statik-mukavemet6

STATIK VE MUKAVEMET
6.Düzlem ve Uzay kafes Sistemler
Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ
Birbirlerine bağlı birden fazla
parçadan yapılmış sistemlerin
dengesi için dıs kuvvetlere ilaveten
iç kuvvetler de düşünülmelidir.
Birbiriyle bağlı parçalar arasındaki
etkileşim için “temas halindeki
cisimler arasındaki etki ve tepki
kuvvetlerinin aynı şiddet ve aynı
etki çizgisine sahip fakat zıt yönlü
olduklarını” ifade eden Newton’un
3. kanunu düşünülmelidir.
Kafesler: Yükleri desteklemek üzere
tasarlanmış, yalnızca uçlarındaki
mafsallarla birleştirilmiş düz çift
kuvvet elemanlarından oluşan,
durağan ve tamamen sınırlanmış
yapılardır.
.
Bir Kafesin Tanımı
Bir kafes sistemi, uçlarından
birleştirilmiş düz elemanlardan
oluşur. Hiçbir elemanı bağlantı
noktasından öteye geçecek
şekilde uzatılamaz.
Cıvata veya kaynaklı bağlantılar
pim bağlantılı olarak kabul
edilirler. Eleman uçlarındaki
kuvvetler momentsiz tek
kuvvete indirgenebilirler.
Sadece iki kuvvet elemanları
düşünülür.
Çoğu yapılar uzay kafes sistemi
oluşturacak şekilde bir araya
getirilen birden fazla kafes
sisteminden meydana gelirler.
Her bir kafes sistemi, kendi
düzleminde etkiyen yükleri taşır
ve iki boyutlu yapı olarak işlem
görebilir.
Kuvvetler elemanı ayırmaya
çalıştığı zaman çekme
etkisindedir denir. Kuvvetler
elemanı sıkıştırmaya çalışıyorsa
basma etkisindedir denir.
Kafes sistemleri, mühendislikte kullanılan taşıyıcı
sistemlerinin tiplerinden biridir. Birçok mühendislik
probleminde, özellikle vinç, köprü ve bina
projelerinde pratik ve ekonomik bir çözüm sağlar. Bir
kafes sistemi, düğüm noktalarında birleşen doğru
eksenli çubuklardan meydana gelir. Kafes sistemin
çubukları yalnız uç noktalarında birbirlerine
bağlanmıştır. Gerçek taşıyıcı sistemler birçok düzlem
kafes sistemin bir uzaysal sistem oluşturacak
şekilde birleştirilmesinden yapılmıştır.
çekme ve basınç kuvvetleri
 Bütün kuvvetler bağlantı
noktalarına
uygulanmaktadır.
 Bağlantı noktalarında
pim vardır.
 Tasarımda üçgenler
kullanılır.
 Bütün pimlerdeki
kuvvetleri bulmak için
düğüm yöntemi kullanılır.
Bir Kafes sistemin Tanımı
Bir kafesin elemanları narindir ve sadece çok küçük yanal
yükler taşıyabilirler. Bu nedenle tüm yükler elemanların
kendilerine değil bağlantı noktalarına uygulanmalıdır.
Kafes Kiriş Yapılar
Kafes Kiriş Yapılar
Kafes KirişTipleri
Kafes KirişTipleri
Bağlantılar genellikle cıvata, perçin veya kaynakla oluşturulurlar.
Gusset levhaları çoğu zaman elemanları bir arada bağlamak için
kullanılırlar. Buna rağmen bağlantıların pim bağlantıları olarak
kabul edilebilmeleri için elemanlar eksenel yükleri taşımaları için
tasarlanmışlardır.
