A Risk Minimization Framework for Information Retrieval

Transkript

Bilgisayar Bilimlerinin Kuramsal
Akış
Temelleri
• Matematiksel İspatlar
“UBİ 501: Discrete Math and Its Application to
Computer Science”
• İspat
Yöntemleri ve Stratejileri
Ders - 2
• Küme Teorisi (Set Theory)
İlker Kocabaş
Bornova - İzmir
– Giriş
– Küme işlemleri
– Vs….
İspatlar
Tanımlar
İspatlar
Teorem İspat Yöntemleri
E.Ü Uluslararası Bilgisayar Enstitüsü
•
•
•
Teorem: (İng. Theorem)
•
Doğrudan İspat (İng. Direct Proof)
– P  Q önermesinin doğruluğu ispat edilir
– Doğru olduğu kanıtlanmış ifade veya önerme
Aksiyom: (İng. Axiom)
• P doğru kabul edilir
• Adım adım çıkarsamalar yapılır.
• Sonuç Q doğru bulunursa önerme doğru olmaktadır.
– Öncül/hipotez: önceden kabul edilmiş ifadeler
İspat: (İng. Proof)
– Problem: “Eğer tam sayı n bir tek sayı ise, n2 tek sayıdır.” teoreminin
dorudan ispatını gösteriniz?
– Teoremin doğruluğunu gösteren “geçerli argüman”
• Tanım: n tek sayı ise n=2k+1 ve çift ise n=2k olarak ifade edilebilir. n,k  Tam
sayılar.
•
Doğal Sonuç: (İng. Corollary)
•
Konjektür: (İng. Conjecture)
– İspat edilmiş önceki bir teoremden doğrudan kanıtlanan teorem
– Doğru gibi görünen fakat kanıtlanmamış önermeler
•
Dolaylı İspat : (İng. İndirect Proof)
– Hipotezlerle başlayıp, sonuç ile bitmeyen ispat yöntemleri
1
İspatlar
•
Zıtlık ile İspat: (İng. Proof by Contraposition)
•
P  Q  Q   P
•
“Q   P” doğru olduğunun ispatı
•
Q doğru kabul edilir ve çıkarsama ile  P önermesinin doğru olduğu
İspatlar
•
bulunur.
•
Problem: “Tam sayı n için; Eğer 3n+2 tek sayı ise, n tek sayıdır.”
•
P: “3n+2 tek sayıdır”
•
Q: “n tek sayıdır.”
•
İfadelerin Çelişki ile İspatı: (İng. Proof by Contradiction)
•
•
•
P   P  F   P  (Q  Q)
“ P” = T ,doğru kabul edilecek
Eğer bir çelişki sonucuna varılırsa (Q  Q) = F olur.
•
•
 P  (Q  Q) ise T  F = F olur.
Bu önerme yanlış ise  P = F ; yani P = T olması sonucunu doğurur.
Problem: “2 irrasyonel bir sayıdır.”
İspatlar
•
İspatlar
•
Koşullu İfadelerin Çelişki ile İspatı:
•
•
P  R  (P  R)  F  (P  R)  (Q  Q)
“ R” = T ,doğru kabul edilecek
•
Eğer bir çelişki sonucuna varılırsa (Q  Q) = F olur.
•
•
(P  R)  (Q  Q) ise T  F = F olur.
Bu önerme yanlış ise  R= F ; yani P = T olması sonucunu doğurur.
•
Problem: “Tam sayı n için; Eğer 3n+2 tek sayı ise, n tek sayıdır.”
•
