Fiksatörün En Yakın Noktalar Yaklaşımıyla Tekillik Denetimi

15-18 Ekim 2015
Vogue Hotel Bodrum, Muğla
Tıbbi Görüntüleme 5
2. Gün / 16 Ekim 2015, Cuma
Fiksatörün En Yakn Noktalar Yaklaşmyla Tekillik Denetimi
Singularity Analysis of a Fixator by Closest Points Approach
İ. D. Akçal 1, E. Avşar 2, A. Durmaz1, İ. Sağdç1, A. Aydn2, M.K. Ün2,
H. Mutlu3, T. İbrikçi2, C. Özkan4, Ö.S. Biçer4
1
2
3
MACTİMARUM Arş. ve Uyg. Mrkz.
Çukurova Üniversitesi
[email protected]
4
Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü
Çukurova Üniversitesi
{ercanavsar, aaydin, keremun, ibrikci}@cu.edu.tr
Makina Mühendisliği Bölümü
Mersin Üniversitesi
[email protected]
Ortopedi ve Travmatoloji Anabilim Dal
Çukurova Üniversitesi
[email protected]
Kemik fragmanlarnn hizal bir şekilde üst üste gelmesini
sağlayacak olan çubuk uzunluklarnn hesaplanma yöntemi
[4], bu hizalanma işlemi için gerekli olan geometrik
parametrelerin X-ray görüntülerinden elde edilmesi [5] ve
sistem parametrelerinin tedavi süreci üzerindeki etkisini
gösteren arayüz ve simülasyon çalşmalar [6] daha önceden
yaplmştr.
Medikal uygulamalarda öncelikli olarak gözetilmesi
gereken faktör hasta sağlğdr. Bu yüzden harici fiksatörlerde
de tedavi süresince cihazn hastaya herhangi bir zarar
vermeden güvenli bir şekilde kemik fragmanlarn hizalamas
esastr. Fiksatörler için hasta sağlğ konusunda risk arz eden
en önemli unsur tekillik durumudur. Tekil bir durumda
matematiksel işlemler durduğu gibi fiksatörün kararl yaps da
bozulmaktadr.
Yani
fiksatör
üzerindeki
kontrol
kaybedilmektedir. Bu amaçla, sağlksz ilk konumdan,
hizalanmş sağlkl konuma kadarki tüm fiksatör
konfigürasyonlar tedaviye başlamadan önce hesaplanmal ve
tekillik analizi yaplmaldr; olas bir tekillik durumunda da
doktor önceden uyarlmaldr.
Bu çalşmada, daha önceden yaplmş olan tekillik analizi
yöntemlerine [7,8] ek olarak yeni bir yöntem daha
sunulmaktadr. En yakn noktalar yaklaşm ismindeki bu
yönteme göre halkalar birbirine bağlayan alt çubuktan dört
veya daha fazlasnn uzayda kesişmesi durumunda fiksatör
tekil duruma düşmektedir. Bu durumun diğer tekillik analizi
yöntemleriyle tutarl olduğu saysal örneklerle gösterilmiştir.
Hasta sağlğnn güvenceye alnmş olmasndan emin olmak
adna, tekillik analizinin birden çok yöntemle yaplmas önem
taşmaktadr.
Özetçe
Harici fiksatörler ortopedi alannda yaygn olarak kullanlan
robotik cihazlardr. Bu cihazlarn, kemik fragmanlarn
istenilen konuma getirmesi esnasnda hasta sağlğ için
herhangi bir tehdit oluşturmamas gerekmektedir. Bahsedilen
tehdit kaynaklarndan bir tanesi tekilliktir. Tekil bir konumda
fiksatörün kararl yaps kaybolur ve fiksatörün alt ve üst
halkalar bağmsz şekilde hareket edebilir. Bu çalşmada,
geometrik bir yöntem olan, en yakn noktalar yaklaşm ile
tekillik analizi yaplmştr. Bu yaklaşmn diğer tekillik analizi
yöntemleri ile tutarl sonuçlar vermiş olduğu gösterilmiştir.
Anahtar Kelimeler — harici fiksatör; tekillik; ortopedi.
