PDF PRIME NUMBERS-Yusuf Aydemir

a1 , a2
BİN YILLIK ASALLARIN DİZİLİM KURALLARI
ÖZET:
“Asırlardır asal sayılar üzerinde birçok teorem ortaya atılmış, asal sayıların bulunması
için çeşitli formüller üretilmeye çalışılmıştır. Fakat bunların hepsinin yanlış olduğu
kanıtlanmıştır. Günümüzde asal sayıları veren bir matematik formülü bulunmamaktadır.”
tr.wikipedia.org
Asal sayıların dağılımı nedir ? Asallar belli bir kurala göre mi ilerliyorlar? Peki bir
dağılım/dizilim kuralı bulunamıyorsa bu dağılım rasgele mi (random) mudur ? Aradan 2300
veya daha fazla yıl geçmesine rağmen bu paragraftaki sorunun cevabı hala bilinmiyor.
www.genbilim.com
Bu çalışma asal sayıların bir dizilim kuralının olduğunu dağılımın rasgele olmadığını, asal
sayıların, asal sayı yakalama sütunu ve asal sayı üreteç satırı adını verdiğim iki yöntemle iki
farklı şekilde sırayla ve eksiksiz bir şekilde bulunabileceğini gösterecektir.
AMAÇ:
Formül ağı ile asal sayı dünyasına ulaşım hedeflenmektedir. Asal sayılar konusuna ışık
tutabilecek verilerin paylaşılması matematik dünyasına faydalı olacaktır .Asal sayıları sırayla
dikey ve yatay bir şekilde veren satır ve sütunlar öğrencilere de öğretilebilir. Ayrıca asal
sayıları bulmada, bilgisayar programlarında kullanılan algoritmalar çeşit itibariyle çok
sınırlıdır.Bu yöntem çok az sayıda olan bu algoritmalara bir yenisini ekleyebilecek veriler
içermektedir.
Anahtar Kelimeler: Asal sayı formülleri, Algorithm of prime numbers , Asal sütun, Asal satır,
Asallıkta özgün algoritma
GİRİŞ:
k1  Z  ve a1  2 ve a2  3 asal sayı olmak üzere
2k1 (k1  1) asal sayı olamaz. Çünkü 2‟ nin katları 2‟ ye bölünür.
2k1  1 „in asal sayı olma ihtimali vardır.
Her asal sayı tek sayıdır,yani 2k1  1 şeklinde yazılabilir ama belirli şartları taşımalıdır.
Oluşturacağım formül ağı a1  2 „yi 1. asal sayı , a2  3 „ü 2. asal sayı olduğunu
kabul edip an „yi yani n. asal sayının kaç olduğunu ve bu asal sayıya kadar olan bütün asal
sayıları bulmamızı sağlayacaktır. ( n  Z  )
Aşağıya yazdığım şartları sağlayan 2k1  1 formatındaki sayılar, an2 „lerin bulunduğu
asal sayı üreteç satırları hariç asal sayıların küçükten büyüğe sütun halinde dizilimini
vereceğinden kısaca adına asal sayı yakalama sütunu diyelim. Bunun yanında asal sayıları
satır olarak da bulabiliriz. Bu satırlara da şart satırları diyelim.
Bulduğumuz bir an sayısını bir sonraki an1 sayısını bulmak için şart satırına ekleyip
daha büyük asal sayıları bulmada adım adım kullanacağız . Yani satırlar sütunları , sütunlar da
satırlardaki sayıları etkileyip asal sayıları oluşturacaktır.
MATERYAL VE YÖNTEM
Sırayla asal sayılar bulunmak istenildiğinde k1 yerine yazılabilecek sayılar en küçük
uygun tamsayıdan itibaren sırayla artırılır. ( k1  Z  )
2k1  1 asal ise 3 „ün katı olamaz .
1. Şart Satırı : 2k1  1  3k2
(k2  Z  )  2k1  1  a32 olana kadar sonuçeksiksiz asallarıverir.
(a1k1  1  a2k2 )

Ayrıca a3 3.asal sayıdır .
ASAL SAYI
2k1  1

k1  2 için
k1  3 için
k1  5 için
k1  6 için
k1  8 için
k1  9 için
k1  11 için
Asal sayı üreteç satırları
  k1  12 için
YAKALAMA SÜTUNU

5  a3
7  a4
11  a5
13  a6
17  a7
19  a8
Asal sayıüreteç satırı
23  a9 

25  a32 
a3  Z  a3  25  5
sütuna dahil edilmez.
k1  4 olamaz. Çünkü k1  4 olsaydı sayı 9 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  7 olamaz. Çünkü k1  7 olsaydı sayı 15 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  10 olamaz. Çünkü k1  10 olsaydı sayı 21 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
a1  2 ve a2  3 ten sonraki 3. asal sayı a3 ‟tür. a3 bulunduktan sonra yeni şart satırı
oluşturulur ve k1 yerine en son k1 için verilen değerden devam etmek üzere uygun tam sayılar
artırılarak verilmeye devam edilir.
2. Şart Satırı : 2k1  1  3k2  5k3 (k3  Z  )  2k1  1  a42 olanakadar sonuçeksiksiz asallarıverir.
(a1k1  1  a2k2  a3k3 )

