Yer değiştirmeyen Ayar Teorileri ve Seiberg–Witten Gönderimleri

Yer değiştirmeyen Ayar Teorileri ve Seiberg–Witten Gönderimleri

Yer Değiştirmeyen Ayar Teorileri ve
Seiberg–Witten Haritası
Kayhan ÜLKER
Abbasağa Mah.
Ankara YEF Günleri, 27 Aralık 2011
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
1 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Jargon :
İngilizce : Non–commutative
Yarı Türkçe : Komüt etmeyen
Türkçe : Yer değiştirmeyen (?)
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
2 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Uzay-zamanın yer değiştirmemesi kavramı
Klasik mekanik faz uzayının, geometrik bir teorisi olarak düşünülebilir.
Faz uzayında bir olayın durumu koordinatları (x, p) olan bir noktadır !
Kuantum mekaniğinde ise Heisenberg belirsizlik ilişkisinden dolayı
∆x∆p >
~
2
faz uzayında bir nokta kavramından bahsedilemez !
Kuantum mekaniğinde x ve p artık
[x̂, p̂] = i~
yer değiştirme bağıntısını sağlayan yani ”komüt-etmeyen”
operatörlerdir
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
3 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Uzay-zaman için bir komüt etmeme bağıntısı olsa nasıl olur?
Örneğin, en basit yer değiştirmeyen D–boyutlu Minkowski veya
Euclidean uzay RD için
[x̂ µ , x̂ ν ] = iθµν
yazılabilir. Burada θ reel sabit antisimetrik bir parametredir.
Heisenberg belirsizlik ilkesine benziyor : bir parçacığın konumunu
birden fazla koordinat için aynı anda ölçmek mümkün değil !
Dolayısıyla bu fikir çok da yeni ve çılgınca bir fikir değil !
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
4 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Koordinatların komüt etmemesi fikri ilk olarak Heisenberg tarafından
ortaya atıldı. Amaç kuantum alan teorisindeki çeşitli modelleri
renormalize ederken ortaya çıkan ıraksaklıklardan kurtulmak.
İlk makale 1947 Snyder.
1980’lerde matematikçiler (özellikle Alain Connes) yer değiştirmeyen
geometriyi kurdular.
1995 Doplicher, Fredenhagen, Roberts: Genel görelilik kuramına göre
eğer bir bölgede enerji yoğunluğu yeteri kadar yüksekse bir kara delik
oluşturulabilir. Diğer taraftan Heisenberg belirsizlik ilkesine göre
uzay-zamanda iki nokta arasındaki mesafenin ölçümü, bu mesafenin
tersiyle orantılı olarak momentumda belirsizliğe yol açar.
1999 Seiberg ve Witten sicim teorisinin bir alt limitinin komütatif
olmayan uzaylarla ilgili olduğunu gösterdiler. Bu çalışmadan sonra
konu oldukça popüler hale geldi !
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
5 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Yeni (tuhaf) özellikler
Henüz deneysel bir bulgu yok. Hala bir parçacığın pozisyonunu ne
kadar kesinlikle ölçebileceğimizi bilmiyoruz.
UV/IR karışımı : Düşük momentumlu ıraksaklıklar yüksek
momentumlu ıraksaklıklarla karışıyor.
θ0i = 0 seçilerek teorilerde üniterlik korunsa bile, diğer komüt etmeme
bağıntıları nedeniyle Lorentz değişmezliği bozuluyor.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
6 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Ne işe yarar/yarayabilir ?
Katı hal fiziğinde uygulamaları var (Kuantum Hall Etkisi, Kesirli
Kuantum Hall Etkisi, Grafen vs.)
Standard Modelin genelleştirilmesi.
Işıktan hızlı nötrinoların (!?) anlaşılması
Belki de en ilginçi ”Kuantumlanmış” uzay-zaman fikri ile kuantum yer
çekimi teorisinin inşası
bir kaç olası uygulama alanı olarak yazılabilir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
7 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Fiziksel olarak kabul edilebilir en basit yer değiştirmeme özelliğine sahip bir
uzay, Minkowski uzayını anti-simetrik, sabit bir θ parametresi ile deforme
ederek bulunur :
[x̂µ , x̂ν ] = θµν
Bu yer değiştirmeme bağıntısını elde etmek için Groenewold–Moyal
Çarpımı (∗–çarpımı) kullanılır:
i µν ∂ ∂
f (x) ∗ g (x) ≡ exp
θ
f (x)g (y )|y →x
2
∂x µ ∂y ν
i
= f (x) · g (x) + θµν ∂µ f (x)∂ν g (x) + · · ·
2
Böylelikle yer değiştirmeyen koordinatlar artık sıradan koordinatların
∗–komütatörü olarak yazılabilir :
[x µ , x ν ]∗ ≡ x µ ∗ x ν − x ν ∗ x µ = iθµν .
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
8 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Kolayca görülebileceği gibi artık iki fonksiyonun ∗–çarpımı yer
değiştirmez :
f (x) ∗ g (x) 6= g (x) ∗ f (x)
Ancak eğer bu fonksiyonlar sonsuzda yeteri kadar hızlı sıfıra giderlerse
integral altında
Z
Z
Z
f ∗ g = f .g = g ∗ f
yer değiştirme özelliğine sahiptir.