Abstract
External fixators are robotic devices widely used in
orthopaedics. While bringing the bone fragments to a desired
position, these devices should not present any threat to the
patient health. One of the threat causes is singularity. In a
singular position, stable structure of the fixator is lost and its
top and bottom rings may move independently. In this work,
singularity analysis is performed with a geometric method,
closest points approach. It has been shown that results of this
approach are consistent with the other singularity analysis
methods.
Keywords — external fixator; singularity; orthopaedics.
1. Giriş
2. Harici fiksatörlerdeki tekillik sorununa
geometrik yaklaşm
Harici fiksatörlerin ortopedi alannda kullanlmas uzun
yllar öncesine dayansa da, bu cihazlardan etkili biçimde
yararlanlmasnn temelleri İlizarov’un halka fiksatörleri
geliştirmesi ile atlmştr [1]. İlizarov’un yönteminde dönme
ve öteleme hareketleri ayr ayr yaplyorken, dönme ve
öteleme hareketlerine ayn anda olanak sağlayan alt serbestlik
derecesine sahip paralel platform yapsndaki ilk başarl
uygulama örneği Taylor Spatial Frame ile elde edilmiştir [2,3].
Paralel platform yapsndaki harici halka fiksatörler genel
olarak proksimal (üst) ve distal (alt) halkalar ile bu halkalar
üzerinde eşit aralklarla bulunan deliklere monte edilerek
halkalar birbirine bağlayan çubuklardan oluşur. Tedavi
edilecek olan kemik fragmanlarnn halkalara tespit
edilmesinden sonra çubuk uzunluklarnn değiştirilmesi ile
fragmanlarn hareketi kontrol edilir.
Bu çalşmada harici fiksatör olarak (6-6) tipi GoughStewart Platform yapsndaki bir robot dikkate alnacaktr. Bu
yapdaki bir harici fiksatörde iki halka uzunluklar
ayarlanabilen 6 adet çubuk tarafndan 6 adet küresel ve 6 adet
de üniversal mafsallar yoluyla birbirine bağlanmştr, Şekil 1.
Harici fiksatörün güvenli olarak kullanlabilmesi amacyla
tekilliğin ortaya çkarlmas ve giderilmesi sorununa geometrik
olarak yaklaşmak olasdr. Söz konusu geometrik
yaklaşmlardan bir tanesi de en yakn noktalar yaklaşmdr.
En yakn noktalar yaklaşm iki ksm halinde sunulacaktr.
Birinci ksmda en yakn noktalar yaklaşm kuram yaln
biçimde açklanacak; ikinci ksmda ise bu yaklaşmn
978-1-4673-7765-2/15/$31.00 ©2015 IEEE
404
15-18 Ekim 2015
Vogue Hotel Bodrum, Muğla
Tıbbi Görüntüleme 5
2. Gün / 16 Ekim 2015, Cuma
(5) nolu denklem birim vektörler cinsinden şöyle de yazlr:
G
G
G
(6)
Am An = cmn em − smn emn − d mn en
fiksatörü oluşturan (6-6) tipi Stewart platform yapsna
uygulamas gösterilecektir.
(6) nolu denklem, 3-boyutlu uzayda içerisinde cmn , smn ve
d mn uzaklklarnn üç bilinmeyen olarak bulunduğu bir skalar
denklem takmn temsil eder.
