Belirli İntegral ve Bazı Teoremler 1

BELİRLİ İNTEGRAL
ve
BAZI TEMEL TEOREMLER
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
c 2008 [email protected]
Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008
http://www2.ogu.edu.tr/~mkocak/
Sunum Tarihi: Nisan 17, 2008
2/20
Bir Fonksiyonun Belirli İntegrali
Tanım f , [a ,b ] aralığı üzerinde tanımlı sınırlı bir fonksiyon olsun.
(i).
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
Bir Fonksiyonun Belirli İntegrali
3/20
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
4/20
Örnek 1.
Her x ∈ için
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
5/20
Örnek 2.
f (x ) = x fonksiyonunun [0, 1] aralığı üzerinde Riemann anlamında integrallenebilir olduğunu gösterelim.
Her bir n ∈ için Pn , [0, 1] in
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
Örnek 2.
6/20
n −1
n +1
sup s (f ) infS(f ) 2n
2n
dir.
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
7/20
Belirli İntegralin Özellikleri
Teorem. f , [a ,b ] üzerinde Riemann anlamında integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
Belirli İntegralin Özellikleri
8/20
Teorem. f : [a ,b ] → Riemann anlamında integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
Belirli İntegralin Özellikleri
9/20
Teorem. f : [a ,b ] → Riemann anlamında integrallenebilen bir fonksiyon olsun.
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
Belirli İntegralin Özellikleri
10/20
Teorem. f ve g fonksiyonları [a ,b ] üzerinde tanımlı Riemann anlamında integrallenebilen iki fonksiyon olsun.
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
Belirli İntegralin Özellikleri
11/20
Teorem. f ve g , [a ,b ] üzerinde tanımlı Riemann anlamında integrallenebilen iki fonksiyon olsun.
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
Belirli İntegralin Özellikleri
12/20
Teorem. f : [a ,b ] → fonksiyonu Riemann anlamında integrallenebilsin.
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
13/20
İntegral Hesabın Temel Teoremi
Bu bölüm boyunca I ⊆ açık bir aralık olacaktır.
Teorem f , I üzerinde tanımlı sınırlı bir fonksiyon ve a ∈ I olsun.
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
İntegral Hesabın Temel Teoremi
Teorem (Newton-Leibniz Formülü) F : I → fonksiyonu türevlenebilsin ve her x ∈ I için
14/20
F (x ) =
f (x ) olsun.
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
15/20
Temel İntegral Formülleri
Bir fonksiyonun türevi ve belirsiz integrali arasındaki ilişkiden dolayı sık sık kullanılacak olan aşağıdaki integral
formüllerini yazabiliriz.
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
Temel İntegral Formülleri
(7).
16/20
d
(sinhx + C ) = cosh x
dx
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
Temel İntegral Formülleri
(15).
d
dx
17/20
1
x
arctan + C
a
a
=
1
x2 + a2
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
18/20
Örnek 3.
b
f (x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n polinomu için
f (x ) d x integralini bulalım.
a
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
19/20
Örnek 4.
π
sin x d x integralini bulalım.
0
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.
20/20
Örnek 5.
3
dx
integralini hesaplayalım.
1+x2
1
Bir Fonksiy‌ . . .
Örnek
Örnek
Belirli İnte‌ . . .
İntegral . . .
Temel İnte‌ . . .
Örnek.
Örnek.
Örnek.