58 3.2. Lucas`ın Modeli

58
3.2. Lucas’ın Modeli
3.2.1. Model
Bu modelde Lucas (1988), tek sektörlü bir ekonomide fiziksel sermaye ile birikim ilişkileri
üzerinde yoğunlaşmaktadır. Nüfus dinamiği dışsal olarak alınmakta, ayrıca paraya dayalı değişim
olgusu ve finansal piyasa dinamiğinin etkisi de dışlanmaktadır. Lucas’a göre, Solow doğrudan bir
büyüme teorisi geliştirmeye yönelik davranmamış, yalnızca ABD ekonomisinin büyüme dinamiklerini
incelerken bir sonuç çıkartmıştır (age, ss.3-4).
Modelin varsayımları şöyledir:
•
Ekonomi kapalıdır ve tam rekabet piyasası ile çalışmaktadır.
•
Ekonomik karar birimleri gelecekteki fiyatlar konusunda rasyonel bekleyişlere sahiptir.
•
Ekonominin teknolojisi, ölçeğe göre sabit getirilidir.
•
t anında üretime ayrılan işgücü (ya da eşdeğer olarak çalışma saati) sayısı N(t)’dir. N(t)’nin
büyüme oranı dışsaldır: λ
•
Kişi başına reel tüketim, akım değişkendir ve tek sektörlü olan bu modelde ilgili mal cinsinden
tanımlanmaktadır.
Akım olarak kişi başına tüketime dayalı fayda fonksiyonu şöyledir:
1
∫0 e −ρt 1 − σ [c( t ) 1− σ − 1]N ( t ) dt
∞
(3.2.1)
Burada ρ, gelecekteki tüketimi bugünkü değere indirgeyen bir oran; σ, riskten kaçınma
katsayısıdır. Her iki parametre de pozitif birer rasyonel sayıdır. Tek sektörlü modeldeki toplam
üretim, tüketime ve sermaye birikimine ayrılmaktadır: N (t )c( t ) + K! (t ) . Bunu dengeli bir ekonominin
arz ve talebinin eşitliği olarak yazarsak: N (t )c(t ) + K! (t ) = A(t ) K (t ) β N (t ) 1−β . Teknolojik gelişme oranı
dışsaldır: ( A! / A) = µ . Ekonomi, teknolojik kısıt altında, fayda fonksiyonunu maksimum yapan optimal
kaynak dağılımına karar verecektir. Bunun belirlenebilmesi için Hamiltonyen fonksiyonun
çözümlenmesi
H = ( K , θ , c, t ) =
gerekecektir.
[
] [
Hamiltonyen
]
N
c 1− σ − 1 + θ AK β N 1− β − Nc .
1− σ
Ekonomideki
bugünkü-değer
optimal
kaynak
şöyledir:
dağıtımı
öyle
yapılmalıdır ki, t anında H’nin değeri maksimum yapılabilsin. H’nin maksimizasyonu için birinci
koşul;
∂H
= 0 . Buradan c − σ = θ . Bunun anlamı şudur: Toplam üretim, tüketim ve yatırım olarak öyle
∂c
ayrılmalıdır ki, marjinal olarak eşdeğerde (θ) olsunlar. θ
terimi, sermayenin gölge fiyatını
göstermektedir (s.8-9). Ayrıca gölge fiyat şu koşulu da sağlamalıdır:.