�
�
(6) nolu denklem bir kez en birim vektörü, bir kez em birim
G
vektörü ve bir kez de emn birim vektörü ile skalar anlamda
çarplr ve (2) nolu eşitlikleri değerlendirilirse cmn , d mn ve
smn aşağdaki şekilde bulunur:
������ �
������ � � �
A m A n i en − A m A n i em ( em i en )
d mn =
� � 2
( em i en ) − 1
(
Şekil 1: Stewart platform tipi eksternal fiksatör
c mn
2.1 En Yakn Noktalar Yaklaşm Kuram
) (
������ �
������ � � �
m A n i em − A m A n i en ( em i en )
� � 2
1 − ( em i en )
(A
=
) (
������ �
s mn = −A m A n i emn
Üç boyutlu uzayda Am ve An gibi iki noktayla, bu
G
G
noktalardan geçen doğrularn em ve en birim vektörleri verilmiş
olsun. Bu doğrular üzerinde birbirine en yakn iki nokta,
G
G
em üzerindeki C mn ile en üzerindeki Dmn noktalar olsunlar,
)
)
(7)
(8)
(9)
Bu durumda en yakn noktalar olan Cmn ve Dmn nin
koordinatlar yukarda dikkate alnan xyz koordinat sisteminin
başlangç noktas O ya göre aşağdaki vektör bağntlaryla
saptanrlar:
G
G
(10)
OC mn = Am + cmn em
Şekil 2. Şekil 2’de Am ve C mn noktalar arasndaki mesafeyi
cmn ; C mn ve Dmn noktalar arasndaki mesafeyi smn ;
An ve Dmn noktalar arasndaki mesafeyi d mn temsil etsinler.
G
En yakn noktalar birleştiren doğrunun, emn birim vektörü
vektörel çarpm şeklinde şöyle tanmlanr:
G
G
G G
G
emn = em × en / em × en
(1)
G
G
OD mn = An + d mn en
(11)
(7) ve (8) nolu bağntlarn incelenmesinden verilen
doğrultularn paralel olmas halinde kesişmenin sonsuzda
olacağ kolaylkla görülür.
2.2 En Yakn Noktalar Yaklaşmnn Fiksatör Yapsna
Uygulanmas
Söz konusu fiksatör yapsnda, üstte ve altta 6şar adet
α i ve εi i = 1 − 6 ile temsil edilen mafsal konumlarn
belirleyen 12 adet aç parametresiyle, R ve R1 ile simgelenen
proksimal ve distal halka yarçaplar sabit parametre olarak yer
almaktadr, Şekil 1. Fiksatör konumunun ise distal halka
merkez koordinatlar (x1, y1, z1 ) ile halkann srasyla önce
Şekil 2: Uzayda iki doğru arasndaki en yakn noktalar
Ortonormallik koşullar gereğince şu geçerlidir:
⎧1
⎫
i = j ; i, j = n, m,mn
⎪
� � ⎪
⎪
ei ie j = ⎪
(2)
⎨
⎬
⎪
⎪
0
i
j
;
(i,
j)
(n,
mn),(m,
mn)
≠
=
⎪
⎪
⎩
⎭
G
G
G
G
emn birim vektörünün bileşenleri emnx , emny , emnz herhangi
(
bir ortogonal
doğrultusundaki
(emx , emy , emz )
x ekseni etrafnda θ x , sonra y ekseni etrafnda θ y ve en
son z ekseni etrafnda θ z kadar dönmüş olarak belirlendiği
varsaylmaktadr. Buradan toplamda 20 tane bağmsz
parametre ile fiksatör konumunun belirlendiği anlaşlr.
Varsaym gereği birbirinden bağmsz olduğu öngörülen söz
konusu parametrelerin arasnda fiksatörün birbirine yakn
birden çok konum almasn doğuracak bağmllk ilişkisinin
bulunmas halinde, fiksatör proksimal ve distal halkalara bağl
kemik fragmanlarn kararl dengede tutma işlevini yerine
getiremeyecektir. Bu durum tekillik olarak adlandrlr.
Bununsa hasta sağlğ açsndan ne denli saknlmas gerekli
bir durum olduğunu söylemeye gerek yoktur.
