Goodes harita projeksiyonu

PROJEKSİYON KAVRAMI
Meridyenler ve paraleller eşitliklere göre düzleme aktarılır.
1) m : harita üzerinde paralelleri çizen yarıçap
2) α: harita üzerinde meridyenler arasındaki açıyı
ifade eder.
m = f (ϕ )
α = f (λ )
m = f (ϕ , λ )
α = f (ϕ , λ )
Gerçek Projeksiyon
Yalancı Projeksiyon
Deformasyon Elipsi veya Tissot Endikatrisi
R: dünyanın
yarıçapı = 1
(birim küre)
X: meridyen ve y : paralel doğrusu
Deformasyonların Hesabı
sin( t ′ − t ) =
a−b
sin( t ′ + t )
a+b
(t ′ + t ) = 90o ⇒ sin(t ′ + t ) = 1
sin(t ′ + t ) max = sin ϖ =
a −b
a+b
Doğrultu deformasyon eşitliği
Maksimum Doğrultu deformasyonu
Maksimum Doğrultu deform. eşitliği
a = b ⇒ Açı koruma şartı
F ′ a ⋅ b ⋅π
=
= a ⋅ b = 1 ⇒ Alan koruma şartı
1⋅ π
F
Ortodrom ve Loksodrom
Ortodrom: Küre üzerinde iki nokta arasındaki en kısa yol, iki
noktadan geçen büyük dairenin kısa olan parçasıdır. Bu
eğri ortodrom olarak adlandırılır.
Loksodrom:Küre üzerinde tüm meridyenleri sabit açı altında
kesen eğridir. Deniz ve hava ulaşımında önemlidir.
İki nokta arasında (1 ve 2) Loksodrom eğrisinin azimutu ve
boyunun hesabı:
tan α =
l12
λ 2 − λ1
 π ϕ2
ln tan  +
2
4
R
(ϕ 2 − ϕ 1 )
=
cos α

 π ϕ1 
 − ln tan  +

2 

4
Küre Üzerinde Alan Hesabı
Alan koruyan projeksiyonların eşitliklerini çıkartılmasında, alan
deformasyonu ile ilgili problemlerin çözümünde küre kapağı,
kuşak ve küre üzerindeki paralel daire ve meridyenlerinle
sınırlanan trapez (coğrafi grid) gibi yüzeylerin alanlarının
hesaplanması gereklidir.
h: küre kapağın yüksekliği
R: küre yarıçapı
Küre Alanı = F = 2πRh
Veya enlem derecesine bağlı olarak,
F = 2πR2(1- sinϕ)
Enleme bağlı olarak küre kuşağı eşitliği ise,
F = 2πR2(sinϕ2-sinϕ1)
Küre üzerinde trapez yüzeyinin alanı ise,
o
∆
λ
F = 2πR 2 (sin ϕ 2 − sin ϕ1 )
360 0
Örnek:
Soru: Güney kenarının enlemi 41o, batı kenarının boylamı 27o
olan 1:250 000 ölçekli paftanın,
a) Köşelerinin coğrafi koordinatlarını,
b) Yerküre üzerinde alanını,
c) Köşegen uzunluğunun yerküredeki değerini hesaplayınız
(R=6370 km).
Çözüm:
Verilenler: Ölçek : 1:250 000 1ox1.5o (∆ϕ = 1o, ∆λ = 1o30’)
a) Paftanın güneybatı köşesinin coğrafi koordinatları:
ϕ1=41o,λ1=27o
Paftanın güneydoğu köşesinin coğrafi koordinatları:
ϕ2 = 41o, λ2 = 28o30’
Paftanın kuzeydoğu köşesinin coğrafi koordinatları:
ϕ3 = 42o, λ3=28o30’
Paftanın kuzeybatı köşesinin coğrafi koordinatları:
ϕ4= 42o, λ4=27o
b) Paftanın alanı aşağıdaki bağıntıdan hesaplanır;
o
∆λ
F = 2πR (sinϕ2 − sin ϕ1 )
o
360
2
F = 13885.95km
2
c) Köşegen uzunluğunun yerküredeki değeri, iki nokta
arasındaki ortodrom uzunluğunu veren ifade
yardımıyla hesaplanır.
