1 1.Projenin Adı :Pascal üçgeni bizi şaşırtmaya devam ediyor. 2

1.Projenin Adı :Pascal üçgeni bizi şaşırtmaya devam ediyor.
2.Projenin amacı:Bu projede lise müfredatında genellikle binom açılımındaki
katsayıları bulmak için kullanılan pascal üçgeninin başka özelliklerini ortaya koymak
istedik.Gerçekten de gördük ki pascal üçgeni içinde birçok güzelliği barındıran bir yapı
3.Giriş: Pascal üçgeninin bildiğimiz özellikleri yanında bilmediğimiz birçok sayı çeşidini
, matematiğin birçok alanında kullandığımız değişik sayı dizlerini barındırdığını gördük.
Lisede sadece binom açılımında katsayıları bulabilmek için kullandığımız pascal
üçgeninin böyle gizemli bir özelliğinin olması bizi çok etkiledi. Araştırmalarımızı
ilerlettikçe pascal üçgeninin yanı sıra pascal piramitini gördük.Pascal piramiti de üç
terimli ifadelerin açılımındaki katsayıları yazmada çok kullanışlıydı.Bu projeyi
hazırlarken birçok yeni bilgi edindik ve eğlendik.
4.Projede kullanılan yöntem:Kombinatorik , limit , toplam çarpım sembolleri yöntem
olarak kullanılmıştır.
Bölüm 1. Pascal üçgenindeki sayılar:
Adı Pascal Üçgeni olmasına rağmen bu sayılarla tarihte ilk ilgilenen kişiler
Pascal’dan çok daha önce yaşamışlardır. 1070 yılları civarında İranlı Matematikçi ,
astronom ve filozof Ömer HAYYAM binom açılımı ve katsayıları ile ilgili çalışmalar
yapmıştır. Daha sonraları 13. yy da Pascal üçgeninin aynı modeliyle Çinli Yang Hui’nin
uğraştığını biliyoruz.Bu nedenle bugün bile Çin’de bu üçgene Yang Hui Üçgeni
denilmektedir.daha sonraları 1650 yılları civarına geldiğimizde Fransız Matematikçi
Blaise Pascal karşımıza çıkıyor.Pascal , sık sık Pierre de Fermat ile atılan zarlarda
olasılık hesaplarını tartışıyordu.Bu tartışmada ortaya çıkan değerler Pascalın bu üçgeni
araştırmasında etkili olmuştur.Pascal Üçgeni bugün iki önemli alanda
kullanılmaktadır.Algebra ve Olasılık.Pascal 1662 de 39 yaşında , kitabını
yayınlayamadan öldü. 1665 yılında kitabı “Traite du triangle arithmetique” ( Aritmetik
üçgenin bilimsel incelenmesi) yayınlandı.1700 yılında iki matematikçi Pierre Raymond
de Montmort ve Abraham de Moivre , Pascalın ardından yayınladıkları makalelerde bu
üçgeni kullanmışlar ve literatüre bu üçgenin Pascalın Aritmetik Üçgeni olarak geçmesini
sağlamışlardır.
Şimdi pascal üçgeninin nasıl oluşturulduğuna bir bakalım.
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
Şekil - 1
Yukarıda görüldüğü gibi bir önceki satırdaki rakamların toplamı bir sonraki
satırdaki rakamı veriyor.Bu şekilde pascal üçgenini oluşturmak çok kolay.
1
Şekil - 2
2
Biraz daha matematiğe girersek ozaman ;
0
 
