Prof. Dr. P. Marti Gerilmeler ve Mohr dairesi

Transkript

İlk yayın: 22 Kasım 2014
www.guven-kutay.ch
YAPI STATİĞİ
Prof. Dr. P. Marti
Gerilmeler ve Mohr dairesi
44-04-1
Bu dosyayı 44_00_Yapı Statiğine Giriş ve Özet dosyasıyla beraber incelerseniz daha iyi anlarsınız.
Çevirenler: M. Güven KUTAY, Muhammet ERDÖL
En son düzeltme: 22 Kasım 2014
Bu dosyalarda yalnız ders notlarının tercümesi verilmiştir. Daha geniş ve detaylı bilgi almanız için
Prof. Dr. P. Marti nin Statik kitabını öneririm.
Almanca-Deutsch
İngilizce-English
Prof. Dr. P. Marti
Peter Marti
Baustatik, GrundlagenStabtragwerke-Flächentragwerke
Ernst & Sohn, Berlin, 2012
Peter Marti
Theory of Structures, Fundamentals,
Framed Structures, Plates and Shells
Ernst & Sohn, Berlin, 2012
Prof. Dr. sc. Peter Marti
1990 ile 2014 senelerinde
Zürich ETH da İnşaat Statiği
ve Konstrüksiyonu Profesörü
44_04_1_Gerilmeler+Mohr.doc
www.guven-kutay.ch
DİKKAT:
Bu çalışma iyi niyetle ve bugünün teknik imkanlarına göre yapılmıştır. Bu çalışmadaki bilgilerin yanlış
kullanılmasından doğacak her türlü maddi ve manevi zarar için sorumluluk kullanana aittir. Bu
çalışmadaki bilgileri kullananlara, kullandıkları yerdeki şartları iyi değerlendirip buradaki verilerin
yeterli olup olmadığına karar vermeleri ve gerekirse daha detaylı hesap yapmaları önerilir. Eğer herhangi
bir düzeltme, tamamlama veya bir arzunuz olursa, hiç çekinmeden bizimle temasa geçebilirsiniz.
Statik dosyalarında kullandığımız terimlerin Almancadan Türkçe karşılığını, ne Türk Dil
Kurumunda nede normal veya elektronik sözlüklerde bulamadık. Hedefimiz Türkçe bilen ve
temel bilgisi az dahi olan kütleye basit olarak bilgileri aktarmak olduğu için, kendi mantığımıza
göre okuyucunun anlayacağı, basit Türkçe terimler kullandık. Ayrıca 44-00 numaralı dosyada
Türkçe-Almanca(-İngilizce-Fransızca) sözlük ile Kaynakları verdik. İsteyen oradan kullanılan
Türkçe terimleri ve tanımlamaları bulabilir. Bilginiz ola!..
Terimlerin Türkçe karşılığı için büyük yardımı olan sayın Muhammet ERDÖL e kendim ve
dosyadan faydalanacakların adına çok teşekkür ederim.
www.guven-kutay.ch
İÇİNDEKİLER
1.
Gerilmeler ................................................................................................................................................................. 5
1.1.
Gerilmelerin tarifi ............................................................................................................................................ 5
1.1.1. Bir eksenli gerilme...................................................................................................................................... 6
1.1.2. İki eksenli gerilmeler .................................................................................................................................. 7
1.1.2.1.
Kesit düzleminde n-ekseni yönünde normal gerilme "σn"................................................................. 7
1.1.2.2.
Kesit düzleminde t-ekseni yönünde normal gerilme "σt" .................................................................. 8
1.1.2.3.
Kesit düzleminde t-ekseni yönündeki yönündeki kayma gerilmesi "tn" .......................................... 9
1.1.2.4.
Kesit düzleminde kayma "n" yönünde "nt" gerilmesi..................................................................... 10
1.1.3. Üç eksenli gerilmeler ................................................................................................................................ 11
1.2.
Asal normal gerilmeler ve yönleri ................................................................................................................. 16
1.3.
Mohr dairesi................................................................................................................................................... 17
1.3.1. Mohr dairesinin merkez koordinatları....................................................................................................... 18
1.3.2. Mohr dairesinin radyus boyu .................................................................................................................... 19
1.3.3. Asal normal gerilmeler 1 ve 2 ............................................................................................................... 19
1.3.4. Maksimum kayma gerilmesi max .............................................................................................................. 19
1.3.5. Mohr dairesininin geometrik yorumlanması ............................................................................................. 19
1.4.
Asal normal gerilmeler .................................................................................................................................. 20
1.4.1. Parçada  ve  için ön işaret kuralı ........................................................................................................... 20
1.4.2. Mohr dairesinde gerilmelerin ( ve  gösterilmesinde ön işaret kuralı ................................................... 20
1.5.
Mohr dairesinin konstrüksiyonu .................................................................................................................... 21
1.5.1. Mohr dairesi için pratikten örnek.............................................................................................................. 24
2.
Kesitteki gerilmeler ................................................................................................................................................. 27
2.1.
Genel giriş ..................................................................................................................................................... 27
2.2.
Gerilmeler ve deformasyonlar için kabuller ve sonuçları .............................................................................. 27
2.3.
Eğilme ve eksenel kuvvet .............................................................................................................................. 28
2.3.1. Atalet momentleri ..................................................................................................................................... 30
2.3.1.1.
Çeşitli kesitlerde atalet momentleri ................................................................................................. 31
2.3.2. Normal gerilmelerin genel formülü .......................................................................................................... 32
2.3.3. Eğilme çizgisi ........................................................................................................................................... 33
2.3.3.1.
Kirişin diferansiyel denklemi ile sehim........................................................................................... 33
2.3.3.2.
Örnekler........................................................................................................................................... 35
2.3.4. Homojen olmayan kesitte eğilme ve eksenel kuvvet ................................................................................ 37
2.4.
Çapraz kuvvet ................................................................................................................................................ 38
2.4.1. Çapraz kuvvetin yaklaşık incelenmesi ...................................................................................................... 38
2.4.2. Statik moment ........................................................................................................................................... 39
2.4.2.1.
Statik moment hesapları örneği ....................................................................................................... 39
2.4.3. Uygulama örneği....................................................................................................................................... 41
2.4.4. Şekil değiştirme işi "U" ya kısa bakış ....................................................................................................... 41
2.4.5. Elastiklik teorisi ........................................................................................................................................ 44
2.4.5.1.
İnce cidarlı profillerde elastiklik teorisi........................................................................................... 45
2.4.6. Torsiyon merkezi ...................................................................................................................................... 46
2.5.
Torsiyon......................................................................................................................................................... 47
2.5.1. Dönüş torsiyonu (St.Venant) .................................................................................................................... 47
2.5.2. İnce cidarlı kaval profiller......................................................................................................................... 47
3.
Deformasyonlar....................................................................................................................................................... 49
3.1.
İki eksenli deformasyonlar ............................................................................................................................ 49
3.2.
Koordinatların transformasyonu .................................................................................................................... 51
3.3.
Üç eksenli deformasyonlar ............................................................................................................................ 53
3.4.
Isı etkisinde deformasyonlar.......................................................................................................................... 56
3.5.
Deformasyonların özeti ................................................................................................................................. 56
3.6.
Uygulama örneği ........................................................................................................................................... 56
3.7.
Mohr dairesi ve benzerleri, özet .................................................................................................................... 57
3.7.1. Gerilmeler için Mohr dairesi..................................................................................................................... 57
3.7.2. Esnemeler için Mohr dairesi ..................................................................................................................... 58
3.7.3. Ataletler momentleri için Mohr dairesi..................................................................................................... 58
4.
Kesit çekirdeği ........................................................................................................................................................ 59
www.guven-kutay.ch
4.1.
Navier' e göre genel gerilme formülü ............................................................................................................ 59
4.2.
Kesit çekirdeğinin konstrüksiyonu ................................................................................................................ 61
4.2.1. Genelde kesit çekirdeğinin konstrüksiyonu .............................................................................................. 61
4.2.2. Dikdörtgen kesit alanında çekirdek........................................................................................................... 61
4.2.3. Kesit çekirdeğinin detaylı konstrüksiyonu................................................................................................ 62
5.
Mohr benzerliği (Mohr analojisi) ............................................................................................................................ 65
5.1.
Prensip ve gidiş yolu...................................................................................................................................... 65
5.2.
Örnekle Mohr benzerliği................................................................................................................................ 66
5.2.1. Örnek 1, Serbest uçta tek kuvvetle zorlanan portafo (çıkma) kirişte sehim.............................................. 66
5.2.2. Örnek 2, Sabit yayılı yükle zorlanan klasik kirişte sehim......................................................................... 67
5.2.3. Örnek 3, Mafsallı sistemde sehim............................................................................................................. 68
6.
Konu İndeksi ........................................................................................................................................................... 69
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
5
1. Gerilmeler
1.1. Gerilmelerin tarifi
Bir cisim çeşitli dış kuvvetler etkisinde olsun. Örneğin: yüzey basıncı, basma ve benzeri kuvvetler
gibi. Bu cisimden küp biçiminde küçük bir parça alalım (Şekil 1). Bu dış kuvvetler, bu küp şeklinde
düşünülen küçük elementte üç eksenli gerilmeler meydana getirir.
z
y
x
xz
z
z
C
yz
zy
zx
yx xy
x
y
tz
y.n y
n
ty
O
y
B
tx
y
x
z
x.n x
A
x
z.n z
Şekil 1, Cismin küçük küp parçacığı
Küpün altı yüzeyinin herbirinde bir normal ve iki kayma gerilmesi doğar (Şekil 1). Bu gerilmeleri
bir koordinat sistemi ile gösterebiliriz. Eksenler x, y ve z olarak adlandırılır. Burada oluşan
gerilmelere bakacak olursak iki cins gerilme görürüz:
1. Normal gerilmeler "": Şekil 1 ile gösterildiği gibi gerilmenin cinsi "" ile, gerilmenin
yönüde indisi ile gösterilir. Örneğin: x , x-ekseni yönünde normal gerilme. Normal
gerilmelerde basma gerilmesi negatif (), çekme gerilmesi ise pozitif (+) olarak kabul edilir.
Genelde ön işaret kuralına göre işaretleri verilir (bkz. 44_00_Statiğe Giriş ve Özet dosyası).
2. Kayma gerilmeleri "": Şekil 1 ile gösterildiği gibi gerilme cinsi "" ile, indisinde 1. indis
gerilmenin yönünü, 2. indisde gerilmenin dik olduğu ekseni gösterir. Örneğin: xy , x-ekseni
yönünde, y-eksenine dik kayma gerilmesi. Kayma gerilmeleri, cismin merkezini saat
yönünde çeviriyorsa pozitif (+), tersine çeviriyorsa negatif () işaret verilir.
Eğer gerilme analizi yapılan parçada, parça üç boyutlu olduğu için genel olarak üç eksende etkili
gerilmeler bulunmalıdır. Pratikte şu şekiller ortaya çıkar.



Analizi yapılan parçada yalnız bir normal gerilme varsa ve diğer iki normal gerilmede sıfır
ise bu gerilme şekline "bir eksenli gerilme" denir.
Analizi yapılan parçada herhangi bir eksen yönünde etki eden gerilme sıfır ise, geriye
gerilmeleri olan iki eksen kalacağından, böyle bir gerilme şekline "iki eksenli gerilme"
denir. Bu gerilmeler "Düzlem gerilmeleri" diyede adlandırılır.
Analizi yapılan parçada üç eksende etkili gerilmeler hemen hemen yok denecek kadar az
rastlanır. Eğer üç eksende etkili gerilme varsa, böyle bir gerilme şekline "Üç eksenli
gerilme" denir. Bu gerilmeler "Hacim gerilmeleri" diyede adlandırılır.
Pratikte genel olarak düzlemde hesaplar yapılır ve çok ender olarak gerilmeler hacimde düşünülür
ve hesaplanır.
Bir çubuğu bir taraftan eğilme momenti diğer taraftan torsiyon momenti ile yükleyelim. Hesabın
yapılacağı kesiti incelediğimizde, burada iki ayrı çeşit gerilme ile karşılaşırız. Bu durumda asıl soru
ortaya çıkar.Ölçülendirilicek veya kontrol edilecek bir makina parçasının kesitinde, ayrı cinsden
gerilmeler bulunursa, hesap nasıl yapılır?
Böyle bir problemin çözümünde tutulacak yol şöyledir:
Parçaya etki eden gerilmeler bir eksenli gerilme olarak "karşılaştırma gerilmesi" adı
altında toparlanır ve malzemenin mukavemet değeri ile karşılaştırılarak karar verilir.
Malzemenin bilinen mukavemet değerleri, deneylerle elde edilen bir eksenli
mukavemet değerleridir.
Genelde bir düzlemdeki gerilmeler en çok görülen haldir.
www.guven-kutay.ch
G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i
6
1.1.1. Bir eksenli gerilme
Dikdörtgen prizma şeklindeki bir çubuğun y-ekseni yönünde normal kuvvetle zorlandığını
düşünelim. Eksende etken olan kuvvetin dik kesitte doğurduğu gerilmeye, "bir eksenli gerilme"
veya "bir boyutlu gerilme" denir. Burada yalnız normal kuvvet "N=Fy" olduğundan, Fx = Fz = 0
olur ve τxy = 0 ve σx = σz =0 dır. Bkz Şekil 2.
Kesit alanı A, Normal kuvvet N= . A = sabit ise  açılı kesitte:
Normal gerilme :
n    sin 2 
Kayma gerilmesi :  tn    sin   cos 
Mohr dairesi ile gerilmelerin geometrik yorumlanması için
Şekil 2 ile verilmiş olan dikdörtgen prizmanın t kesitinde oluşan
gerilmeler Şekil 3 ile Mohr dairesi olarak gösterilir. Burada
Mohr dairesinde X noktası Kutup noktası rolünü oynar. X den
parça kesitine çizilen paralelin daireyi kestiği nokta "N"
noktasıdır.
N

A
x
N
y
.sin
x
n
t
z
N(
tn)
n
sin

X
n
ara
lel


n
tk
.sin
t
Y
n
2
1
ep
1
tn

x
e si
tin

 [N/mm2]
tn
n

y
Şekil 2, Bir eksenli gerilme
Şekil 3, Bir eksenli gerilme için Mohr dairesi
Eğik kesitteki gerilmeler:
Çubukta  açılı eğik bir kesitte oluşan gerilmeleri bulalım. Kesit düzlemi eksenini "t" (teğetsel) ve
kesit düzlemine dik ekseni "n" (normal) olarak adlandıralım.
Şekil 2 ile "n" yönündeki normal gerilme "n" bağıntısı şu şekilde bulunur:
" = N/A"
buradan
"N =  . A" eğik düzlem için "A . sin" ve alananı birim alan "A = 1"
olarak düşünürsek "N =  . A . sin"buradanda "N =  . sin"  bulunur.
n = Fn /A
Fn = N . sinφ
Aφ = A / sinφ
N  sin   sin 
A
Buna benzer kayma gerilmesi " = tn = nt" şu şekilde bulunur:
n 
τ = Ft / Aφ
   tn  nt 
n    sin 2 
Ft = N . cosφ
N  cos   sin 
               
A
 tn    sin   cos 
Trigonometri fonksiyonuna göre : 2 sinφ cosφ = sin2φ ve sinφ cosφ = sin2φ/2 = 0,5. sin2φ
olduğuna göre,
                         
olarakta gösterilebilinir.
44_04_1_gerilmeler+mohr.doc
www.guven-kutay.ch
 tn  0,5    sin 2
Yapı
Statiği
7
Şekil 2 ile "t" yönündeki normal gerilme "t" bağıntısı şu şekilde bulunur:
t = Ft /A
t 
Ft = N . cosφ
Aφ+ = A / cosφ
N  cos   cos 
A
 t    cos 2 
Burada hesapladığımız σn ve σt gerilmelerini toplayacak olursak:
n   t    sin 2     cos 2     (sin 2   cos 2 )
sin 2   cos 2   1 olduğundan
n   t  
Burada sınır değerlerini arayacak olursak "n" yönündeki normal gerilme σn için sin2φ = 1 , "t"
yönündeki normal gerilme σt için cos2φ = 1 ve kayma gerilmesi τ için sin2φ = 1 olması gereklidir.
σn nin σnmax olması için sin2φ = 1, yani φ = 90 olmalıdır. Böylece 1. asal gerilme bulunur.
Böylece:
σ1 = σnmax = σ , σ2 = σtmin = 0 olur.
σt nun σtmax olması için cos2φ = 1 yani φ = 0 olmalıdır. Böylece 2. asal gerilme bulunur.
Böylece:
σ1 = σtmax = σ , σ2 = σnmin = 0 olur.
τ = τmax olması için sin2φ = 1 yani φ = 45 olmalıdır.
Böylece:
τ = τmax = σ / 2 ve σnmax = σtmax = σ / 2 olur. Bu durumu şöyle gösteririz:
max  n max   t max   / 2
Sonuç: Kuvvet eksenine dik olan kesitte beklenildiği gibi asal normal gerilme bir eksenli gerilme
şeklindedir ve kayma gerilmesi sıfırdır.
Birinci asal gerilme "1 =  = N/A" dır. 45 lik eğik kesitte ise en fazla gerilme olasılığı
"max = nmax + tmax = /2" kadardır.
1.1.2. İki eksenli gerilmeler
İki boyutlu veya iki eksenli, düzlem gerilmesi. Düzlemde gerilmelerin analizini yapmak için Şekil 4
ile görülen eni ve boyu bir birim olan parçayı ele alalım ve parçadaki gerilmeleri belirleyelim.
Şekil 4 ile üçgen olarak gösterilen esasında prizmadır, düzlemde gerilme analizi yapıldığından
üçgen olarak şekilde gösterilmiştir. Prizmayı etkileyen bütün dış gerilmelerin doğurduğu iç kuvvet
ve alan sabit olduğu için gerilmelerinde statiğin denge kanununu gerçekleştirmesi gereklidir. Şekil 5
ile görüldüğü gibi üçgenin A noktasında bütün kuvvet veya gerilmelerin toplamı mekaniğin denge
kanunlarına göre sıfır olmalıdır. Bu prizmanın yüzeyleri x ve y yönlerinde σx , σy ve τ = τxy = τyx
tarafından etkilenir. Bu etkilerden duruma göre σn , σt ve τ = τnt = τtn gerilmeleri oluşur.
1.1.2.1. Kesit düzleminde n-ekseni yönünde normal gerilme "σn"
Şekil 5 ile verilen A noktasındaki normal gerilmelerin toplamı için denge denklemini kuralım.
n  0
An  0
n   I  II  III  IV
www.guven-kutay.ch
8
x
1
x
1
y
x
yx
x
xy .sin
yx .cos
x.cos
xy
 x
x
1
 A
tn
t
y.cos
sin
cos
x
xy
yx
y.sin
xy.cos


