cantor k¨umeler˙ı
Transkript
CANTOR KÜMELERİ H. Turgay Kaptanoğlu ∗ Yazımızın başlığında adı geçen Alman matematikçisi Georg Cantor (1845–1918), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Cantor, 19. yüzyılın sonlarında yazdığı makalelerinde, sonsuzluğu ve sonsuz kümeleri matematiksel ciddiyetle inceleyen ilk kişidir. Çeşitli sonsuzlukları birbirleriyle karşılaştırmış ve sonsuz büyüklüklerin de kendi aralarında bir aritmetiği olduğunu farketmiştir. Sonsuzluklarla ilgilenen okurlara bu derginin daha önceki bir sayısındaki (cilt:2, sayı:5, sayfa:1–9) bir yazıyı öneriyoruz. Bu yazıda inceleyeceğimiz kümeleri Cantor, konuya oldukça ilgisiz gibi görünen trigonometrik serilerle ilgili bir problemi çözmek için bulmuştur. Bu kümelerin insanın sezgisine çok aykırı gelen özellikleri vardır. Bundan dolayı daha çok, ilk bakışta doğru gibi görünen bazı iddiaların yanlışlığını göstermede örnek olarak kullanılırlar. birlik açık aralıklardan meydana gelen 1 2 [ 7 8 , , V2 = J2,1 ∪ J2,2 = 9 9 9 9 kümesini atalım. Geriye kalan C2 kümesi uzunlukları 19 olan dört kapalı aralıktan oluşur: C2 = I2,1 ∪ I2,2 ∪ I2,3 ∪ I2,4 1 [ 2 1 [ 2 7 [ 8 = 0, , , ,1 . 9 9 3 3 9 9 Yukarıda V1 = J1,1 de diyebiliriz. aşamada ise atılanlar Üçüncü V3 = J3,1 ∪ J3,2 ∪ J3,3 ∪ J3,4 1 2 [ 7 8 = , , 27 27 27 27 [ 19 20 [ 25 26 , , 27 27 27 27 ve kalanlar A. Cantor’un Üçte Birlik Kümesi Önce en basit haliyle bir Cantor kümesinin nasıl inşa edildiğini göreceğiz. Reel sayılardaki [0, 1] kapalı aralığını C0 ile gösterelim. C0 bizim evrensel kümemiz olacak ve bütün işlemleri onun içinde yapacağız. C0 ’in tam ortasındaki üçte birlik kısım olan 1 2 J1,1 = , 3 3 açık aralığını çıkartalım. Geriye uzunlukları olan iki kapalı aralık kalır: I1,1 = 0, 1 3 ve I1,2 = 1 3 kümeleridir. Genel olarak n’nci aşamada atılan açık aralıklar 2n−1 tanedir ve Vn = Jn,1 ∪ · · · ∪ Jn,2n−1 = 2 ,1 . 3 Bunların ikisine birden C1 diyelim; yani C1 = I1,1 ∪ I1,2 . Kümemizin inşasının ilk adımını böylece tamamladık. Şimdi, I1,1 ve I1,2 ’den, ortalarındaki üçte ∗ ODTÜ C3 = I3,1 ∪ I3,2 ∪ I3,3 ∪ I3,4 ∪I3,5 ∪ I3,6 ∪ I3,7 ∪ I3,8 1 [ 2 1 [ 2 7 = 0, , , 27 27 9 9 27 [ 8 1 [ 2 19 [ 20 7 , , , 27 3 3 27 27 9 [ 8 25 [ 26 , ,1 9 27 27 Matematik Bölümü öğretim üyesi 15 ile gösterilirler. tanedir ve n−1 2[ Jn,k k=1 Kalan kapalı aralıklar ise 2n n Cn = In,1 ∪ · · · ∪ In,2n = 2 [ k=1 In,k Kaptanoğlu ile gösterilirler. Vn ve Cn ’yi meydana getiren her bir parçanın uzunluğu 31n ’dir ve bu parçalar birbirlerinden ayrıktır. İlk bir kaç aşamada elde edilenler Şekil 1’de görülüyor. 0 1 ve C= ∞ \ n=1 Cn = C1 ∩ C2 ∩ · · · . V atılan kümelerin hepsidir; C de elimizde kalan kısımlardır. Tanım gereği, V ∪ C = [0, 1] ve V ∩C =∅ (1) olduğu açıktır. 0 2 3 1 3 0 1 9 2 9 1 3 2 3 1 7 9 8 9 1 Özellik K1. Cantor kümesi, aralığının bir alt kümesidir. [0, 1] kapalı İlk bakışta C ’de bir şey kalmamış gibi görünse de, C boş küme değildir; örneğin 0 ve 1 noktaları C ’dedir; yani V 6= [0, 1]. Hatta, In,k kapalı aralıklarının her birinin uçnoktaları, hep ortadan attığımız için, C ’dedir. Ama sonsuz sayıda In,k aralığı vardır. Şekil 1 Okuyucuya düşen görev, burada ve aşağıda sözü edilen bütün kümeleri şekilde bulmak ve verilen eşitlikleri kontrol etmektir. Bu kümeler arasındaki bazı bağıntıları yazalım: Vn ∪ Cn = Cn−1 Tanım. C ’ye Cantor kümesi adı verilir. (n = 1, 2, 3, . . .) bize bir önceki aşamadaki Cn−1 kümesinin atılan ( Vn ) ve kalan ( Cn ) kısımlardan meydana geldiğini söyler. [0, 