2) Temmuz/2007 IARS Yoğun Madde Fiziği Çalıştayı notları

Transkript

IARS
KURAMSAL YOǦUN MADDE FİZİǦİ SERİSİ
İLERİ İSTATİSTİK MEKANİK VE
YOǦUN MADDE FİZİǦİNDE UYGULAMALARI
ÇALIŞTAYI DERS NOTLARI
2-20 TEMMUZ 2007
Marmaris Kuramsal ve Uygulamalı Fizik
Araştırma Enstitüsü
( ITAP )
Turunç- MARMARİS
ÖNSÖZ
i
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
İÇİNDEKİLER
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
BÖLÜM BİR - KLASİK İSTATİSTİK MEKANİK . . . . . . . . . . .
3
1.1
GİRİŞ - İSTATİSTİKSEL FİZİK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
TERMODİNAMİK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1
Termodinamiǧin Kanunları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.2
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
KLASİK İSTATİSTİKSEL MEKANİK . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.3.1
Mikrokanonik Topluluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.3.2
Kanonik Topluluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.3.3
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.3.4
Grand Kanonik Topluluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.3.5
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.3.6
Etkileşen Parçacıklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.3.7
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
1.3.8
Faz Geçişleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
1.3.9
Landau-Ginzburg Teorisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.3.10 Ölçekleme Hipotezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
1.3.11 Ising Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
1.3
1.3.12 Problemler İçin İpuçları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
BÖLÜM İKİ- KUANTUM İSTATİSTİK MEKANİK
2.1
2.2
2.3
. . . . . . . . .
105
KUANTUM İSTATİSTİK MEKANİK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.1.1
İstatistik Mekaniǧin Kabulleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.1.2
İdeal Gazlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.1.3
Grand Kanonikte İdeal Gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
BÖLÜŞÜM FONKSİYONUNUN GENEL ÖZELLİKLERİ . . . . . . . . 122
2.2.1
Bölüşüm Fonksiyonunun Klasik Limiti . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.2.2
Tekillikler ve Faz Geçişleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.2.3
Lee-Yang Circle Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
YAKLAŞIK YÖNTEMLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
ii
2.3.1
Klasik Cluster Açılımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.3.2
Kuantum Cluster Açılımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.3.3
İkinci Virial Katsayısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.3.4
Varyasyon Prensibi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.3.5
Düşük Sıcaklıklarda Gerçek Gazlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
BÖLÜM ÜÇ- KUANTUM İSTATİSTİK MEKANİK - II . . . . . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
153
GİRİŞ - KUANTUM İSTATİSTİK MEKANİK . . . . . . . . . . . . . . 153
3.1.1
Bölüşüm Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.1.2
Büyük Kanonik Topluluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.1.3
Çok Parçacık Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.1.4
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
İDEAL (ETKİLEŞİMSİZ) BOZON VE FERMİYON SİSTEMLERİ . . 157
3.2.1
Durum Yoǧunluǧu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.2.2
Durum Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.2.3
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
İDEAL FERMİ GAZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.3.1
Düşük Sıcaklıklarda İdeal Spinsiz Fermi Gazı . . . . . . . . . . . 178
3.3.2
Fermi Gazının Manyetik Özellikleri (I) . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.3.3
Fermi Gazının Manyetik Özellikleri (II) . . . . . . . . . . . . . . 190
3.3.4
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
İDEAL BOZ GAZI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3.4.1
İki Boyutlu İdeal Bozon Gazı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.4.2
Üç Boyutlu Harmonik Salınıcı Potansiyelinde Bose-Einstein Yoǧunlaşması204
3.4.3
Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.5
Etkileşimler (T = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.6
Neler Gördük? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
3.7
Sınav Soruları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
iii
KLASİK İSTATİSTİK MEKANİK
Alkan KABAKÇIOǦLU
KOÇ ÜNİVERSİTESİ
DERS ASİSTANLARI :
Neşe ARAL (Koç Üniversitesi)
Murat TUǦRUL (Koç Üniversitesi )
DERS NOTU ASİSTANLARI :
Yusuf YÜKSEL (Dokuz Eylül Üniversitesi)
Sevil SARIKURT (Dokuz Eylül Üniversitesi)
1
Aşaǧıdaki notlar IARS yaz okulu kapsamında Temmuz 2007’de Turunç/Marmaris’te
verilmiş olan İleri İstatistiksel Fizik dersine aittir; ticari amaçla kullanılamazlar;
kopyalanmaları ve daǧıtılmaları serbesttir. Dersi alan ögrencilerin notları arasından
okul organizasyon komitesi tarafından seçilerek gözden geçirilen bu notlar (dersin içeriǧi
gibi) MIT OpenCourseWare kaynak alınarak hazırlanmıştır, ancak bu kaynagın birebir
tercümesi deǧildir.
Kaynak:
Prof. Mehran Kardar, 8.333, Statistical Mechanics I: Statistical Mechanics of Particles, Fall 2005 (MIT OpenCourseWare: Massachusetts Institute of Technology),
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-333Fall-2005/CourseHome/index.htm
License: Creative commons BY-NC-SA
Telif hakları ve kullanım koşulları için bakınız:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/web/help/faq3/index.htm
2
BÖLÜM BİR
KLASİK İSTATİSTİK MEKANİK
1.1
GİRİŞ - İSTATİSTİKSEL FİZİK
Çok sayıda özdeş parçaçık ya da alt sistem içeren makroskobik sistemlerin fiziksel
özelliklerini inceler. Bir tane elektronun özellikleriyle deǧil, bunlardan pek çoǧu bir
araya geldiǧi zaman bu sistem nasıl davranır onunla ilgileniyoruz. Burada çok sayıdan
kasıt Avogadro sayısı kadar yani yaklaşık 1023 parçacık ya da alt sistemdir. İstatistiksel
fizikte, incelenen fiziksel özellikler makroskobik özelliklerdir ve bunlar genelde ortalamalardır.
İstatistiksel fizikte makroskobik ve mikroskobik perspektif olmak üzere iki durum söz
konusudur. Makroskobik perspektif, sistemin ortalama özelliklerini inceler ve önemlidir.
Mikroskobik özellikler ise genellikle önem arz etmez.
Makroskobik sistem; yaklaşık 1023 tane parçacık içeren sistemlerdir.
Bunun karşıtı olarak bir de mikroskobik tanımdan bahsederiz. 1023 tane parçacık
içeren bu makroskobik sistemin mikroskobik bir tanımını verebiliriz.
Makroskobik sistemlere baktıǧımız zaman pek çok özellik aslında mikroskobik detaylardan baǧımsızdır. Örneǧin; bir odanın içerisindeki gaza baktıǧımız zaman bunun belli
bir hacim kapladıǧını, duvarlara belli bir basınç uyguladıǧını biliyoruz. Bu özellikler
hangi parçacıǧın nerede olduǧuyla çok fazla ilgili deǧil. Aslında gözlemlediǧimiz bunların ortalamasıdır. Bu ortalamalar, mikroskobik detaylardan baǧımsız olarak, ortalama deǧerleri sabit deǧerlerdir. Aslında istatistik fizik yaptıǧımız zaman bu makroskobik özelliklere dair birşeyler söylemeye çalışıyoruz ve bunların arasındaki ilişkileri belirlemeye çalışacaǧız.
Mikroskobik sistem; 1023 tane parçacıǧın her birinin konumlarını ({~
ri }) ve momentumlarını ({~
pi }) verir. Dolayısıyla fazla detaylı ve gereksizdir. Bu momentum ve
3
4
konumlara ihtiyaç yoktur. Fakat önemli olan bunların ortalamalarıdır. Bu detaylar
üzerinden ortalamalar alınarak sadece makroskobik düzeyde bazı deǧişkenler (örneǧin:
basınç, hacim, sıcaklık) cinsinden bu sistem tanımlanabilir.
Temel nokta aslında; mikroskobik seviyede sistemi bilmeden makroskobik davranışı hakkında
hala birşeyler söyleyebilmemiz.
İstatistiksel fiziǧe iki farklı bakış açısı söz konusudur:
• Termodinamik : Buhar makinasının icadıyla başlamıştır. O zamanlar daha belki
çok detaylı olarak atomik seviyede maddenin davranışına dair fikrimiz yoktu.
Termodinamik; mikroskobik detaylara hiç bakmadan, sadece deneysel gözlemlere
dayalı olarak bazı makroskobik deǧişkenler arasındaki ilişileri tutarlı bir matematiksel yapıya oturtan bir teoridir. Şu anda üzerinde herhangi bir araştırma yoktur. Tamamen deneysel gözlemlere dayalıdır.
• İstatistiksel mekanik : Mikro düzeyden makro düzeye taşıyan bir terimdir. Mikroskobik gözlenebilirler ile makroskobik gözlenebilirler arasındaki ilişkiyi kurma imkanı verir.
Makroskobik özelliklerin (sistemin mıknatıslanması, gazların makroskobik özellikleri,
basınç, sıcaklık arasındaki ilişkileri, ... vb.) mikroskobik özelliklerden nasıl ortaya çıktıǧını sorgular. Dolayısıyla, çok daha temel bir bakış açısıdır. İstatistiksel
mekaniǧin, mikroskobik özelliklerden başlayarak termodinamiǧin tamamen deneysel gözlemlere dayalı olarak bulduǧu matematiksel yapıyı üretebilmesi gerekiyor.
1.2
TERMODİNAMİK
Termodinamikte yaptıǧımız şey; deneysel gözlemlere dayalı olarak makroskobik
deǧişkenler arasındaki ilişkileri bulmaya çalışmak ve deneylerle bulduǧumuz bu ilişkileri
daha sonra matematiksel bir formda ifade etmeye çalışmaktır. Bunu yaparken kuramsal olarak termodinamik deǧişkenler (koordinatlar) tanımlamalı, onlar üzerinden işlem
yapılmalıdır.
5
İlgilenilen sistemlere göre termodinamik koordinatlar a örnek:
• Gaz için : Basınç (P ) ve Hacim (V )
• İnce bir film için : Yüzey Gerilimi (σ) ve Alan (A)
• Sicim, elastik ip için : Gerginlik (T ) ve Uzunluk (L)
• Manyetik sistem için : Manyetik Alan (B) ve Mıknatıslanma (M ) :
Bunları birbirine baǧlayan denklem ”Durum Denklemi” dir:
T = f (P, V, N )
T : sıcaklık
Durum denklemi, termodinamik koordinatlar arasında bir eşitliktir.
Bu tanımları verdikten sonra, deneysel gözlemler sonucunda termodinamiǧin dayandıǧı,
özetlendiǧi temel kanunlara bakalım.
1.2.1
Termodinamiǧin Kanunları
Esasen bütün termodinamiǧi 4 temel kanundan türetebiliriz.
0. Kanun :
İki sistem bir üçüncü ile dengede ise kendi aralarında da dengede olurlar. Yani; A,
B, C sistemlerinden A ile B dengede, A ile C dengede ise B ile C dengededir.
Bu kanun durum denkleminin varlıǧını söyler ve sıcaklıǧı tanımlar.
TA = TB
,
TA = TC
⇒
TB = TC
6
A sistemi ile B sisteminin dengede olma durumunu niteleyen eşitliǧi yazalım:
fAB ({Ai }, {Bi }) = 0
(1.2.1)
({Ai }, {Bi } sırasıyla A sisteminin ve B sisteminin termodinamik koordinatlarıdır. Sistemlerin makroskobik durumları bu koordinatlar cinsinden veriliyor.)
Aynı şekilde A sistemi ile C sistemi için;
fAC ({Ai }, {Ci }) = 0
(1.2.2)
Sıfırıncı Kanuna göre B ile C nin dengede olması gerekir:
fBC ({Bi }, {Ci }) = 0
1.2.1 ve 1.2.2 denklemlerinde 1 nolu termodinamik koordinatı seçelim;
A1 = FAB ({Ai }\A1 , {Bi })
(1.2.3)
A1 = FAB ({Ai }\A1 , {Ci })
(1.2.4)
Dolayısıyla 1.2.3 ve 1.2.4 denklemlerinin birbirine eşit olması gerekir . Bu iki denklemden A koordinarları elenebilirse;
θB ({Bi }) = θC ({Ci })
denge koşulu elde edilir. (θ : termodinamik nicelik, θ = θB ({Bi }) durum denklemi.)
Yani, denge durumunda saǧlanması gereken eşitlik;
θB ({Bi }) = θC ({Ci }) = θA ({Ai })
(1.2.5)
7
I. Kanun :
Enerji korunumu ile ilgilidir. 0. kanunda sistemi bir denge konumundan diǧer bir
denge konumuna taşıdık. Farklı denge konumları arasındaki dönüşümlere bakalım. Bu
esnada sisteme iki farklı şekilde enerji aktarılabilir:
1. W (iş olarak) : makroskobik serbestlik dereceleriyle oynayarak
2. Q (ısı olarak) : mikroskobik serbestlik dereceleriyle oynayarak.
Eǧer sistem adyabatik olarak izole edilmiş ise yani dış çevreyle ısı alışverişi yoksa
yapılan iş ile aktarılan enerji yoldan baǧımsızdır (korunumlu). Adyabatik sistemlerde;
∆W = ∆E olduǧundan yapılan işin tamamı sistemde indüklenen enerji olacaktır.
∆W = ∆E = E(Xs ) − E(Xi )
Enerji de bir durum fonksiyonudur. Sistemin o anki makroskobik durumuna bakılarak
bulunabilir.
Adyabatik olmayan dönüşümler için sistemin enerjisi hem ısı hem de iş olarak
indüklenecektir.
∆Q = ∆E − ∆W
(1.2.6)
dQ = dE − dW
(1.2.7)
Sonsuz küçük deǧişimler için;
(Q ve W yola baǧlı, E yoldan baǧımsız.)
Sistem üzerinde yaptıǧımız işe bakalım. Eǧer sistem üzerinde yaptıǧımız dönüşüm
quasi-statik1 ise ;
dW =
X
Ji · dxi
(1.2.8)
i
1
sistemi çok yavaş bir şekilde başlangıç noktasından bitiş noktasına götürüyoruz, her noktada
dengede kabul ediyoruz.
8
Ji : genel kuvvet (örneǧin; basınç, manyetik alan)
dxi : genel kuvvete yanıt veren yerdeǧişimi (örneǧin; hacim)
Ji ve dxi dengede tanımlı nicelikler olduǧu için sistemin quasi-statik olması gerekir.
Genelleştirilmiş
Genelleştirilmiş
Kuvvetler
Yerdeǧiştirmeler
Sicim
T (Gerilme)
L (Uzunluk)
İnce film
σ (Yüzey gerilimi)
A (Alan)
Akışkan
−P (Basınç)
V (Hacim)
Mıknatıs
H (Dış manyetik alan)
M (Mıknatıslanma)
−P ; gerilme gibi denge durumuna çaǧırıcı nitelikte olmadıǧı için (-) dir. Sistem
tarafından deǧil sistem üzerine yapılan işe bakıyoruz. Sistem üzerine yapılan iş (−∆W ),
sistem tarafından yapılan iş (+∆W ).
Bir sistemin özelliklerini, davranışını incelemek istiyorsak o sistemi uyarırız ve sistemin verdiǧi cevaba bakarız. Bu aşamada karşımıza ”cevap fonksiyonları” çıkar.
Cevap Fonksiyonları:
Isı Sıǧaları: Sisteme bir ısı transferi yapılırsa sistemin sıcaklıǧının ne kadar
deǧişeceǧinin yanıtını verir.
CV =
¯
¯
¯
dE − dW ¯¯
dE ¯¯
P dV
dQ ¯¯
=
=
¯
¯ + dT
dT ¯V
dT
dT
V
V
¯
¯
¯
¯
¯ = dE ¯
¯
dT ¯V
V
¯
¯
¯
¯
dE − dW ¯¯
dE ¯¯
dV ¯¯
dQ ¯¯
=
CP =
¯ = dT ¯ + P dT ¯
dT ¯P
dT
P
P
P
(1.2.9)
(1.2.10)
Kuvvet Sabitleri : Sisteme bir basınç uygularsak hacimdeki deǧişim yanıt
olarak incelenir.
9
Mekanik sistemlerde;
1
κT =
V
½
¯ ¾
∂V ¯¯
−
∂P ¯T
(eş sıcaklık sıkışabilirliǧi)
(1.2.11)
Manyetik alan uygularsak mıknatıslanmadaki deǧişim incelenir.
Manyetik sistemlerde;
1
χT =
V
½
¯ ¾
∂M ¯¯
∂B ¯T
(manyetik alınganlık)
(1.2.12)
(genleşebilirlik)
(1.2.13)
Termal Cevap :
1
αP =
V
½
¯ ¾
∂V ¯¯
∂T ¯P
ÖRNEK : İdeal gaz için genleşebilirliǧi kullanarak CV ve CP arasındaki ilişkiye
bakalım. Bunun için ideal gazda enerjinin sadece sıcaklık ile ilişkili olmasından yararlanıyoruz (E = E(T )).
PV ∝ T
¯
¯
∂E ¯¯
∂E ¯¯
=
olmalı. Çünkü E, P ile V ye baǧlı deǧil. O halde;
∂T ¯P
∂T ¯V
½
CP − CV =
¯
¯ ¾ ½
¯ ¾
¯
∂V ¯¯
∂E ¯¯
∂V ¯¯
∂E ¯¯
+P
−
=P
∂T ¯P
∂T ¯P
∂T ¯V
∂T ¯P
(1.2.14)
Denklem 1.2.13 ile verilen genleşebilirliǧin tanımından;
CP − CV = P V αP
PV ∝ T
⇒
PV = c · T
(1.2.15)
(1.2.16)
10
⇒
c·T
V =
P
⇒
αP =
⇒
¯
∂V ¯¯
c
=
¯
∂T P
P
c
1
=
PV
T
(1.2.17)
1.2.17 eşitliǧi 1.2.15 denkleminde yerine yazılırsa;
CP − CV = P V
1
T
(1.2.18)
1.2.18 eşitliǧi aynı zamanda şu şekilde de yazılabilir:
CP − CV = P V
1
= kB N
T
⇒
P V = N kB T
(1.2.19)
1.2.19 eşitliǧi ideal gaz için durum denklemidir. (kB = 1.4 × 10−23 J/K)
II. Kanun :
Bu yasada ısı akışı incelenir.
Isı makinesi ; iş üretir.
Sıcak rezarvuardan bir miktar ısı alır, aldıǧı ısının bir
kısmını işe çevirir bir kısmını da soǧuk rezervuara iletir. İdeal bir ısı makinesi aldıǧı tüm
ısıyı işe çevirir.
Şekil 1.1: Isı makinesi
Bir ısı makinesinin ne kadar iyi bir makine olduǧu verimlilikten hesaplanabilir. Ver-
11
imlilik;
η=
W
QH
(1.2.20)
Buzdolabının yaptıǧı iş; soǧuktan alıp sıcak rezervuara iletmektir.
Şekil 1.2: Buzdolabı
ω=
Qc
W
(1.2.21)
KELVIN : Hiç bir makine aldıǧı ısının tamamını işe çeviremez.
CLAUSIUS : Isı başka hiçbir şeyin yardımı olmadan tek başına soǧuk sistemden
sıcak sisteme geçemez.
Gerçekte Kelvin ve Clausius ifadeleri aynı şeylerdir.
KELVIN = CLAUSIUS
Kelvin ifadesine uyan bir makine varsa Clausius ifadesine uyan bir makina elde edilebilir.
Kelvin ifadesinden Clausius ifadesine geçelim.
İSPAT 1 : Isının tümünü enerjiye çevirebilen bir makine olduǧunu, Kelvin ifadesinin
yanlış olduǧunu kabul edelim. Bu durumda; %100 verimle çalışan bir makineden elde
12
edilen işi Clausius prensibine göre çalışan bir buzdolabına aktaralım.
Şekil 1.3:
Bu durumda; Kelvin’ in yanlış olduǧunu çıkartan bir makine Clausius’ u da yanlış çıkartır.
İSPAT 2 : Clausius ifadesinin yanlış olduǧunu ve bir buzdolabının enerji almadan
ısıyı sıcaktan soǧuk sisteme taşıdıǧını düşünelim.
Bu durumda Carnot makinesi ortaya çıkar.
Carnot Makinesi : Tersinebilir (sürtünmesiz) bir döngü içinde çalışan ve
sadece TH ve TC sıcaklıklarında ısı alışverişi yapan makinedir.
Teorem : Hiçbir ısı makinesi Carnot ısı makinesinden daha verimli deǧildir.
Bu teoremin ispatı; Carnot makinesi olmayan bir makineyi, diǧer bir ısı makinesine
ters baǧlayarak yapılabilir.
1 − ηCE =
ηCE ; Carnot makinesinin verimi.
TC
TH
(1.2.22)
13
Şekil 1.4: Carnot makinesi
Entropi :
Şekil 1.5:
Makroskobik sistem uygun koordinatlarda bu döngü boyunca hareket etsin. Sistemde hem ısı alışverişi var hem de sistem üzerine iş yapılıyor.
T0 sıcaklıǧında bir rezervuar olsun. Carnot makinesi, bu rezervuardan gerektiǧi
kadar ısı alsın, dışarıya iş versin ve bir miktar ısıyıda sisteme geri versin.
Sistem bir döngüyü tamamladıǧında aynı enerjiye sahip olur. Yol boyunca sisteme
14
Şekil 1.6: Sistem
ısı şeklinde giren enerji ile iş şeklinde giren enerjinin toplamı sıfırdır.
X
dQi +
X
i
dWi = 0
i
dQRes
= dQi + dWiCE
i
(dQi ; toplam rezervuardan çekilen enerji.)
QRes
=−
i
X
dQi +
i
X
dWiCE = W
i
(W ; dışarıya verilen toplam iş)
Carnot makinesinin verimliliǧi;
1 − ηCE =
QRes
i
TC
QC
W
=
=1−
TH
QH
QH
T0
dQRes
=
dQi
Ti
X
X
=−
dWi +
dWiCE
i
i
15
QRes
=W
i
⇒
bulduk.
Ancak, Kelvin ifadesine göre W ≤ 0 olmalı.
Verimlilik ifadesi kullanılırsa;
QRes =
X
dQRes
= T0
i
X dQi
i
i
X dQi
i
Ti
Ti
≤0
≤0
Bu adımlar çok küçük olduǧu için;
I
dQ
≤0
T
Sistemde sürtünme, enerji kaybı yoksa döngü tersten de gidilebilir. Tersinebilir
(sürtünmesiz) bir döngü için;
I
dQ
=0
T
olmalıdır.
Şekil 1.7:
Z
B
A(1)
Z
B
A(1)
dQ
+
T
dQ
−
T
Z
A
B(2)
Z
B
A(2)
dQ
=0
T
dQ
=0
T
16
Z
B
A(1)
dQ
=
T
Z
B
A(2)
dQ
= S(B) − S(A)
T
(1.2.23)
S ≡ entropi : durum fonksiyonu. O durumun nicelikleri cinsinden hesaplanan ve o
durumu niteleyen fonksiyon.
Tersinebilir süreçler için;
dQ = T · dS
dE = dQ + dW = T dS +
X
i
¯
1
∂S ¯¯
=
T
∂E ¯V
Ji dxi = (T
| dS −
{z P dV})
ideal gaz için
¯
∂E ¯¯
−P =
∂V ¯S
Eǧer sistemde enerji deǧişimi yoksa;
¯
T
∂V ¯¯
=−
P
∂S ¯E
Kapalı bir sistem düşünelim. Bu sistem birçok alt durumdan oluşsun. Alt sistemler
kendi aralarında ısı alışverişi yapsınlar. Bu nedenle dQ = 0 olmalı. Fakat toplam
entropi deǧişimi sıfırdan farklı olmalı.
Şekil 1.8:
dQ = 0
Z
dQ
≤ dS
T
⇒
0 ≤ dS
17
Tersinmez bir yoldan A’ dan B’ ye gidip, B-A tersinir yolundan geri dönelim.
Şekil 1.9:
Z
B
A(1)
Z
A
1.2.23 denklemindeki eşitlikten
B(2)
Z
B
A
dQ
+
T
Z
A
B(2)
dQ
≤0
T
dQ
= S(B) − S(A) yazılabileceǧinden;
T
dQ
≤ S(B) − S(A) = ∆S
T
Eǧer sistem dışarıdan adyabatik olarak izole edilmiş ise entropi deǧişimi sıfır olur.
Termodinamik Potansiyeller :
Sistemin, belli koşullar altında minimize etmeye çalıştıǧı parametrelere termodinamik potansiyel denir.
> Adyabatik izolasyon ve sabit kuvvet şartları altında sistem dengeye geliyorsa
dengeye gelme koşulu entropinin maksimum deǧere ulaşmasıdır.
Kuvvet sabitse sistem üzerinde yapılan iş;
dW ≤ Jdx
dQ = 0
(sürtünmeden dolayı kayıp var.)
18
dE = dW + dQ ≤ Jdx veya d(E
| −
{zJx}) ≤ 0
H
H; entalpi, termodinamik potansiyel.
dH = d(E − Jx) = T dS + Jdx − (Jdx + xdJ)
dH = T dS − xdJ
(1.2.24)
İdeal gaz için; dH = T dS + V dP
> İzotermal ve sıfır iş (T sabit, dW = 0) şartları altında;
dQ ≤ T dS
dE = dQ + dW
⇒
dE = dQ
⇒
dE ≤ T dS
d(E
| −
{zT S}) ≤ 0
A
A = E − T S : Helmholtz serbest enerjisi. Dengede minimum olur.
dA = dE − d(T S) = −SdT + Jdx
> İzotermal ve sabit kuvvet