∗–çarpımı asosiyatiftir :
f (x) ∗ g (x) ∗ h(x) = f ∗ g ∗ h = f ∗ g ∗ h
Benzer şekilde integral altında bir ∗–çarpımından kurtulunabilir :
Z
Z
Z
f ∗g ∗h =
f ∗ g .h(x) = f . g ∗ h
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
9 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Bilinen alan teorilerindeki çarpımlar yukarıda tanımlanan ∗-çarpımı ile
değiştirilerek yer değiştirmeyen alan teorisi modelleri elde edilebilir.
Örneğin yer değiştirmeyen φ̂4 teorisi,
Z
1
1
g
Ŝ = d 4 x ∂µ φ̂ ∗ ∂µ φ̂ + m2 φ̂ ∗ φ̂ + φ̂ ∗ φ̂ ∗ φ̂ ∗ φ̂
2
2
4!
Ya da yer değiştirmeyen Yang-Mills teorisi
Z
Z
1
1
4
µν
Ŝ = − Tr d x F̂ ∗ F̂µν = − Tr d 4 x F̂ µν F̂µν
4
4
F̂µν = ∂µ Âν − ∂ν µ − i[µ , Âν ]∗
şeklinde yazılabilir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
10 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Esasında yer değiştirmeyen koordinatlarla ilgili tamamen fiziksel ve
gözlemlenebilen bir örnek katı hal fiziğinden verilebilir.
Bir düzlemde (x 1 , x 2 ) hareket eden elektronlara dik yönde (x 3 ) sabit
bir manyetik alan ugulandığını düşünelim.
Bu elektronlar için Lagrangian
L=
m ˙2
~
~x − e~x˙ · A
2
şeklinde yazılır.
Ai = − 21 Bij x j , Bij ≡ ij B olduğundan (12 = −21 = 1)
L=
m i i e
ẋ ẋ − Bij x i ẋ j
2
2
yukarıdaki Lagrangian şeklinde de yazılabilir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
11 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Eğer |mẋ i | << |Bij x j | ise kinetik terim ihmal edilebilir:
e
L ≈ − Bij x i ẋ j
2
Bu eylemden kanonik momentum
πj =
dL
= −eBjk x k
d ẋ j
olarak elde edilir.
Kanonik kuantizasyon yapıldığında
[πj , x l ] = −eBjk [x k , x l ] = −i~δjl
olacağından
[x k , x l ] = i(~/eB)kl ≡ iθkl
bulunur !
Görüldüğü gibi manyetik alan uzayın kendisine yer değiştirmeyen bir yapı
atıyor ! (Landau, 1930)
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
12 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Benzer bir ilişki, Euclidean uzayda bozonik sicim sabit bir Neveu–Schwarz
iki-form B-alanı (manyetik alan gibi) altında hareket ediyorsa elde
edilebilir. (Seiberg-Witten JHEP’99 )
Ancak bu ilişkinin çok ilginç bir sonucu var : yer değiştirmeyen ayar
teorileri bildiğimiz ayar teorilerinin bir deformasyonu olarak yazılabilir
!.
µ −→ µ (Aµ , θ)
SNC −YM [Â] −→ SYM [A] + Sθ [A, θ]
Bu gönderim Seiberg–Witten (SW) gönderimi olarak adlandırılmakta.
Yer değiştirmeyen teoriler SW–gönderimi ile elde edilen ”etkin”
teoriler olarak düşünülmekte !
SW gönderiminin yer değiştirmeme parametresi θ cinsinden çözümü
bilinmeli.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
13 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
Giriş
Özet
Yer değiştirmeyen Yang–Mills (Â , Λ̂)
Seiberg – Witten Gönderimi (Â → Â(A, θ) , Λ̂ → Λ̂(A, α, θ))
Seiberg Witten Gönderiminin Çözümü.
Homojen olmayan denklemin tüm mertebe çözümü
Homojen denklemin tüm mertebeden çözümleri
İkinci mertebeye kadar homojen çözümlerin katkıları.
Sonuç
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
14 / 52
Yer değiştirmeyen alan teorileri
NC-YM teorisi
Yer değiştirmeyen Yang–Mills (NCYM) Teorisi
NCYM teorisinin eylemi ∗–çarpımı yardımıyla
Z
Z
1
1
4
µν
Ŝ = − Tr d x F̂ ∗ F̂µν = − Tr d 4 x F̂ µν F̂µν
4
4
şeklinde yazılır. Burada,
F̂µν = ∂µ Âν − ∂ν µ − i[µ , Âν ]∗
yer değiştirmeyen ayar alanı Â’nın şiddetidir. Eylem yer değiştirmeyen ayar
dönüşümleri altında değişmezdir :
δ̂Λ̂ µ = ∂µ Λ̂ − i[µ , Λ̂]∗ ≡ D̂µ Λ̂
δ̂Λ̂ F̂µν = i[Λ̂, F̂µν ]∗ .
Burada, Λ̂ yer değiştirmeyen ayar parametresidir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
15 / 52
SW–gönderimi
Seiberg–Witten gönderimi
Farklı regülarizasyon teknikleri kullanarak sicim teorisinin bir alt limiti
olarak hem normal hem de yer değiştirmeyen ayar teorileri elde etmek
mümkün (SW’99).
