sabit diracs

Transkript

sabit diracs

Bekenstein Ölçütleri:
Bilgi ve Hesaplama Kuramlarına
Kara Delik Perspektifinden
Yeni Bir Yaklaşım
Dr. Ahmet KOLTUKSUZ
Dr. Koltuksuz, Kara Delikler: Bilgi ve Hesaplama Kapasitesine Yeni Bir Bakış Açısı, 8-9 Mart 2012
1
Gündem
Planck Sabiti ve Ölçütleri
Bazı Temel Fiziksel Sabitler
Plank Birimleri, Türetilmiş Planck Birimleri
Planck Birimleriyle Normalizasyon
Kara Delik tanımı
Bazı Kara Delik Parametreleri
Kara Delik Termodinamiği
Hawking Işınımı - Bekenstein –Hawking Entropisi –
Bekenstein Sayısı
• Bilgi Depolamanın Sınırları
•
•
•
•
•
•
•
•
2
Planck Sabiti (h)
• Planck sabiti (h); foton enerjisiyle (E), fotonun
elekromanyetik dalga frekansı (ν) arasındaki oran sabiti
olarak tanımlanır.
E = h.v
Planck sabiti: h = 6.6260755 x10
−34
Js
• Enerji ve frekans arasındaki bu ilişki, Planck ilişkisi olarak
da tanımlanır.
• Öte yandan; Frekans ν, dalgaboyu λ, ve ışık hızı c iken
λν = c olarak yazılabilir: Bu durumda:
E=
h.c
olur .
λ
3
Planck Sabiti (h) için bir yaklaşım
• Heisenberg’ün Belirsizlik Prensibi doğrultusunda (principle
of uncertainty):
Konum bilgisindeki belirsizlikle, momentum bilgisindeki
belirsizliğin çarpımı;
Planck sabiti: h = 6.6260755 x10
−34
Js ’den daha küçük
olamaz.
4
Dirac Sabiti (ħ)
• Dirac sabiti (ħ); azaltılmış-küçültülmüş (reduced) Planck
sabiti olarak da bilinir; ve
=
h
2π
olarak tanımlanır.
Dirac sabiti = 1.0545727 x10
−34
Js
Dirac sabiti; frekans , radyan cinsinden (açısal frekans)
verildiğinde kullanılır.
Bu durumda:
Açısal frekansı ω = 2π v olan bir fotonun enerjisi:
E=ħω olur.
5
Planck zamanı (tP)
• Bir Planck zamanı (tP); ışık hızındaki bir fotonun bir
Planck uzunluğunu kat etmek için harcadığı zamandır.
ħG
−44
tP ≡
≈
5.3910
6
x
1
0
s.
5
c
ifadede :
h
, Dirac sabiti
=
2π
G = kütleçekim sabiti
c = vakumda ışık hızı
s, saniye − zaman birimi
Hatırlatma: Mayıs 2010 itibariyle
ölçülebilen en küçük zaman aralığı:
12x10-18 sn’dir (12 attosaniye).
Meraklısına:1 attosaniye, 1
saniyenin milyarda birinin milyarda
biridir.
6
Planck kütlesi (mP)
• Planck kütlesi (mP); Planck birimleri içinde tanımlanmış
olan kütle birimidir.
ħc
−8
mP =
= 2.17651x10 kg .
G
ifadede :
h
, Dirac sabiti
=
2π
7
Planck uzunluğu (lP)
• Planck uzunluğu (lP); Planck birimleri içinde tanımlanmış
olan uzunluk birimidir.
ħG
−35
lP =
≈
1.616252
x
1
0
m.
3
c
ifadede :
h
=
, Dirac sabiti
2π
Hatırlatma: bir Planck uzunluğu
SI birimleri olarak:
yaklaşık olarak bir protonun
lP = 16.163 x10
−36
m.
lP = 16.163 x10−27 nm.
çevresinin 1/(1020) ‘ne eşittir.
Bu haliyle, teknolojik olarak henüz