dQ ≤ T dS 
dE = dQ + dW ≤ T dS + Jdx
dW ≤ Jdx 
d(E
S − Jx}) ≤ 0
| − T{z
G
(1.2.25)
19
G; Gibbs serbest enerjisi. Dengede minimum.
dG = −SdT − xdJ
(1.2.26)
> Kimyasal İş:
dW = µdN
µ : Kimyasal potansiyel
(Kimyasal potansiyel; sisteme o cins parçacıklardan bir tane daha eklemek için yapılması gereken
iş)
Ni : i cinsinden parçacıkların sayısı
Sistem üzerine yapılan iş sıfırsa ve sistem sabit sıcaklıkta ise;
dE ≤ T dS + µdN
⇒
d(E − T S − µN ) ≤ 0
|
{z
}
Grand potansiyel
Grand potansiyel, sistem dengeye gelirken minimuma yaklaşır.
dΦ = −SdT − N dµ
> Helmholtz Serbest Enerji
dA = −SdT − P dV (ideal gaz)
¯
∂A ¯¯
−S =
∂T ¯V
¯
∂A ¯¯
−P =
∂V ¯T
(1.2.27)
20
¯
¯
µ
¶
∂S ¯¯
∂2A
∂
∂A
∂P ¯¯
∂2A
=−
=
−
=
=−
∂V ¯T
∂V ∂T
∂T ∂V
∂T
∂V T
∂T ¯V
Dolayısıyla buradan;
¯
¯
∂S ¯¯
∂P ¯¯
=
∂V ¯T
∂T ¯V
(1.2.28)
1.2.28 daki denklem Maxwell baǧıntılarından birisidir.
Örnek : CP − CV =?
Entropinin, sıcaklıǧın ve hacmin fonksiyonu olduǧunu kabul edelim.
S = S(T, V )
µ
dS =
∂S
∂T
¶
µ
dT
V
∂S
∂V
¶
dV
T
⇒
¯
¶
µ
¶ µ
¶
µ
dS ¯¯
∂S
∂V
∂S
+
=
dT ¯P
∂T V
∂V T ∂T P
¯
¯
dQ ¯¯
dS ¯¯
CP =
=T
dT ¯P
dT ¯P
¯
¯
¯
∂S ¯¯
∂S ¯¯ ∂V ¯¯
=T
+T
∂T ¯V
∂V ¯T ∂T ¯P
| {z }
CV
Denklem 1.2.28 ile verilen Maxwell baǧıntısı kullanılırsa;
¯
¯
∂P ¯¯ ∂V ¯¯
CP − CV = T
∂T ¯V ∂T ¯P
Zincir kuralı;
¯
¯
¯
∂P ¯¯ ∂T ¯¯ ∂V ¯¯
= −1
∂T ¯V ∂V ¯P ∂P ¯T
Bu zincir kuralını kullanırsak (CP − CV ) ifadesini cevap fonksiyonları cinsinden yazmak
mümkün olacaktır:
21
µ
CP − CV = −T
= −T
∂P
∂V
¶ µ
T
1 2
V V
V
|
µ
¶2
∂V
∂T
∂P
∂V
{z
P
¶ µ
T
}|
∂V
∂T
¶2
1
2
V
{zP }
α2P
1/κP
CP − CV =
TV 2
α
κP P
(1.2.29)
III. Kanun :
T = 0’ da bir sistemin entropisi sıfırdır (S(T = 0) = 0). Isı sıǧası biliniyorsa
sistemin entropisi hesaplanabilir.
Z
dQ = T dS
⇒
dQ
T0
S(T ) =
Z
T
=
0
C(T 0 ) 0
dT + S(T = 0)
| {z }
T0
=0
Z
S(T ) =
0
T
C(T 0 ) 0
dT
T0
(1.2.30)
Entropiyi kesin olarak denklem 1.2.30’ den bulmak mümkündür.
1.2.2
Problemler
1) Foton Gazı: Karacisim ışımasının enerjisinin sıcaklıǧın dördüncü kuvvetiyle orantılı olduǧunu
gösteriniz (E(T, V ) ∝ V T 4 ). Carnot çevrimi kullanarak bulunuz.
a) Carnot çevriminde yapılan bu işi dP ve dV nin fonksiyonu olarak bulunuz.
W = W (dP, dV ) =?
22
b) Bir izoterm eǧrisi boyunca sistemin aldıǧı ısıyı(Q) P dV ve E(T, V ) nin
türevi cinsinden bulunuz.
c) Carnot çevriminin veriminden yaralanarak W, Q ve T, dT arasında bir baǧıntı bulunuz.
d) Foton gazının basıncını (P = AT 4 ) kullanarak foton gazının enerjisini bulunuz.
e) Adyabatik eǧriler nedir?
2)
a) Bir süperiletkenin, manyetik alan olmadıǧı koşulda termodinamiǧin III. yasasını kullanarak, süperiletken ve normal fazının entropisini bulunuz.
b) İki faz arasındaki geçiş sıcaklıǧını α, β ve γ nın fonksiyonu olarak bulunuz
(α, β, γ : sabit).
c) T = 0 da Copper baǧlarının oluşması sebebiyle iç enerjide V ∆ kadar bir
düşme gözlenir. Buradan yararlanarak süperiletken faz ve normal faz için
iç enerjiyi hesaplayınız (∆ : Birim hacim için enerji azalması).
d) Her iki fazdaki Gibbs enerjilerini karşılaştırarak ∆ için α, β, γ cinsinden bir
baǧıntı bulunuz.
e) Bir B manyetik alanının varlıǧında süperiletken faz bir diyamanyetik gibi
VB
davranır ve Ms = −
şeklinde bir mıknatıslanma üretir. Bc (T ) =
4π
µ
¶
T2
B0 1 − 2 den daha büyük manyetik alanda süperiletken fazın normal
Tc
faza döndüǧünü gösteriniz.
3) Sıcaklık Skalaları :
İdeal gaz için Carnot çevrimini kullanarak ideal gaz sıcaklık skalası θ ile termodinamik skala T ’nin birbirine eşit olduǧunu kanıtlayınız. İdeal gaz, P V = N kB θ
eşitliǧine uyar ve iç enerjisi E, sadece θ sıcaklıǧının bir fonksiyonudur. Bununla
beraber, E ∝ θ kabulünü yapmak yerine şu yolu da izleyebilirsiniz:
a) QC ve QH ısılarını θH , θC ve hacim terimlerinin fonksiyonu olarak hesaplayınız.
23
b) Adyabatik süreçteki hacimce genişleme katsayısını θ’nın fonksiyonu olarak
hesaplayınız.
c)
QH
θH
=
olduǧunu gösteriniz.
QC
θC
4) Durum Denklemleri :
a) dE = T dS − P dV eşitliǧinden başlayarak durum denkleminin P V = N kB T
olduǧunu ve E’nin sadece T sıcaklıǧına baǧlı olabileceǧini gösteriniz.
b) Sadece sıcaklıǧa baǧlı bir iç enerji ile uyumlu olan bir durum denkleminin
en genel formu nasıl yazılabilir?
c) Van der Waals gazı için ısı kapasitesi CV ’nin sadece sıcaklıǧın bir fonksiyonu
1.3
KLASİK İSTATİSTİKSEL MEKANİK
µ : Bir sistemin belli bir andaki mikroskobik durumu.
Örneǧin; sistemin bütün parçacıklarının momentumları (~
pi ) ve konumları (~ri )
M : Makroskobik durum. Sadece makroskobik gözlenebilirler cinsinden verilir.
Örneǧin; (E, T, V, P ).
Topluluk (ensemble) : Belli bir makroskobik durumla tutarlı mikroskobik durumların
tümü. Her topluluk için mikroskobik durumların daǧılımlarıolmasıgerek. Topluluk
içindeki olasılık daǧılımıPM (µi ) olmak üzere;
X
i
PM (µi ) = 1
24
1.3.1
Mikrokanonik Topluluk
Adyabatik ve mekanik2 olarak izole edilmiş (yalıtılmış) bir sistem düşünelim. Bu
sistemin enerjisi E olsun.
Bu sistemin makrodurumunu M (E, ~x) ile gösterelim. Bu M makrodurumu ile tutarlı olan birçok µi mikrodurumu söz konusu.
H(µi ) = E
olmalı (H:Hamiltoniyen). Yani her mikrodurumda aynı enerjiyi vermesi gerekir.
İstatistiksel mekaniǧin temel varsayımı; tüm mikrodurumlar aynı düzeyde eşit enerjiye sahip. Konfigürasyonlar aynı olasılıkta bulunur.
Dengede E enerjili her mikrodurum eşit olasılıǧa sahiptir. Bu makrodurumla tutarlı olan bütün mikrodurumların sayısı;



1


1
PM (µi ) =
=
Γ(E, ~x) 


 0
H(µi ) = E
H(µi ) 6= E
Γ(E, ~x) : {µ} uzayında H(µi ) = E olduǧu yüzeyin alanı.
H=
X p~2
i
+ U ({~xi })
2m
i
E enerjisi yerine E − ∆ ile E + ∆ aralıǧındaki durumlar söz konusu olabilir. Bu
durumda 6 − N boyutlu momentum uzayında bir kabuǧun hacminden bahsedebiliriz.
Kabuk çok ince ise bir alan olur.
2
Mekanik olarak izole edilmiş : Hacim sabit, iş yapılmıyor.
25
Γ yı kullanarak entropiyi tanımlarsak;
S = kB ln Γ(E, ~x)
(1.3.1)
Entropiyi mikroskobik durumlara baǧlamış olduk.
Bir boyutta hareket eden tek bir parçacıǧın enerjisinin sabit olduǧu durumlara
bakalım. Parçacık L boyunda bir kutunun içerisinde sınırlandırılmış olsun.
Şekil 1.10:

 0
V (x) =
 ∞
|x| ≤ L
|x| > L
Bu uzayda H(p, x) = E olduǧu durumları bulmaya çalışalım.
E = H(p, x) =
p2
+ V (x)
2m
⇒
p2 = 2mE
26
İki parçacık varsa;
p21
p2
+ 2 =E
2m 2m
⇒
p21 + p22 = 2mE
Şekil 1.11:
Uzay, yarıçapı
√
2mE olan bir çember olur. Bu çember üzerindeki tüm noktalar
girilebilir. Her noktanın enerjisi E’ dir.
Termodinamiǧi bu mikrokanonik topluluktan yeniden türetmeye çalışalım.
Termodinamǧin Yeniden Türetilmesi
0. Kanun :
Alt sistem dışarıyla sadece ısı alış-verişinde bulunabilir.
E = E1 + E2 = sabit
(E2 = E − E1 )
27
Şekil 1.12:
Toplam Γ yüzeyinin alanına bakalım. (1) ve (2) nolu alt sistemlerin olası mikrodurumları üzerinden yüzey alanını yazmaya çalışalım.
Z
Γ(E) =
dE1 Γ1 (E1 )Γ2 (E2 )
(1.3.2)
(1) nolu sistemin enerjisi deǧiştiǧinde (2) nolu sistemin enerjisinin tüm olası durumlarınıhesaba katıyoruz, olası tüm konfigürasyonları hesaplıyoruz. Bu integrali hesaplamak için Saddle-Point yöntemini kullanacaǧız.
Saddle-Point Metodu :
İlk önce toplamlar için Saddle-Point yöntemine bakalım. Örneǧin
X
eN φ(xi )
i
toplamına bakalım (N : makroskobik sistemdeki parçacık sayısı). Bu toplamın içndeki
φ(xi ) lerden büyük olan φ(xmax ) terimini dışarı alalım.
X
i
X
eN φ(xi ) = eN φ(xmax ) {1 +
eN [φ(xi )−φ(xmax )] }
i6=imax
|
{z
N À ise =0olur.
}
28
İntegrale bakalım;
Z
I=
Z
N φ(x)
dxe
=
¯
¯
µ ·
¸¶
dφ ¯¯
1 d2 φ ¯¯
∗
∗
∗ 2
dx exp N φ(x ) +
(x − x ) +
(x − x )
dx ¯x∗
2 dx2 ¯x∗
φ(x) i minimum ya da maksimum civarında açıyoruz. Bu nedenle birinci düzeltme
d2 φ
terimi
dir.
dx2
Şekil 1.13:
I = eN φ(x
¶
µ
|φ00 |
(x − x∗ )2
dx exp −N
2
Gauss integrali;
Z
Z
∗)
→
r
+∞
e
π
a
(1.3.3)
2π N φ(x∗ )
e
N |φ00 |
(1.3.4)
−ax2
dx =
−∞
O halde;
Gaussian bir integral
s
I=
olur. Buna Saddle-Point integrasyonu denir.
Denklem 1.3.2 ile verilen Γ(E) nın logaritmasına bakalım.
Z
S = kB ln Γ(E) = kB ln


1 

dE1 exp {S1 (E1 ) + S2 (E2 )} 
|
{z
} kB
j
29
(S1 (E1 ) = kB ln Γ1 (E1 ))
Saddle pointe göre j ile belirtilen parantez içini maksimum yapan deǧer integral dışında
yazılabilir.
·
µ
¶¸
1
∗
∗
S = kB ln exp {S1 (E1 ) + S2 (E2 )}
kB
Yukarıda E2∗ = E − E1∗ yazdık.
Toplamı maksimize eden enerjiyi E1∗ civarında seri açalım.
∂
(S1 (E1 ) + S2 (E − E1 ))|E1 =E ∗ = 0
1
∂E1
¯
¯
∂S1 ¯¯
∂S2 ¯¯
−
=0
∂E1 ¯∗ ∂E2 ¯∗
⇒
1
1
=
T1
T2
⇒
⇒
¯
¯
∂S1 ¯¯
∂S2 ¯¯
=
∂E1 ¯∗
∂E2 ¯∗
T1 = T2
0. kanun bulundu. Denge durumunda sıcaklıkların eşit olması gerekir.
I. Kanun :
Denge durumundaki dönüşümlere bakacaǧız. Hacmi biraz deǧiştirip (δx kadar)
entropideki deǧişime bakalım.
δ~x
→
S(E, ~x)
dW = Jdx
~ x, ~x + d~x) − S(E, ~x)
∆S = S(E + Jd~
Çok küçük deǧişimler olduǧu için Taylor açılımı yapılır:
¯
¯
∂S ¯¯ ~
∂S ¯¯
∆S = S(E, ~x) +
J · d~x +
d~x − S(E, ~x)
∂E ¯~x
∂~x ¯E
Eǧer E ve ~x bir denge noktası ise birinci dereceden düzeltmeler sıfır verir. İlk düzeltmeler
30
ikinci dereceden gelir.