0
0. satır
1 
 
0
1.satır
2.satır
 2
 
0
3
3.satır  
0
 1
 
 1
 2
 
1 
 3
 
1 
 2
 
 2
3
 
 2
 3
 
 3
Şeklinde oluşturulabilir. Pascal üçgeninin her elemanı bulunduğu satıra
göre kombinasyon işlemi ile bulunabiliyor.
1-a) Binom Açılımı : Pascal Üçgeni bizler tarafından genellikle binom açılımındaki
katsayıları bulmak için kullanılır. Kombinasyon konusunu bilmeyen biri çok rahatlıkla
pascal üçgenini oluşturabildiği için katsayıları bulabilir.
a  b3  1 a 3 + 3 a 2b + 3 ab 2 + 1 b 3
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
Tabiki biz binom açılımını bu şekilde göstermeyeceğiz. Aşağıda binom açılımının genel
ifadesi verilmiştir.
n
(a  b)   nr  a nr b r
n
r 0
3
n=3 için ;
3
 3
3
 3
(a  b)   3r  a 3 r b r   a 3b 0   a 2b   ab 2   b 3
r 0
 0
1 
 2
 3
3
3
 a 3  3a 2b  3ab 2  b3
Görüldüğü gibi yukarıda yazılan formül sayesinde herhangi bir binom açılımının
herhangi bir terimini rahatlıkla bulabiliyoruz.
Kısaca binom açılımından bahsettik. Bir sonraki bölümde ise daha yoğun olarak
pascal üçgeni ve barındırdığı özelliklere bakacağız.
1-b) Pascal Üçgeni:
Tepe Noktası
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
28
15
4
1
10
20
35
56
2.Satır
3.Satır
6
10
21
1
31
4
6
7
8
2
5
1.Satır
1
5
15
35
70
1
6
21
56
1
7
28
1
8
1
Şekil - 3
Pascal üçgeninde sayıların sıralanışına baktığımızda birçok tanıdık sayıyı
görebiliriz.Şekil – 3 te mavi ile işaretlenmiş olanlar bildiğimiz sayma sayıları. Kırmızı ile
işaretlenmiş olanlar özel bir gruba girer mi? Ya yeşil ile işaretlenmiş olanlar.Sadece bu
kadar mı? Bu bölümde bu sayıları inceleyeceğiz.
4
1-b) Çokgensel sayılar: Pascal Üçgeninde karşımıza çıkan sayılardan biri üçgensel
sayılardır.Üçgensel sayıların ne olduğunu anlatmadan önce çokgensel sayı kavramına
bir bakalım.Çokgensel sayılar ; üçgensel sayı , dörtgensel sayı , beşgensel sayı.... gibi
sınıflandırılmaktadırlar.Bu sayıları sınıflandırırken dikkat edilecek nokta ise
şudur.Örneğin özdeş küçük topları kullanarak kareler yapmak istiyoruz.İlk elemanımız
herzaman 1 olarak kabul ediliyor .Daha sonraki kareyi oluşturmak için 4 topa ihtiyaç
duyarız.Bir sonraki adımda ise 9 top gerekir.O zaman dörtgensel sayı elemanları 1,4,9
şeklinde gider. Şimdi aşağıda genel olarak çokgensel bir sayının herhangi bir elemanını
nasıl bulacağımızı göstereceğiz.
Teorem 1: Her hangi bir n-gen sayının k. Terimi
Gn k   n  1k  1 
k  2k  1n  2  1
2
, n  3 ve k  1 dir.
İspat :
Şekil - 4
İlk olarak Gn(k)
k. n- gen sayı olmak üzere tanımlayalım. Şekil-4 de
görüldüğü gibi n-1 tane çubuk var. Ve her çubukta k-1 tane nokta var.( kırmızı
nokta ortak nokta olduğu için sayılmıyor).Bu şekilde hesaplarsak toplamda (n-1).(k-1)
tane noktamız oldu. Şekle baktığımızda bir n-gen için toplam (n-2) adet üçgen
oluşmakta.Her üçgene baktığımızda toplamda 1+2+3+4+........... k-2 tane nokta
görülmekte ( sarı noktalar).Buradan da bir üçgendeki sarı noktaların toplamının
k  2k  1
olduğunu bulabiliriz. n-2 tane üçgen olduğundan bütün sarı noktalar
2
k  2k  1n  2 olur.
2
Bu bulduğumuz sonuçları birleştirdiğimizde ;
Gn k   n  1k  1 
k  2k  1n  2  1
2
5
genel formülü bulunur.
Şimdi bulduğumuz formülü kullanmaya başlayalım. İlk olarak üçgensel sayıları
bulalım. Birinci üçgensel sayı, n=3 ve k=1 için; G3 1  1
n=3 ve k=2 için ; G3 2  3
n=3 ve k=3 için ; G3 3  6
n=3 ve k=4 için ; G3 4  10
n=3 ve k=5 için ; G3 5  15
Üçgensel sayıların ilk beş elemanını bulduk.Şimdi şekil – 3 ‘e baktığımızda aynı
sayıları kırmızı ile işaretlenmiş kısımda görüyoruz.Üçgensel sayılar için genel bir formül
bulmak istersek de ; n=3 olarak aldığımızda
G3 k   2k  1 
k  2k  11  1  G k   k k  1
3
2
2
olur.
Aslında yukarıda bulduğumuz üçgensel sayı genel formülünü pascal üçgenine bakarak
da bulabiliriz.Pascal üçgenine baktığımızda üçgensel sayı dizisinin her elemanı 2’li
kombinasyonlara denk gelmekte, yani C(2,2)=1 , C(3,2)=3 , C(4,2)=6 gibi. Genel
Formül ise
C(k,2) = k.(k+1)/2 olur.
Bu sayılara neden üçgensel sayı denildiğini açıklayalım.Şekil – 5 te görüldüğü gibi
özdeş toplardan üçgenler yaparsak bu üçgeni oluşturan topların sayıları bize üçgensel
sayıları vermektedir.
1
3
6
10
15
21
Şekil - 5
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210,
231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703,
741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378,
1431
Üçgensel sayı dizisinde büyük puntolarla yazılmış olan sayılara dikkatinizi çekmek
istiyoruz.Pascal üçgeni incelerken üçgensel sayılar dizisini gördük.Üçgensel sayıları da
incelerken , bütün çift mükemmel sayıların aslında üçgensel sayı dizisinin bir elemanı
olduğunu farkettik.Bu da bizi çift mükemmel sayıların üçgensel sayılar yardımıyla ifade
edilebileceği sonucuna götürdü.
6
1-c) Mükemmel Sayılar: Tüm pozitif bölenlerinin toplamı kendisinin iki katına eşit
olan sayılara mükemmel sayılar denir.
Örneğin; 6 sayısının tüm pozitif bölenleri 1 , 2 ,3 ve 6 dır.
1+2+3 +6= 12 olur. 28 sayısını ele alalım. 1+2+4+7+14+28 = 56 olur.Şimdi neden
tüm çift mükemmel sayıların üçgensel sayı dizisinde ortaya çıktığını gösterelim.
Teorem 2:
q  2k  1
asal sayı olmak üzere
İspat:Bir  fonksiyonu tanımlayalım ve
 