Kafes KirişTipleri
Çubuk elemanı
Düğüm noktası
Yapısal Sistemlerde Eğilme, Çekme ve Basınç Gerilmeleri
Kafes KirişTipleri
Şekildeki çatı kafesi
birbirlerine aşıklarla
bağlı iki düzlemsel
kafesten oluşmaktadır
Kafes KirişTipleri i
Kafes KirişTipleri
Kafes KirişTipleri
Kafes KirişTipleri
Basit Kafesler Kirişler
Rijit bir kafes yük
uygulanması ile
çökmeyecektir.
Basit bir kafes sistemi basit
üçgen kafese bir düğüm ve
iki eleman eklenerek
oluşturulur.
Basit bir kafes sisteminde
m = 2n – 3 eşitliği
sağlanmalıdır.
Bu eşitlikte m toplam eleman
sayısını, n ise toplam düğüm
sayısını göstermektedir.
Taşıyıcı sistemlerin açıklıkları büyüdükçe kiriş
yüksekliği de artmaktadır. Dolayısıyla dolu gövdeli
sistemlerin, ağırlıkları da artmakta ve ekonomik
olmamaktadır.
bb
hh
Dolu gövdeli bir çubuğun herhangi bir kesitinde basit
eğilme halinde gerilme yayılışı görülmektedir. Burada
orta kısımdaki liflerin üst ve alt kenarlardaki liflere
nazaran kesit taşıyıcılığına daha az iştirak ettikleri
görülmektedir. Çubuğun kendi ağırlığını azaltmak için
orta bölgenin bir kısmı sistemden çıkartılarak I kesitli
dolu sistemler elde edilir. daha büyük açıklıklarda ise
orta kısım tamamıyla kaldırılıp bunun yerine kesme
kuvvetini karşılamak üzere Şekil'deki gibi çubuklar
konarak çerçeve veya kafes sistemler elde edilir
I profilin gövdesi boyunca zig-zaglı olarak kesilmesiyle
elde edilen iki parçanın kaydırılıp uç bölgelerinden
istenildiğinde ek parça kullanılarak kaynakla yeniden
birleştirilmesi sonucu oluşturulan Petek Kesitler daha
çok düzgün yayılı yüklerin taşınmasında kiriş olarak
kullanılmaktadır. İki profilden elde edilen dört parçanın
birleştirilmesi sonucu ortaya çıkan her iki yöndeki
eylemsizlik momentleri eşit kesitlerin de kolon olarak
geniş kullanım alanı bulunmaktadır.
Kafese teşkil eden çubukların boyutları, her çubuğa
gelen kuvvet ve zorlamaya göre hesaplanır.
Bu hesaplamalarda iki esas kabul edilmektedir.
1.Çubukların birbirleriyle olan bağlanışı, sürtünmesiz
mafsallı farz edilir. İki veya daha fazla çubuğun bir
arada bağlandığı bu mafsala düğüm noktası denir.
Mafsalların sürtünmesiz olduğunu kabul etmek, düğüm
noktalarının moment taşımayacakları peşinen kabul
edilir.
2. Kirişe gelen bütün dış kuvvetlerin düğüm
noktalarında tesir ettiği yani çubuğun iki düğüm
noktası arasındaki kısmına hiçbir dış kuvvetin tesir
etmediği farz edilir.
Kafes sistemler, yalnız normal kuvvetleri taşıyan doğru
eksenli çubukların birleştirilmesinden meydana gelirler.
Çubuklar sürtünmesiz bir mafsal ile birbirlerine
bağlıdırlar. Buralara "düğüm
noktaları«
denir.
Mafsallarla
yapılmış
sistemler
ancak
düğüm
noktalarında yük taşırlar. Aksi halde tatbik edilen
yüklerin momenti doğar ki, bunu da sürtünmesiz
mafsallar taşıyamaz.
Gerçekte hiçbir düğüm noktası sürtünmesiz değildir,
rijit düğüm noktasıdır. Çelik kafes sistemlerde çubuklar
düğüm noktalarına perçin veya kaynak ile birleşir.
Bunlarda rijit düğüm noktalarıdır. Bu nedenle çubuklar
moment tesirine maruz kalır. Bu momentlerden
meydana gelen gerilmeler ikincil gerilmelerdir.