İki koşullu ifadelerin ispatı
•
Tembel ispat: (İng. Vacuous Proof)
•
PQ
•
“P” = F ise P  Q = T
Apaçık ispat: (İng. Trivial Proof)
• PQ
•
“Q” = T olarak ispat edilirse P  Q = T
•
•
Örnek: R(n): Eğer P:“a ≥ b” ise Q:“an ≥ bn “
R (n=0) için Q = T ve R(n) = T
– P ↔ R  (P  R)  (R  P)
2
İspatlar
İspat Stratejileri
•
Tüm olası durumlar tek bir argümanla ifade edilemediği durumlar
vardır.
•
P = P1 ˅ P2 ˅ ….. ˅ Pn
•
•
P  Q  (P1 ˅ P2 ˅ ….. ˅ Pn)  Q
 (P1  Q)  (P1  Q)  …………..  (Pn  Q)
İspatlar
İspat Stratejileri
•
Varoluş İspatları: (İng. Existance Proofs)
• x P(x) ifadelerinin ispatı
•
Yapıcı Varoluş İspatı: (İng. Constructive Exhaustive Proof)
• P(a)‟yı doğru yapan a gibi bir elemanın bulunması
•
Bütün İspat: (İng. Exhaustive Proof)
• Problem: Eğer n beşten küçük pozitif bir tam sayı ise (n+1)3 ≥ 3n
•
Problem: “Eğer n tam sayı ise, n2 ≥ n.”
İspatlar
İspat Stratejileri
Varoluş İspatları: (İng. Existance Proofs)
• x P(x) ifadelerinin ispatı
•
• Çözüm: 1729 : (10,9) ve (12,1)
Durumlar ile ispat : (İng. Proof by Cases)
•
•
• Problem: x x = (a)3 + (b)3  x = (c)3 + (d)3 ; a, b, c, d farklı pozitif
tamsayılar.
Yapıcı olmayan Varoluş İspatı : (İng. Unconstructive Exhaustive
Proof)
• P(a)‟yı doğru yapan a gibi bir eleman bulunmadan ispat
• Problem: x y (Eğer x ve y irrasyonel sayılar ise xy rasyonel
sayıdır.)
• Çözüm:
• x,y için (2, 2) alınacak olursa (2 irrasyonel ispat edildi)
• xy = 2 2 olur; Eğer bu sayı rasyonelse önerme doğrudur.
• Eğer rasyonel değilse: x,y için (2 2,2) alınacak olursa xy = 2 2. 2 =2
rasyoneldir.
Küme Teorisi
Referans Evreni
• Referans Evreni (İng. Universe of Reference)
– Kümelerin içerdikleri elemanlarla tanımlanmış
olmalarına rağmen bu elemanlar gelişigüzel olamaz.
– Belirli bir Referans Evreni gerekir!
– Yoksa, kendine referanstan kaynaklanan
paradokslar oluşabilir.
• Örnek : Russel’ın Paradoksu
3
Küme Teorisi
Russel’ın Paradoksu
Küme Teorisi
• S= t [ t  t]
1. S  S:
•
– İddia : Böyle bir küme var olamaz.
2. S  S
– İspat : Böyle bir küme var ise,
•
1. S  S
2. S  S
Küme Teorisi
•
Bir küme belirli koşullarla tanımlanmış ise var olması
gerekmektedir. Bir kümenin boş olması halinde de
küme vardır.
– Örnek: Konuşan ördekler kümesi, bu şart sağlanamazdır ve
küme boş kümedir ().
•
Kümenin var oluşunu garanti etmek için referans
evrenini (U) sabitlemek gerekir.