t
n
B
y
n
x.sin
1
n
t
nt
yx .sin
y
Şekil 4, Düzlemde gerilmeler
Yukarıda verilen denklemdeki bilinmiyenleri sırasıyla hesaplayalım. Burada Şekil 4 ile verilen
örnek, iki eksenli gerilme veya iki boyutlu gerilme için genelde gösterilen tipik örneklerden biridir.
 y  sin  nin bileşeni
I   y  sin   sin 
I   y  sin 2 
 x  cos  nin bileşeni
II   x  cos   cos 
II   x  cos 2 
 xy  sin  nin bileşeni
III   xy  sin   cos 
 yx  cos  nin bileşeni
IV   yx  sin   cos 
Buradan n nin formülü F 1 bulunur
n   x  cos 2    y  sin 2    xy  2 sin  cos 
x

y
xy
MPa

MPa
MPa
F1
x-ekseni yönündeki normal gerilme
Kesitin açısı
y-ekseni yönündeki normal gerilme
Kayma gerilmesi
1.1.2.2. Kesit düzleminde t-ekseni yönünde normal gerilme "σt"
Denge denklemini Şekil 6 ile verilen B noktasında normal gerilmelerin toplamı için kuralım.
 t  0
Bt  0
 t   I  II  III  IV
Yukarıda verilen denklemdeki bilinmeyenleri sırasıyla hesaplayalım:
 x  sin  nin bileşeni
I   x  sin   sin 
I   x  sin 2 
 y  cos  nin bileşeni
II   y  cos   cos 
II   y  cos 2 
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
9
yx .cos
IV
y.sin
III
II
xy .sin
x.cos
I
III
n
x

yx .sin
IV
n
x.sin
B
t

tn
t

xy.cos
x

I
II
y.cos
n
y
t
y
Şekil 5, A noktasında n gerilmesi
Şekil 6, B noktasında t gerilmesi
III    xy  sin   cos 
 yx  cos  nin bileşeni
IV    yx  sin   cos 
Buradan t-ekseni yönündeki normal gerilme t nin formülü F 2 ile bulunur
 t   x  sin 2    y  cos 2    xy  2 sin  cos 
t
x

y
xy
MPa
MPa

MPa
MPa
F2
t-ekseni yönündeki normal gerilme
Kesitin açısı
Kayma gerilmesi
Prensipte formül F 1 ile sin yerine cos, cos yerine sin konulup kayma gerilişminin işareti negatif
alınsa hemen t değeri bulunur. Yalnız sin, cos ile yer değiştirse F 2 ile kolaylıkla bulunur.
1.1.2.3. Kesit düzleminde t-ekseni yönündeki yönündeki kayma gerilmesi "tn"
yx .cos
y.sin
IV

xy .sin x.cos III
A
II
t
tn
I
III
x
II
x.sin
xy.cos B 
IV

yx .sin I
n
y
Şekil 7, A noktasında tn gerilmesi
y.cos
x
nt
y
Şekil 8, B noktasında nt gerilmesi
www.guven-kutay.ch
n
10
Denge denklemini Şekil 7 ile verilen A noktasında kayma gerilmelerinin toplamı için kuralım.
 t  0
At  0
 tn  I  II  III  IV  0
 tn   I  II  III  IV
Yukarıda verilen denklemdeki bilinmiyenleri sırasıyla hesaplayalım:
 x  cos  nin bileşeni
I   x  sin   cos 
I   x  sin   cos 
II   yx  sin   sin 
II   yx  sin 2 
 y  sin  nin bileşeni
III   y  sin   cos 
III   y  sin   cos 
 xy  cos  nin bileşeni
IV   yx  cos   cos 
IV    xy  cos 2 
Buradan tn nin değeri F 3 ile bulunur.



 tn  nt   y   x  sin  cos    xy  cos 2   sin 2 

F3
y
MPa
x
MPa


Kesitin açısı
xy
MPa
Kayma gerilmesi
1.1.2.4. Kesit düzleminde kayma "n" yönünde "nt" gerilmesi
Denge denklemini Şekil 8 ile verilen B noktasında kayma gerilmelerinin toplamı için kuralım.
n  0
Bt  0
nt  I  II  III  IV  0
 tn   I  II  III  IV
Yukarıda verilen denklemdeki bilinmiyenleri sırasıyla hesaplayalım:
 x  sin  nin bileşeni
I   x  sin   cos 
I   x  sin   cos 
 y  cos  nin bileşeni
II   y  sin   cos 
II   y  sin   cos 
 xy  cos  nin bileşeni
III   yx  cos   cos 
III  xy  cos 2 
IV   yx  sin   sin 
IV   yx  sin 2 
Buradan nt nin formülü F 4 de aynen F 3 gibi bulunur.



y
x

xy
MPa
MPa

MPa

Kesitin açısı
Kayma gerilmesi
www.guven-kutay.ch
F4
Yapı
Statiği
11
1.1.3. Üç eksenli gerilmeler
Formül Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden. ile verilmiş olan "t" vektörü
herhangi bir yönde "" ile bir skaler   t   verir. Burada vektör "t" 1. dereceden tensör olarak
kabul edilmelidir.
İlerde "Virtüel İş Prensibi" dosyasında göreceğimiz Statik Sınır Koşullar formülü (F 5) ile
Gerilmeler tensörü" (F 6) ile "" nin her yönünde bir vektör "t" oluşturur. Gerilmeler tensörü "ij"
matrisi simetrik 2. dereceden tensördür (F 6).
t x   x   x   xy   y   xz   z , ...
 x

ij    yx

 zx
F5
 xz 

 yz 
F6

z 
Genel olarak bu bağıntılar matris olarak gösterilir ve "matrisle yazılış şekli" denir (F 7):
 xy
y
zy
t  
F7
Diğer yazılışa "sembolle yazılış şekli" denir (F 8):
t  
F8
Veya başka yazılışa "indisle yazılış şekli" denir (F 9):
t i  ij   j
F9
F 9 ile görülen indis "j" bize değerlerin toplanacağını söyler. Bu toplama şekli "Einstein nın
toplama konvansiyonu" olarak tanımlanan şekilde yapılır.
t     formülünde  yönünü bulmak istersek:
eğer kayma gerilmeleri yoksa x = 0 demektir ve kayma gerilmesinin olmadığı yönde formülümüz:
t  
F 10
veya kayma gerilmeleri yoksa x = 0 demektir ve F 5 formülüne göre F 11 ile görülen homojen ve
lineer eşitlik formülü "Homojen lineer denklem" bulunur:
 x     x  xy   y  xz   z  0
F 11
Vektör  nün trival olmayan çözümü ile, eşitlik sisteminin determinantları ortadan kalkarsa,
"Karakteristik denklem" ortaya çıkar, F 12.
3  (1)  2  ( 2)    (3)  0
F 12
F 5 den F 12 e kadar sembollerin tarifi

MPa
idisinde gösterilen yönündeki kayma gerilmesi

MPa
idisinde gösterilen yönündeki normal gerilme

1
Birim vektörü
t
N
Elementer kuvvet
(i)
MPa
Değişmez değerler
i
MPa
Asal gerilmeler
F 12 eşitliği şu değişmez değerlerle oluşur.
(1)   x   y  z
 1  2  3
( 2)   x   y   x   z   y  z  2xy  2xz  2yz
 1   2  1  3  2  3
www.guven-kutay.ch
F 13
12
 1  2  3
(3)   x  y z  2 xy  xz  yz  2xz  2yz
Gerilmeler tensörü "ij" nin (F 6) temel invariantları F 12 formülünün temel değerleri asal
gerilmeler 1,2.ve 3.dür. Asal yönler 1, 2 ve 3 F 11 e temel değerlerin yerleştirilmesiyle
bulunur.
z
y
x
xz
z
z
C
yz
zy
x
zx
yx xy
y
tz
y.n y
x.n x
n
ty
O
y
B
tx
y
x
A
z
x
z.n z
Şekil 9, Üç eksenli gerilmeler
 OAC   y
;
 OAB   z ;
 OBC   x
 ABC  1   2x   2y   2z
Burada  ABC düzlemine dik birim vektörüdür.
t x   x  x   xy  y

t y   yx x   y y
t
 z  zx  x  zy y
  xz z 

  yz z 
 z z 
Karakteristik denklem, trival çözümü olmayan homojen lineer eşitlik sisteminin (Determinantı=0)
çözümüyle bulunur. Karakteristik denklemin çözümüyle de "Ana gerilmeler" bulunur.
Ana yönler 1, 2, 3 ; 1, 2, 3 homojen lineer denkleme yerleştirilmesiyle bulunur. Şöyle ki:
ix 
 Ciy  Ciz
2
2
2
2
2
2
Cix
 Ciy
 Cix
 Ciz
 Ciy
 Ciz
[Cix = (x-i).yz - xy.xz, …]
(i=1, 2, 3, ......)
Hatırlatma:
 Karakteristik denklemdeki (2). terimi çok kere negatif ön işaretli olarak yazılır. (2) için
sağ el kuralının tersi kabul edilir.
 Gerilme darbeleri hidrostatik ve deviatorik komponentlerine ayrılır (literatüre bkz). Ana
eksen sisteminde veya ana gerilmeler hacminde geometrik interpretasyonlar, hidrostatik
eksen ve deviatorik düzlem oktaeder normal gerilme ve oktaeder kayma gerilmesi ile yapılır
(literatüre bkz).
 Ortagonal kabul edilen betonun kullanılma yöntemini"fib-ch-Publikation Osaka 2002"
yayınında bulursunuz.
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
13

n
S

2 n
3
"N" z-eksenine
paralel normal
düzlem
x
 tn
S


X
N
N
1
"S" t-ekseni
etrafında 
açısıyla
dönmüş düzlem
S


y
Kutup
Y
t
z
Şekil 10, Üç eksenli gerilmeler ile Mohr dairesi
"S" noktalarının gerilmeleri Şekil 10 ile görülen 1-2, 2-3 ve 3-1 ana dairelerinin arasında kalan orak
şeklindeki kısımdadırlar. Konstrüksiyon, z-ekseni 3 yönünde kabul edilirse, gerilmelerin tensörleri
düzlemsel ve hidrostatik olarak gösterilir (bkz. F 14).
 x

  yx
 0

 xy
y
0
0    x  3
 xy
0   3 0 0 
 
 

0     yx
 y  3 0    0 3 0 
z   0
0
z   0 0 3 
Düzlemsel
hidrostatik
F 14
Maksimum kayma gerilmesi (max) iki asal gerilmenin ekstrem değeriyle bulunur (F 15).
max  0,5  1  3 
1  2  3 ise.
eğer
F 15
Genelde gerilme tensörü hidrostatik ve deviatorik kısımlara ayrılarak gösterilir (F 16).
 x

  yx

 zx
 xy
y
zy
 xz   0
 
 yz    0

z   0
0
0
0

0   Sx   x  0
 xy
 xz

 
0 
 yx
S y   y  0
 yz



0  
zx
zy
Sz  z  0 
hidrostatik
F 16
deviatorik
F 16 formülü ile verilen 0 genelde "Oktaeder normal gerilme" olarak bilinen şu büyüklüktür.
1
0   1
3
F 17
Genel olarak deviatoru şu şekilde gösterebiliriz:
Sij  ij  0  ij
F 18
Burada verilen birim matrisini ij F 13 formülüne analog olarak yazarsak deviatörün üç değişmez
değerli ana denklemlerini buluruz, F 19:
S(1)  0
F 19


1
1
S( 2)   2x  2y  2z   y z   z x   x  y  2yz  2zx  2xy  ( 2)   (21)
3
3
www.guven-kutay.ch
14
1
1
S(3)  (3)   S( 2)  (1)   3(1)
3
27
Eksenleri 1, 2 ve 3 olan koordinat sisteminde herhangi bir "" vektörü, hidrostatik eksende
(1 = 2 = 3) bulunan "0" vektörü ve deviatorik düzlemde ((1)=0) bulunan "s" vektörü ile
gösterilir (0 . s = 0), Şekil 11.
Vektör s nin deviatik düzleme izdüşümüşu şekilde formüle edilir:
OP1  1.2 , 3   2,1,1 
1
1
3
 3  s,

 s, ...
6
2
6
F 20
Burada s vektörünün değeri
s  2  s ( 2 )  3  0
F 21
F 21 formülü ile verilen 0 genelde "Oktaeder kayma gerilmesi" olarak bilinen şu büyüklüktür.
2
 s ( 2)
3
0 
F 22
Deviatik düzlem
3
'3
Hidrostatik eksen
0
P2
'2

P1
P3
s
P'
P2
2
O

O
s
P
1

P1
s
1
P
P3
2
'1
Şekil 11, Deviatik düzlemle üç eksenli gerilmeler
Şekil 11ile görülen  açısının değeri F 23 ile bulunur.
cos  
2 s1
2 2  1  2  3
 

2 0
6
0
F 23
Parçadaki gerilmelerin durumu, bilinen gerilmeler 0, 0 ve  açısının verilmesiyle ana eksenler
sisteminde kati olarak belirlenir.
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
15
Bunun yanında şunuda unutmamak gerekir; ana eksenler sistemine geçişini sağlayan başlangıç
koordinatlarını belirleyen altı tensörün bileşenleri kaybolmuştur (görünmemektedir).
www.guven-kutay.ch
16
1.2. Asal normal gerilmeler ve yönleri
Burada maksimum ve minimum değerleri bulmak için birinci derecedeki diferansiyel denklemi
sıfıra eşitlememiz gereklidir. Bu hesabı yapmak istersek:
d  n / d = 0
x cos2  +  y sin 2  + 2  cos  sin / d = 0
  x sin 2 +  y sin 2 - 2  cos 2 = 0
(  x +  y ) sin 2 = 2  cos 2
sin 2
2
=
cos 2  ( x   y )
Böylece asal normal gerilmeler 1 ve 2 nin yönlerinin açısı bulunur:
tan 21 = 

xy
x
y
*)1

MPa
MPa
MPa
2   xy
F 24
x  y
Kesitin açısı *)1
Kayma gerilmesi
Burada 1 açısı, x-ekseni ile 1. asal normal gerilme ekseninin oluşturduğu  açısıdır.
F 24 ile verilenlerin analizini yaparsak:
Asal normal gerilmeler σ1 ve σ2 birbirlerine diktirler ve tan2φ birbirinden 180 farklı
iki açıyı gösterir. Bunun yanında φ açısı birbirine 90 farklı iki eksen yönünü belirler.
Diğer taraftan kayma gerilmelerinin hesabına devam edersek (F 4):




 tn  nt   y   x  sin  cos    xy  cos2   sin 2 
Trigonometri bilgimizi tazelersek;
cos 2   sin 2  = cos 2 ve sin  cos  = sin 2/ 2
Bu bağıntıları τtn-formülünde yerleştirirsek:
( x - y )
sin 2
 tn =  cos 2 +
2
Asal normal gerilmelerin yönleri formülünü tekrar ele alıp işlersek (F 24):
2  xy
2  xy cos 2
sin 2
=
ve buradan
sin 2 = 
cos 2
x - y
x -  y
Bu bulunan değeri yerleştirirsek:
 tn =  cos 2 +
(  x -  y ) - 2  xy cos 2
2
( x - y )
 tn =  xy  cos 2   xy  cos 2 !..
xy

MPa

F 25
Kayma gerilmesi
Kesitin açısı
F 25 ile ile verilenlerin analizini yaparsak şu sonuca varırız.
Küçük bir prizma parçasını asal normal gerilmeler σ1 ve σ2 etki edene
kadar çevirdiğimizde kayma gerilmeleri sıfırdır.
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
17
1.3. Mohr dairesi
F 1 ile bilinen n normal gerilmesini ele alalım.
Trigonometri bilgimizi tekrar tazeleyelim;
sin 2  =
1
( 1 - cos 2)
2
cos 2  =
1
( 1 + cos 2 )
2
2 sin  cos  = sin 2
Bu bağıntıları eğik düzlemindeki normal gerilmeler formülünde yerleştirirsek:
1
1
( 1 + cos 2 ) +  y ( 1  cos 2 ) +  xy sin 2
2
2
x +  y x   y
+
cos 2 +  sin 2
n =
2
2
 tn =  xy ( cos 2  - sin 2  ) + ( y   x ) cos  sin v
n =  x
ve iç teğet gerilme için;
 tn =  xy cos 2 +
 tn = 
 y  x
sin 2
2
x  y
sin 2 +  xy cos 2
2
Eğer bu iki eşitlik formülünün karesini alıp beraber toplarsak Mohr'un (mohr) gerilmeler dairesini
buluruz. Bu daire σn ve τxz koordinat sisteminde bulunur:

 + y
 n - x

2

2
  x  y
 =
cos 2 +  xy sin 2
 
2
 
2
2

x  y

sin 2 +  cos 2 
2


2


x + y 
2 =(
2 2 +
2 2)    x  y

+
n

cos
sin
tn

 
2
2



2tn = 








2


 + 2xy 




Diğer taraftan cos 2 2 + sin 2 2 = 1 olduğundan F 26 formülü bulunur.