Hesaplarda kolaylık sağlaması bakımından çubukların
sürtünmesiz mafsal ile birbirine bağlı oldukları kabul
edilir.
Kafes kirişlerde ikinci dereceden gerilmelerin meydana
gelmemesi için;
1.
Çubukların enkesitleri ve dış kuvvetler aynı düzlem
içinde bulunmalıdır.
2. Çubukların eksenleri doğru olmalı ve düğümdeki
çubukların eksenleri bir noktada birleşmelidir.
3. Yükler ve mesnet tepkileri düğüm noktalarına etki
ettirilmelidir.
4. Çubukların arasındaki açılar çok küçük olmamalıdır.
kafes kiriş düğüm noktaları mafsallı kabul
edildiği ve kuvvetlerde düğüm noktalarına
etkidiği için kafes kiriş çubuklarında kesme
kuvveti ve eğilme momenti sıfır olacak
sadece eksenel normal kuvvet meydana
gelecektir.
Kafes sisteminin çubuklarında eğilme momentleri ve
kesme kuvvetleri sıfırdır. Yalnız normal kuvvetler
vardır. Bunlara "çubuk kuvvetleri’ denir.
Kafes sistemde;
d = Düğüm noktası sayısını(mesnetler dahil)
r=Mesnet reaksiyonları sayısını
ç= Çubuk sayısını göstersin.
Her çubukta, bilinmeyen olarak bir çubuk kuvveti
vardır. O halde reaksiyonlar ile birlikte
bilinmeyenlerin toplam sayısı (r+ç) olur.
Düzlem kafes kirişlerde kiriş yüksekliğinin açıklığa
oranı ve geçebileceği en büyük açıklık, malzeme türüne
göre değişmektedir.
Bu oran çelik için H/L = 1/12 ~ 1/16 ve ön gerilmeli çelik
için H/L = 1/16 ~ 1/25 alınmaktadır.
Bu sistem ve çelik malzeme ile geçilebilecek en büyük
açıklıklar ise 50–60 metredir.
Makas aralıkları, çatı örtüsü ve aşık sistemine bağlıdır.
Genellikle 3 - 6 m. arasında seçilmektedir. Büyük
açıklıklı sanayi yapılarında, aşık olarak paralel başlıklı
kafes kirişler kullanılarak 15 – 20 m.’ye kadar
çıkabilmektedir.
Düzlem kafes kirişler (makaslar), yapı kısa kenarına
paralel olarak yerleştirilmektedirler. Ayrıca kafes
düzlemine dik etkiyen yatay yükleri karşılamak ve
yapıyı rijit hale getirmek için bu yüklerin etkidiği
doğrultuda aşıklar ile aynı düzlemde stabilite
bağlantıları (çaprazlamalar) düzenlenmektedir. Bu
stabilite bağlantılarının, yapı iki ucunda ve iki ya da üç
açıklıkta bir yapılması gerekmektedir.
Basit Kafesler
Kafes Sistemlerin Çözüm Yöntemleri: Kafes
sistemlerde analitik ve grafik olmak üzere iki çözüm
yöntemi vardır.
Bilgisayarların yaygınlaşmasıyla birlikte grafik
yöntemlerin kullanımı giderek azaldığından burada bu
çözüm yöntemi anlatılmayacaktır.
Analitik Çözüm Yöntemleri:
1. Düğüm noktası yöntemi
2. Ritter (Kesim) Yöntemi
3. Çubuk değiştirme (Henneberg) Yöntemi
DÜĞÜM NOKTALARI DENGE METODU
Bu metotla bir kafes sistemindeki çubuklara etkileyen
kuvvetleri bulmak için, her bir düğüm noktasına etkiyen
kuvvetler denge denklemleri uygulanır. Dolayısıyla bu
metotta bir noktada kesişen kuvvetlerin dengesi
incelenir. Bunun içinde bağımsız iki denge denklemi
gerekir. Çözüme en az bir bilinen ve en fazla iki
bilinmeyen kuvvetin etkidiği herhangi bir düğümden
başlanır
Kafeslerin Düğüm Denge Metodu ile Hesabı
Kafesi elemanlarına ayırınız ve her bir
elemanın bağlı olduğu pimin
serbest cisim diyagramını
çiziniz.