1] = C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ C3 ⊃ · · · ise bize n’nci aşamada kalan kısımların, bir önceki aşamada kalan kısımların bir parçası olduğunu belirtir. Dikkatli okurlar, n = 1, 2, 3, . . . ve k = 1, 2, . . . , 2n−1 için Özellik K2. Cantor kümesi sonsuz sayıda nokta içerir. Akla gelebilecek bir soru, C ’de uçnoktalardan başka noktalar da olup olmadığıdır. Bu sorunun cevabını B kısmında K7 özelliğinde vereceğiz. Açık küme diye açık aralıkların sonlu veya sonsuz bileşimlerine diyoruz. Açık kümelerin tümleyenlerine de kapalı kümeler denir. Cn kümelerinin her biri kapalıdır, çünkü sonlu sayıda kapalı aralığın bileşimidir. Vn kümelerinin her biri açıktır, çünkü açık kümelerin bileşimidir. V ise açık kümelerin bileşimi olduğundan açıktır. C kapalı kümelerin kesişimidir; dolayısıyla kapalıdır. Bunu görmenin bir başka yolu da, (1) denklemlerini kullanmaktır. In,2k−1 ∪ Jn,k ∪ In,2k = In−1,k Özellik K3. Cantor kümesi kapalı bir kümedir. eşitliğinin de doğru olduğunu da görmüşlerdir. Bu eşitlik, atılan ve kalan parçaların daha ayrıntılı bir hesabını tutar. Bir diğer nokta da, n arttıkça Vn kümelerinin [0, 1] aralığının daha fazla kısmını kapladıkları, Cn kümelerinin de daha fazla köşeye sıkıştığıdır. Artık atma işlemini elimize geçen her kapalı aralık için yapıp, bu süreci hiç bir sınır tanımadan devam ettirelim; yani n’yi sonsuza gönderelim. O zaman iki yeni kümemiz daha olur: Biraz da elde ettiğimiz kümelerin uzunluklarını hesaplayalım. A kümesinin uzunluğunu m(A) ile gösterelim. Daha önce de söylediğimiz gibi, 1 ≤ k ≤ 2n ve 1 ≤ l ≤ 2n−1 için, V = ∞ [ n=1 V n = V1 ∪ V2 ∪ · · · m(In,k ) = m(Jn,l ) = doğrudur. Bu kümeler ayrık olduğundan, Cn ve Vn ’nin uzunlukları kendilerini meydana getiren eşit uzunluktaki aralıkların uzunluklarının toplamlarıdır. Hesaplarsak, m(Cn ) = 16 1 3n 2n 3n ve m(Vn ) = 2n−1 3n Kaptanoğlu olur. x1 üçte birler, x2 dokuzda birler, x3 yirmi yedide birler, . . . basamağıdır. Bazı sayılar için bu cinsten biri sonlu, diğeri sonsuz iki açılım vardır; örneğin 13 = 0.3 1 = 0.3 0222 · · · ve 2 3 = 0.3 2 = 0.3 111 · · · . Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, x ’in sonlu açılımının son rakamı 2 ise sonlu açılımı, değilse sonsuz açılımı tercih edeceğiz; yani 13 = 0.3 0222 · · · ve 23 = 0.3 2 alacağiz. Ayrıca 0 = 0.3 0 ve 1 = 0.3 222 · · · kullanacağız. Bu kısımdaki bütün açılımlar 3 tabanında olacaktır. buluruz. Vn ’ler de birbirlerinden ayrık olduklarından, m(V ) = m(V1 ) + m(V2 ) + m(V3 ) + · · · ∞ X 1 2 4 2n−1 = + + + ··· = 3 9 27 3n n=1 yazarız. Elde ettiğimiz bu toplam bir sonsuz ge1 ometrik seridir; 2ilk terimi a = 3 ve ortak çarpanı 2 r = 3 ’tür. 3 < 1 olduğundan, bu toplamı aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz: 1 a = 3 2 = 1. 1−r 1− 3 Sonra da m [0, 1] = 1 ve (1)’i kullanarak m(C) = 0 olduğunu görürüz. İddiamız, Cn kümesini meydana getiren her kapalı aralığın sol uçnoktasının açılımının ilk n basamağının yalnız 0 ve 2’lerden ibaret olduğu ve n+1’inci ve sonraki basamakların hepsinin 0 olduğudur. Bu iddiamızı tümevarım ile ispatlayacağız. n = 1 iken, C1 kümesindeki iki aralığın sol uçnoktaları 0 ve 23 ’tür. Önceki paragrafta gösterildiği gibi, birinin ilk basamağı 0, diğerinin 2’dir; ve sonraki basamakları 0’dır. Böylece tümevarımın ilk adımını bitirdik. m(V ) = Özellik sıfırdır. K4. Cantor kümesinin uzunluğu Şimdi α < β ve (α, β) ⊂ [0, 1] olmak üzere bir açık aralık alalım. 