Fiksatörün yapsnda anlan bağmsz parametreler
arasnda kararl dengeyi bozan ilişkiler, çubuk doğrultularnn
kesişip kesişmediği yoluyla araştrlacaktr. Bu amaçla
fiksatörde distal halkann proksimal halkaya göre konumunu
belirlemede esas olan değişken çubuk doğrultular dikkate
alnacaktr. Çubuk doğrultular, fragmanlarn ayrk olduğu
)
xyz
koordinat
sisteminin
eksenleri
G
G
em ve en birim vektör bileşenleri
ve
(enx , eny , enz )
cinsinden
denklemden şu şekilde sonuçlanr:
e′mni = e mj e nk − e mk e nj i ≠ j ≠ k i, j,k = x, y, z
′ 2 + emnz
′ 2
emni = e′mni / e′mnx 2 + emny
i = x, y , z
(1)
nolu
(3)
(4)
Şekil 2 den aşağdaki vektör denklemi yazlr:
Am An = AmCmn + Cmn Dmn + Dmn An
(5)
405
15-18 Ekim 2015
Vogue Hotel Bodrum, Muğla
Tıbbi Görüntüleme 5
2. Gün / 16 Ekim 2015, Cuma
hastalkl konumdan anatomik eksenlerinde hizal olduğu
sağlkl konuma varncaya değin değişecektir. Dolaysyla
çubuk doğrultularnn tedavinin başlangcndan sonuna kadar
kararl dengeyi bozmaya sebep olacak şekilde kesişip
kesişmediği denetlenmelidir. Bu durum, en yakn noktalar
yaklaşm yoluyla ortaya konacaktr. Buradan hareketle,
çubuk doğrultular arasndaki en ksa uzaklğn mutlak
anlamda bir eşik değerinden küçük olup olmadğ ikili, üçlü
vb. kombinezonlar bağlamnda araştrlacaktr.
Öncelikle proksimal ve distal halkalardaki mafsal
koordinatlar Aix , Aiy ,0 ve (u Bi , v Bi ,0)
i = 1 − 6 , G ve
(
mutlak anlamda küçük olmas halinde ilgili çubuk çifti
doğrultularnn birbirini kestiği sonucu çkarlacaktr. Ayrca
her çubuk çifti için kesişmenin sonsuzda olup olmadğn
denetlemek amacyla E mn büyüklüğü şöyle tanmlanr:
� �
(17)
E mn = em i en m ≠ n , m,n = 1 − 6
E mn değerinin kabul edilebilir bir tolerans miktaryla 1’e
yaklaşmas halinde ilgili A m B m Bn A n uzaysal dörtgeninin
paralelkenar olup olmadğna baklr. Eğer bir paralelkenar
saptanrsa, tekillik olacağ sonucuna varlr. Tüm tedavi
boyunca değişik fiksatör konumlarnda s mn çiftlerinin eşik
değerlerinden büyük olmas ve paralelkenara rastlanmamasyla
fiksatörün güvenceli ve kararl dengede hareket ve kuvvet
aktarm işlevlerini yerine getirdiği sonucuna varlacaktr.
Tekillik değerlendirmelerinin yaplacağ bir arayüz
hazrlanmştr. Arayüzün temel girdileri, mafsal konum ve
halka yarçaplarnn oluşturduğu sabit fiksatör parametreleri
ile distal halka merkez koordinatlar ile dönme hareketlerinden
oluşan (x1 , y1 , z1 , θ x , θ y , θ z ) konum verileri; temel çktlar ile
)
G1 ile gösterilen srasyla proksimal ve distal halka
merkezlerinde yerleşik xyz ve uvw koordinat sistemlerine göre
aşağdaki şekildedir, Şekil 1.
Aix = R . cosα i
Aiy = R .sin α i
i =1− 6
(12)
u Bi = R 1 .cos εi
θ x ,θ y ,θ z konum
v Bi = R 1 .sin εi
bilgilerinden
i = 1− 6
G1uvw yerel
(13)
koordinat
sisteminden Gxyz dünya koordinat sistemine dönüşümü ifade
[ ]
uvw
eden Axyz
matrisi aşağdaki şekilde hesaplanr.
1’den 6’ya kadar her çubuk çiftine ait en yakn nokta değerleri
(s mn ,cmn ,d mn ,E mn ) ve ikinci sayfadaki (GCmnx ,GCmny ,GC mnz ,
⎡cosθz cosθy cosθz sinθy sinθx −sinθz cosθx cosθz sinθy cosθx +sinθz sinθx ⎤
⎢
⎥
uvw
⎡⎣Axyz
⎤=
⎦ ⎢sinθz cosθy sinθz sinθy sinθx +cosθz cosθx sinθz sinθy cosθx −cosθz sinθx ⎥
⎢ −sinθy
⎥
cos
θ
sin
θ
cos
θ
cos
θ
y
x
y
x
⎣
⎦
GD mnx ,GD mny ,GD mnz ) en yakn nokta koordinatlardr.