cosδ = sinϕ1 sinφ2 + cosϕ1 cosϕ2 cos∆λ ⇒
o
δ = 1.5039826
πδ
P1 P2 = 6370
= 167 .21km
180
AZİMUTAL (DÜZLEMSEL) PROJEKSİYONLAR
Azimutal projeksiyonlarda: Meridyenlerin izdüşümleri bir noktadan
(kutup noktasından dağılan ışın demetleri, paralellerinin
izdüşümleri ise bu noktayı merkez alan daireler biçimindedir.
Kutup noktasında meridyenler arasında oluşan açılar: α
ve küre üzerindeki açılar: λ ile aynıdır.
Böylece;
1) α = λ
δ : kutup uzaklığı açısı, yani δ = (90 - ϕ) ve
m: paralel dairelerin yarıçapı olmak üzere
2) m = f(δ)
olmak üzere 2 adet projeksiyon eşitliği (denklemi) yazılır.
1. Meridyen Uzunluğu Koruyan Azimutal Projeksiyon
α = λ ve
)
m =δ
2. Alan Koruyan Azimutal Projeksiyon
Alan
koruma
şartının
gerçekleşmesi için paralel
dairelerin
izdüşümlerinin
yarıçapı, bir paralel dairenin
kapladığı harita alanı, bu
paralel
daire
tarafından
sınırlanan küre kapağının
alanına eşit olacak şekilde
seçilmelidir.
m yarıçapını bulmak iiçin, bir
önceki şekilde verilen P
noktasından geçen paralel
dairenin düzlemde sınırladığı
daire
alanı
ile,
kürede
sınırladığı küre kapağının
alanı birbirine eşitlenir.
F = 2π (1 − cos δ ) = 4π sin
2
F ′ = πm 2
F = F ′ ⇒ 4π sin
α = λ , m = 2 sin
2
δ
2
δ
2
= πm
2
δ
2
3. Konform Azimutal Projeksiyon (Stereografik Projeksiyon)
Stereografik projeksiyonda sadece
deformasyon elipsi daireye dönüşmez
aynı zamanda küre üzerinde tüm
dairelerin izdüşümleri de dairedir.
Kutuptan uzaklaştıkça alanların çok hızlı
büyümesi nedeniyle, bu projeksiyon
Atlas Haritalarında tercih edilmez.
Konform özelliği ve dairelerin şekillerinin
korunmasından dolayı astronomik amaçlar
için tercih edilir. Referans yüzeyi elipsoit
alınarak Kutup bölgelerinin 1:1000 000
ölçekli topoğrafik haritalar için de
kullanılmaktadır.
Bu nedenle projeksiyon
UPS (Universal Polar Stereografik)
olarak da adlandırılır.
α = λ,
m = 2 tan
δ
2
4. Gnomonik Projeksiyon (Merkezi Projeksiyon)
Gerçek perspektif özelliğinde
olup, projeksiyon merkezi
referans küresinin merkezidir.
Bu özelliğinden dolayı küre
üzerindeki büyük daire
yaylarının izdüşümleri doğru
şeklindedir.
Başka bir ifadeyle,
Gnomonik projeksiyonda
ortodromların izdüşümleri
doğru şeklindedir.
α=λ
m = tanδ
5. Ortografik Projeksiyon
Ortografik projeksiyon gerçek perspektif özelliği
taşıyan
projeksiyonlar
içerisinde
projeksiyon
merkezinin sonsuzda olmasından dolayı ekstrem
durumdur. Paralel Projeksiyon da denilir.