¯
¯ 
 ∂S ¯
¯ 

¯ J~ + ∂S ¯  δx = 0
 ∂E ¯
∂~x ¯E 
| {z ~x}

⇒
¯
∂S ¯¯
J~
− =
T
∂~x ¯E
1
T
S = S(E, ~x)
⇒
¯
¯
∂S ¯¯
∂S ¯¯
dE +
d~x
dS =
∂E ¯~x
∂~x ¯E
¯
∂S ¯¯
J~
dE
J~
dS =
dE
−
d~
x
=
−
d~x
∂E ¯~x
T
T
T
~ x
dE = T dS + Jd~
(1.3.5)
II. Kanun :
İki sistem olsun:
Γ1 (E1 , ~x1 ),
Γ2 (E2 , ~x2 )
(1) ve (2) sistemleri temas haline geçsin. Enerji alışverişi başlasın. Dolayısıyla E1 ve
E2 deǧişecek.
Yeni durum;
Γ1 (E1∗ , ~x1 ) · Γ2 (E2∗ , ~x2 )
(E1 + E2 = E1∗ + E2∗ )
Yeni durumun mikrodurumu çok daha fazladır.
Z
dE1 Γ1 (E1 , ~x1 )Γ2 (E2 , ~x2 )
Saddle-Point teroreminden
Γ = Γ1 (E1∗ , ~x1 )Γ2 (E2∗ , ~x2 )
31
Entropi deǧişimi;
δS = S1 (E1∗ ) + S2 (E2∗ ) − S1 (E1 ) − S2 (E2 ) ≥ 0
Dengeye gelmeden hemen önceki duruma baktıǧımızı kabul edelim. Yani E1 ile E1∗ , E2
ile E2∗ arasındaki fark çok küçükse (S1 (E1∗ ) ' S1 (E1 ),
S2 (E2∗ ) ' S2 (E2 ));
¯
¯
∂S2 ¯¯
∂S1 ¯¯
δE1 +
δE2 ≥ 0
δS =
∂E1 ¯x~1
∂E2 ¯x~2
δE2 = −δE1
µ
¶
1
1
−
δE1 ≥ 0
T1 T2
⇒
Bu denklem enerji transferinin yönü hakkında bilgi verir.
δE1 ≥ 0 ise ((1). sistem enerji almışsa) T1 < T2 olur. T1 sıcaklıǧındaki (1). sistem
soǧuk sistem olur. Yani enerji sıcaktan soǧuǧa akar.
III. Kanun :
S(T = 0) = 0
⇒
Γ(T = 0) = 1
Yani T = 0 da tek bir durum sözkonusu. Temel durum 1 tane olmalı.
Örnek : V hacimli bir kutu içerisindeki ideal gaz:
H=
X |~
pi |2
i
2m
+ U (~xi )
Potansiyel terimini tanımlayalım;

 0
U (~xi ) =
 ∞
{~xi } ∈ V
{~xi } 3 V
Parçacıkların toplam enerjilerinin E’ ye eşit olduǧu alan (6N boyutlu uzayda) ne
32
kadardır?
Z
d3N pd3N x δ (H({~
pi , ~xi }) − E)
Γ(E) =
Bu ifade, Γ uzayında sabit enerji yüzeyinin alanına karşılık geliyor.
Noktalar hacim içerisinde olduǧu sürece x’ lerin katkısı sıfırdır (hacim içinde U (~xi ) =
0).
µ
Z
Γ(E) =
3N
d
pδ
|~
pi |2
−E
2m
¶Z
d3N q
Z
P
{~qi } ∈ V
pi |2
i |~
d3N q = V N
⇒
= 2mE
→
3N boyutlu uzayda yarıçapı
(
)
3N/2
2π
¢ (2mE)3N/2−1
d3N p = V N ¡ 3N
P 2
−
1
!
pi =2mE
2
|
{z
}
Z
Γ(E) = V N
√
2mE olan kürenin yüzeyi
S3N
(
P
p2i = 2mE :
√
2mE yarıçaplı 3N boyutlu kürenin yüzey alanı
S3N : 3N boyutlu birim yarıçaplı kürenin yüzey alanı)
Γ(E) ' V N (2mE)3N/2 S3N
S(E, V, N ) = kB ln Γ(E, V, N )
h
i
S
= N ln V (2mE)3/2 + ln S3N
kB
(
)
¶
µ
2π 3N/2
3N
3/2
ln S3N = ln ¡ 3N ¢
!
= N ln π − ln
2
2 !
| {z }
ln N ! = N ln N − N : Stirling yaklaşımı
Stirling yaklaşımını Saddle-point integrasyonu ile gösterebiliriz:
Z
0
∞
xn e−x dx = n!
(1.3.6)
33
Ã
ln S3N = N ln
π 3/2 3/2
e
N 3/2
!
⇒
" µ
¶ #
S
4eπmE 3/2
= N ln V
kB
3N
(1.3.7)
Entropiyi kullanarak termodinamik potansiyelleri bulabiliriz. Örneǧin enerjiyi bulalım.
¯
3N
1
∂S ¯¯
=
= kB
T
∂E ¯V,N
2E
⇒
3
E = N kB T
2
(1.3.8)
Durum Denklemi :
dE = T dS − P dV
Sabit E altında T dS = P dV olur.
¯
P
∂S ¯¯
kb N
=
=
T
∂V ¯E,N
V
⇒
P V = N kB T
Bu ifade, sadece ideal gaz için geçerli olan durum denklemidir.
Gibbs Paradoksu
T sıcaklıǧında iki tane gaz örneǧi olsun: N1 , V1 , T ; N2 , V2 , T
Şekil 1.14:
İki farklı cins gaz atomu. Parçacıklar karışınca, aradaki engel kalkar, entropinin
artması gerekir.
34
Sistemler birleşmeden önceki ve sonraki enerji farkı;
∆E = E1+2 − E1 − E2
=
3
3
3
(N1 + N2 )kB T − N1 kB T − N2 kB T = 0
2
2
2
Entropi;
∆S = S1+2 − S1 − S2


µ
¶3/2
4eπmE

S(E) = N kB ln V
3N
|
{z
}
Bu denklemdeki ln ifadesi toplam olarak yazılırsa entropi farkı alınırken parantez içerisindeki
ifadeden herhangi bir katkı gelmez.
∆S = (N1 + N2 ) ln(V1 + V2 ) − N1 ln V1 − N2 ln V2
³
= N1 ln
V
V1
´
³
+ N2 ln
V
V2
´
≥0
(V = V1 + V2 )
Bu denklem farklı gazlar için doǧrudur. Fakat; aynı gazlar için problemlidir. İki gaz
aynı parçacıklardan oluşuyorsa makroskobik olarak ayırtedilemezlik problemi ortaya
çıkar.
Bir konfigürasyonda aynı tip iki atomun yeri deǧiştokuş edildiǧinde konfigürasyonu
iki defa saymış oluruz.
N tane atom varsa N ! kadar fazla saymış oluruz.
Bunu
düzeltmek için Γ → Γ/N ! yazılır. Bu durumda;
S
kB
→
"
S
− N ln N
kB
V
S = N kB ln
N
µ
4πmeE
3N
¶3/2 #
Entropi doǧru tanımlandı. Doǧru entropi tanımı extensive olmalı.
(1.3.9)
35
Kontrol : (N1 , V1 ) + (N2 , V2 ) aynı cins gazlar, sabit T , sabit P
P : sabit
N1
N2
N1 + N2
=
=
=α
V1
V2
V1 + V2
→
∆S
= (N1 + N2 ) ln
kB
µ
V1 + V2
N1 + N2
¶
− N1 ln
V1
V2
− N2 ln
N1
N2
∆S
= (N1 + N2 ) ln α − N1 ln α − N2 ln α = 0
kB
saǧlandı. Buraya kadar ilk düzeltmeydi.
İkinci düzeltme :
Γ=
R
d3N pd3N q
→ birimlerden kurtarılmalı. Γ bir sayı olmalı.
Γ
→
Γ/h3N
Sonuç olarak;
1
Γ=
N!
Z
h : birimi (p, q)
1
h3N
d3N pd3N q
yazılmalı.
1.3.2
Kanonik Topluluk
Burada T, V, N sabit olup N → ∞ için mikrokanonik sonuçla uyumludur. Makrosistemi farklı termodinamik nicelikler cinsinden tanımlayacaǧız.
Dışarıdan izole edilmiş bir sistem ele alalım. Bu sistemin enerjisi Etoplam olsun.

 1
1
P (µS+R ) =
=
ΓS+R (Etoplam )  0
HS + HR = E
HS + HR 6= E
36
Şekil 1.15:
Küçük sistemin mikrodurumunu bulalım.
P (µS ) =
X
P (µS+R ) =
µR
ΓR (Etop − HS (µS ))
∝ ΓR (Etop − HS (µS ))
ΓR+S (Etop )


∝e
1
kB
SR (Etop −HS )
¯

 1
1 ∂SR ¯¯


H
= exp  SR (Etop ) −
S
kB ∂ER ¯x

 kB
| {z }
1/TR
∝ e−HS /(kB TR )
Topluluk büyük bir rezervuar ile temas halinde olduǧu için farklı mikrodurumlar farklı enerjilerle karşımıza çıkıyor.
Yeni topluluktaki bir mikrodurumun olasılıǧı:
e−HS /(kB T )
−HS /(kB T )
{µS } e
P (µS ) = P
Z=
X
{µS }
e−H(µS )/(kB T )
Bölüşüm fonksiyonu
37
Mikrodurumlar {~
pi , ~qi } seti ile verilsin.
Z=
1
N!
¶
Z Y
N µ 3
d pi d3 qi −H(qi ,pi )/kB T
e
h3
i=1
Bölüşüm fonksiyonunu bütün enerjiler üzerinden bir toplam olarak yazalım.
Z=
X
Γ(ε)e−ε/kB T
Γ(ε) : ε enerjili düzeylerin sayısı
ε
=
X
Γ(ε)eS(ε)/kB −ε/kB T
ε
Yine Saddle-point yöntemine başvuralım:
Z=
X
Γ(ε)eF (ε)/kB
F (ε) = ε − T S(ε)
ε
A yı maksimize ya da minimize eden ε deǧerini seçelim:
Z(T, ~x, N ) = e−A(T,~x,N )/kB T ≡ Helmholtz Serbest Enerjisi
A = F (ε∗ )
Soru : A ile termodinamikten bildiǧimiz serbest enerji aynı mıdır?
1=
X
{µ}
eβ(A(T,~x)−H)
β=
1
kB T
β ya göre türev alalım:
0=
X·
{µ}
¯ ¸
∂A ¯¯
eβ(A−H)
A(T, ~x) − H + β
∂β ¯x
(1.3.10)
38
β
∂A
∂A ∂T
1 ∂A
=β
=−
∂β
∂T ∂β
kB β ∂T
⇒
¯
∂A ¯¯
A(T, ~x) − E −
=0
kB β ∂T ¯x
1
¯
∂A ¯¯
A(T, ~x) = E + T
∂T ¯x
¯
∂A ¯¯
= −S
∂T ¯x
⇒
A = E − TS
Eǧer A Helmholtz enerjisi ise;
E = T dS − P dV
d(E
| −
{zT S}) = −SdT
A
Sistemin enerjisi sabit deǧil deǧişiyor.
A = −kB T ln Z
Ortalama enerji;
P
E = hHi =
−βHS
{µS } HS e
P −βH
S
e
Basınç;
¯
¯
∂ ln Z ¯¯
∂A ¯¯
= kB T
P =−
∂V ¯T
∂V ¯T
Enerji Salınımları:
P
=
{µS } HS e
Z
−βHS
=−
∂ ln Z
∂β
39
Enerji ortalama deǧerinden ne kadar sapmaya uǧrar?
h(H − hHi)2 i = hH 2 i − hHi2

2
1 X 2 −βHS  1 X
=
HS e
−
HS e−βHS 
Z
Z
{µS }
{µS }
·
1 ∂Z
1 ∂2Z
−
=
2
Z ∂β
Z ∂β
¸2
·
¸
∂ 1 ∂Z
∂ 2 ln Z
=
=
∂β Z ∂β
∂β 2
| {z }
∂ ln Z
∂β
∂ ln Z
= −hHi = E
∂β
⇒
h(H − hHi)2 i = −
∂E ∂T
∂E
=−
= kB T 2 Cx
∂β
∂T ∂β
Cx : Isı sıǧası, sistemdeki enerji salınımları hakkında bilgi verir.
Şekil 1.16:
σ=
p
h(H − hHi)2 i =
√
1
N
Göreceli enerji salınımları ∝
=√
N
N
p
kB T 2 Cx ∝
√
N
40
Kanonik topluluk N → ∞ için mikrokanonik ile aynı olur.
Gaussian daǧılımı;
2
2
e−x /2σ
P (x) = √
2πσ 2
µ
¶
(ε − hHi)2
1
p
P (ε) = exp −
2
2kB T Cx
2πkB T 2 Cx
N → ∞ iken P (ε) → δ(ε) olur.
UYGULAMA
Soru : Entropiyi neden ln li bir fonksiyon olarak alıyoruz?
Mikrodurum sayısı; Γ1 (E1 )Γ2 (E2 ) ,
E2 = E − E1
E1 in hangi deǧeri için Γ1 maksimum oluyor?
¯
∂Γ1 (E1 ) ¯¯
∂Γ2 (E2 ) ∂E2
Γ2 (E2∗ ) + Γ1 (E1∗ )
∂E1 ¯E1 =E ∗
∂E2 ∂E1
1
|{z}
=−1
(E1∗ : mikrodurum sayısını maksimum yapan enerji deǧeri)
Yukarıdaki denklemi
1
ile çarpıp düzenlersek;
Γ1 Γ2
∂Γ1 1
∂Γ2 1
=
∂E1 Γ1
∂E2 Γ2
β1 =
∂ ln Γ1
∂ ln Γ2
=
= β2
∂E1
∂E2
→
denge koşulu
41
Küçük farklar halinde yazarsak;
∆ ln Γ
∆ ln Γ ∆S
=
=β
∆E1
∆S |{z}
∆E
1/T
∆S
1
=
∆(ln Γ)
βT
⇒
∆S = kB ∆(ln Γ)
(1.3.11)
n Boyutlu Hiperküre :
x21 +x22 +. . .+x2n = r2 olacak şekilde bir küre tanımlayabiliriz. Bu kürenin diferansiyel
hacmi;
Z Z
V =
Z
dx1 dx2 dx3 . . . dxn
...
x21 +x22 +...+x2n =r2
Hacim, uzayın boyutuyla orantılıdır. n boyuttaki bir hacim için;
Vn = cn Rn
cn : uzayın boyutuna baǧlı bir sabit.
ya da
Z
Vn =
R
Sn dr
Sn : alan
0
Yüzey alanı için şu baǧıntıyı yazabiliriz:
Sn =
dVn (r)
= ncn rn−1
dr
ZR
Z Z
ZR
⇒
Vn =
ncn r
0
n−1
rn−1 dr =
dr = ncn
0
Z
...
dx1 dx2 dx3 . . . dxn
x21 +x22 +...+x2n =r2
(1.3.12)
Kartezyen koordinatları küresel koordinatlara çevirmek gerek. 1.3.12 denkleminin
42
saǧ tarafını küresel koordinatlara çevireceǧiz.
Z
Z
rn−1 drdΩn−1
dx1 . . . dxn =
ZR
(1.3.13)
rn−1 dr
= ncn
0
Örneǧin 3-boyutta
dV = r2 dr sin θdθdφ
Bütün açılar üzerinden alınan integral o integralin önündeki katsayıyı verir. n − 1
tane açı tanımlıyoruz.
1.3.13 denkleminden;
Z
dΩn−1 = ncn
buluruz.
Şöyle bir fonksiyon alalım:
2
2
2
e−(x1 +x2 +...+xn ) = e−r
+∞
Z
+∞
Z
...
−∞
e
e
−∞
|
Z∞
−(x21 +x22 +...+x2n )
{z
√
π
dx1
+∞
Z
e
−∞
}|
dΩn−1 e−r
2
0
+∞
Z
−x21
Z
rn−1 dr
dx1 . . . dxn =
−∞
+∞
Z
2
−x22
dx2 . . .
{z
}
√
π
e
−∞
|
Z∞
−x2n
{z
√
2
rn−1 e−r dr
dxn = ncn
}
π
|0
{z
I
I ile tanımlanan integral ifadesine kısmi integrasyon uygulanırsa;
1 ³n´
I= Γ
2
2
}
(1.3.14)
43
elde edilir. 1.3.14 denklemini yeniden düzenlersek;
1 ³n´
π n/2 = ncn Γ
2
2
n
2Γ
¡n¢
2
=Γ
¡n
2
¢
+ 1 olduǧuna göre;
cn =
π n/2
¡n
¢
Γ 2 +1
(1.3.15)
Hacim;
V = cn rn =
π n/2 rn
¡
¢
Γ n2 + 1
(1.3.16)
Yüzey alanı;
π n/2
¢ rn−1
Sn = n ¡ n
Γ 2 +1
denklemini 2 ile çarpıp bölersek
2 n2 π n/2 n−1
¢r
Sn = ¡ n
Γ 2 +1
Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)!
eşitliǧini yüzey alanı için yazdıǧımız denklemde kullanıp yeniden düzenlersek;
2π n/2 rn−1
¢
Sn = ¡ n
2 −1 !
elde ederiz.
Bu kürede ince bir kabuk alalım. Bu ince kabuǧun hacminin bütün küre hacimine
oranı ne olur?
∆Vn
=?
Vn
Bu oran yarıçaplarla orantılı olduǧu için;
·
¸
·
¸
∆Vn
r0n − (r0 − ∆r)n
r0 − ∆r n
∆r n
=
=1−
=1− 1−
Vn
r0n
r0
r0
44
Şekil 1.17:
limn→∞
∆Vn
=1
Vn
Bu durumda sadece kabuk yüzeyine yakın mikrodurumlar yeterli. E0 ile E0 + ∆E
aralıǧındaki mikrodurumları almak yeterli.
1.3.3
Problemler
1) Klasik Harmonik Osilatör : Bir boyutta salınım yapan N tane harmonik osilatorden oluşan sistemin mikro durum sayısı(Γ(E, N )), entropisi (S), enerjisi (E)
ve ısı kapasitesi (C) nedir?
2) Harmonik Salınıcılar Sistemi : N tane baǧımsız ve ayırdedilebilir kuantum mekaniksel
harmonik salınıcıdan oluşan bir sistemi göz önüne alınız.
H({ni }) =
N
X
i=1
µ
¶
1
~ω ni +
2
a) Sistemin entropisini toplam enerjinin bir fonksiyonu olarak bulunuz. (S(E))
b) Sistemin T sıcaklıǧını hesaplayınız, enerjiyi ve ısı kapasitesini T ve N nin
fonksiyonu olarak yazınız.
c) Salınıcıların herhangi bir n. düzeyde bulunma olasılıǧını hesaplayınız.
3) Hiperküre : N parçacıktan oluşan bir sistemin hacminin
ÃN
Y
Z
V3N =
0≤
PN
i=1 ri ≤R
i=1
!
4πri2 dri
=
(8πR3 )N
(3N )!
45
olduǧunu gösterin. Bu eşitliǧi kullanarak üç boyutta hareket eden N parçacıklı ve
E = pc enerjili ekstrem rölativistik gazın sıcaklıǧını, basıncını ve ısı kapasitesini
hesaplayınız.
4) Serbest Parçacık : Bir boyutta hareket eden bir parçacıǧın hareketi,