(3.2.2)
[
]
∂
H ( K (t ), θ(t ), c(t ), t ) = ρ − βA(t ) N (t )1−β K (t )β −1 θ(t )
θ! (t ) = ρθ(t ) −
∂K
Bunun anlamı şudur: Gölge fiyatın değişim hızı, indirgeme oranı ile, sermayenin marjinal
verimliliğine bağlıdır. Eğer t döneminde sermayenin marjinal verimliliği, indirgeme oranına eşitse,
59
sermayenin dönemlerarası gölge fiyatında bir değişme beklenmeyecektir. Tüketimi, gölge fiyatın bir
fonksiyonu olarak tanımlarsak; c(t ) = θ −1/ σ ve bunu bütünleşik arz talep ifadesiyle, gölge fiyatın
değişme oranındaki yerlerine yazarak sistemi çözersek19, transversalite koşulunu sağlayan tek K(t) ve
θ(t) değerleri elde edilecektir.
lim e − ρt θ(t ) K (t ) = 0 . Tüketimin büyüme oranına κ ( = c! c ) dersek, sermayenin gölge fiyatındaki
t →∞
değişim oranı, tüketimin değişim oranıyla riskten kaçınma parametresinin bir fonksiyonu olarak
yazılabilir: θ! / θ = −σκ . Buna göre ekonomi kendi dengeli gelişme çizgisinde sermayenin marjinal
verimliliği, sabit ρ+σκ değerine eşit olmalıdır. Ekonominin arz ve talep eşitliklerini tanımlayan
denklemlerin her iki yanını K(t)’ye oranlarsak;
(3.2.3)
N ( t ) c(t ) K! (t )
ρ + σκ
+
= A( t ) K ( t ) β −1 N (t ) 1−β =
K (t )
K (t )
β
Dengeli gelişme çizgisinin tanımına göre K! ( t ) K ( t ) sabit bir orandır: κ+λ. Bu nedenle kişi başına
tüketim ve kişi başına sermaye, κ oranında büyüyecektir. Bu değere ulaşmak için, yukarıdaki eşitlik
türevlenir. Bu işlemden sonra; κ = µ / (1 − β ) . Dengeli büyüme çizgisinde ekonominin tasarruf oranı
da şöyle olacaktır:
(3.2.4)
s=
K! (t )
β( κ + λ )
=
!
N ( t ) c( t ) + K ( t )
ρ + σκ
Buna göre, ekonominin dengeli gelişme çizgisinde kişi başına büyüklükler, teknolojik gelişme
oranının bir fonksiyonudur. Ne zaman terchi oranı (ρ) ne de riskten kaçınma oranı (σ), bu uzun dönem
büyüme oranı üzerinde etkili değildir. σ ve ρ’nun düşük değerlerinde tasarruf oranları artar ve yüksek
tasarruf oranı, göreli olarak reel ulusal gelir düzeyinin artmasını sağlar. Toplum bir sonraki dönemde
daha zengin olmakla birlikte, daha yüksek bir büyüme oranına sahip değildir. Yani büyüme etkisi
yerine yalnızca düzey etkisi oluşmaktadır. Eğer ekonomi dengeli büyüme rotasında ilerliyorsa,
transversalite koşuluna uygun olarak optimal çizgidedir ve bu rotayı izleyecektir. Bu rotanın dışında
yer alıyorsa, RCK modeline’e göre, ekonomi uzun dönemde bu dengeli gelişme çizgisine, yani
optimal sermaye birikimi-tüketim bileşimine yakınsayacaktır.
Örneğin ABD ekonomisinin 1909-57 döneminde şu değerler elde edilmiştir: λ=0.013; reel
ulusal gelir ya da sermaye büyüme oranlarının kullanılmasına bağlı olarak sırasıyla κ+λ=0.029 ve
κ+λ=0.024 (ortalama olarak da 0.027); ulusal gelirden işgücünün aldığı pay (1-β) yaklaşık 0.75;
tasarruf oranı (net yatırım/ net ulusal hasıla) yaklaşık 0.10; µ=κ(1-β)=0.0105 alındıklarında,
ρ+(0.014)σ=0.0675 bulunmuştur. Yani tranversality koşulunun sağlanabilmesi için, ekonominin
pozitif sermaye birikimine gitmesini sağlayacak koşul yerine getirilmiş olmaktadır: ρ+κσ > κ+λ.
19 Bu iki eşitlik K(t) ve θ(t) açısından birinci dereceden fark denklemleridir. Bu nedenle sistemin çözümü, bu iki fark denkleminden
hareketle K(t) ve θ(t) değerlerinin bulunmasıdır.