α = λ ve m = sinδ
Normal Konumlu Azimutal Projeksiyonlar İçin Formül Özeti
Projeksiyon Türü
Meridyen boyu
koruyan
Alan koruyan
Konform
Gnomonik
Ortografik
m
)
Rδ
δ
Y = m sin∆λ
)
Rδ sin∆λ
X = m cos∆λ
)
Rδ cos∆λ
δ
δ
2
2Rsin sin∆λ
2
2Rsin cos∆λ
2
δ
δ
δ
2Rsin
2R tan
2
R tanδ
Rsinδ
2R tan sin∆λ
2
R tanδ sin∆λ
Rsinδ sin∆λ
2R tan cos∆λ
2
R tanδ cos∆λ
Rsinδ cos∆λ
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 1:
Çözüm:
Örnek 2:
Çözüm:
Örnek 3:
Çözüm:
Örnek 4:
Çözüm:
4ox6o
Alan ölçeği
1:1000 000’dan
büyük olduğundan,
yaklaşık %20’lik bir
büyüme vardır
3. Soruda verilen şekilden yararlanarak,
Soru 5 (Ev Ödevi)
Normal konumlu alan koruyan düzlem projeksiyonda,
boyutları 7’30’’ x 7’30’’ olan bir paftanın alanı 167 km2 dir.
Paftanın güney kenarının enlemini bulunuz.
Yol gösterme
Küre üzerinde pafta alan bağıntısı,
∆ λo
2
F = 2πR (sin ϕ 2 − sin ϕ1 )
=
167
km
360 o
ϕ 2 + ϕ1
ϕ 2 − ϕ1
F 360 o
= (sin ϕ 2 − sin ϕ1 ) = 2 cos
sin
2
o
2πR ∆ λ
2
2
7 . 5′
o
360 sin
ϕ 2 − ϕ1
ϕ 2 + ϕ1
7 . 5′
2
sin
= sin
⇒ cos
=
7 .5′
2
2
2
2
o
4πR ∆ λ sin
2
ϕ 2 + ϕ1
= ? ⇒ ϕ 2 = ϕ 1 + 7 . 5′ ⇒ ϕ 1 = o ?
2
2
SİLİNDİRİK PROJEKSİYONLAR
Silindirik projeksiyonlarda dik koordinatlar ile coğrafi
koordinatlar arasında genel ilişki teğet silindir
durumunda,
)
y = λ , x = f(ϕ)
Kesen silindir durumunda ϕο boyu korunan paralel
dairenin enlemini göstermek üzere,
)
y = λ cos ϕ 0 , x = f( ϕ )
Bu ifadelerden anlaşılacağı üzere, tüm silindirik
projeksiyonlarda
teğet
silindir
durumunda
projeksiyonun deformasyon özelliklerine ek olarak
ekvatorun uzunluğu, kesen silindir durumunda ise iki
paralel dairenin uzunluğu korunmuş olmaktadır.
Teğet ve Kesen kavramı
TRANSVERSAL (YATIK)
TEĞET
KESEN
Meridyen Uzunluğu Koruyan Silindirik Projeksiyon
1) Ekvator uzunluğunu koruyan projeksiyon
2) Uzunluğu korunan iki paralel daire ile projeksiyon
Silindir yüzeyinin küreye teğet
olması sonucu ekvator
uzunluğu korunduğundan
“Ekvator uzunluğunu koruyan
projeksiyon”
2) Uzunluğu Korunan İki Paralel Daire İle Projeksiyon
Uzunluğu korunan iki paralel dairenin anlamı, silindir yüzeyinin
Küreyi +ϕ0, -ϕ0 enlemlerinde kesmesidir. Başka bir sözle,
Burada kesen silindirik projeksiyon söz konusudur.
İzdüşüm eşitlikleri:
)
)
x = ϕ , y = cos ϕ 0 λ
Alan Koruyan Silindirik Projeksiyonlar
Ekvator Uzunluğunu Koruyan Projeksiyon:
Alan koruma özelliği gereği herhangi bir ϕ enlemine kadar küre
kuşak alanı projeksiyonda buna karşılık gelen alana eşit olmalıdır.