31n < β − α olacak şekilde büyük bir n bulabiliriz. O zaman (α, β) aralığı, In,k aralıklarından daha uzun olur ve onların hiç birinin içinde olmaz. Böyle bir aralığın C ’de olmasına imkân yoktur. İkinci olarak, Cn kümesi hakkındaki iddiamızdan, Cn+1 kümesi hakkındaki iddiamızın doğruluğunu elde edelim. Cn ’nin bileşimindeki aralıklardan biri [a, b] = [0.3 a1 a2 · · · , 0.3 b1 b2 · · ·] ise, a1 , . . . , an ’nin 0 ve 2’lerden meydana geldiğini ve 0 = an+1 = an+2 = · · · olduğunu kabul ediyoruz. Cn+1 ’in aralıklarından biri [c, d] = [0.3 c1 c2 · · · , 0.3 d1 d2 · · ·] ise, yukarıdaki [a, b] gibi bir aralığın orta kısmının atılmasıyla ortaya çıkar. Eğer [c, d] sol tarafta kalan kısımsa, c = a’dır. O zaman da yukarıdaki kabul gereği, c1 , . . . , cn+1 ’in 0 ve 2’lerden oluştuğu (özellikle cn+1 = 0) ve 0 = cn+1 = cn+2 = · · · olduğu görülür. Eğer [c, d] sağ tarafta kalan kısımsa, n+1’inci adımda atılan ve kalan aralıkların uzun1 2 lukları 3n+1 olduğundan dolayı, c = a + 3n+1 ’dir. 2 Fakat 3n+1 = 0.3 0 · · · 02’dir ve 2 rakamı n+1’inci 2 basamaktadır. Yani, hem a’nın, hem de 3n+1 ’in n + 2’nci ve sonraki basamakları hep 0’dır (ayrıca an+1 = 0). Bu da cn+1 = 2 ve 0 = cn+2 = cn+3 = · · · verir. Böylece tümevarım sona erdi ve iddiamızın doğruluğunu ispatladık. Özellik K5. Cantor kümesi hiç bir açık aralık içermez. B. Üç Tabanına Göre Yazılım [0, 1] aralığındaki her x sayısı 10 tabanında, yani her zaman kullandığımız sayı sisteminde, 0.x1 x2 x3 · · · şeklinde yazılabilir. Burada xn ’lerin her biri 0, 1, . . . , 8, 9 rakamlarından biridir. x1 onda birler, x2 yüzde birler, x3 binde birler, . . . basamağını gösterdiğinden, bu açılımı ∞ X xn x = 0.x1 x2 x3 · · · = n 10 n=1 şeklinde de yazabiliriz. xn ’ler bir noktadan sonra 9 hep 0 da olabilir, 16 = 0.5625000 · · · = 0.5625 örneğinde olduğu gibi. 1 için 0.999 · · · açılımını kullanırız. Bu konuda çok daha fazla bilgi, bu dergide daha önce çıkan bir yazıdan (cilt:1, sayı:2, sayfa:2-5) elde edilebilir. Aynı tip bir açılımı, xn ’ler için yalnız 0, 1 ve 2 rakamlarını kullanarak, 3 tabanına göre de yapabiliriz. O zaman x = 0.3 x1 x2 x3 . . . = Bu sonucu şöyle kullanacağız: Cn ’nin aralıklarından birine [a, b] = [0.3 a1 · · · an , 0.3 b1 b2 · · ·] dersek, a hakkında iddiamız geçerlidir ve b = a + 31n ’dir. Fakat 1 = 0.3 0 · · · 0222 · · · yazıldığında, 2’lerden 3n önce tam n tane 0 vardır. O zaman da b = 0.3 a1 . . . an + 0.3 0 . . . 0222 · · · = 0.3 a1 · · · an 222 · · · olur. 2 = bn+1 = bn+2 = · · · olduğu da ∞ X xn 3n n=1 17 Kaptanoğlu buradan çıkan bir başka sonuçtur. Kelimelerle tekrarlarsak, [a, b] aralığında a’dan b’ye giderken değişiklik sadece n + 1 ’inci ve sonraki basamaklarda olmaktadır. Başka bir deyişle, x = 0.3 x1 x2 · · · ∈ [a, b] ise, x1 = a1 , . . . , xn = an ’dir. Buradan çıkaracağımız sonuç, Cn ’de alınan her hangi bir x noktasının 3 tabanına göre açılımında ilk n basamağın 0 ve 2’lerden oluştuğudur. n’nci adımda atılan her açık aralığı b, b + 1 şeklinde yazabiliriz. b = 0.3 a1 . . . an 222 · · · 3n açılımında son 0 rakamı k ’nci basamakta olsun; yani ak = 0 ve ak+1 = · · · = an = 2 olsun. Elimizdeki aralıktaki her hangi bir noktayı t = 0.3 t1 t1 · · · ile gösterirsek, tk = 1 olur, çünkü artık k ’nci basamak değişmek zorundadır ve ayrıca aralığın uzunluğu, yukarıda da gösterildiği gibi, sadece n + 1 ’inci ve sonraki basamaklarda değişikliğe izin vermektedir. Örneğin, n = 1 iken, 1 2 , ’te alınan her t sayısının açılımı 0.3 1 · · · 3 3 ile başlamak zorundadır. 