 0,
u(x) =
 ∞,
0<x<L
diǧer durumlar
potansiyeli ile sınırlandırılıyor. Kanonik topluluk formalizmini kullanarak parçacıǧın
bölüşüm fonksiyonu Z(T, L) için bir eşitlik yazınız.
Kanonik Topluluk - İdeal Gaz
H=
N
X
|~
pi |2
i=1
Z(T, V, N ) =
1
h3N N !
VN
= 3N
h N!
VN
= 3N
h N!
+ U (~qi )
2m
Z Y
N
d~
pi d~qi e−βH({~pi ,~qi })
i=1
Z
d~
p1 d~
p2 . . . d~
pN e
N
P
−β
i=1
Z
Z
d~
p1 e
|
|~
pi |2
2m
−|~
p1 |2 /(2mkB T )
2 /(2mk
d~
p2 e−|~p2 |
}|
{z
{z
I
=
BT )
...
}
I
VN N
I
h3N N !
(1.3.17)
Z
I=
2
2
2
dpx dpy dpz e−(px +py +pz )/(2mkB T ) = (2πmkB T )3/2
eşitliǧini 1.3.17 denkleminde yerine yazarsak;
1 N
Z(T, V, N ) =
V
N!
µ
2πmkB T
h2
¶3N/2
46
eşitliǧini elde ederiz.
T sıcaklıǧındaki m kütleli bir parçacık için termal dalgaboyu:
h
λ(T ) = √
2πmkB T
⇒
Z(T, V, N ) =
1
N!
µ
(1.3.18)
V
λ3
¶
(1.3.19)
Bu denklem ideal gaz için kanonik bölüşüm fonksiyonudur.
V
: V hacmi içerisinde tek bir ideal gazın alabileceǧi durum sayısı olarak tanımlayabiliriz.
λ3
Serbest enerji;
A(T, V, N ) = −kB T ln Z = −N kB T
µ
A(T, V, N ) = −N kB T ln
Entropi;
Ve
N λ3
½ µ ¶
¾
V
ln
−
ln
N
+
1
λ3
¶
¯
µ
¶
∂A ¯¯
Ve
3N kB T ∂λ
S=−
= N kB ln
−
¯
3
∂T V,N
Nλ
λ
∂T
1.3.18 denkleminden;
⇒
∂λ
1
=− λ
∂T
2T
µ
¶
Ve
3
S = N kB ln
+ N kB
N λ3
2
=−
⇒
A E
A 3
+ N kB = − +
T
2
T
T
A = E − TS
47
İç enerji;
·
µ
¶¸
∂lnZ
∂
eV
E=−
=−
N ln
∂β
∂β
N λ3
·
µ
¶¸
∂
eV
∂T
=−
N ln
∂T
N λ3
∂β
Parantez içerisindeki ifadenin türevine bakalım:
∂
−N
ln
∂T
µ
eV
N λ3
¶
∂
= −N
ln
∂T
µ
1
λ3
∂
3N ∂λ
3N
= 3N
ln λ =
=
∂T
λ ∂T
λ
=−
⇒
E=−
¶
=N
∂
ln λ3
∂T
µ
¶
λ
−
2T
3N
2T
3 N ∂T
3N
=−
(−kB T 2 )
2 T ∂β
2T
3
E = N kB T
2
Durum denklemi:
Bunun için P − V ilişkisine bakmalıyız.
¯
∂A ¯¯
N kB T
P =−
=
¯
∂V T,N
V
P V = N kB T
İdeal gaz için kimyasal potansiyel:
¯
A
∂A ¯¯
E − TS PV
=
µ=
+ kB T =
+
∂N ¯T,V
N
N
N
E = T S − P V + µN
(1.3.20)
48
dE = T dS + SdT − P dV − V dP + µdN + N dµ
µ
A = −N kB T ln
V e
N λ3
(1.3.21)
¶
Serbest enerji ifadesini kimyasal potansiyel eşitliǧinde kullanırsak:
µ
µ = −kB T ln
Ve
N λ3
¶
µ
+ kB T = −kB T ln
µ
µ = kB T ln
N λ3
V
V
N λ3
¶
¶
(1.3.22)
Bu sistem için;
dE = dQ + dW = T dS − P dV + µdN
1.3.21 denklemi ile bu denklemi karşılaştırırsak;
T dS + SdT − P dV − V dP + µdN + N dµ = T dS − P dV + µdN
⇒ SdT − V dP + N dµ = 0
1.3.21 denkleminde gelen ek terimler sıfırdır.
1.3.4
Grand Kanonik Topluluk
Bu sistemlerde parçacık alışverişi sözkonusu. Isı banyosu ile sistem arasında ısı alışverişi
var.
Toplam hacim : V = VR + VS
Toplam parçacık sayısı : N = NR + NS
49
Şekil 1.18:
Kanonik bölüşüm fonksiyonu;
Z
ZN (T, V ) =
d3N qd3N p −β(HR +HS )
e
N !h3N
(1.3.23)
H = HR + HS : Toplam Hamiltoniyen
Kabul : Toplam Hamiltoniyen, ısı banyosundaki parçacıkların konum ve momentumları ile sistemin konum ve momentumlarının bir toplamıdır. Yüzey terimlerini ihmal
ediyoruz.
Z
1
d3N qd3N pe−βH(q,p)
ZN (T, V ) =
N !h3N
Z
1
ZN (T, V ) =
d3N qd3N pe−β(HR +HS )
N !h3N
(1.3.24)
Kaç parçacık sistemde, kaç parçacık ısı banyosunda belli deǧil. Bu nedenle tüm
parçacıklar üzerinden toplam alınır.
Z
Z
N
X
1
N!
3NS
3NS
−βHS
Z=
d
qS d
pS E
× d3NR qR d3NR pR e−βHR (1.3.25)
N !h3N
NS !NR !
NS =0
Burada N tane parçacık içinden NS tanesini kaç farklı şekilde seçebileceǧimizi hesaba
katmak için eşitliǧi NS !NR ! ile böldük.
50
ZNR (VR , T ) =
1
NR !h3NR
Z
dq 3NR dp3NR e−βHR
(1.3.26)
1.3.26 eşitliǧini 1.3.25 eşitliǧinde kullanarak grand kanonik topluluk için olasılık baǧıntısı şu
şekilde yazılır:
P ({p~S , q~S }, NS ) =
e−βHS
ZNR (VR , T )
NS !h3NS
(1.3.27)
Toplam olasılık 1’e normalize edilirse,
P ({p~S , q~S }, NS ) =
e−βHS
NS !h3NS
ZNR (VR , T )
ZN (T, V )
(1.3.28)
ZN (T, V ) = e−βA(N,T,V )
(1.3.29)
ZNR (T, VR ) = e−βA(N −NS ),T,(V −VS )
(1.3.30)
Isı banyosu için,
Isı banyosunun, sisteme göre çok büyük olduǧunu kabul ediyoruz:
h
i
∂A
∂A
−β A(N,T,V )−NS ( ∂N
)T,V −VS ( ∂V
)N,T
ZNR (T, VR ) = e
(1.3.31)
1.3.29 ve 1.3.31 eşitlikleri 1.3.28’da kullanılırsa,
P ({p~S , q~S }, NS ) =
e−βHS +βµNS +βP VS
NS !h3NS
(1.3.32)
Sistemin hacmi sabit (βP VS = sbt), parçacık sayısı (βµNS ) ve enerji (βHS ) deǧişken
51
olduǧu için olasılık,
P ∝
e−βHS +βµNS
NS !h3NS
(1.3.33)
olarak elde edilir.
Normalizasyon terimi;
N
X
d3NS qS d3NS pS −βHS +βµNS
Ξ=
e
NS !h3NS
(1.3.34)
NS =0
Standart uygulama : z = eβµ seçelim.
N
X
z NS e−βHS
Ξ=
NS !h3NS
(1.3.35)
{NS }
Bu eşitlikte iki çeşit toplam vardır ve z NS teriminde konum ve momentum baǧlılıǧı yoktur.
Ξ=
N
X
Z
z
NS
NS
d3N qS d3N pS −βHS
e
NS !h3NS
(1.3.36)
Böylece kanonik bölüşüm fonksiyonu cinsinden grand kanonik bölüşüm fonksiyonu;
Ξ(µ, T, V ) =
N
X
z NS Z(NS , T, VS )
(1.3.37)
NS =0
Sistemde NS tane parçacık olma olasılıǧı;
P (NS ) = PN
z NS Z(NS , T, V )
NS Z(N , T, V )
S
NS =0 z
(1.3.38)
52
Ortalama parçacık sayısı;
hNS i =
N
X
PN
βµNS Z(N , T, V
S
NS =0 NS e
NS P (NS ) =
)
Ξ
NS =0
µ
=
∂ ln Ξ
∂(βµ)
¶
(1.3.39)
T,V
Parçacık Sayısındaki Dalgalanmalar
∂
∂ 2 ln Ξ
h(NS − < NS >) i =
=
∂(βµ)2
∂(βµ)
µ
2
σ∼
∂ ln Ξ
∂(βµ)
¶
=
∂ < NS >
∂(βµ)
(1.3.40)
p
NS
1
σ
∝√
NS
NS
Termodinamik limitte (NS → ∞) için σ/NS → 0 olur. Bu limitte kanonik ve grand
kanonik topluluklar için elde edilen her sonuç özdeş olur.
N
X
Ξ(µ, T, V ) =
eβµNS Z(NS , T, V )
(1.3.41)
NS =0
1.3.41 eşitliǧine ”Saddle-Point” yöntemini uygulayalım.
∗
∗
eβµNS −βA(NS ,T,V ) = e−β(E−T S−µN
Ξ = e−βΦG
∗)
(1.3.42)
(1.3.43)
ΦG = E − T S − µN = −P V : Grand Potansiyel.
dΦG = −P dV − SdT − N dµ
(1.3.44)
53
µ
¶
∂ΦG
=
−
∂T V,µ
S
µ
P
=
µ
N
=
∂ΦG
∂V
∂ΦG
∂µ
¶
(1.3.45)
T,µ
¶
V,T
Grand Kanonik Kümede İdeal Gaz
Z
∞
PN
X
eβµN
2
Ξ(T, V, µ) =
d3N qd3N pe−β i=1 Pi /2m
N!
(1.3.46)
N =0
İntegralin sonucu kanonik bölüşüm fonksiyonunu verir.
Ξ(µ, V, T ) =
∞
X
eβµN
N =0
1
N!
µ
V
λ3
¶N
=
µ
¶N
∞
X
1 eβµ V
βµ
3
= ee V λ
N!
λ3
(1.3.47)
N =0
ΦG = −kB T ln Ξ = −kB T
eβµ V
= −P V
λ3
(1.3.48)
1.3.48 eşitliǧinden;
P =
kB T βµ
e
λ3
(1.3.49)
Bu eşitliǧi kimyasal potansiyel cinsinden deǧil de parçacık sayısı cinsinden yazsaydık
P V = N kB T eşitliǧini elde ederdik.
Parçacık sayısı:
¶
µ
V
∂ΦG
= eβµ 3
N= −
∂µ T,V
λ
(1.3.50)
54
1.3.49 ve 1.3.50 eşitlikleri birleştirilirse,
P =
kB T N
⇒ P V = N kB T
V
(1.3.51)
ile verilen ideal gazın durum eşitliǧi elde edilir.
Kanonik kümede parçacık sayısı sabit olduǧu için bölüşüm fonksiyonunu hesaplamak çoǧu zaman zordur bu nedenle grand kanonik kümede, parçacık sayısının deǧişken
olması daha basit bir matematiksel yaklaşım kullanmamızı saǧlar.
1.3.5
Problemler
1) Bir boyutlu polimer : Esnek, bir boyutlu bir polimer, N monomerden her biri
yatay veya dikey olacak şekilde modellenebilir.
Monomer uzunluklarıyatay durumda a, dikey durumda sıfır olsun.
a) Polimerin boyu L iken entropisi nedir? (L = mN a)
b) Entropiyi maksimize ederek polimerin tipik uzunluǧunu (L∗ ) bulunuz.
c) Enerji terimi olmadıǧıiçin sabit sıcaklıkta serbest enerji A = −T S ile verilir.
L → L∗ + 4L için gerilimi hesaplayınız ve yay sabitini bulunuz.
2) Clausius-Clapeyron Denklemi: Kaynama sıcaklıǧının basınca baǧlılıǧınıgösteren
bir denklemdir. Bir mol su kullanan bir Carnot makinası düşünelim. Sabit (P, T )
ile L gizli ısısı girişiyle, su buhara çevrilsin (hacim artacak). Ardından basınç,
adyabatik olarak (P − dP )’ye düşürülsün. (P − dP, T − dT )’de buhar yeniden
yoǧunlaşsın (bkz. Şekil 1.19).
a) (P, T ) ve (P − dP, T − dT )’de ayrıayrıµsu = µbuhar olmalı.
hacim farkları cinsinden yazın.(Vsıvı = 0 alın)
dP
dT ’yi
entropi ve
55
Şekil 1.19:
¯ = V dP olduǧunu gösteriniz.
b) Bir döngüde yapılan işin dW
c) η = 1 −
TC
TH ’den,
Clausius-Clapeyron denklemini elde ediniz:
dP
L
=
dT
TV
1.3.6
Etkileşen Parçacıklar
Önceki kısımlarda etkileşmeyen parçacıklardan oluşan sistemleri ele almıştık. Bu
kesimde parçacıklar arasındaki etkileşimleri ve bu etkileşimlerin istatistiksel mekanikteki rolünü anlamaya çalışacaǧız. Bu tip sistemler için en genel Hamiltoniyen;
HN =
N
X
|P~i |2
i=1
2m
+ U (~q1 , ~q2 , ..., ~qN )
(1.3.52)
şeklindedir. Sistemin N parçacıktan oluştuǧunu kabul ederek bu Hamiltoniyen için
kanonik bölüşüm fonksiyonunu yazalım:
Z Y
Z Y
N
N
d3 qi d3 pi e−βH
1
Z(T, V, N ) =
=
d3 qi e−βU (~q1 ,~q2 ,...,~qN )
N !h3N
N !λ3N
i=1
i=1
(1.3.53)
56
Hesaplarımızda kolaylık saǧlaması açısından
U (~q1 , ~q2 , ..., ~qN ) =
X
ν(~qi − ~qj )
i<j
şeklinde bir potansiyel tanımlayalım. Böylece parçacıklar arasındaki konum farkından
kaynaklanan bir potansiyel etkileşme tanımlamış olduk. Bu potansiyel ifadesini, ilk terimi etkileşme barındırmayan bir seriye açılmalıdır. Eǧer iki parçacık birbirine yaklaşırsa
itici etkileşme, mesafe uzayınca ise sıfır etkileşme olsun:
fij = e−βν(~qi −~qj )
Böylece fij , -1 ile 0 arasında bir deǧer alabilecek şekilde seçilmiş olur. Bölüşüm fonksiyonunu fij etkileşme terimi cinsinden yazalım;
Şekil 1.20: Moleküller arası νij potansiyeli ve fij fonksiyonu
1
Z(T, V, N ) =
N !λ3N
Z Y
N
i=1
3
d qi e
−β
P
i<j
ν(~
qi −~
qj )
1
=
N !λ3N
Z Y
N
i=1
d3 qi
Y
(1 + fij )
i<j
(1.3.54)
Q
i<j (1+fij )
ifadesinin ilk terimi yukarıdaki eşitliǧe V N katkısı verir. Daha sonra ise
düzeltme terimleri gelir. Sistemdeki parçacık sayısını deǧişken tutarak kanonik bölüşüm
fonksiyonundan grand kanonik bölüşüm fonksiyonuna geçelim.
57
Grand kanonik bölüşüm fonksiyonu;
∞
X
eβµN
Ξ(µ, T, V ) =
SN
N !λ3N
(1.3.55)
N =0
SN =
Z Y
N


d3 qi 1 +
SN =
fij +
XX
fij fkl 
(1.3.56)
i<j k<l
i<j
i=1
Z Y
N
X
d3 qi [1 + (f12 + f13 + ...) + (f12 f13 + f12 f14 + ...) + ...]
(1.3.57)
i=1
Bu açılımdaki bütün terimleri saymanın uygun bir yolu, her bir terimi bir çizge ile
ilişkilendirmektir. N parçacıktan oluşan bir çizge, 1, 2, ..., N şeklinde numaralandırılmış N
tane farklı çemberin bir toplamıdır. Örneǧin, eǧer birbirine farklı hatlarla baǧlanan
farklı çiftler α, β, ..., λ çiftleri ise, o halde söz konusu çizgenin terimleri şu şekilde olacaktır:
Z Y
N
d3 qi fα fβ ...fλ
(1.3.58)
i=1
Mesela, açtıǧımız terimlerden birisi f23 f56 f67 olsun. Bu terim, 2 ile 3, 5 ile 6 ve 6 ile
7 indisli parçacıklar arasındaki etkileşmeyi temsil eder. Bu duruma ait çizgenin şekli
aşaǧıdaki şekilde görülmektedir.
Bu çizgenin etkileşme terimleri şu şekilde olmalıdır:
Z
Z
d3 q1
Z
d3 q2
Z
d3 q3 f (~q2 − ~q3 )
Z
d3 q4
Z
d3 q5
Z
d3 q6
d3 q7 f (~q5 − ~q6 )f (~q6 − ~q7 )
(1.3.59)
Deǧişik türden ikili, üçlü, dörlü,... çizgeler söz konusu olabilir. i < j şartını her bir
etkileşmeyi bir defa saymak için kullanıyoruz.
58
Şekilde gösterilen iki yapının terimleri farklıdır ancak integrallerin sonuçları aynıdır.
Burada yeni bir parametre tanımlayalım:
bl : l tane parçacık içeren baǧlı çizgeler üzerinden toplam.
b1 : tek baǧlı çizgi.
Z
d3 q = V
b2 : iki parçacıklı baǧlı çizgi.
Z
d3 q1 d3 q2 f (~q1 − ~q2 )
Eǧer çizgede en az iki parçacık etkileşiyorsa bl parametresinin hesabı için f fonksiyonu tam olarak bilinmelidir. Son eşitlikte yazılan iki deǧişkenli integral tek deǧişkene
baǧlı olarak yazılabilir. Parçacıklar arası mesafeyi deǧiştirmeden aǧırlık merkezi üzerinden
integral hesaplamak mümkündür.
q1 + q2
= qcm
2
q1 − q2
= q12
2
59
Z
Z
d3 q1 d3 q2 f (~q1 − ~q2 ) =
Z
dqcm
Z
dq12 f12 = V
dq12 f (q12 )
(1.3.60)
Üç parçacıklı baǧlı çizgeler (Şekil 1.21):
Şekil 1.21:
Z
dq1 dq2 dq3 [f (q1 − q2 )f (q1 − q3 ) + f (q1 − q3 )f (q2 − q3 )
+f (q1 − q2 )f (q2 − q3 ) + f (q1 − q2 )f (q2 − q3 )f (q1 − q3 )]
Şimdi bu eşitliǧi aǧırlık merkezi koordinatlarına göre yazalım:
Z
=V
d3 q12 d3 q13 [f (~q12 )f (~q23 ) + f (~q12 + ~q23 )f (~q23 )
+f (~q12 )f (~q12 + ~q13 ) + f (~q12 )f (~q13 )f (~q12 + ~q13 )]
Son yazdıǧımız integralde ~q1 − ~q2 ve ~q1 − ~q3 şeklinde iki deǧişken seçtik ve aşaǧıdaki
eşitliklerden faydalandık.
~q1 − ~q3 = (~q1 − ~q2 ) + (~q2 − ~q3 )
~qcm =
~q1 + ~q2 + ~q3
3
~q12 = ~q1 − ~q2
60
~q23 = ~q2 − ~q3
Yukarıdaki eşitlikte yer alan açılımda ilk üç integral aynı sonucu verir, dördüncüsü ise
farklıdır.
(1.3.57) eşitliǧi ile verilen SN ifadesi bütün bl terimlerini içinde barındırır. İlk terim
tek bir parçacıǧı, ikinci terim bir çizgi ile birleştirilmiş iki parçacıǧı, üçüncü terim ise
iki çizgi ile birleştirilmiş üç ya da daha fazla parçacıǧı ... temsil eder.
Şimdi şu sorunun cevabını arayalım: ”N tane noktayı kaçtane l’lik çizgeler gruplarının bir araya gelmesi ile yazabiliriz?” Örneǧin az önceki tartışmalarımızda 7 tane
noktayı(yani parçacıǧı) iki tane tek çizgi cinsinden yazmıştık. SN ifadesini şu şekilde
yazarsak bu sorunun cevabınıkısmen elde etmişoluruz:
XY
SN =
bnl l
(1.3.61)
{nl } l
Görüldüǧü üzere, bu açılımın ilk terimleri daha baskındır.
Bu eşitlikte; l, nokta
(parçacık) sayısını, n ise bu noktalardan kaç çeşit olduǧunu temsil eder.
Parçacıklara index ataması yaparken N tane parçacık için N ! kadar farklı index
ataması yapılabilir. Her bl terimi için l! kadar fazla sayma yapılır. Eǧer nl tane l boylu
çizge varsa;
Y
(l!)nl
l
kadar düzeltme yapılır.
Aynı sayıda parçacık içeren gruplar deǧiş-tokuş yapılırsa, yine fazladan sayım yapılır.
Bunu önlemek için de nl ! ile bölmek gerekir. Böylece (1.3.63) eşitliǧinin yeni hali şöyle
elde edilir:
SN =
Ã
X Y
{nl }
l
!µ
bnl l
N!
nl
n
l l !(l!)
Q
¶
(1.3.62)
61
Buradan grand kanonik bölüşüm fonksiyonu için şu eşitlik elde edilir;
Ã
!
0
∞ µ βµ ¶N
X
1 X Y nl
e
N!
Q
Ξ=
bl
nl
λ3
N!
n
l l !(l!)
N =0
{nl }
(1.3.63)
l
Bu eşitlikte dikkat edilmesi gereken önemli husus, {nl } setlerinin keyfi olarak seçilemeyeceǧidir.
Bu nedenle (1.3.63) eşitliǧinde ikinci toplam üzerindeki 0 simgesi sınırlı toplam yapıldıǧını beP
lirtir. l lnl = N baǧşartınıda kullanarak artık kanonik bölüşüm fonksiyonundan grand
kanonik bölüşüm fonksiyonuna geçilir:
"
#n
X Y 1 µ eβµ ¶l bl l
Ξ=
nl !
λ3
l!
(1.3.64)
{nl } l
Son eşitlikte çarpım ve toplamın yeri deǧiştirilirse üstel bir ifade elde edilir.
Ξ=
Y
"µ
exp
l
eβµ
λ3
¶l
bl
l!
#
"∞ µ
#
X eβµ ¶l bl
= exp
λ3
l!
(1.3.65)
l=0
Elde edilen son eşitlik kullanılarak ideal gazın durum denklemi yeniden yazılabilir:
∞
X
PV
ln Ξ = −βΦ =
=
kB T
µ
l=0
eβµ
λ3
¶l
bl
l!
(1.3.66)
Buradan, ideal gazın durum eşitliǧine gelen düzeltme terimleri elde edilmiş olur.
Toplam parçacık sayısı;
∞
N=
X
∂ ln Ξ
=
l
∂(βµ)
µ
l=0
eβµ
λ3
¶l
bl
l!
(1.3.67)
bl terimleri hacime baǧlı terimlerdir. bl = V b̄l yazarak durum denklemine gelecek
düzeltmeler yoǧunluk cinsinden yazılmış olur. µ teriminden kurtulmak için eβµ /λ3 = x
şeklinde seçerek,
N=
∞
X
lxl V
l=0
b̄l
l!
(1.3.68)
∞
X b̄l
N
=n=
lxl
V
l!
l=0
(1.3.69)
62
βP =
∞
X
xl
l=0
b̄l
l!
(1.3.70)
(1.3.70) eşitliǧindeki parametrik denklem x cinsinden çözülürse;
x = n − b̄2 x2 −
b̄3 3
x + ...
2
(1.3.71)
elde edilir. Şimdi bu eşitlikten adım adım gidilerek;
x3 = n − b̄2 (n − b̄2 n2 )2 −
x1 = n
(1.3.72)
x2 = n − b̄2 n2
(1.3.73)
b̄3 3
b̄3
n = n − b̄2 n2 + (2b̄22 − )n3
2
2
(1.3.74)
x1 , x2 ve x3 terimlerini elde ederken kısaca şu yol izlenir: Bir önceki çözümde elde
edilen x çözümübir sonraki x eşitliǧinde (örneǧin x1 çözümü x2 ’de) yerine yazılır. x1
birinci terime kadar, x2 ikinci terime kadar, x3 üçüncüterime kadar açılır.
Böylece parçacıklar arasıetkileşimler söz konusu olduǧunda ideal gazın durum eşitliǧi
için;
βP = x +
¢ b̄3
b̄2 2 b̄3 3
b̄3
b̄2 ¡ 2
x + x = n − b̄2 n2 + (2b̄2 − )n3 +
n − 2b̄2 n3 + n3 (1.3.75)
2
6
2
2
6
βP = n −
µ
¶
b̄3
b̄2 2
n + b̄22 −
n3
2
3
(1.3.76)
Son olarak, en genel haliyle bu eşitlik daha kısa bir biçimde yazılabilir:
¡
¢
βP = n 1 + B2 n + B3 n2 + ...
(1.3.77)
Bu eşitlikteki Bi katsayılarına virial katsayılar adı verilir. Bu katsayılar, durum denklemine etkileşmelerden gelen katkıları temsil eder.
İkinci virial katsayısına bakılacak olursa;
B2 = −
b̄2
2
(1.3.78)
63
b̄2 teriminin ikili çizgeler üzerinden alınan toplam olduǧunu daha önce belirtmiştik. Bu
terimin integral ifadesi kullanılarak şu sonuca varılır:
1
B2 = −
2
Z
1
dqf (q) = −
2
Z
h
i
dq e−ν(q)/kB T − 1
(1.3.79)
Yani sistemin ν(q) potansiyeli bilinirse ikinci virial katsayısı kolayca hesaplanabilir.
1.3.7
Problemler
~ dış manyetik
1. Paramanyetizma: Kanonik topluluk formalizmini kullanarak bir H
alanına yerleştirilmiş µ
~ dipol momentli N tane parçacıktan oluşan sistemin M
mıknatıslanmasını hesaplayarak T → 0 ve T → ∞ limitlerini yorumlayınız.
2. İki Boyutlu İdeal Gaz: İç yüzey alanı Y olan V hacimli bir kapta N tane
etkileşmeyen parçacık bulunmaktadır. Kabın yüzeyinde soǧurulan parçacıklar ²
kadar enerji kaybına uǧrarlar. Sistemin sıcaklıǧının sabit olduǧunu ve bu kabın
içerisindeki parçacıkların iki boyutlu ideal gaz gibi davrandıǧını düşünerek yüzeyde
soǧurulan parçacıkların sayısı Ns ’yi hesaplayınız.
3. Virial Katsayıları: d- boyutlu bir uzayda komşu çiftleri arasında V (r) merkezcil potansiyeli ile etkileşen gazı ele alınız.
V (r) → ∞, 0 < r < a
V (r) = −², a < r < b
V (r) = 0, b < r < ∞
• İkinci virial katsayısı B2 (T )’yi hesaplayarak düşük ve yüksek sıcaklık limitlerindeki davranışını yorumlayınız.
1 ∂V
|T,N ile verilen izotermal sıkışabilirlik eşitliǧine birinci dereceV ∂P
den gelen düzeltmeyi hesaplayınız.
• κT = −
• Yüksek sıcaklık limitinde sistemin durum denklemini Van der Waals formunda yazarak Van der Waals parametrelerini belirleyiniz.
64
4. Kimyasal Denge: A ve B parçacıklarının tepkimeye girerek AB bileşiǧini
oluşturduǧunu düşününüz (A+B AB). Herhangi bir t = t0 anında her üç çeşit
parçacıǧın derişimleri n0A , n0B , n0AB ve tek parçacık bölüşüm fonksiyonları sırası ile
(1)
(1)
(1)
ZA , ZB ve ZAB ise sistemin toplam bölüşüm fonksiyonunu yazarak
(1)
Z
nAB
= V (1)AB(1)
nA nB
ZA ZB
1.3.8
Faz Geçişleri
Etkileşimli bir sistemde etkileşmeler zayıf deǧilse (düşük sıcaklıklarda parçacıklar
arası etkileşmeler şiddetli olur) sistem bir makro durumdan başka bir makro duruma
geçebilir. Bu geçiş makroskobik deǧişkenlerin belli deǧerlerinde aniden ortaya çıkar.
Bu kesimde detaylardan arınmış bir perspektif kullanarak, manyetik sistemleri inceleyeceǧiz.
Faz Geçişleri: Maddenin birbirinden çok farklı durumları arasındaki geçişlerdir.
Faz geçişlerine örnek olarak;
• sıvı-gaz arası geçiş
• normal metal-süperiletken arası geçiş
• paramagnet-ferromagnet arası geçiş
gibi durumları verebiliriz.
Makroskobik özellikler, serbest enerjiden elde edilebildiǧi için faz geçişleri serbest
enerjinin tekil noktaları ile ilişkilidir. Normal durumda bölüşüm fonksiyonu Z(T, V, N )
tekillik göstermez.
65
Sıvı-Gaz Arası Faz Geçişleri :
Sabit basınçta sıcaklıǧı arttırdıǧımızda sıvı fazdan gaz faza ani bir geçiş meydana
gelir.
Kritik Nokta : Birlikte bulunma eǧrisinin sonlandıǧı nokta.
Şekil 1.22: Bu şekildeki bir durum T = Tc = sbt ve basıncın deǧişken olduǧu durumlarda ortaya
çıkar.
66
Milyonlarca parçacıǧın aynı anda hareket ediyor olmaları söz konusu olduǧu için
kritik noktada, her ölçekte salınımlar gözlenebilir.
Korelasyon Mesafesi: Sistemdeki bir parçacıǧın, kendisine göre en uzaktaki
parçacıkla etkileşmesinin bir ölçüsüdür.
Spinlerin sadece yukarı ve aşaǧı olmak üzere iki şekilde yönelebildiǧi manyetik bir
sistemi göz önüne alalım. Sistem üzerine dış alan uygulanmıyorsa mıknatıslanma her
iki yöne bakabilir.
Şekil 1.23: Düzen parametresi faz geçişi sırasında ani bir deǧişim gösterir.
Ferromanyetik faz ile paramanyetik fazı ayıran parametreye düzen parametresi denir.
Düzen parametresi farklı fazlarda deǧişik deǧerler alan bir termodinamik fonksiyondur.
Tipik olarak, bir fazda sıfır iken diǧer faza geçildiǧinde sıfırdan farklı olur.
Ergodic Hipotezi: Mikrodurumlar üzerinden alınan ortalamalar, zaman ortalamaları ile çoǧu zaman aynıdır.
Parçacık başına mıknatıslanma, düzen parametresinin yoǧunluǧu olarak düşünülebilir.
m(T ) =
H : dış alan.
1
lim M (T, H)
V H→0
(1.3.80)
67
d-boyutlu bir uzayda tüm mikrodurumlar ele alınırsa,
Z
M=
dd ~xm(~x)
(1.3.81)
yazmak mümkündür.
Kritik nokta civarında