ölçülebilen bir uzunluk olmaktan
çok uzak…
8
Planck kütlesi (mP) için başka bir yaklaşım
• Bir Planck kütlesi (mP); aynı zamanda: Schwarzschild
yarıçapı bir Planck uzunluğuna (lP) eşit olan, hipotetik bir
kara deliğin kütlesi olarak da tanımlanır.
2Gm
Schwarzschild yarıçapı : rS = 2
c
ħG
−35
Planck uzunluğu: lP =
≈
1.616252
x
10
m.
3
c
2Gm
ħG
−35
1.616252
10
=
≈
x
m.
2
3
c
c
9
Temel Fiziksel Sabitler
• Planck birimleri (h, tP – mP - lP ) fizikte 5 ayrı alanda
karşılaşılan 5 temel ölçüm birimini 1’e normalize eden
birimlerdir. 5 alan ve ilişkin ölçüm birimleri:
ALAN
Genel görelilik, Newton kütle çekimi
Kuantum mekaniği
Özel görelilik
Elektrostatik
Termodinamik
ÖLÇÜM BİRİMİ
Kütle çekim sabiti (G)
Dirac sabiti (ħ)
Vakumda ışık hızı (c)
Coulomb sabiti (C veya K)
Boltzmann sabiti (kB)
10
Temel Fiziksel Sabitler
TEMEL FİZİKSEL SABİTLER
Sembol
Sabit
Boyut
Değeri (SI birimleri)
Vakumda ışık hızı
c
L T −1
2.99792458×108 m s−1
Kütle çekim sabiti
G
L3 M−1 T −2
6.67384×10−11 m3kg−1s−2
Dirac sabiti
ħ = h/2π
L2 M T −1
h Planck sabiti
(4πε0)−1
ε0 geçirgenlik
katsayısı
Coulomb sabiti
Boltzmann sabiti
L
M
T
Q
Θ
kB
L3
M
T −2
1.054571726×10−34 J s
Q−2
L2 M T −2 Θ−1
8.9875517873681764×10^9 kg m3 s−2 C−2
1.3806488(13)×10−23 JK
= uzunluk
= kütle
= zaman
= elektrik yükü
= sıcaklık
11
Planck Birimleri (1899, Planck)
Temel Planck Birimleri
Birim
Boyut
İfade
Değer (SI birimlerinde)
Planck uzunluğu
(L)
1.616 199(97) × 10−35 m
Planck kütlesi
(M)
2.176 51(13) × 10−8 kg
Planck zamanı
(T)
5.391 06(32) × 10−44 s
Planck yükü
(Q)
1.875 545 956(41) × 10−18 C
Planck sıcaklığı
(Θ)
1.416 833(85) × 1032 K
12
Planck Birimleri (1899, Planck)
Bazı Türetilmiş Planck Birimleri
İsim
Boyut
Planck alanı
(L2)
Planck hacmi
(L3)
Planck
momentumu
(LMT−1)
Planck enerjisi (L2MT−2)
Planck
yoğunluğu
Planck açısal
frekansı
(L−3M)
(T−1)
İfade
lP2 =
G
c3
Yaklaşık SI eşdeğeri
2.61223 × 10−70 m2
4.22419 × 10−105 m3
6.52485 kg m/s
1.9561 × 109 J
5.15500 × 1096 kg/m3
1.85487 × 1043 s−1
13
Planck Birimleriyle Normalizasyon
Planck Birimleri Kullanımıyla İfadelerde Basitleştirme
İfade
Geleneksel Biçim
Basitleştirilmiş
(Boyutsuzlaştırılmış)
Biçim
Newton’un evrensel çekim kanunu
Eienstein genel görelilik alan
denklemi
Özel görelilikte kütle-enerji
eşdeğerliği
Her parçacığın her bir serbestlik
derecesi için termal enerjisi
Boltzmann entropisi
Planck enerji-açısal frekans ilişkisi
Bekenstein-Hawking kara delik
entropisi
B: Bekenstein, H: Hawking
ABH: Bekenstein-Hawking olay ufku
alanı
m:kütle, c: ışık hızı
kB: Boltzmann sabiti
ABH=4πG
14
Kara Delik nedir?
• Einstein Genel Görelilik Kuramı (GTR) için çözümler