Ayrıca a4 4. asal sayıdır .
k1 14 için 29  a10
k1  15 için 31  a11
k1  18 için 37  a12
k1  20 için 41  a13
k1  21 için 43  a14 Asal sayıüreteç satırı
k1  23 için 47  a15 

Asal sayı üreteç satırları
  k1  24 için 49  a42 
a4  Z  a4  49  7
sütuna dahil edilmez.
k1  13 olamaz. Çünkü k1  13 olsaydı sayı 27 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  16 olamaz. Çünkü k1  16 olsaydı sayı 33 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  17 olamaz. Çünkü k1  17 olsaydı sayı 35 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 5‟in katı
olmama şartına uymaz.
k1  19 olamaz. Çünkü k1  19 olsaydı sayı 39 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  22 olamaz. Çünkü k1  22 olsaydı sayı 45 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 5‟in katı
olmama şartına uymaz.
4.asal sayı a4 „tür. a4 bulunduktan sonra 3. şart satırı oluşturulur.
3. Şart Satırı : 2k1  1  3k2  5k3  7k4
(k4  Z  )  2k1  1  a52 olana kadar sonuçeksiksiz asallarıverir.
(a1k1  1  a2k2  a3k3  a4k4 )

k1  26 için
k1  29 için
k1  30 için
k1  33 için
k1  35 için
k1  36 için
k1  39 için
k1  41 için
k1  44 için
k1  48 için
k1  50 için
k1  51 için
k1  53 için
k1  54 için
k1  56 için
Asal sayı üreteç satırları
Ayrıca a5 5. asal sayıdır .
53  a16
59  a17
61  a18
67  a19
71  a20
73  a21
79  a22
83  a23
89  a24
97  a25
101  a26
103  a27
107  a28
109  a29
113  a30 Asal sayıüreteç satırı

  k1  60 için 121  a5 
2
a5  Z


a5  121  11
sütuna dahil edilmez.
k1  25 olamaz. Çünkü k1  25 olsaydı sayı 51 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  27 olamaz. Çünkü k1  27 olsaydı sayı 55 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 5‟in katı
olmama şartına uymaz.
k1  28 olamaz. Çünkü k1  28 olsaydı sayı 57 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  31 olamaz. Çünkü k1  31 olsaydı sayı 63 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  32 olamaz. Çünkü k1  32 olsaydı sayı 65 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 5‟in katı
olmama şartına uymaz.
k1  34 olamaz. Çünkü k1  34 olsaydı sayı 69 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  37 olamaz. Çünkü k1  37 olsaydı sayı 75 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 5‟in katı
olmama şartına uymaz.
k1  38 olamaz. Çünkü k1  38 olsaydı sayı 77 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 7‟nin katı
olmama şartına uymaz.
k1  40 olamaz. Çünkü k1  40 olsaydı sayı 81 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  42 olamaz. Çünkü k1  42 olsaydı sayı 85 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 5‟in katı
olmama şartına uymaz.
k1  43 olamaz. Çünkü k1  43 olsaydı sayı 87 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  45 olamaz. Çünkü k1  45 olsaydı sayı 91 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 7‟nin katı
olmama şartına uymaz.
k1  46 olamaz. Çünkü k1  46 olsaydı sayı 93 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  47 olamaz. Çünkü k1  47 olsaydı sayı 95 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 5‟in katı
olmama şartına uymaz.
k1  49 olamaz. Çünkü k1  49 olsaydı sayı 99 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  52 olamaz. Çünkü k1  52 olsaydı sayı 105 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün veya
5‟in veya 7 „nin katı olmama şartına uymaz.(en az 1 tane şarta aykırı durum sayının asal
olmadığını düşünüp ilerlememiz için yeterlidir.)
k1  55 olamaz. Çünkü k1  55 olsaydı sayı 111 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  57 olamaz. Çünkü k1  57 olsaydı sayı 115 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 5‟in katı
olmama şartına uymaz.
k1  58 olamaz. Çünkü k1  58 olsaydı sayı 117 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 3‟ün katı
olmama şartına uymaz.
k1  59 olamaz. Çünkü k1  59 olsaydı sayı 119 olurdu.Bu sayı da şart satırındaki 7‟nin katı
olmama şartına uymaz.
5. asal sayı a5 ‟tir. a5 bulunduktan sonra 4. şart satırı oluşturulur.
4. Şart Satırı : 2k1  1  3k2  5k3  7k4  11k5
(k5  Z  )  2k1  1  a6 2 olana kadar sonuçeksiksiz asallarıverir.
(a1k1  1  a2 k2  a3k3  a4 k4  a5k5 )
k1  63
k1  65
k1  68
k1  69
k1  74
k1  75
k1  78
k1  81
k1  83
 Ayrıca a6 6. asal sayıdır .
127  a31
131  a32
137  a33
139  a34
149  a35
151  a36
157  a37
163  a38 Asal sayıüreteç satırı
167  a39 