(14)
3. Saysal örnekler ve tartşma
Distal halka merkezi G1 ile halka üzerindeki Bi mafsal
noktalar arasndaki (13) ile hesaplanan G1Bi vektörleri, yerel
G1uvw
koordinat
sisteminden
Gxyz
dünya
[ ]
Burada en yakn noktalar yaklaşmnn etkinliğini
kantlayan iki örneğe yer verilecektir.
Örnek 1: Bu örnekte girdiler Tablo 1’de verilmiştir.
koordinat
uvw
sistemine, (14) nolu bağntyla bulunan Axyz
matrisiyle
çarplmak suretiyle taşnrlar. Böylece, distal halkadaki
Bi mafsal noktalarnn xyz dünya koordinat sistemine göre
����
koordinatlarn içeren GBi vektörü, halka merkezleri
�����
T
arasndaki GG1 =[ x1 , y1 , z1 ] vektörü ile G1Bi vektörünün
α1 =
30⁰
ε1 =
30⁰
x1= 0
cm
ayn eksen (xyz ) takm içinde toplanmasyla bulunmuş olur.
Öte yandan proksimal halka Ai mafsal noktalarn xyz
birim vektör bulunmuş olur. (15) nolu bağntdaki payda Ai Bi
Ai A j = A j − Ai
i ≠ j , i, j = 1 − 6
α4 =
210⁰
ε4 =
210⁰
α5 =
240⁰
ε5 =
300⁰
α6 =
300⁰
ε6 =
360⁰
θx= 0⁰
θy= 0⁰
θz= 0⁰
R1 = 10 cm
Tablo 1’deki veriler arayüze girildiğinde, Tablo 2 de görülen
sonuçlar elde edilmiştir.
Bu örnekte 1, 2, 3, 4 nolu çubuklarn kendi aralarnda
oluşturduklar (12, 13, 14, 23, 24, 34) çiftlerine ait en yakn
mesafelerin sfr olduğu gözlenmektedir. Dört çubuk
doğrultusunun kesiştiği nokta koordinatlarnn (0, 0, -9.999)
olduğu Tablo 2’den saptanmaktadr. Bu sonuçlarla tekillik
ortaya çkmaktadr. Ayn sonuç kuvvet ve hz analizleriyle de
doğrulanmştr , [8].
sistemine göre ifade eden GAi i = 1− 6 vektörleri de (12)
nolu bağntlar yoluyla belirlenmiş olur. Buradan en yakn
�
noktalar yöntemi için gerekli olan ei
���� �����
�����
�
GBi − GA i
Ai Bi
ei = ���� ����� = �����
(15)
GBi − GA i
Ai Bi
uzunluğu Li , i = 1 − 6 olarak çubuk boylarn
etmektedir. Ayrca aşağdaki bağnt şğ altnda,
Tablo 1: Örnek 1 girdileri
α2 =
α3 =
120⁰
180⁰
ε2 =
ε3 =
120⁰
180⁰
y1= 0
z1= 10
cm
cm
R = 5 cm
temsil
(16)
proksimal halka üzerindeki Ai i = 1− 6 noktalarndan geçen
G
doğrultularnn
birim
vektörlerinin
ve
ei çubuk
hesaplanmasyla
en
yakn
noktalar
yaklaşmndaki
G G
Am An , em , en m ≠ n , m = 1 − 6 , n = 1 − 6 büyüklükleri de
bulunmuş olur. Söz konusu büyüklüklerin ve (7), (8), (9) nolu
bağntlarn kullanlmasyla her bir çubuk çiftine ait 15 adet
(cmn , d mn , smn ) küme değerleri de saptanmş olur. Bu küme
içerisindeki s mn değerinin belirlenecek bir eşik değerinden
406
15-18 Ekim 2015
Vogue Hotel Bodrum, Muğla
Tıbbi Görüntüleme 5
Çift
s mn
12
13
23
14
24
34
15
25
35
45
16
26
36
46
56
0.000