sunan Schwarzschild, Reissner-Nordström, Kerr ve KerrNewmann tarafından temel tanımları verilmiştir (Misner,
Thorne ve Wheeler, 1973).
15
Kara Delik nedir?
1. Einstein’ın
uzayzamanı
Özel
temsil
Görelilik
eden,
kuramından
ancak
içi
tanıdığımız
ve
sınırları
uzayzamanın gerikalanından görünmez olacak şekilde
sonlu bir spatyal bölgeyi tanımlayan ve Genel Görelilik
kuramından
(GTR)
gelen
bir
çözümdür.
İşte
bu
görünmeyen bölge Kara Deliktir.
2. Uzayzamanın dokusunda bir yırtık ya da Gravitasyonel
soliton.
16
Kara Delik nedir?
• Görüldüğü gibi ilk tanım klasik yaklaşımı içeriyor, «Kara
Deliğe düşen geri dönmez…» gibi.
• İkinci tanım daha astrofiziksel bir yaklaşım ve bu anlamda
bir kara delik yeri belli olan bir objedir, hareket edebilir,
evrende farklı bölgelere dağılmış olabilir., diğer nesnelere
çekim kuvveti uygular… gibi.
17
Kara Delik nedir?
• Kerr-Newman Kara Delik Çözümü (=Kerr-Newman Black
Hole-KNBH): Bir kara deliğin yapısı; onun kütlesi (=M),
elektrik yükü (=Q) ve içsel açısal momentumu (=S)
tarafından belirlenir.
18
Kara Delik parametreleri
M , (mass) kütle
Q, (electric charge) elektrik yükü
j, (angular momentum) açısal momentum
S, (intrinsic angular momentum) içsel açısal momentum
S
a=
(angular momentum per unit mass)
M
birim kütle başına açısa l momentum
Bu durumda:
19
1 ) K ısıt
K N B H o lab ilm esi için an cak ve an cak : M
2
> Q 2 + a2
2 ) S ın ır D eğ erler
Q = 0 K err g eo m etrisi
S = 0 R eissn er-N o rd strö m g eo m etrisi
Q = S = 0 S ch w arzsch ild g eo m etri si
M 2 = Q 2 + a 2 E x trem e K err-N ew m an g eo m etrisi
o lu r (M i sn er, T h o rn e, W h eeler, 1 9 7 3 ).
20
Kara Delik parametreleri (devam)
3) S tat ik lim it
B u n o k ta ü zerin d e veya için d ek i h er cisim
K N B H ile b irlik te ve ayn ı yö n e d o ğ ru d ö n m eye b aşlar.
S tatik d u ru ş b ite r, d ö n ü ş zo ru n lu h ale g elir .
r≡M +
M
2
− Q 2 − a 2 cos 2 θ
4 ) O lay U fku (event ho rizo n )
B u n ok tad an so nra geri dö nü ş o lası d eğild ir.
r≡M +
M
2
− Q2 − a2
(M isner, T ho rn e, W heeler, 19 73 ).
21
Kara Delik parametreleri (devam)
5) O lay U fk u A lan ı (A rea o f E ven t H o rizo n )
• S ch arzsch ild g eo m etrisi için tek p aram etre, m
o h ald e S ch w arzsch ild yarıçap ı rS :
2G m
tan ım lan m ıştı. m = g ü n eş k ü tlesi için
2
c
rS ≈ 3 km (B ek en stein , 2 0 0 1 ).
rS =
• K N B H için alan
Gm
ve Q =
2
c
b u ra d a n :
M =
Gq
1
ve
a
=
j
.
c2
mc
A = 4 π ( r 2 + a 2 ) o lu r k i, b ir g ü n eş k ü tlesi için
A
) d eğ erin in 1 k m k atları o lu r
4π
(B ek en stein , 2 0 0 1 ).
b u alan
(
22