 k1  84 169  a62 
a6  Z  a6  169  13
k1 sayısı 61,62,64,66,67,70,71,72,73,76,77,79,80,82 olamaz.Çünkü bu durumda 2k1  1 sayısı
3,5,7,11 sayılarından birinin veya birkaçının katı olmaktadır.
Bundan sonraki k1 sayıları belirlenirken şart satırına uymayan k1 değerleri atlanarak sadece
şart satırına uygun değerler için çalışma devam ettirilecektir.
6. asal sayı a6 ‟dır. a6 bulunduktan sonra 5. şart satırı oluşturulur.
5. Şart Satırı : 2k1  1  3k2  5k3  7k4  11k5  13k6 (k6  Z  )  2k1  1  a72 olana kadar sonuçeksiksiz asallarıverir.
(a1k1  1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5  a6k6 )

k1  86 173  a40
k1  89 179  a41
k1  90 181  a42
k1  95 191  a43
k1  96 193  a44
k1  98 197  a45
k1  99 199  a46
k1  105 211  a47
k1  111 223  a48
k1  113 227  a49
k1  114 229  a50
k1  116 233  a51
k1 119 239  a52
k1  120 241  a53
k1  125 251  a54
k1  128 257  a55
k1  132 263  a56
k1 134 269  a57
k1  135 271  a58
k1  138 277  a59
k1  140 281  a60
k1  141 283  a61
Ayrıca a7 7. asal sayıdır .
Asal sayıüreteç satırı


 k1  144 289  a72 
7. asal sayı a7 ‟dir. a7 bulunduktan sonra 6. şart satırı oluşturulur.
a7  Z  a7  289  17
6. Şart Satırı : 2k1  1  3k2  5k3  7k4  11k5  13k6  17k7 (k7  Z  )  2k1  1  a82 olana kadar sonuçeksiksiz asallarıverir.
(a1k1  1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5  a6k6  a7 k7 )
k1  146
k1 153
k1  155
k1  156
k1  158
k1  165
k1  168
k1  173
k1  174
k1  176
k1  179
 Ayrıca a8 8. asal sayıdır .
293  a62
307  a63
311  a64
313  a65
317  a66
331  a67
337  a68
347  a69
349  a70
353  a71
359  a72
Asal sayıüreteç satırı


 k1  180 361  a82 
a8  Z  a8  361  19
8. asal sayı a8 ‟dir. a8 bulunduktan sonra 7. şart satırı oluşturulur.
7. Şart Satırı : 2k1  1  3k2  5k3  7k4  11k5  13k6  17k7  19k8 (k8  Z  )  2k1  1  a92 olana kadar sonuç eksiksiz asallarıverir.
(a1k1  1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5  a6k6  a7k7  a8k8 )
k1 kalınan sayıdan şarta uygun olan sayıyla devam ettirilir.
 Ayrıca a9 9. asal sayıdır .
k1  183 367  a73
k1 186 373  a74
k1  189 379  a75
k1  191 383  a76
k1  194 389  a77
k1  198 397  a78
k1  200 401  a79
k1  204 409  a80
k1  209 419  a81
k1  210 421  a82
k1  215 431  a83
k1  216 433  a84
k1  219 439  a85
k1  221 443  a86
k1  224 449  a87
k1  228 457  a88
k1  230 461  a89
k1  231 463  a90
k1  233
k1  239
k1  243
k1  245
k1  249
k1  251
k1  254
k1  260
k1  261
467  a91
479  a92
487  a93
491  a94
499  a95
503  a96
509  a97
521  a98
523  a99
Asal sayıüreteç satırı

Asal sayı üreteç satırları sütuna dahil edilmez.   k1  264 için
529  a92 

a9  Z  a9  529  23
9. asal sayı a9 ‟dur. a9 bulunduktan sonra 8. şart satırı oluşturulur.
8. Şart Satırı : 2k1  1  3k2  5k3  7k4  11k5  13k6  17k7  19k8  23k9 (k9  Z  )  2k1  1  a102 olana kadar sonuçeksiksiz asallarıverir.
(a1k1  1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5  a6k6  a7k7  a8k8  a9k9 )
 Ayrıca a10 10. asal sayıdır .
k1 kalınan sayıdan şarta uygun olan sayıyla devam ettirilir.
k1  270 541  a100
k1  273 547  a101
k1  278 557  a102
k1  281 563  a103
k1  284 569  a104
k1  285 571  a105
k1  288 577  a106
k1  293 587  a107
k1  296 593  a108
k1  299 599  a109
k1  300 601  a110
k1  303 607  a111
k1  306 613  a112
k1  308 617  a113
k1  309 619  a114
k1  315 631  a115
k1  320 641  a116
k1  321 643  a117
k1  323 647  a118
k1  326 653  a119
k1  329 659  a120
k1  330 661  a121
k1  336 673  a122
k1  338 677  a123
k1  341 683  a124
k1  345 691  a125
k1  350 701  a126
k1  354 709  a127
k1  359 719  a128
k1  363 727  a129
k1  366 733  a130
k1  369 739  a131
k1  371 743  a132
k1  375 751  a133
k1  378 757  a134
k1  380 761  a135
k1  384 769  a136
k1  386 773  a137
k1  393 787  a138
k1  398 797  a139
k1  404 809  a140
k1  405 811  a141
k1  410 821  a142
k1  411 823  a143
k1  413 827  a144
k1  414 829  a145
k1  419 839  a146
Asal sayıüreteç satırı