)
2π sin ϕ = 2πx ⇒ x = sin ϕ , y = λ
2) Uzunluğu korunan iki paralel daire ile projeksiyon:
Kesen silindir durumunda eşitlikler,
)
cosϕ
x=
, y = cosϕo λ
cosϕ0
Konform Silindirik Projeksiyonlar
Bu projeksiyon ilk defa kendini Merkator olarak tanıtan G. Kremer
tarafından 1570 yılında bir dünya haritası için kullanılmıştır. Bu
nedenle Merkator Projeksiyonu olarak da bilinir. Bu
projeksiyonun eşitlikleri;
teğet silindir olması durumunda:
)
π ϕ 
x = ln tan + , y = λ
4 2
Kesen silindir olması durumunda:
)
π ϕ 
x = cos ϕ 0 ln tan  + , y = cos ϕ 0 λ
4 2
Transversal Konumlu Silindirik Projeksiyonlar
1)Soldner Projeksiyon
2)Gauss-Krüger Projeksiyon
Bu projeksiyonlar genel olarak jeodezik amaçlar için
geliştirilmiş projeksiyonlardır. En tanınmışları Soldner
(ordinat koruyan) ve konform (Gaus-Krüger)
projeksiyonlardır.
Normal Konumlu Silindirik Projeksiyonlar İçin Formül Özeti
Projeksiyon Türü
x
)
Merdiyen Uzunluğu Koruyan Teğet
ϕ
Merdiyen Uzunluğu Koruyan Kesen
ϕ
Alan Koruyan Teğet
sinϕ
Alan Koruyan Kesen
sin ϕ
cosϕ0
Konform Teğet
Konform Kesen
)
π ϕ 
ln tan + 
 4 2
π ϕ 
cosϕ0 ln tan + 
 4 2
y
)
λ
)
cosϕ 0λ
)
λ
)
cosϕ 0λ
)
λ
)
cosϕ 0λ
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 1: Meridyen boyları korunan normal korunumlu silindirik
projeksiyona göre yapılmış (projeksiyon yüzeyi teğet silindir)
güney-kuzey kenarı ∆ϕ = 1o , ∆λ= 1o30’ boyutlarında olan
paftanın (pafta alt-kenar enlemi 40o),
a) Yerküre üzerindeki alanını (R = 6370 km),
b) Yerküre üzerindeki kenar uzunluklarını,
c) Paftanın harita üzerindeki kenar uzunluklarını,
d) Paftanın harita üzerindeki alanını hesaplayınız.
Çözüm:
Örnek 2: Konform silindirik projeksiyona göre bir bölgenin
1:100000 ölçekli paftası yapılacaktır. Haritanın sol alt
köşesinin coğrafi koordinatları ϕ= 41o λ= 29o dir.
a) Paftanın yerküre ve projeksiyondaki kenar uzunluklarını,
b) Paftanın yerküre ve projeksiyondaki alanını ve bölge için
geçerli alan ölçeğini bulunuz.
Çözüm: 1:100 000 ölçekli pafta boyutu 30’ x 30’ dır.
x
Alan ölçeği:
1
f
=
⇒M =
2
M
F
F
= 75181
f
Örnek 3: Meridyen boylarını koruyan normal konumlu silindirik projeksiyona
göre bir bölgenin 1:250 000 ölçekli paftanın alt kenar enlemi 36o olup
silindir yerküreyi 20o paralel dairesi boyunca kesmektedir (R = 6370 km).
a) Paftanın yerküre üzerindeki alanını,
b) Kenarlarının yerkürede ve haritadaki uzunluklarını,
c) Paftanın haritadaki alanını hesaplayınız.
Çözüm: 1:250 000 ölçekli pafta boyutu 1ox 1.5o dir.
a) Yerkürede alan :
∆λo
2
ϕ1 = 36 ⇒ F = 2πR (sin ϕ 2 − sin ϕ1 )
=
14903
.