Her bir elemana etki eden iki kuvvet
esit, aynı etki çizgisi üzerinde ve
ters yönlüdür.
Bir eleman tarafından uçları vasıtasıyla
pimlere veya düğümlere etki eden
kuvvetler eleman doğrultusunda,
esit büyüklükte ve ters yönlüdürler.
Pimlerdeki denge sartından dolayı 2n
kadar bilinmeyen için 2n kadar
denklem bulunmalıdır.
Basit bir kafes sistemi için 2n = m + 3
olmalıdır.
Mesnetlerdeki toplam 3 tepkisel kuvvet
ve m kadar eleman kuvveti için
çözülebilir.
Bütün kafes için denge sartları pim
denklemlerinden bağımsız olmayan üç
ilave denklem daha sağlar.
Statik Olarak Belirsiz Tepkiler
Denklem
sayısından
fazla
bilinmeyen
Denklem
sayısından
daha az bilinmeyen
yetersiz
mesnetlenmis
Esit sayıda denklem
ve bilinmeyen ama
uygunsuz
mesnetlenmis
Özel Yükleme Durumundaki Düğümler
Bir düğümde kesişen iki düz çizgi
üzerinde bulunan zıt elemanlardaki
kuvvetler eşittir.
• Yük üçüncü elemanla aynı doğrultuda
ise iki zıt elemandaki kuvvetler eşittir.
Üçüncü elemandaki kuvvet uygulanan
yüke eşittir.
• Eğer bir düğümde birlesen iki eleman
aynı doğrultuda ise bu elemanlardaki
kuvvetler eşittir. Aksi takdirde sıfırdır.
• Özel yüklemelerin düğüm noktalarına
etki ettirilmesi kafes sisteminin analizini
basitleştirir.
Birden Fazla Basit Kafeslerden Oluşan Kafesler
Bilesik kafesler statik olarak
belirlenebilir, rijit ve tam olarak
sınırlanmıstır.
m= 2n−3
Kafes fazladan elemana sahiptir
ve statik olarak belirsizdir.
m > 2n − 3
Rijit kafes için ilave mesnet
kuvvetlerine ihtiyaç olabilir.
Bir bilesik kafes sisteminin statik
olarak belirlenebilir, rijit ve tam
olarak sınırlanmıs olması için
gerekli fakat yeterli olmayan sart
m+ r = 2n
Rijit değil
m < 2n − 3
Rijit
m < 2n − 4
Örnek problem Her bir çubuğa
gelen kuvvetleri düğüm yöntemiyle
bulunuz. Çubukların
Basmaya mı yoksa çekmeye mi
maruz kaldıklarını belirtiniz
Örnek problem Herbir çubuğa gelen kuvvetleri bulunuz.
Çubukların basınca mı yoksa çekmeye mi maruz kaldıklarını
belirtiniz.
Not: Serbest Cisim Diyagramını çizerek çözüme başlayınız.
ÇÖZÜM
Örnek problem Düğüm yöntemini kullanarak kuvvet taşımayan
kirişleri bulunuz
G düğümü için:
D düğümü için:
F düğümü
için:
B düğümü için:
Sekilde gösterilen kafes sisteminin her bir
elemanında meydana gelen kuvvetleri
Düğüm Metodunu kullanarak bulunuz.
Elemanların basmaya mı yoksa çekmeye
mi maruz olduklarını belirtiniz
RİTTER KESİM METODU
Düğüm metodu ve grafik metodun da, sadece üç denge
denkleminden ikisinin avantajından istifa edilmiştir.