Asal sayı üreteç satırları sütuna dahil edilmez.   k1  420 için
10. asal sayı a10 ‟dur. a10 bulunduktan sonra 9. şart satırı oluşturulur.
841  a10 
2
a10  Z


a10  841  29
9. Şart Satırı : 2k1  1  3k2  5k3  7k4  11k5  13k6  17k7  19k8  23k9  29k10 (k10  Z  )  2k1  1  a112 olanakadar sonuçeksiksiz asallarıverir.
(a1k1  1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5  a6k6  a7 k7  a8k8  a9k9  a10k10 )
 Ayrıca a11 11. asal sayıdır .
k1 kalınan sayıdan şarta uygun olan sayıyla devam ettirilir.
k1  426 853  a147
k1  428 857  a148
k1  429 859  a149
k1  431 863  a150
k1  438 877  a151
k1  440 881  a152
k1  441 883  a153
k1  443 887  a154
k1  453 907  a155
k1  455 911  a156
k1  459 919  a157
k1  464 929  a158
k1  468 937  a159
k1  470 941  a160
k1  473 947  a161
k1  476 953  a162
Asal sayıüreteç satırı


Asal sayı üreteç satırlarısütunadahil edilmez.   k1  480 için
961  a112 
a11  Z  a11  961  31
11. asal sayı a11 ‟dir. a11 bulunduktan sonra 10. şart satırı oluşturulur.
10. Şart Satırı : 2k1  1  3k2  5k3  7k4  11k5  13k6  17k7  19k8  23k9  29k10  31k11 (k11  Z  )  2k1  1  a122 olanakadar sonuçeksiksiz asallarıverir.
(a1k1  1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5  a6k6  a7k7  a8k8  a9k9  a10k10  a11k11 )
k1 kalınan sayıdan şarta uygun olan sayıyla devam ettirilir.
k1  483
k1  485
k1  488
k1  491
k1  495
k1  498
k1  504
k1  506

 Ayrıca a12 12. asal sayıdır .
967  a163
971  a164
977  a165
983  a166
991  a167
997  a168
1009  a169
1013  a170

TARTIŞMA:
Bu çalışma bazı asalları görmezden gelip en büyüğüne ulaşmayı hedeflememiştir.Eğer
öyle olsaydı küçükten büyüğe sıralama yapılmadan devam edilebilirdi.Sırayla ilerlemesi
yönünden birçok araştırmadan farklıdır. Bazı araştırmacılar 1‟i asal sayı kabul etmiştir.
Burada ben 2 ve 3‟ü asal kabul edip dizilimleri bunun üzerine inşa ettim.Çalışmamın
Eratosthenes Kalburu (M.Ö. 3. Yüzyıl) mantığıyla uyumu yüksektir.Ancak gerek görsel
açıdan, gerek sayıların karesinden farklı şekilde yararlanılması hususunda farklılıklar görülür.
Örneğin bir sayının karesine ulaşıldığında Eratosthenes kalburunda bu sayı asaldır
denilmez.Üzeri çizilen bu sayılar kullanılmaz bile.Oysa bu algoritma için her asal sayının
karesi o sayıyı tanımamızı sağlayan gölge gibidir.Sütunda karesi olan sayının asal sayı şart
satırına dahil edilişi ve bunun her kareli ifadeye ulaşılınca tekrarlanışı yani bu döngüler
ayrıca asal sayıların sütun ve satır olarak bulunuşunun sağlanması bu formül ağının en özgün
yanıdır.
Niçin bir sayının küpünü,4. 5. vb. kuvvetini değil de 2. kuvvetini kullanıyorum?
Çünkü bu kuvvetlerin sonucu ortaya çıkan tam sayıların hiçbiri asal değildir ve aradığım asal
sayıdan daha uzak bir sayıdır ve böyle bir yöntem bulunursa daha vakit alıcı olacaktır.Asal
sayıların kıskaca alınmasında şart satırlarını kullanıp döngüler halinde sayının karesinden asal
sayının kendisini bulmanın ve bunu buldukça diğer adımlar için kullanmanın en etkili yol
olduğunu düşünüyorum.
25 Ocak 2013„te Lucas Lehmer testi ile yüzlerce bilgisayar yardımıyla GIMPS (Great
Internet Mersenne Prime Search) sayesinde keşfedilen dünyanın en büyük asal sayısı
“Mersenne.org”dan yapılan en yeni açıklamada, 17 milyon 425 bin 170 haneli sayıdır.Bu sayı
Missouri Üniversitesi'nden matematikçi Curtis Cooper tarafından keşfedilmiştir.
Cooper, “2 üzeri 57.885.161 eksi 1” olarak tanımlanan bu sayıyı asal sayıları bulmaya
adanmış devasa bir gönüllü bilgisayarlar ağının yardımıyla bulduğunu söyledi.Bu keşfedilen
48. Mersenne sayısını yazmak için satır başına 75 basamak ve sayfa başına 50 satır sayılar
kullandığımızda 4647 sayfa gerekir.
Büyük İnternet Mersenne Asal Sayı Arama (GIMPS) ağı, saniyede 150 trilyon
hesaplama yapan 360 bin işlemci kullanıyor.
Eminim ,binlerce sayfalık bu çok büyük sayılardan birkaç tanesini yazmaya gönüllü
birkaç kişi dahi bulunamaz.O yüzden bu çalışmamı yaklaşık 1000 doğal sayı ile sınırlı tuttum
ve ilk 170 tane asalın bulunuşunu yazdım .Ama 171. ,172. ,…ve daha büyük asalların nasıl
bulunacağının formülünü en basit şekilde verdiğimi düşünüyorum.Ancak en büyük asalın
bulunuşunda kalemin yaptığı işlemi bilgisayarların daima gölgede bırakacağı açıktır.
BULGULAR:
a1k1 1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5  a6k6  a7 k7  a8k8  a9k9  a10k10  a11k11  ....  ankn n  kn  Z 