 + y
 n - x

2

σn
τtn
σx
σy
τxy
Daire fomülü:
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
2

  -
 + 2tn =  x y


2


2

 + 2xy


F 26
Kesit yüzeyindeki toplam normal gerilme
Kesit yüzeyindeki toplam kayma gerilmesi
Kayma gerilmesi
( x - a ) 2 + ( y - b )2 = r 2
F 27
F 26 ile bulunan formülün dairesini ve F 27 ile verilen genel daire fomülü çizelim (bkz Şekil 12) ve
F 26 ile F 27 formullerini Tablo 1 de karşılaştıralım:
www.guven-kutay.ch
18

y
B
max
r
R
C
A
y
0
b


M
max
D
x
min 
a
M = ()/2
X
Y
x
max 
Şekil 12, Genel daire
Şekil 13, Mohr dairesi
Tablo 1, Daire fomülü ile gerilme fomülünün karşılaştırılması
Genel daire, F 27 ve Şekil 12
x
Mohr dairesi, F 26 ve Şekil 13
n
x  y
M
2
a
(x -a )

 + y
 n - x

2

tn
0
2
y
b




2
 tn  0 2
( y - b )2
2
r
 x   y 

  2xy


2


r
 x  y 
  2xy
R  

2


2
2
Burada b = 0 olması dairenin merkezinin koordinat sisteminin sıfır noktasında olduğunu gösterir.
Bu daire ilk defa Mohr tarafından bulunduğu için "Mohr dairesi" denir.
1.3.1. Mohr dairesinin merkez koordinatları
Tablo 1 ile görülen benzerliklerden şu formülleri kolaylıkla üretiriz:
Mohr dairesinin merkez koordinatları Tablo 1 ile derhal görülür. Mohr dairesinin merkezi daima xekseni üzerinde olacağından ordinatı sıfırdır ve apsis değeri F 28 ile bulunur.
M
M
σx
σy
MPa
MPa
MPa
x  y
2
F 28
Mohr dairesi merkezinin x değeri (apsisi), y=0
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
19
1.3.2. Mohr dairesinin radyus boyu
Mohr dairesinin radyus boyu Tablo 1 ile derhal görülür ve F 29 ile gösterilmiştir.
2
 x  y 
  2xy
R  

2


F 29
σx
MPa
σy
MPa
τxy
MPa
Kayma gerilmesi
1.3.3. Asal normal gerilmeler 1 ve 2
Mohr'un gerilmeler dairesi üzerindeki her nokta parça üzerindeki bir kesiti gösterir (Şekil 12). Bu
çember üzerindeki noktada kurulacak koordinat sistemi, o kesitteki iç gerilmeleri "σ ve τ" u
gösterir. A ve C noktaları koordinat sisteminin gösterdiği kesitteki maksimum ve minimum iç
normal gerilmeleri, diğer deyimi ile asal normal gerilmeleri gösterir. Bu değerleri formülle
göstermek istersek Şekil 12 ile görüldüğü gibi şu bağıntıyı buluruz.
1,2 = a  R
 x -  y
x +  y
1,2 =
 
2
2

2

 + 2


F 30
σx
MPa
σy
MPa
τxy
MPa
Kayma gerilmesi
1.3.4. Maksimum kayma gerilmesi max
Şekil 12 ile görülen B ve D noktaları maksimum kayma gerilmesini gösterir ve buda Mohr
dairesinin radyusuna eşittir.
2
 x   y 
  2xy
max  R   

2


F 31
σx
MPa
σy
MPa
τxy
MPa
Kayma gerilmesi
1.3.5. Mohr dairesininin geometrik yorumlanması

[MPa ]
N 
n tn
Şekil 14 ile görülen:
X
xy

1
2
x
 [MPa]
1
M
2
1
2
 xy
t
P
y 1
Y

T 
t
nt
y
1
Şekil 14, Mohr dairesi
www.guven-kutay.ch

n
x
 açısı; x-ekseni ile eğik
düzlemin oluşturduğu
açıdır.
açısı; x-ekseni ile 1. asal
normal gerilme ekseninin
oluşturduğu açıdır.
20
1.4. Asal normal gerilmeler
y
 xy
x
 yx
y
x
x
1
 yx
 xy
2
1
1
2
y
x
2
y
1
Şekil 15, Asal normal gerilmeler
Herhangi bir çubuktan küçük bir kısmını aldığımızı (Şekil 15) ve bu parçanın σx, σy ve τxy tarafından
etkilendiğini kabul edelim. Bu parçayı yavaşca döndürdüğümüzde bir an gelecek belirli bir φ1 (fi)
açısında, Normal gerilmelerin (σx ve σy) birinin en büyük diğerininde en küçük değere vardığında τxy
ninde kaybolduğu, değerinin sıfır olduğu görülecektir. Burada daima σ1 > σ2. kabul edilir. Bu arada
σmax = σ1 ve σmin = σ2 olarak yazılır.
Bu durumada şu tanım yapılır:
Bir parçada kayma gerilmesi sıfır ve yalnız normal gerilmeler var ise,
bu gerilmelere "asal normal gerilmeler ( σ1 ve σ2 ) " denir.
Gerilmelerin geometrik yorumlanması Mohr dairesi ile yapılır.
1.4.1. Parçada  ve  için ön işaret kuralı
Bir ödevde verilen gerilmelerin (x , y ve xy = yx) ön işaretleri daima aşağıda verilen ön işaret
kuralına göre kabul edilecektir.
Ön işaret kuralı
x
xy
+
y
y

yx
1. Çekme gerilmeleri daima pozitiftir.
x
+
+
yx
x

y+

xy
2. Düzleme inen dikmeler x in veya y nin
pozitif koordinat sistemindeki yönlerini
gösteriyorlarsa, bu gerilmeler pozitiftir.
Eğer kayma etkilediği yüzeyde pozitif yyönündeyse ve pozitif x-yönünü gösteriyorsa
kayma gerilmesi xy pozitiftir.
Şekil 16, Parçada  ve 
1.4.2. Mohr dairesinde gerilmelerin ( ve  gösterilmesinde ön işaret kuralı
Ön işaret kuralı
x
xy

y
y

yx
1. Çekme gerilmeleri daima pozitiftir.
x+
+
yx
x

y
+

xy
Şekil 17, Mohr dairesinde  ve 
2. Kayma gerilmeleri pozitiftir, eğer parçanın
içine göre parçayı saat yönünde
döndürüyorsa.
3. Eğer xy pozitif ise, yx Mohr dairesinde
negatif olarak gösterilir. Ön işaret daima
bilinenin tersidir.
Yukarıda teorik olarak anlatılan Mohr dairesinin konstrüksiyonunu daha iyi anlayabilmek için basit
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
21
bir örneği ele alıp detaylı analizini yaparak Mohr dairesi konstrüksiyonunu anlatmaya çalışalım.
x
x
ysin
Kabuller veya bilinenler:

y
xy

n
xysin
yxcos

yx
x
+
x

xcos
+
yx
y = 30 MPa
n

tn

xy
y+
x = 70 MPa
sin
y
y
cos
t
xy = 35 MPa
n
Düzleme dik
yx = 35 MPa
Paralel olduğu eksen
t
 = 15
Şekil 18, Parçada gerilmeler
1.5. Mohr dairesinin konstrüksiyonu
Mohr dairesinin konstrüksiyonunun bitmiş hali Şekil 19 ile görülmektedir. Kabul edilen apsisi ,
ordinatı  olan bir koordinat sistemi ele alınır.
 [MPa]
y-eksenine //
50
40
35
30
1.eksene //
20
2
10
x
yx
max
t-eksenine //
X (x, yx )
 yx
 tn+
tn
+
n
N(n, tn )
2.eksene //
1
10
10
30
 nt
T (t , nt )
30

x-eksenine //
35  xy
xy 40
Y (y, xy )
t
nt
y
20
M
1
1. e
kse
n

1
60
x-eksenine //
x

P
 [MPa]
1 (1, )
n
1
kse
n
10
1
2. e
n-eksenine //

y
y-eksenine //
2 (2, )  t
2
1
2
t
50
2
1
1
y
x
1
n
Şekil 19, Mohr dairesi konstrüksiyonu
1. Bilinen değerlerle X ve Y noktaları ölçekli koordinat sisteminde işaretlenir.
Burada X(x, yx) = X(70, 35) ve Y(y, xy) = Y(30, 35) değerindedir.
2. Mohr dairesi merkezi M noktası:
X ile Y noktalarını birleştiren doğrunun -eksenini kestiği nokta Mohr dairesinin merkezi M
noktasıdır. Analitik olarak M noktasının sayısal büyüklüğü F 32 ile hesaplanır:
www.guven-kutay.ch
22
M
x
y
MPa
MPa
x  y
2
F 32
x-eksenindeki normal gerilme
y-eksenindeki normal gerilme
Örnekdeki değerlerle M noktasının sayısal büyüklüğü şöyle hesaplanır:
M
70  30
 50
2
Şekil 19 de işaretlenir.
M (50,0)
Mohr dairesi yarıçapı R:
X ile M noktalarını birleştiren doğru Mohr dairesinin yarıçapıdır "R" ve analitik olarak sayısal
büyüklüğü F 33 ile hesaplanır:
R  max
2
 x   y 
  2xy
max  

2


F 33
Sayısal olarak Mohr dairesinin yarıçapı ile maksimum kayma gerilmesi aynı değerdedir. Yalnız
birim olarak değişiktir.
Maksimum kayma gerilmesi, tmax: değeri analitik olarak F 34 ile hesaplanır:
2
 x   y 
  2xy
max  

2


x
y
xy
MPa
MPa
MPa
F 34
y-eksenindeki normal gerilme
Kayma gerilmesi
Örnekdeki değerlerle yarıçap R nin sayısal büyüklüğü:
2
 70  30 
2
R 
  35
 2 
R  40,311
Şekil 19 de işaretlenir ve Mohr dairesi çizilir.
3. Mohr dairesinde kutup noktası P:
X noktasından y-eksenine çizilen paralelin, Y noktasından x-eksenine çizilen paraleli kestiği
nokta Mohr dairesinde kutup noktası P dir.
Şekil 19 ile görüldüğü gibi P noktasının koordinatları P(x ,xy) dur. Burada P(70,35) dir.
4. Asal normal gerilmeler 1 ve 2 (=0) ile 1 ve 2 numaralı eksenler:
1 ve 2 numaralı asal normal gerilmelerin noktaları daima -ekseni üzerindedir ve Mohr dairesi
ile -ekseninin kesiştiği noktalardır. Daima 1  2 ve 1  2 olarak adlandırılır.
P – 1 doğrusu 2.eksene paraleldir ve 2 nin yönünü gösterir,
P – 2 doğrusu 1.eksene paraleldir ve 1 nin yönünü gösterir.
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
23
Asal normal gerilmeler 1 ve 2 (=0) sayısal büyüklüğü analitik olarak F 35 ile hesaplanır:
1,2 
1
2
x
y
xy
x  y
2
2
 x   y 
  2xy
 

2


F 35
1. asal normal gerilme (1  2)
2. asal normal gerilme (2  1)
Kayma gerilmesi
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
Asal normal gerilmeler 1 ve 2 nin yönleri analitik olarak F 36 ile hesaplanır:
tan 21 
1
xy
x
y

MPa
MPa
MPa
2  xy
F 36
x   y
x-ekseni ile 1. eksenin oluşturduğu açı
Kayma gerilmesi
Örnekdeki değerlerle 1 in sayısal büyüklüğü:
tan 21 
2  (35)
 1,750
30  70
1  30,128
arctan(1,750)  60,255
5. Gerilme noktaları N ve T:
P noktasından t-eksenine çizilen paralelin Mohr dairesini kestiği nokta gerilme noktası N (n,tn)
P noktasından n-eksenine çizilen paralelin Mohr dairesini kestiği nokta gerilme noktası T (t,nt).
Bu değerler Şekil 19 ile görüldüğü gibi analitik olarak F 37, F 38 ve F 39 formülleriyle
hesaplanırlar.
F 37
 t   x  sin 2    y  cos 2    xy  2 sin  cos 
F 38



x
y
xy
MPa
MPa
MPa

Kayma gerilmesi
Örnekdeki değerlerle n , n ve tn nin sayısal büyüklüğü hesaplamak istersek:
x = 70 MPa ; y = 30 MPa ; xy = 35 MPa ;  = 15 için;
n-eksenindeki normal gerilme;
n = 49,821 MPa
t-eksenindeki normal gerilme;
t = 15,179 MPa
Kayma gerilmesi;
tn = 40,311 MPa
www.guven-kutay.ch
nt = 40,311 MPa
F 39
24
6. Gerilmelerin diyagramda gösterilmesi ve çizilmesi:
X noktasında normal gerilme x "+" pozitif olduğundan "çekme" gerilmesidir. Cismin dolu
tarafı sol tarafta gösterildiği için gerilme yönü yüzeye dik olarak sağa doğru gösterilir. Kayma
gerilmesi yx "+" pozitif olduğundan cismin merkezini saat yönünde çeviriyor demektir. Cismin
merkezi sol tarafta olduğu için gerilme yönü burada aşağıya doğru çizilir.
N noktasında normal gerilme n "+" pozitif olduğundan "çekme" gerilmesidir. Cismin dolu
tarafı sol tarafta gösterildiği için gerilme yönü yüzeye dik olarak sağa doğru gösterilir. Kayma
gerilmesi tn "+" pozitif olduğundan cismin merkezini saat yönünde çeviriyor demektir. Cismin
merkezi sol tarafta olduğu için gerilme yönü burada aşağıya doğru çizilir.
1 noktasında asal normal gerilme 1 "+" pozitif olduğundan "çekme" gerilmesidir. Cismin dolu
tarafı sol tarafta gösterildiği için gerilme yönü yüzeye dik olarak sağa doğru gösterilir. Asal
normal gerilmenin olduğu yerde kayma gerilmesi 1 = 0 dır.
Y noktasında normal gerilme y "+" pozitif olduğundan "çekme" gerilmesidir. Cismin dolu
tarafı yukarı tarafta gösterildiği için gerilme yönü yüzeye dik olarak aşağıya doğru gösterilir.
Kayma gerilmesi xy "" negatif olduğundan cismin merkezini saat yönünün tersine çeviriyor
demektir. Cismin merkezi yukarı tarafta olduğu için gerilme yönü sağa doğru çizilir.
T noktasında normal gerilme t "+" pozitif olduğundan "çekme" gerilmesidir. Cismin dolu
Kayma gerilmesi nt "" negatif olduğundan cismin merkezini saat yönünün tersine çeviriyor
demektir. Cismin merkezi yukarı tarafta olduğu için gerilme yönü sağa doğru çizilir.
2 noktasında asal normal gerilme 2 "+" pozitif olduğundan "çekme" gerilmesidir. Cismin dolu
Asal normal gerilmenin olduğu yerde kayma gerilmesi 2 = 0 dır.
1.5.1. Mohr dairesi için pratikten örnek
Mohr dairesinin konstrüksiyonu için pratikten örnek yapalım. Şekil 20 ile verilen bir parçada
kaynak dikişi ile birleştirme vardır. Parçada ve parçanın kaynak dikişindeki gerilmelerin analizini
yapalım.
Şekil 20 ile verilmiş olan eğik kaynak dikişli
plakada bilinenler:
X

a
şi
iki
kd
a
yn
t
Ka

a
x

zx
n
Z


x = 20 MPa


xz
z = 60 MPa
xz = zx = 30 MPa
z
Şekil 20, Eğik kaynak dikişli plakada gerilmeler  = 38
Mohr dairesinin konstrüksiyonunun bitmiş hali Şekil 21 ile görülmektedir. Kabul edilen apsisi ,
ordinatı  olan bir koordinat sistemi ele alınır.
1. Bilinen değerlerle X ve Z noktaları ölçekli koordinat sisteminde işaretlenir.
Burada X(x, xz) = X(20, 30) ve Z(z, zx) = Z(60, 30) değerindedir.
www.guven-kutay.ch
Yapı

[MPa]
max
N (n, tn )
k
t-e
//
ine
sen
Statiği
tn 
n

Kutup P
25
Z (z, xz )
x-eksenine //

xz
1 
2. e k
10
20
10
10
M=
30

zx
X
1
xz
z
xz
T (t , nt )
nt  t

2
x zx
x
zx
2
//
ine
z
1(1, )  [MPa]
60
1
X(x, zx )
2
x + z
Z
n
se
ek
n-
1. ek
se n
z-eksenine //
2(2, )

sen
x
1
z
x
tn
2 
1
2
t
1
n
nt
t
nt
t n
tn
n
Şekil 21, Eğik kaynak dikişli plaka için Mohr dairesi
2. Mohr dairesi merkezi M noktası:
X ile Z noktalarını birleştiren doğrunun -eksenini kestiği nokta Mohr dairesinin merkezi M
noktasıdır. Analitik olarak M noktasının sayısal büyüklüğü F 40 ile hesaplanır:
  z
M x
2
x
z
MPa
MPa
F 40
z-eksenindeki normal gerilme
Örnekdeki değerlerle M noktasının sayısal büyüklüğü şöyle hesaplanır:
 20  60
M (20 ; 0)
M
 20
işaretlenir (Şekil 21).
2
Mohr dairesi yarıçapı R bulunur.
X ile M noktalarını birleştiren doğru Mohr dairesinin yarıçapıdır ve analitik olarak sayısal
büyüklüğü F 41 ile hesaplanır. Formülde yarı çapın birimi mm olarak seçilmiştir.
2
 x  y 
  2xy
R  

2


F 41
Maksimum kayma gerilmesi max ın sayısal büyüklüğü F 42 ile hesaplanır.
2
   z 
2
max   x
  zx
2 

x
z
zx
MPa
MPa
MPa
z-eksenindeki normal gerilme
Kayma gerilmesi
www.guven-kutay.ch
F 42
26
Örnekdeki değerlerle yarıçap R nin sayısal büyüklüğü:
2
  20  60 
2
R 
  (30)
2


R  50,0 mm
işaretlenir (Şekil 21) ve Mohr dairesi çizilir. Yukarıda Mohr dairesinin konstrüksiyonu nda
anlatıldığı şekilde aranan değerleri çizim tamamlanır ve diyagramdan okunur (Şekil 21).
1  70 MPa
1  109
n  0,5 MPa
max  50 MPa
,
2  30 MPa
,
t  39 MPa
,
tn = nt  46 MPa
Bu değerler analitik olarakta hesaplanır.
Asal normal gerilmeler (bkz F 30) : 1 > 2
2
 x   y 
  z
  2zx
1, 2  x
 

2
2


1,2 
2
 20  60
  20  60 
2
 
  (30)
2
2


1  70 MPa
2  30 MPa
Asal gerilme yönü 1 (bkz F 24)
tan 21 
2  xz
 x  z
tan 21 
2  (30)
 0,75
 20  60

1  108,4
1 = 18,4 + 90
Maksimum kayma gerilmesi max (bkz F 31)
2
 x   y 
  2xy
max  