Dolayısıyla Aµ ve α, yer değiştirmeyen µ ayar alanının ve yer
değiştirmeyen Λ̂ parametresinin, komüt eden karşılıkları olsun.
⇒ A ve  arasında ayar değişmezliğini koruyacak
şekilde tanımlanan
bir gönderim olmalı !
İlk bakışta basitce alanları yeniden tanımlamak, örneğin
 = Â(A, ∂A, · · · ; θ) ve Λ̂ = Λ̂(Λ, ∂Λ, · · · ; θ) problemi çözecekmiş
gibi görünüyor.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
16 / 52
SW–gönderimi
Seiberg–Witten gönderimi
Farklı regülarizasyon teknikleri kullanarak sicim teorisinin bir alt limiti
olarak hem normal hem de yer değiştirmeyen ayar teorileri elde etmek
mümkün (SW’99).
Dolayısıyla Aµ ve α, yer değiştirmeyen µ ayar alanının ve yer
değiştirmeyen Λ̂ parametresinin, komüt eden karşılıkları olsun.
⇒ A ve  arasında ayar değişmezliğini koruyacak
şekilde tanımlanan
bir gönderim olmalı !
İlk bakışta basitce alanları yeniden tanımlamak, örneğin
 = Â(A, ∂A, · · · ; θ) ve Λ̂ = Λ̂(Λ, ∂Λ, · · · ; θ) problemi çözecekmiş
gibi görünüyor.
Ama doğru değil !
Λ̂ 6= Λ̂(Λ, ∂Λ, · · · ; θ)
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
16 / 52
SW–gönderimi
Ayar grubunun U(1) olduğu duruma bakalım.
komüt eden durumda ayar dönüşümleri
δα Aµ = ∂µ α
şeklinde verilir.
yer değiştirmeyen durumda ise
δ̂Λ̂ µ = ∂µ Λ̂ − i[µ , Λ̂]∗
dir.
Görüldüğü gibi bir durumda dönüşümler Abelyenken diğer durumda
Abelyen değildir. Abelyen bir grup Abelyen olmayan bir gruba
isomorfik olamaz.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
17 / 52
SW–gönderimi
A0 ’nün
İki ayar alanı A ve
nasıl birbirleriyle ayar-özdeş (gauge equivalent)
olabileceğini anlamamız gerekli
U = e (iα) olacak şekilde eğer A = UA0 U −1 ise bu alana karşılık gelen
yer değiştirmeyen alan için  = Û Â0 Û −1 , U = e (i Λ̂) elde etmeliyiz.
Dolayısıyla iki ayar grubu arasında bir gönderim yerine,
Â(A) + δ̂Λ̂ Â(A) = Â(A + δα A)
şeklinde iki ayar özdeşliği arasında bir ilişki yazılabilir. Burada δα
aşina olduğumuz ayar dönüşümüdür :
δα Aµ = ∂µ α − i[Aµ , α] ≡ Dµ α.
Böylelikle, Λ̂’nın aynı zamanda ayar alanına bağlı bağlı olduğu görülür.
Λ̂ = Λ̂(α, A, θ)
Yani SW–gönderimi basit bir yeniden alan tarifi (field redefinition) değil.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
18 / 52
SW–gönderimi
Bu gönderim
δ̂Λ̂ µ (A; θ) = µ (A + δα A; θ) − µ (A; θ) = δα µ (A; θ)
şeklinde de yazılabilir. yer değiştirmeyen alan ve parametrenin fonksiyonel
bağımlılığı
µ = µ (A; θ) , Λ̂ = Λ̂α (α, A; θ).
olduğundan
δ̂Λ̂ µ (A; θ) = δα µ (A; θ)
gönderimi µ ve Λ̂α için eş zamanlı çözülmelidir.
⇒ Bu yöntem ile çözmek çok zor !
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
19 / 52
SW–gönderimi
Diğer taraftan ayar tutarlılık (gauge consistency) şartını yazalım
δα δβ − δβ δα = δ−i[α,β] .
Λ Lie cebri değerli bir ayar parametresi olsun : Λ = Λa T a .
Yer değiştirmeyen durum için
1
1
(δΛα δΛβ −δΛβ δΛα )Ψ̂ = [T a , T b ]{Λα,a , Λβ,b }∗ ∗Ψ̂+ {T a , T b }[Λα,a , Λβ,b ]
2
2
elde edilir.
Sadece U(N) ayar grubu için {T a , T b } anti-komütatörü tekrar T a ’lar
ile yazılabilir.
Dolayısıyla SW yaklaşımında U(N) harici başka bir ayar grubu
kullanılamaz.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
20 / 52
SW–gönderimi
Ancak yer değiştirmeyen ayar teorileri her hangi bir ayar grubu için
genelleştirmek mümkündür (J. Wess et.al. EPJ’01). Bunun için
Ayar parametreleri Lie cebrinin zarf (enveloping) cebrinde alınmalıdır :
Λ̂ = αa T a + Λ1ab : T a T b : + · · · Λan−1
: T a1 · · · T an : + · · ·
1 ···an
Bütün alanlar ve parametreler Lie cebrinde değer alan alanlara
A, ψ, · · · ve parametreye α bağlı olmalıdır:
µ ≡ µ (A) ,
Ψ̂ ≡ Ψ̂(A, ψ)
,
Λ̂ = Λ̂(A, α)
yer değiştirmeyen ayar tutarlılık şartı sağlanmalıdır :
iδα Λ̂β − iδβ Λ̂α − [Λ̂α , Λ̂β ]∗ = i Λ̂−i[α,β] .