0.000
4.440
-1.776
0.000
-2.220
8.119
6.460
3.230
1.458
5.000
7.947
6.460
5.000
4.000
2. Gün / 16 Ekim 2015, Cuma
Tablo 2: Örnek 1 çktlar
c mn
d mn
Çift
GCmnx
GCmny
2
13
23
14
24
34
15
25
35
45
16
26
36
46
56
0
0
0
0
0
0
0.946
-1.260
-3.739
-3.702
10.245
-0.657
-2.521
-2.745
-1.600
0
0
0
0
0
0
0.546
2.183
4.578
-2.137
5.915
1.139
3.088
-1.584
-4.849
-11.180
-11.180
-11.180
-11.180
-11.180
-11.180
-8.737
-5.541
-2.819
-1.621
15.272
-8.238
-5.541
-4.092
1.587
-11.180
-11.180
-11.180
-11.180
-11.180
-11.180
-5.550
-5.176
-4.026
-2.495
18.070
-5.570
-5.176
-4.842
-1.587
Tablo 4: Örnek 2 çktlar
c mn
d mn
E mn
Çift
s mn
0.800
0.626
0.900
0.600
0.800
0.973
0.822
0.422
0.422
0.529
0.968
0.676
0.422
0.383
0.785
12
13
23
14
24
34
15
25
35
45
16
26
36
46
56
0.312
2.444
0.519
8.988
6.803
6.424
9.599
9.325
8.467
2.357
5.004
5.533
6.041
3.258
6.387
GCmnz
GD mnx
GD mny
GD mnz
Çift
GC mnx
GC mny
-9.999
-10.000
-9.999
-10.000
-9.999
-9.999
-7.815
-4.956
-2.521
-1.450
13.660
-7.368
-4.956
-3.660
1.200
0
0
0
0
0
0
-5.646
-5.434
-4.782
-3.914
12.745
-0.657
-0.434
-0.245
1.600
0
0
0
0
0
0
-2.513
-2.635
-3.012
-3.513
1.584
-6.153
-6.024
-5.915
-4.849
-9.999
-10.000
-9.999
-10.000
-9.999
-9.999
-4.195
-3.913
-3.043
-1.886
13.660
-4.210
-3.913
-3.660
-1.200
12
13
23
14
24
34
15
25
35
45
16
26
36
46
56
20.401
3.931
3.630
4.095
2.881
1.785
4.899
3.975
2.623
-3.642
4.589
3.517
3.772
-2.434
-4.147
52.264
-3.626
0.292
-3.069
-2.070
4.562
-0.342
1.379
3.045
2.365
-1.393
-0.063
0.963
2.129
-2.994
α1 = 0⁰
α2 = 30⁰
α3 = 70⁰
ε1 =
10.51⁰
x1= 0
cm
ε2 =
30.00⁰
y1= 0
cm
R = 5 cm
ε3 =
90.00⁰
z1= 25
cm
α4 =
150⁰
ε4 =
160.00⁰
α5 =
210⁰
ε5 =
240.00⁰
α6 =
290⁰
ε6 =
310.00⁰
θx= 0⁰
θy= 45⁰
θz= 0⁰
E mn
721.684
-50.628
-32.319
-42.387
-66.366
-1.260
-4.461
-16.124
-13.625
-24.838
-19.039
-37.034
-30.153
-67.794
2.611
0.999
0.994
0.994
0.996
0.996
0.992
0.974
0.975
0.954
0.984
0.989
0.989
0.971
0.991
0.995
GCmnz
GD mnx
GD mny
GD mnz
719.787
-49.949
-31.964
-42.266
-66.165
-1.100
-4.714
-16.215
-13.350
-24.461
-19.191
-31.113
-30.156
-67.400
3.227
20.092
5.139
3.899
-3.134
-2.463
-4.294
-4.579
-5.232
-5.092
-5.720
0.092
-1.435
-0.851
-4.048
1.931
52.220
-1.509
0.735
2.266
2.135
2.493
-1.825
-0.063
-0.440
1.253
-3.575
-2.514
-2.919
-0.699
-4.852
719.79
-50.128
-32.001
-42.499
-66.339
-1.259
-4.403
-15.913
-13.446
-24.513
-18.937
-36.836
-29.992
-67.430
2.5977
Teşekkür: Bu çalşma 112M406 nolu TUBİTAK projesi
altnda desteklenmiştir.