0.3 1222 · · · olduğunda bunu 0.3 2 diye yazar ve 23 , 1 ’e girmiş oluruz. Cantor kümesinde alacağımız bir x = 0.3 x1 x2 · · · noktası bütün Cn ’lerin içinde olacaktır. Bu da bize n = 1, 2, . . . için xn = 0 veya xn = 2 olduğunu söyler. Eğer t 6∈ C ise, t bir aşamada atılan açık aralıkların birinde olacağından, t’nin açılımında mutlaka 1 vardır. Şimdi bu ifadeleri birleştirelim: Özellik K6. Cantor kümesi tamı tamına [0, 1] aralığındaki, 3 tabanına göre açılımlarında yalnız 0 ve 2 rakamları bulunan sayılardan oluşur. Bu sonucu kullanarak, Cantor kümesinde In,k aralıklarının uçnoktalarından başka eleman bulunup bulunmadığını görebiliriz. Bu uçnoktaların her biri k ve m negatif olmayan birer tamsayı olmak üzere, 3km şeklinde yazılabilir. 14 ’ün ise böyle yazılamayacağı açıktır. Fakat, ∞ X 1 2 = = 0.3 020202 · · · 4 n=1 32n 1 açılımından görüleceğı gibi, Cantor 4 kümesindendir. Geometrik seri toplamlarını kullanarak, C ’de bu cinsten diğer sayılar bulmayı okuyuculara bırakıyoruz. Özellik K7. Cantor kümesinde In,k kapalı aralıklarının uçnoktalarından başka noktalar da vardır. Bu uçnoktalar gene de C ’nin önemli elemanlarıdır. Verilen bir n için, k 6= l ise, In,k ve 18 In,l birbirlerinden ayrık olduğundan, x ∈ C ise, x bu tip yalnız bir tek aralıktadır. Diyelim ki x ∈ [an , bn ]. Cantor kümesinin elde edilişinden, n arttıkça, an ’lerin arttığını ve bn ’lerin azaldığını anlarız. Üstelik, 1 lim m [an , bn ] = lim (bn − an ) = lim n = 0 n→∞ n→∞ n→∞ 3 olduğundan, x = lim an = lim bn n→∞ n→∞ sonucunu elde ederiz. Bu yöntemi kullanarak, x = 14 ’e yakınsayan dizilerin {a1 , a2 , a3 , a4 , . . .} = {0., 0.3 02, 0.3 0202, 0.3 020202, . . . } ve {b1 , b2 , b3 , . . . } = {0.3 0222 · · · , 0.3 020222 · · · , 0.3 02020222 · · · , . . . } olduğunu görürüz. x uçnoktalardan biri değilse, an ’lerin ve bn ’lerin hiç biri x ’e eşit değildir. Özellik K8. Cantor kümesinin her elemanı, In,k kapalı aralıklarının uçnoktalarından oluşan, biri artan, diğeri azalan iki tekdüze dizinin limitidir. Kapalı ve her noktası, diğer noktalarının bir limiti olarak elde edilebilen kümelere yetkin (veya mükemmel) kümeler denir. Yetkin bir kümenin hiç bir noktası diğerlerinden yalıtık olamaz. Diğer bir deyişle, böyle bir kümenin her noktasının her komşuluğunda gene bu kümeden sonsuz çoklukta nokta vardır. Hatırlanacağı gibi C de kapalı bir kümedir. Özellik K9. Cantor kümesi yetkin bir kümedir. Okuyucuyu (ve de yazarı) tümevarım ispatlarıyla daha fazla sıkmamak için aşağıdaki özelliği ifade etmekle yetineceğiz. Özellik K10. x ∈ C ise, x3 ∈ C ve 32 + x3 ∈ C olur. Ayrıca, y ∈ V ise, y3 ∈ V ve 23 + y3 ∈ V olur. Hatta, y ∈ Jn,k ise, y3 ∈ Jn+1,k ve y 2 n 3 + 3 ∈ Jn+1,2 +k de doğrudur. Bu kısmı C ’nin çok şaşırtıcı bir özelliğiyle kapatalım. Önce bir tanım: C + C = { x + y : x ∈ C, y ∈ C }. Kaptanoğlu z = x + y ∈ C + C ise, z ’nin [0, 2] aralığında olacağı açıktır. Ama z hangi noktalara erişebilir? z= B ’de alacağımız her x noktasına karşılık, (0, 1)’de bir y sayısı bulabiliriz; bu işlemin tersini de yapabiliriz. Verilen bir x ’in 3 tabanında açılımındaki 2’leri 1’lere çeviririz ve yeni sayıyı 2 tabanında okuruz; bu y olur. Örneğın, x = 20 27 = 0.3 202’in karşılığı y = 0.2 101 = 58 ’dir. Daha açık olarak yazarsak, ∞ X xn 3n n=1 ∞ ∞ ∞ X X xn + yn xn X yn + = n n 3 3 3n n=1 n=1 n=1 yazdığımızda, xn ve yn yalnız 0 ve 2 değerlerini alırlar; dolayısıyla, xn + yn ya 0’dır, ya 2’dir, ya da 4’tür. xn + yn = 2zn dersek, zn , 0, 1 veya 2 olmalıdır. O halde noktası ∞ X zn