– Soru: Kendini işaret (referans) etmeyen bir U var mıdır?
S kendini eleman olarak içeriyor. S’nin elemanları
kendilerini içeremiyecekleri için S  S olmalıdır. Bu
çelişkiden ötürü bu durum olamaz.
•
S kendini eleman olarak içermiyor. S’nin elemanları
kendilerini içeremiyorlar ise S  S olmalıdır. Bu durum
da başlangıç varsayım ile çeliştiğinden ötürü bu
durumda olamaz.
Küme Teorisi
Küme Oluşturma Gösterimi
Parantezler arasında elemanları listelemek:
– S = {-1, 0, -1, 5}
•
Açıklama ile tanımlamak:
– Tüm doğal sayılar kümesi
•
Küme oluşturma gösterimi:
– S = { f(x) | P(x) } , U.
– U referans evrenindeki tüm f(x)’lerin kümesi öyle
ki P(x) yüklemi doğru olmaktadır.
17
4
Küme Teorisi
•
•
•
•
•
•
Küme Teorisi
•
•
•
S1: U = N. { x | y (y  x ) } = ?
S2: U = Z. { x | y (y  x ) } = ?
S3: U = Z. { x | y (y  R  y 2 = x )} = ?
C2: U = Z. { x | y (y  x ) } = { }
C3: U = Z. { x | y (y  R  y 2 = x )} = { 0, 1, 2,
3, 4, … } = N
S4: U = Z. { x | y (y  R  y 3 = x )} = ?
S5: U = R. { |x | | x  Z } = ?
S6: U = R. { |x | } = ?
18
•
C1: U = N. { x | y (y  x ) } = { 0 }
•
•
•
– Birleşim ( İng. Union) - ()
C5: U = R. { |x | | x  Z } = N
C6: U = R. { |x | } = non-negative reals.
L5
19
Küme Teorisi
Venn Diyagramları
Küme Teorisi
İşlemler
Küme teorisi işleçleri eski kümeleri kullanarak yeni
kümeler oluşturmayı sağlar. Mantıksal işlemler gibi!
Bunlar:
C4: U = Z. { x | y (y  R  y 3 = x )} = Z
• Venn diyagramları kümeleri ve küme işlemlerini
göstermek için kullanışlı araçlardır.
– Kesişim (İng. Intersection) - ()
– Fark (İng. Difference) - (-)
– Tamamlayıcı (İng. Complement) - (―—‖)
– Simmetrik Fark (İng. Symmetric Difference) - ()
•
• Referans evrenini gösteren bir dikdörtgenin içinde
çeşitli kümeler daireler ile gösterilir.
A ve B gibi verilen iki küme için işlemlerle oluşturulan
yeni kümeler: A  B, A  B, A-B, A  B ve Ā
L5
21
5
Birleşim
Kesişim
İki kümenin en az birindeki elemanlar kümesi
Her iki kümede de bulunan elemanlar kümesi
AB = { x | x  A  x  B }
AB = { x | x  A  x  B }
U
U
AB
A
A
B
L5
22
AB
B
L5
Ayrışık Kümeler
23
Ayrışık Birleşim
Tanım: Eğer A ve B’nin ortak bir elemanları yok ise,
bu kümeler ayrışık olarak adlandırılır, i.e. AB= .
A ve B ayrışık olduğunda, ayrışık birleşim işleci iyi
tanımlanmıştır. Birleşim sembolünün üzerindeki
yuvarlak ayrışıklığı gösterir.
U
U