Yukarıdaki şart satırına yazılan ve formüller dizisi sonucu bulunan gerekli şartları
taşıyan her an , n. asal sayıya eşit olacaktır. Asal sayı bulma işi şart satırından bakılarak
daha geç gerçekleşir.Çünkü ŞART SATIRININ eşitsizliğinden a1 , a2 , a3 ,..., an „in bulunuşu
asal sayıların önce karesine ulaşıp karekökünü almakla mümkündür.
Fakat ben asal sayı bulurken ilk başta tanımladığım daha hızlı asal sayıya götüren
ASAL SAYI YAKALAMA SÜTUNU „nun kullanılmasını tavsiye edeceğim.
a1 =2 ve a2 =3 olmak üzere,
k1 ‟e uygun şartları sağlayan sayılar küçükten büyüğe doğru verilirken;
a1k1  1  a2k2 (k2  Z  )  2k1  1  a32
olana kadar 2k1 1 sonucu eksiksiz asallarıverir.
a3 şartlar dahilinde karşımıza çıkan karesi olan ilk pozitif tam sayıdır.
a1k1 1  a2k2  a3k3 (k3  Z  )  2k1 1  a42
olana kadar 2k1 1 sonucu eksiksiz asallarıverir.
a4 şartlar dahilinde karşımıza çıkan karesi olan ilk pozitif tam sayıdır.
a1k1  1  a2k2  a3k3  a4k4 (k4  Z  )  2k1  1  a52
olana kadar 2k1 1 sonucu eksiksiz asallarıverir.
a5 şartlar dahilinde karşımıza çıkan karesi olan ilk pozitif tam sayıdır.
a1k1  1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5 (k5  Z  )  2k1 1  a62
olana kadar 2k1 1 sonucu eksiksiz asallarıverir.
a6 şartlar dahilinde karşımıza çıkan karesi olan ilk pozitif tam sayıdır.
a1k1  1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5  a6k6 (k6  Z  )  2k1 1  a7 2
olana kadar 2k1 1 sonucu eksiksiz asallarıverir.
a7 şartlar dahilinde karşımıza çıkan karesi olan ilk pozitif tam sayıdır.
a1k1 1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5  a6k6  a7k7 (k7  Z  )  2k1 1  a82
olana kadar 2k1 1 sonucu eksiksiz asallarıverir.
a8 şartlar dahilinde karşımıza çıkan karesi olan ilk pozitif tam sayıdır.
a1k1  1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5  a6k6  a7k7  a8k8 (k8  Z  )  2k1  1  a92
olana kadar 2k1 1 sonucu eksiksiz asallarıverir.
a9 şartlar dahilinde karşımıza çıkan karesi olan ilk pozitif tam sayıdır.
a1k1 1  a2k2  a3k3  a4k4  a5k5  a6k6  a7 k7  a8k8  a9k9 (k9  Z  )  2k1 1  a102
olana kadar 2k1 1 sonucu eksiksiz asallarıverir.
a10 şartlar dahilinde karşımıza çıkan karesi olan ilk pozitif tam sayıdır.
a1k1 1  a2k2  ...  ankn (kn  Z  )  2k1 1  an12
olana kadar a1k1 1 sonucu eksiksiz asallarıverir.
an1 şartlar dahilinde karşımıza çıkan karesi olan ilk pozitif tam sayıdır.
SONUÇ:
Gerekli şartlar sağlanarak gelişen asal sayı yakalama sütununa yazılabilecek sayının,
herhangi (kendinden ve birden farklı) bir tam sayının katı olma ihtimali yoktur.(Üreteç
satırları bu durumun dışındadır. Çünkü buralar asal sayıların karelerinden asal sayıların
hesaplandığı asal sayıların karelerini içerir.)
Bir sayının 3,4,5,6,7, …, n. kuvveti n  3, n  Z  bu sütunda yer alması şart satırı
sayesinde engellenmiştir. Sadece kareli ifadelere ulaşılınca yeni bir asalın ortaya çıkışı
düşünülür.
Her asal sayının bir karesi olduğu için asal sayının kendisini buldurabilecek en iyi
kaynaklardan biri logaritma,integral vb. değişik fonksiyonlara uyarlanmadığı sürece bu
sistemde asal sayının karesidir.
Şart satırları Örneğin; a1k1  1  a2k2 (k2  Z  )  2k1  1  a32
olana kadar 2k1 1 sonucu eksiksiz asallarıverir. vb. bir takım sınırlamalarla sayıların
3,4,5,6,7, …, n. kuvvetleriyle n  3, n  Z  zaman harcamanızı engeller ve asal sayı
yakalama sütununa düşmeden duruma şart satırıyla müdahale edildiğinden şart sütununda
karşımıza bu sayılar çıkmaz.
Günümüzde binlerce asal sayıyı gerek sırasıyla, gerek Lucas Lehmer testiyle en
büyüğünü hızlıca(bir tıkla) bulmak için izlenebilecek en uygun yöntem yazılımları kullanarak
bulmaktır.Avantajlı olduğumuz nokta yazılımlara yön vermenin bakış açılarıyla mümkün
olmasıdır.
Formül ağım, ilk başta tahmin ettiğim gibi programa dönüştürülebilme noktasında
olumlu sonuçlar vermiştir.Ayrıca asalları küçükten büyüğe sıralamada isabetsizliğe