n 3 n=1 sayısına karşılık gelir. Diğer yöndeki gönderimde bu işlemi tersine çeviririz. Kabullenişlerimiz sayesinde, B ’deki her elemanın 3 tabanında ve (0, 1) ’deki her noktanın 2 tabanında tek bir açılımı olduğu için, her iki yöndeki gönderim bire birdir. İlk bakışta (0, 1)’de 0.2 0111 · · · gibi noktalar elde edilmez gibi görünse de, bunlar değişik şekilde de, 0.2 1 gibi, yazılabilirler ve B ’deki 0.3 2 gibi sayılardan elde edilirler. Böylece B ile (0, 1) arasında bire bir eşleme kurmuş olduk. Reel sayılar kümesini R ile gösterelim ve f : (0, 1) → R olmak üzere 2x − 1 f (x) = x ∈ (0, 1) x(1 − x) açılımında [0, 1] aralığındaki her hangi bir sayı çıkabilir. Dolayısıyla z= ∞ ∞ X X 2zn zn = 2 , n n 3 3 n=1 n=1 [0, 2] aralığındaki her hangi bir sayı olabilir. Başka bir deyişle, Cantor kümesi [0, 1] aralığına son derece seyrek dağılmış bir küme olmasına ve hiç bir aralık içermemesine rağmen, iki tanesinin küme toplamı bir aralık edebilmektedir. Özellik K11. C + C = [0, 2]. fonksiyonunu tanımlayalım. Okurlara, f ’nin (0, 1) üzerindeki grafiğini çizmeyi öneriyoruz. C. Cantor Kümesinde Kaç Nokta Vardır? lim f (x) = +∞ B kısmının başında 10 ve 3 tabanı için yaptığımızı şimdi de 2 tabanında yapalım. [0, 1] aralığında aldığımız bir x sayısını, bilgisayarların yaptığı gibi, xn ’ler için yalnızca 0 ve 1 değerlerini kullanarak, x = 0.2 x1 x2 x3 · · · = ∞ ∞ X xn /2 X xn = 2n 2n+1 n=1 n=1 x→1 x∈(0,1) ile lim f (x) = −∞ x→0 x∈(0,1) olduğundan ve f de (0, 1) üzerinde sürekli olduğundan, f ’nin değerleri her gerçel sayıyı alır; yani f örtendir. Ayrıca, 2x2 − 2x + 1 f 0 (x) = x ∈ (0, 1) . (x − x2 )2 ∞ X xn 2n n=1 Paydaki polinomun kökleri karmaşık sayılar olduğundan, polinom (0, 1) üzerinde ya hep eksi, ya da hep artı işaretlidir. f 12 = 21 > 0 olduğundan dolayı, (0, 1) aralığında pay hep pozitif olur. Payda zaten pozitiftir. Dolayısıyla, aralığımızda f (x) > 0’dir. Bu da f ’nin tekdüze artan ve bunun sonucu olarak da bire bir olduğunu verir. Özetlersek, f fonksiyonu (0, 1) ile R arasında bire bir eşlemedir. Böylece B ile R arasında bire bir eşleme kurabileceğimizi gösterdik. Bu, her ikisinin aynı çoklukta elemanı olduğu anlamına gelir. Cantor kümesi B ’den büyüktür, fakat R’nin içindedir. Sonuç olarak, C ile R’nin aynı çoklukta eleman içerdiğini anlarız. şeklinde yazabiliriz. Gene bazı sayıların iki açılımı vardır; 12 = 0.2 1 = 0.2 0111 · · · gibi. 1 = 0.2 111 · · · sayısının birinci cinsten açılımı yoktur. 0’ı da ilgi alanımızdan çıkartalım. Eğer ikinci cinsten açılımları kullanmamayı kabul edersek, (0, 1) açık aralığındaki her sayının bir tek açılımı olur. Bunun faydası, 2 tabanına göre açılımlarda aynı sayıyı iki kere saymamamızdır. Şimdi Cantor kümesinden 0’ı ve 3 tabanındaki açılımlarında bir basamaktan sonra hep 2’ler olan sonsuz çokluktaki noktaları çıkartalım ve kalan noktalara B kümesi diyelim. 2 3 = 0.3 2 ∈ B , fakat 1 = 0.3 222 · · · 6∈ B ve 1 3 = 0.3 0222 · · · 6∈ B olur. 19 Kaptanoğlu Özellik K12. Cantor kümesinde, reel sayılarda olduğu kadar, yani sayılamayacak çoklukta nokta vardır. D. Lebesgue’in Tekil Fonksiyonu Henri Lebesgue (1875–1941), modern integral teorisini başlatan Fransız matematikçisidir. 