Fonksiyon Dizileri ve Serileri 1

Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Mahmut KOÇAK
c 2008 [email protected]
Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008
http://www2.ogu.edu.tr/~mkocak/
Sunum Tarihi: Nisan 17, 2008
2/44
Fonksiyon Dizileri ve Serileri
Bu bölümde; fonksiyon dizileri,
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Dizileri
3/44
Not 1 Tanım 1 gereğince
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Dizileri
4/44
y
1
1
x
100.0
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Dizileri
5/44
Not 2 (i). Tanım 2 gereğince
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Dizileri
6/44
Bundan sonra f nin A üzerinde sürekli olup olmadığına bakılır.
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Dizileri
7/44
Örnek 3 Her n ∈ için
y
2
Çözüm. x ∈ [1, 2] için
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
1
1
2 x
100.0
Fonksiyon Dizileri
8/44
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Dizileri
9/44
(ii). Benzer şekilde,
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Dizileri
10/44
olur. Bu durumda
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
11/44
Fonksiyon Serileri
Tanım 3 A ⊆ ve her n ∈ için f n : A → bir fonksiyon olmak üzere
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Serileri
12/44
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Serileri
13/44
Sonuç 1 A bir aralık ve
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Serileri
14/44
1
s n (x ) =
1+x2
olur. Böylece
y
s n (x ) −
2
1
x2
2
s
(x
)
=
x
−
n
1+x2
(1 + x 2)n +1
olur. Buradan
s n (x ) + x s n (x ) − s n (x ) = (1 + x ) x 2 −
2
2
yani
1
x 2 s n (x ) = x 2 + x 4 −
x2
(1 + x 2)n
olur. Böylece
−1
x2
(1 + x 2)n +1
1
s n (x ) = 1 + x 2 −
x
ve
100.0
1
(1 + x 2 )n
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Serileri
15/44
s (x ) =
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Serileri
16/44
f n (x ) + f n +1 (x ) + · · · + f n +p (x ) < olacak şekilde bulunabilmesidir.
Teorem 5 (Weierstrass M. Testi) A ⊆ ve
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Fonksiyon Serileri
17/44
Çözüm. Her x ∈ için
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
18/44
Kuvvet Serileri
Tanım 4 x 0 ∈ ve her n ∈ için a n ∈ olsun.
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
19/44
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
20/44
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
21/44
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
22/44
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
23/44
Seriler için kök kriterinin kuvvet serilerine uygulanması ile aşağıdaki teoremi yazabiliriz.
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
24/44
Çözüm. Burada
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
25/44
R=
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
26/44
Çözüm. Burada
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
27/44
Teorem 10 Yakınsaklık yarıçapı R 1 olan
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
28/44
(ii). (k f )(x ) =
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
Sonuç 3
∞
29/44
anxn
kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı R ve
n =0
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
30/44
(b). Burada
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
Örnek 12
∞
2n
n =1
2n 2 + n
x
1−x
31/44
n
serisinin
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
32/44
serisi mutlak yakınsak olduğundan
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Kuvvet Serileri
Teorem 13
33/44
∞
a n x n ve
n =0
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
34/44
Taylor Serileri
Teorem 15
∞
a n (x − x 0 )n
kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı R = 0 ve
n =0
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Taylor Serileri
35/44
f,
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Taylor Serileri
36/44
Tanım 8 f bir A açık aralığı üzerinde her mertebeden sürekli tüvere sahip bir fonksiyon olsun.
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Taylor Serileri
37/44
dır. Daha genel olarak
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Taylor Serileri
38/44
Örnek 14 Her x ∈ için
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Taylor Serileri
Örnek 15 f (x ) = x
39/44
cos(x 2 )
fonksiyonunun Maclaurin serisini bulalım.
Çözüm. Örnek ?? gereğince
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Taylor Serileri
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
α
α
Not 9 α ∈ ve n ∈ olmak üzere
olarak tanımlanırsa
= 1 ve
=
n!
0
n
40/44
f (x )
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Taylor Serileri
41/44
Çözüm.
(a). Burada
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Taylor Serileri
42/44
(b). Burada
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Taylor Serileri
43/44
Örnek 17 (a).
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri
Taylor Serileri
44/44
1
1+
4
1
2
=
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Fonksiyon . . .
Kuvvet Serileri
Taylor Serileri