2. Donem Yunan Matematg Donem

MATEMATİK
TARİHİ
2. Dönem:
Yunan Matematiği Dönemi
M. Ö. 500 - M.S. 500 yılları Yunan Matematiği
dönemi olarak bilinmektedir.
Yunan Medeniyeti
ESKİ YUNAN MEDENİYETİ
Eski Yunan Medeniyetine kısa bir bakış
• Yunanların M.Ö. 3000 yıllarında kitleler hâlinde Balkan
Yarımadası'nın güneyine göç ettiklerine inanılır.
• M.Ö. 23. ve 17. yüzyılları Proto-Grek dönemi.
• M.Ö. 1600'den 1100'e kadar olan dönem, Homeros'un
epiklerinde masallaştırdığı Truva'ya karşı savaşan Kral
Agememnon'un başında olduğu Miken Yunan Çağı'dır.
• M.Ö. 1100'den M.Ö. 8. yüzyıla olan hiçbir yazılı eserin
günümüze ulaşmadığı, sadece yetersiz arkeolojik
kalıntıların bulunduğu Karanlık Çağ olarak adlandırılır.
• Antik Yunan Çağı'nın Büyük İskender'in (ölümü: M.Ö. 323)
hükümdarlığının başlaması ile sona erdiği kabul edilir. Büyük
İskender’in dönemine Helenistik Çağ adı verilir.
• Karanlık Çağ’da okur yazarlık kaybolmuş ve Miken yazısı
unutulmuş. M.Ö. 8. yüzyıldan itibaren kültürel-toplumsal alanda
büyük canlanmalar başladı.
• M.Ö. 8. yüzyılda Miken Uygarlığı'nın çöküşe geçmesi ile
Yunanistan, Karanlık Çağından çıkmaya başlamış
• Yunanlar Fenike Alfabesi'nden Yunan Alfabesini yarattılar. M.Ö.
800'lerde ilk yazılı kayıtlar görülmeye başladı.
M.Ö 1200 yıllarında Dorlar'ın Yunanistan'ı
işgal etmesiyle Polis adını vermiş oldukları
şehir devletleri kurulur. Bunların en
önemlileri Atina, Isparta, Korint ve
Tebai'dir.
Yunan Matematiği ve bazı Yunan
Matematikçileri
M.Ö. 550 yıllarında Persler, Anadolu ve Mısır
olmak üzere Ortadoğunun hakimi idiler. M.Ö.
480 yıllarında Persler, Atina yı ele geçirirler
ama bir yıl sonra Yunanlılar Persleri Yunan
yarım adasından atarlar. Bu tarih, yani M.Ö.
479 yılı, Yunan medeniyetinin başlangıcı
olarak bilinir. Elbette Yunan matematiği bu
yıllardan çok önce başlamıştır.
Tales ve Pisagor Yunan matematiğinin
babası olarak bilinmektedirler
Tales
Milet (Aydın) da doğdu, Mısır da geometri öğrendiği
biliniyor. Tales teoremini kullanarak piramidin
yüksekliğini hesapladığı kitaplarda yazılmıştır.
Piramidin gölgesinin uzunluğunu ölçmüş ve kendi
boyunun gölgesi ile oranından piramidin uzunluğunu
bulmuştur. Mısır’dan Milet’ e geri geldiği zaman bir
grup kurarak onlara geometriyi öğretmiştir. Akıl
yürütmeye dayanan soyut ispatın (deneye dayanmayan)
matematiğe Tales ile geldiği kabul görür ve Tales tarihin ilk
filozofu olarak da bilinmektedir.
TALES TEOREMİ :
 İkiz kenar üçgenin taban açıları bir birine eşittir.
 Ters açılar eşittir.
 Bir kenarı ve o kenara bitişik açıları eşit olan iki
üçgen birbirine eşittir.
 Çapı gören çevre açı 90 derecedir.
 Benzer üçgenlerde, eşit açılar karşısında bulunan
kenarlar orantılıdır.
 Bir çember, çapı tarafından iki eşit parçaya bölünür.