1902’de yayımladığı doktora tezinde, o zamana dek bilinen integral anlayışını genişleterek integrali, sonsuzluklarla daha iyi iş gören ve limit alma işlemi altında daha iyi davranış gösteren hale getirmiştir. Bugün de matematikte en çok kullandığımız integral, Lebesgue integralidir. Bu kısımda tanımlayacağımız fonksiyon, Cantor kümesi üzerinde ilginç özellikleri olan ve türevinin sonsuz sayıda tekil noktası olan bir fonksiyondur. Cantor kümesini inşa ederken attığımız açık aralıklara değişik isimler vererek başlayalım. Her aşamanın sonunda, o ana kadar attığımız (daha önceki aşamalarda attıklarımız dahil) aralıklara Ln,k diyeceğiz; burada k = 1 , . . . , 2n − 1 değerlerini alır. Örneğin, L1,1 = J1,1 , L2,1 = J2,1 , L2,2 = J1,1 L2,3 = J2,2 , L3,1 = J3,1 , L3,2 = J2,1 , L3,3 = J3,2 , L3,4 = J1,1 , L3,5 = J3,3 , L3,6 = J2,2 , L3,7 = J3,4 , . . . . Böylece her aralığın Ln,k ’ler cinsinden birden fazla ismi olur. Jn,k ’lerin olduğu gibi, Ln,k ’lerin de hepsinin bileşimi V kümesidir: ∞ 2[ −1 [ n V = n=1 k=1 Ln,k . Artık fonksiyonumuzu tanımlayabiliriz: F (x) = k = cn,k 2n V üzerinde (x ∈ Ln,k ) (2) deriz; bu F ’yi her Ln,k aralığı üzerinde sabit yapar. Aslında F her aşamada, daha önceki aşamalarda atılan aralıklar üzerinde tekrar tanımlanmaktadır; ama bu önceki tanımları değiştirmeyecek şekildedir, çünkü, 1 ≤ k ≤ 2n−1 için, Ln+1,2k = Ln,k ve cn+1,2k = cn,k ’dir. F ’nin tanımı gereği V üzerinde artan bir fonksiyon olduğu kolayca görülür; yani x < y ise F (x) ≤ F (y)’dir. Ayrıca, F (0) = 0 ve F (1) = 1 diyelim; şimdi her x ∈ V için, 0 ≤ F (x) ≤ 1 sağlanır. Şekil 2, F ’nin grafiğinin bir kısmını gösteriyor. 20 0 1 9 2 9 1 3 2 3 7 9 8 9 1 Şekil 2 x ∈ Ln−1,k ve y ∈ Ln,k ise, k k−1 1 − n = n 2n 2 2 olur. Ln,k−1 ve Ln,k aralıkları arasında uzunluğu 1 3n olan In,k kapalı aralığı vardır. Bu yüzden, x, y ∈ V ve y −x < 31n ise, x ve y artık n+1’inci ve daha sonraki aşamalardaki açık aralıklardadır; F ’nin artan olma özelliğinden F (y) − F (x) = 1 2n elde ederiz. Bu son eşitsizlikten, x ve y ’nin birbirlerine yaklaştıklarında, F (x) ve F (y)’nin de birbirlerine yaklaştıkları sonucu çıkar. Bu da F ’nin V üzerinde sürekli olduğunu söyler. Biz F fonksiyonunu, artan olma ve süreklilik özelliklerini bozmadan, bütün [0, 1] aralığı üzerinde tanımlamak istiyoruz. Bunun için F ’yi C üzerinde uygun biçimde tanımlamak yeter. Önce In,k aralıklarının uçnoktalarında, bitişik oldukları Ln,k−1 ve Ln,k ’deki değerleri alacak şekilde tanımlayalım F ’yi. Eğer In,k = [a, b] ise, F (y) − F (x) ≤ k k−1 ve F (b) = n (3) n 2 2 olsun. x ∈ C bir uçnokta değilse, K8 özelliğini kullanarak, x ’e yakınsayan tekdüze {an } ve {bn } F (a) = Kaptanoğlu dizilerini buluruz. F artan olduğundan, F (an ) ve F (bn ) dizileri de tekdüzedir. Üstelik F ’nin değerleri alttan 0 ve üstten 1 ile sınırlı olduğundan, bu son iki dizinin limitleri vardır. Limitlere sırasıyla c ve d diyelim. d − c = lim F (bn ) − F (an ) n→∞ k k−1 1 = lim − = lim n = 0 n→∞ 2 n→∞ 2n 2n tanımından dolayı, bu eşitliğin doğru olduğunu sadece In,k ’lerin uçnoktalarında göstermek yeter. Bir kez daha tümevarım kullanacağız. n= 1 halinde, (3)’ten F 13 = 12 ve F 23 = 12 ’dir. Aynı zamanda, geometrik dizi toplamı formülü sayesinde, F ve bize c = d verir ve 0 ≤ c ≤ 1 . x ’e yakınsayan her dizi, {an } ve {bn } dizileri arasında kalmak zorundadır. Böyle bir dizinin F altındaki görüntüsü de c ’ye yakınsar. Artık F (x) = c diye tanımlayabiliriz. Böylece F bütün [0, 1] aralığı üzerinde tanımlanmış olur. Böyle bir tanımın F ’nin artanlığını koruyacağı açıktır. Özellik F1. F fonksiyondur. X X ∞ ∞ 1 2 2 1 =F = = 4 l l+1 3 3 2 1− l=2 l=2 : [0, 1] → [0, 1] artan bir F (a) = F lim g(xn ) = g(x) n→∞ d=a+ eşitliği sağlanıyorsa, g fonksiyonu x noktasında sürekli olur. Yukarıdaki