Burada önemli olan nokta Wess ve arkadaşlarının inşa yöntemi tamamen
sicim teorisinden bağımsız olmasıdır
Kayhan ÜLKER (–)
!
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
21 / 52
SW–gönderimi
Böylelikle SW yaklaşımından farklı olarak SW gönderiminin çözümü için
fazladan bir denklem elde edilir.
iδα Λ̂β − iδβ Λ̂α − [Λ̂α , Λ̂β ]∗ = i Λ̂−i[α,β] .
Dikkat edilirse bu denklem sadece Λ̂ içermektedir.
Bu denklem çözüldüğünde
δ̂Λ̂ µ (A; θ) = δα µ (A; θ)
denkleminde yerine koyulursa bu sefer sadece Aµ içeren bir denklem elde
edilir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
22 / 52
SW–gönderimi
SW gönderiminin birinci ve ikinci mertebeden çözümleri aşağıdaki strateji
ile elde edilebilir.
Denklemlerin boyut analizi ve indeks yapısı incelenir.
Alanlar ve alanların türevleri cinsinden bu şartları sağlayan en genel
ifade yazılır.
Bu ifadeler denklemlerde yerlerine konularak ifadelerdeki terimlerin
katsayıları belirlenir.
Ancak,
Bu strateji yüksek mertebeli çözümleri bulmak için faydalı değil !!!
Literatürde verilen çözümler sadece ikinci mertebeye kadar(dı) ve
ayrıca tüm ikinci mertebe çözümler birbirlerinden farklı.
2.mertebedeki çözümler çok uzun ifadeler ve hesaplamalarda
kullanılması çok da mümkün değil.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
23 / 52
SW–gönderimi
Yüksek mertebeden çözümleri bilmek
Teorilerin tutarlılığını test etmek için önemli
NC gravite için 1.mertebe çözümler katkı vermiyor, ilk katkı 2.
mertebeden geliyor.
Ayar tutarlılık ve ayar eşdeğerliliği denklemleri düşük ve yüksek mertebeli
çözümler arasında tekrarlanan (recursive) bir yapıya sahip.
⇒ Dolayısıyla tüm mertebe çözümler de tekrarlanan bir yapıya sahip
olup olmayacağı sorulabilir.
Gerçekten de tüm mertebe çözümleri bu şekilde bulmak mümkün (B.
Yapışkan, K.Ü PRD’08) !
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
24 / 52
SW–gönderimi
NC–BRST dönüşümleri
Yerdeğiştirmeyen BRST dönüşümleri
BRST formalizması SW–gönderiminin çözümlerinin anlaşılmasında da
faydalı.
ayar parametresi α → c FP hayalet alanı.
ayar dönüşümü δ → s BRST dönüşümü :
sAµ = Dµ c
,
sc = ic · c
s2 = 0
,
Benzer şekilde yerdeğiştirmeyen BRST için
Λ̂ → Ĉ FP hayalet alanı.
NC ayar dönüşümü δ̂ → ŝ NC BRST dönüşümü :
ŝ µ = D̂µ Ĉ
,
ŝ Ĉ = i Ĉ ∗ Ĉ
,
ŝ 2 = 0
Ayar özdeşliği BRST dönüşümleri cinsinden
ŝ µ (A; θ) = s µ (A; θ).
şeklinde yazılabilir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
25 / 52
SW–gönderimi
NC–BRST dönüşümleri
SW– gönderimini her θ mertebesinde elde etmek için  ve Λ̂ θ parametresi
cinsinden kuvvet serisine açılabilir:
(n)
µ = Aµ + A(1)
µ + · · · + Aµ + · · ·
Ĉ = c + C (1) + · · · + C (n) + · · ·
Böylelikle n.nci mertebeye etki eden BRST dönüşümleri
X
sC (n) = i
C (p) ∗r C (q)
p+q+r =n
= ∂µ Cα(n) − i
sA(n)
µ
X
(q)
[A(p)
µ , Cα ]∗r
p+q+r =n
şeklinde yazılabilir. Burada
1 i r µ 1 ν1
r
f (x) ∗ g (x) ≡
θ
· · · θµr νr ∂µ1 · · · ∂µr f (x)∂ν1 · · · ∂νr g (x)
r! 2
ifadesini temsil etmektedir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
26 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
SW– gönderiminin çözümleri
İlgili alanın n.nci mertebedeki terimi sağ tarafa atarak BRST
dönüşümlerinden yeni bir operatör ∆ elde edilebilir
X
∆C (n) ≡ sC (n) − i{c, C (n) } = i
C (p) ∗r C (q)
p+q+r =n,
p,q6=n
(n)
(n)
(n)
∆A(n)
µ ≡ sAµ − i[c, Aµ ] = ∂µ Cα − i
X
(q)
[A(p)
µ , Cα ]∗r
p+q+r =n,
p6=n
∆’nin de nilpotent olduğu gösterilebilir
∆2 = 0
Dolayısıyla ∆ için de bir kohomoloji problemi tanımlabilir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
27 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Görüldüğü gibi ∆ yardımıyla her bir θ mertebesi için bir inhomojen
denklem sistemi elde edilebilir
∆C (n) = G (n) (θn ; c, A) ⇒ ∆G (n) = 0
(n)
∆Aµ = H(n) (θn ; A) ⇒ ∆H(n) = 0
Bu denklemlerin çözümü her bir θ mertebesindeki SW–gönderimini verir.