Olay ufku
Ergosfer
Static limit
23
• Kara deliğe düşen maddenin entropisi yerine, kara delik
için M, Q ve S üzerinden giderek bir entropi tanımlamak
(Bekenstein 2001).
• SBH =Bekenstein-Hawking entropisi
• Christodoulou (1970) ve Floyd ve Penrose (1971): Kara
Delik Olay Ufku alanı (A=4πr2, kürenin yüzey alanı)
küçülemez.
• SBH = f (A) ve SBH= sabit x A
• Burada orantı sabiti olarak
1
lP
2
katları alınır.
lP Planck uzunluğu olup; lP =
ħG
−35
≈
1.616252
x
10
m.
3
c
(Bekenstein 2001).
24
• O halde KNBH entropisi;
• SBH = sabit x A
(A = olay ufku alanı = 4πr2)
• Kara deliğe düşen madde, kara delik olay ufkunda genişlemeye
neden olur (Hawking teoremi, 1971). Bu durumda kara delik
entropisi de (δSBH) kadar artar.
• (δSBH), kara delikte kaybolan maddenin entropisinden daha
fazladır. Böylece ikinci kanun da sağlanmış olur.
• Genelleştirilmiş İkinci Kanun (generalized second law-GSL):
Kara deliğin dışındaki entropi ve kara delik entropisinin
toplamları asla azalmaz (Bekenstein 2001).
25
• Birden çok kara delik için entropi:
– Bağımsız sistemlerin entropisi toplanır (additive) olduğundan,
S = ∑ f ( A)i yazılabilir.
i
• Kara delik entropisi için bazı örnek değerler:
• Güneş kütleli bir kara delik için entropi: S BH ≈ 1079
• Güneşin entropisi: SBH ≈ 1057
• Kütlesi 1015 g. olan bir kara deliğin entropisi,
1015 g ' lık herhangi bir maddenin entropisi kadardır.
1
• Ancak, kütlesi 1015 g. olan bir kara delik, 13 cm. çapındadır.
10
• 1cm çapındaki bir kara deliğin entropisi 1066 bit'tir. Bu ise;
bir kenarı 10 milyar km. olan, su dolu bir küpün entropisine eşittir.
26
Hawking Işınımı
• Kara delik entropisi ile olay ufku arasındaki orantı sabitini
verir; buna göre:
• Bir kara deliğin entropisi; o kara deliğe ait ve Planck alanı
cinsinden ölçülmüş olan olay ufku alanının (A) tam ¼’üdür.
ħG
−33
≈
1.616252
x
10
cm.
3
c
Planck alanı = lP 2 = 1.61x10−33 cm x 1.61x10−33 cm =2.612 x10−66 cm 2
lP =
(Penrose, Christodoulou, Ruffini, Hawking, 1971),
(Bekenstein & Mukhanov, 1995), (Bekenstein 2001).
27
Hawking Işınımı, Bekenstein-Hawking Entropisi
• Hawking Işınımı: Döner yada dönmez bir kara deliğin olay ufkunun
yüzey alanı, o kara deliğin entropisini verir. Söz konusu entropi, Planck
alanı cinsinden ölçülmüş olan alanın ¼’üdür.
A = α lP 2 n; ifadede : (α , n) ∈ +
A = α lP 2 n; gibi olay ufku yüzey alanına sahip bir kara delik
2n farklı durum (state) içinde olabilir.
Bu durumda: SBH = ln 2n = ln 2.(α lP 2 ) −1A (Bekenstein 1999)
1
α ln2= ( Hawking )
4
o halde A = 4.ln 2.lP 2 .n
−1
Buradan; KNBH toplam entropisi S BH =
k.A
olur.
2
4.lP
28
Bekenstein Sayısı