836
km
360o
b) Paftanın yerküre üzerindeki kenar uzunlukları :
o
2
∆λo
)
= 134.917 km
s AB = 2πR cos ϕ1
o
360
∆λo
)
⇒ sCD = 2πR cos ϕ 2
= 133.185km
o
360
∆ϕ o
)
)
= 111.177 km
s AD = s BC = 2πR
o
360
c) Paftanın harita üzerindeki kenar uzunlukları :
)
R
) R
= 62.68cm ⇒ s AD = sBC = ∆ϕ
= 44.47cm
s AB = sCD = ∆λ cos ϕ 0
M
M
d) Paftanın harita üzerindeki alanı :
f = s AB ⋅ s AD = 2787.54cm 2
Örnek 4: Normal konumlu alan koruyan kesen silindirik projeksiyon ile bir
bölgenin 1: 500 000 ölçekli haritası yapılacaktır. Silindir yerküreyi 20o
paralel dairesi boyunca kesmekte ve paftanın sol alt köşesinin enlemi 36o
kuzey, boylamı ise 27o batıdır (R = 6370 km). Verilenlere göre paftanın A
ve C noktalarının dik koordinatlarını bulunuz.
Çözüm: 1:500 000 ölçekli pafta boyutu 2ox 3o dir.
Projeksiyon :
R sin ϕ
x=
M cos ϕ0
)
R
y = cos ϕo λ
M
x A = 796 .90 cm , y A = 564 .15 cm , x C = 834 .69 cm , y C = 626 .84 cm
KONİK PROJEKSİYONLAR
Konik projeksiyonlar uygulamada, genel olarak, normal konumlu
ve orta enlemli bölgelerin haritaları için kullanılırlar. Coğrafi ağın
projeksiyon düzlemindeki görünümü azimutal projeksiyona
benzer. Ancak, yerküre üzerindeki boylam farkları ve onların
izdüşümleri olan α ve λ değerleri arasında aşağıdaki ilişki vardır.
α σ
σ
=
⇒n=
⇒α = n⋅λ
λ 2π
2π
Burada σ konin tepe açısı ve n ise küçültme faktörüdür. Burada
n değeri 0 ile 1 arasında değerler alabilir. n =1 olması
durumunda konin tepe noktası tabanı ile çakışır (yani koni
düzleme dönüşür). n = 0 olması durumunda ise konin tepe
noktası sonsuzdadır, yani koni silindire dönüşmüştür. Azimutal
ve silindirik projeksiyonlar konik projeksiyonların özel durumları
olarak edilebileceği sonucu çıkar.
Paralel dairelerin izdüşümleri ise yine daire eşmerkezli yayları
şeklinde olup, yarıçapları enlemin fonksiyonudur.
m = f (ϕ)
Koni yüzeyi küreye teğet ise konin küreye değdiği paralel
dairenin, koni küreyi kesiyorsa ise konin küreyi kestiği iki paralel
dairenin uzunlukları projeksiyonun deformasyon özelliklerinden
bağımsız olarak korunur.
Merdiyen Uzunluğu Koruyan Konik Projeksiyonlar
1. Uzunluğu Korunan Bir Paralel Daire İle projeksiyon
Çok çok eski zamanlardan beri bilinen bu projeksiyonda konik
projeksiyonların doğası gereği konin silindire teğet olduğu
paralel dairenin uzunluğu korunur. Bir önceki şekilden görüldüğü
gibi teğet paralel daireyi çizen yarıçap eşitliği,
mo = tanδo
Meridyen uzunluğu korunması ilkesine göre genel yarıçap
ifadesi aşağıdaki gibi bulunur:
m = mo + arc ( δ – δo )
Küçültme faktörü ise aşağıdaki gibi bulunur.
2π sin δ 0
σ
n=
⇒σ =
⇒ n = cos δ 0
2π
tan δ 0
Bu durumda genel projeksiyon eşitlikleri aşağıdaki gibi olur:
m = tanδo + arc (δ –δo ); α = cos δoλ
Kutup noktası için ( δ = 0) tan (δ o – δo ) > 0 olur.