Pisagor
Susam adasında doğmuştur. Tales in yanında bir
süre kaldıktan sonra Mısır a gidip Mısır
tapınaklarında dini bilgiler edindiği daha sonra ise
Mısırda Perslere esir düştükten sonra Babil e
götürüldüğü bilinmektedr. Babil de matematik,
müzik ve dini bilgiler edindiği biliniyor. Sisam a
geri gelince okul oluşturarak bilgilerini aktarmaya
çalışmıştır. M.Ö 518 de buradan ayrılarak Güney
İtalya ya yerleşmiştir. Burada ise mistik-bilimsel
tarikat gibi bir okul oluşturmuştur.
Pisagor Okulu
Pisagor okuluna göre herşey sayılara
indirgenebilir. Sayılar arasında raslantı
olamayacak kadar mükkemmel bir ahenk var ve
bu ahenk ilahidir. O yıllarda bilinen sayılar 1,2,3
gibi tam sayılar ve ½ ¾ gibi bir parçanın
bütününe oranını belirten kesirli sayılardır. Pisagor
teoremi ile irrasyonel sayılar ortaya çıkmış ve bu
keşif beraberinde ilk matematik krizini getirmiştir.
O dönem yunan matematiği temelinde aslında
Mısır ve Mezopotamya matematiği vardır.
Eflatun ve Akademisi
Atina da matematiğin eğitimi Eflatun
ile başlar (Platon M.Ö. 427-347).
Sokrat ın öğrencisi olan Eflatun onun
ölümü ile Mısır, Sicilya ve İtalya da
kalır. Bu sayede pisagorculardan
matematik öğrenir. Matematiğin
önemini anlayan Eflatun M.Ö.387 de
geri dönmesi üzerine Atina da bir okul
kurar, ve okuluna Akademius adını
verir. Akademius Pers-Yunan savaşları
kahramanlarından birinin ismidir. Bu
okulda felsefe, geometri, müzik ve
jimnastik ağırlıklı dersler verilmekte
idi. Geometri doğru düşünmeyi
öğrenmenin temel aracı olarak kabul
görmekte, felsefe ile birbirine yakın
konular olarak görülmektedir. Bu
okul M.S. 529 yılına kadar eğitim
verecek ve çok sayıdan matematikçi
yetiştirecektir.
Platon (Eflatun)
• Bu okulda yetişen ilk önemli matematikçi Öklid
(Euclid M.Ö. 325-265). Son önemli matematikçi ise
Proclus (M.S. 411-485) dur.
• M.Ö. 400-300 yıllarının en önemli matematikçisi
Eudoxus’dur. Pisagorcuların sayı kavramını
değiştirmiş ve sayıyı iki uzunluğun oranı olarak
tanımlayan ve bu tanıma uygun bir sayılar
aritmetiği geliştirerek, irrasyonel sayıların keşfi ile
matematiği içine düştüğü krizden kurtarmıştır.
Exahaution yöntemini geliştirmiş ve evrensel olarak
bir modeli ilk tasarlayan Eudoxus.
• Exahaution yöntemi nedir: Şekli düzgün
olmayan, alanı yada hacmi bilinmeyen bir cismin
alan veya hacmini, alanı veya hacmi bilinen
şekillerle doldurup alanı yada hacmi hesaplama
yöntemi.
Büyük İskender ve İmparatorluğu
• M.Ö. 335’ten sonra Makedonyalı Büyük İskender,12-13 yıl
Pers İmparatorluğunu ele geçirir. 322’de Hindistan dönüşü
Babil’de ölünce İmparatorluk üçe bölünür.
Afrika’daki topraklar (Mısır ve Libya) general Ptolemaios’a,
Asya’daki topraklar general Seleukos’a ve Avrupa’daki
topraklar da Antigonos’e düşer. Böylece, daha sonra
“Yunan kültür bölgeleri” olan Yunan uygarlığının gelişeceği
üç bölge ortaya çıkar.
Bunlar Yunanistan-Makedonya, Anadolu-Suriye ve
Mısır-Libya’dır.
• Makedonya krallığında Eflatun’un Akademisi,
Aristo’nun Lisesi gibi okullar eğitimlerini felsefe ağırlıklı
olarak sürdürürler.
• Anadolu’da tıp ve astronomide Galenos ve Hipparkhos
gibi önemli bilginler yetişir. Galenos’un tıp konusunda
500 civarında kitap (papirüs) yazdığı bilinmektedir.