F , V üzerinde sürekliydi. C üzerindeki tanımını da sürekli olacak şekilde yaptık. = n X k−1 al = . l+1 2 2n l=1 n+1 X F (0) = 0 ve F (1) = 1 olduğunu hatırlayalım. F ’nin sürekli olmasını Ara Değer Teoremi ile birleştirirsek, F ’nin 0 ile 1 arasında her değeri aldığını görürüz. l=1 c=a+ ∞ X 1 2 = a + 3n 3l l=n+2 n X al dl 2 1 = + n+2 = F (a) + n+1 2l+1 2l+1 2 2 l=1 k−1 1 2k − 1 + n+1 = n+1 = F (d) 2n 2 2 ve ∞ n ∞ X X X cl al cl = + 2l+1 2l+1 2l+1 Şimdi bu fonksiyonun Cantor kümesi üzerinde aldığı değerlere biraz daha yakından göz atalım. x = 0.3 x1 x2 · · · ∈ C alalım ve K6 özelliğini hatırlayalım. Göstermek istediğimiz xl 3l ve = : [0, 1] → [0, 1] örten bir ∞ X xl = 2l+1 2 3n ortasından olduğundan, 0.3 d1 · · · dn dn+1 = 0.3 a1 · · · an 2 ve 0.3 c1 · · · cn cn+1 cn+2 · · · = 0.3 a1 · · · an 022 · · · olur. (3) ise F (c) = F (d) = 2k−1 2n+1 verir. Fakat Özellik F2. F : [0, 1] → [0, 1] sürekli bir fonksiyondur. l=1 al 3l n + 1’inci aşamada [a, b]’nin Ln+1,2k−1 = (c, d) aralığını atarız. olan her {xn } dizisi için F (x) = F X n l=1 lim xn = x 1 2 2 2 1 F = 2 = 3 2 2 n→∞ X ∞ = olur. (4)’ün, n ’nci aşamadaki bütün kapalı aralıkların uçnoktaları için doğru olduğunu varsayalım. Bunlardan biri In,k = [a, b] olsun. Uçnoktaların 3 tabanındaki açılımlarının nasıl olduğunu B kısmından hatırlayalım. (2)’den ve varsayımımızdan Eğer elimizde bir g fonksiyonu varsa ve Özellik F3. F fonksiyondur. 1 2 l=1 l=1 = F (a) + l=n+2 ∞ X l=n+2 (4) = l=1 eşitliğidir. x = 0 ve x = 1 ’de yapacak bir şey yoktur. K8 özelliğinden ve F ’nin C üzerindeki 2 2l+1 2k − 1 = F (c), 2n+1 (4)’ün doğruluğunu ispatlar. 21 = 1 k−1 2n+2 + 2n 1 − 12 Kaptanoğlu Özellik F4. x = 0.3 x1 x2 · · · Cantor kümesinde ise, ∞ X xn . F (x) = 2n+1 n=1 F ’nin sağladığı bazı denklikleri görelim şimdi de. x ∈ C ise ∞ ∞ 2 x 2 1 X xn 2 X xn + = + + = 3 3 3 3 n=1 3n 3 n=1 3n+1 = ∞ X x2 2 x1 xn + + + ··· = n+1 3 9 27 3 n=0 olur; son ifadede x0 = 2 diye yazdık. Buradan da, K10 ve F4 özelliklerini kullanarak, X ∞ ∞ X x xn xn 2F = 2F = 2 n+1 n+2 3 3 2 n=1 n=1 = ∞ X xn = F (x) 2n+1 n=1 ve 2 x 2F + 3 3 − 1 = 2F =2 = = X ∞ xn n+1 3 n=0 −1 ∞ X xn −1 2n+2 n=0 ∞ X xn −1 2n+1 n=0 ∞ 2F 2 x + 3 3 Z b a g 0 (x) dx = g(b) − g(a) teoremine aykırı gibi görünür. Fakat bu teorem, g ’nin (a, b) aralığının her noktasında (hemen her yerde olması yetmez) türevli olmasını gerektirdiğinden, çelişki yoktur. E. Genel Cantor Kümeleri Yazımızın başlığında birden fazla Cantor kümesindan bahsetmişitk. Son olarak, Cantor kümelerinin genel olarak nasıl elde edilebileceğine kısaca değinelim. Gene [0, 1]’de kapalı aralıkların tam ortasından parçalar atarız; fakat kalan In,k kapalı aralıklarının uzunluklarını 31n yerine tn gibi 0 < 2tn < tn−1 eşitsizliklerini sağlayan sayılardan seçeriz; o zaman atılan Jn,k açık aralıklarının uzunluları rn = tn−1 − 2tn olur. 2n + k −1 2n+1 2n + k 2n = − n 2n 2 k = n = F (x) 2 − 1=2 V Bu eşitsizlik, klâsik 2 X xn + − 1 = F (x) 2 n=1 2n+1 V = 0 · m(V ) = 0 · 1 = 0 < 1 = 1 − 0 = F (1) − F (0). ve Bunlar gibi, bir fonksiyonun bazı noktalardaki değerlerini başka noktalardaki değerleri cinsinden veren denklemlere fonksiyonel denklemler denir. Bu konuda bir yazı bu dergide daha önce (cilt:2, sayı:4, sayfa:22–25) çıkmıştı. Şimdi okuyuculara (ve de o yazının yazarına) bir kaç sorumuz var: F5 özelliğindeki denklemleri sağlayan ve F ’nin bazı özelliklerine sahip F ’den başka fonksiyon bulunabilir mi? F ’nin başka hangi özellikleri (sürekli, artan, örten, . . . ) çözümün