 0, T > T
c
m(T, H = 0) =
 |t|β , T < Tc
t=
(1.3.82)
Tc − T
: kritik noktadan ne kadar uzakta bulunulduǧunu gösterir.
Tc
β: Kritik üstel olarak adlandırılır. Kritik üsteller pek çok farklı türden etkileşimlerin
olduǧu sistemlerde aynı çıkar, yani evrensel özellik taşırlar.
m(Tc , H → 0) ∼ H 1/δ
(1.3.83)
χ(T, H = 0) ∼ |t|γ
(1.3.84)
δ: Kritik üstel.
γ: Bir diǧer kritik üstel.
Korelasyon Mesafesi: Bu niceliǧi bir fonksiyon yardmıyla tanımlıyoruz: Korelasyon fonksiyonu.
D
E
G(~r, r~0 ) = m(~r)m(r~0 )
(1.3.85)
Gc : Herhangi bir korelasyon yokluǧundaki korelasyon fonksiyonu olsun.
Gc (~r − r~0 ) = G(~r − r~0 ) − m2
(1.3.86)
2®
M − hM i2
∂ 2 ln Z
∂M
=β
=
χ=
∂H
∂H 2
kB T
(1.3.87)
68
Z
M=
¿Z
À ¿Z
À ¿Z
À
0
0
d
d ~0
~
~
d ~rd r m(~r)m(r ) −
d ~rm(~r)
d r m(r )
d
kB T χ =
d ~0
Z
kB T χ =
Z
kB T χ =
dd~rm(~r)
dd~rdd r~0
hD
E
D
Ei
m(~r)m(r~0 ) − hm(~r)i m(r~0 )
E
hD
i Z
0
2
~
d ~rd r
m(~r)m(r ) − m = dd~rdd r~0 Gc (~r − r~0 )
d
d ~0
(1.3.88)
(1.3.89)
(1.3.90)
(1.3.91)
Z
kB T χ = V
dd~rGc (~r)
(1.3.92)
Tipik olarak korelasyon fonksiyonları;
Gc (~r) ∼ e−r/ξ
(1.3.93)
ξ ∼ |t|−ν
(1.3.94)
şeklinde deǧişir.
ξ: Korelasyon mesafesi
ν: Kritik üstel.
1.3.9
Landau-Ginzburg Teorisi
Landau-Ginzburg teorisi bir noktadaki lokal manyetizasyonu, bir alan olarak kabul
eder. Sisteme bakışölçeǧinin, parçacıklar arasımesafeden daha uzun olduǧu kabul edilir.
İstatistiksel alan teorisini baz alan bir teoridir.
Bir manyetik sistemdeki lokal düzen parametresi m(~
~ x) olsun. Uzaydaki her noktada
bir lokal mıknatıslanma olduǧu için manyetizasyonun her yönde yönelebildiǧini kabul
ederek vektörel bir nicelik olarak tanımlıyoruz.
69
~x : Spinlerin kaçboyutlu bir uzayda yer aldıǧını gösterir.
~x = {x1 , x2 , x3 , ..., xd }
m
~ = {m1 , m2 , m3 , ..., md }
Sisteme ait Hamiltoniyen genel olarak,
Z
βH(m)
~ =
dd ~xΦ[m(~
~ x)]
(1.3.95)
şeklinde yazılır. Lokal olarak mıknatıslanmadan enerjiye gelen katkı integre edilerek
toplam Hamiltoniyen yazılmış olur. Burada sistemin düzgün ve izotropik yapıda olduǧunu
kabul ediyoruz. Yani sistem deǧil de bütün lokal mıknatıslar deǧiştirilirse toplam enerjinin deǧişmemesi gerekir. Çünkü göreceli olarak bir mıknatıs diǧerini aynı şekilde
görecektir.
H[Rn m(~
~ x)] = H[m(~
~ x)]
(1.3.96)
Φ[m(~
~ x)] = am(~
~ x) şeklinde yazılabilir ise ancak m = −m koşulunda enerji deǧişir.
Bu durumda enerji terimi m(~
~ x)’e baǧlıolamaz. Bu durumu saǧlayan koşulun bir nokta
çarpım formunda olması gerekir. Bu nedenle simetriden dolayıΦ[m(~
~ x)], m(~
~ x)’in ve
∇m(~
~ x)’in çift terimlerini içerbilirken tek terimlerini içeremez. Ayrıca sistemin kritik
nokta civarındaki davranışı ile ilgilendiǧimiz için m(~
~ x)’in sıfıra yakın olduǧunu kabul
ediyoruz. Bu durumda yüksek mertebeli m(~
~ x) terimlerinin yaptıǧımız hesaba katkısı ihmal edilebilir düzeyde kalacaktır. Tüm bu durumları göz önünde tutarak Φ[~
m(~x)] için
şu eşitliǧi yazmak mümkün olacaktır;
i2
t
K h~
Φ[m(~
~ x)] = m2 (~x) + um4 (~x) +
∇m(~
~ x) + ... − ~h.m(~
~ x)
2
2
(1.3.97)
(1.3.97) eşitliǧindeki son terim, sisteme ~h dış alanı uygulandıǧında simetri bozulmasından
gelen katkıyı belirtir.
70
h
i2 X X ∂m ∂m
i
i
~ m(~
∇
~ x) =
∂x
∂x
α
α
α
(1.3.98)
i
Böylece, Landau-Ginzburg Hamiltoniyeni için
½
Z
− βH =
d
d x
¾
i2
t 2
K h~
4
~
∇m(~
~ x) − h.m(~
m (~x) + um (~x) +
~ x)
2
2
(1.3.99)
Bu eşitliǧe bir noktada mikroskobik hamiltoniyen parametreleri girmeli.
{t, u, K, ...} : fenomenolojik parametreler.
Bu parametreler mikroskobik deǧişkenler ve dış deǧişkenlerin bir fonksiyonudur. Sistemin her noktasındaki m(~
~ x) deǧeri bir deǧişken olduǧu için sonsuz sayıda deǧişken söz
konusudur. Bu durumda sistem için yazacaǧımız bölüşüm fonksiyonu bir çeşit fonksiyonel integral formunda olmalıdır.
Z h
i
~ x)]
Z=
Dm(~
~ x)e−βH[m(~
(1.3.100)
Eǧer üzerinde çalıştıǧımız uzay sürekli deǧil de bir örgü şeklinde olsaydı, her bir
örgü noktası için bir integral yazmak gerekirdi.
Örgü üzerindeki mi mıknatısları için,
·
¸
·
¸
Z Y
N
∂m
mi+1 − mi
Dm(~
~ x)F m(x),
→
dmi F mi ,
∂x, ...
a
(1.3.101)
i=1
notasyon deǧişikliǧi yapılmalıdır.
a : örgüdeki atomlar arasıuzaklık.
Hamiltoniyeni maksimize eden m(~
~ x) konfigürasyonunu arıyoruz. Bu nedenle bu
71
noktada ”Saddle-Point” metoduna başvurabiliriz.
Etkileşme nedeniyle tüm spinler aynı yöne bakmaya çalıştıkları için K < 0 ve Hamiltoniyendeki gradyent terimi büyük olmalı.
Mıknatıslanmanın düzgün olduǧunu kabul edelim:
m(~
~ x) = m
~
Z
~
dme
~ −βψ(m)
Z=
(1.3.102)
Hamiltoniyen eşitliǧinde m sabit olduǧu için geri kalan kısmın integrali hacmi verir.
t
ψ(m)
~ = m2 + um4 + ... − ~hm
~
2
(1.3.103)
− ln Z = V β min {ψ(m)}
~ m = βA
(1.3.104)
Burada, ψ(m)
~ serbest enerji fonksiyonu adını alır. Bu fonksiyonun minimum olduǧu
deǧer serbest enerjiyi verir.
m
~ = m∗ h
• h=0 durumu:
Tc civarında m küçük deǧerler almalı.
• t < 0 için u > 0 olmalı. Çünküψ → ∞ olamaz.
(1.3.105)
72
Şekil 1.24: Farklı sıcaklıklardaki Landau serbest enerjisi. t < 0 için ortaya çıkan kendiliǧinden
simetri kırılması, t = 0’da ikinci dereceden bir faz geçişine yol açar.
t = a (T − Tc ) + O (T − Tc )2
(1.3.106)
u = u0 + u1 (T − Tc ) + ...
(1.3.107)
• h 6= 0 ise (1.3.103) eşitliǧi gereǧince
tm∗ − h = 0
m∗ = h/t
χ=−
1 ∂m∗
1
∼ →∞
V ∂h
t
(1.3.108)
Yani sonuç olarak ψ(m), t ve u analitik olmasına raǧmen χ süreksizlik gösterir.
Mıknatıslanma:
(h = 0),
h = 0 olduǧu için,
∂ψ(m)
|m=m∗ = 0
∂m
(1.3.109)
tm∗ + 4um3 − h = 0
(1.3.110)
¡
¢
m∗ t + 4um∗2 = 0
(1.3.111)
0,
m∗ = q
(1.3.112)
−t
4u ,
t>0
t<0
73
Bu eşitlikte elde edilen ikinci köke bakarak Landau-Ginzburg teorisinin β üsteli tahmini
elde edilir:
m∗ ∼ |t|1/2 → β = 1/2
Isı Sıǧası:
¾
½
∂2A
−T
∂T 2 h


0, t > 0



βA
= min ψm (m) =

V


 −t , t < 0
8u

 0, t > 0

¶ 
µ

2
∂
βA
C∼ 2
=

∂t
V


 1 , t<0
4u
∂S
C=T
=
∂T
(1.3.113)
(1.3.114)
(1.3.115)
(1.3.116)
Bu sonuçtan görüyoruz ki ısı kapasitesi sonlu bir deǧerden (0), başka bir sonlu deǧere
(1/4u) sıçrama yapıyor. Burada bir süreksizlik söz konusudur ancak bu sonlu bir
süreksizliktir.
C ∼ t0 → α = 0
(1.3.117)
Manyetik Alınganlık:
(1.3.103) eşitliǧinde elde ettiǧimiz Saddle-Point çözümünden manyetik alınganlık
hesaplanırsa,
• h 6= 0
½
∂ψ(m)
∂m
¾
= tm∗ + 4um∗3 − h = 0
(1.3.118)
m∗
h = tm∗ + 4um∗3
(1.3.119)
74
½
−1
χ
=
∂h
∂m
¾
= t + 12um∗2
(1.3.120)
h=0
µ
¶
t 1/2
m = −
4u