• Galenos, Hipokrat’ın yaşadığı dönemle İbni Sina’nın
zamanı arasında yaşamış en önemli tıp adamıdır.
İskenderiye ve Museum
• Matematik alanında en önemli merkez İskenderiye’dir.
Ptolemaios, Zeus’un sanat tanrıçaları (esin perileri) olarak
bilinen kızlarına verilen “Muse” isminden esinlenerek,
İskenderiye’de tarihin en ünlü üniversitelerinden biri olan
Museum’u kurar. Bu kurum, 700 yıldan fazla bir süre ileri
bilimler merkezi olarak eğitim ve araştırma faaliyetlerini
sürdürür ve ücretler devlet hazinesi tarafında ödendiğinden
burada birçok bilim adamı çeşitli dallarda eğitim vermiş ve
araştırma yapmıştır.
• Zamanla çok zengin bir kütüphane oluşturulmuş, botanik
bahçesine ve bir gözlemevine sahip olmuşlardır.
• Yunan kültür bölgelerinden önemli bilim adamları burayı
ziyaret edip, bir süre kalmışlardır.
ÖKLİD
Museum’da ders veren ilk önemli matematikçi Öklid’dir.
Öklid’in en önemli eseri Öklid’in Elementleri olarak bilinen
on üç kitaplık matematik dizisidir. O tarihlerdeki kitap
uzunlukları bir papirüslüktür. Yani 20 ila 50 sayfa arasında
bir kitaba karışılık geliyor. Bu kitaplarda Öklid o
zamanlarda bilinen matematiğinin sistematik bir
derlemesini sunar. Bu eserin önemi Öklid’in geometriye
yaklaşımında ve konuları sunuşundadır.
Öklid, geometride önce evrensel geçerliliği olan beş
aksiyom verir.
Bunlar:
A = B ve B = C ise A = C gibi kurallar.
Sonra nokta, doğru, düzlem gibi kavramların ne olduğunu
belirten 31 tanım verir.
Öklid
Daha sonra da Öklid geometrisinin önemli
1) İki noktadan bir doğru geçer.
2) Bir doğru parçası sınırsız uzatılabilir.
3) Bütün dik açılar birbirine eşittir.
4) Bir nokta ve bir uzunluk bir çember belirler.
5) Bir doğruya onun dışındaki bir noktadan sadece bir paralel çizilir
Gibi tanımları verir.
Mantıki çıkarım yoluyla, bu tanımlardan çıkarabildiği
sonuçları teorem ve önerme olarak mantıksal bir sırada
sunar. Bu yaklaşım bugünkü matematiğin ve bilimin
temelini oluşturur. Ünlü düşünür Bertrand Russell’a göre,
hiçbir eser batı düşünce sisteminin oluşmasında bu kitap
kadar etkili olmamıştır. Öklid in Elementeri birçok dile
çevrilmiş, binden fazla basım yapmış, bütün uygarlıkların
okullarında okutulmuş, insanlığın en önemli
başyapıtlarından biri olmuştur.
Arşimed
Arşimed: Bütün zamanların en büyük bilim
adamlarından biri olarak kabul edilen Siraküs’lü
Arşimed (M.Ö. 287-212) de Museum’da
yetişmiştir. En azından bir süre burada
kaldığı bilinmektedir. Arşimed icat ettiği mekanik
aletlerinin yanısıra, Öklid’in geometride yaptığını
mekanikte yapmış, mekaniğin ve hidro-statiğin
temel ilkelerini yasalaştırmaya çalışmıştır.
Matematiğe katkıları, silindir ve küre hakkında
çalışmaları; “Exhaustion” yöntemiyle birçok şeklin
alanını hesaplamış olmasını sayabiliriz.
Bu, bugün matematikte integral olarak bilinen
kavramın başlangıcıdır. Günümüze bu yöntemi ilk
kullanan Eudox’tan hiçbir eser kalmamıştır. Bu
nedenle, belgeli olarak, bu yöntemin ilk olarak
kullanıldığı yer Arşimed’in eserleridir. Arşimed bu
yöntemle, bir dairenin içine ve dışına düzgün 96
kenarlı çokgenler çizip, onların alanlarını
hesaplayarak, π sayısının 3,10/71 ile 3,10/70
arasında bir değeri olduğunu hesaplamıştır,
dolayısıyla π’nin virgülden sonra ilk üç rakamını
doğru olarak vermiştir. O zamana kadar π sayısının
bilinen değerleri deneysel yolla elde edilen değerlerdi.