n  2 k 1  q mükemmel sayıdır.
 (n)  tüm pozitif bölenlerin toplamı olsun. O
 n  2n olduğunu gösterirsek ispatımızı tamamlamış olacağız.
zaman
q asal sayı olduğundan
olur . Ayrıca 2’nin kuvveti olan bir sayının tüm
 (2 )  2  1 dır.
a
a
a
)   ( p1 1 ) ( p2 2 )......... ( pr r ) olduğundan ;
pozitif bölenlerinin sayısı ;
 ( p1 p2 ........... pr
a1
a2
ar
a
a
a
n= p1 1 p2 2 ........... pr r
k 1
k
asal çarpanlar şeklinde yazılabilir.
 (n)   (2 k 1 ). (q)  (2 k  1)(q  1)   (n)  (2 k  1)(2 k )   (n)  (
2 k  1)(2 k 1 )2



n
  ( n)  2n
*
olur.
Böylece ispatımızı tamamlamış olduk.
 
k 1
Teorem 3: q asal sayı olmak üzere , n  2
 q çift mükemmel sayı ise q  2  1
formunda bir asal sayıdır. (Mersenne Asalları)
k
  q mükemmel sayı ve  (n)  2n
İspat: Bir önceki ispatımızda n  2
söylemiştik.
k 1
olduğunu
 (n)  (q  1).(2k  1)  2n  (q  1)(2k  1)  2.q.2k 1  (q  1)(2k  1)  q2 k 
q2 k  q  2 k  1  q2 k  q  2 k  1 olur.
Buradan n ‘ nin mükemmel sayı olabilmesi için q asal sayısının 2  1 formunda
olması gerektiği ortaya çıkmaktadır.Bu tip asallara Mersenne Asalları denir.Mersenne
k
Asallarını M p ile gösterirsek,
 (n)  (2 k  1)(q  1) ifadesi;
 (n)  2n  (q  1)(2k  1) ve M p  q  2 k  1 ve M p  1  q  1  2 k olduğundan;
1
n  ( M p  1)(M p )  (2 k 1 )(2 k  1) olur.
2
Üçgensel sayı genel formülünün G3 k  
k k  1
formunda olduğunu biliyoruz .
2
7
Her çift mükemmel sayının da n 
1
( M p  1)(M p ) formunda olduğunu
2
gösterdik.İspatımız tamamlanmış oldu.
[1]
Aşağıdaki tabloda da pascal üçgenindeki köşegenlerin (Şekil-3 ) nasıl
oluştuğunu görebiliriz.
ÇEMBER
NOKTA
SAYISI
DOĞRU
PARÇASI
SAYISI
ÜÇGEN
SAYISI
DÖRTGEN
SAYISI
BEŞGEN
SAYISI
ALTIGEN
SAYISI
1
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
3
3
1
0
0
0
4
6
4
1
0
0
5
10
10
5
1
0
6
15
20
15
6
1
[2]
Şekil - 6
8
1-d) e sayısı: Pascal Üçgeni ile ilgili olarak son sözlerimiz aşağıdaki şaşırtıcı ispat
olacaktır.Ancak ispata geçmeden önce bazı ön bilgileri verelim. Şekil – 7 de her
satırdaki sayıların çarpımının yanlarına yazıldığını görüyoruz.e sayısı hakkında da bilgi
verelim. Euler sayısı veya Napier sabiti olarak bilinen bu sabit sayı matematiğin bir çok
alanında kullanılmaktadır.Pi sayısı gibi kesin bir değeri yoktur. Yaklaşık değeri
2,718281828459............ dir.
 1
lim 1  
n
n
n
ifadesinin sonucu e sayısını verir.
1
1
1
1
1
1
2
1
1
3
3
2
1
9
96
1
4
1
5
1
6
1
8
10
15
7
1
6
21
28
4
10
20
35
56
5
15
35
70
96
1
1
2500
6
21
56
1
162000
7
28
26471025
1
8
11014635520
1
Şekil - 7
Pascal üçgeninin şöyle bir özelliği var.
