docDiferansiyel Denklemler - Çankırı Karatekin Üniversitesi
download 
Şikayet Transkript
Diferansiyel Denklemler - Çankırı Karatekin Üniversitesi
Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar I Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Diferansiyel Denklemler (Adi Diferansiyel Denklemler) Tanım Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Diferansiyel Denklemler (Adi Diferansiyel Denklemler) Tanım Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Tanım Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Diferansiyel Denklemler (Adi Diferansiyel Denklemler) Tanım Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Tanım Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Diferansiyel Denklem anlamında kullanılacaktır. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Diferansiyel Denklemler (Adi Diferansiyel Denklemler) Tanım Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Tanım Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Diferansiyel Denklem anlamında kullanılacaktır. Tanım n. inci merteben lineer diferansiyel denklem Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Diferansiyel Denklemler (Adi Diferansiyel Denklemler) Tanım Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Tanım Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Diferansiyel Denklem anlamında kullanılacaktır. Tanım n. inci merteben lineer diferansiyel denklem, y bağımlı ve x bağımsız değişkeni ile a0 6= 0 olmak üzere; Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Diferansiyel Denklemler Diferansiyel Denklemler (Adi Diferansiyel Denklemler) Dr. Alper KORKMAZ Tanım Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Tanım Bağımlı ve bağımsız değişkeni tek olan diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem denir. Bu ders süresinde Diferensiyel Denklem ifadesi Adi Diferansiyel Denklem anlamında kullanılacaktır. Tanım n. inci merteben lineer diferansiyel denklem, y bağımlı ve x bağımsız değişkeni ile a0 6= 0 olmak üzere; a0 (x) biçimindedir. dny d n−1 y dy + a1 (x) n−1 + ... + an−1 (x) + an (x)y = b(x) n dx dx dx (1) Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Tanım Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Dr. Alper KORKMAZ Tanım Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y ) dx (2) biçiminde yazılabilirdir. I Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Dr. Alper KORKMAZ Tanım Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y ) dx (2) biçiminde yazılabilirdir. I Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Tanım Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Dr. Alper KORKMAZ Tanım Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y ) dx (2) biçiminde yazılabilirdir. I Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Tanım Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır. Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Dr. Alper KORKMAZ Tanım Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y ) dx (2) biçiminde yazılabilirdir. I Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Tanım Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır. Tanım Bir diferansiyel denklemin çözümü y = f (x) biçiminde ifade edilebiliyorsa Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Dr. Alper KORKMAZ Tanım Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y ) dx (2) biçiminde yazılabilirdir. I Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Tanım Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır. Tanım Bir diferansiyel denklemin çözümü y = f (x) biçiminde ifade edilebiliyorsaaçık çözüm, F (x, y ) = 0 ile ifade edilebiliyorsa Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Dr. Alper KORKMAZ Tanım Basit formda y bağımlı x bağımsız değişkenleri ile birinci mertebeden diferansiyel denklem; dy = f (x, y ) dx (2) biçiminde yazılabilirdir. I Bu formda yazılan diferansiyel denklemler lineer olmak zorunda değildir. Tanım Bir diferansiyel denklemde kendisi ve türevleri yerine yazıldığında diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan, I aralığında tanımlı bir y = F (x) fonksiyonuna diferansiyel denklemin çözümü denir. y = F (x) fonksiyonunun