60
Lucas teknoloji ve bilgi stoku kavramlarının farklı olduklarını, beşeri sermaye olgusu açısından
tartışmaktadır. Lucas’a göre NBM, teknolojik düzeyle bilgi stokunu (ya da beşeri sermayeyi) örtük
olarak aynıymış gibi model içinde kullanmıştır. Örneğin Japonya’nın Çin’den daha ileri teknolojik
düzeye sahip olması, bu ülkelerin beşeri sermaye stoklarının ya da bilgi birikim stoklarının
karşılaştırılması anlamında değildir. Dolayısıyla NBM ekonomilerarası gelir farklılıklarını açıklarken,
varsayım olarak getirdiği türdeş teknolojik yapılar olgusunu, beşeri sermaye açısından yeniden
sorgulamak gerekecektir. Bu nedenle Lucas büyüme teorisi çerçevesindeki yaklaşımının, model içinde
beşeri sermaye olgusunu ifade edebilecek bir yaklaşım geliştirmek olduğunu vurgulamaktadır.
NBM’ye göre türdeş teknolojik yapılar ve sermaye hareketliliğinin olmadığı bir modelde göreli yoksul
ekonomiler, hem gelir düzeyi hem de büyüme oranı olarak gelişmiş ekonomilere yakınsayacaklardır.
Lucas’a göre 18. ve 19. yüzyıllarda işgücü hareketliliğini NBM açısından çalıştırırsak, (toprak girdisi
sabitken) işgücü hareketliliği NBM’nin öngörülerini doğrulamıştır. Ancak 20. yüzyılda bu gözlem
tersine dönmüştür. İşgücü hareketliliği büyük ölçüde azalmıştır.
3.2.2.Beşeri Sermaye ve Büyüme
Lucas’da beşeri sermaye, bireyin genel beceri düzeyi olarak alınmaktadır. Bu anlamda h(t)
beşeri sermayesine sahip bir işgücünün üretkenliği, her biri ½h(t) beşeri sermayeye sahip iki
işgücünün üretkenliği ile özdeştir. Beşeri sermaye teorisi, bireyin, üretkenliğini (ya da h(t) düzeyini)
etkileyebilecek olan çeşitli faaliyetler arasında zamanını nasıl ayırdığını incelemektedir. Beşeri
sermayenin modele sokulması sonucu cari üretim değişir ve bu yolla beşeri sermaye birikimi yeniden
değerlendirilmeye alınır. Lucas bu genel yapıyı şöyle modellemektedir:
Modelde N sayıda işgücü vardır ve herbiri sıfırla sonsuz arasında değişik düzeylerde beceriye sahiptir:
∞
N = ∫0 N (h)dh . Bir h beceri düzeyindeki işgücü, toplam çalışma zamanının u(h) kısmını cari üretime,
geri kalan 1-u(h) kısmını da beşeri sermaye birikimine ayırmaktadır. Dolayısıyla mal üretimindeki
∞
efektif işgücü toplamı: N e = ∫0 u(h) N (h)hdh . Nihai mal üretim fonksiyonu fiziksel sermaye ile değişik
beceri
düzeylerindeki
işgüçlerinin
bir
fonksiyonudur:
F ( K, N e ) .
İşgücünün
beceriyle
ağırlıklandırılmış ücreti ve toplam ücret geliri de sırasıyla: FN ( K , N e )h ve FN ( K , N e )hu(h) . Lucas
beşeri sermayenin etkisini iki şekilde ele almaktadır: Birincisi bireyin yapısından kaynaklanan
kendine özgü verimliliği: içsel etki. İkincisi de dışsal etkidir. Lucas’a göre bireyler beşeri sermayeyi
zamanlararası dağıtımı yaparken bu etkiyi dikkate almadığından dışsaldır ve şu şekilde
tanımlanmaktadır:
∞
(3.2.5)
ha =
∫0 hN (h)dh
∞
∫0 N (h)dh
Ekonomideki tüm işgüçleri h beceri düzeyinde ise ve dönemlerarası dağıtımı da u ise, etkin işgücü,
N e = uhN . Ekonominin kaynak yaratma ve harcama durumu dışsal beşeri sermaye etkisi dikkate
alınarak yazılırsa;
61
[
N (t )c(t ) + K! (t ) = AK (t ) β u(t )h(t ) N (t )
]
1− β
ha ( t ) γ .