Teorem 4:
Sn
n. satırdaki sayıların çarpımı olsun. O zaman lim
n
S n1  S n1
Sn
2
e
dir.
n
Pascal üçgeninin n. satırındaki elemanlar   şeklinde yazılabildiğinden;
k
İspat:
Sn 
 n  n!
   n
2
k 0  k 
 k!
 
n 1
n

olur. Buradan,
k 0
9
(n  1) n 1  (n  1)!
1
(n  1) n 1
1
(n  1) n1
(n  1) n





1
1
(n  1)!
(n  1)!
n!
(n  1)!2
S n1 (n  1) n
S n ( n) n


olur. Aynı şekilde
olur.
Sn
n!
Sn -1
n!
S n1
Sn
Son olarak lim
ifadesinin sonucuna bakalım.
n  S n
S n -1
S n1
n
n
Sn
(n  1) n n!
(n  1) n
 n 1
 1
lim
 lim
 n  lim
  lim 
  lim 1    e
n S n
n
n ( n) n
n n 
n
n!
n
( n)
S n -1
bulunur.
[3]
1-d) Pascal Piramidi :Nasıl Pascal Üçgeni (a + b )n ifadesinin açılımının katsayılarını
veriyorsa , pascal piramidi de (a + b + c)n ifadesinin açılımının katsayılarını
vermektedir.projemizin bu bölümünde pascal Piramidinin nasıl oluşturulduğunu
göreceğiz.
1
Tepe Noktası
1
1
1
1
1. Katman
2
2
1
2. Katman
1
2
1
3
3
1
3
6
1
3
1
4
4
6
12
4
12
4
3. Katman
3
6
1
3
4
12
4
6
Şekil - 8
10
1
4. Katman
Şekil- 8 debir Pascal Piramidi görülmektedir. Üç boyutlu olarak düşünüldüğünde bu
piramidi katman katman incelememiz gerektiği ortaya çıkmaktadır.Piramidin tepe
noktası sadece 1 rakamından oluşan yerdir.Birinci katman ise 1-1-1 sayılarından
oluşmaktadır.İkinci katman bir önceki katmandaki rakamların toplamı ile elde edilen 1-21-2-1-2 katmanıdır.Bu şekilde sürdürüldüğünde bir önceki katman sayılarından bir
sonraki katmanının sayılarını elde edebiliyoruz. Pascal üçgeninde görmüş olduğumuz
özelliklerin bir çoğu pascal Piramidinde de vardır.İlk olarak 3. Katmanı ele alalım ;
a0 c3
1
a1
3
a2
3
a3
1
b0
c2
3
c1
3
6
3
3
b2
b1
c0
1
b3
Şekil - 9
3. Katman sayıları , 1-3-3-1-3-3-1-3-3-6 dır.
a  b  c3  a 3  3ac 2  3bc 2  3a 2 c  6abc  3b 2 c  b3  3a 2b  3ab 2  c 3
Şekil – 9 da görüldüğü gibi , açılımın katsayıları , 3. Katmandaki sayılardan
oluşmaktadır. Ayrıca şekil-7 de dikkat çeken bir başka özellik ise her katmandaki
sayıların toplamıdır.Tepe noktası 1 dir. Birinci katmandaki sayıların toplamı 3 tür.2.
katmandaki sayıların toplamı 9 dur.3. katmandaki sayıların toplamı 27 dir. 4.
Katmandaki sayıların toplamı da 81 olur. Yani;
30=1 , 31=3 ,
32=9
, 33=27 , 34= 81 dir.Bu kural pascal üçgeninde de
2’nin kuvvetleri olarak karşımıza çıkmaktadır.
20=1
,
21=2
,
23=8
,
24=16
............................(Şekil – 3)
Şekil -3 de ki Pascal Üçgenini hatırlarsak bir satırdaki ardışık iki elamanın toplamı
bir sonraki satırın elemanını oluşturmaktaydı. Şimdi bu özelliği ispatlayalım.
Teorem 5:
 n  1  n  1  n 
  