 t,
t>0
χ−1 =
 −2t, t < 0
∗
(1.3.121)
(1.3.122)
Yani hem saǧdan, hem de soldan yaklaşıldıǧında χ ∼ 1/t olduǧu görülür. Bu sonucu
şöyle yazmak daha uygun olur:
χ± = A± |t|−γ± → γ± = 1
(1.3.123)
A+
=2
A−
(1.3.124)
Ayrıca;
şeklinde katsayılar oranının da evrensel olduǧunu görebiliriz.
Şimdi de manyetik alan ve mıknatıslık arasındaki ilişkiyi, yani manyetik sistemin
durum denklemini ele alalım:
½
∂ψ
∂m
¾
= 0 = 4um∗3 − h
µ
∗
(1.3.125)
t=0,m=m∗
m =
h
4u
¶1/3
∼ h1/3 = h1/δ
δ = 1/3
(1.3.126)
(1.3.127)
Buraya kadar faz geçişlerini veren bir ortalama alan teorisi geliştirdik ve kritik
üstelleri hesapladık. Kritik üsteller için elde edilen deneysel verileri ortalama alan
teorisinin sonuçlarıile kıyaslamak için şu tabloyu incelemekte yarar vardır:
75
Deney
α
β
γ
Ferromanyetik
-0.1
0.4
1.3
Süperakışkan
0
0.3
1.3
Sıvı-gaz geçişi
0.1
0.3
1.2
Süperiletken
0
1/2
1
Ortalama Alan T.
0
1/2
1
1.3.10
Ölçekleme Hipotezi
Landau-Ginzburg teorisinden yola çıkarak;
ψ(m∗ ) = f (t, h) ∼
−t2 /u,
h = 0, t < 0
−h4/3 /u1/3 , h 6= 0, t = 0
(1.3.128)
t2
t
ψ(m∗ )h=0,t6=0 = m∗2 = −
2
8u
(1.3.129)
ψ(m∗ )h=0,t6=0 = um∗4 − hm∗
(1.3.130)
Kritik nokta civarında m∗4 → 0 olduǧunu kabul etmiştik. Diǧer terim için daha önce
elde edilen (1.3.126) eşitliǧi kullanılırsa,
ψ(m∗ )h=0,t6=0 = −h4/3 /(4u)1/3
(1.3.131)
bulunur.
f (t, h) fonksiyonunu bir homojen fonksiyon olarak yazabiliriz.
• Homojen Fonksiyon:
f (x1 , x2 , ...) = b−pf f (bp1 x1 , bp2 x2 , ...)
(1.3.132)
76
şeklinde yazılabilen fonksiyonlardır.
Örneǧin, f (x) = x−1 fonksiyonu homojen bir fonksiyondur, çünkü;
şeklinde yazılabilir.
f (bx) = b−1 x−1 = b−1 f (x)
(1.3.133)
³
´
f (t, h) = |t|2 gf h/|t|4
(1.3.134)
Eǧer, f (t, h) fonksiyonu homojen bir fonksiyon ise,
f (t, h) = bpf f (bpt t, bph h)
(1.3.135)
formunda yazılabilen bir fonksiyon olmalıdır.
b = t−1/pt yazalım. (Bu seçimi tamamen keyfi olarak uyguluyoruz.)
³
´
f (t, h) = t−pf /pt f 1, t−ph /pt h
(1.3.136)
Bu analizleri kritik nokta civarında yapıyoruz.
³
´
³
´
f (t, h) = t−pf /pt f 1, h/tph /pt = |t|2 gf h/|t|4
(1.3.137)
• t<0
lim gf (x) = sbt =
x→0
−1
{f (t < 0, h)}
u
(1.3.138)
|t|2
= sbt
|t|44/3
(1.3.139)
• t=0
lim gf (x) = x4/3 ⇒
x→∞
Buradan,
4 = 3/2
(1.3.140)
elde edilir. Ortalama alan teorisi ile ölçekleme hipotezi uyumlu olarak çalışmaktadır.
77
Daha genel olarak ortalama alan teorisinin de ötesinde geçerli olan bir eşitlik yazabiliriz;
³
´
ftekil (t, h) = |t|2−α gf h/|t|4
Ctekil ∼ −
∂2f
∂t2
(1.3.141)
(1.3.142)
f : serbest enerji yoǧunluǧu.
(1.3.141) eşitliǧi (1.3.142)’de kullanılırsa,
Ctekil
"
#
(2−α)
∂
t
0
∼
(2 − α)t1−α gf − 4h 4+1 gf
∂t
t
(1.3.143)
Eşitlik düzenlenirse,
Ctekil
µ ¶
·
µ ¶¸
h
h
∂ (1−α)
h 0
(2 − α)gf 4 − 4 4 gf 4
∼ t
∂t
t
t
t
µ
u
h
t4
¶
µ ¶
·
µ ¶¸
h
h 0
h
= (2 − α)gf 4 − 4 4 gf 4
t
t
t
Sonuç olarak,
µ
C ∼ t−α W
h
t4
(1.3.144)
(1.3.145)
¶
(1.3.146)
Burada W ve u homojen fonksiyonlardır.
Özel durum olarak, h = 0 için;
C(h = 0) ∼ t−α
sonucuna varılabilir.
(1.3.147)
78
Mıknatıslanma:
df
0
m(t, h) ∼
∼ t2−α−4 gf
dh
µ
h
t4
¶
(1.3.148)
h = 0 → m(t) ∼ tβ ⇒ β = 2 − α − 4
(1.3.149)
0
gf (x → ∞) ∼ xp
olsun. Bu durumda,
µ
t
2−α−4
0
gf = t
2−α−4
h
t4
¶p=1/δ
(1.3.150)
m ∼ h1/δ , (t = 0)
idi.
Buradan,
2 − α − 4 = p4
1
4
β
= →δ=
4
δ
β
(1.3.151)
Manyetik Alınganlık:
∂m
00
∼ t2−α−24 gf
χ(t, h) ∼
∂h
µ
h
t4
¶
χ(t, h = 0) ∼ t−γ=2−α−24
γ = −2 + α + 24
α + 2β + γ = α + (4 − 2α − 24) − 2 + α + 24 = 2
(1.3.152)
(1.3.153)
79
α + 2β + γ = 2
(1.3.154)
(1.3.154) eşitliǧine Rushbrooke eşitliǧi adı verilir.
δ−1=
4
−2 + α + 24
γ
−1=
=
2−α−4
2−α−4
β
(1.3.155)
γ
β
(1.3.156)
δ−1=
(1.3.156) eşitliǧi ise Widom eşitliǧi olarak bilinir.
Tüm bu eşitlikleri elde ederken yaptıǧımız hesaplamalarda serbest enerjinin kendi
içerisinde ölçek barındırmayan homojen bir fonksiyon olduǧunu kabul ettik.
1.3.11
Ising Modeli
Faz geçişlerini teorik olarak tanımlamak oldukça güç bir iştir. İstatistiksel mekanik
temelinde ele alınabilecek belli başlı modellerden birisi, Lenz (1920) tarafından ileri
sürülen ve daha sonra öǧrencisi Ising (1925) tarafından daha detaylı bir çalışma ile
geliştirilen bir modeldir. Bu model ilk önce Curie sıcaklıǧındaki ferromagnetlerin faz
geçişini açıklamaya yönelik olarak keşfedilmişse de model üzerinde küçük deǧişiklikler
yapılarak ikili alaşımlardaki düzen-düzensizlik arasıgeçişler gibi diǧer pek çok faz geçişini
açıklamak için de uygulanmıştır.
Ising modelini kısaca şu şekilde düşünebiliriz: Bir örgüalalım ve her bir örgünoktasına
bir spin deǧişkeni si = ±1 yerleşirelim. Genellikle, böyle bir model manyetik bir sistem için tasarlansa da, aynızamanda bir gazın herhangi bir mikrodurumunun modeli
de bu şekilde süreksiz bir uzayda tanımlanabilir. Kısa mesafeli etkileşimleri göz önünde
bulundurarak Hamiltoniyen eşitliǧini şu şekilde yazabiliriz:
80
H=
X
B(Si , Sj )
(1.3.157)
<ij>
Bu Hamiltoniyen eşitliǧinde B, spinler arasındaki etkileşmeleri temsil eden herhangi
bir fonksiyondur. < ij > ise sadece komşu spinlerin birbiriyle etkileştiǧini gösterir.
B(Si , Sj ) = B0 + B1 (Si + Sj ) + B2 (Si .Sj ) + B3 (s2i Sj )
(1.3.158)
Si2 = Sj2 = 1 olduǧu için üçlü terimlerin bir anlamı olmaz. Bu nedenle Hamiltoniyen
B0 , B1 ve B2 katsayılı terimlerden meydana gelir. B0 terimi sabit olup Hamiltoniyene
katkıvermez. Böylece Hamiltoniyen eşitliǧinin şu şekilde yazılmasında bir sakınca olmaz:
H = −J
X
<ij>
Si Sj − h
X
Si
(1.3.159)
i
−J terimi etkileşimin türünü belirten bir sabittir. J > 0 durumu ferromanyetik etkileşmeyi, J < 0 ise paramanyetik etkileşmeyi temsil eder.
81
Diǧer Modeller:
• x-y modeli:
~i = (S x , S y ) yazılır.
Si = ±1 yerine S
i
i
2
2
Six + Siy = 1
(1.3.160)
• Heisenberg Modeli:
~i = (S x , S y , S z ) yazılır.
Si = ±1 yerine S
i
i
i
X
(Siα )2 = 1
(1.3.161)
α
• Potts Modeli:
Si = ±1 yerine Si = 1, 2, ... yazılır.
Hamiltoniyen eşitliǧi x − y ve Heisenberg modellerinde,
H = −J
X
~i S
~j − ~h
S
X
<ij>
Potts modelinde ise,
H = −J
X
ij
şeklindedir.
δSi Sj − h
~i
S
(1.3.162)
δSi ,1
(1.3.163)
i
X
i
82
Ortalama Alan Teorisi
Şekil 1.25: Ortalama alan yaklaşımında her bir spinin komşularıile doǧrudan deǧil, komşu spin-
lerin ortalama oryantasyonundan kaynaklanan bir ortalama alan ile etkileştiǧi kabul edilir.
Bu teorinin ana düşüncesi, merkezdeki Si spininin diǧer dört komşusu ile −J
P
α Si Sα
şeklinde etkileşmesi üzerine kurulmuştur. Ising modelinden farkı ise, komşu spinlerin
ortalama deǧerlerinin hesaba katılmasıdır. Böyel bir sistem için bölüşüm fonksiyonu,
Z=
X
eβJ
P
Si Sj +βh
<ij>
P
i
Si
(1.3.164)
{Si }
Merkezdeki spinin dört komuşusunun ortalama deǧerleri için < Si >= m yazılırsa
bölüşüm fonksiyonu
Z'
X
eβJmd
P
i
Si +βh
P
i
Si
(1.3.165)
{Si }
eşitliǧi ile verilir.
d : (1.3.164) eşitliǧindeki ilk toplamda dört tane etkileşim olduǧu için spin başına d
tane etkileşim olduǧunu kabul ediyoruz. Bölüşüm fonksiyonu üzerinde gerekli düzenlemeleri
83
yaparak son eşitliǧi şu şekilde yazalım:
Z=
N
XY
eβ(Jmd+h)Si =
{Si } i=1
N
Y
i=1
Z=
N
Y


X

eβ(Jmd+h)Si 
(1.3.166)
Si =±1
2 cosh β(Jmd + h)
(1.3.167)
i=1
Buradan, bölüşüm fonksiyonu için en son denklem;
Z = 2N [cosh β(Jmd + h)]N
(1.3.168)
Helmholtz serbest enerjisi;
A = −kB T ln Z = −N kB T {ln 2 + ln cosh[β(Jmd + h)]}
(1.3.169)
Spin başına mıknatıslanma:
½
¾
1 ∂A
M
−
=−
=m
N ∂h h=0
N
(1.3.170)
m = kB T β tanh[β(Jmd + h)]
(1.3.171)
m = tanh[β(Jmd + h)]
(1.3.172)
Eǧer dışalan yoksa, (h=0) bu durumda eşitlik,
m = tanh(βJmd)
(1.3.173)
halini alır. (1.3.173) eşitliǧi transendental bir denklemdir. Bu denklemi grafiksel olarak
84
çözmek uygundur.
Şekil 1.26: (1.3.173) eşitliǧi için grafiksel çözüm.
tanh(x) fonksiyonunun y = x doǧrusunun eǧimine göre aldıǧı deǧerler farklıdır. Yani
başka bir deyişle tanh(x) fonksiyonu T sıcaklıǧına baǧlı olarak deǧişim gösterir.
βJ = K seçersek, T = Tc kritik deǧerinde βJd = 1, ve
Kc = 1/d
İki boyutlu Ising modeli için Kc = 0.5 sonucu elde edilir.
(1.3.174)
85
Bir Boyutlu Ising Modeli: Kesin Çözüm
Şekil 1.27: Bir boyutlu Ising zinciri.
Z=
X
e
PN
i=1
B(Si ,Si+1 )
(1.3.175)
{Si }
Elimizde etkileşen bir sistem olduǧu için bölüşüm fonksiyonunu çarpım halinde
ayırmak mümkün deǧildir.
Bir transfer matrisi tanımlayalım:

Tij =< Si |T |Si+1 >= 

eB(++)
eB(+−)

eB(−+) eB(−−)
(1.3.176)
Periyodik sınır koşullarıkullanılır. Bir boyutlu zincirde en baştaki spinin (S1 ) sol
komşusu en sondaki spin (SN ), en sondaki spinin saǧ komşusu (SN +1 ) ise en baştaki
spin olarak kabul edilir. Böylece spinlerden oluşan kapalı bir halka elde edilir.
SN +1 = S1
j → i + 1 yazmak, bir etkileşimi iki defa sayma probleminin önüne geçer.
86
Bölüşüm fonksiyonunun bir diǧer tanımı:
£ ¤
Z = tr T N
(1.3.177)
şeklindedir. N → ∞ termodinamik limitinde sadece en büyük özdeǧer yaşar.
¡
¢
N
N
Z = λN
+ + λ− = λ+
µ
¶
λN
−
1 + N ' λN
+
λ+
βJ = K
Hamiltoniyen;
− βH = K
X
Si Si+1 + β
i
(1.3.178)
(1.3.179)
hX
(Si + Si+1 )
2
(1.3.180)
i
Transfer matrisinin özdeǧeri;

T =

eK+h
−λ
e−K
λ+ = eK cosh h +
e−K

eK−h − λ
p
e2K cosh2 h + 2 sinh 2K
(1.3.181)
(1.3.182)
Mıknatıslanma:
¶
µ
∂ ln Z
∂ ln λ+
1 ∂ ln Z
∼
∼
m(h = 0) = −
N β ∂h
∂h
∂h
h=0
(1.3.183)
Z = N ln λ+
(1.3.184)
m=0
(1.3.185)
Gerekli türev hesplanırsa,
87
elde edilir. Bu eşitlikten, sonlu bir sıcaklıkta bir boyutlu Ising modelinde faz geçişi
gözlenmediǧi sonucuna varılır. Hamiltoniyende kısa mesafeli etkileşimler bulunduǧu
için bir boyutlu Ising modelinde faz geçişi gözlenmez.
Bir boyutlu model haricinde, iki boyutlu Ising modeli Onsager tarafından analitik
yöntemle tam olarak çözülmüştür. Analitik olarak üçboyutta bilinen kesin bir çözüm
bulunmamaktadır.
Seri Açılımları
Düşük Sıcaklık Açılımı:
T = 0 civarında açıyoruz.
Şekilde gösterilen durum bütün spinlerin aynı yönelime sahip oldukları en olası durumdur.
Bir spin uyarıldıǧında Şekil 1.28’ deki durum oluşur.
88
Şekil 1.28:
Hamiltoniyen:
− βH = K
X
Si Sj
(1.3.186)
<ij>
Bir spin uyarıldıǧı zaman eski konfigürasyon ile yeni konfigürasyon arasındaki enerji
farkı:
4E = 2J.2d
(1.3.187)
Uyarılabilecek spin sayısı: N .
Bir spin daha uyarılırsa ikinci en düşük enerjili konfigürasyon Şekil 1.29’da görüldüǧü gibi
meydana gelir.
Şekil 1.29:
Bu durumda eski ve yeni konfigürasyonlar arasındaki enerji farkı;
4E = 2J(4d − 2)
(1.3.188)
89
Bu durumların sayısı N.d ile verilir.
Bir diǧer durum ise uyarılmış durumdaki iki spinin yan yana olmadıǧıkonfigürasyonda
karşımıza çıkar. Bu konfigürasyon ise aşaǧıdaki şekilde (Şekil 1.30) görülmektedir.
Şekil 1.30:
(1.3.186) eşitliǧinden yararlanarak bölüşüm fonksiyonunu yazalım:
Z=
X
·
−βH
e
= 2e
N dK
1 + Ne
−4dK
−4(2d−1)K
+ N de
{Si }
¸
N − 2d − 1 −8dK
+N
e
+ ...
2
(1.3.189)
Bu eşitlikte üstel terimlerin başındaki N parçacık sayısına baǧlıkatsayılar yan yana
olmayan spinlerin kaçfarklışekilde seçilebileceǧini anlatır.
Z = 2eN dK
X
e−2K×T Ç
b.a.k.
b.a.k: bütün adacık konfigürasyonları.
T Ç: adacıkların toplam çevresi
Bu notasyon ileriki hesaplamalarımız açısından çok faydalı olacaktır.
(1.3.190)
90
−β
i
A
ln Z
1 h
=
= Kd +
ln 1 + N e−4dK + N de−4(2d−1)K + ...
N
N
N
(1.3.191)
x << 1 koşulu altında ln(1 + x) ≈ x yaklaşımını kullanarak,
−β
2d+1 −8dK
A
+...
= Kd + e−4dK + de−4(2d−1)K− 2 e
N
(1.3.192)
Burada N 2 /2 yerine (2d + 1)/2 terimi kalıyor.
Bütün adacık konfigürasyonlarıüzerinden alınan toplamın logaritması sadece baǧlı çizgeler
üzerinden bir toplam verir. Daha önceki kısımlarda grand kanonik bölüşüm fonksiyonunu virial katsayıları cinsinden hesaplarken de benzer yöntemi uygulamıştık.
Son eşitlikte N 2 ile orantılıolan her terim yok olmalı. Çünkü serbest enerji parçacık
sayısına baǧlı (extensive) olmalı.(N 3 , N 4 ,... terimleri de bu eşitlikte yer alamaz.)
E
1 ∂ ln Z
∂
=−
= −J
N
N ∂β
∂K
µ
ln Z
N
¶
(1.3.193)
Bu eşitliǧi yazarken K = βJ eşitliǧinden yararlandık.
Parçacık başına enerji:
³
´
E
= −Jd 1 − 4e−4dK − 4(2d − 1)e−4(2d−1)K + ...
N
Özgül ısı:
C
N kB
C
K 2 ∂E
1 ∂E
=−
=
N kB
N kB ∂T
N J ∂K
h
i
= 16dK 2 de−4dK + (2d − 1)2 e4(2d−1)K + ...
(1.3.194)
(1.3.195)
(1.3.196)
91
Beklenti: Bu açılımın kritik davranış için elde edeceǧimiz açılım ile benzer olması.
X
C
=
al ul
N kB
(1.3.197)
u = e−4K
µ
¶
u −α
C ∼A 1−
uc
(1.3.198)
olmasını bekliyoruz.
³
Peki; C ∼ (Tc − T )−α eşitliǧini 1 −
f (T )
f (tc )
´−α
şeklinde yazabilir miyiz?
Bunun için bir Taylor açılımı yaparsak,
Ã
≈
f (Tc ) + (T − Tc )f
1−
f (Tc )
0
!−α
"
Ã
0
f
≈ (T − Tc ) −
f (Tc )
!#
µ
¶
µ
¶
u −α
α(α + 1) u2
u
C ∼A 1−
=A 1+α +
+ ...
uc
uc
2!
u2c
X
=
al u l
al
α+l−1
≈
al−1
luc
(1.3.199)
(1.3.200)
(1.3.201)
(1.3.202)
(1.3.202) eşitliǧi asimptotik olarak ardışık terimler arasındaki beklenen oran olarak
tanımlanabilir.
µ
¶
al
α−1
−1
= uc
1+
al−1
l
(1.3.203)
Düşük sıcaklık limiti için Ising modelinde bu açılımı yapabiliyoruz. x − y modelinde
bu yöntem işe yaramaz. Çünkü bütün spinlerin aynı yönelimli olduǧu konfigürasyon
en düşük enerjili konfigürasyon olduǧu için bu konfigürasyonda spin yönelimlerinin çok
yavaş deǧiştirilmesi çok uzun dalga boylu uyarımlara sebep olur. Bu etki sonucunda
m = 0 olur. Bu durum Heisenberg modeli için de geçerlidir. Her iki modelde de spinler
92
sürekli bir serbestlik derecesine sahiptirler.
Yüksek Sıcaklık Açılımı:
Bölüşüm fonksiyonunu β cinsinden açıyoruz.
Z=
X
eK
P
<ij>
Si Sj
(1.3.204)
{Si }
eKSi Sj =
⇒
Z=
X Y
eK + e−K
eK + e−K
+
Si Sj = cosh K[1 + tSi Sj ]
2
2
(1.3.205)
t = tanh K
(1.3.206)
cosh K(1 + tSi Sj )
(1.3.207)
{Si } <ij>
= cosh K Nb =N d ×
X Y
X
tÇ
(1.3.208)
¸
d(d − 1) 4
6
1+
N t + d(d − 1)(2d − 3)t + ...
2
(1.3.209)
(1 + tSi Sj ) = 2N (cosh K)N d ×
{Si } <ij>
b.p.d
b.p.d: bütün kapalı patika durumları.
Ç: toplam patika çevresi.
·
N
Nd
Z = 2 (cosh K)
93
Bir boyutlu Ising zincirinde hiç kapalı patika olmadıǧı için periyodik sınır koşullarını kullanıp kapalı bir halka elde edilmiş olur. (=bir adet kapalı patika)
Böylece d = 1 için, periyodik sınır koşulu yoksa;
Z = 2N (cosh K)N −1
(1.3.210)
Z = LN (cosh K)N (1 + tN )
(1.3.211)
periyodik sınır koşulu var ise;
elde edilir.
İki Boyutlu Ising Modelinde Öz-Eşlik
• Düşük sıcaklık açılımı:
Z = e2N K
X
e−2K×T Ç
(1.3.212)
b.a.k.
b.a.k: bütün adacık konfigürasyonları.
T Ç: adacıkların toplam çevresi
• Yüksel sıcaklık açılımı:
Z = 2N cosh K 2N ×
X
tanh K Ç
b.p.d
b.p.d: bütün kapalıpatika durumları.
Ç: toplam patika çevresi.
Bu iki eşitlikteki toplamlar aynı konfigürasyonlar üzerinden alınır.
ln
P
→ g(x) fonksiyonu olsun.
(1.3.213)
94



e−2K ,


x=
T ¿



 tanh K, T À
(1.3.214)