Burada
ha (t ) γ terimi,
beşeri
sermayenin dışsal
etkilerini modele katmaktadır. Modelin tamamlanabilmesi için, toplam kaynakların beşeri sermaye
birikimine
aktarılan
bölümünün
(1-u(t))
h(t)‘nin
değişim
oranıyla
ilintilenmelidir:
h!(t ) = h(t ) ς G (1 − u(t )) . ζ<1 alınırsa (yani beşeri sermaye birikimi azalan getiriyle çalışmaktadır), beşeri
sermaye
teknoloji
gibi
büyümenin
motoru
olarak
değerlendirilemez.
U(t)≥0
alınırsa,
h!(t ) / h(t ) ≤ h(t ) ς −1 G (1) olacaktır. Yani beşeri sermaye birikimine ne kadar kaynak aktarıldığından
bağımsız olarak, beşeri sermaye büyüme oranı sıfıra doğru yakınsayacaktır.
Uzawa (1965) çalışmasında, γ=0 ve U(c)=c varsayımlarıyla buna benzer bir model kurmuştur.
Bu modelin belirgin özelliği, modelde içsel olarak yer alan beşeri sermaye sürdürülebilir büyümenin
motorudur ve dışsal olarak bir büyüme motoruna gerek olmamaktadır. Uzawa’nın modelinde beşeri
sermaye birikimi, U(t) bağlamında doğrusaldır. Ancak Lucas’ın bu modelinde azalan getiriyle
çalışmaktadır. Lucas’a göre beşeri sermaye birikimi, kuşaklararası bir analize dayalıdır ve bu anlamda
da toplumsal bir çabadır. Eğer modelden içsel teknolojik gelişme ögesi dışlanırsa, NBM ile özdeş bir
yapıda olacaktır (Lucas, 1988, s.20). Bu haliyle sistem kapalıdır; nüfus sabit bir oranda (λ)
artmaktadır; hanehalkının tüketim-fayda fonksiyonu (1) ile tanımlanmıştır. Ancak beşeri sermayenin
dışsal etkilerinin modele eklenmesiyle model, NBM biçimiyle incelenemez. Buna karşın Romer buna
benzer bir model oluşturmuştur. Lucas, Romer’i (1986) izleyerek çözümlemeyi yapmaktadır. Bu
şekilde modelin çözümüyle, ekonominin optimal ve dengeli gelişme çizgisi saptanmaktadır. Optimal
gelişme ile tanımlanan, K(t), h(t), Ha(t), c(t) ve u(t) değişkenlerinin, fayda fonksiyonunun beşeri
sermaye birikim fonksiyonları kısıtlamaları altında ençoklaştıracak seçimlerinin yapılmasıdır. Dengeli
gelişme ile tanımlanan da, veri bir dışsal ha(t) gelişme çizgisinde, h(t) için bulunan optimal seçimin
uyumlanmış bir gelişme içinde olmasıdır. Yani hanehalkının bekleyişleriyle, gerçekleşen değerlerin
üstüste çakışması durumudur. Optimal seçim problemi şöyle kurulmaktadır:
(3.2.6)
H ( K , h, θ 1 , θ 2 , c, u, t ) =
[
]
N
(c 1− σ − 1) + θ 1 AK β (uNh) 1− β h γ − Nc + θ 2 [ δh(1 − u)]
1− σ
Bu modelde iki karar değişkeni vardır: tüketim (c(t)) ve üretime ayrılan kaynaklar (u(t)). Amaç bu iki
karar değişkeninin, H’nin ençoklaştırılacak biçimde seçilmesidir. Buna göre birinci sıra koşullar
şöyledir:
(3.2.7)
c −σ = θ1
ve
θ 1 (1 − β) AK β (uNh) − β Nh 1+ γ = θ 2 δh
Marjinal kullanımda mallar, tüketim ya da sermaye birikimi biçimindeki kullanıma göre