Zira düğüm noktasında kesişen kuvvetler söz
konusudur. Üçüncü denge denkleminin avantajını
kullanmak için, kesilmiş bir kafesin bütünü serbest
cisim olarak alınabilir. Bu durumda bir noktada
kesişmeyen kuvvetlerin dengesi söz konusudur.
Üçüncü denge denkleminin avantajı, hesabı istenen
çubuğu içine alan bir kesim yaparak sistemi çözüp
doğrudan doğruya istenen çubuğun hesabının
yapılabilmesidir. Bu durumda hesabı istenen çubuğa
gelmek için düğümden düğüme hesap yapmak
gereksizdi. Bu durumda sadece üç tane bağımsız
denge denklemi vardır. O halde sistemi keserken üç
çubuktan fazla çubuk kesilmemelidir.
Kesme metodunda anlaşılması gereken esas nokta
kesmeden sonra elde edilen bölümün tek bir cisim gibi
dengesinin inceleneceğidir. İç kısımdaki çubuklara ait
çubuk kuvvetleri çözümde kullanılamaz. Serbest cisim
ve dış kuvvetleri açık olarak belirtmek için, kesme
işlemi düğümden değil de, çubuklardan yapılmalıdır.
Kesme
metodunda,
moment
denklemlerinin
avantajından istifade edilir ve moment merkezi
seçilirken, mümkün olduğu kadar fazla bilinmeyen
kuvvetin bu noktadan geçmesine dikkat edilmelidir.
Genellikle önce mesnet reaksiyonları bulunur. Bazı durumlarda
mesnet reaksiyonlarının bulunmasına gerek kalmaz.
Hangi çubuk kuvvetinin bulunması isteniyorsa bu çubuğu da
kesecek şekilde sistem bir a-a kesimiyle en fazla üç çubuk
kesilecek
şekilde ikiye ayrılır.
• Ortaya çıkan kesilmiş iki parçadan en az işlem gerektiren ve
üzerinde denge denklemleri en kolay uygulanabilen bir tanesi
alınır
ve bu parçaya üç adet denge denklemi uygulanır.
• Kesim yapıldığında çubuklarla ilgili oldukları düğüm noktalarına
çekme kuvvetleri olarak etki ettirilirler. Hesap sonucunda bazı
çubuk
kuvvetlerinin işaretleri negatif çıkarsa bu çubukların basınç
çubukları oldukları anlaşılır.
• Eğer bir kafes sistem ikiye ayrılırken üçten fazla kesim yapılması
zorunlu ise bu durumda üç adet denge denklemi bilinmeyenleri
bulmak için yeterli olmayıp üçten fazla kesilmiş her çubuk sayısı
kadar ilave denkleme ihtiyaç vardır.
Kafeslerin Kesme Metodu ile Analizi
Sadece bir elemandaki veya
birkaç elemandaki kuvvetler
isteniyorsa kesit metodu
tercih edilir.
BD elemanındaki kuvveti
bulmak için şekilde
gösterildiği gibi kafes
boyunca bir kesit alınız ve
sol tarafının serbest cisim
diyagramını çiziniz.
Kesit ile sadece üç eleman
kesildiği için BD
elemanındaki kuvvet de dahil
olmak üzere bilinmeyen
eleman kuvvetlerini bulmak
için statik denge denklemleri
kullanılabilir.
Kesim metodunun uygulanması:
a) Statikçe belirli olup olmadığı kontrol edilir.
b) Reaksiyon kuvvetleri bulunur.
c) En fazla üç çubuğu kapsayacak kesim yapılır.
d) Kesilen parçalardan biri seçilir. Çubuk kuvveti
çekme şeklinde yerleştirilir.
e) Denge denklemleri uygulanarak bilinmeyen çubuk
kuvvetleri hesaplanır
Kesit Alma Yöntemi
GE, GC ve BC çubuklarına
gelen kuvvetleri bulunuz.