Bunun anlamı kutbun izdüşümünün daire yayı olacağıdır.
Ancak, kutuplara yakın bölgelerde konik projeksiyonların
kullanılması uygun olmadığından, kutbun nokta olarak
aktarılmaması, önemli bir sorun oluşturmaz.
2. Uzunluğu Korunan İki Paralel Daire ile Projeksiyon
Ke
se
n
ko
n
id
ur
u
m
un
da
ko
ni
k
pr
oj
ek
siy
on
Bu projeksiyon ilk defa Fransız Astronom J. N. De I’sle tarafından
1745 yılında önerilmiştir. Alman imparatorluğunun 1: 200 000
Ölçekli topografik harita takımında, 1: 2 500 000 ölçekli Dünya
Harita Takımında ve eski Sovyet Sosyalist Cumhuriyetler
Birliği’nde bir çok küçük ölçekli haritanın geometrik çatısının
oluşturulmasında bu projeksiyon kullanılmıştır.
Konin küreyi kestiği iki paralel daire boyunca uzunluk
korunur. Bu dairelerin kutup uzaklıkları δ1 ve δ2 olmak
üzere ( δ2 > δ1 ) projeksiyon eşitliklikleri aşağıdaki gibidir:
δ0 =
δ1 + δ 2
2
;ε=
δ1 − δ 2
2
olmak üzere;
cos δ 0 sin ε
m = tan δ 0 cot ε ⋅ ε + arc(δ − δ 0 ); α =
⋅λ
)
)
ε
Meridyen uzunluğu koruma şartından dolayı uzunluğu korunan
iki paralel daire arasında kalan meridyen yayının (kürede) ve bu
yayın koni yüzeyindeki izdüşümünün birbirine eşit olması gerekir.
Biraz önce verilen şekilde dikkat edilirse bu şart gereği yay ve
kirişin birbirine eşit olması gerektiğidir. Bu durum kesen koni
varsayımın geometrik olarak kesin tanımlı olmadığını gösterir.
Alan Koruyan Konik Projeksiyonlar
1.Uzunluğu Korunan Bir Paralel Daire İle Projeksiyon
Bu projeksiyon iki şekilde gerçekleştirilir. Teğet koni
kabulüne göre çözüm yapılırsa kutup nokta ile gösterilmek
istenirse koni küreye teğet olmaz. Bu projeksiyon 1772
yılında J.H. Lambert tarafından geliştirildiğinden, Lambert
projeksiyon olarak da anılır.
2. Uzunluğu Korunan İki Paralel Daire İle Projeksiyon
Bu projeksiyon 1805 yılında H. C. Albers tarafından
geliştirildiği için Albers projeksiyonu olarak da anılır.
Genellikle orta enlemli bölgelere ait atlas haritalarında
kullanılır. Bu özelliği nedeniyle Türkiye için de uygun bir
projeksiyondur. Projeksiyon denklemlerinin elde edilmesi
için gereken şartlar, koninin küreyi deldiği iki paralel dairenin
uzunluğunun korunması ve herhangi iki paralel daire
arasında kalan alanın korunmasıdır.
Konform Konik Projeksiyonlar
Bu projeksiyonlar 1772 yılında Lambert tarafından
geliştirilmişlerdir. 2 tür projeksiyon vardır.
1.Uzunluğu Korunan Bir Paralel Daire İle Projeksiyon
2. Uzunluğu Korunan İki Paralel Daire İle Projeksiyon
Kesen Konik Projeksiyonlarda Kesen Koni Yüzeyin Seçimi
Bir bölgeye en iyi uyan konik projeksiyonun seçimi konusunda
Rus Kavraisky çeşitli bağıntılar önermiştir.
Bir bölgeye en iyi uyacak konik projeksiyonun standart paralellerin
(uzunluğu korunan paralel daireler) seçimi haritası yapılacak
bölgenin konumuna bağlıdır. Kavraiskyi, haritası yapılacak
bölgeleri şekillerine göre dört kategoride toplayarak, bu bölgeler
için önerdiği bağıntılarda kullanılmak üzere katsayılar vermiştir.
