PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM`LA FARKLI BİR

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM’LA FARKLI BİR BAKIŞ
PROJENİN AMACI:
Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom
açılımı kullanmak suretiyle sorulara farklı bir bakış açısıyla yaklaşıp sistemli bir düşünme
tarzı geliştirerek tekrarlı permütasyon sorularını daha kolay bir şekilde çözmelerine yardımcı
olmak amaçlanmaktadır.
GİRİŞ:
Bu çalışmanın konu ile ilgili diğer çalışmalardan farkı, tekrarlı permütasyonun
binom açılımı yardımıyla hesaplanabileceğini göstermesidir.
Genel olarak,
tane
,
tane
,…,
tane
olan n-harfli
bir kelimenin harfleriyle yazılabilecek n-harfli kelimelerin sayısını veren formülün,
açılımındaki
teriminin katsayısı olduğu gösterildi.
Böylece binom açılımının pek çok kullanımının yanı sıra tekrarlı permütasyonda da
kullanılabileceği gösterilmiş oldu.
1
ANA BÖLÜM:
(1)
özdeşliğini 7. sınıfta öğrenmiştik. Bu açılımdan aklımıza şu soru geldi:
ve
harflerinin her birini istediğimiz sayıda kullanarak 2 harfli kaç farklı kelime
yazabiliriz?
Bu kelimeleri açık açık yazacak olursak
kelimelerini elde ederiz. Bu dört kelime yukarıdaki (1) özdeşliğinde de elde edilmişti.
Bu kelimelerin sayısı
açılımının terim sayısıdır. Bu açılımın terim sayısının
yazarak bulunduğunu biliyoruz.
O halde terim sayısı
Şimdi
ve
olarak bulunur. [4]
harflerinin her birini istediğimiz sayıda kullanarak 3 harfli kaç farklı
kelime yazabiliriz?
Elde edilebilecek kelimeleri açık açık yazalım.
AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB ’den oluşan sekiz kelime elde edilir. Her
kelimedeki harfler arasında çarpım işlemi varmış gibi düşünüp, çarpmanın değişme
özelliği de kullanılarak, bu sekiz kelime
eşitliğinin sağ tarafındaki terimlerle de birebir örtüşmektedir.
2
açılımındaki terim sayısı
ve
olarak bulunur. Bu sayı aynı zamanda
harflerinin her birini istediğimiz sayıda kullanarak 3 harfli yazılabilecek kelime
sayısıdır.
Şimdi de
özdeşliğini ele alalım. Terim sayısı
Yani
dir.
harflerinin her birini istediğimiz sayıda kullanarak, 3 harfli yazılabilecek
kelime sayısı 27’dir. Eşitliğin son terimi olan “6ART” deki 6 katsayısı ise
harflerini, her bir kelimede birer kez kullanarak 3 harfli yazılabilecek kelime sayısıdır.
Çünkü “6ART” terimi, çarpma işleminin değişme özelliği kullanılarak
açılımında ART, ATR, RAT, RTA, TAR, TRA terimlerinden elde edilmektedir.
Binom Açılımı:
[4]
Örnek: “CANAN” kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılır?
Çözüm. CANAN kelimesinde 2 tane A ve 2 tane de N harfi olduğundan bu harflerle
yazılabilecek her bir kelimede de 2 tane A ve 2 tane de N harfi olacaktır. O halde bu
3
kelimelerin sayısı
açılımındaki
O halde
teriminin katsayısıdır.
teriminin katsayısı
dir.
Bu katsayı da
Tekrarlı permütasyon formülüyle de, CANAN kelimesinde 2 tane A ve 2 tane de N
olduğundan bu harflerle yazılabilecek kelimelerin sayısı
olarak hesaplanır.
Örnek: “MATEMATİK” kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılır?
Çözüm: MATEMATİK kelimesinde 2 tane M, 2 tane A ve 2 tane de T harfi olduğundan,
tekrarlı permütasyon formülüyle, bu harflerle yazılabilecek kelimelerin sayısı
olarak
hesaplanır.
Şimdi bunu Binom açılımı kullanarak hesaplayalım.
Kelimede 2 tane M, 2 tane A ve 2 tane de T harfi olduğundan bu harflerle yazılabilecek her
bir kelimede de 2 tane M, 2 tane A ve 2 tane de T harfi olacaktır. O halde bu kelimelerin
sayısı
açılımındaki
teriminin katsayısıdır.
4
O halde
teriminin katsayısı
’dir.
Bu katsayı da
’dir.
Örnek: “KARAKARTALLAR” kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız kaç kelime
yazılır?
Çözüm: KARAKARTALLAR kelimesinde 2 tane K, 5 tane A, 3 tane R, 2 tane de L harfi
olduğundan , tekrarlı permütasyon formülüyle, bu harflerle yazılabilecek kelimelerin sayısı
olarak hesaplanır.
5
Şimdi bunu binom açılımı kullanarak hesaplayalım.
Kelimede 2 tane K, 5 tane A, 3 tane R, 2 tane de L harfi olduğundan bu harflerle
yazılabilecek her bir kelimede de 2 tane K, 5 tane A, 3 tane R, 2 tane de L harfi olacaktır.
O halde bu kelimelerin sayısı
açılımındaki
teriminin katsayısıdır.
teriminin katsayısı
O halde
’dir.
Bu katsayı da
’dir.
Şimdi genel durumu inceleyelim.
n-harfli bir kelime ele alalım. Bu kelimede
tane
,
tane
,…,
tane
olsun.
Tekrarlı permütasyondan, n-harfli kelimenin harfleriyle yazılabilecek n-harfli kelimelerin
sayısı
’dir.[2] , [3]
Şimdi bunu binom açılımından yapalım.
6
Kelimede
tane
,
tane
,…,
yazılabilecek her bir kelimede de
tane
tane
,
harfi olduğundan bu harflerle
tane
,…,
tane
harfi olacaktır.
O halde bu kelimelerin sayısı
açılımındaki
teriminin katsayısıdır.
……………………………………………………..
O halde
teriminin katsayısı
’dır.
Bu katsayı da
dır.
7
SONUÇLAR VE TARTIŞMA:
Bu çalışmada tekrarlı permütasyonun binom açılımı yardımıyla hesaplanabileceği sonucuna
varıldı. Ayrıca tüm harfleri farklı, n-harfli bir kelimenin tüm permütasyonlarının sayısının da
binom yardımıyla hesaplanabileceği görüldü.
Bu yöntemin her harfi farklı n-harfli bir kelimenin,
olmak koşuluyla k- harfli
permütasyonları için de uygulanıp uygulanamayacağı araştırılabilir.
KAYNAKLAR:
[1] Alizade, R. & Ufuktepe, Ü., (2006), Sonlu Matematik, Tubitak Yayınları, Ankara.
[2] Berman, G. & Fryer,K.D. ,(1970), Introduction To Combinatorics, Academic Press
New York and London.
[3] Tucker, A.,(2002), Applied Combinatorics, Fourth Edition, John Wiley&Sons, Co.,
NewYork.
[4] Orta Öğretim Matematik Ders Kitabı ; MEB
8
EKLER:
Resim1: Binom açılımı ve permütasyon sorularının çözüm yöntemleri araştırıldı.
Resim 2: Binom açılımı yoluyla kelimelerin permütasyonları hesaplandı
9
Resim 3: Binom açılımı yoluyla kelimelerin permütasyonları hesaplandı
Resim 4: Proje rapor edildi.
10