2


2
  20  60 
2
max  
  (30)
2


max  50 MPa
Kaynak dikişi a-a daki gerilmeler:
x = 20 MPa
z = 60 MPa

Önce burada   90  
n için F 1
xz = zx = 30 MPa
 = 52
 = 38
bulunur
n   x  cos 2   z  sin 2   zx  2 sin  cos 
n  (20)  cos 2 52  60  sin 2 52  (30)  2  sin 52  cos 52
n  0,568 MPa
t için F 2
 t   x  sin 2   z  cos2   zx  2 sin  cos 
 t  (20)  sin 2 52  60  cos2 52  (30)  2  sin 52  cos 52
 t  39,432 MPa
tn = nt için F 3 ve F 4

 tn  nt   z   x   sin  cos   zx  cos 2   sin 2 


 tn  nt  60  20  sin 52  cos 52  (30)  cos 2 52  sin 2 52
 tn  nt  46,069 MPa
www.guven-kutay.ch

Yapı
Statiği
27
2. Kesitteki gerilmeler
2.1. Genel giriş
Mukavemet değerlerindeki bilgilerimizi tazeleyelim. Homojen, izotrop ve lineer elastik cisimlerde
gerilmeler ve esnemeler genel Hook kanunlarına tabidir. Bu cisimlerde şekil değiştirme işi "U" ve
ek iş "U*" eşittirler ve kuvvet ile kuvvetten oluşan esnemelerle kaymalar birbirleriyle orantılı olup
genelde Castigliano nun kanunlarıyla hesaplanırlar.
Statik, bilhassa yapı statiğinde problemler genelde gerilmeler ve deformasyonlarının yerine
gerilmelerin bileşkesi ve bu bileşkeden oluşan deformasyonlarıyla çözülür. Bunun için genelde bazı
basit ön kabuller kullanılır. Örneğin: İnce bir çubuk veya kirişte başlangıçta eksene dik ve düz olan
kesit kirişin deforme olması halindede eksene dik ve düz kaldığı vede boylamasındaki liflerin
birbirini etkilemeyeceği kabul edilir.
Bu kabuller problemin durumuna göre hesabı yapacak olan kişinin seçimine kalmıştır. Yamanla bu
gibi problemleri çözen kişiler tecrübe sahibi olup bu durumlarda çabuk karar vereceklerdir.
Burada kiriş kesit büyüklükleri ile oluşturdukları deformasyonlar detaylı görülecektir.
N
M
EA
EI/L
1/L
1

o
N
My
y
Vy
Vz
T
x
Mz
V
T
N
N
Nm
Nm
MPa
MPa
m
N/m4
N/m6
Normal kuvvet
Dik kuvvet
Eğilme momenti
Torsiyon momenti
Elastiklik modülü (N/mm2)
Kayma modülü (N/mm2)
Etkili boy
Burulma rijitliği
Eğilme rijitliği
GK/L
GA*
1/L
1
m
z
N
V
M
T
E
G
L
GA*
EI
Kavis
Esneklik
'A
Burulma
Ortalama kayma
Şekil 23, Diyagramlar
0
0

'x
EA
A
A*
J
K
1
1
rad/m
rad/m
N/m4
m2
m2
m4
m4
Eksenel esneklik (uzama)
Ortalama kayma
Kavis
Burulma
Eğilme
Kesit alanı
Etkin kayma alanı
Atalet momenti
Torsiyon sabitesi
2.2. Gerilmeler ve deformasyonlar için kabuller ve sonuçları
Kabuller:  Normal kesitlerin çubuk eksenine daima dik ve düz oldukları,
 Malzemenin boyuna liflerinin biribirine etkisinin olmadığı,
 Hook kanununun geçerliliği;  x  E   x .
Sonuçları:  Gerilme durumu lineer ve yalnız x  0,
 Esneme dağılımı düz ve genel deformasyon ilkeleri dahilinde (0, y, z.) oluşur.
Bütün bu tanımlama ve kabullere "Kiriş teorisi" denir.
www.guven-kutay.ch
28
2.3. Eğilme ve eksenel kuvvet
Genel olarak homojen elastik çubukta kesit büyüklüklerini (gerilmelerini) ve ait olan
deformasyonlarını doğrusal kabul ederek durumu ele alırsak, şu bağıntıları buluruz:
y
y
My
z
N
dA
x
Mz
o
x dA
y

z
z
y
Temel büyüklükler


 N    x  dA 


A
M



z

dA
 y  x



A
M z    x  y  dA 


A
A
x
F 43
Ana eksenlere göre:
 x  o   y  z  z  y
z
N
 dA
N
1
Normal kuvvet
Belirli A alanı için integralini alma
MPa
N.m
mm
N.m
mm
1
1
y-eksenine göre eğilme momenti
z-değeri
z-eksenine göre eğilme momenti
y-değeri
x-yönünde esneme
i-eksenindeki esnemenin kavis vektörü
A
x
My
z
Mz
y
x
i
Hook kanunlarına uyan malzemenin bilinen değerleriyle yapılmış gerilme – esneme (x ; x)
diyagramında, eğer esneme (deformasyon) değeri biliniyorsa, basit integrasyon işlemiyle gerilme
değeri bulunur.
Bunun tersinde önce çıkış büyüklüklerinin bir bölümünü tahmin edip 0 ,  y ,  z diğer değerleri


N, M y , Mz  hesaplayıp, bunu yeteri kadar doğrulukta sonuç bulana kadar tekrar ederek (iterasyon)
bir çözüm bulunur.
Hook kanunları dahilinde lineer elastik malzemeler için değişmeyen şu bağıntı yazılır:
x  E  x
x
E
x
MPa
MPa
1
F 44
Elastiklik modülü
Esneme
Bu durumda F 43 ile şu bağıntılar yazılır:

N  E  0   dA   y   z  dA   z   y  dA

 E   

M y  E  0   z  dA   y   z 2  dA   z   y  z  dA
Mz
0   y  dA   y   y  z  dA   z   y
Veya matris olarak şu eşitlik yazılır.
www.guven-kutay.ch
2

 dA

F 45
Yapı
Statiği
29


N
dA
z  dA
  y  dA   o 





 A
  
A
A


2

 
M y   E    z  dA
 z  dA   y  z  dA   y 


A
A
 A
 
2


  y  dA   y  z  dA
 y  dA  z 
 M z 
A
A
 A

N
E
0
 dA
N
MPa
1
1
Normal kuvvet
Elastiklik modülü
Etki yönünde doğrudan esneme
1
MPa
N.m
mm
N.m
mm
z-değeri
y-değeri
A
i
x
My
z
Mz
y
Ana eksenler y, z ve şu bağıntılar kabul edilirse;
 y  dA   z  dA   y  z  dA  0
A
F 45 ile verilen formüller şu şekli alırlar:
Burada
A
A
N  E  A  o
;
M y  E  Jy  y
;
M z  E  J z  z
F 46
A   dA
;
J y   z 2  dA
;
J z   y 2  dA
F 47
A
A
A
Ana eksenler (y ; z) koordinatlar dönüşümüyle deviasyon eksenleri  ve  olan koordinat sistemi
verirler.
'
Önce  = 0 kabul edersek:
o

y    0
;
z    0
y    o   cos      o   sin 
o

y
z
'
z    o   sin      o   cos 

ve böylece:
 y  dA     dA  0  A
Şekil 25,  ve  için
 z  dA     dA   0  A
Bu bağıntılardanda ağırlık merkezinin deviasyon eksenlerine göre koordinatları bulunur.
  dA
o  
A
0
 dA

0

mm
1
mm
mm
mm
;
  dA
o  
A
F 48
ağırlık merkezinin deviasyon eksenine göre apsisi
A alanı için integralini alma
değeri
ağırlık merkezinin deviasyon eksenine göre ordinatı
değeri
www.guven-kutay.ch
30
2.3.1. Atalet momentleri
Genel olarak atalet momentlerini şu şekilde gösterebiliriz.
 Jy
J
C yz
C yz 
J z 
F 49
Eğer   0 ve kabul edersek ordinat ve apsis değerlerini F 50 ile yazarız:
y  ' cos    ' sin 
z  ' sin    ' cos 
F 50
Deviasyon momentinin genel formülü F 51 ile görülmektedir.
C yz   y  z  dA
F 51
A
Formül F 50 ile verilen değerleri F 51 ye yerleştirirsek deviasyon momenti bulunur, bkz F 52:
C yz   y  z  dA   ' cos    ' sin    ' sin    ' cos   dA  0
A
A




Cyz  sin   cos     '2 '2  dA  cos2   sin 2    ' '  dA  0
A
F 52
A


Eğer deviasyon momentini Cyz = 0   yz  dA  0  kabul edersek ana yön 1 in formülü bulunur:


A

 2   ' 'dA
tan 21  
A
2
  ' dA    '2 dA
A
Burada:
2
J '    ' dA ;
2
J  '   ' dA
A
ve
tan 21  
A
C' '   ' 'dA
kabul edilirse;
A
A
Eğer  y  dA   z  dA  0
A
 2  C' '
F 53
 J '  J '
ise;
A





     dA  o  A  cos       dA   o  A   sin   0 
 A

A




    dA    A   sin      dA    A   cos   0



o
o
  



A
A






Bu denklemleri tan ve cot ile çarpar vede toplarsak:

1 
     dA  o  A   0
cos  A

;

1 
     dA   o A   0
sin  A

Genel dönüşüm formülleri:
J y   z 2  dA  J '  cos 2   J  '  sin 2   2  C' '  sin   cos 
J z   y 2  dA  J '  sin 2   J  '  cos 2   2  C' '  sin   cos 



C yz   yz  dA  J '  J  '  sin   cos   C' '  cos 2   sin 2 
www.guven-kutay.ch

F 54
Yapı
Statiği
31
veya matris olarak şu eşitlik yazılır.
 J y   cos 2 
sin 2 
 2 sin  cos    J ' 


 

2
cos 2 
2 sin  cos    J  ' 
 J z    sin 
C  sin  cos   sin  cos  cos 2   sin 2  C 
  ' ' 
 yz  
2.3.1.1. Çeşitli kesitlerde atalet momentleri
z
Ağırlık merkezine göre atalet momentleri:
b
J yS 
zS
J zS 
a  b3
12
Kenar koordinat eksenlerine göre atalet momentleri ve
deviasyon momenti:
a
yS
S
a3  b
12
y
Jy 
a3  b
3
Jz 
a  b3
3
C yz  
a 2  b2
4
Şekil 26, Dik dörtgen kesit
Ağırlık merkezine göre atalet momentleri ve deviasyon
momenti:
z
zS
a
J yS 
yS
S
y
b
a3  b
36
J zS 
C yS z S  
a  b3
Jz 
3
a 2  b2
C yz  
24
zS
Ağırlık merkezine göre atalet momentleri:
R
yS
J yS 
S
  R4
4
J zS 
  R4
4
Şekil 28, Daire kesit
Steiner'e göre atalet momentleri
z
y 

z
z'
Atalet momentleri ve deviasyon momenti:
J y '  J y  z 2  A
y
C
y'
C'
J z '  J z  y 2  A
C y 'z '  C yz  y  z  A
Şekil 29, Steiner'e göre atalet momentleri
a 2  b2
72
Kenar koordinat eksenlerine göre atalet momentleri ve
deviasyon momenti:
a3  b
Jy 
12
Şekil 27, Üçgen kesit
a  b3
36
www.guven-kutay.ch
32
Deviasyon momenti C nin ön işaretine kadar, gerilme ve deformasyonlarının dönüşümü analogtur.
bundan dolayıda Mohr dairesi ile gösterilir.
C
y
' ( J' , C'' )
P Kutup
'-eksenine
1
1
'
1
1
1
Z ( J z , 0)
Y ( J y , 0)
J
y-eksenine
z-eksenine
'
z
' ( J' , C'' )
Burada:
'-eksenine
Jy > Jz
 ters saat yönünde
Şekil 30, Atalet momentleri için Mohr dairesi ve genel kurallar
Asal atalet momentleri:
J y, z =
J ' + J  '
2
 J '  J  '
 
2

tan 21 
Asal atalet momentlerinin yönü:
2

 + C2 ' '

2  C' '
F 55
F 56
J '  J  '
İdeal eylemsizlik momentleri:
J y   z 2  n  dA
ve
J z   y2  n  dA
F 57
2.3.2. Normal gerilmelerin genel formülü
F 43 ve F 46 ile normal gerilmelerin genel formülü F 58 bulunur.
 x  E   x  E  o   y  z  z  y

x 
N My
M

z  z y
A Jy
Jz
x 
;

N  z  z A y  y A 
 1

2
A 
i
i 2z 
y

F 58
veya matris olarak şu eşitlik yazılır.
 N  A 0
  
M y    0 J y
M   0 0
 z 
Bunun yanında:
yA  
iy 
Mz
N
Jy
,
zA  
,
iz 
A
 x  0 ise nötr ekseni formülü bulunur:
y  yA
i 2z

0   o 
 
0   y 
J z   z 
My
N
Jz
A
z  zA
i 2y
Statik eşdeğer kuvvetin etki noktaları
Eylemsizlik radyusları
1  0
www.guven-kutay.ch
F 59
Yapı
Statiği
33
2.3.3. Eğilme çizgisi
Eğilme çizgisi:
Bir kirişin/çubuğun nötr ekseni noktalarının belirli bir yöndeki kayma bileşenlerinin oluşturduğu
çizgidir.
Eğilme çizgisini:



Kirişin diferansiyel denklemi ile,
Mohr analoğu ile,
İş denkleminin nokta nokta prensibi ile,
hesaplayabiliriz.
x(u)
z(w)
n
n'
m
m'
wm
wn
w
um
un
u
Şekil 31, Eğilme çizgisi
2.3.3.1. Kirişin diferansiyel denklemi ile sehim
Bildiğimiz tanımlamaları hatırlayalım:
Temel bilgilerden:
d 2M
M   E  J  w"
dx
2
 q  M"  q  E  J  w""  q  0
M y  E  J y   y
G 2
Vz2  S2
  xz  dA  dx   
 dA  dx
2 2
2
2

G

b

J
xA
xA
y
F 80
U xz    
F 82
U xz   
F 128
T  To
 y  T  u
h
Vz2
*
x 2G A
 dx
Bu formüllerden kirişin genel diferansiyel denklemi F 60 bulunur:


d 2 
d 2 w  d 2 
T  To d  Vz  
 E  Jy 

 E  J y   T  u


   q  0
h
dx  G  A*  
dx 2 
dx 2  dx 2 

www.guven-kutay.ch
F 60
34
Kirişin diferansiyel denklemi:
d 2 
d 2 w 

 E  Jy 
q 0
dx 2 
dx 2 
Kavis:

Ortalama kayma:
 m  Vz / G  A*
d 2w
veya
dx 2

   w"

değerleri w' ye şu katkıda bulunur:
d 2w
dx
2

T  To d  Vz 
 T  u



E  Jy
h
dx  G  A* 
My
F 61
Kirişin genel diferansiyel denklemi F 60 homojen olmayan dördüncü dereceden katsayıları
değişken diferansiyel denklemdir ve numerik yoldan çözülür. Bunun karşıtı olarak F 62 ile görülen
kirişin basitleştirilmiş diferansiyel denkleminin katsayıları sabittir ve çözümü genel olarak F 63 ile
görülmektedir.
w IV 
d4w
dx
wV
q
E
J
1
N/mm
N/mm2
mm4
4

q
EJ
F 62
w nin 4. dereceden türevini alma
Yayılı yükün birim değeri
Elastiklik modülü (MPa)
Ait olduğu eksene göre atalet (eylemsizlik) momenti
Burada "E.J = sabit" kabul edilir.
w  w part  C1  x 3  C2  x 2  C3  x  C4
F 63
Homojen olmayan "wpart" diferansiyel denklemi genelde basit kabullerle hesaplanır.
Kavis y ile genelleme:
M
T  To  V 
y  w' ' 
 T  u
 

EJ
h
 G  A* 
To
'
TTo
m
y
h
Tu
V
TTu
1
Şekil 32, Kavis y ile genelleme
F 64
www.guven-kutay.ch
Yapı

 EJw

""
35
"


T  To  V  
 E  J   T  u
 
   q  0
h

 G  A*  

N/mm2
mm4
1
mm/


mm
N
N/mm2
mm2
N/mm
E
J
w"
T
Tu
To
h
V
G
A*
q
Statiği
F 65
Ait olduğu eksene göre atalet (eylemsizlik) momenti
w nin 2. dereceden türevini alma
Isıl genleşme katsayısı
Parçanın alt kenarının sıcaklığı
Parçanın üst kenarının sıcaklığı
Parçanın yüksekliği
Çapraz kuvvet
Kayma modülü (MPa)
Etkin kayma alanı
Yayılı yükün birim değeri
Burada E.J homojen olarak alınmıştır. E.J nin homojen olmaması halinde, homojen olmayan
dördüncü dereceden diferansiyel denklemler numerik yoldan çözülürler.
Mohr analoğu ile kirişin sehimi için Kesit büyüklüklerinde Mohr analojisi kısmına bakınız.
İş denklemi ile kirişin sehimi için İş denklemi kısmına bakınız
2.3.3.2. Örnekler
1. Yayılı yük ile zorlanan klasik kiriş
q
A
L
Kabül:
x
B
z
q
SCD

V=M'=EJw"
+
w x 0  w"x 0  w x  L  w"x  L  0
C1  
qL
12  E  J
;
C2  0
C3  
q  L3
24  E  J
;
C4  0
q.L/2
q.L/2
M=EJw"
qL2/8
3
qL
 24EJ
w'
qL3
24EJ
Bu değerleri F 63 a yerleştirirsek x için sehim
w değeri bulunur:
wx 
+
w'
5qL4
384EJ

q
 x 4  2Lx 3  L3x
24  E  J

Bulunur ve bu formüllede x = L/2 için
maksimum değer bulunur.
Şekil 33, Yayılı yük ile zorlanan klasik kiriş
q  x"
24  E  J
F 62 tamamen geçerliyse F 63 ile görülen C1
den C4 e kadar integral sabitleri için, sınır
şartları ile şu değerler bulunur.
B
A= B= q.L/2
q.L/2
w part 
www.guven-kutay.ch
w x L / 2 
5  q  L4
384  E  J
36
2. Yayılı yük ile zorlanan iki ucu sabit kiriş
q
x
B
A
L/2
L/2
z
q
SCD
B
A= B= q.L/2