Kavraisky Katsayıları
K=7
Doğu-batı geniş
K=5
K : Kavraisky katsayısı
ϕ2 =
K=4
Dairesel
K=3
ϕ1 =
ϕ N − (ϕ N − ϕ S )
K
ϕ s + (ϕ N − ϕ S )
K
ϕN : Bölgenin en kuzeyinin enlemi
ϕS : Bölgenin en güneyinin enlemi
Normal Konumlu Konik Projeksiyon Formül Özeti
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 1: Normal konumlu uzunluk koruyan konik projeksiyonda
koni yerküreye 40oKuzey paraleli boyunca teğettir. Bölgenin
ortasından geçen meridyen 33oDoğu meridyenidir.
a) Teğet paralel dairenin projeksiyon yarıçapını,
b) Enlemi 36oKuzey ve boylamı 36oDoğu olan P noktasından
geçen paralel dairenin yarıçapını,
c) P noktası için projeksiyonun dik koordinatlarını hesaplayınız.
Çözüm:
a) m0 = R tanδo = 7591.470 km
b) mp = mo +R (δ - δo ) = 7591.470 km
c) n = cosδo =0.6427876 => αp = n(λp – λo ) = 3.8567 o
xp = mo –mp cosαp = -426.511 km
yp = mp sinαp = 540.527 km
Örnek 2: Kuzey kenarının enlemi 36o, batı kenarının boylamı 36o
olan bir bölgenin konform konik projeksiyona göre 1:2 000 000
ölçekli haritası yapılacaktır. Pafta için ∆ϕ = 8o , ∆λ =6o alınacaktır.
Teğet paralel dairenin enlemi 40o dir.
a)Paftanın yerkürede ve projeksiyondaki (haritadaki) alanını,
b)Paftanın köşegen uzunluğunun yerküredeki ve projeksiyondaki
değerini hesaplayınız.
Çözüm 2:
a) Yerküre üzerinde pafta alanı:
F = 2πR2 (sinϕ2 - sinϕ1)(∆λo/360o) = 502738.8882 km2
n =cosδo = 0.6427876097 => α = n∆λ=3.856725658o
tan δ 0
m=
δ 

 tan 0 
2

Harita alanı :
(
cos δ 0
f = π m12 − m22
δ

tan


2


α
) 360
o
cos δ 0
⇒ m1 = 446 .75 cm ve m2 = 401 .83 cm
= 1283 .09 cm 2
b) Yerkürede köşegen uzunluğu :
)
cos s AC = sin ϕ A sin ϕ C + cos ϕ A cos ϕ C ∆λ ⇒ s AC = 9.47589517 o ⇒ s AC = 1053 .506 km
Projeksiyo nda köşegen uzunluğu :
s AC =
(m1 − m2 cos α )2 m22 sin 2 α
= 53.21cm
GERÇEK ANLAMDA OLMAYAN PROJEKSİYONLAR
a) Silindirik Projeksiyonlar
McBryde-Thomas Basık kutuplu Sinüzoidal
Projeksiyon
Sinüzoidal Projeksiyon (Alan Koruyan)
Merkator-Sanson veya Sanson-Flamsteed
Olarak da bilinir.
Silindirik Projeksiyonlar (devamı)
Goode homolosine projeksiyonu
Robinson projeksiyonu
GERÇEK ANLAMDA OLMAYAN PROJEKSİYONLAR
b) Konik Projeksiyonlar
Bonne projeksiyonu (alan koruyan)
GERÇEK ANLAMDA OLMAYAN PROJEKSİYONLAR
c) Azimutal Projeksiyonlar
Hammer projeksiyonu (alan koruyan)
Aitoff projeksiyon (alan koruyan)
Azimutal Projeksiyonlar (devamı)
Eckert-Greifender (alan koruyan)
Wagner 7 (alan koruyan)