grafiği integral eğrisi adını alır. Tanım Bir diferansiyel denklemin çözümü y = f (x) biçiminde ifade edilebiliyorsaaçık çözüm, F (x, y ) = 0 ile ifade edilebiliyorsa kapalı çözüm adını alır. Birinci Mertebe Denklem Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek y = xe x fonksiyonu, (−∞, ∞) aralığında y 00 − 2y 0 + y = 0 denkleminin çözümüdür. ∀x ∈ R için, Birinci Mertebe Denklem Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek y = xe x fonksiyonu, (−∞, ∞) aralığında y 00 − 2y 0 + y = 0 denkleminin çözümüdür. ∀x ∈ R için, y 0 = xe x + e x Birinci Mertebe Denklem Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek y = xe x fonksiyonu, (−∞, ∞) aralığında y 00 − 2y 0 + y = 0 denkleminin çözümüdür. ∀x ∈ R için, y 0 = xe x + e x ve y 00 = xe x + 2e x Birinci Mertebe Denklem Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek y = xe x fonksiyonu, (−∞, ∞) aralığında y 00 − 2y 0 + y = 0 denkleminin çözümüdür. ∀x ∈ R için, y 0 = xe x + e x ve y 00 = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa Birinci Mertebe Denklem Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek y = xe x fonksiyonu, (−∞, ∞) aralığında y 00 − 2y 0 + y = 0 denkleminin çözümüdür. ∀x ∈ R için, y 0 = xe x + e x ve y 00 = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 00 − 2y 0 + y = (xe x + 2e x ) − 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 Birinci Mertebe Denklem Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek y = xe x fonksiyonu, (−∞, ∞) aralığında y 00 − 2y 0 + y = 0 denkleminin çözümüdür. ∀x ∈ R için, y 0 = xe x + e x ve y 00 = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 00 − 2y 0 + y = (xe x + 2e x ) − 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 denklemi özdeş olarak sağlar. Örnek dy dx = 2x denkleminin çözümü nedir? Çözüm: Birinci Mertebe Denklem Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek y = xe x fonksiyonu, (−∞, ∞) aralığında y 00 − 2y 0 + y = 0 denkleminin çözümüdür. ∀x ∈ R için, y 0 = xe x + e x ve y 00 = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 00 − 2y 0 + y = (xe x + 2e x ) − 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 denklemi özdeş olarak sağlar. Örnek dy = 2x denkleminin çözümü nedir? Çözüm: Rdx R dy = 2xdx ⇒ y (x) = x 2 + c , c sabit Birinci Mertebe Denklem Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek y = xe x fonksiyonu, (−∞, ∞) aralığında y 00 − 2y 0 + y = 0 denkleminin çözümüdür. ∀x ∈ R için, y 0 = xe x + e x ve y 00 = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 00 − 2y 0 + y = (xe x + 2e x ) − 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 denklemi özdeş olarak sağlar. Örnek dy = 2x denkleminin çözümü nedir? Çözüm: Rdx R dy = 2xdx ⇒ y (x) = x 2 + c , c sabit Bu çözüm ne ifade eder? Birinci Mertebe Denklem Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek y = xe x fonksiyonu, (−∞, ∞) aralığında y 00 − 2y 0 + y = 0 denkleminin çözümüdür. ∀x ∈ R için, y 0 = xe x + e x ve y 00 = xe x + 2e x denklemde yerine yazılırsa y 00 − 2y 0 + y = (xe x + 2e x ) − 2(xe x + e x ) + (xe x ) = 0 denklemi özdeş olarak sağlar. Örnek dy = 2x denkleminin çözümü nedir? Çözüm: Rdx R dy = 2xdx ⇒ y (x) = x 2 + c , c sabit Bu çözüm ne ifade eder? Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Farklı c değerleri için y (x) = x 2 + c y 6 4 2 −4 −3 −2 −1 1 −2 −4 −6 2 3 x Diferansiyel Denklemler Çözüm Çeşitleri Dr. Alper KORKMAZ Tanım c1 , c2 , ..., cn birbirinden bağımsız keyfi sabitler ile F (x, y , c1 , c2 , ..., cn ) bağıntısı ile tanımlanan n parametreli bir fonksiyon ailesi f (x, y , y 0 , y 00 , ..., y (n) ) = 0 eşitliği ile verilen bir diferansiyel denklemi çözüyorsa, bu çözüm genel çözüm olarak adlandırılır. Diferansiyel Denklemler Çözüm Çeşitleri Dr. Alper KORKMAZ Tanım c1 , c2 , ..., cn birbirinden bağımsız keyfi sabitler ile F (x, y , c1 , c2 , ..., cn ) bağıntısı ile tanımlanan n parametreli bir fonksiyon ailesi f (x, y , y 0 , y 00 , ..., y (n) ) = 0 eşitliği ile verilen bir diferansiyel denklemi çözüyorsa, bu çözüm genel çözüm olarak adlandırılır. Tanım c1 , c2 , ..., cn keyfı̂ sabitlerine keyfı̂ değerler verilerek genel çözümden üretilen her