    , ( toplam özelliği)
 r   r  1  r 
1  r  n  1 ve r , n  Z olmak üzere , 
İspat:
 n  1  n  1  (n  1)!  
(n  1)!   (n - 1)!(n - r)  (n - 1)!.r 

  
  
  
  
 
r
r

1
(
n

1

r
)!

r
!
(
n

r
)!

(
r

1
)!
(n
r)!.r!

 
 
 
 

[(n-r)]
[(r)]
11
(n  1)!.n  
(n  r )!.r!
 n
n!
 (n  r )!.r!  =  r  olur. İspat tamamlanmıştır.

  
Şimdi de üç boyutlu piramidin yapılandırılmasında kullanacağımız bir gösterimi
tanımlayalım.
 n 
n!

 
 a b c  a!.b!.c!
şeklinde ifade edilebilir.
(*)
İki boyutta ispatladığımız teoremin (teorem 5) üç boyutta karşılığı var mıdır?
Teorem 6 : m +n +k= a+1
ise
  a 1 


k   m n k 
a
a
a

 
 

  
  
 m n k - 1  m n - 1 k   m  1 n
İspat:
a
a
a

 
 

  
  
 m n k - 1  m n - 1 k   m  1 n

a!
a!
a!
 


(*)
k  m!n!(k  1)! m!(n  1)!k! (m  1)!n!k!
a!k  a!n  a!m
a!(m  n  k )
a!(a  1)
(a  1)!  a  1 
 olur.




m!n!k!
m!n!k!
m!n!k!
m!n!k!  m n k 
Son olarak da Pascal Piramidinin kombinasyon kullanılarak nasıl
oluşturulabileceğini görelim.
 4 