• O halde; olay ufku yüzey alanı ayrık (discrete) parçalardan oluşmuş bir
yapıdadır. Her ayrık parça 2 durumdan birinde olabilir (1 ya da 0 gibi).
• Bekenstein sayısı (N): Her bir parçanın alanı (4 . ln2 . ħ ) olup, bir
Planck alanının 2.77 kat fazlasına tekabül eden sayıdır.
Olay ufku yüzey alanı ayrık parça alanı = Bekenstein sayısı N
N = 4.ln 2.lP 2
veya
N = 4. ln2. Dr. Koltuksuz, Kara Delikler: Bilgi ve Hesaplama Kapasitesine Yeni Bir Bakış Açısı, 8-9 Mart 2012
29
Bekenstein Sayısı
Olay ufku yüzey alanı ayrık parça alanı = Bekenstein sayısı N
N = 4.ln 2. lP 2 veya N = 4. ln2. ħ
KNBH toplam entropisi
S BH =
kB .A
4.l P
2
A = 4π r 2 kürenin yüzey alanı, olay ufku alanı,
4π r 2
l =
4.N
yerine koyalım
2
P
S BH
k B . A k B .4π r 2
=
=
= k B .N
2
2
4.lP
4π r
4.
4.N
30
Kara Delik Ölçütleri
Bir Planck alanı
lP 2 =2.612x10−66 cm2
Bekenstein sayısı(N)
Olay
ufku
N = 4. lP 2 . ln2
KNBH toplam entropisi
S BH
k .A
= B 2
4.lP
Bir birim
entropi (=bilgi)
31
Bilgi Depolamanın Sınırları
• 1cm3 hacminde, herhangi bir malzemeden yapılmış
bir cisme, herhangi bir yolla, maksimum ne kadar
bilgi depolanabilir?
• Atomik manipülasyon ile ileri teknoloji
kullanılarak 1020 bit olası (Bekenstein 2001).
• Örneğin atom çekirdeğine bilgi depolamak olası
olacaktır.
32
• Bir mesajın Shannon entropisi, o mesajın kodlanması için
gereken bit sayısıdır.
• Termodinamik entropi ile Shannon entropisi kavramsal olarak
eşdeğerdir.
• Belirli bir düzenleme yapabilmek için Boltzmann entropisinin
belirlediği düzen sayısı, aslında Shannon bilgisi olarak oluşur.
• Her ikisi arasındaki en önemli fark ise birimlerdir. Termodinamik
entropi JK-1 birimiyle verilirken, Shannon entropisi birimi bit’tir
ve boyutsuzdur.
33
• 1Gigabyte kapasiteli bir bellek (RAM), 1010 bit Shannon
entropisine sahiptir. Öte yandan aynı malzemenin oda
sıcaklığındaki termodinamik entropisi 1023 bit civarındadır.
• Aradaki farkın nedeni; entropilerin farklı serbestlik
derecelerine göre hesaplanıyor olmasından kaynaklanır.
• Shannon entropisi, söz konusu RAM’de yer alan her bir
transistörün 1 ya da 0 olması ile ilgilenir; bu da tek
serbestlik derecesine tekabül eder.
34
• Halbuki termodinamik entropi; her transistörü oluşturan
milyarlarca atom ve onların elektronlarının durumları
(state) ile ilgilenir. Bu hesapta bir çok serbestlik derecesi
yer alır.
• Bu aşamada teknolojinin gelişimindeki hedef: Her atomun
tek bir bit bilgi tutacak (var veya yok, 1 veya 0) şekilde
kullanılabilmesidir. Böylece RAM’in Shannon-bilgi
entropisi ile o RAM’in yapıldığı malzemenin termodinamik