Ancak yukarıdaki tanımdan da görülebileceği gibi bu çözümler kesin
değildir. Her bir θ mertebesine homojen denklemlerin çözümleri de
eklenebilir :
∆C̃ (n) = 0 , ∆Ã(n)
µ =0
Bu ise SW–gönderimindeki keyfilikle ilgilidir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
28 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Birinci mertebe çözümleri
SW (JHEP’99) makalesinde birinci mertebe çözümler
1
C (1) = − θκλ {Aκ , ∂λ α}
4
1 κλ
A(1)
γ = − θ {Aκ , ∂λ Aγ + Fλγ }.
4
şeklinde verilmiştir. Tanım yardımıyla alan şiddeti
1
(1)
Fγρ
= − θκλ {Aκ , ∂λ Fγρ + Dλ Fγρ } − 2{Fγκ , Fρλ } .
4
olarak elde edilir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
29 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
SW Diferansiyel denklemi
Seiberg-Witten diferansiyel denklemi
Deformasyon parametresini sonsuz küçük değiştirelim.
θ → θ + δθ
Fiziğin değişmemesi için, θ değiştiğinde aynı zamanda Â(θ) ve Λ̂(θ) de
değişmelidir. Böylelikle 1. mertebe çözümlerden aşağıdaki diferansiyel
denklemler elde edilir :
δ Âγ (θ) = Âγ (θ + δθ) − Âγ (θ)
= δθµν
∂ Âγ
1
= − δθκλ {Âκ , ∂λ Âγ + F̂λγ }∗
∂θµν
4
δ Ĉ (θ) = Ĉ (θ + δθ) − Ĉ (θ)
1
∂ Ĉ
= − θκλ {Âκ , ∂λ Ĉ }∗
µν
∂θ
4
Bu denklemler genellikle SW diferansiyel denklemleri olarak adlandırılır.
= δθµν
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
30 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
SW Diferansiyel denklemi
Diferansiyel denklemlerin çözümünü bulmak için
yer değiştirmeyen ayar parametresini ve ayar alanını Taylor serisine
açalım,
Ĉ (n) = c + C (1) + · · · + C (n) ,
(n)
Â(n)
= Aµ + A(1)
µ
µ + · · · + Aµ .
Böylelikle bu denklemlerden
n+1
Ĉα(n+1)
1 X 1 µ1 ν1 µ2 ν2
= α−
θ
θ
· · · θµk νk
4
k!
k=1
n+1
Â(n+1)
= Aγ −
γ
1 X 1 µ1 ν1 µ2 ν2
θ
θ
· · · θµk νk
4
k!
k=1
∂ k−1
{Â(k) , ∂ν1 Ĉα(k) }∗
∂θµ2 ν2 · · · ∂θµk νk µ1
θ=0
∂ k−1
(k)
(k)
(k)
{
Â
,
∂
Â
+
F̂
}
ν1 γ
ν1 γ ∗
∂θµ2 ν2 · · · ∂θµk νk µ1
θ=0
elde edilir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
31 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
SW Diferansiyel denklemi
(n+1)
Bu toplamdan n + 1.nci terim Ĉα
Cαn+1
1
θµν θµ1 ν1 · · · θµn νn
=−
4(n + 1)!
∂n
{Â(n) , ∂ν1 Ĉα(n) }∗
∂θµ1 ν1 · · · ∂θµn νn µ1
θ=0
olarak elde edilir. Türevler alındıktan sonra θ 0 a götürüldüğünden
parantez içindeki ifade n.nci mertebeye kadar bir toplam olarak yazılabilir :
Cαn+1
1
θµν θµ1 ν1 · · · θµn νn
=−
4(n + 1)!
∂n
µ
ν
∂θ 1 1 · · · ∂θµn νn
!
X
{Aµ(p) , ∂ν Cα(q) }∗r
.
p+q+r =n
Bu eşitlikten ise
Cα(n+1) = −
X
1
(q)
{A(p)
θµν
µ , ∂ν Cα }∗r .
4(n + 1)
p+q+r =n
çözümü elde edilir !
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
32 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
SW Diferansiyel denklemi
Benzer cebirsel işlemler kullanılarak
A(n+1)
= −
γ
1
θµν θµ1 ν1 · · · θµn νn ×
4(n + 1)!
∂n
(n)
(n)
(n)
{Â , ∂ν1 Âγ + F̂ν1 γ }∗
×
∂θµ1 ν1 · · · ∂θµn νn µ1
θ=0
ifadesinden yer değiştirmeyen ayar alanı için
A(n+1)
=−
γ
X
1
(q)
(q)
{A(p)
θµν
µ , ∂ν Aγ + Fνγ }∗r .