uğramamıştır. Şimdilik 62837317 sayısı dahil olmak üzere bu sayıya kadar olan asal sayıların
küçükten büyüğe sıralanışının bulunan bu yeni algoritmalarla yapılmasının mümkün olduğu
görülmüştür.
Asal sayılar gelişigüzel dizilmemiştir ve dizilimin bahsettiğim formül ağı üzerine
kurulduğunu düşünüyorum.
Ekler :
Yukarıdaki formüllerin bilgisayar programına dönüştürülmesi sonucu sürdürülmesi mümkün olan ve şimdilik
ulaşılabilen en büyük sayıların listesi 62,8 milyon civarındaki sırasıyla verilen asallardan küçük bir kesit
62818913, 62818919, 62818937, 62818967, 62818969, 62818981, 62818993, 62819027, 62819033, 62819039, 62819041,
62819047, 62819069, 62819077, 62819083, 62819089, 62819101, 62819117, 62819143, 62819177, 62819179, 62819189,
62819209, 62819219, 62819227, 62819293, 62819353, 62819357, 62819359, 62819387, 62819389, 62819399, 62819411,
62819429, 62819441, 62819467, 62819479, 62819531, 62819563, 62819579, 62819621, 62819633, 62819657, 62819663,
62819699, 62819717, 62819737, 62819759, 62819761, 62819767, 62819791, 62819797, 62819863, 62819881, 62819899,
62819921, 62819929, 62819941, 62819957, 62819959, 62819963, 62819987, 62819989, 62819993, 62820007, 62820011,
62820031, 62820041, 62820047, 62820067, 62820101, 62820113, 62820139, 62820143, 62820157, 62820181, 62820193,
62820209, 62820217, 62820221, 62820227, 62820257, 62820311, 62820313, 62820347, 62820361, 62820367, 62820419,
62820437, 62820469, 62820497, 62820509, 62820523, 62820547, 62820551, 62820577, 62820599, 62820619, 62820629,
62820647, 62820673, 62820683, 62820697, 62820713, 62820731, 62820743, 62820767, 62820773, 62820803, 62820817,
62820827, 62820829, 62820839, 62820869, 62820913, 62820941, 62820943, 62820959, 62820977, 62820997, 62821019,
62821043, 62821081, 62821111, 62821117, 62821127, 62821147, 62821183, 62821219, 62821259, 62821261, 62821357,
62821373, 62821379, 62821403, 62821417, 62821433, 62821457, 62821459, 62821481, 62821513, 62821547, 62821571,
62821573, 62821609, 62821631, 62821637, 62821687, 62821699, 62821709, 62821727, 62821739, 62821741, 62821793,
62821849, 62821873, 62821877, 62821879, 62821883, 62821897, 62821909, 62821943, 62821949, 62821973, 62821981,
62822017, 62822047, 62822051, 62822063, 62822083, 62822087, 62822093, 62822107, 62822153, 62822171, 62822173,
62822219, 62822231, 62822239, 62822297, 62822299, 62822317, 62822329, 62822339, 62822401, 62822447, 62822489,
62822533, 62822549, 62822563, 62822581, 62822587, 62822611, 62822623, 62822629, 62822653, 62822663, 62822681,
62822723, 62822737, 62822779, 62822791, 62822813, 62822819, 62822827, 62822831, 62822839, 62822843, 62822869,
62822917, 62822927, 62822941, 62822953, 62822989, 62822993, 62822999, 62823011, 62823031, 62823049, 62823113,
62823181, 62823197, 62823199, 62823209, 62823227, 62823247, 62823263, 62823269, 62823307, 62823331, 62823353,
62823379, 62823389, 62823401, 62823433, 62823437, 62823461, 62823463, 62823479, 62823503, 62823547, 62823617,
62823637, 62823641, 62823643, 62823661, 62823667, 62823737, 62823749, 62823751, 62823757, 62823791, 62823793,
62823797, 62823799, 62823821, 62823829, 62823847, 62823851, 62823863, 62823869, 62823883, 62823991, 62823997,
62824001, 62824037, 62824043, 62824049, 62824057, 62824067, 62824079, 62824081, 62824103, 62824117, 62824123,
62824141, 62824147, 62824159, 62824169, 62824183, 62824189, 62824207, 62824213, 62824217, 62824219, 62824249,
62824291, 62824297, 62824319, 62824331, 62824351, 62824369, 62824373, 62824379, 62824417, 62824427, 62824453,
62824459, 62824471, 62824481, 62824519, 62824543, 62824561, 62824577, 62824579, 62824613, 62824633, 62824687,
62824691, 62824703, 62824711, 62824717, 62824721, 62824733, 62824739, 62824757, 62824771, 62824789, 62824813,
62824819, 62824823, 62824831, 62824837, 62824859, 62824871, 62824873, 62824889, 62824901, 62824903, 62824907,