V=M'=EJw"
+
q.L/2
q.L/2
q.L/2

+
qL2/24
qL4
384EJ
w
q  L2
q  L4
; C4  
48  E  J
384  E  J
Bu değerleri F 63 a yerleştirirsek x için sehim
w değeri bulunur:
q
wx 
 16 x 4  8L2 x 2  L4
384  E  J
Bulunur ve bu formüllede x = 0 için
maksimum değer bulunur.
C2  

qL2/8
M=EJw"
 qL2/12
Yayılı yük ile zorlanan klasik kirişteki kabül
buradada geçerlidir:
q  x"
w part 
24  E  J
z-eksenine göre sistemin ve yükün simetrik
olmasından ötürü:
C1  C3  0
sınır şartları ilede şu eşitlik bulunur.
w x  L / 2  w 'x  L / 2  0
İntegral sabitleri C2 ve C4 ün değerleri:
Şekil 34, Yayılı yük ile zorlanan iki ucu sabit kiriş

q  L4
w x 0 
384  E  J
M   EJw" eşitliğinden x için moment:
q  L2  12 x 2 
Mx 
 1
24 
L2 
3. Ortadan tek yük ile zorlanan klasik kiriş
Q
L/2
0  x  L/2 aralığı için sınır şartları ile şu
değerler bulunur.
x
B
A
L/2
w x  0  w 'x  0  0
z
Simetri şartına göre:
Q
SCD
w 'x  L / 2  0
B
A= B= Q/2

V=M'=EJw"
Q/2
+
Sıçrama şartına göre:
 E  J  w" 'x  L / 2  Q  0
Q/2
q.L/2
ve w part  0 ile çözüm:
M=EJw"
QL/4
wx 
 
w'
QL2
16EJ
QL3
48 EJ
w x L / 2 
Şekil 35, Ortadan tek yük ile zorlanan klasik kiriş

Bu formüllede L/2 için maksimum değer
bulunur.
+
w'

Q
 3L2 x  4 x 2
48  E  J
www.guven-kutay.ch
Q  L3
48  E  J
Yapı
Statiği
37
2.3.4. Homojen olmayan kesitte eğilme ve eksenel kuvvet
Homojen olmayan kesitte eğilme ve eksenel kuvvetin analizini yapacak olursak (bkz Şekil 36);
Elastiklik modülü;
y
E( y, z)  E o  n ( y, z)
x
Eo
n
MPa
1
Elastiklik modülü
Birleşim değeri
Hatırlanan diğer formüller:
 x  o   y  z  z  y
z
x  E  x
N    x  dA
Şekil 36, Homojen olmayan kesit
M y    x  z  dA
A
M z    x  y  dA
A
A
Böylece normal kuvvet ile eğilme momentlerini F 45 ye analog şu şekilde formüle edebiliriz:


N  Eo  o   n  dA   y   n  z  dA   z   n  y  dA 
 A

A
A


M y  E o  o   n  z  dA   y   n  z 2  dA   z   n  y  z  dA 


A
A
A
F 66


M z  Eo   o   n  y  dA   y   n  y  z  dA   z   n  y 2  dA 
A
A
A


Ana eksenler ve çeşitli değerler:
 n  y  dA   n  z  dA   n  y  z  dA  0 ise:
A
A
A
N  E o  Ai  o
M y  E o  J yi   y
M z  E o  J zi   z
Ai   n  dA
J yi   n  z 2  dA
J zi   n  y 2  dA
A
A
F 67
A
F 66 ve F 67 sembollerinin tanımlanması:
N
Eo
Ai
0
My
Ji
i
Mz
 dA
N
MPa
mm2
1
Nmm
mm4
1
Nm
1
Normal kuvvet
Elastiklik modülü
İndisine göre ait olduğu alan
Etki yönünde doğrudan esneme
İndisine göre ait olduğu eksene göre atalet momenti
1
mm
mm
Birleşim değeri
z-değeri
y-değeri
A
n
z
y
www.guven-kutay.ch
38
2.4. Çapraz kuvvet
2.4.1. Çapraz kuvvetin yaklaşık incelenmesi
Çapraz kuvvet etkisindeki dört köşe çubuğun şekil değiştirmesini basitce incelersek, özel eğilme
durumuyla yaklaşık olarak buluruz. Bernoulli'nin kabulüne göre zx = 0 ve böylece zx =0 olur ve
Vz = 0 olması gerekir. Fakat bu gerçek çapraz kuvvet ile çelişkiye düşer. Şöyle ki:
Vz   zx  dA
Vz
zx
 dA
N
MPa
1
F 68
z yönünde çapraz kuvvet
z yönünde x-eksenine dik kayma gerilmesi
A ya göre integralini alma
Şekil 37 ile görüldüğü gibi herhangi bir çubuğun küçük bir parçasını analizini yapar ve x-yönünde
kuvvetler denge denklemini yazarsak F 69 formülünü buluruz.
My
My
x
y
Vz
zS z
zu
b(z S )
b(z)
dz
x

x
xz(z S) Vz
xdx

dx
z
z
Şekil 37, Çapraz kuvvetlerin oluşturduğu deformasyonların kaba analizi
zu
 xz zs   bzs   dx   d x z   bz   dz  0
F 69
zs
zx(zs)
b(zs)
MPa
mm
Ağırlık merkezine z mesafesinde kayma gerilmesi
Ağırlık merkezine z mesafesindeki en
1
z ye göre integralini zs ile zu arsında alma
MPa
mm
x yönünde z mesafesindeki kısmı normal gerilme
z mesafesindeki en
zu
 dz
zs
dx(z)
b(z)
Diğer taraftan şu bağıntılarla meşhur "Bisquit" formülü bulunur:
x 
My  z
Jy
z mesafesinde
d x z  dM y z
z

  Vz 
dx
dx J y
Jy
V  Szs 
 xz zs   z
bzs   J y
"Bisquit" formülü
zx(zs)
Vz
S(zs)
b(zs)
Jy
MPa
N
mm3
mm
mm4
buradan Vz 
dM y
dx
bulunur.
F 70
Ağırlık merkezine göre statik moment
zs mesafesindeki en
y- eksenine göre atalet momenti
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
39
2.4.2. Statik moment
Çapraz kuvvet z-yönünde ise z-eksenine göre herhangi bir noktanın statik momenti genelde F 71 ile
pratikte aşağıda verilen iekillere göre hesaplanır:
zu
Szs    z  bz   dz
F 71
zs
2.4.2.1. Statik moment hesapları örneği
b
b
S x
z
y
A
zS
zS
A
h
P
h
P
S
y
S x
z
y
zS
P
z
Şekil 38, Statik moment
Ağırlık y-eksenine göre P noktası için statik moment:
SyP  zS  A
SyP
zS
A
mm3
mm
mm2
b
t
F 72
P noktası için ağırlık merkezine göre z-yönünde statik moment
Ağırlık merkezleri mesafesi
Statik momenti hesaplanacak alan
t
y
y
y
x
z1
x
z2
P
A1
A2
S x
z
z
z
a) Statik moment
b) Yağmur suyu kuralı
Şekil 39, Statik moment ve yağmur suyu kuralı
SyP  z1  A1  z 2  A 2
SyP
zi
Ai
b
h
mm3
mm
mm2
mm
mm
F 73
P noktası için ağırlık merkezine göre z-yönünde statik moment
Ağırlık merkezleri mesafesi
Statik momenti hesaplanacak alan
Statik momenti hesaplanacak alanın genişliği
Statik momenti hesaplanacak alanın yüksekliği
Şekil 39 c ile kayma gerilmelerini "yağmur suyu kuralı" na göre yönleri gösterilmiştir. Örnek
olarak I-Profilinin üst kuşağındaki kayma gerilimi "yx" y-yönünde, x-eksenine dik. Her nekadar yekseninede dikse, genelde x-eksenine dik kabul edilir. I-Profili dikmesindeki kayma gerilimi "zx"
z-yönünde, x-eksenine dik.
www.guven-kutay.ch
40
Dik dörtgen şekilli kesitin statik momentini formül F 71 ile hesaplayalım, Şekil 40 :
Burada b(z) = sabit olduğundan F 71 şu şekli alır:
b
zO
A
y
zP
SyP  b  z  dz
h/2
zP
O x
zO 2
h
h/2=zO
P
SyP 
z
Şekil 40, Dikdörtgen şekilli kesit
mm
mm
mm

b 2
 z O  z 2P
2

Burada zO = h/2 değerini yerleştirirsek,formül F 74 i buluruz:
SyP 
b
h
zP
z
zP 2
SyP  b 

b  h 2

 z 2P 

2  4

F 74
Statik momenti hesaplanacak alanın genişliği
Statik momenti hesaplanacak alanın yüksekliği
Statik momenti hesaplanacak noktanın mesafesi
Yatık U-profilin analizi
bU
bU
bU
z
t Ku
P1
y
ymax = bKu
a)
A(y max)
b
y
A Ku
z P1
Ay
O x
z P
2
O x
P3
AKu
z
t Ku
ADi
z Ku
zS
y
z P2
zS
O x
y
z P3
t Di
t Ku
bU
bU
b)
c)
Şekil 41, Yatık U-profilinde statik moment
Şekil 41 ile görülen yatık U-profilinde çeşitli noktalardaki statik momentler şu şekilde hesaplanır:
P1 noktası alt kuşakta bir noktadır. Yağmur suyu kuralına göre kesme gerilmesi yx dir ve statik
momenti SP1:
Şekil 41 a, için :
SP1  z P1  A y max  z P1  t Ku  bKu
F 75
P2 noktası dikmede bir nokta kabul edilirse, yağmur suyu kuralına göre kesme gerilmesi zx dir ve
statik momenti SP2:
Şekil 41 b, için :
SP 2  zS  A Ku  z P1  t Ku  b U
F 76
P3 noktası dikmede bir noktadır. Yağmur suyu kuralına göre dikmede kesme gerilmesi zx ve
kuşakta zx dir. P3 noktasının statik momenti SP3:
Şekil 41 c, için :
SP3  zS  A Ku  0,5  z Ku  z P3   z Ku  z P3   t Di


SP3  zS  A Ku  0,5  z 2Ku  z 2P3  t Di
www.guven-kutay.ch
F 77
F 78
Yapı
Statiği

yx
41
idealize
edilmiş
dağılım
gerçek
dağılım
O x zx
y
zx max
+
z
yx
+
Şekil 42, Yatık U-profilinde kesme gerilmesinin dağılımı
Şekil 42 ile yatık U-profilinde kesme gerilmesinin gerçek ve idealize edilmiş dağılımı ve kesme
gerilmesinin yönü görülmektedir.
2.4.3. Uygulama örneği
Dört köşe kesitte kayma gerilmesi "zx" parabol olarak kesitin yüksekliğine yayılır.
Dikdörtgen şekilli kesit
A
y
 zx
h/2
x
Vz
max = 23 m
A  bh
J y  b  h 3 / 12
S

b  h 2

 z2 

2  4

h/2
m = VAz
b/2 b/2
z
Şekil 43, Dikdörtgen kesit
 h2

Vz  b  
 z 2   12
 4

V  Szs 


 xz zs   z

3
bzs   J y
2bbh
Burada bu formülü sadeleştirirsek F 79 formülünü buluruz.
Vz 3  4z 2 
 xz zs  
  1
b  h 2 
h 2 
zx(zs)
Vz
b
h
z
MPa
N
mm
mm
mm
F 79
Kesitin eni
Kesitin yüksekliği
Kesitte gerilmesinin arandığı mesafe
Ortalama kayma gerilmesi m = Vz / A = Vz /(b.h) olarak hesaplanır.
Burada F 79 ile kayma gerilmesi:
z = 0 ise
zx(zs) = 3 m / 2
z = h/2 ise
zx(zs) = 0
dir.
dır.
2.4.4. Şekil değiştirme işi "U" ya kısa bakış
Formül F 70 ile görülen kayma gerilmesi "xz" ve ileride göreceğimiz kayma değeri "xz" "şekil
değiştirme işi"nin hesaplanmasını mümkün kılar. Şöyle ki:
www.guven-kutay.ch
42
 xz = Gxz
Yz = G.A*.m
Gxz /2
*m2 /2
G.A.
2
xz
Şekil 44, Parçada "U"
m
Şekil 45, Kesitde "U"
Şekil 44 ve Şekil 45 ile görülen şekil değiştirme işi şu formüllerle hesaplanır:
U xz    
G 2
  xz  dA  dx
x A2
G 2
Vz2  S2
  xz  dA  dx   
 dA  dx
2 2
2
2

G

b

J
xA
xA
y
U xz    
F 80
Etkin kayma alanı A* formül F 81 ile bulunur. Bu alan çapraz kuvveti taşıyan ve kayma
gerilmelerinin hesabında kullanılan alandır.
1
A* 
S2

Ab
F 80 ve F 81 ile verilen semboller.
U(xz) Nmm
Vz
N
S
mm3
G
N/mm2
b
mm
Jy
mm4
A*
m2
2
 J 2y
 dA
F 81
Şekil değiştirme işi
Statik moment
Kesitin eni
y- eksenine göre atalet momenti
Etkin kayma alanı
Etkin kayma alanını yukarıdaki formüle (F 80) yerleştirirsek formül F 82 bulunur.
U xz   
Vz2
*
x 2G A
U(xz)
Vz
G
A*
Nm
N
N/mm2
m2
 dx
F 82
Etkin kayma alanı
Dikdörtgen kesitin etkin kayma alanı şu şekilde hesaplanır:


h / 2 b 2  h 4  8  h 2  z 2  16  z 4  144
S2
9
 4 8 2 3 16 5 


dA



h z h z  z 


2 2 6
6 
3
5 
A A b2  J 2y
4

16

b

b

h
4

b

h
h / 2
1
ve
1
A


6
5  bh
A* 
5
A
6
www.guven-kutay.ch
F 83
Yapı
A*
A
m2
m2
Statiği
43
Etkin kayma alanı
Kesitin hakiki alanı
Kaymadan oluşan şekil değiştirme işi, normal gerilmeler ve esnemelerden oluşan şekil değiştirme
işine oranla çok küçük olduğundan çoğu zaman hesaplarda dikkate alınmazlar. Esnemelerden
oluşan şekil değiştirme işini F 84 ile hesaplayabiliriz.
2
E 2
1  N 2 M y M 2z 
U x       x  dA  dx   


 dx


xA 2
x 2  EA EJ y EJ z 
U(x) Nmm
  dA  dx
xA
E
x
 dx
F 84
Belirli A alanı ve belirli x değeri için integralini alma
N/mm2
1
1
z yönünde esneme
Belirli x değeri için integralini alma
N
mm2
Nmm
mm4
Normal kuvvet
Kesit alanı
İndisine göre ait olduğu eksendeki eğilme momenti
İndisine göre ait olduğu eksendeki atalet momenti
x
N
A
Mi
Ji
Eşit olarak yayılı yükle "q" zorlanan dört köşe kesitli basit kirişi ele alıp kayma şekil değiştirme işi
"U(" ile "U(" yı karşılaştıralım ve orantılarını görelim, Şekil 46.
Poison sayısı  = 0,3 , L=10h ve b = 1 birim kabul edilirse:
q
x
q
Vz   L  x  ...
2
L
z

+
L
U  
Vz2

0 2GA
 dx
M 2y
q
M y   L  x   x ... U  
 dx
2
2EJ y
U 
q 2  L3
24  G  A
q 2  L5
U 
240  E  J y
Şekil 46, q ile zorlanan kiriş
Burada "U(" ile "U(" nın orantısını yazarsak:
10  2  1     6  h 


 
U G  A  L2
12  5
L
U
10  E  J y
Bu formüle değerleri yerleştirirsek:
U
U

2
2,6
 2,6%
100
h
 2  1      
U
L
U
2
buluruz.
Hatırlatma:
 Şekil değiştirme işi "U" hesaplanırken  (ve ile hesaplanan değeri ile  (ve  ile değeri
karşılaştırıldığında  (ve  ile hesaplanan değer çok küçük olduğundan dikkate alınmazlar
ve şekil değiştirme işi "U" yalnız  (ve ile hesaplanır. Bu bilhassa ince çubukların
hesabında münakaşasız hemen kabul edilir.
 Tam ve doğru gerilme dağılımları için bilginizi veya literatürdeki verileri dikkate alınız.
 Bisquit fomülü (F 70) ince cidarlı kesitlerdede geçerlidir.
www.guven-kutay.ch
44
2.4.5. Elastiklik teorisi
Kiriş teorisine göre toplam gerilmeler N, My ve Mz ile toplam deformasyonlar 0, y ve z "Genel
gerilmeler" ile "Genel deformasyonlar" dan söz edilir. Çapraz kuvvetler dengeden dolayı oluşan
"Genel reaksiyonlar" diye tanımlanırlar ve deformasyon ile kayma oluşturmayan, şekil değiştirme
işinede katkısı çok küçük olduğundan dikkate alınmayan kuvvetler olarak kabul edilirler.
Kayma gerilmeleri cisimde belli bir kesit deformasyonu oluşturur ve buda kiriş teorisine göre F 46
ile hesaplanan değere belirli bir ek gerilme katar. Kiriş teorisinin uyuşma şartında kaba bir
yaklaşımla  2 x / y2  0 kabul eder (x in kesit boyunca lineer dağılımı) ve bunu F 99 a yerleştirir
ve kuvvet dağılımına göre doğru kabul edilecek bir kararla sol taraftaki ikinci toplanan terimi
dikkate almayıp yok sayarsak,  x  E   x ,  y  0 ve  xy  G   xy dan dolayı F 85 bulunur.
 2 x

y2
 x
y
E
G
2
E   xy

G x y
F 85
1
 x fonksiyonunun "y" ye göre kısmi türevini alma
N/mm2
N/mm2
Şimdiye kadar kullandığımız koordinat ekseni z ile y nin yeri değiştirilir ve F 70 formülüne
yerleştirilirse dört köşe kesit için F 86 bulunur.
 2 x
y
 x
y
E
q
y
G
Jz
2

Eq y
G  Jz
F 86
1
 x fonktionunun "y" ye göre kısmi türevini alma
N/mm2
N/mm
mm
N/mm2
mm4
Yayılı yükün birim kuvveti
y değeri
z-eksenindeki atalet momenti
Diferansiyel denklem F 86 , F 87 ile verilen formülle icra edilir.
x  
Burada x:
 x 
Mz
Ji
y
x
q
E
G
Nmm
mm4
mm
N/mm2
N/mm
N/mm2
N/mm2
Mz
 y   x
Jz

qE
 20  y3  3  y  h 2
120  G  J
F 87

F 88
z-eksenindeki eğilme momenti
y değeri
x yönünde normal gerilme artışı
Yayılı yükün birim kuvveti
Ek gerilmeler x iç gerilmelerdir ve x boyunca sabit olup kesitin sonuna kadarda sabit kaldıkları
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
45
kabul edilir. St. Venant prensibine göre bu kabul tıknaz olmayan kirişlerde (L/h4) önemli bir rol
oynamaz.
Burada aynı zamanda:
3
M .h
q 1+
q.E.h
z
2 . Jz
.
120.G.J = b 5
   dA   y    dA  0 ve
A
z
3 h
10
x
3 h
10
h/2
Mz
 x
Mz . y
Jz
y
A
h/2
yayılı yük q için M z 
q  L2
dir.
8
q  E  h3  2  J
4  1     h 

 
120  G  J  M z  h
15
L
2
=0,3 ve L=10.h için 0,35% bulunur.
Şekil 47, q ile zorlanan kiriş
Formül F 70 ın türemesinde kayma gerilmelerinin "xz" kesit boyunca eşit dağıldığı kabul edilmişti.
Elastiklik teorisinde bu yaklaşımının yüksek dikdörtgen kesitlerde (h>2b) doğru olduğu ortaya
çıkar. Plakalarda ise (b>>h) bu durum oldukça büyük farklılık verir.
2.4.5.1. İnce cidarlı profillerde elastiklik teorisi
Cisimde kesit x-eksenine dikse formül F 85 pratikte kullanılabilecek doğruya yakın sonuçlar verir.
I-profilinde zx veya yx değerlerini bulmak için, kesit
yx

+
profil dikmesine veya kuşaklara dik olarak seçilir.
y-eksenine göre statik momentler S kesite göre oluşan
momentlerdir.
y
x
Çelik konstrüksiyon hesaplarında kayma gerilmesi
max
kontrolü genelde plastiklik teorisine göre şöyle yapılır:
+
V
 z
zx
Aw

+
Burada "Aw = profil dikmesi alanı" olarak kabul edilir.
yx
Etkin kayma alanı formül F 81 aşağı yukarı A*  Aw
verir. İnce cidarlı profillerde U nın değeri dikkate
z
Şekil 48, I-profilinde elastiklik teorisi
alınmamasına rağmen, dolu profillerde U nın değeri U değeri ile beraber dikkate alınır.
Asimetrik kesitlerde, örneğin: köşebent profillerde, ana eksenler yerine kesit kenarlarına paralel
eksenlerle çalışmak daha avantajlı ve rahattır. Kenarlara paralel eksenlerle çalışmada F 70 değişerek
F 89 ile görülen hali alır.