 4 0 0
 4 


3 1 0
 4 


 2 2 0
 4 


1 3 0 
 4 


 0 4 0
 4 


 2 1 1
 4 


1 2 1
 4 


 0 3 1
 4 


 3 0 1
 4 


 2 0 2
 4 
 4 




1 1 2 
1 0 3 
 4 
 4 
 4 






 0 2 2
 0 1 3
 0 0 4
Şekil - 10
Yukarıda Pascal piramidinin 4. Katmanının nasıl oluşturulabileceği gösterilmiştir. (*)
kuralını kullandığımızda her ifadenin sayısal değeri karşımıza çıkar.
12
2- Catalan Sayıları: Eugene Charles CATALAN (1814 – 1894) tarafından tanımlanmış
olan sayılardır.Bu sayılar , bir çokgenin birbirini kesmeyen köşegenler tarafından kaç
üçgene ayrılabileceği sorusuna cevap verir.Catalan sayıları dizisi ; 1 , 2 , 5 , 14 , 42 ,
132 , 429 , ........ şeklinde giden sayılardır.
Catalan Sayılarının pascal üçgeni ile ilgisi nedir? Şimdi bu sorunun cevabını
arayacağız. Pascal Üçgeninin simetri ekseni üzerindeki sayılardan ,komsu sütundaki sayıları
çıkardığımızda karşımıza katalan sayıları çıkıyor.
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
5
7
6
10
10
35
56
1
4
20
15
21
28
3
4
6
8
3
1
1
5
15
35
70
1
6
21
56
1
7
28
1
8
C0 = 1-0=1 , C1 =2-1=1 , C 2 = 6-4=2 , C3 =20-15=5 , C 4 =70-56=14.
Şekil - 11
Buradan hareketle Catalan Sayıları için genel formülü çıkrabiliriz.
Theorem 7: Cn 
(2n)!
formundaki sayılara catalan sayıları denir.
(n  1)!n!
13
1
İspat:Pascal üçgeninin simetri eksenindeki sayılar C(2n,n) şeklinde ifade edilebilir. Bir
sonraki terim ise C(2n,n+1) olarak bulunur. O zaman
 2n   2n 
   
 sonucu Catalan sayı genel formülünü sağlamalıdır.
n
n

1
  

(2n)!
(2n)!
(2n)!(n  1)  (2n)!.n
(2n)!



olarak bulunur.
n!n! (n  1)!(n  1)!
n!(n  1)!
(n  1)!n!
Şimdi Catalan Sayıların tanımında verdiğimiz çokgenlerin üçgenlere
ayrılma durumlarını inceleyelim. C n n. catalan sayı , ve çokgenimiz de n+2 gen olmak
üzere aşağıdaki şekilde Catalan Sayıları ortaya çıkmaktadır.
2-a) Çokgenlerin Üçgenlere Bölünmesi:
Şekil - 12
Bu sayıların kullanıldığı çok çeşitli problemler vardır.Yukarıda şekil –
9 daçokgenlerin birbirini kesmeyecek köşegenlerle kaç değişik yolla üçgenlere ayrılır
sorusunun cevabını görüyoruz.
2-b)Dengeli Parantezler: Elimizde n tane açan ( n tanede kapatan ) parantez
olsun.Bu parantezleri dengeli bir şekilde nasıl düzenleyebiliriz.Dengeli dediğimizde her
açan parantezin bir kapatanı olmalı anlamı çıkmaktadır.Aşağıda görüldüğü üzere
parantezlerin sıralanma sayısı Catalan Sayıları vermektedir.
14
n=0
Boş küme
n=1
()
n=2
()(),(())
n=3
()()(),((())),(())(),()(()),(()())
n=4
( ) ( ) ( ) ( ), ()()(()), ( ) ( ( ) ) ( ), ()(()()),
( ) ( ( ( ) ) ), (())()(), ( ( ) ) ( ( ) ), (()())(), ( ( ( ) ) ) ( ),
(()()()),( ( ) ( ( ) ) ), ((())()), ( ( ( ) ( ) ) ), (((())))
1
1
2
5
14
Şekil - 13
2-c)Sıradağlar Problemi:Kombinatorik konusunda sorulan bir problem çeşidi de
Sıradağlar Problemidir.Burada n tane yukarı doğru eğimli ve n tane de aşağı doğru
eğimli çizgi çizerek başlangıç seviyesinin üzerinde kalan dağların sayısını bulmak
amaçtır.
n=0
Boş küme
n=1
/\
n=2
/\
/\/\ , / \
n=3
1
1
2
/\
/\ /\
/\ /\ / \
/\ /\ /\ , /\ / \ , / \ /\ , / \ , / \
5
Şekil - 14
2-d)Köşegenin Altındaki Yol Sayısı (Dyck Path): Bu soru tipinde n x n boyutundaki
kare şeklindeki ızgaranın ( bir şehrin yolları da olabilir) alt köşesinden başlayarak , üst
çapraz köşeye ulaşabileceğimiz kaç yol olduğu sorulur ancak köşegenin diğer tarafına
geçmemek kaydıyla.Başka bir anlatımla (0,0) noktasından (n,n) noktasına , y=x
doğrusunun altında kalmak şartıyla kaç değişik yoldan gidilebilir.
Şekil - 15
15
Aslında Şekil – 15 de görüldüğü gibi bu soru tipi sıradağlar soru tipine çevrilip
çözülebilmektedir. Yukarıdaki 5 x 5 karesinde bir köşeden diğer köşeye köşegenin
altında kalmak üzere gidebilen yol adedi aşağıda şekil – 16 de gösterilmiştir.
Şekil - 16
Görüldüğü gibi A noktasından B noktasına gitmek için toplam 42 yol vardır.Aynı
sonuca catalan sayılar formülünden de ulaşabiliriz. n=5 olduğu için ;
Cn 
(2n)!
10!
 C5 
 C5  42 olur.
(n  1)!n!
6!5!
Catalan Sayılarının ilk 25 elemanını içeren dizisi aşağıdaki gibidir.
16
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900,
2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420,
24466267020,91482563640,343059613650,1289904147324, . . .
C6 22
C
C
C1
C
C4
 1 , 2  2 , 3  2,5 ,
 2,8 , 5  3 ,