62824921, 62824967, 62824969, 62824973, 62825017, 62825027, 62825053, 62825069, 62825083, 62825089, 62825099,
62825101, 62825141, 62825143, 62825171, 62825173, 62825179, 62825197, 62825207, 62825209, 62825237, 62825239,
62825291, 62825309, 62825341, 62825369, 62825393, 62825429, 62825447, 62825453, 62825459, 62825527, 62825531,
62825549, 62825563, 62825569, 62825573, 62825603, 62825611, 62825621, 62825671, 62825677, 62825681, 62825683,
62825689, 62825713, 62825743, 62825801, 62825831, 62825839, 62825843, 62825849, 62825911, 62825923, 62825927,
62825929, 62825941, 62825947, 62825969, 62826007, 62826019, 62826031, 62826059, 62826061, 62826073, 62826089,
62826107, 62826121, 62826143, 62826173, 62826187, 62826191, 62826233, 62826241, 62826301, 62826307, 62826329,
62826349, 62826371, 62826377, 62826403, 62826431, 62826433, 62826469, 62826497, 62826527, 62826539, 62826541,
62826581, 62826583, 62826641, 62826661, 62826671, 62826689, 62826691, 62826697, 62826707, 62826761, 62826769,
62826809, 62826811, 62826817, 62826839, 62826857, 62826877, 62826923, 62826931, 62826941, 62826943, 62826947,
62826971, 62826979, 62827033, 62827067, 62827081, 62827117, 62827139, 62827159, 62827169, 62827183, 62827187,
62827217, 62827229, 62827249, 62827267, 62827277, 62827279, 62827309, 62827363, 62827367, 62827381, 62827409,
62827439, 62827451, 62827459, 62827463, 62827481, 62827493, 62827519, 62827537, 62827549, 62827553, 62827561,
62827573, 62827613, 62827619, 62827637, 62827643, 62827649, 62827679, 62827727, 62827741, 62827759, 62827769,
62827771, 62827777, 62827781, 62827783, 62827819, 62827823, 62827841, 62827847, 62827871, 62827883, 62827907,
62827943, 62827951, 62827957, 62827969, 62827997, 62828009, 62828021, 62828023, 62828033, 62828071, 62828083,
62828089, 62828137, 62828149, 62828189, 62828191, 62828197, 62828251, 62828263, 62828281, 62828291, 62828303,
62828321, 62828323, 62828327, 62828329, 62828419, 62828429, 62828443, 62828453, 62828473, 62828477, 62828489,
62828501, 62828503, 62828543, 62828561, 62828603, 62828609, 62828629, 62828653, 62828657, 62828677, 62828693,
62828699, 62828713, 62828737, 62828741, 62828747, 62828771, 62828783, 62828789, 62828809, 62828813, 62828827,
62828951, 62828999, 62829001, 62829007, 62829061, 62829089, 62829101, 62829103, 62829121, 62829139, 62829163,
62829187, 62829191, 62829197, 62829203, 62829211, 62829233, 62829289, 62829311, 62829337, 62829379, 62829397,
62829401, 62829419, 62829449, 62829463, 62829479, 62829497, 62829499, 62829517, 62829551, 62829577, 62829587,
62829593, 62829601, 62829643, 62829649, 62829659, 62829661, 62829733, 62829743, 62829757, 62829763, 62829769,
62829787, 62829791, 62829797, 62829829, 62829847, 62829881, 62829931, 62829947, 62829953, 62829961, 62829983,
62830007, 62830039, 62830049, 62830057, 62830063, 62830067, 62830073, 62830091, 62830109, 62830111, 62830127,
62830139, 62830177, 62830217, 62830219, 62830223, 62830231, 62830259, 62830279, 62830303, 62830331, 62830379,
62830393, 62830423, 62830447, 62830463, 62830483, 62830499, 62830513, 62830531, 62830541, 62830553, 62830567,
62830591, 62830597, 62830601, 62830633, 62830637, 62830639, 62830643, 62830667, 62830673, 62830679, 62830717,
62830753, 62830763, 62830799, 62830829, 62830841, 62830843, 62830903, 62830931, 62830939, 62830951, 62830987,
62831003, 62831011, 62831033, 62831053, 62831089, 62831107, 62831113, 62831117, 62831123, 62831161, 62831179,
62831183, 62831207, 62831221, 62831231, 62831257, 62831267, 62831273, 62831287, 62831297, 62831317, 62831323,
62831381, 62831387, 62831441, 62831443, 62831449, 62831453, 62831467, 62831497, 62831569, 62831591, 62831627,
62831683, 62831687, 62831707, 62831723, 62831749, 62831767, 62831801, 62831819, 62831827, 62831831, 62831843,
62831849, 62831869, 62831897, 62831911, 62831921, 62831941, 62831969, 62831971, 62831981, 62832001, 62832037,