V'
t
Ji
Si
Cij
N/mm2
N
mm
mm4
mm3
Nm
V ' J '  S'  C' '  S '

t
J '  J  '  C2 ' '
Kayma gerilmesi
' yönündeki çapraz kuvvet
Cidar kalınlığı
İndisine göre ait olduğu eksendeki Statik moment
İndisine göre ait olduğu eksendeki deviasyon momenti
Diğer büyüklükler detaylı olarak "Çekirdek" paragrafında görülecektir.
F 89
www.guven-kutay.ch
46
2.4.6. Torsiyon merkezi
Tanımı: Profilin torsiyon merkezi toplam çapraz kuvvetin profile torsiyon zorlaması olmadan etki
gösterdiği noktadır. Yani çapraz kuvvet etkisinde profilde torsiyon (burulma) etkisi olmaz.
Vz
y
x
O
M
Şekil 49 ile verilmiş olan U-profilinin kuvvet
dağılımı analizini yaparsak:
RF
h
RS
RS kuvveti dikmedeki gerilmeyi oluşturur. Bu
kuvvet "Vz" kuvvetine eşittir.
RF
m
 (Vz)
z
"RF" kuvvetleri kuşaklarda "yx" gerilmesini
oluşturur.
Şekil 49 ile görüleceği gibi kuvvetlerin
dengesi için "M" noktasında bir kuvvete
gerek vardır. Bu "M" noktasına profilin
"Torsiyon merkezi" denir.
Şekil 49, U-profili kuvvet analizi
Şekil 49 ile görülen sistemde dikme ağırlık merkezi için moment denge denklemini kuralım:
RF 
h
h
 R F   Vz  m  0
2
2
buradan
m
RF  h
Vz
Aynı zamanda z-yönünde kuvvetlerin denge denkleminden Fz  0 dan Vz  R S bulunur. Böylece
U-profilinin (Şekil 49) "M" noktasının dikme yüzeyi ağırlık merkezine mesafesi formül F 90 ile
bulunur:
m
m
RF
h
RS
mm
N
mm
N
RF  h
RS
F 90
RS nin M ye mesafesi
U profilinin kuşağını zorlayan kuvvet
U profilinin kuşaklar ağırlık merkezleri mesafesi
U profilinin dikmesini zorlayan kuvvet
Eğer "Vz" kuvveti dikmeye paralel ve profili "M" noktasından zorluyorsa, kesitte torsiyonsuz
eğilme zorlaması oluşur. Kiriş teorisine göre normal gerilmeler dağılımı eğer çapraz kuvvet
torsiyon merkezi "M" noktasında etkiliyse olur. U-profilinde profilin ağırlık merkezi "O" ile
torsiyon merkezi "M" iki ayrı noktadır.
İnce cidarlı, yıldız
şeklindeki profillerde torsiyon merkezi
eksenlerin kesiştiği
noktadadır.
Herhangi bir simetrik profil kesitinde
profil kolları ince
cidarlı kabul edilirse torsiyon noktası
kolay bulunur.
Şekil 50, Çeşitli profillerde torsiyon merkezi
Kalın cidarlı profillerde çok karışık ve zor hesaplama gerekir.
www.guven-kutay.ch
Diğer benzer kesit
şekilleri için literatüre bakınız.
Yapı
Statiği
47
2.5. Torsiyon
2.5.1. Dönüş torsiyonu (St.Venant)
Torsiyon gerilmesinin genel hesabı elastiklik teorisi ile yapılır.
Yuvarlak şekilli dolu veya kaval kesitte torsiyon kayma gerilmesinin hesabı elementer işlemle
yapılabilir, (Şekil 51).
d

  r x 
böylece:
dx G
T     r 2  dr  d  G  2   
A
ra

r
ri
JP 
T x
d
dr
Buradan:
x

r dr d

ra
  r3  dr
ri
T  G  J P  'x
 4 4
 ra  ri
2
T
r
JP
d x
dx

yerleştirirsek:
bulunur.
Diğer bütün kesit şekilleri için torsiyon sabitesi
"K" torsiyon atalet momenti JP ye eşit olmaz.
K  JP
Şekil 51, Dönüş torsiyonu (St.Venant)
2.5.2. İnce cidarlı kaval profiller
İnce cidarlı kaval profillerde torsiyon gerilmesini Bredt'e göre hesaplamak pratikte yeterlidir.
Kayma gerilmesi "" cidarın orta noktasında ve cidar
kalınlığında eşit olarak dağıldığını kabul edelim.
Kayma gerilmesi akımı "S = .t = sabit" ve torsiyon
momenti T nin hiç bir şekilde normal gerilme
oluşturmadığını kabul edelim.
Ao
x
t
Tx
dAo
Böylece şu eşitlikleri yazabiliriz:
r
T   r  S  ds  S  r  ds  2  S  dA o
t
T  2  Ao  S
ds
F 91
Torsiyon momenti T den x ekseni yönündeki kayma:
  r  x
Şekil 52, İnce cidarlı profil
Formül F 91 ye kayma gerilmesi akımı "S = t . tmin" u yerleştirir ve bunu kayma gerilmesi "t" ye
çözersek kayma gerilmesini Bredt'e göre kabaca hesaplama formülünü buluruz. Formül F 92.
T  2  A o   t  t min
t 
Bredt formülü
T
Ao
tmin
Nmm
mm2
mm
T
2  A o  t min
F 92
Torsiyon momenti
İnce cidarlı kaval profilin ortalama alanı
Kaval profilin en ince cidarı
www.guven-kutay.ch
48
Kayma
 xs 
u v u
d

T


 r  x  sx 
s x s
dx
G 2  A o  G  t min
 xs 
u
d
r x
s
dx
u
u
 s  ds  0
Hook a göre
ele alıp iki tarafı aynen genişletelim:

u
x
  xs  ds   s  ds   r  dx  ds
Burada:

 xs  sx
G
 r  ds  2  Ao
ve

x
  xs  ds   s  ds  dx  r  ds
dır. Bu değerleri yerleştirirsek:

x
  xs  ds  0  dx  2  Ao
x
  xs  ds  2  Ao  dx
 ds
Ao
x / dx
1
mm2
1
F 93
Kavise göre integralini alma
İnce cidarlı kaval profilin ortalama alanı
x fonktionunun "x" e göre kısmi türevini alma

Diğer taraftan başta Hook a göre  xs  sx demiştik, buraya Bredt'e göre kayma gerilmesini
G
yerleştirir ve xs değerini F 93 formülüne yerleştirirsek:
 xs 
T
2  A o  t min  G
T
ds


 2  Ao  x
2  A o  G t min
dx
Bu formülü x / dx e çözelim:
dx
T
ds


2
dx
4  Ao  G t min
Burada torsiyon sabitesi
K
4  A o2
ds
 t
olarak kabul edilince formül F 94 bulunur.
d x
T

dx G  K
dx / dx 1
T
Nmm
G
N/mm2
K
mm4
F 94
x fonktionunun "x" e göre türevini alma
Torsiyon momenti
Torsiyon sabitesi
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
49
Plakalar (b>>h) için torsiyon sabitesi "K" şu şekilde hesaplanır:
max 
Th
K
' 
;
T
;
GK
K
b  h3
3
İnce plakalardan oluşan (kalınlık h ve genişlik b) profiller için yaklaşık olarak F 95 kullanılır.
K  b  h 3 / 3
K
b
h
mm4
mm
mm
F 95
Torsiyon sabitesi
Genişlik
Yükseklik
3. Deformasyonlar
3.1. İki eksenli deformasyonlar
y(v)
u dy
y
v dy
y
L'
D''
d
L
d/2
d'
2 C'
1
D'
dy'
dy
B''

C
dx
v
dy
L
B'
A'
D
u
dx
x
v
dx
x
dx'
B
dx
A
u
F
x(u)
z(w)
Şekil 53, Basit esneme
Şekil 54, Düzlemde deformasyon durumu
Konuyu daha iyi anlamak için Şekil 53 ile görülen tek eksenli basit esnemeyi Şekil 54 ile düzlemde
iki eksenli deformasyon durumları ile beraber ele alalım. Burada kaymalar çok küçük kabul edilir
ve burulmalar dikkate alınmassa esneme ve kayma komponentleri şu şekilde gösterilir:
u
 dx
dx 'dx x
x 

dx
dx
x-ekseninde esneme "x" F 96 olarak bulunur.
x 
x
u
dx
%
mm
mm
u
x
F 96
x-ekseni yönünde esneme
x-ekseni yönünde uzama
x-ekseni yönünde çıkış boyu
Aynı yöntemle diğer eksenlerdeki esnemelerde hesaplanır.
y 
v
y
; z 
w
z
www.guven-kutay.ch
50
Kayma açısı:
 xy   yx  1   2
v
 dx
1  x
dx '
Burada pratikte kabul edilecek küçük bir yanlışla dx=dx' kabul edersek kayma açısı 1 şu şekli alır.
v
 dx
v

x
1 

dx
x
Aynı yöntemle 2 yi hesaplarsak
2 
u
y
bulunur.
Böylece kayma açısı "xy" formülü F 97 ile görülen hali alır.
 xy   yx 
xy ,xy
v , u
x , y
rad
mm
mm
v u

x y
F 97
x-ekseni ile x e paralel kenarın açısı
y veya x-ekseni yönündeki uzamalar
x veya y-ekseni yönünde çıkış boyu
Buna analog olarak "xz" ve "xz" kayma açıları formülleri bulunur:
 xz   zx 
w u

x z
;  yz   zy 
w v

y z
Büyük kaymalar ve daha küçük deformasyonlarda kinematik relasyonlar F 98 verileriyle hesaplanır.
2
2
u 1  u   v  
x 
       
x 2  x   x  


2
2
v 1  u   v  
y 
       
y 2  y   y  


 xy 
F 98
u v u u v v





y x x y x y
Deformasyon komponentleri "u" ve "v" biliniyorsa, esnemeler "" ve "" F 96 ve F 97 ile
hesaplanır. Bunun aksine deformasyonlar "" ve "" biliniyorsa, "u" ve "v" F 96 ve F 97
formüllerinin entegrasyonu ile, veya "xy" den üretilen F 99 ile hesaplanırlar.
 2 x
y 2

 2 y
x 2

 2  xy
xy
F 99
 x / y
 y / x
Esneme  x fonktionunun "y" ye göre kısmi türevini alma
Esneme  y fonktionunun "x" e göre kısmi türevini alma
 xy / xy
Kayma  xy fonktionunun "x" ve "y" ye göre kısmi türevini alma
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
51
3.2. Koordinatların transformasyonu
Şekil 55 ile görülen koordinatlar sisteminde şu eşitlikler yazılır:
n  x  cos   y  sin  


t   x  sin   y  cos 
u n  u  cos   v  sin  


u t   u  sin   v  cos 
x  n  cos   t  sin 


 y  n  sin   t  cos 
Buradan şu değerleri bulabiliriz:
x
 cos 
n
x
  sin 
t
y
 cos 
t
F 100
veya şu şekildede yazabiliriz:
z
x(u)

n(u n )
t(ut)
y
 sin 
n
y(v)
Şekil 55, Koordinatlar
n   cos   sin   x 
 
 
 t   sin   cos   y 
x  cos    sin  n 
 
 
 y   sin   cos    t 
u n   cos   sin   u 
 
 
 u t   sin   cos  v 
 x
 n  cos  ,
 y
  sin  ,
 n
x

  sin 
t

y
 cos  
t

Burada "zincir kuralı"nı uygularsak F 101 formülünü buluruz (zincir kuralı, bkz. Wikipedia)
n 
u n u x
u y
v x
v y

  cos  
  cos  
  sin     sin 
n x n
y n
x n
y n
F 101
Buradanda F 96, F 97 ve F 100 formüllerinin yardımıyla F 101 formülünü F 102 şeklinde
yazabiliriz.
n 
 x  cos 2 
  xy  sin   cos 
  y  sin 2 
F 102
Analog (benzer) olarak  t  u t / t ve  nt  u n / t  u t /  n ise şu değerler yazılır:
t 
  x  sin 2 
  xy  sin   cos 

 nt 
  x  2 sin  cos 
  xy  cos 2   sin 2 
 nt 
  x  sin 2
  xy  cos2
  y  cos 2 

F 103
  y  2 sin  cos 
  y  sin 2
 nt   x   x   sin 2   xy  cos2
F 104
F 96 den F 104 e kadarki formüllerde verilen semboller:
i
mm
İndisine göre esneme
ij
mm
İndisine göre kayma


Eksenler arasındaki açı
x, y, z, n, t 1
Ana eksenler
ui
mm
İndisine göre x veya n ekseninde esneme
vi
mm
İndisine göre y veya t ekseninde esneme
F 37, F 38, F 39 formülleriyle burada F 96 den F 104 e kadarki formüllerde verilen i, ij değerlerini
karşılaştırırsak tamamen bir benzerlik (analogi) olduğunu görürüz. Şöyleki: Normal gerilmeler x
www.guven-kutay.ch
52
ve y ile esnemeler x ve y, ve kayma gerilmesi xy ile yarım kayma xy/2 nin değerleri benzerdirler.
Bu büyüklükler simetrik tensörün bileşenleridir.
Bunu matris olarak gösterirsek, gerilme tensörüne analog olarak deformasyon tensörünü buluruz:
 xy

 x

  yx

 20



2
y
0

0


0
0 


F 105
Ana yönler ve ana değerler F 35 ve F 36 e analog olarak şu şekilde yazılır:
1,2 
x   y
2
2
2
 x  y 
  xy
 

4
 2 
tan 21 
1
xy
x
y

mm
mm
mm
F 106
 xy
F 107
x  y
x-ekseni ile n ekseninin oluşturduğu açı
Kayma
x-ekseni yönündeki esneme
y-ekseni yönündeki esneme
Bu gördüklerimizi ordinatı yarım kayma /2 ve apsisi esneme  olan Mohr deformasyon dairesinde
gösterirsek, genel olarak Şekil 56 bulunur.

2
y-eksenine
1
X (  x 
yx /2)
2-eksenine
2
1-eksenine

1
1
2 
2
1
2
1 
1
1
x-eksenine
Burada:
P Kutup
Y (  y 
xy/2)
1
+1
1
y
1 > 2
 saat yönünde
Şekil 56, Mohr'un deformasyon dairesi
Burada değerleri şu şekilde değişmez değerler olarak yazabiliriz:
n   t   x   y  1   2
 2xy
4
xy
i
mm
mm
 n  t 
 2xy
4
  x   y  1   2
Kayma
indisinin ekseni yönündeki esneme
www.guven-kutay.ch
x
F 108
F 109
Yapı
Statiği
53
3.3. Üç eksenli deformasyonlar
Zaman t = 0 iken P' noktası P noktasının, t = t iken P' noktasıda P noktasının deformasyonu olsun.
Bu durumda zaman değişken kabul edilirse kayma:
x
u r, t   r r, t   r
P
r
y
z
u = r– r
P'
r
olur.
dr
Zaman t sabit kabul edilirse kayma sahası u(r) :
u
r r   r  u r 
P'
P
dr
F 110
u nun devamlı ve diferansiyeli alınabiliniyorsa:
Şekil 57, Üç eksenli deformasyon
dr 
r
r
r
dx  dy  dz
x
y
z
F 111
Buradanda şu eşitliği analog olarak yazabiliriz:
dx 
F 110 e analog olarak
x
x
x
dx 
dy 
dz, ...
x
y
z
F 112
x  x  u x , ... kabul edersek, F 112 i F 113 da görüldüğü gibi yazarız:
u
u
 u 
d x  1  x   dx  x dy  x dz
x 
y
z

F 113
Burada görülen yeni değerlerin hepsi u x / x, ... , u z / z bire göre küçük kabul edilirler. Bunlar
güya kayma eğimidirler. Kayma eğimini şu şekildede ifade edebiliriz:
 u x
 x

u y
u k,L  
 x
 u
 z
 x
u x
y
u y
y
u z
y
u x 
z 

u y 
 u ( k , L)  u k , L 
z 
u z 

z 
F 114
İndisdeki virgül, virgülden sonra gelen indisin gösterdiği değişkene göre kısmi differensiyeli
gösterir:
uk,L
m
xL ye göre kısmi (parsiyel) differansiyel
Bu eşitliği xL ye göre simetrik ve xL ye göre asimetrik olarakta ifade edebiliriz.
u(k,L)
u[k,L]
m
m
xL ye göre simetrik
xL ye göre simetrik olmayan
Esneme ve kaymalar başta kabul edilen dik açıyı küçültmelerine rağmen, değerler infinitezimal
dikdörtgen prizmadan okunabilir.
Şekil 58 ile görülen cisimde d x değerinin F 113 ile ilk yaklaşım değerini yazalım:
 u 
d x  1  x   dx
x 

www.guven-kutay.ch
54
Esneme ex şu şekli alır:
d x  dx u x
x 

,....
dx
x
Aynı zamanda kaymanın değeride yaklaşık olarak:
u y
u
 xy  x 
 ...
y
x
olur.
ux
dx
x
P
uy
dy
y
x
dx
dx
dy
dy
y
uz
dx
x
uz
dy
y
dz
uy
dx
x
ux
dy
y
F 114 ile verilen esnemeler ve yarım kaymalar
deformasyon tensörünü u(k,L) simetrik ve asimetrik
iki kısım olarak yazabiliriz:
z
Şekil 58, Hacimde deformasyon
u k , L  u ( k ,L)  uk , L 
Burada deformasyon tensörünün simetrik kısmı u ( k ,L) yi F 115 ile görüldüğü gibi yazarız.

 x

1
u k ,L    kL    yx
2
1
  zx
2
1
 xy
2
y
1
 zy
2
1

 xz 
2

1
 yz 

2

z 

F 115
Ve böylece
x 
u x
,  
x
 yz   zy 
u z u y

,  
y
z
F 116
Diğer taraftan deformasyon tensörünün asimetrik kısmı u k ,L  yi F 117 ile görüldüğü gibi yazarız.

