4 Değişkenli Büyük Karnaugh Eşlemleri

4 Değişkenli Büyük Karnaugh Eşlemleri
Gray kosunun nasıl oluşturulacağını bilmek daha büyük haritalar yapmamızı sağlar. Gerçekten
yapmamız gereken şey, 3-değişkenli haritanın tepesindeki soldan sağa diziye bakmak ve bunu 4değişkenli haritanın sol köşesinden aşağıya doğru kopyalamaktır. Aşağıya bakınız.
Sıradaki dört değişkenli Karnaugh haritaları, Boole ifadelerinin Boole cebri ile sadeleştirilmesinin ne
denli yorucu olduğunu gösterir. Sadeleştirmeler Boole cebri ile yapılabilir fakat özellikle
sadeleştirilmesi gereken fazla sayıda mantık varsa, Karnaugh haritası daha hızlı ve kolaydır.
Yukarıdaki Boole ifadesi yedi çarpım terimi içermektedir. Yukarıdaki K-haritasına yukarıdan aşağıya
ve soldan sağa yerleştirilmişlerdir. Örnek olarak ilk çarpım terimi A'B'CD ilk satır üçüncü hücredir,
haritada karşılık gelen yerleşimi A=0, B=0, C=1, D=1 olur. Dİğer çarpım terimleri aynı şekilde
yerleştirilir. Mümkün olan en büyük grupları kapsayacak şekilde yukarıda dörtlü iki grup
gösterilmiştir. Yatayda kesikli çizgi ile belirtilen grup sadeleştirilmiş AB terimine karşılık gelir. Dikey
grup CD Boole ifadesine karşılık gelir. İki grup olduğu için, Out=AB+CD işeminin çarpımlar
toplamında iki çarpım terimi olacaktır.
Dört hücreyi fiziksel olarak komşu yapmak için haritanın köşelerini bir peçete gibi katlayın.
Yukarıdaki dört hücre dörtlü bir gruptur çünkü B' ve D' Boole değişkenleri hepsi için ortaktır. Diğer
bir deyişle, dört hücre için B=0 ve D=0 dır. Hücrelerin dört köşesine kıyasla diğer değişkenler (A,
B) bazı durumlarda 0 olur, diğer durumlarda 1 olur. Sonuçta (A, B) değişkenleri bu dörtlü grupta
yer almaz. Bu tek grup Out=B'C' sadeleştirilmiş sonucu için bir çarpım terimi olarak haritadan
çıkar.
Aşağıdaki K-haritası için üstteki ve alttaki köşeleri bir silindir oluşturacak şekilde katlayın ve sekiz
komşu hücre oluşturun.
B=0 Boole değişkeni yukarıdaki sekizli grup için ortaktır. Bu nedenle, bu sekizli grup bir çarpım
terimi olan B' tarafından kapsanır. Orijinal sekiz terimli Boole ifadesi Out=B' ne sadeleşir.
Aşağıdaki Boole ifadesi dokuz çarpım terimi içerir, bunlardan üç tanesi dört tane Boole yerine üç
tane Boole ye sahiptir. Aradaki fark şudur, dörtlü Boole değişkenine sahip çarpım terimleri bir hücre
kapsarken üç Boole ye sahip çarpım terimlerinin her biri bir çift hücre kapsar.
Yukarıda dört Boole değişkenine sahip altı adet çarpım terimi normal olarak tek hücre şeklinde
eşleştirilir. Üç Boole değişkenine sahip terimler (her biri üç adet) aşağıda gösterildiği gibi hücre
çiftleri şeklinde eşleşir. Çarpım terimlerini K-haritasına eşleştirdiğimize, bu noktada dışarı
çıkartmadığımıza dikkat edin.
Sadeleştirme için sekizli iki grup oluşturuyoruz. Köşelerdeki hücreler her iki grup tarafından
paylaşılır. Bu iyidir. Aslında, bu sekizli bir grup ve hiç bir hücre paylaşmayan dörtlü bir grup
oluşturmaktan daha iyi bir çözümdür. Nihai çözüm Out=B'+D' dur.
Aşağıda sadeleştirilmemiş Boole ifadesini Karnaugh haritasına eşleştiriyoruz.
Yukarıdaki hücrelerin üçü iki hücreli gruplar oluşturur. "gerçek hayattaki" problemlerde sıkça
rastlandığı gibi dördüncü hücre hiç bir şeyle birleştirilemez. Bu durumda, sadeleştirme işleminde
ABCD Boole çarpım terimi değişmez. Sonuç: Out= B'C'D'+A'B'D+ABCD
Çoğu zaman bir sadeleştirme probleminin birden fazla en düşük maliyet çözümü vardır. Böyle bir
durum aşağıda gösterilmiştir.
Yukarıdaki her iki çözüm her bir üç Boole değişkeni içeren dört çarpım terimine sahiptir. Her ikisi de
geçerli en az maliyet çözümleridir. Nihai çözümdeki farklılık yukarıda gösterildiği gibi hücrelerin
nasıl gruplandırıldığından kaynaklanmaktadır. Bir en az maliyet çözümü en az sayıda girdisi olan en
az sayıdaki geçide sahip geçerli bir mantık tasarımıdır.
Aşağıda sadeleştirilmemiş Boole denklemini normal şekilde eşleştiriyoruz ve ilk adım olarak dörtlü
bir grup oluşturuyoruz. Geri kalan hücrelerin seçimi çok açık olmayabilir.
Yukarıda ortada bulunan dörtlü bir grup içinden üç tane daha hücre seçin. Geride hala iki hücre
kalıyor. Bunları seçmenin en düşük maliyetli çözüm metodu yukarıda sağda gösterildiği gibi bunları
dörtlü gruplar halindeki komşu hücrelerle gruplandırmaktır.
Dikkat edilmesi gereken bir nokta üçlü gruplar oluşturmamaktır. Gruplandırma 2 nin üssü şeklinde
olmalıdır, yani 1, 2, 4, 8 ...
Aşağıda en az maliyetli çözümün iki olası örneği gösterilmiştir. Hücreleri eşleştirdikten sonra dörtlü
grupların çiftleştirilmesiyle başlayın.
İki çözüm geri kalan tek hücrenin birinci veya ikinci dörtlü gruptan hangisiyle gruplandırılacağına ve
iki hücreli bir grup oluşturacağına bağlıdır. O hücre sizin seçiminize bağlı olarak ABC' veya ABD
olarak alınabilir. Her iki yolda bu hücre her iki Boole çarpan terimi tarafından kapsanır. Nihai
sonuçlar yukarıda gösterilmiştir.
Aşağıda solda Karnaugh haritası ile sadeleştirilen sağda ise Boole cebri ile sadeleştirilen bir örnek
vardır. Harita üzerinde C' nü, C=0 adresinin kapsadığı soldaki 8-hücrenin alanı olarak çiziniz.
Ardından tek ABCD hücresini çiziniz. Bu tek hücre gösterildiği gibi 2-hücreli bir grup oluşturur, bu
da ABD çarpım terimine indirgenir. Sonuç olarak da Çıkış = C' + ABD elde edilir.
Yukarıdaki bu örnek, teoremleri hatırlarsanız Boole cebri ile çok zorlanmadan sadeleştirebileceğimiz
nadir bir örnektir.