A B
A
L5
B
A
24
L5
B
25
6
Ayrışık Birleşim
Küme Farkı
Sonlu kümelerin ayrışık birleşiminin eleman sayısı
(İng. cardinality) her bir kümenin eleman sayısının
toplamıdır.
İlk kümede bulunan fakat ikinci kümede bulunmayan elemanlar
A-B = { x | x  A  x  B }
A
B
U

A B  A  B
A-B
L5
26
L5
27
Tamamlayıcı
Simetrik Fark
İki kümeden sadece birinde bulunan elemanlar
Kümede bulunmayan elemanlar (tekli işleç):
AB = { x | x  A  x  B }
A = { x | x  A }
AB
A
L5
U
U
A
B
28
L5
A
29
7
Küme Teorisi
Küme Özdeşlikleri
Tablo: Mantıksal Eşitlikler
Eşitlikler
PTP
PFP
PTT
PFF
PPP
PPP
 (P)  P
•
PQQP
PQQP
(P  Q)  R  P  (Q  R)
İsim
Özdeşlik kanunları
(Identity laws)
Baskın olma kanunları
(Domination laws)
Denk güçlük kanunları
(Idempotent laws)
Çift Olumsuzlama kanunları
(Double negation laws)
Sıra bağımsız –değişim- kanunları
(Commutative laws)
Birleşim Kanunları
(P  Q)  R  P  (Q  R)
(Associative laws)
P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)
Dağılım Kanunları
P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)
(Distributive laws)
(P  Q) P  Q
(P  Q) P  Q
P  (P  Q)  P
P  (P  Q)  P
P  P  T
P  P  F
De Morgan kanunları
•
•
•
•
•
•
Aslında, Mantıksal Özdeşlikler çeşitli küme işlem
tanımlarını uygulayarak Küme Özdeşliklerini yaratır.
– Örnek: (AB )C = A(B C )
“”  “”
“”  “”
“”  “–”
“F”  “”
“T”  “U”
Yutma kanunları
(Absorption laws)
Olumsuzlama Kanunları
(Negation Laws)
Küme Teorisi
– Örnek: (AB )C = A(B C )
– İspat:
Küme Teorisi
– Örnek: (AB )C = A(B C )
– İspat:
(AB )C
» = {x | x  A B  x  C }
•
Küme Teorisi
(tanımdan)
(AB )C
» = {x | x  A B  x  C }
(tanımdan)
» = {x | (x  A  x  B )  x  C }
(tanımdan)
8
•
Küme Teorisi
•
– Örnek: (AB )C = A(B C )
– İspat:
•
– İspat:
(AB )C
» = {x | x  A B  x  C }
(Tanımdan)
» = {x | x  A B  x  C }
(Tanımdan)
» = {x | (x  A  x  B )  x  C }
(Tanımdan)
» = {x | (x  A  x  B )  x  C }
(Tanımdan)
» = {x | x  A  ( x  B  x  C ) }
(Mantıksal Birl.)
» = {x | x  A  ( x  B  x  C ) }
(Mantıksal Birl.)
» = {x | x  A  x  B  C ) }
(Tanımdan)
Küme Teorisi
Venn ile Küme Özdeşlikleri
– Örnek: (AB )C = A(B C )
•
– Örnek: (AB )C = A(B C )
(AB )C
Küme Teorisi
– İspat:
Küme Teorisi
•
Venn diyagramı çizilerek bu özdeşlikleri anlamak
çoğunlukla daha kolaydır.
– Örnek: DeMorgan‟ın birinci kanunu
(AB )C
» = {x | x  A B  x  C }
(Tanımdan)
» = {x | (x  A  x  B )  x  C }
(Tanımdan)
» = {x | x  A  ( x  B  x  C ) }
(Mantıksal Birl.)
» = {x | x  A  x  B  C ) }
(Tanımdan)
» = A(B C )
(Tanımdan)
A B  A B
Diğer kanunlarda bu şekilde türetilir.
9
Görsel DeMorgan
Görsel DeMorgan
B:
A:
B:
A:
AB
L5
:
38
39
Görsel DeMorgan
Görsel DeMorgan
B:
A:
A:
B:
AB :
A B :
40
41
10
Gösel DeMorgan
Visual DeMorgan
A:
B:
A:
B:
A:
B:
A:
B:
A B :
42
43
Küme Teorisi
Bit Dizinleri olarak Kümeler
Gösel DeMorgan
•
A B 
Eğer referans evrenini sıralar isek, kümeleri bit
dizinleri biçiminde gösterebiliriz.
– Örnek: U = {boğa, domuz, ceylan, aslan}
–
=
U = {aslan, boğa, ceylan, domuz}
(sıralı hali)
• U‟nun alt kümeleri 4 uzunluğundaki bit dizini ile gösterilebilir!!
• Soru: „0101‟ ile hangi küme gösterilmektedir?
A B 
44
11
Küme Teorisi
•
– Örnek: U = {boğa, domuz, ceylan, aslan}
–
U = {aslan, boğa, ceylan, domuz}
(sıralı hali)
• U‟nun alt kümeleri 4 uzunluğundaki bit dizini ile gösterilebilir!!
Küme Teorisi
•
– Böyle bir gösterimde, küme teorisi işleçleri mantıksal bit dizini
işleçleri haline gelir.
– Örnek:
{boğa}  {aslan, boğa, domuz}
• Soru: „0101‟ ile hangi küme gösterilmektedir?
» 0100  1101
• Cevap: {boğa, domuz}
» 1010 = {aslan, domuz}
12

A Risk Minimization Framework for Information Retrieval

Transkript

Benzer belgeler

Clusterland`e göre küme yönetimi

Matematik Dili

5 - KalDer