1  u x u y 



0


2  y
x 

u y 
1  u

u k ,L      x 
y
 2  y
x 

  1  u x  u z   1  u y  u z 
 2  z
x 
2  z
y 

1  u x u z  



2  z
x  

1  u y u y  



2  z
y  


z


F 117 u[k,L] göre dual vektörü şu şekilde yazabiliriz.


u

1
1
 rot u   x u
2
2
Açısal hız
deformasyon tensörü
Hamilton-operatörü
Formül F 118 P nin etrafında rijit cisim rotasyonunu açısal hız  ile gösterir.
Düzlemde deformasyon durumunda:
x = y = 0
1  u y u x 

2   

2  x
y 
www.guven-kutay.ch
F 118
F 117
Yapı
Statiği
55
z-ekseni etrafındaki rotasyonda F 119 ile görüldüğü gibi yazılır:
1  v u 
  
2  x y 
z   
v
x
z
F 119
x  y  
x

Buraya kadar gördüklerimizi toparlayalım:
u
y
Herhangi bir noktanın yakınındaki deformasyonların
kayma değeri "u" , rotasyonu "" ve esnemesi "" ile
gösterildiğinde, tensör "kL" temel verziyondur ve
aşağıda verilen eşitliklerle gösterilir.
y
Şekil 59, Düzlemde deformasyon
(1)   x   y   z
 1   2  3
2
  yz    zx 2   xy 



( 2)  
  2    2    y   z  z   x   x   y
2




2
  23  31  1 2
2
2
  yz 
 
1

   y  zx    z  xy    x  y z
(3)   yz  zx  xy   x 

 2 
4
 2 
 2 


F 120
 1   2  3
Deformasyonların Mohr dairesinde gösterilmesi gerilmelere analog olarak yapılır.
Deformasyon "kL" nin; hidrostatik kısmı dilatasyon (şekil değiştirmesiz yalnız hacim esnemesi) ile
devitatör kısmının toplamı, burkulmasına (hacimin esnemesiz yalnız şekil değiştirmesine) eşittir.

 x

1 
 2 yx
1
  zx
2
1
 xy
2
y
1
 zy
2
1

 xz 
2
  0

1
 yz    0

2
  0
z 

0
0
0

  x  0
0 

1
0     yx
 2
0   1
  zx
 2
1
 xy
2
 y  0
1
o   1
3
Sekiz yönlü esneme:
ekL   kL  o  kL
Deviatörün temel verziyonu:
1
 zy
2






 z  0 

1
 xz
2
1
 yz
2
F 122
F 123
1  0
F 19 e analog olarak:
1
2   2    21
3
1
1
3  3   e2   1   31
3
27
o
2

 e2 
2
3
Sekiz yönlü kayma:
Ana eksenler sistemi:
cos  
2  e1
2 21   2  3


o
3
o
www.guven-kutay.ch
F 124
F 125
F 126
F 121
56
3.4. Isı etkisinde deformasyonlar
Kesitteki eşit dağılmış ısının yükselmesi "t" ısıl genleşme katsayısı "T (1/C)" y e göre defdorme
olur (esner).
 x  L  T  t
x
L
T
t
mm
mm
1/C
C
F 127
x-yönündeki esneme
x-yönünde ısı etkisindeki uzunluk (boy, en veya yükseklik)
Isı farkı
Kesit yüksekliğinde (h) doğrusal ısı dağılımı alt kısımda "Tu" , üst kısımda "To" ise kesitte bir
bükülme (kavis) oluşur.
T  To
 y  T  u
h
y
T
Tu
To
h
1/mm
1/C
C
C
mm
F 128
y-yönündeki bükülme (kavis)
Alt kısımda ısı
Üst kısımda ısı
Kesit yüksekliği
Genelde bilinen bir temel değere göre (y ve z yönlerinde, 0 C veya çevre ısısı gibi) dağılımı
göreceli T(y, z) ısısı engellenemeyen deformasyonlar doğurur. Şöyle ki:
  T  Tz  dA
 T  T  dA
o  A
y 
A
   T  Ty  dA
z 
A
Jy
F 129, F 130, F 131
A
Jz
ve kesitin her noktasında bir iç gerilim kalır. İç gerilmeleri genel olarak şu şekilde gösterebiliriz:
:
  xr  dA    xr  z  dA    xr  y  dA  0
:
Buradan da:

 x  E   x   xT   E o  o   y  z   z  y  T  T
Burada:
o
y
z
1
1/mm
1/mm

F 132
Esneme F 129 ile
y-yönündeki bükülme (kavis) F 130 ile
z-yönündeki bükülme (kavis) F 131 ile
hesaplanır. Eğer o, y ve z herhangi bir şekilde engellenirse, engellenen yerde sıkışmalar oluşur.
Kesitin liflerindeki uzama F 133 ile hesaplanır.
 x  o   y  z   z  y
F 133
3.5. Deformasyonların özeti
Bir noktanın yakınındaki deformasyonlar, o noktanın u kadar kayması ve kayma değişme derecesi
uk,L , bir deformasyon tensörü ile bir antimetrik kısım (rijit cisim rotasyonu) olarak taksim edilir.
Deformasyon tensörlerinin ana yönleri, değerleri ve temel varyantları gerilme tenssörlerinin
hesaplanmaları gibi hesaplanırlar. Analog olarak hidrostatik ve farklı kısımlara ayrılır.
3.6. Uygulama örneği
Şekil 60 ile verilen parçada yan yüzeyi esneme aletleri yardımıyla kenar ve köşegenlerinden
ölçülmüştür. Ölçülen ortalama değerler şöyledir:
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
57

D1
x
x1
X
D2
z1
z2
1
D1
2
3
4
5
1,5
6

5,5
x2
Z
Kutup
D2
z
Şekil 60, Düzlemde deformasyon
x = ‰ 5,5
z = ‰ 1,5
d = ‰ 2
x1 ile x2 arasının ölçülmesinden
z1 ile z2 arasının ölçülmesinden
D1 in ölçülmesinden
D2 yönünde ‰ 5 esneme olması gereklidir. Eğer her iki köşegende gereği kadar çok ölçülürse hata
yüzdesi mümkün olduğu kadar küçük olur.
Eğer Şekil 60 ile verilen şekli kafes kiriş olarak düşünürsek, gereği kadar çok ölçmekle çubuk
rijitliği ve hataların karesinin en küçük toplamı, en küçük şekil değiştirme enerjisini verir.
3.7. Mohr dairesi ve benzerleri, özet
3.7.1. Gerilmeler için Mohr dairesi

y-eksenine
X ( x 
yx )
2-eksenine
2
1
1-eksenine

2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
x-eksenine
P Kutup
Y ( y 
xy)
Burada:
Şekil 61, Gerilmeler için Mohr dairesi ve genel kurallar
1 > 2
Asal gerilmeler:
bkz: F 30
 x -  y
x +  y
1,2 =
 
2
2

Asal normal gerilmelerin yönleri:
bkz: F 36
tan 21 
2  xy
x   y
www.guven-kutay.ch
2

 + 2


y
1
+1
x
1
58
3.7.2. Esnemeler için Mohr dairesi

y-eksenine
X (  x 
yx /2)
2
1
2-eksenine
2
1-eksenine

1
1
2 
2
2
1 
1
1
P Kutup
Y (  y 
xy/2)
x
1
y
1 > 2
Burada:
1
x-eksenine
1
+1
Şekil 62, Esnemeler için Mohr dairesi ve genel kurallar
 x -  y
x + y
1,2 =
 
2
 2
Asal esnemeler:
tan 21 
Asal esnemelerin yönü:
2
   2
 + 
 2


x  y
3.7.3. Ataletler momentleri için Mohr dairesi
C
y
' ( J' , C'' )
P Kutup
'-eksenine
1
1
'
1
1
1
Z ( J z , 0)
Y ( J y , 0)
J
y-eksenine
z
'
z-eksenine
' ( J' , C'' )
Burada:
Jy > Jz
 ters saat yönünde
'-eksenine
Şekil 63, Ataletler için Mohr dairesi ve genel kurallar
Asal atalet momentleri:
J y, z =
Asal atalet momentlerinin yönü:
J ' + J  '
2
 J '  J  '
 
2

tan 21 
2  C' '
J '  J  '
www.guven-kutay.ch
2

 + C2 ' '

F 134
F 135
Yapı
Statiği
59
4. Kesit çekirdeği
Kesit çekirdeğinin tanımlaması:
Bileşik eksenel kuvvet "Nx" (kesite dik normal kuvvet, çekme veya basma) parçayı kesit çekirdeği
alanının içinde etkiliyorsa, kesitin tamamındaki bütün normal gerilmelerin "x" ön işareti "Nx" in ön
işaretinin aynı olur.
Kesit çekirdeği kesitin zorlanmasından değil, kesitin geometrisinden oluşur.
Bu tanımlamaya göre, eksenel kuvvet "Nx" in etki noktası A (yA,zA) kesit çekirdeği alanının içinde
ise nötr ekseni daima kesitin dışındadır. Etki noktası A (yA,zA) kesit çekirdeği alanının sınırında ise
nötr ekseni kesitin kenarlarındadır ve "x = 0 " dır.
4.1. Navier' e göre genel gerilme formülü
Ana koordinat eksenlerine için genel gerilme formülü
Genel gerilme formülü F 136 ile ile görüldüğü gibidir:
x 
Nx M y
M

z  z y
A
Jy
Jz
F 136
Burada My ve Mz değerlerini Nx ile yazarsak
formülümüz F 137 ile görülen hali alır:
x 
N x Nx  zA
N y

z  x A y
A
Jy
Jz
y

x yA
x Nx+
M y+
y
zA+
+
Mz
Nx
F 137
z
z
ve formül F 137 kısaltılırsa F 138 ile görülen hali
alır:
x 
Nx
A
 z
 1  A  z 

i 2y


 y

i 2z

yA
M z   N x  yA
M y  N x  zA
F 138
Şekil 64, Ana eksenlere göre momentler
Burada:
x
Nx
A
My
Jy
z
Mz
Jz
y
zA
yA
iy
iz
MPa
N
mm2
Nmm
mm4
mm
Nmm
mm4
mm
mm
mm
mm
mm
x-eksenindeki normal kuvvet
Tüm kesit alanı
y-eksenine göre tüm kesittekn moment
y-eksenine göre kesitin atalet momenti
Etki noktasının z-eksenine göre koordinatı
z-eksenine göre tüm kesittekn moment
z-eksenine göre kesitin atalet momenti
Etki noktasının y-eksenine göre koordinatı
Statik eşdeğer normal kuvvetin etki noktasının z değeri
Statik eşdeğer normal kuvvetin etki noktasının y değeri
y-eksenine göre kesitin atalet radyusu
z-eksenine göre kesitin atalet radyusu
Statik eşdeğer normal kuvvetin etki koordinatları:
Ana atalet radyusları:
iy 
Jy
A
;
yA  
i 2y 
Jy
A
;
www.guven-kutay.ch
Mz
N
iz 
;
zA 
Jz
A
;
My
N
J
i 2z  z
A
60
Ana koordinat eksenlerine için nötr ekseni
Burada  x  0 ise, formül nötr ekseni formülüdür, F 139 :
z
1  2A  z 
iy
yA, zA
y, z
ii
mm
mm
mm
yA
i 2z
y0
F 139
Çekirdek noktasının koordinatları
Nötr ekseni noktasının koordinatları
indisine göre kesitin atalet radyusu
Nötr ekseni için özel haller:
y-eksenine paralel nötr ekseni
z-eksenine paralel nötr ekseni
y-ekseni ile
kesişme noktası:
P (yP =  , 0)
i2
yA   z  0
yP
z-ekseni ile
kesişme noktası:
Q (0 , zQ)
zA  
i 2y
zQ
P (yP , 0)
i2
yA   z
yP
Q (0 , zQ = )
zA  
i 2y
zQ
0
Ortogonal ’ ve ’ eksenler için genel gerilme formülü
Navier' e göre genel gerilme formülü F 140 ile görüldüğü gibidir:
x 
J  '   'C' '  '
J '  'C' '   '
Nx
 M ' 
 M ' 
A
J '  J  '  C2 ' '
J '  J  '  C2 ' '
F 140
Navier' e göre genel nötr ekseni formülü:
J '  'C' '   '
J  '   'C' '  '
1
 'A 
  'A 
0
A
J '  J  '  C2 ' '
J '  J  '  C2 ' '
x
Nx
A
M’
J’
’
C’’
MPa
N
mm2
Nmm
mm4
mm
mm4
’
J’
M’
’A
’A
mm
mm4
Nmm
mm
mm
x-eksenindeki normal kuvvet
Tüm kesit alanı
’-eksenine göre tüm kesitin momenti
’-eksenine göre kesitin atalet momenti
Kesit çekirdeğinin sınır (kenar) noktasının koordinatı
 ve  eksenlerine paralel ve O noktasında kesişen ’ ve ’
eksenlerine göre deviasyon momenti
Kesit çekirdeğinin sınır (kenar) noktasının koordinatı
’-eksenine göre kesitin atalet momenti
’-eksenine göre tüm kesitin momenti
Nötr ekseni noktasının koordinatı,F 143
Nötr ekseni noktasının koordinatı,F 142
Nötr ekseni noktasının koordinatı:
'A  
M '
Nötr ekseni noktasının koordinatı:
'A  
M '
F 141
N
N
www.guven-kutay.ch
F 142
F 143
Yapı
Statiği
61

y
y
'
S


'A

'A
'
M '  N x   'A
M '



NX
M '
M  '  N x  'A
'
z
'
z
Şekil 65, Ortogonal ’ ve ’ eksenlere göre momentler
4.2. Kesit çekirdeğinin konstrüksiyonu
4.2.1. Genelde kesit çekirdeğinin konstrüksiyonu
Nötr ekseninin (QP) yuvarlanmasıyla oluşan kesit Şekil 66 ile görülmektedir. F 58 da x = 0 kabul
edilirse "nötr ekseni" diye adlandıracağımız doğru denklemi "n-n" bulunur. Bu doğruyu kesitin en
küçük konveks şeklinde yuvarlarsak sxP = 0 ve sxQ = 0 denklemlerinden :
i2
yA   z
yP
Q
yA
;
zA  
i 2y
zQ
bulunur.
"A" noktası normal kuvvetin etki ettiği nokta olarak kabul

A
edilir. "A" noktalarının oluşturduğu alana "kesit çekirdeği"

adı verilir.
z
Eğer normal kuvvet "N" çekirdeğin içinden etkiliyse, x
kesitin kesitin her yerinde normal kuvvetin "N" ön işaretini
Şekil 66, Herhangi bir kesit
alır (basma veya çekme).
Çekirdeğin uygulanması daha çok çekmeye zayıf olan beton, duvar ve temel gibi yerlerde kullanılır.
Pratikte gerilme ve deformasyonları bulmak için bir sürü tablo ve programlar yapılmıştır. Lineer
elastik olan bir cisimde F 48 ile ağırlık merkezi, F 53 ile ana yön 1 bulunur. F 46 ve F 47 ile genel
gerilmeler ve deformasyonlarla kesitteki herhangi bir noktadaki gerilmelerin bağlantısı bulunur.
4.2.2. Dikdörtgen kesit alanında çekirdek
A  bh
Q
y
zA
x
P

h/2
y
P
A1
h/2
A2
çekirdek
b/2 b/2
z
I y  b  h 3 / 12
;
Iz  b3  h / 12
i 2y  h 2 / 12
;
i z2  b2 / 12
y P  b  h  tan  / 2
yA 
b2
6  b  h  tan 
z Q  h  b  cot  / 2
zA 
h2
6  h  b  cot 
Şekil 67, Dikdörtgen kesit
A1:
tan   0
=0 
y A1  b / 6
A2:
tan   
 = /2 
yA2  0
2 yP  b  2zQ  h  b  h
0    / 2