Ptolemaios: Museum’da yetişen ve tarihin en
önemli astronomlarından biri olarak kabul edilen
bir bilimadamı. Batılıların Ptolemaios, Doğuluların
Batlamyüs olarak bildiği Claudius Potolemy’dir
(M.S. 85-165). Batlamyüs, uzun yıllar süren
gözlemlerden sonra, Hipparkhos gibi daha önce
yaşlamış olan başka astronomların da gözlemlerini de
kullanarak, tutarlı bir evren sistemi oluşturmuş; geniş
astronomik ölçüm cetvelleri ve bir yıldız kataloğu
hazırlamıştır. Batlamyüs’ün sisteminde dünya
merkezdedir; güneş, ay ve diğer gezegenler dünya
etrafında çembersel bir yörüngede dönmektedirler.
Arapların, “en büyük” anlamına gelen “almagest”
dedikleri ve Yunanca ismi “matematica”
olan ünlü astronomi kitabı on beş asır boyunca
astronomiyle ilgilenen bütün bilimadamlarının başucu
kitabı olarak kalmıştır.
HYPATIA (M.S.370-415)
• İskenderiye okulunun son düşünürü
ve matematik tarihinin ilk kadın
matematikçisidir.
• Felsefeci ve matematikçi Theon’un
kızıdır.
• Diophantus’un Aritmatikasını,
Apollonius’un Koniklerini,
Ptolemaios’un Astronomisini
yorumladı ve kaleme aldı.
• İskenderiye papazı Cyrille’nin
kışkırttığı halk tarafından taş ve
sopalarla dövülmüş, derisi midye
kabuğu ile yüzülerek tüm vücudu
parçalanmış ve sokaklara atılmıştır.
Yunan matematiği döneminde bugün biz nasıl
matematik yapıyorsak öyle yapılıyordu. Örneğin
Öklid’in verdiği ispatlar bugün için de geçerlidir,
dolayısıyle günlük hayatta işe yararlı olsun diye
matematik yapılmıyordu.
Bu dönemin sonu: Roma imparatorluğunun yükselişi
ve bu imparatorluğun resmi dininin Hıristiyanlık
oluşudur.
M.Ö. 150 yıllardan itibaren Roma imparatorluğu
genişlemeye başlamış. M. Ö. 30 lu yıllara
gelindiğinde her üç Yunan kültür bölgesi de
Romalıların idaresi altındadır. Bu tarihten sonra,
Kilise sosyal ve eğitime hükmetmeye başlamış,
(yani Hristiyan öğretisinin dışında hiç bir öğretiye
hoş bakmamaya başlamıştır). 390 de Kril (Cril)
isimli bir papazın İskenderiye kütüphanesini ateşe
vermesi sonrasında museum’da çalışan bilim
insanlarına saldırılar olmuştur; Museum’da ders
veren ve tarihin ilk kadın matematikçisi olarak
bilinen Hypatia yobaz Hrıstiyanlar tarafından linç
edilerek öldürülmüştür.
Bu olaydan sonra Museum kapanmış. Bu
okulun kapanmasından sonra, Museum da
çalışan bilim adamları kitaplarını alarak,
Sasanilerin hakim oldukları güneydoğu
Anadolu (Harran, Urfa) ve Mezopotamya
içlerine, Cundişapur’a (şimdiki BethLapat), göçmüşlerdir. 529 yılında da
Bizans imparatoru Jüstinyen Atina
bulunan Platon’un akademisini
kapatmıştır.
Bu tarih Yunan kültürünün hakim olduğu
dönemin bitişi, karanlık çağın başlangıcıdır.
Akademinin kapanmasından sonra orada
çalışan bilim insanlarının bir kısmı doğuya
göçmüşler. Bugün olduğu gibi o günlerde de
bilim adamları az sayıda idiler. Doğuya göç
eden bu bilim adamları, Yunan kültürüne
aşina olan ortamlarda, özellikle NestorienSüryani toplumlarında daha uzun yıllar
öğretilerini sürdürmeye devam etmişler.
İslam biliminin temelinde bu insanların
emeği, onların yaptıkları çeviriler vardır.