62832053, 62832059, 62832101, 62832103, 62832137, 62832139, 62832149, 62832151, 62832167, 62832169, 62832191,
62832193, 62832199, 62832229, 62832239, 62832271, 62832277, 62832283, 62832307, 62832311, 62832317, 62832337,
62832349, 62832353, 62832421, 62832437, 62832457, 62832461, 62832491, 62832529, 62832551, 62832569, 62832593,
62832617, 62832643, 62832661, 62832673, 62832689, 62832701, 62832713, 62832727, 62832767, 62832773, 62832823,
62832839, 62832841, 62832851, 62832863, 62832871, 62832899, 62832907, 62832911, 62832923, 62832961, 62832967,
62832977, 62832997, 62833013, 62833039, 62833049, 62833061, 62833073, 62833097, 62833109, 62833157, 62833163,
62833201, 62833223, 62833229, 62833237, 62833259, 62833261, 62833283, 62833297, 62833301, 62833319, 62833333,
62833357, 62833369, 62833391, 62833409, 62833417, 62833423, 62833439, 62833451, 62833453, 62833483, 62833489,
62833523, 62833541, 62833553, 62833577, 62833579, 62833591, 62833597, 62833609, 62833613, 62833637, 62833663,
62833711, 62833759, 62833777, 62833867, 62833891, 62833913, 62833919, 62833943, 62833957, 62833961, 62833973,
62834021, 62834027, 62834033, 62834047, 62834053, 62834063, 62834081, 62834111, 62834113, 62834147, 62834153,
62834173, 62834269, 62834279, 62834287, 62834297, 62834327, 62834333, 62834371, 62834389, 62834417, 62834477,
62834479, 62834483, 62834491, 62834507, 62834537, 62834557, 62834593, 62834599, 62834609, 62834617, 62834657,
62834659, 62834687, 62834711, 62834713, 62834719, 62834731, 62834791, 62834797, 62834809, 62834813, 62834857,
62834869, 62834879, 62834887, 62834897, 62834899, 62834921, 62834963, 62834971, 62834983, 62834999, 62835013,
62835023, 62835037, 62835049, 62835053, 62835127, 62835131, 62835137, 62835161, 62835173, 62835191, 62835197,
62835209, 62835211, 62835217, 62835221, 62835259, 62835271, 62835293, 62835313, 62835319, 62835323, 62835343,
62835389, 62835391, 62835401, 62835439, 62835457, 62835467, 62835491, 62835499, 62835523, 62835529, 62835593,
62835607, 62835613, 62835629, 62835631, 62835653, 62835671, 62835677, 62835719, 62835737, 62835743, 62835761,
62835763, 62835809, 62835811, 62835827, 62835847, 62835881, 62835911, 62835947, 62835959, 62835973, 62835989,
62836001, 62836013, 62836019, 62836043, 62836049, 62836051, 62836073, 62836079, 62836091, 62836099, 62836117,
62836153, 62836177, 62836187, 62836237, 62836259, 62836261, 62836273, 62836289, 62836297, 62836303, 62836327,
62836331, 62836343, 62836351, 62836379, 62836381, 62836387, 62836399, 62836409, 62836421, 62836427, 62836481,
62836493, 62836511, 62836519, 62836523, 62836537, 62836549, 62836567, 62836577, 62836583, 62836601, 62836637,
62836651, 62836661, 62836673, 62836681, 62836703, 62836729, 62836733, 62836751, 62836769, 62836789, 62836799,
62836801, 62836849, 62836859, 62836861, 62836871, 62836883, 62836903, 62836909, 62836919, 62836951, 62836973,
62837003, 62837023, 62837029, 62837053, 62837057, 62837069, 62837077, 62837087, 62837111, 62837129, 62837149,
62837179, 62837191, 62837207, 62837213, 62837231, 62837263, 62837267, 62837273, 62837303, 62837317]
Teşekkür
Yazdığım matematiksel formülleri isteğim üzerine bilgisayar programına dönüştüren Nurettin
Şenyer‟e teşekkür ederim.
Yazar: Matematik Öğretmeni Yusuf AYDEMİR
Iğdır 70. Yıl Cumhuriyet Anadolu Sağlık Meslek Lisesi
[email protected]
KAYNAKLAR
Asal sayı http://tr.wikipedia.org/wiki/Asal_say%C4%B1
http://www.genbilim.com/fen-bilimleri/matematik/asal-sayylaryn-gizemi-ve-riemann-varsayymy/
http://www.hurhaber.com/en-buyuk-asal-sayi-kesfedildi/haber-525538
ÖZGEÇMİŞ
2004-2008 Celal Bayar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü
2009-2010 Fırat Üniversitesi Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği Tezsiz Yüksek Lisans
1986 Aydın doğumlu Yusuf Aydemir şu an Iğdır 70. Yıl Cumhuriyet Anadolu Sağlık Meslek
Lisesinde matematik öğretmeni olarak görev yapmaktadır.