değerlendirilecek (yukarıdaki eşitliklerden birincisi); çabalar da ya nihai mal üretimine ya da beşeri
sermaye birikimine aktarılacak şekilde değerlendirilecek (ikinci eşitlik). İki farklı sermayenin
fiyatlarını değişim hızları şöyledir:
(3.2.8)
θ! 1 = ρθ1 − θ1βAK β −1 (uNh)1−β h γ
(3.2.9)
θ! 2 = ρθ2 − θ1 (1 − β + γ ) AK β (uN )1− β h −β + γ − θ2δ(1 − u)
62
Dengeli gelişme çizgisinde özel sektör için çözüm aynı biçimde yapılmaktadır. Dengeli ekonomi
piyasa berraklığına (market clearing) sahip olarak geliştiğinden h(t)=ha(t) olacaktır.
(3.2.10)
θ! 2 = ρθ 2 − θ 1 (a − β) AK β (uN ) 1− β h − β + γ − θ 2 δ(1 − u)
Lucas, modelin durağan durum dengeli gelişme çizgisinin belirlenebilmesi için tüketim, beşeri
ve fiziksel sermaye artış hızlarını sabit, sermaye fiyatlarının artış hızlarını da azalan ve zaman tahsis
değişkenini (u(t)) sabit kabul etmektedir. Bu koşullar altında sermayenin marjinal verimliliği:
(3.2.11)
βAK ( t )β −1 ( u( t ) h ( t ) N ( t ))1−β h( t ) γ = ρ + σκ
K(t), κ+λ oranında büyümektedir (bir önceki modelde olduğu gibi). Eğer ekonominin dengeli gelişme
çizgisinde v = h!( t ) / h ( t ) olarak alınırsa, beşeri sermaye birikim denkleminden hareketle, v = δ(1 − u)
olarak ifade edilebilecektir. (4.4.10) eşitliğinin türevi alınırsa, tüketimin ve fiziksel sermayenin ortak
büyüme oranı (κ), v cinsinden şöyle yazılabilecektir:
(3.2.12)
1− β + γ 
κ=
v
 1− β 
Böylece h(t) v gibi sabit bir oranda büyürken, (1 − β + γ ) v dışsal teknolojik gelişme rolünü
oynayacaktır (önceki modelde µ). Lucas etkin beşeri sermaye büyüme oranını da şöyle
belirlemektedir:
(3.2.13)


1− β
v∗= σ −1 δ −
(ρ − λ )
1− β + γ


Beşeri sermayenin rekabetçi piyasa yapısındaki dengeli büyüme oranı;
(3.2.14)
v = [ σ (1 − β + γ ) − γ ]
[(1 − β)(δ − (ρ − λ ))]
−1
Etkin ve dengeli büyüme oranları, maksimum yapılabilir büyüme oranını aşmamalıdır. Bu nedenle, şu
kısıtlama konulmalıdır:
(3.2.15)
σ ≥ 1−
1− β ρ − λ
1− β + γ δ
Beşeri sermaye büyüme oranı, beşeri sermaye yatırımındaki etkinlik ile artırılabilir ve ρ’daki artışla
düşürülebilir. Eğer γ=0 ve κ>v ise, dışsal etkiler beşeri sermaye birikiminden çok fiziksel sermaye
birikimini teşvik edici bir rol oynar. σ=1 durumunda, etkin ve dengeli beşeri sermaye büyüme
oranları;
(3.2.16)
v∗− v =
γ
(ρ − λ )
1− β + γ
Buna göre, dışsal etmenler ya da indirgeme oranı önemsiz düzeylerdeyse, etkinsizlik düşük
düzeylerde kalacaktır. (3.2.12), (3.2.13) ve (3.2.14) eşitlikleri, fiziksel ve beşeri sermayenin
asimptotik dinamiğini göstermektedir. Her iki sermaye ortak indirgenmiş bir dönemde karşılaştırılırsa,
değişkenlerin düzeyleri tanımlanabilir. Bu ortak indirgeme fiziksel sermaye ve beşeri sermaye için
sırasıyla şöyledir.