2K + g(e−2K ),
T ¿
ln Z
=

N


 ln 2 + 2 ln cosh K + g(tanh K), T À
(1.3.215)
Bölüşüm fonksiyonundaki tekillik g fonksiyonunun içersinde olmalı.
Düşük sıcaklıklarda K → K̃ olsun.
e−2K̃ = tanh K dönüşümü yapalım.
K̃ =
1
ln tanh K
2
(1.3.216)
Böylce yüksek sıcaklıklardaki K deǧişkenini düşük sıcaklıklarda K̃ ile ilişkilendirmiş olduk.
Sistemde K artıyorsa K̃ azalır.
sinh 2K = 2 sinh K cosh K = 2 tanh K cosh2 K
=
2 tanh K
2e−2K̃
2
1
=
=
=
2
1 − tanh K
sinh 2K̃
1 − e−4K̃
e2K̃ − e−2K̃
(1.3.217)
(1.3.218)
Burada sinh 2K sinh 2K̃ = 1 baǧıntısını kullandık.
Sistemin bir Kc , bir de K̃c ’de tekil noktası var.
e−2Kc = tanh Kc =
1 − e−2Kc
1 + e−2Kc
(1.3.219)
95
Bu eşitlik;
x=
1−x
1+x
(1.3.220)
formundadır.
2
x + 2x − 1 = 0 → x =
Böylece,
−2 +
√
4+4 √
= 2 − 1 = e−2Kc
2
1 √
Kc = − ln( 2 − 1)
2
1 √
Kc = ln( 2 + 1) = 0.441
2
(1.3.221)
(1.3.222)
sonucu elde edilir.
Uygulama: Kendiliǧinden Mıknatıslanma
Bu kesimde herhangi bir dış alan yokluǧunda Ising modelini kullanacaǧız. Modele
göre sistem dış alan yokluǧunda kendiliǧinden mıknatıslanır. İki boyutlu bir kare örgüde
keyfi bir konfigürasyon ele alalım.
Sistemde;
N− : aşaǧı yönelimli spinlerin sayısını,
N+ : yukarı yönelimli spinlerin sayısını
belirtmektedir.
N−
oranının 1/2 olması beklenir. Bizim buradaki amacımız
N
bu oranın 1/2’den daha farklı olması gerektiǧini göstermek olacaktır.
Dış alan yokluǧunda
96
Şekil 1.31: İki boyutlu Ising modelinde adacık duvarları.
Yukarı yönlü spinleri +, aşaǧı yönlü spinleri ise − işareti ile gösterelim. Örgü noktalarına rastgele yerleşen spinler kendi aralarında ayrı ayrı gruplara ayrılırlar ve birbirinden baǧımsız kapalı adacıklar yukarı ve aşaǧı yönlü spinleri birbirinden ayırır. Bir
kapalı adacık, yukarı ve aşaǧı yönlü spinleri birbirinden ayıran sürekli bir çizgiden meydana gelir. Farklı adacıkların duvarları birbirleri ile kesişmemektedir. Duvarların bir
kısmı kapalı bir şekil oluştururken, bir kısmı da örgünün sınırlarında başlayıp biterler.
Böylece keyfi biçimli bir poligon elde etmişoluruz. b uzunluǧundaki bir duvar kapalıbir poligondur ve b tane birim uzunluklu yatay ve dikey segmentten oluşur. Şimdi
bu poligonu, bir kenarının uzunluǧu b/4 birim olan bir karenin içine yerleştirelim.
Bu durumda,
A(poligon) <
b2
16
(1.3.223)
97
olur. b uzunluǧundaki çizgi sayısını (ya da adacık duvarlarının sayısı) m(b) ile gösterelim
ve şimdi örgünün sınırlarında bütün spinlerin yukarı yönelimli olduklarını kabul edelim.
Bu bir çeşit sınır koşulu teşkil eder ve sistem üzerinde bir dış alan etkisi göstermesine
raǧmen sonsuz örgü limitinde oldukça zayıf bir etki yaratır. Bu sınır koşulu aynı zamanda, yukarı ve aşaǧı yönlü spinlerin meydana getirdiǧi simetriyi bozma özelliǧine de
sahiptir.
Sistemde kendiliǧinden mıknatıslanmanın varlıǧını kanıtlamak için, oldukça düşük
ve sonlu sıcaklıklarda aşaǧı yönlü spinlerin ortalama sayısının 12 ’den daha az olduǧunu
göstermek gerekir. Bir kapalı çizgi setinde çizgiler b uzunluǧuna ve verilen bir uzunluk sınıfındaki duvarların i sayısına göre sınıflandırılırlar. Yani herhangi bir adacık
duvarı (b, i) etiketi ile karakterize edilir.
Şekil 1.32: Örgünün sınırlarındaki spinler yukarı yönlü olsun.
m(b) sayısına bir sınır koymak için birim uzunluktaki b tane çubuǧu yatay veya dikey
şekilde, N tane örgü noktasına sahip genişbir kare örgüde arka arkaya yerleştirerek
sürekli bir çizgi inşa ettiǧimizi hayal edelim. Bu işi yapabileceǧimiz farklı yolların
sayısı m(b) sayısından daha büyüktür. Ayrıca, inşa ettiǧimiz sürekli çizginin kapalı bir
çizgi olması da şart deǧildir. Yerleştireceǧimiz ilk çubuk N farklı noktaya gidebilir.
Geriye kalan b − 1 tane çubuk şekildeki gibi üçfarklı yönde gelişebilir.
98
m(b) ≤ N 3b−1
(1.3.224)
Örgü sınırlarındaki spinlerin tümü + olduǧu için, bütün − spinlerin etrafı en az bir
adacık duvarı ile çevrilidir. Belirli bir konfigürasyon için,
X(b, i) = 1: eǧer adacık duvarı(b, i) bu konfigürasyonda yer alıyorsa,
X(b, i) = 0: eǧer (b, i) konfigürasyon dışında ise.
Böyle bir konfigürasyonda − spinlerin sayısı şu eşitliǧi saǧlamalıdır:
N− ≤
X µ b2 ¶ m(b)
X
b
16
X(b, i)
(1.3.225)
i=1
Şimdi X(b, i)’nin termal ortalamasını hesaplayalım:
P0
hX(b, i)i = P
{s} e
−β²{s}
{s} e
−β²{s}
(1.3.226)
(b, i) adacıǧını içersinde barındıran konfigürasyondaki bütün spinleri ters çevirelim
(yani bütün + spinler −, − spinler ise + olsun).
C : eski konfigürasyonu,
C̃ : yeni konfigürasyonu göstersin.
Eski ve yeni konfigürasyonlar arasında sadece sınırlardaki etkileşme enerjileri farklıdır.
Yani sınırlarda C = −E ise C̃ = E olur.
4E = 2E : tek bir etkileşmenin enerji farkı.
Çevre: b
99
Bu durumda toplam enerji farkı: b.2E
Ec = Ec̃ + 2Eb
(1.3.227)
(1.3.226) eşitliǧinde tüm durumlarısaymak yerine C → C̃ durumuna geçtikten sonra
elde edilebilecek olası konfigürasyonları sayalım:
hX(b, i)i =
e−βEC1 + e−βEC2 + e−βEC3 + ...
e−βEC̃1 + e−βEC̃2 + e−βEC̃3 + ...
µ
hX(b, i)i = e
N− ≤
−2Eb
e−βEC̃1 + ...
e−βEC̃1 + ...
(1.3.228)
¶
(1.3.229)
hX(b, i)i ≤ e−2Eβb ≤ e−βEb
(1.3.230)
m(b) = N 3b−1
(1.3.231)
X b2 m(b)
X
X b2
N 3b−1 e−2Eb
e−2βEb =
12
16
(1.3.232)
X b2
N 3b−1 e−2Eβb
12
(1.3.233)
X b2
N 3b−1 N e−Eβb
16
(1.3.234)
i=1
b
N− ≤
b
b
N− ≤
b
1
N−
≤
N
48
X
b2 3b e−2βEb
(1.3.235)
b=4,6,8,...
b = 2l
l = 2, 3, 4, 5, ...
X
b2 3b e−βEb =
X
(2l)2 9le−βEl
l=2
∞
X
El =
l=0
X
b2 3b e−βEb =
1
1−E
∞
∂ 2 X ³ −2βE ´l
9e
∂(βE)2
l=2
(1.3.236)
(1.3.237)
100
∞
X
xl =
l=2
1
− 1 − x, x < 1
1−x
¶
1
−x−1
1−x
µ
¶
3
N−
x2
1 2
1− x+ x
≤
N
3(1 − x)3
4
4
N−
1
∂2
≤
N
48 ∂(βE)2
µ
(1.3.238)
(1.3.239)
x = 9e−2βE
Çok büyük ve sonlu β deǧerleri için bu oran 1/2’den küçüktür.
N−
1
≤
N
2
(1.3.240)
Problemler
1. Bir Boyutlu Ising Modeli: Bir boyutta birinci ve ikinci komşu etkileşimleri
içeren Ising modeli için Hamiltoniyen eşitliǧi;
−βH = K
N
X
Si Si+1 + L
i=1
N
X
Si Si+2
i=1
ile verilir. Periyodik sınır koşullarınıkullanarak
• 4 × 4’lük transfer matrisini oluşturun.

34
T12
++ +− −+ −−

 +−

=
 −+

−−
.
.
.
.
.
.
.
.
.







101
• λmax ’a karşılık gelen özvektörün

1

 
 a 
 
 
 a 
 
1
³
´
Z
formunda olduǧunu varsayarak, parçacık başına düşen serbest enerjiyi − β ln
N
hesaplayınız.
2. Bir Boyutlu Potts Modeli: Bir boyutta üçdurumlu Potts modeli için,
−βH = K
N
X
δSi ,Si+1
(Si = 1, 2, 3)
ise,
(K > 0)
i=1
´
³
transfer matris metodu ile serbest enerji yoǧunluǧunu f = − kBNT ln Z hesaplayın.
(Gerekli matris özvektörleri matrisin simetrisine bakarak tahmin edilebilir.)
3. Klasik Heisenberg Modeli: Ortalama alan teorisine göre;
−βH = K
X
S~i .S~j + ~h
X
<ij>
Si
³
K > 0,
S~i = (Six , Siy , Siz ),
´
~i |2 = 1
|S
i
ve her bir spinin 2q̄ tane komşusu olsun.
X
~i i,
M ≡h
S
Ã
ve,
i
~ = M.ĥ,
M
~h
ĥ =
h
!
olmalı.
• S~i .S~j → S~i .hS~j i yaklaşımıile M için bir denklem yazınız.
• Simetri gereǧi kritik noktada Hc = 0 alarak, Tc ’yi hesaplayınız.
1.3.12
Problemler İçin İpuçları
• Paramanyetizma: Bir dipolün sahip olduǧu enerji:
~ = −µi H cos θi
Ei = −~
µi H
102
Mıknatıslanma:
M = N hµ cos θi
Bu ortalamayı, kanonik topluluk formalizmi ile hesaplayın, tek parçacık bölüşüm
fonksiyonunu elde edin. Bu bilgileri kullanarak herhangi bir sıcaklıktaki mıknatıslanma
için
¾
½
1
M = N µ coth x −
x
formunda bir denklem elde etmelisiniz.
• İki Boyutlu İdeal Gaz: Yüzeydeki parçacıkların enerjisini Es =
hacmindeki parçacıkların enerjisini ise H =
p2
2m
p2
2m
− ², V
şeklinde seçerek iki durumun
kimyasal denge koşulunu ele alınız.
• Virial Katsayıları: İkinci virial katsayısınıhesaplamak için (1.3.79) eşitliǧini
kullanabilirsiniz.
• Kimyasal Denge: Sistemin bölüşüm fonksiyonunu yazdıktan sonra SaddlePoint yöntemini kullanarak istenen sonuçelde edilebilir. İkinci bir yol olarak
kimyasal potansiyel kullanılabilir.
• Bir Boyutlu Ising Modeli:
x = eK ve y = e2L olmak üzere transfer matrisi,

x2 y
x
1/x
1/y



 1/x y/x2 1/y
x 


T =

2
 x
1/y y/x 1/x 


2
1/y 1/x
x
x y
En büyük özdeǧer için parçacık başına serbest enerji;
−
f
kB T
=
n
³p
´o
1
ln 2+ln eK cosh(K + 2L) + cosh K
e4L cosh2 K + 1 − e2L cosh K
2
103
• Bir Boyutlu Potts Modeli: Transfer matrisi;


eK


T = 1

1
Simetri koşulu:

1
1
eK
1
1
eK

1
 
 
V1 =  1  ,
 
1






1




V2 =  0 


−1
Transfer matrisinden serbest enerjiye geçmek için
Z1 = T r(T )
eşitliǧini kullanın.
• Klasik Heisenberg Modeli: Hamiltoniyen eşitliǧini kullanarak bölüşüm fonksiyonu için,
·Z
Z≈
d(cos θ)dφe(Kmq̄+H) cos θ
¸N
denklemini elde etmelisiniz. İntegrali hesaplayarak bölüşüm fonksiyonundan kolayca mıknatıslanmaya geçilir.
KUANTUM İSTATİSTİK MEKANİK
Özgür Esat MÜSTECAPLIOǦLU
KOÇ ÜNİVERSİTESİ
DERS ASİSTANI :
Ahmet KELEŞ (Bilkent Üniversitesi)
DERS NOTU ASİSTANI :
Mehmet BATI (Dokuz Eylül Üniversitesi)
104
BÖLÜM İKİ
2.1
2.1.1
İstatistik Mekaniǧin Kabulleri
→
−
İstatistik mekanikte bir sistem incelenirken mikroskopik olarak{−
r i, →
p i } tanımlanabilir.
Bu tanım çoǧunlukla fazla bilgi gerektirdiǧi için gereksiz olabilir. Bunun yerine makroskopik
tanımlar kullanılır {N, V, T, E...}.
İstatistik mekanikte sistemin zaman ortalaması yerine denge civarındaki topluluk ortalaması alınır. Buna ergodik hipotezi denir. Klasik durumlardan genelleştirilmişkoordinatları kullanarak faz uzayında çalışıyoruz. Her klasik durum faz uzayında bir noktaya karşılık
gelir. Termodinamik büyüklüǧün ortalaması
Z
< θ >=
→
→
(d−
q d−
p ρ(q, p)θ(q, p)
(2.1.1)
ρ(q, p)faz uzayında(q, p) daǧılımıdır. Doǧadaki tüm sistemler kuantum mekaniǧine uyar.
Kuantum mekaniǧinde tüm gözlenebilir niceliklere bir operatör karşılık gelir. Bu operatör hermityen olmalı ve özdeǧerleri reel olmalı. θb = θbu Bir sistemin durumu Ψ(q, p)
dalga fonksiyonu ile belirlenir.
Durumlar bazı iç deǧişkenlere baǧlı olabilir(spinlere). Şimdilik spini göz ardı edeceǧiz.
Gözlenebilirlere (dinamik deǧişkenlere) qp − pq = i~ komütasyon ilişkisini saǧlayan
operatörler karşılık gelir. Bir dalga fonksiyonuna eşlik eden gözlenebiliri ölçmek için
özdeǧer denklemi yazılır ve deǧeri bulunur.Dahası bir işlemcinin özfonksiyonları bir
takım halinde olabilir. Notasyonu basitleştirmek amacıyla Dirac notasyonu kullanılır.
Ψ(q, p) →< q, p | ψ >
105
106
N
1 X
b
< θ >=
< ψ | θb | ψ >
N
(2.1.2)
l=1
ρ(q, p)faz uzayında(q, p) daǧılımıdır.
ψ urum vektörü özdeǧer denklemi yazılıp çözülerek bulunur.
H | ψ >= En | ψ >
< ψn | H | ψn >= En
| Ψl >=
X
aln | ψn >
n
Kuantum durumları seçilen baza aln baǧlı
n
1 X X ∗l l
b
am an < ψn | θb | ψn >
< θ >=
N
nm
(2.1.3)
l=1
ρ(q, p)f azuzayında (q, p) daǧılımıdır.
{aln } Topluluk tanımlar.
θmn =< m | θb | n >
| ψn >→| n >
Bu baǧlamda notasyonu basitleştirelim.
< θb >=
X
ρnm θmn
(2.1.4)
nm
ρ(q, p) faz uzayında (q, p) daǧılımıdır.
ρnm
N
1 X ∗ı ı
=
am an
N
l=1
ρnm yoǧunluk matrisi denir.
(2.1.5)
107
ρnm =< n | ρ | m > yoǧunluk matrisi operatörü ise;
ρb =
X
| ψm > ρmn < ψn |
(2.1.6)
nm
< θb >=
X
< n | ρb | m >< m | θb | n >
(2.1.7)
nm
P
m
| m >< m |= 1
| Ψ >= 1 | Ψ >
P
m | m >< m || Ψ >
P
| Ψ >= m am | ψ >
< θb >=
X
nm
< θb >=
b
< n | ρb | m
| ><
{z m} | θ | n >
X
< n | ρb θb | n >= T race
(2.1.8)
n
Böylece seçilen bazdan baǧımsız bir notasyon elde ederiz.
b
< θb >= T r(b
ρθ)
(2.1.9)
ρ(q, p) faz uzayında (q, p) daǧılımıdır. Denge durumunda İzole sistem zamanla deǧişir
mi? ρ(t) = ρ(0) Bu Liouville teoremi ile verilir.
Bu şartı saǧlayan üçtopluluk vardır. Bunlar;
108
1. Mikrokanonik topluluk: ρ(q, p) f azuzayında (q, p) daǧılımıdır.


ρnm =
ρ(E) =
1
Ω(E) ,
En = E
 0,
En 6= E
δ(H − E
,
Ω(E
veya n = m
veya n 6= m
Ω(E) =
X
δ(E − En )
(2.1.10)
n
ρ(q, p) f az uzayında (q, p) daǧılımıdır. Sistemin herhangi bir durumda bulunma
olasılıǧı eşittir. Seçilen enerjiye baǧlı buna eşit olasılıklar kabullenmesi denir.
ρnm = 0, E 6= En
2. Kanonik topluluk: Tüm sistem izole olmak üzere
ρb =
e−βH
T r(e−βH )
(2.1.11)
ρ(q, p) f az uzayında (q, p) daǧılımıdır.
3. Büyük kanonik topluluk: Bu toplulukta parçacık sayısı da deǧişiyor. [ρ, H] =
0 [ρ, N ] = 0
ρb =
e−β(H−µN )
T r(e−β(H−µN ) )
(2.1.12)
ρ(q, p) f az uzayında (q, p) daǧılımıdır.
Not:[H, ρ] = 0 dejenere olmayan durumları birbirine baǧlayamaz. < n | Hρ | m >
H | n >= En | n >
< n | H = En < n |
H † = H, En∗ = En
< n | Hρ | m >= En < n | ρ | m >= En ρnm
< n | Hρ | m >= Em ρnm
109
< n | [H, ρ] | m >= (En − Em )ρnm = 0
Em 6= En → ρnm = 0 Baz dönüşümü yaparsak.
ραβ =< α | ρ | β >
=
X
< α | m >< m | ρ | n >< n | β >
nm
ραβ =
X
ρmn < α | m >< n | β >
(2.1.13)
nm
< α | m >< n | β >Baz dönüşüm katsayısıdır.
1. Mikrokanonik topluluk:
P
P
ρmn = δmn | bn |n ρb = E<En <E+∆ | ψ >< ψ | = E<En <E+∆ | n >< n |
P
T r(b
ρ) = n ρnn = Γ(E) ≡ (Ω)
X
ρb =
E<En <E+∆
1
| n >< n |
Γ
(2.1.14)
(Normalize ettik.) S = k log Γ(E)
2. Kanonik topluluk:
ρmn = δmn e−βEn
β=
1
kT
(2.1.15)
Klasik olarak ortalama alırsak.
< θ >=
1
N !h3N
Z
dp dq ρ(p, q)θ(p, q)
(2.1.16)
Kuantum mekaniksel hesaplamada ise;
< θb >=
X
e−βEn < n | θ | n >
(2.1.17)
n
b
ρb =
e−β H
T r(e−β Hb )
(2.1.18)
110
b
QN (T, V ) ≡ T r(e−β H )
(2.1.19)
b
b −β H )
T r(θe
QN
< θ >=
3. Büyük kanonik topluluk:
(2.1.20)
b
e−β H−µN
ρb =
b
T r(e−β H−µN
)
(2.1.21)
Büyükkanonik bölüşüm fonksiyonu;
∞
X
Ξ(z, T, V ) =
z N QN (V, T )
N =0
Fugasity z = eβµ
Harmonik osilatör örneǧine bakarsak.
H=
1
p2
+ kx2
2m 2
1
b = ~ω(b
H
n+ )
2
n
b = a† a
b
H|ni
= Em |ni
q
ω=
1
En = ~ω(n + )
2
k
m
özdeǧer ve özvektörlere ihtiyacımız yok.
QN = T re−βH
QN =
X
hn|e−βH |ni
n
QN =
X
e−βEn
n
QN = e−β
~ω
2
∞
X
(e−β~ω )n
n=0
(2.1.22)
111
Geometrik seri 1 + r + r2 + ... = s r + r2 + r3 + ...0 = rs s =
1
1−r
~ω
QN
e−β 2
=
1 − e−β~ω
~ω
−1
−1
e−β 2
A=
ln QN =
ln
β
β
1 − e−β~ω
A=
~ω
+ kT ln(1 − e−β~ω )
2
S = k ln(QN ) +
hEi = −
E
T
∂
~ω
~ω
ln(QN ) =
+ β~ω
∂β
2
e
−1
S = −k ln(1 − e−β~ω ) +
~ω e−β~ω
T 1 − e−β~ω
1
hEi = ~ω(hb
ni + )
2
hb
ni =
1
eβ~ω
−1
Böylece foton ve fononlar için kullanılan daǧılımı elde ettik.
Problemler
1. Liouville teoremini kuantum mekaniǧi ile ilişkilendirerek elde ediniz.
i~
∂
b ρb]
ρb = [H,
∂t
ρb(t) = ρb(0) → [H, ρ] = 0
2. Aşaǧıda verilen yoǧunluk matrisi özelliklerini ispatlayınız.
i)T r(ρ) = 1
ii)ρ = ρu
112
iii) < ψ) | ρb | ψ >≥ 0
2.1.2
İdeal Gazlar
Etkileşmeyen N tane ayırt edilemeyen parçacıǧın hamiltoniyeni
N
X
Pi2
H=
2m
(2.1.23)
i=1
eşitliǧi ile verilir. Özdeş parçacıklar iki çeşittir. Fermiyon ve bozon olmak üzere.
Etkileşmeyen özdeş parçacıklar Boson gazı, fermiyon gazı ve yüksek sıcaklık limitinde boltzman gazı olarak incelenebilir. Kutu icinde serbest parçacık özdeǧer problemi
olarak bakılabilir.
Özdeş parçacıklar:
Fermiyon
Boson
Fermi gazı
Bose gazı
Femi-Dirac istatistiǧi
Bose-Einstein istatistiǧi
Antisimetrik dalga fonksiyonu
Simetrik dalga fonksiyonu
Spini plank sabitinin yarım ve katları
Spini tam ve tam katları
İdeal sistemin herhengi bir durumunun enerji özdeǧeri tek parçacık enerjilerinin
(enerji seviyeleri) toplamıdır.
εp =
p2
2m
113
p = |p| momentum özdeǧeri
p=
2π~
n
L
periyodik sınır şartları ya da dalga fonksiyonuna sınırlama getirerek çözülebilir. Girilebilir durum sayısı gösterimi {np }: Tüm p durumlarında kaç parçacıkcık var.
E=
X
εp np
p
N=
X
np
p
Verilen herhangi E ve N için kaç farklı durum var. Çok fazla parçacık var ve özdeş yerdeǧiştirmeleri
yeni bir durum oluşturmaz. Boltzman gazıiçin np = 1, 2, 3..., fakat N parçacıǧın durum
sayısı{np } =
QN !
np !
Şekil 2.1: Herbir hücredeki tekparçacık enerji spekturumu
εp =
4π 2 ~2 2
n
2mL2
εn − εn−1 = (n + 1)2 − n2 = 2n + 1
n artıkça enerji aralıkları artıyor. Ölçüm cihazının çözünürlüǧünden fazla ise durumlar sürekli görülebilir. İlk olarak bu ideal gazların mikrokanonik topluluk gösterimini
kullanarak termodinamik özelliklerini inceleyeceǧiz. Bu amaçla öncelikle verilen enerji özdeǧerleri civarındaki durum sayısı((Γ(E) veya Ω) nasıl hesaplanması gerektiǧini
öǧrenmeliyiz.
114
Kolaylık açısın dan ilk olarak spin tartışmasını gözardı edeceǧiz. Parçacıklarımızın
spinsiz olduǧunu kabul ediyoruz. {ni } tek bir hücredeki durumları göstermak üzere
P
Γ(E) = {ni } W {ni } W tek bir düzeyin girilebilir durumsayısıdır. Toplam tüm duP
P
rumları kapsamaktadır. E = i εi ni N = i ni
Bose ve fermi gazları için W {ni } bulmak için spektrumu parçalara ayırıyoruz i.hücrede
ni parçacıǧın daǧılımı ωi olmak üzere Boltzman gazında farklıhücrelerdeki parçacıkların
yer deǧiştirmesi yeni bir durumdur.
Bose gazı :
gi tane grup oluştursun Bu gruplarıoluşturmak için çizgiler çizdik. Çizgi sayısından
bir eksik grup oluşur. Buna parçacık sayısını ilave edersek tüm durumları elde ederiz.
Parçacıkların ve çizgilerin kendi içindeki yer deǧiştirmelerini çıkarıyoruz.
ωi =
W {ni } =
[(gi − 1) + ni ]!
ni !(gi − 1)!
Y [(gi − 1) + ni ]!
(2.1.24)
ni !(gi − 1)!
i
Fermi gazı :
Fermiyonlar bir düzeyde ya var ya da yoklar (Spinsiz) o halde: seçme problemi
kombinasyondur.
wi =
W {ni } =
gi !
ni !(gi − ni )!
Y
i
gi !
ni !(gi − ni )!
(2.1.25)
Boltzmann gazı : Her hücrede ni parçacık olsun. Toplam parçacık sayısı N olmak
üzere. Her kutu içindeki parçacıkların kendi aralarındaki daǧılımı gi ise
gin
ni !
farklıdurum
115
söz konusudur.
Toplam daǧılım sayısı
W {ni } =
Y g ni
i
(2.1.26)
ni !
i
Bu sayma problemi bize üç farklı daǧılım veriyor bunlar: Bose Einstein istatistiǧi,
Fermi Dirac istatistiǧi, Boltzmann istatistiǧi’ dir.
S = kB ln(Γ(E)) W nın ni ler üzerinde toplamına ihtiyacımız var. W (ni ) yaklaşık
eşit Γ(E) alınabilir. S = kB ln(W {ni })
Boltzmann gazı icin;
W {ni } =
Y g ni
i
ni !
i
ln(W {ni }) =
X
ln(
i
=
P
i ni ln(gi )
−
P
i ln(ni !)
ln(n!) = nln(n) − n Stirling yaklaşımı yapılırsa;
ln(W {ni }) =
X
ni ln(gi ) −
i
P
i ni
gini
)
ni !
X
ni ln(ni ) −
i
i
sabittir. Türev alınacaǧından almayabiliriz.
Baǧ şartları
N=
X
ni
E=
X
X
εi ni
ni
116
Bazı durumlar çok fazla karşımıza çıkar. ni en olası daǧılım adını alır. ni kendi
civarında küçük deǧişimlerle deǧişmiyorsa maksimumdur.
f0 = 0 =
f (x+δx)−f (x)
δx
çok deǧişken olduǧu zaman lagrange çarpanlarımetodu kul-
lanılır. Kısıtlama olduǧu zaman baǧımsız deǧişkenlerin sıfır olması için birbirine baǧlamalıyız.
δ(ln(W ) − α
X
ni − β
X
i
i
P
α
i δni
P
= 0 (sabit N’de)
P
i δni
=0
−β
P
i εi ni
δlnW =
i ε i ni
= 0 (sabit E’de)
=0
X
δ(ni ln(gi )) −
X
i
=
X
=
δ(ni ln(ni ))
i
ln(gi )δni −
i
X
εi ni ) = 0
X
ln(ni )δni + ni
i
1
δni
ni
(ln(gi ) − (ln(ni ) + 1) − α − βεi )δni = 0
i
=
X
ln(gi )δni −
i
X
ln(ni )δni + ni
i
ln( ngii ) = α + β + 1
ni = e1+α+βεi gi
1 + α = βµ
eβµ = z
Yeni parametreler tanımladık.
ni = gi zeβεi
z fugasity ,β =
1
kT
gi dejenerelik.
1
δni
ni
117
ÖDEV:Fermi ve Bose gazları için en olası daǧılımları(ni )türetiniz.
i→p
Boltzmann gazı
np = zeβεp
(2.1.27)
gi
−1
βε
z e i
(2.1.28)
Bose veya Fermi gazı
ni =
np =
∓1
1
z −1 eβεp
(2.1.29)
∓1
Baǧ şartlarından iki Lagrange çarpanı bulunabilir.
S = kb lnW {ni }
P
p np
=N
P
p εp np
=E
Y g ni
S
i
= ln(
)
k
ni !
(2.1.30)
X
S X
=
ni ln(gi ) −
ni ln(ni )
k
(2.1.31)
i
i
i