bir çözüme özel çözüm denir. Diferansiyel Denklemler Çözüm Çeşitleri Dr. Alper KORKMAZ Tanım c1 , c2 , ..., cn birbirinden bağımsız keyfi sabitler ile F (x, y , c1 , c2 , ..., cn ) bağıntısı ile tanımlanan n parametreli bir fonksiyon ailesi f (x, y , y 0 , y 00 , ..., y (n) ) = 0 eşitliği ile verilen bir diferansiyel denklemi çözüyorsa, bu çözüm genel çözüm olarak adlandırılır. Tanım c1 , c2 , ..., cn keyfı̂ sabitlerine keyfı̂ değerler verilerek genel çözümden üretilen her bir çözüme özel çözüm denir. Tanım Genel çözümdeki c1 , c2 , ..., cn keyfı̂ sabitlerine keyfı̂ değerler verilerek bulunamayan ancak denklemi sağlayan çözümlere singüler(tekil) çözüm denir. Birinci Mertebe Denklemlerde Başlangıç Değer Problemi (BDP) Tanım dy = f (x, y ) dx (3) diferansiyel denkleminde f , bir D düzleminde x ve y değişkenlerinin sürekli bir fonksiyonu ve (x0 , y0 ) ∈ D olmak üzere; (3) diferansiyel denklemi ile y (x0 ) = y0 koşulunun birleştirilmesi ile kurulan probleme birinci mertebeden diferansiyel denklemin başlangıç değer problemi denir. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Birinci Mertebe Denklemlerde Başlangıç Değer Problemi (BDP) Tanım dy = f (x, y ) dx (3) diferansiyel denkleminde f , bir D düzleminde x ve y değişkenlerinin sürekli bir fonksiyonu ve (x0 , y0 ) ∈ D olmak üzere; (3) diferansiyel denklemi ile y (x0 ) = y0 koşulunun birleştirilmesi ile kurulan probleme birinci mertebeden diferansiyel denklemin başlangıç değer problemi denir. Başlangıç değer probleminin çözümü, genel çözümdeki keyfı̂ sabitlerin bulunabilmesi ile TEK olarak bulunabilir. Başlangıç değer problemlerde çözümün tekliği için VARLIK ve TEKLİK teoremi sağlanmalıdır. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Birinci Mertebe Denklemlerde Başlangıç Değer Problemi (BDP) Tanım dy = f (x, y ) dx (3) diferansiyel denkleminde f , bir D düzleminde x ve y değişkenlerinin sürekli bir fonksiyonu ve (x0 , y0 ) ∈ D olmak üzere; (3) diferansiyel denklemi ile y (x0 ) = y0 koşulunun birleştirilmesi ile kurulan probleme birinci mertebeden diferansiyel denklemin başlangıç değer problemi denir. Başlangıç değer probleminin çözümü, genel çözümdeki keyfı̂ sabitlerin bulunabilmesi ile TEK olarak bulunabilir. Başlangıç değer problemlerde çözümün tekliği için VARLIK ve TEKLİK teoremi sağlanmalıdır. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Yüksek Mertebeden Denklemler için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Tanım Yüksek Mertebe Denklemlerde Başlangıç Değer Problemi: Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Yüksek Mertebeden Denklemler için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Tanım Yüksek Mertebe Denklemlerde Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y , y 0 , ..., y (n−2) , y (n−1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , ..., y (n−1) (x0 ) = yn−1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Yüksek Mertebeden Denklemler için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Tanım Yüksek Mertebe Denklemlerde Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y , y 0 , ..., y (n−2) , y (n−1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , ..., y (n−1) (x0 ) = yn−1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. I n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfı̂ sabit içerir. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Yüksek Mertebeden Denklemler için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Tanım Yüksek Mertebe Denklemlerde Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y , y 0 , ..., y (n−2) , y (n−1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , ..., y (n−1) (x0 ) = yn−1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. I n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfı̂ sabit içerir. I n tane keyfı̂ sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Yüksek Mertebeden Denklemler için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Tanım Yüksek Mertebe Denklemlerde Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y , y 0 , ..., y (n−2) , y (n−1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , ..., y (n−1) (x0 ) = yn−1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. I n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfı̂ sabit içerir. I n tane keyfı̂ sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir. I n tane koşul tek noktada verilirse, problem başlangıç değer problemi olur. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Yüksek Mertebeden Denklemler için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Tanım Yüksek Mertebe Denklemlerde Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y , y 0 , ..., y (n−2) , y (n−1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , ..., y (n−1) (x0 ) = yn−1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. I n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfı̂ sabit içerir. I n tane keyfı̂ sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir. I n tane koşul tek noktada verilirse, problem başlangıç değer problemi olur. I n tane koşul farklı noktalarda verildiğinde probleme sınır değer problemi (SDP) denir. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Yüksek Mertebeden Denklemler için Başlangıç Değer Problemi (BDP) Tanım Yüksek Mertebe Denklemlerde Başlangıç Değer Problemi: y (n) = f (x, y , y 0 , ..., y (n−2) , y (n−1) ) formunda yazılan n. mertebeden diferansiyle denklemi ve y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , ..., y (n−1) (x0 ) = yn−1 koşulları ile kurulan probleme yüksek mertebeli denklem için başlangıç değer problemi denir. I n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n tane keyfı̂ sabit içerir. I n tane keyfı̂ sabiti bulmak için n tane koşul gereklidir. I n tane koşul tek noktada verilirse, problem başlangıç değer problemi olur. I n tane koşul farklı noktalarda verildiğinde probleme sınır değer problemi (SDP) denir. I Birinci mertebe denklemlerde bir tane koşul bulunduğundan, sınır değer problemi kavramı yoktur. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ BDP - SDP Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? BDP - SDP Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? I Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. BDP - SDP Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? I Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. I Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır. BDP - SDP Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? I Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. I Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır. Birinci mertebeden başlangıç değer probleminin matematiksel gösterimi; Diferansiyel Denklemler BDP - SDP Dr. Alper KORKMAZ Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? I Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. I Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır. Birinci mertebeden başlangıç değer probleminin matematiksel gösterimi; Örnek dy = 2x dx y (1) = 4 Diferansiyel Denklemler BDP - SDP Dr. Alper KORKMAZ Örnek dy = 2x diferansiyel denkleminin x = 1 noktasında 4 değerini alan problemin dx çözümü nedir? I Bu problem, birinci mertebe diferansiyel denklem ve bir koşul içeren bir problemdir. I Problemin çözümü hem diferansiyel denklemi sağlamalıdır, hem de x = 1 noktasında 4 değerini almalıdır. Birinci mertebeden başlangıç değer probleminin matematiksel gösterimi; Örnek dy = 2x dx y (1) = 4 biçimindedir. Çözüm I dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfı̂ sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Çözüm I dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfı̂ sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir. I Bu çözümde c keyfı̂ bir sabittir ve ek bir koşul olmadığı sürece denklemin genel çözümüdür. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Çözüm I Diferansiyel Denklemler dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfı̂ sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir. I Bu çözümde c keyfı̂ bir sabittir ve ek bir koşul olmadığı sürece denklemin genel çözümüdür. I Bu ailenin y (1) = 4 koşulunu sağlayan tek çözümü; 4 = 12 + c ⇒ c = 3 ile y = x 2 + 3 olarak bulunur. Dr. Alper KORKMAZ Çözüm I Diferansiyel Denklemler dy = 2x denkleminin genel çözümü tek parametreli çözümler ailesi dx olarak, c keyfı̂ sabiti ile y = x 2 + c biçimindedir. I Bu çözümde c keyfı̂ bir sabittir ve ek bir koşul olmadığı sürece denklemin genel çözümüdür. I Bu ailenin y (1) = 4 koşulunu sağlayan tek çözümü; 4 = 12 + c ⇒ c = 3 ile y = x 2 + 3 olarak bulunur. Koşulun geometrik anlamı incelenirse; y 6 4 2 −4 −3 −2 −1 1 −2 2 3 4x Dr. Alper KORKMAZ Tanım Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Tanım Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tanım Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Tanım Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tanım Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Tanım Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tanım Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. İkinci mertebeden denklem için sınır değer problemine literatürde iki noktalı sınır değer problemi denir. Örnek d 2y + xy = 0 dx 2 y (1) = 3 y 0 (1) = 2 Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Tanım Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tanım Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. İkinci mertebeden denklem için sınır değer problemine literatürde iki noktalı sınır değer problemi denir. Örnek d 2y + xy = 0 dx 2 y (1) = 3 y 0 (1) = 2 problemi bir başlangıç değer problemi iken; Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Tanım Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tanım Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. İkinci mertebeden denklem için sınır değer problemine literatürde iki noktalı sınır değer problemi denir. Örnek d 2y + xy = 0 dx 2 y (1) = 3 y 0 (1) = 2 problemi bir başlangıç değer problemi iken; Örnek d 2y + xy = 0 dx 2 y (0) = 1 y 0 (π) = 5 Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Tanım Yüksek mertebeden denklemlerde de tek çözümlerin varlığı verilen koşullara bağlıdır. Bu koşullara tamamlayıcı koşullar denir. Tanım Tamamlayıcı koşullar tek x noktasında verildiğinde problem başlangıç değer problemi adınır alırken; koşullar birden fazla noktada verildiğinde problem sınır değer problemi adını alır. İkinci mertebeden denklem için sınır değer problemine literatürde iki noktalı sınır değer problemi denir. Örnek d 2y + xy = 0 dx 2 y (1) = 3 y 0 (1) = 2 problemi bir başlangıç değer problemi iken; Örnek d 2y + xy = 0 dx 2 y (0) = 1 y 0 (π) = 5 Diferansiyel Denklemler Dr. Alper KORKMAZ Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Dr. Alper KORKMAZ Teorem dy = f (x, y ) dx (4) Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Dr. Alper KORKMAZ Teorem dy = f (x, y ) dx denkleminde f (x, y ) fonksiyonu i f (x, y ) fonksiyonu xy düzleminin bir D bölgesinde sürekli bir fonksiyon olsun. (4) Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Dr. Alper KORKMAZ Teorem dy = f (x, y ) dx (4) denkleminde f (x, y ) fonksiyonu i f (x, y ) fonksiyonu xy düzleminin bir D bölgesinde sürekli bir fonksiyon olsun. ∂f ii f (x, y ) fonksiyonunun y değişkeni için kısmı̂ türevi , (x0 , y0 ) noktasını ∂y da içine alan D bölgesinde sürekli olsun. Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebe Denklem için Varlık-Teklik Teoremi Dr. Alper KORKMAZ Teorem dy = f (x, y ) dx (4) denkleminde f (x, y ) fonksiyonu i f (x, y ) fonksiyonu xy düzleminin bir D bölgesinde sürekli bir fonksiyon olsun. ∂f ii f (x, y ) fonksiyonunun y değişkeni için kısmı̂ türevi , (x0 , y0 ) noktasını ∂y da içine alan D bölgesinde sürekli olsun. Sonuç (4) denkleminin yeterince küçük bir h için |x − x0 | ≤ h aralığında tanımlı Φ(x0 ) = y0 koşulunu sağlayan Φ çözümü tektir. (5)
Benzer belgeler
mahmutlar
hak66
MÜHEND˙ISL˙IK FAKÜLTES˙I K˙IMYA MÜHEND˙ISL˙I˘G˙I BÖLÜMÜ
alan¬n¬bulunuz.
Çözüm. x_ = 3t ve y_ = 4t dir.
Soru 5.
Sponsorlar Bağışçılar
Efe Deliktaş
Efe Levent Deliktaş
Eğitim Reformu Girişimi
Eko Elektronik Koruma
Ekol Gümrük Müş ve Tic.
Ekol Lojistik AŞ
Elastogran Poliüretan San.ve Tic.
Elçin Önder
Elif Hakarar Kızılkaya
Elif İnc...
Jeodezik Astronomi Ders Notları
Astronomi doğa bilimlerinin uygulama bulduğu ilk alan kabul
edilir. İnsanoğlunun astronomiye olan ilgisi zaman ve takvim
bilgisine duyulan gereksinim nedeniyle başlamıştır. Günümüzde
de du...