 3,1428 ,
C0
C1
C2
C3
C4
C5
7
C 24 1289904147324
C7
 3,25 ........................,

 3,76
C6
C 23 343059613650
Ardışık iki elemandan büyük olanı küçük olana böldüğümüzde yukarıdaki
değerler çıkıyor.Altıncı catalan sayısının beşinci catalan sayısına oranı bize yaklaşık
olarak  sayısının değerini veriyor.Catalan sayıları büyüdükçe acaba bu oran bir
sayıya yakınsayacak mı yoksa artarak devam mı edecek? Şimdi bu sorunun cevabını
bulalım.
n+1 . catalan sayımız ; C n1 
lim
n 
C n 1
Cn
(2n  2)!
(2n)!
ve n. catalan sayımız ; C n 
(n  2)!(n  1)!
(n  1)!n!
(2n  2)!
(n  2)!(n  1)!

?
(2n)!
(n  1)!n!
(2n  2)(2n  1)(2n)! (n  1)!n!
(2n  2)(2n  1)
4n  2

 lim
 lim
 4 olur.
n (n  2).(n  1)!( n  1).n!
n (n  2)(n  1)
n n  2
(2n)!
lim
C n1
 4 diyebiliriz. Yani bir sonra gelen catalan sayısı bir önceki sayının
Cn
4 katından küçük olmak zorundadır.
Sonuç olarak
5.Sonuçlar ve tartışmalar: Pascal üçgeninin birçok sayı ve sayı dizisini
barındırdığını gördük . Çift mükemmel sayıların bir üçgensel sayı olduğunu gösterdik .
17
Tüm üçgensel sayılar da pascal üçgeni içinde bulunduklarından pascal üçgeninin tüm
çift mükemmel sayıları içerdiği sonucuna vardık. e sabitinin pascal üçgeninin içinde
varolduğunu ispatladık. Nasıl pascal üçgeni iki terimli ifadelerin açılımındaki katsayıları
oluşturuyorsa , üçlü ifadelerin açılımlarında da üç boyutlu pascal piramidi yapısının
kullanılabileceği sonucuna vardık.Bu yapının kombinasyon kullanılarak da
oluşturulabileceğini gösterdik.
Birçok kombinatorik soru tipinin temelini teşkil eden Catalan sayılarının da pascal
üçgeninden türetilebilceğini gösterdik.Bu soru tiplerinden bazılarını örnek olarak
projemizde sunduk.
Bir sonraki çalışmalarımızda dört terimli ifadelerin açılımlarında katsayıları
belirleyebileceğimiz bir yapının olup olmadığı sorusuna cevap arayacağız.
6. Teşekkür: Yazarlar, bu çalışmamızdaki problemlere dikkatimizi yönelten,
Matematik Zümre Başkanımız Sayın SinemÖzdemir’e, Matematik Öğretmenimiz
Sayın Savaş Akyıldız’a, okulumuzda tüm olanakları bize açan Sayın Okul Müdürümüz
Ömer Orhan’a samimi teşekkürlerini sunarlar.
7. Kaynaklar:
[1]
http://mathworld.wolfram.com
[ 2 ] http://britton.disted.camosun.bc.ca/pascal/pascal.html
[ 3 ] H.S BROTHERS ,” finding e in pascals triangle”
Mathematics Magazine 85 no:1 2012 , 51
18