sadece F olmasını sağlar? Fonksiyonumuz V ’nin her bir parçasında sabit değerli ve m(V ) = 1 olduğundan, [0, 1] üzerinde hemen her yerde, yani uzunluğu 0 olan bir parça dışında, F ’nin türevi F 0 (x) = 0 olur. Böyle fonksiyonlara tekil fonksiyon diyoruz. Bu bize F ’nin yalnız C üzerinde arttığını söyler. R1 m(C) = 0 nedeniyle, 0 F 0 (x) dx integralini, sadece V üzerinde integral alarak hesaplayabiliriz; tabii Lebesgue integrali kullanarak. Z 1 Z Z 0 0 F (x) dx = F (x) dx = 0 dx 0 özdeşliklerini elde ederiz. x ∈ Jn,k ⊂ V ise, K10 özelliğini ve (2)’yi kullanarak, x k k 2F = 2 n+2 = n+1 = F (x) 3 2 2 Özellik F5. Lebesgue fonksiyonu, x ∈ [0, 1] için, aşağıdaki denklikleri sağlar: 2 x x = F (x) ve 2F + −1 = F (x). 2F 3 3 3 olduğunu görürüz. 22 Kaptanoğlu Örneğin, I1,1 = [0, t1 ], I1,2 = [1 − t1 , 1] ve J1,1 = (t1 , 1−t1 ); I2,1 = [0, t2 ], I2,2 = [t1 −t2 , t1 ], I2,3 = [1 − t1 , 1 − t1 + t2 ] , I2,4 = [1 − t2 , 1] ve J2,1 = (t2 , t1 − t2 ), J2,2 = (1 − t1 + t2 , 1 − t2 ) ; . . . . Cn , C , Vn ve V ’nin de tanımları aynı kalır. Uzunlukları önceki gibi hesaplarız; (Cn ) = 2n tn ve m(Vn ) = 2n−1 rn buluruz. O zaman F. Kaynakça m(V ) = lim 2n−1 rn = 1 − m(C) Bu yazıda anlattıklarımız, genellikle üniversitelerin matematik bölümlerinde 4. sınıfta veya yüksek lisansta okunan ve Lebesgue integrali kullanan Reel Analiz derslerinin konusudur. Bu konuda daha fazla bilgi edinmek isteyenler böyle bir ders kitabına başvurabilirler. Biz, İngilizce olmalarına rağmen, nispeten daha fazla bilgi veren 3 tanesini önereceğiz. Aşağıdaki kitapların ilki, genel Cantor kümeleri için, üçüncüsü ise, Lebesgue tekil fonksiyonun değişik bir tanımı için faydalıdır. olur; yukarıda tn ’ler üzerine koyduğumuz şarttan dolayı bu limitler vardır. Tabii artık m(C) = 0 olması gerekmez. Hatta, bir 0 ≤ s < 1 alıp, K. R. Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth, Belmont, 1981. m(C) = lim 2n tn n→∞ ve n→∞ tn = s 1−s + n n 2 3 I. P. Natanson, Theory of Functions of a Real Variable, Frederick Ungar, New York, 1955. seçerek m(C) = s olmasını sağlayabiliriz. Özellik K13. Genel bir Cantor kümesi, basit Cantor kümesinin K1, K2, K3, K7, K9, K11 ve K12 özelliklerini paylaşır. Ayrıca uzunluğu 0 ile 1 arasındaki her hangi bir değeri alabilir. W. 23 Rudin, Real and Complex McGraw-Hill, New York, 1974. Analysis,
Benzer belgeler
Bilgisayarlı Gör¨u Yöntemleriyle S¨ur¨uc¨ude Uykululu˘gun Sezimi
Bir sonraki analizimizde, zamandaki pencere uzunluğunun
performansa olan etkilerini inceledik. Bu analiz için beş
öznitelikli model kullanıldı. Bu 5 öznitelikli modelde MLR
çıktısı, N uzunlug...
Olasılık ve˙Istatistik
matematiksel anlamda bir olayın gerçekleşebilme durumunu gösteren sayı (0 ile 1
arasında) anlaşılır. Burada 0 imkansız olay, 1 kesin olay anlamındadır.
Veri analizinde istatistik, sonuçların y...
Tüm dersler
X ∗ diyelim, yani:
X ∗ = {g −1 (z)|z ∈ Z}.
p : X → X ∗ bariz izdüşüm gönderimi olsun. X ∗ üzerine bölüm topolojisi
konmuş olsun. Bu durumda g gönderimi birebir örten sürekli bir f : X ∗ ...
Reel izdüşümsel doğru ve düzlem
biçimde küçültülebilir. Böylece elde edilen U1 = Ux ∪ −Ux ve U2 = Uy ∪ −Uy
kümeleri açıktır dolayısıyla [Ux ] ve [Uy ] kümeleri tanım gereği RP n ’de açıktır,
birbirlerinden ayrıktır ve ...
Ali Nesin Analiz I
Önsöz
En az dört ciltten oluşacak olan bu analiz serisi, 1995’ten beri İstanbul Bilgi
Üniversitesi’nde birinci sınıf matematik öğrencilerine verdiğim analiz derslerinden ve daha sonra Mat...