Örnek 2: Bu örnekteki girdiler Tablo 3’de verilmiştir.
Tablo 3: Örnek 2 girdileri
721.846
-50.092
-32.048
-42.387
-66.339
-1.111
-4.727
-16.257
-13.483
-24.471
-19.246
-37.211
-30.457
-67.428
3.269
5. Kaynakça
[1] Ilizarov, GA., “The principles of the Ilizarov Method”,
Bull. Hosp. Jt. Dis. Orthop. Inst., 48(1):1-11, 1988.
[2] Taylor, HS. ve Taylor, JC., “Orthopaedic fixation
device”, Patent No: 5,702,389. 1997, Smith & Nephew
Richards, Inc.: USA.
[3] www.spatialframe.com, erişim tarihi: 04.Ağu.2015
[4] Akçal, İD. ve ark., “A Mathematical Model in the
Implementation of a Stewart-Gough Platform as an
External Fixator,” World Congress on Med.Phy. and
Biomed. Eng., Eyl. 2009, Münih, Almanya, pp. 708-711
[5] Aydn, A., İbrikçi, T. ve Akçal, İD., “A hybrid image
processing system for X-ray images of an external
fixator,” Comput Methods Biomech Biomed Engin, vol.
15, issue. 7, Tem. 2012, pp. 753–759
[6] Avşar, E., Ün, MK. ve Akçal, İD., “A Graphical User
Interface for an External Fixation System”, IEEE-EMBS
Int. Conf. on Biomed. Health Inf. (BHI), 1-4 Haz. 2014,
Valensiya, İspanya, pp. 480-483.
[7] Akçal, İD. ve ark., “Displacement Analysis of Robotic
Frames for Reliable and Versatile Use as External
Fixator”, The 4th Annual IEEE Int. Conf. on Cyber Tech.
İn Automation, Control and Intelligent Systems, 4-7 Haz.
2014, Hong-Kong, Çin, pp. 180-185.
[8] Akçal, İD. ve ark., “Singularity Detection in an External
Fixator of Gough-Stewart Platform Type”, “Int. Conf. on
Innovative Technologies, IN-TECH-2015”, 9-11 Eyl.
2015, Dubrovnik, Hrvatistan.
R1 = 7.794 cm
Tablo 3’deki veriler arayüze girildiğinde elde edilen
sonuçlar Tablo 4 de gösterilmiştir. Tablo 4’deki çktlardan 1
ve 2 nolu çubuklarn paralel olduğu ( E12 ≅ 1 ) görülmektedir.
Ayrca A1B1B2 A 2 uzaysal dörtgeninin de paralelkenar kuraln
sağladğ saptanmştr. Bu sonuçlarla fiksatörün tekil konumda
olduğu sonucu çkarlmaktadr. Ayn sonuç, kuvvet ve hz
analizleriyle de doğrulanmştr , [8].
4. Sonuç
Bu çalşmada ortopedik sorunlar güvenli bir şekilde
karşlayabilecek fiksatör konumlarnn tekillik durumu en
yakn noktalar yaklaşm ad verilen bir geometrik yöntem ile
incelenmiştir. Diğer yöntemlerle de ayn sonuçlar elde
edilmiştir, [8]. İnceleme çktlarndan, (6-6) tipi Stewart
Platform yapsndaki fiksatörle tedavinin hiçbir evresinde
herhangi 4 çubuk doğrultusunun kesişmemesi ve üst-alt
halkalarda oluşan dörtgenlerin hiçbirinin paralelkenar
olmamas gerektiği anlaşlmştr. Bu hallerde üst halkalardaki
sabit mafsal konumlarndan birinin bu sonucu vermeyecek
şekilde değiştirilmesi gerekli ve yeterlidir.
407