4(n + 1)
p+q+r =n
çözümü elde edilir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
33 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Diğer alanlar için SW gönderimi
Diğer alanlar için Seiberg–Witten gönderimi
Ayar değişmez bir teoride yer değiştirmeyen bir Ψ̂ alanı için SW gönderimi
ŝ Ψ̂(ψ, A; θ) = s Ψ̂(ψ, A; θ).
ilişkisi yardımıyla elde edilebilir (J. Wess et.al. EPJ’01).
Benzer şekilde bu ayar eşdeğerliliği ilişkisinden çözümleri bulmak için Ψ̂
kuvvet serisine açılmalıdır.
Ψ̂ = ψ + Ψ(1) + · · · + Ψ(n) + · · ·
Bu ayar eşdeğerlilik ilişkisi hem bozonik hem de fermiyonik alanlar için
geçerlidir.
Aynı zamanda bu ilişki ψ alanın değer aldığı her hangi bir ayar
grubunun hem fundamental hem de adjoint gösterimi için geçerlidir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
34 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Diğer alanlar için SW gönderimi
Fundamental gösterim :
Madde, ψ için, BRST dönüşümü
sψ = ic · ψ
ile verilir. Yer değiştirmeyen BRST dönüşümleri ∗–çarpımı içerir :
ŝ Ψ̂ = i Ĉ ∗ Ψ̂.
Daha önce anlatılan yöntem kullanılarak tüm mertebeler için ayar
eşdeğerlilik ilişkisi
X
∆Ψ(n) ≡ sΨ(n) − ic · Ψ(n) = i
C (p) ∗r Ψ(q) ,
p+q+r =n,
q6=n
şeklinde yazılabilir.
Buradan elde edilecek Ψ(n) çözümlerine homojen çözüm Ψ̃(p) eklenebilir.
∆α Ψ̃(n) = 0.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
35 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Diğer alanlar için SW gönderimi
Birinci mertebe için bir çözüm Wess ve arkadaşları tarafından bulunmuştur:
1
Ψ(1) = − θκλ Aκ (∂λ + Dλ )ψ
4
Burada
Dµ ψ = ∂µ ψ − iAµ ψ
kovaryant türevdir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
36 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Diğer alanlar için SW gönderimi
Birinci mertebe çözümlerden SW diferansiyel denklemini türeterek,
δθµν
∂ Ψ̂
1
= − δθκλ Âκ ∗ (∂λ Ψ̂ + D̂λ Ψ̂)
∂θµν
4
bu denklemin çözümlerine bakacağız. Bu denklem θµν anti-simetrik
olduğundan,
∂ Ψ̂
1
1
= − Âκ ∗ (∂λ Ψ̂ + D̂λ Ψ̂) + Âλ ∗ (∂κ Ψ̂ + D̂κ Ψ̂)
8
8
∂θκλ
şeklinde de yazılabilir. Burada yer değiştirmeyen kovaryant türev
D̂µ Ψ̂ = ∂µ Ψ̂ − i µ ∗ Ψ̂ .
ile tanımlanmıştır.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
37 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Diğer alanlar için SW gönderimi
Çözümü bulmak için önce kullandığımız yönteme benzer olar, Ψ̂’yi Taylor
serisine açalım,
Ψ̂(n+1) = ψ + Ψ1 + Ψ2 + · · · + Ψn+1
n+1
X
∂k
1 µ 1 ν1 µ 2 ν2
(n+1)
µk νk
Ψ̂
θ
θ
···θ
= ψ+
k!
∂θµ1 ν1 · · · ∂θµk νk
θ=0
k=1
Diferansiyel denklemden
n+1
(n+1)
Ψ̂
1 X 1 µ 1 ν1 µ 2 ν2
· · · θµk νk ×
= ψ−
θ
θ
4
k!
k=1
×
∂ k−1
(k)
(k)
(k)
Â
∗
(∂
Ψ̂
+
(
D̂
Ψ̂)
)
ν
ν
µ
1
1
θ=0
∂θµ2 ν2 · · · ∂θµk νk 1
elde edilir. Burada,
(n)
(D̂µ Ψ̂)(n) = ∂µ Ψ̂(n) − i Â(n)
µ ∗ Ψ̂ .
ile verilmiştir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
38 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Diğer alanlar için SW gönderimi
Tüm mertebe çözümleri bulmak için n + 1.nci bileşeni yazalım,
=
1
θµν θµ1 ν1 · · · θµn νn ×
Ψn+1 = −
4(n + 1)!
∂n
(n)
(n)
(n)
×
Â
∗
(∂
Ψ̂
+
(
D̂
Ψ̂)
)
ν
ν
∂θµ1 ν1 · · · ∂θµn νn µ
θ=0
1
µν µ1 ν1
µn νn
θ θ
···θ
×
−
4(n + 1)!
!
X
∂n
×
Ap ∗r (∂ν Ψ(q) + (Dν Ψ)q )
∂θµ1 ν1 · · · ∂θµn νn p+q+r =n µ
Burada
(Dµ Ψ)n = ∂Ψn − i
X
Apµ ∗r Ψq .
p+q+r =n
θ’ya göre türevleri aldıktan sonra tüm mertebe çözümleri
X
1
r
(q)
Ψ(n+1) = −
θκλ
A(p)
+ (Dλ Ψ)(q) ).