Serbest Cisim Diyagramı
CREMONA METODU (GRAFİK ÇÖZÜM)
Kafes sistemlerde herhangi bir düğüm noktasının
dengede bulunması için bu noktadaki çubuk kuvvetleri
ile varsa dış kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olması
gerekir. Bir başka deyimle, geometrik olarak bu
kuvvetlere ait kuvvetler poligonu kapalı olmalıdır.
Böylece herhangi bir düğüm noktasına ait kuvvetler
poligonu kapalı olmalıdır. Böylece herhangi bir düğüm
noktasına ait kuvvetler poligonu kapanacak şekilde
çizilecek olursa, bu düğüm noktasında birleşen
çubuklardan bilinmeyen ikisinin kuvvetleri bulunur.
Burada bazı kaidelere uymak gerekir.
Öncelikle mesnet reaksiyonları dahil bütün dış
kuvvetlere ait kuvvet poligonunun kapanması gerekir.
Poligonda kuvvetler gelişi güzel sıralanmayıp belli bir
dönme yönü alınır. Bu yönde sistem üzerinde
kuvvetlere rastlanış sırası poligondaki çiziliş sırasıdır.
Çizilme önce, bilinmeyen sayısı en fazla iki olan bir
düğümden başlanmalıdır. Ayrıca her izostatik kafes
sisteminde Cremona planının çizilmesi mümkün
değildir.
Warren kafes tipindeki bir kiriş sekilde gösterildiği
gibi yüklenmektedir. EG, FG, ve FH elemanlarındaki
kuvvetleri kesit metodunu kullanarak hesaplayınız.
Uzay Kafes Sistemleri
Temel bir uzay kafesi tetrahedron
olusturmak için 4 düğümde
birbirine bağlanan altı adet
elemandan olusmaktadır.
Basit bir uzay kafesi aynı anda bir
adet düğüm ve üç eleman
eklenerek genisletilebilir.
Basit kafes için denge düğüm
denklemlerine bağlı olmayan 6
adet ilave denklem sağlar.
Basit bir uzay kafesinde, m = 3n - 6
esitliği sağlanmalıdır. m eleman
sayısı ve n düğüm sayısıdır.
• Düğümler için denge sartları 3n
kadar denklem meydana getirir.
Basit bir uzay kafesi için,
3n = m+ 6 esitliği ve denge
denklemleri 6 mesnet
kuvveti ve m adet eleman kuvveti
için çözülebilir.
Bütü kafes için denge düğüm
denklemlerine bağlı olmayan 6
adet ilave denklem sağlar
Uzay Kafes Sistemleri
Vericiler, enerji
nakil hatları, çatı kafesleri
veya uzay mekiği
uygulamalarında
kullanılan
3-B kafes sistemleri.
Kablolar, asma köprüler, enerji iletim hatları, teleferikler, yüksek
kulelerin gergileri, v.s. gibi birçok mühendislik uygulamalarında
kullanılırlar. Esnek olduklarından eğilme mukavemetleri ihmal
edilebilir: Bu sebeple kablolar sonsuz sayıda mafsalın yanyana
gelmesiyle oluşmuş taşıyıcı sistemler olarak göz önüne
alınabilirler. Bu kabul kablo kuvvetinin kablonun her noktasında o
noktadaki kablo teğeti doğrultusunda ve çekme olduğu anlamına
gelmektedir. Kablolar yükleme durumlarına göre izleyen sınıflara
ayrılabilirler
1)Tekil yükler etkisindeki kablolar
2) Yayılı yükler etkisindeki kablolar
Sözü edilen kablo çeşitlerini incelemeye geçmeden önce
kablolarla ilgili izleyen tanımlar verilecektir:
Kablo Oku (Sarkması): A ve B mesnetlerinin aynı
düzeyde olması durumunda mesnetlerden kablonun alt
noktasına olan düşey h mesafesidir.
Kablo Açıklığı: Mesnetler arası L uzaklığına verilen addır,