(3.2.17)
z1 ( t ) = e− ( κ + λ ) t K ( t ) ve z2 ( t ) = e− vt h( t )
63
Marjinal verimliliğin tanımlandığında (19) eşitliğinde bu değerler yeniden yapılandırılırsa,
ekonominin dengeli gelişme çizgisi boyunca sahip olunması gereken fiziksel ve beşeri sermaye
düzeyleri, (z1, z2) ikilileri biçiminde belirlenmiş olur.
(βAN 01− β u1− β ) z1β − 1z21− β + γ = ρ + σκ
(3.2.18)
Şekil 3.2.1. Dengeli Gelişmede İndirgenmiş Fiziksel ve Beşeri Sermaye Düzeyleri
z1
(
e
−(κ + λ )t
K
)
0
(e
− vt
h)
z2
Şekil 3.2.1, (3.2.18) eşitliğini görselleştirmektedir (Lucas, 1988, s.24). Dışsal etkiler yokken (γ=0), bu
fonksiyon orijinden çıkan bir eğri biçimindedir. Dışsal etkiler dikkate alındığında (γ>0), orijine göre
dış bükey eğri biçimini alır. Eğrinin davranışı, v’nin birer fonksiyonu olarak tanımlanan u ve κ’ya
bağlıdır. Bu nedenle v’deki artışlar eğriyi sağa kaydırır. Dengeli gelişme çigisinde ilerleyen etkin bir
ekonomi, v∗> v olduğundan dolayı, herhangi bir veri fiziksel sermaye düzeyinde (z1) daha yüksek
beşeri sermaye düzeyine (z2) sahip olacaktır. Şekildeki oklar, her iki sermaye düzeyinin de olası
hareket çizgisini belirlemektedir. Lucas’ın bu modelinde düşük beşeri ve fiziksel sermaye
düzeylerinden başlayan bir ekonomi, sürekli olarak başlangıçta daha iyi donanıma sahip ekonomilerin
gerisinde yer alacaktır (age, s.25). Eğri boyunca, sermayenin marjinal getirisi ((3.2.19) eşitliğinden
hareketle ρ + σκ ), her iki sermaye stoku büyüse de, sabit kalmaktadır. Dışsal etkilerin olduğu ve
olmadığı tüm durumlarda (γ≥0), reel ücretdeki artışlar eğriyi yukarı doğru hareket ettirir. Reel ücret
ile fiziksel sermaye arasındaki esneklik, eğrinin bu davranışını dışsal etkilere bağlı olarak
belirlemektedir.
(3.2.19)
K ∂w
(1 + β)
=
w ∂K 1 − β + γ
Bu eşitliğe göre, işgücünün niteliği veri iken, göreli yüksek kişi başına ulusal gelire sahip
ekonomilerde reel ücretler daha yüksektir. Her ülkedeki reel ücretin büyüme oranı ise, işgücünün
nitelik düzeylerine bağlı olarak aynıdır:
(3.2.20)
ω=
γ
v
1− β
İşgücünün niteliğindeki gelişmeler de dikkate alındığında, reel ücretlerdeki değişim oranı, kişi başına
fiziksel sermaye değişim oranı (κ) ile aynı olmaktadır.
(3.2.21)
ω+v=
1− β + γ
v=κ
1− β