alet yüksekliği i, miradaki orta çizgi
okuması (işaret yüksekliği) t ise, bakılan noktanın yüksekliği;
HB = HA + i + h –t
Ya da h yerine karşılığı yazılırsa,
HB = HA + i + ½ k ℓ sin2Z – t
HB = HA + i + S / tanZ – t
formülleri ile bulunur.
Örnek :
DN
BN
Yatay
Açı
Düşey
Açı
P2
i=1.45
P1
0g.000
101g.380
P3
221.150
96.410
1
21.452
98.483
2
75.765
103.550
3
125.360
102.130
HP2=100.00
101.45
Mira
Okuması
100
172.3
244.6
100
151.4
202.8
100
114
128
200
241.5
283
100
122.4
144.8
Orta-Alt
Üst-Orta
Üst-Alt
ℓ
Yatay
Uzunluk
h
72.3
72.3
144.6
144.53 m
-3.134
96.59 m
51.4
51.4
102.8
102.47
5.785
105.72
14
14
28
27.98
0.667
100.98
41.5
41.5
83
82.74
-4.619
94..42
22.4
22.4
44.8
44.75
-1.498
98.73
85
Yükseklik
H
Kaynaklar
KAYNAKLAR
Aydın, Ö.
: Ölçme Bilgisi 2, Yıldız Teknik Üniversitesi Basım-Yayın Merkezi,
Üniversite yayın no: YTÜ. İN. DN–97.0318, 1997.
Banger, G.
: Hassas Nivelmanda Hata Kaynakları. İ.Ü. Orman Fakültesi Dergisi,
Seri A, 2/1981, Ayrı Baskı.
Baumann, E.
: Vermessungskunde, Lehr-und Übungsbuch für Ingenieure, Band I,
ISBN 3-427-79041-x, Ferd. Dümmler Verlag. Bonn-1986.
Baumann, E.
:Vermessungskunde, Lehr-und Übungsbuch für Ingenieure, Band II,
ISBN 3-427-79051-7, Ferd. Dümmler Verlag. Bonn-1985.
Demirel, H.
Demir, C.;
Cingöz, A.
: Harita ve Kadastro Mühendisliği, sayı:44, 1983
: Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı (TUDKA-99),
http://www.hgk.mil.tr
Erbudak, M.
:Tuğluoğlu, A. : Fiziksel Geodezi. İDMMA yayınları Sayı:129,
Özarkadaş Matbaası, İstanbul–1976.
Gürkan, O.
: Fiziksel Jeodezi, Weikkoa Heiskanen ve Helmut Moritz’den çeviri,
Karadeniz Üniversitesi Basımevi, Trabzon–1984.
Heck, B.
: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung.
2. auflage, Herbert Wichmann Verlag, Heidelberg 1995.
Kahmen, H.
: Vermessungskunde I, Walter de Gruyter, Berlin . New York-1988.
Kahmen, H.
: Vermessungskunde III, Walter de Gruyter, Berlin . New York-1988.
Koç, İ.
:Ölçme Bilgisi I, ISBN 975-95964, İstanbul – 1988.
Möser, M.;
: Handbuch Ingenieurgeodaesie, Grundlagen. Herbert Wichmann
Müller, G.;
Verlag, Heidelberg - 2000.
Schlemmer, H.;
Verner, H.
Özbenli, E.;
Tüdeş, T.
: Ölçme Bilgisi. Pratik Jeodezi. Matbaa Teknisyenleri Basımevi,
İstanbul -1972.
Özgen, M.G.
: Topoğrafya (Ölçme Bilgisi), İstanbul -1984
Songu, C.
: Ölçme Bilgisi, İkinci cilt, Ankara -1975.
86
Kaynaklar
Şerbetçi, M.
:Ülke Temel Jeodezik Ağın Tarihçesi, Nirengi, Nivelman ve Gravite
Ağları, Harita ve Kadastro Mühendisliği 1992 sayı 72).
Şerbetçi, M.
: Türk Haritacılığı Tarihi s:65, Trabzon 1995
Ulsoy, E.
:Matematiksel Geodezi, İDMMA Yayınları Sayı:144, İstanbul 1977
Ulsoy, E.
:Ülke Jeodezi Ağları, Ders Notu, İTÜ Jeodezi ve Fotogrametri
Mühendisliği bölümü, Jeodezi Kürsüsü Yayınları No:2, İstanbul
1976.
Uzel, T.
Örüklü, E.
: Mimarlık Ölçme Bilgisi, Klasik ve Fotogrametrik Yöntemler, Rölöve
Çalışmaları. İDMMA Yayınları Sayı:140
Uzel, T.
Gülal, E.
: Harita ve Kadastro Mühendisliği. Sayı:83, 1997.
Uzel, T.
:Jeodezik Amaçlı Elektromagnetik Ölçmeler C:II. YÜ, İstanbul-1984.
AnaBritannica, cilt:18, s:139, Ana Yayıncılık A.Ş. İstanbul, 2000.
Açıklamalı-Örneklemeli Büyük Ölçekli Haritaların Yapım Yönetmeliği, TMMOB Harita
ve Kadastro Mühendisleri Odası –İstanbul Şubesi, 1992.
Büyük Ölçekli Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeliği, 2005
87

Halil Erkaya

Transkript

Benzer belgeler

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ_____Öğrencinin

Bu PDF dosyasını indir

YENİ PEUGEOT PARTNER VAN PARTNER VAN OPAK METALİK

Ders slaytı-6.

Fiyat Listesi Yürürlük Tarihi: 01.01.2016 >Mercedes-Benz

Ders slaytı-3

Türkiye Yükseklik Sisteminin Modernizasyonu ve Gravite

YENİ CITROËN C1 - Hilal Otomotiv

karar destek ve modelleme ortamı olarak 3 boyutlu