4
;
;
z A1  0
zA2  h / 6
i 2y  i 2z
i 2y
i2
 2h  z  2b
yA  zA
yA
zA
4  i 2y  i 2z  2  h  i 2z  z A  2  b  i 2y  y A
… doğru
Kesit alanının köşeleri çekirdeği sınırlarlar ve çekirdek köşelerini kesit alanının kenarları verir.
www.guven-kutay.ch
62
4.2.3. Kesit çekirdeğinin detaylı konstrüksiyonu
Kesit çekirdeği nötr ekseninin (QP) yuvarlanmasıyla oluşur.
Şu tanımlamaları hiç unutmamamız gerekir.
'A , 'A kesit çekirdeğindeki noktalar,
 ,  nötr eksenindeki noktalardır.
n
Genelde kesit çekirdeğinin bilinmiyen noktası A ('A ,
'A) yı bulmak için nötr eksenleri n-n ile ana eksenler '

y

ve ' nın kesit noktaları P ('P , 0) ve Q (0 , 'Q)
P
kullanılır. Kontrüksiyonu detaylı yapmak istersek nötr
'
ekseni formülünü (F 141) ele alıp nötr ekseni kesişme
noktalarını P ('P , 0) ve Q (0 , 'Q) bulmamız gerekir.
Nötr ekseni formülü F 141 ile P ('P , 'P) değerlerini
yerleştirip hesabımızı yapalım. 'P nin değeri herhangi
Q
bir değerdir, 'P nin değeri sıfırdır (Şekil 68). Diğer
taraftan Q ('Q , 'Q) da 'Q nun değeri sıfırdır, 'Q nun
n
değeri herhangi bir değerdir.
'
z
Bu değerleri nötr ekseni formülüne yerleştirip 'A , 'A
Şekil 68, Nötr ekseni kesişme noktaları kesit çekirdeğindeki noktaları bulalım.
 'A J  '  'A C' '
1 'A J '   'A C' '
P ('P , 'P) için

 'P 
  'P  0
A
J '  J  '  C2 ' '
J '  J  '  C2 ' '
1 'A J '   'A C' '

 'P  0
A
J '  J  '  C2 ' '
'P = 0 olduğundan
'A J '   'A C' '
J '  J  '  C2 ' '
'A J '   'A C' '  
Formül 1
Q ('Q , 'Q)
1 'A J '   'A C' '

 'Q 
A
J '  J  '  C2 ' '
için
buradanda:

1
'P A
J '  J  '  C2 ' '
'P A
 'A J  '  'A C' '
J '  J  '  C2 ' '
1  'A J  '  'A C' '

  'Q  0
A
J '  J  '  C2 ' '
'Q = 0 olduğundan
 'A J  '  'A C' '
J '  J  '  C2 ' '
 'A J  '  'A C' '  
Formül 2
F 144
  'Q  0
buradanda:

1
 'Q A
J '  J  '  C2 ' '
F 145
 'Q A
Böylece 2 bilinmiyen ve 2 denklemimiz olur. Buradan şu eşitlik yazılır:
 C' '
 J
 '
 1 


J  '   'A  1   'Q 
  
 
 J '  J  '  C2 ' '



 C' '    'A  A
1


 'P 


F 146
Eğer nötr ekseni dik açılı ' ve ' eksenlere paralel ve kesitin ağırlık merkezinden geçiyorsa, şu özel
durumlar ortaya çıkar.
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
63
a) n-n nötr ekseni ' eksenine paraleldir. Bu durumda:
Nötr ekseninin ' ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatları P ('P =  , 0) olarak kabul edilirse:
'A J '   'A C' '  0
F 147
P ('P =  , 0) için F 144 ile 
Nötr ekseninin ’ ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatları Q (0 , ’PQ) olarak kabul edilirse:
 'A J  '  'A C' '  
Q (0 , ’Q) için F 145 aynen alınır 
J '  J  '  C2 ' '
 'Q A
F 145
Buradada iki denklem iki bilinmiyen olduğu için bilinmeyenler hesaplanır:
F 147 ile 'A hesaplanırsa
 'A 
'A J '
'A J '
C' '
C' '
elde edilir. Bu değeri F 145 formülüne yerleştirirsek:
 J  '  'A C' '  
J '  J  '  C2 ' '
 'Q A
 J '  J  '

J '  J  '  C2 ' '


'A 
 C' '  
 C' '

 'Q A



J '  J  '  C2 ' ' 
C' '

'A  

 J  J  C2 
 'Q A
' ' 
 '  '
'A  
C' '
 'Q A
F 148
Hesaplanan F 148 değerini F 147 formülüne yerleştirirsek 'A nın değerini buluruz (F 149).
C' '

 J'   'A C' '  0
 'Q A
 'A  
'A
C''
'Q
A
'A
J'
J '
 'Q A
F 149
A noktasının ' değeri
Deviasyon momenti
Q noktasının ' değeri
Tüm kesit alanı
A noktasının ' değeri
'-eksenine göre kesitin atalet momenti
mm
mm4
mm
mm2
mm
mm4
b) n-n nötr ekseni ' eksenine paraleldir. Bu durumda:
Nötr ekseninin ' ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatları P ('P , 0) olarak kabul edilirse:
P ('P , 0) için F 144 aynen alınır

'A J '   'A C' '  
J '  J  '  C2 ' '
'P A
F 144
Nötr ekseninin ’ ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatları Q (0, ’Q=) olarak kabul edilirse:
Q (0, ’Q=) için F 145 ile

 'A J  '  'A C' '  0
Buradada iki denklem iki bilinmiyen olduğu için bilinmeyenler kolayca hesaplanır:
www.guven-kutay.ch
F 150
64
F 150 ile 'A hesaplanırsa
 'A 
'A C' '
'A J ' 
elde edilir ve bunu F 144formülüne yerleştirirsek:
J'
'A C' '
J '
 C' '  
J '  J  '  C2 ' '
'P A

C2 ' ' 
J '  J  '  C2 ' '

'A  J ' 


J' 
'P A


'A  
J '  J  '  C2 ' '
'P A
'A  

J'
J'  J '  C2 ' '
J '
'P A
F 151
Hesaplanan F 151 değerini F 150 formülüne yerleştirirsek 'A nın değerini buluruz (F 152).
J '
 'A J  ' 
 C' '  0
'P A
'A  
'A
J'
'P
A
'A
C''
mm
mm4
mm
mm2
mm
mm4
C' '
'P A
F 152
A noktasının ' değeri
'-eksenine göre atalet momenti
P noktasının ' değeri
Tüm kesit alanı
A noktasının ' değeri
Deviasyon momenti
Kesit çekirdeğindeki bilgileri tekrar hatırlayalım:
Nötr ekseni kesitin bir noktasına değiyorsa, çekirdeğin sınırı bir doğrudur.
Nötr ekseni kesitin kenarına değiyorsa çekirdeğin sınırı köşedir.
Kesit çekirdeği alıştırma ödevininin detaylı çözümünü 44_04_4 numaralı dosyada göreceğiz.
www.guven-kutay.ch
Yapı
Statiği
65
5. Mohr benzerliği (Mohr analojisi)
Mohr benzerliği diğer deyimi ile "Mohr analojisi" kompleks problemleri basit problemlere
indirgeyerek kolayca çözümü sağlar.
5.1. Prensip ve gidiş yolu
M
Sehimin w"  
ve momentin M"  q diferansiyel denklemleri analogdurlar. Buda moment
EJ
M nin q ile hesaplanmasına benzer şekilde sehim w nin kesit değerleri ile aynı yapı statiği
metodlarıyla hesaplanabileceğini gösterir.

M"  q
w"  
M
EJ
Böylece gidiş yolunu şu şekilde yazabiliriz:
1. Bilinen kirişte kesit büyüklükleri M (ve V) yi bir zorlamaya (örneğin:q ya) göre hesaplarız,
2. Analog kirişte momenti zorlayan yük kabul ederiz,
3. w = M* analojisine göre hesabı yaparız.
Tablo 2, Mohr benzerliği (analojisi) için akış tablosu
Bilinen kirişte işlem akışı
Analog kirişte işlem akışı
q* 
 
V  M'
 
 
V*  w '  
 
M*  w

M

Tablo 3, Bilinen kiriş ile analog kirişi karşılaştırma
Bilinen kiriş
A
M
  w"  
EJ
q  M"
Analog kiriş
Hareketsiz
yatak
w=0
w'  0
Hareketsiz
yatak
M* = 0
V*  0
Hareketli
yatak
w=0
w'  0
Hareketli
yatak
M* = 0
V*  0
Sabit
yatak
w=0
w' = 0
Boşta son
M* = 0
V* = 0
Boşta son
w0
w'  0
Sabit
yatak
M*  0
V*  0
Hareketli ara
yatak
w= 0
w'L = w'R
Mafsal
M* = 0
V*L = V*R
Mafsal
w 0
w'L  w'R
Hareketli ara
yatak
M*  0
V*L  V*R
Elastik sabit
bağlantı
w=0
w' = cf . MA
Tek yüklü
boşta son
M* = 0
V* = cf . MA
Elastik
yataklama
w = cf . MA
w'  0
Mometle zorlanan hareketsiz yatak
M* = cf . MA
V*  0
c f MA
cf A
Burada indis L = sol, R = sağ ve cf = 1/R (m/N) olarak kabul edilir.
www.guven-kutay.ch
66
5.2. Örnekle Mohr benzerliği
5.2.1. Örnek 1, Serbest uçta tek kuvvetle zorlanan portafo (çıkma) kirişte sehim
Bilinenler:
Q
Şekil 69 ile verilen sistemde E.J = sabit ve kuvvet
Q ile kiriş boyu L biliniyor.
E.J
A
B
L
Aranan:
Şekil 69, Portafo (çıkma) kirişte sehim
B noktasındaki sehim formülü.
Çözüm:
Şimdiye kadar öğrendiklerimize göre, analojide bilinen kirişteki maksimum moment yerinde
maksimum sehim oluşur.Burda momenti analog kirişte zorlayan kuvvet kabul edip, bilinen kirişteki
maksimum moment yerinde analog kirişte momenti hesaplarsak, bu bilinen kirişteki sehime eşittir.
QL

wB
Şekil 69-01, Q nun sehiminin kalitatif çizimi
Şekil 69-02, Q nun moment dağılımı
Tablo 3 ile verilen analojiye göre sistemimizi analog kiriş olarak şu şekilde gösteririz.
Bilinen kiriş
Analog kiriş
w0
w'  0
w=0
w' = 0
M*  0
V*  0
M* = 0
V* = 0
Analog kirişte bilinen kirişteki moment yayılı yük olarak alınır ve sabit yatak olarak kabul edilen B
tarafındaki moment = sehim hesaplanır.
B
q*= M
E.J
(2/3)L
L
Şekil 69-05, Analog kirişte zorlama
1 * L q*  L
Moment üçgeninin alanı analog kirişte zorlama kuvvetidir. A ü  Fü   q  
2
2
4
M
QL
2
L
Q

L
L
M  QL
q* 

olduğundan w B  M  Fü 
Fü 

EJ EJ
3
EJ 4
Böylece Şekil 69-01 ile B ucundaki sehim "wB" şu şekilde bulunur:
wB 
Q  L L 2L
 
EJ 4 3
wB 
www.guven-kutay.ch
Q  L3
3 E  J
Yapı
Statiği
67
5.2.2. Örnek 2, Sabit yayılı yükle zorlanan klasik kirişte sehim
Bilinenler:
q
Şekil 70 ile verilmiş olan sabit yayılı yükle
zorlanan klasik kirişte q ve L bilinmektedir.
x
B
A
L
Aranan:
z
Maksimum sehim formülü.
Şekil 70, Sabit yayılı yüklü klasik kiriş
Çözüm:
Analojide bilinen kirişteki maksimum moment yerinde maksimum sehim oluşur.Burda momenti
analog kirişte zorlayan kuvvet kabul edip, bilinen kirişteki maksimum moment yerinde analog
kirişte momenti hesaplarsak, bu bilinen kirişteki sehime eşittir.
qL2/8
+
w max
Şekil 70-01, q nun sehiminin kalitatif çizimi
Şekil 70-02, q dan oluşan moment dağılımı
Bilinen kiriş
w=0
wm  0
w'  0
w'm = 0
Analog kirişte zorlama
Analog kiriş
w=0
w'  0
M* = 0
V*  0
M*  0
V* = 0
M* = 0
V*  0
FP
M* *
q
O
FA
Şekil 70-05, Analog kirişte zorlama
M
q  L2

olduğundan
E J 8E J
Maksimum moment maksimum sehime eşittir:
V=0
2 * L
q 
3
2
2
3
2 qL L
qL
FP  FA  
 
3 8
2 24  E  J
A P  FP  FA 
L
3L 
5L
q  L3 5L

w max   FA   FP    FA 


2
16 
16 24  E  J 16

L/2
Şekil 70-06, Analog kirişte moment
Yarım parabolün alanı analog kirişte zorlama kuvveti
Burada q* 
3L/16
www.guven-kutay.ch
w max 
5  q  L4
384  E  J
68
5.2.3. Örnek 3, Mafsallı sistemde sehim
Bilinenler:
M
B
A
C
Şekil 71 ile verilen sistem.
L/2
L
Arananlar:
1. Mafsal B de sehim wB.
Şekil 71, Mafsallı sistemde sehim
Çözüm:
B
A
C
B
A
C
wB
L/2
L
L/2
L
Şekil 71-01, Sistemde sehimin kalitatif çizimi
Şekil 71-02, Sistemde moment dağılımı
w=0
w' =/ 0
A
w=0
w' = 0
w B=/ 0
w'L =/ w'R
B
M* = 0
V* =/ 0
C
A
L/2
L
Şekil 71-03, Bilinen sistem
M* = 0
V* = 0
M* =/ 0
V*L =V*
/ R
B
L
C
L/2
Şekil 71-04, Analog sistem
Analog kirişte zorlama
q*
B
FR
A
FA
FL
2L/3
L
C
q*/2
2L/6
L/2
Şekil 71-05, Analog kirişte zorlama ve moment
ML
M
q*  L
q*  L
ML
FL 
q* 
A ÜL  FL 
A ÜR  FR 
FR 
2EJ
EJ
2
8
8E J
2L
L
2
1 1
M B  0
FA  L  FL 
 FR 
FA  FL   FR    2FL  FR 
3
3
3
3 3
3 M  L
1  ML ML  9ML
FA 
FA   


8E J
3  E  J 8  E  J  24  E  J
2L
w B  M B  FA  L  FL 
3
Maksimum moment maksimum sehime eşittir:
M  L 2L  3  M  L2 M  L2
 3 M  L
wB  
L 



2E J 3  8E J
3 E  J
 8E J
www.guven-kutay.ch
M  L2
wB 
24  E  J
Yapı
Statiği
69
6. Konu İndeksi
A
Asal atalet momentleri ......................................... 32, 58
Asal atalet momentlerinin yönü ........................... 32, 58
Asal esnemeler........................................................... 58
Asal esnemelerin yönü............................................... 58
Asal gerilme................................................................. 7
Asal normal gerilmeler ........................................ 19, 57
Asal normal gerilmelerin yönleri......................... 16, 57
Atalet momentleri ...................................................... 30
B
Bir boyutlu gerilme...................................................... 5
Bir eksenli gerilme................................................... 5, 6
Bisquit formülü......................................................... 38
Bredt .......................................................................... 47
Bredt formülü ............................................................ 47
Ç
Çapraz kuvvet ............................................................ 38
Kayma gerilmesi akımı .............................................. 47
Kiriş teorisi ................................................................ 27
Kirişin diferansiyel denklemi..................................... 34
Kutup noktası ............................................................... 6
M
Maksimum kayma gerilmesi...................................... 19
Matrisle yazılış şekli .................................................. 11
Mohr analojisi ............................................................ 65
Mohr benzerliği.......................................................... 65
Mohr dairesi......................................................... 17, 18
Mohr dairesi kutup noktası P ..................................... 22
Mohr dairesi merkezi M....................................... 21, 25
Mohr dairesi yarıçapı R ....................................... 22, 25
Mohr dairesinin konstrüksiyonu ................................ 21
Mohr dairesinin merkez koordinatları........................ 18
Mohr dairesinin radyus boyu ..................................... 19
Mohr'un gerilmeler dairesi ......................................... 17
N
Normal gerilmelerin genel formülü ........................... 32
nötr ekseni.................................................................. 60
D
Daire fomülü.............................................................. 17
Deviator ..................................................................... 13
Düzlem gerilme ........................................................... 7
Düzlem gerilmeleri ...................................................... 5
E
Eğik kesitteki gerilmeler.............................................. 6
Eğilme çizgisi ............................................................ 33
Elementer kuvvet ....................................................... 11
Esneme ...................................................................... 49
Etkin kayma alanı ................................................ 27, 42
G
Gerilmeler tensörü ..................................................... 11
O
Oktaeder kayma gerilmesi ......................................... 14
Oktaeder normal gerilme ........................................... 13
Ön işaret kuralına....................................................... 20
S
Şekil değiştirme işi............................................... 42, 43
Sembolle yazılış şekli ................................................ 11
St.Venant.................................................................... 47
Statik moment ............................................................ 39
Statik Sınır Koşullar................................................... 11
T
Hacim gerilmeleri ........................................................ 5
Homojen lineer denklem............................................ 11
Tensör ........................................................................ 11
Torsiyon atalet momenti JP ........................................ 47
Torsiyon merkezi ....................................................... 46
Torsiyon sabitesi ........................................................ 49
I
U
İdeal eylemsizlik momentleri..................................... 32
İki boyutlu gerilme ...................................................... 8
İki eksenli gerilme ................................................... 5, 8
İndisle yazılış şekli .................................................... 11
Üç eksenli gerilme ....................................................... 5
K
Z
Karakteristik denklem................................................ 11
Kavis............................................ 27, 28, 29, 34, 37, 56
Kayma açısı ............................................................... 50
Zincir kuralı ............................................................... 51
H
Y
Yağmur suyu kuralı.................................................... 39
www.guven-kutay.ch

Prof. Dr. P. Marti Gerilmeler ve Mohr dairesi

Transkript

Benzer belgeler

Örnek Proje - Prof.Dr Akgün Alsaran

Gerilmeler

Araştırma derinliği Yüzeyden verilen akımın nüfüz derinliği tamamen

asat genel müdürlüğü coğrafi bilgi sistemleri veri üretimi ve teslimi

İnce Antenler Hertz Dipolü

Deney 11 - omerkaksi

otomotiv sistemleri ve kontrolü

tez yazım klavuzu - Süleyman Demirel Üniversitesi

Omuz Anatomisi - Dr. Ulunay KANATLI

Yayın İlkeleri - Güzel Sanatlar Fakültesi

Taga Makale - İstanbul Üniversitesi

Burada - msgsu fizik bölümü laboratuvar sistemi

wınd turbıne selectıon usıng anlytıc hıerarchy process

M(4-Pridinkarboksialdehid)Ni(CN)4.nG Hofmann Tipi Konak