κ ∗ (∂λ Ψ
4(n + 1)
p+q+r =n
şeklinde elde edilir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
39 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Diğer alanlar için SW gönderimi
n = 0 için Wess tarafından elde edilmiş çözüm bulunur .
n = 1 için ikinci mertebe çözüm
ψ2
1
= − θκλ 2A1κ ∂λ ψ − iA1κ Aλ ψ + 2Aκ ∂λ ψ 1 − iAκ A1λ ψ − iAκ Aλ ψ 1
8
1
+iθµν ∂µ Aκ ∂ν ∂λ ψ + θµν ∂µ Aκ ∂ν Aλ ψ
2
1 µν
1
+ θ ∂µ Aκ Aλ ∂ν ψ + θµν Aκ ∂µ Aλ ∂ν ψ .
2
2
şeklindedir. Bu çözümü literatürdeki diğer çözümler ile karşılaştırmak için
A1 ve Λ1 yerlerine koyulursa
2
ψ = (1/32)θ
µν κλ
θ
− 4i∂µ Aκ ∂λ ∂ν ψ + 4Aµ Aκ ∂λ ∂ν ψ − 4∂µ Aκ Aν ∂λ ψ − 4Aµ ∂κ Aν ∂λ ψ
+8Aµ ∂ν Aκ ∂λ ψ − 2∂µ Aκ ∂ν Aλ ψ + 4Aµ Aκ Aν ψ − 3Aµ Aν Aκ Aλ ψ − 2Aµ Aκ Aλ Aν ψ + 4iAµ Aκ Aν ∂λ ψ
−4iAµ Aκ Aλ ∂ν ψ − 4iAµ Aν Aκ ∂λ ψ + 2i∂µ Aκ Aν Aλ ψ − 2iAµ Aκ ∂λ Aν ψ − i∂µ Aκ Aλ Aν ψ − 5iAµ ∂ν Aκ Aλ ψ
+3iAµ ∂κ Aν Aλ ψ − iAµ Aκ ∂ν Aλ ψ .
elde edilir. Bu çözüm ise Moller tarfından verilen çözümün aynısıdır.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
40 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Diğer alanlar için SW gönderimi
Adjoint gösterim :
Adjoint gösterimde BRST dönüşümü
sψ = i[c, ψ]
ile verilir. yer değiştirmeyen durumda ise
ŝ Ψ̂ = i[Ĉα , Ψ̂]∗
şeklinde tanımlanır. Genel strateji kullanılarak ayar eşdeğerliliği ilişkisi
X
(q)
∆Ψ(n) ≡ δα Ψ(n) − i[c, Ψ(n) ] = i
[Λ(p)
α , Ψ ]∗r
p+q+r =n,
q6=n
şeklinde yazılabilir. Çözümler
ya bu denklemi mertebe mertebe çözerek
ya da bu denkleme karşılık gelen diferansiyel denklemi çözerek elde
edilebilir.
Ancak, muhtemelen çözümleri bulmanın en kolay yolu boyut indirgeme
yöntemini kullanmaktır ! (K.U, Saka PRD’07)
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
41 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Diğer alanlar için SW gönderimi
Basit boyut indirgemesi (örneğin altı boyuttan dört boyuta inmek) basitçe
altı boyutta tanımlanan teorinin sadece dört boyuttaki koordinatlara bağlı
olmasını sağlayarak elde edilebilir. Örneğin altı boyutlu uzayın koordinatları
x M = (x 0 , · · · , x 3 , z 1 , z 2 )
olsun. Böylelikle altı boyuttaki ayar alanı
AM (x µ ) → (Aµ , A5 , A6 )
şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla bir 4-vektör, iki de reel skaler alan elde
edilir.
Benzer şekilde deformasyon parametresinin θ’nın kompaktifiye edilecek
boyutlardaki elemanları sıfıra eşitlenebilir.
µν
θ
0
MN
Θ
=
,
0
0
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
42 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Diğer alanlar için SW gönderimi
Böylelikle önce elde edilen
(n+1)
AN
=−
X
1
(p)
(q)
(q)
θKL
{AK , ∂L AN + FLN }∗r .
4(n + 1)
p+q+r =n
çözüme boyut indirgemesi uygulanırsa bir kompleks skaler alanın n.nci
mertebeden çözümü elde edilir :
ψ (n+1) = −
X
1
(q)
{A(p)
+ (Dλ Ψ)(q) )}∗r .
θκλ
κ , (∂λ Ψ
4(n + 1)
p+q+r =n
Burada,
Dµ ψ = ∂µ ψ − i[Aµ , ψ] , (Dµ Ψ)(n) = ∂µ Ψ(n) − i
X
(q)
[A(p)
µ , Ψ ]∗r .
p+q+r =n
ifade etmektedir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
43 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Diğer alanlar için SW gönderimi
Bozonik ve fermionik alanlar için bulunacak çözümlerin yapıları aynı
olacağından yukarıdaki çözüm aynı zamanda fermiyonik alanlar için de
kullanılabilir.