entropisi birbirine yaklaşacaktır.
35
• Susskind yaklaşımı:
– Kara delik olmayan bir küre, A alanına sahip kapalı bir
yüzeyin içine konulsun.
– Küre, kara delik haline gelirse; olay ufku yüzeyi, altında
bulunduğu yüzey A’dan küçük olur.
– Bu durumda: yeni oluşan kara deliğin entropisi < (A/4)
– O halde: Yüzey alanı A ile sınırlandırılmış bir izole
fiziksel sistemin entropisi (A/4)’den küçük olacaktır.
36
• Bu durumda oluşan sonuç:
Olası maksimum entropi, cismin hacmine değil,
o cismi sınırlandıran yüzey alanına bağlıdır.
37
• O halde
Olay ufku yüzey alanı (A)
1.
Ayrık
2.
Bekenstein sayısı kadar
3.
1 bitlik bilgi (=entropi)
barındıran parçalardan oluştuğuna göre;
Kara deliğin
1.
Bekenstein sayısı
2
N = 4. l P . ln2
ve
2.
maksimum entropisi
S BH
kB . A
=
4.lP 2
bilgi depolamanın üst sınırını belirlemiş olmaktadır.
38
• RAM ler üstten A yüzeyi ile sınırlıdır. Sayıları arttıkça bilgi entropileri artar
(daha çok transistör).
• Ama termodinamik entropileri daha da hızlı artar.
• Sınır, RAM sayısıyla (hacim) değil, sınırlayan A yüzeyi tarafından belirlenir.
• Sonuçta, aşırı sayıda artan RAM’ler gravite nedeniyle içe doğru çökerek bir
kara delik oluşturur.
• Bu aşamadan sonra kara deliğe her yeni eklenen RAM, kara deliğin kütlesi ve
yüzey alanını arttırır, böylece GSL de sağlanmış olur.
39
Susskind Yaklaşımı
Yüzey alanı A
Kara delik
• A yüzey alanı ile sınırlandırılmış
uzaydaki tüm bilgi, küresel bir
cisimde olsun.
• Bu cisim kara delik haline geldiğinde,
kara deliğin yüzey alanı A dan küçük
olacaktır.
• O halde kara deliğin entropisi de A/4
den küçük olacaktır..
• Entropi azalamayacağından,
ortamdaki entropi (=bilgi) A/4 den
küçük olacaktır.
• Uzayın bir bölgesindeki maksimum
bilgi miktarı(=entropi) o bölgenin
hacmi ile değil, yüzey alanı ile
sınırlıdır.
40
Susskind Yaklaşımı
Çevresi d,
kütlesi m
olan cisim,
kara delik
içine çekiliyor
Çekimden
sonra
kara delik
Kütlesi M+m
• Evrensel entropi sınırı; kütlesi m
çevresi d olan bir cisim tarafından
ne kadar bilgi taşınabileceğini
tanımlar.
• Malzemenin kendisinden pek de
büyük olmayan bir kara delik
tarafından yutulma durumu bunu
açıklamaktadır.
Çekimden
Önce
kara delik
Kütlesi M
41
42
43
Sabır ve İlginize çok teşekkür ederim.
A. Koltuksuz
44

sabit diracs

Transkript

Benzer belgeler

uzaydaki kara delikler - Atlantis

kara delikler - Bilim Akademisi

Arzu Kara ve son kolleksiyonu

Hesaplamanın Termodinamiği Dr. Ahmet KOLTUKSUZ

Görünmeyeni Anlamak – I Kara Delikler

Kara Delik - Bilim Teknik

Kara Delik de Ölümlüdür

CMS Deneyinde Ek Boyutlu Kara Delik ÜreJm ve - Indico

Çağdaş Dünyada büyü