Böylelikle yeni döneme, Müslümanların hakim
olduğu döneme gelmiş bulunuyoruz.
Yunan Sayı Sistemi
Yunanlılar alfabelerinin harflerini rakam olarak
kullandıklarından bir rakam sistemine ihtiyaç
duymamışlardır. Bu sistemde sayıların yazılışı Romen
rakamlarına benziyordu fakat Romen rakamlarından daha
gelişmiş bir sistem idi.
YUNAN SAYI SİSTEMİ (M.Ö. 5.Yüzyıl İYONYA)
Büyük sayılar için;
Birim sayının soluna yerleştirilen virgül işareti ,
verilen sayının bin ile çarpılmış halinin
gösteriyordu. Örnek olarak ,β sayısı 2000
sayısını gösteriyordu
1-9999’a kadar olan sayıların sağına
yerleştirilen M harfi sayının 10000 ile çarpılmış
halini gösteriyordu. Örnek olarak δM sayısı
40000 sayısını, ρνM sayısı 1500000 sayısını
gösteriyordu.
Daha da büyük sayılar için 10000 sayısının
üstleri kullanıldı. Örnek olarak εMM sayısı
5x100002 sayısını gösteriyordu.
Sayının alfabeden ayırdedilebilmesi için
sayının sonunda bir tırnak işareti veya rakam
gösteren harflerin üstüne çizgi konuyordu.
Örnek olarak 1085 sayısı aşağıdaki gibi
yazılıyordu.
YUNAN SAYI SİSTEMİ (M.Ö. 5.Yüzyıl İYONYA)
Sayıları yazarken en solda en büyük
rakamı ve en sağda ise en küçük rakamı
kullanıyorlardı.
Sayı yeteri kadar açık olduğu zaman
virgül işaretini kullanma ihtiyacı
duymuyorlardı. Örnek olarak;
Çarpma işlemini, önce büyük sayıların çarpımı
ile başlayarak küçüklerin çarpımı ile işlemi
bitiriyor ve daha sonra bunların tümünü
toplayarak çarpımı elde ediyorlardı.
YUNAN SAYI SİSTEMİ (M.Ö. 450-85 ATTİK)
Yunanlılar tarafından M.Ö. 450 ile M.Ö.85 yılları arasında kullanılan bir diğer sayı
sistemi ise “ATTİK” veya “HERODONİAN” diye isimlendirilen sistem idi.
Bu sistem 1, 5, 10 ve on’un üstlü katlarından oluşuyordu.
1
5
10
100
1000
10000
YUNAN SAYI SİSTEMİ (M.Ö. 450-85 ATTİK)
5 sayısını gösteren sembol, diğer sembollerle birleştirilerek, 50, 500, 5000 ve
50000 için semboller kullanılıyordu.
YUNAN SAYI SİSTEMİ (M.Ö. 450-85 ATTİK)
Diğer sayılar bu sayıların toplamı şeklinde elde edilirdi. Sayıları yazarken küçük
sayılar büyük sayılardan sonra (büyük sayının sağına) yazılırdı.
Her sembol 4 defadan fazla tekrarlanmadan sayılar yazılabiliyordu.
EUCLID ALGORİTMASI
BÖLME TEOREMİ: b > 0 olan, “a” ve “b” tamsayıları için,
a = qb + r, 0 ≤ r < b.
olacak şekilde q ve r tamsayıları vardır.
rn = EBOB(a,b) olur.
EUCLID ALGORİTMASI
Örnek: EBOB(12378, 3054) bulmak için, Euclid algoritması
kullanılırsa;
böylece EBOB(12378 , 3054) = 6 olur.
EUCLID’İN SAYILAR KURAMI İLE İLGİLİ TEOREMİ
TEOREM: Her ikisi de sıfır olmayan “a” ve “b” tamsayıları için
EBOB(a,b) = ax + by olacak şekilde x ve y tamsayıları vardır.
Örnek: EBOB(12378, 3054) = 6
olduğuna göre,
6 = 12378x + 3054y olacak
şekilde x ve y tamsayılarını
bulunuz.
EBOB(12378 , 3054) = 6
olduğu elde edilirken sondan
bir öncekinden başlayarak
“bölen” ve “kalan” değerleri
kullanılmak üzere;