Yukarıdaki çözümün aynısı
∂ Ψ̂
1
1
= − {Âκ , (∂λ Ψ̂ + D̂λ Ψ̂)}∗ + {Âλ , (∂κ Ψ̂ + D̂κ Ψ̂)}∗ .
8
8
∂θκλ
diferansiyel deklemini çözerek de elde edilebilir.
Dolayısıyla boyut indirgeme yöntemiyle verdiğimiz sonuç daha önce
tartışılan çözümlerin doğruluğunu da farklı bir yoldan göstermiş olur.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
44 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Homojen olmayan çözümler
Homojen olmayan çözümler :
∆C (n) ≡ sC (n) − i{c, C (n) } = i
X
C (p) ∗r C (q)
p+q+r =n,
p,q6=n
(n)
(n)
(n)
∆A(n)
µ ≡ sAµ − i[c, Aµ ] = ∂µ Cα − i
X
(q)
[A(p)
µ , Cα ]∗r
p+q+r =n,
p6=n
∆Ψ(n) ≡ sΨ(n) − ic · Ψ(n) = i
X
C (p) ∗r Ψ(q)
p+q+r =n,
q6=n
denklemleri
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
45 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
Homojen olmayan çözümler
tüm θ mertebelerinde
Cα(n+1) = −
Aγ(n+1) = −
ψ n+1 = −
X
1
(q)
{A(p)
θκλ
κ , ∂λ Cα }∗r
4(n + 1)
p+q+r =n
X
1
(q)
(q)
θκλ
{A(p)
κ , ∂λ Aγ + Fλγ }∗r .
4(n + 1)
p+q+r =n
X
1
r
(q)
θκλ
A(p)
+ (Dλ Ψ)(q) ).
κ ∗ (∂λ Ψ
4(n + 1)
p+q+r =n
şeklinde çözümleri vardır !
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
46 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
homojen çözümler
Homojen çözümler :
Dikkat edilirse
∆· = s · −i{c, ·]
şeklinde tanımlanan operatör kovaryant türev ile yer değiştirir :
[∆, Dµ ] = 0 ⇒ ∆Fµν = 0
Böylelikle her bir mertebe için homojen çözümlerin
Ãγ(n) ∝ Fγ(n) (θ, D, F )
,
Ψ̃(n) ∝ P (n) (θ, D, F )ψ
formunda olması gerektiği bulunur.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
47 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
homojen çözümler
Örneğin 1.nci mertebede
µν
Ã(1)
γ ∝ θ Dγ Fµν
,
Ψ̃(1) ∝ θµν Fµν ψ
2.nci mertebede
Ã(2)
γ ∝
θµν θκλ Dγ (Fµν Fκλ ) , θµν θκλ Dγ (Fµκ Fνλ ) , θµν θκλ Dµ (Fγν Fκλ ) ,
θµν θκλ Dκ (Fµν Fγλ ) , θµν θκλ Dµ (Fκν Fγλ ) , θµν θκλ Dκ (Fµλ Fγν )
Ψ̃(2)
γ ∝
θµν θκλ (Fµν Fκλ )ψ , θµν θκλ (Fµκ Fνλ )ψ,
iθµν θκλ (Dµ Fκλ )Dν ψ , iθµν θκλ (Dµ Fκν )Dλ ψ
elde edilir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
48 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
homojen çözümlerin üst mertebelere katkıları
1. mertebe homojen çözümlerin 2. mertebeye katkısı :
Homojen olmayan çözümler bir cins tekrarlama bağıntısı olarak verildiğini
gördük. Dolayısıyla düşük mertbedeki çözümlere eklenecek homojen
çözümler üst mertebedeki katkıları etkilemeli. Bu amaçla çözümleri
A(1) → A(1) + Ã(1)
,
Ψ(1) → Ψ(1) + Ψ̃(1)
A(2) → A(2) + Ā(2) + Ã(2)
Ψ(2) → Ψ(2) + Ψ̄(2) + Ψ̃(2)
şeklinde kısımlara ayıralım. Ā(2) ve Ψ̄(2) kısımları Ã(1) ve Ψ̃(1) ’den gelen
katkıları göstersin.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
49 / 52
SW– gönderiminin çözümleri
homojen çözümlerin üst mertebelere katkıları
∆’nın tanımından ve ∆Ã(2) = ∆P̃ (2) = 0 olacağından
1 κλ
(1)
(1)
∆Ā(2)
, Ã(1)
γ = i[C
γ ] − θ {∂κ c, ∂λ Ãγ }
2
1
∆Ψ̄(2) = iC (1) · Ψ̃(1) − θκλ ∂κ c · ∂λ Ψ̃(1)
2
elde edilir.
Bu denklemlerin çözümü ise
1 κλ
(1)
(1)
Ā(2)
γ = − θ (2{Aκ , ∂λ Ãγ } − i{Aκ , [Aλ , Ãγ ]})
4
1
Ψ̄(2) = − θκλ Ak (2∂λ Ψ̃(1) − iAλ · Ψ̃(1) )
4
şeklindedir.
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
50 / 52
sonuç
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
51 / 52
sonuç
∼ TEŞEKKÜRLER ∼
Kayhan ÜLKER (–)
Seiberg–Witten Haritası
Ankara YEF’11
52 / 52