P
gi



i [ni log(1 + ni ) + gi log(1 +

S
P
gi
= log(W (n̄i )) =
i [ni log( ni − 1) − gi log(1 −

k


 P [ni log( gi )
i
ni
ni
gi )]
ni
gi )]
Bose
Fermi
Boltzmann

P
(βεi −log z)

−βεi )]

(Bose)

i gi [ z −1 eβεi −1 − log(1 − ze

S
P
(βεi −log z)
−βεi )] (Fermi)
=
i gi [ z −1 eβεi +1 + log(1 + ze

k

P

−βεi (βε − log z)]
 z
(Boltzmann)
i
i gi [e
X
S
=z
gi e−βεi (βεi − log(z))
k
i
118
N =z
X
gi e−βεi = z
X
e−βεp
p
i
toplamı integrale çevirirsek.
X
p
N =z
X
gi e−βεi = z
X
Z
V
→ 3
h
(4πp2 dp)
0
e−βεp =
p
i
∞
zV
h3
r
Z
∞
p2
dp4πp2 e−β 2m =
0
zV
λ3
(2.1.32)
2π~2
mkT
λ=
λ termal dalga boyu yada de Broglie dalgaboyu
v=
V
N
z Fugasity kuantum etkilerin ölçüsü
λ3
v
z=
E=
X
np εp
p
X
X
Z
∞
3
p2 −β p2
)e 2m = N kT
2m
2
(2.1.33)
3
N 2π~2 3
gi [e−βεp (βεp − log z)] = (βE − N log z) = N − N log[ (
)2 ]
2
V mkT
(2.1.34)
E=z
εi e
−βεi
=z
i
εp e
p
−βεp
zV
= 3
h
dp4πp2 (
0
3
E = N kT
2
z
X
p
Sackur-Tetrode eşitliǧi
Bu entropi termodinamiǧin üçüncü yasasını saǧlamaz.
Bose ve Fermi daǧılımlarınıkanonik toplulukta incelemek zor. Bu nedenle büyük
kanonik toplulukta çalışacaǧız.
119
2.1.3
Grand Kanonikte İdeal Gaz
İdeal gazın bölüşüm fonksiyonu
QN (V, T ) =
X
g{np }e−βE{np }
(2.1.35)
np
E{np } =
X
np ε p
p
X
np = N
p
Bose ve Boltzmann gazıiçin np = 0, 1, 2, 3... Fermi gazıiçin np = 0, 1 np ’ye karşıgelen
durum sayısı ise;
g{np } =

 1

bose ve Fermi
1 QN !
N ! ( p np ! )
Boltzmann
Boltzmann gazı için; Bu multinomial teoremi olarak bilinir.
QN =
X
(
n0 ,n1 ,...
X
e−βn0 ε0 e−βn1 ε1
1 −βε0
...) =
(e
+ e−βε1 + ...)N
n0 !
n1 !
N!
e
−βεp
p
V
= 3
h
Z
∞
p2
dp4πp2 e−β 2m = V
0
¡ mkT ¢ 3
2
2π~2
(2.1.36)
(2.1.37)
Büyük bölüşüm fonksiyonu yazılmalı.
Ξ(z, V, T ) =
X
∞
X
X
N
z QN (v, T ) =
N =0
N =0
{np }
| {z }
P
np =N
N −β
z e
P
εp np
∞
X
X Y¡
¢n
=
ze−βεp p
N =0 {n } p
p
| {z }
P
np =N
(2.1.38)
Geometrik seri açılımı,
Ξ=
X
n0 n1
...[{ze−βε0 }n0 {ze−βε1 }n1 ]...
120
X
X
Ξ = [ {ze−βε0 }n0 ][ {ze−βε1 }n1 ]
n0
n1
Y X
{ {ze−βε0 }n }
p
(2.1.39)
n
Bose gası için bölüşüm fonksiyonu;
Ξ=
Y
p
1
1 − ze−βεp
(2.1.40)
Fermi gazı ise np = 0, 1 olabilir.
Ξ=
Y
(1 + ze−βεp )
(2.1.41)
p

 − P log(1 − ze−βεp ) Bose
PV
p
= logΞ(z, V, T ) =
 P log(1 + ze−βεp )
kT
Fermi
p

 P ze−βεp
Bose
∂
p 1−ze−βεp
N =z
log Ξ(z, V, T ) =
P
−βεp
ze

∂z
Fermi
−βε
p 1+ze
p
Parçacık ortalaması;
∞
∞
P
X ze−βεp
1 X N X X
1 ∂
hnp i =
z
np e−β εp np = −
log Ξ =
Ξ
β ∂εp
1 ± ze−βεp
p
N =0
N =0 {n }
p
| {z }
P
(2.1.42)
np =N
N=
P
p np
İdeal Fermi gazı;
P
4π
= 3
kT
h
1
4π
= 3
v
h
Z
Z
∞
p2
dp p2 log(1 + ze−β 2m )
(2.1.43)
0
0
∞
dp p2
1
p2
(z −1 e−β 2m + 1)
Gerekli işlemler yapılarak ve Femi-Dirac fonksiyonlarıkullanılarak eşitlik;
(2.1.44)
121
q
λ=
2π~2
mkT
ve v =
P
1
= 3 f 5 (z)
kT
λ 2
(2.1.45)
1
1
= 3 f 3 (z)
v
λ 2
(2.1.46)
V
N
Burada toplamları integrale çevirerek durum denklemlerini elde ettik.
Z
4
f 5 (z) = √
2
π
∞
−x2
2
dx x log(1 + ze
)=
0
∞
X
(−1)l+1 z l
5
l=1
l2
(2.1.47)
∞
f 3 (z) = z
2
X (−1)l+1 z l
∂
f 5 (z) =
3
∂z 2
l2
(2.1.48)
l=1
İdeal Bose gazı;
4π
P
=− 3
kT
h
Z
∞
p2
dpp2 log(1 − ze−β 2m ) −
0
4π
1
= 3
v
h
Z
∞
1
dpp2
(z −1 e
0
p2
−β 2m
+
− 1)
1
log(1 − z)
V
(2.1.49)
1 z
V 1−z
(2.1.50)
Tekrar ilerleyen bölümlerde yapılmak üzere gerekli işlemler yapılarak ve Bose-Einstein
fonksiyonlarıkullanılırsa;
P
1
1
= 3 g 5 (z) − log(1 − z)
kT
λ 2
V
(2.1.51)
1
1
1 z
= 3 g 3 (z) +
v
λ 2
V 1−z
(2.1.52)
Ek terim taban durumdan kaynaklanmaktadır.(Bose Einstein yoǧunlaşması)
4
g 5 (z) = − √
2
π
Z
∞
−x2
2
dx x log(1 − ze
0
)=
∞
X
zl
5
l=1
l2
(2.1.53)
∞
X zl
∂
g 3 (z) = z g 5 (z) =
3
2
∂z 2
l2
(2.1.54)
l=1
U (z, V, T ) =
∞
1 X N X −β P εp np X
∂
z
log Ξ(z, V, T )
[e
εp np ] = −
Ξ
∂β
p
N =0
{np }
| {z }
P
np =N
(2.1.55)
122


3 kT
2 λ3 f 52 (z)
3 kT
2 λ3 g 52 (z)
1
U (z, V, T ) =

V
fermi
Bose
Eşitlikten z elenirse durum denklemi açılımın da ilk terimi U = 23 P V olur.
Ödev:
1)Bozonlar ve Fermionlar için durum denklemlerini elde ediniz.
2)Herbiri w frekansına sahip etkileşmeyan N harmonik osilatör için büyük bölüşüm
fonksiyonunu
a)Boltzmann istatistiǧi
b)Bose istatistiǧi kullanarak bulunuz.
2.2
BÖLÜŞÜM FONKSİYONUNUN GENEL ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde kesinçözümleri inceleyeceǧiz. N tane mikrokanonik alt sistem alıyoruz.Üretici
fonksiyonumuz;
f (z) = {
X
z Ei }N
(2.2.1)
Ω(U )z U
(2.2.2)
i
f (z) =
X
U
z = 0 da Taylor açılımına benzetilirse
Ω(U ) =
1 du f
|z=0
U ! dz u
Taylor açılımının kopleks uzaydaki eşdeǧeri Lorentz açılımıdır. z’yi kompleks kabul
edersek,Rezidüteoremi;
1
Ω(U ) =
2πi
Z
dz
f (z)
z U +1
(2.2.3)
123
z = reiθ türev yerine integral hesabıdaha kolay hesaplanabilir. Saddle point metodu
veya steepest descent metodu:
Z
C
dz N F (z)
e
≈ eN F (z0 )
z
Z
N
00
e− 2 F (z0 )(z − z0 )2
s
e
N F (z0 )
2π
N | F 00 (z0 ) |
(2.2.4)
0
F (z0 ) = 0 Bu yaklaşım stirling yaklaşımından daha iyi bir yaklaşım.
Ω(U ) =
1
2πi
Z
dz N ln(Pi z Ei )−U ln(z)
e
z
(2.2.5)
X
N F (z) = N ln(
z Ei ) − U ln(z)
i
X
d
(N ln(
z Ei ) − U ln(z))|z=z0 = 0
dz
i
P
Ei z Ei −1
U
=0
P 0Ei −
z0
z0
P
Ei z Ei
U = N P E0
z0 i
N
z0 =? birkez daha türevlersek.
< (∆E)2 >=< E 2 >< E >2
Ω(U ) = eN ln(
P
Ei
i z0 )−U ln(z0 )
1
2π < N (∆E)2 >
S = kln(Ω(U ))
X E
S = N kln(
z0 i ) − kU ln(z0 )
X E
S + kU ln(z0 ) = N kln(
z0 i )
S
− βU = ln(QN )
k
(2.2.6)
124
1
T
=
∂S
∂U
= −kln(z0 )
S−
U
= kln(QN )
T
Mikrokanonikten kononiǧe gecmiş olduk. QN = e−βF ln(QN ) = −βF
S
− βU = ln(QN ) = −βF
k
F = U − TS
Ödev:
d2 (N F )
N
= 2 < (∆E)2 >
dz 2
z0
Olduǧunu gösteriniz.
2.2.1
Bölüşüm Fonksiyonunun Klasik Limiti
N tane spinsiz özdeş parçacıǧın hamiltoniyen operatörü H kinetik ve potansiyel enerji operatörlerinin toplamıolarak yazılır. Permütasyon notasyonu ve özdeşparçacıklar:
ki adet özdeşparçacık olsun. H = H1 + H2 + H12 H12 ihmal edilirse;
→
→
H1 un1 (−
r 1 ) = En1 un1 (−
r 1)
→
→
r 2)
H2 un2 (−
r ) = En2 un2 (−
| {z 2}
uni
Etkileşmiyorsa sistemin dalga fonksiyonu tek parçacıkdalga fonksiyonlarının çarpımı olarak
yazılabilir.
Φn1 n2 → {un1 un2 }
Bosanlar simetrik fermiyonlar antisimetrik dalga fonksiyonuna sahiptir.
1 X
Φn (1, 2, ...N ) = √
δp [un1 (p1 )...unN (pN )]
N! p
(2.2.7)
125
1 X
Φn (1, 2, ...N ) = √
δp [upn1 (1)...upnN (N )]
N! p
(2.2.8)

 +1 çift permütasyon
δp =
 −1 tek permütasyon
1 X
Φn (1, 2) = √
δp [un1 (p1)un2 (p2)]
2 p


1
p1
(2.2.9)

 

1 2
1 2

+

p2
1 2
2 1
2
√1 (+1)un (1)un (2)
1
2
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u
(1)
u
(2)
n1
n1
¯
√1 ¯
¯
¯
2
¯un2 (1) un2 (2)¯
+ (−1)un1 (2)un2 (1)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u
(1)
u
(1)
1 ¯ n1
n2
¯
√ ¯
2 ¯un1 (2) un2 (2)¯¯
1 X
δp [up1 (P 1)...upN (P N )]
Φp (1, ..., N ) = √
N! p
(2.2.10)
1 X
δp [upp1 (1)...uppN (N )]
Φp (1, ..., N ) = √
N! p
(2.2.11)
pr
1
up (r) = √ ei ~
V
(2.2.12)
P
N parçacık probleminde V → ∞, p →
V
h3
R
d3 p Sistem etkileşimsiz ise H =
P
Ki
−
−
p→
r
1 i→
up = √ e ~
V
εp =
p2
2m
T re
−βK
VN
=
N !h3N
Z
d3N p d3N r|Φp (1, ..., N )|2 e−βKp
(2.2.13)
126
|Φp (1, ..., N )|2 =
1 XX
δp δp0 [u?p1 (P 1)up0 (N )]...[u?pN (P N )up0 (N )]
pN
pN
N! p 0
(2.2.14)
p
|Φp (1, ..., N )|2 →
X
δp [u?p1 (P 1)up1 (1)]...[u?pN (P N )upN (N )]
(2.2.15)
p
=
i
1 X
δp e ~ [p1 (r1 −pr1 )+...+pN (r1 −prN )]
N
V
p
(2.2.16)
Önce p’ leri toplarsak integrale katkıları aynı
1
=
N !h3N
Z
d3 pd3 r
X
i
−
→ −
→
−
→
−
→
−
→
−
→
δp e ~ { p 1 [ r 1 −p r 1 ]+ p N [ r N −p r N ]} e−βEp
p
Yazı mıkolaylaştırmak amacıyla yeni fonksiyon tanımlayalım.
R
→
f (−
r)=
q
λ=
2π~2
mkT
T re
)
πr 2
= e− λ2
(2.2.17)
→
f (−
r 1 ) = f (1)
1
=
N !h3N
−βK
→
−
−
p→
r
p2
d3 pe−β( 2m +i ~
R
p2
d3 pe−β( 2m )
1
=
N !h3N
Z
3
3
d rd p
d
δp e
→
i −
{[→
r 1 −p−
r 1 ]+...}
~
pd
z}|{
Ep
3N
(r)e
−β
2
(p2
1 +...pN )
2m
X
δp[f (r1 −pr1 )...f (rN −prN )] (2.2.18)
p
→
f (−
r j − prj ) = f (j)
=
1
N !h3N
Biraz daha basitleştirmeliyiz.
Z
d3 rd3 p
X
δp [f (1)...f (N ]
p
P
p
→ N ! terim var.Birim permütasyonlar

 1, 2 3...N
 1, 2 3...N
f (0) = 1, [f (0)]N = 1
e
−β
p
Z
3N
X
p2 +...p2
= 1 2m N
(2.2.19)
127
Diǧer permütasyonlar

 1, 2
3...N
 p1 , p2 p3 ...pN
f (r1 − rj ) i 6= j Permütasyon sayısıartıkça terimler küçülüyor. [f (ri − rj )]2 < 1
X
δp f (r1 − pr1 )...f (rN − prN ) = 1 ±
p
X
fij2 ±
i<j
(−)Fermiyon,(+)Bozonlarda f = e
fij fik fkj
(2.2.20)
i,j,k
q
−πr 2
λ2
X
rÀλ λ=
2π~2
mkT
Kuantum düzeltmelerde
birkaç terimi almak yeterli olur.
Parçacıklar arası uzaklık termal dalga boyundan çok büyük | ri − rj |À λ veya sıcaklık
çok büyük ise etkileşme klasik ideal gaz olarak incelenebilir.
T r(e−βK ) ≈
−βH
T r(e
Ω=
P
i<j
1
N !h3N
Z
1
)≈
N !h3N
d3N rd3N pe
2
−β(p2
1 +...pN )
2m
(2.2.21)
Z
d3N rd3N pe−β(K+Ω)
(2.2.22)
ν̃ij İdeal gazın bölüşüm fonksiyonuna birinci dereceden kuantum düzeltmeleri
yazarsak;Sadece efektif potansiyel yazılır.
1±
X
i<j
fij2 ≈
P
Y
(1 ± fij2 ) = e−β j<i ν̃ij
i<j
ν̃ij = −kT log(1 ± fij2 )
(2.2.23)
128
Bozonlar için çekici Fermiyonlar için itici bir etlileşimdir. Verilen sıcaklıkta parçacıklar
arasımesafeye bakarak terim ekliyoruz.
Ödev: Fermiyonik üç parçacık için dalga fonksiyonunun slater determinantı formunu
elde ediniz.
2.2.2
Tekillikler ve Faz Geçişleri
Şu ana kadar bölüşüm fonksiyonunun analitik olduǧunu biliyorduk, taylor serisine
açıyorduk. Böyle bir fonksiyon nasıl oluyorda tekil bir fonksiyona dönüşüyor. Faz
geçişleri termodinamik fonksiyondaki tekilliklere bakılarak anlaşılır. Sıvı gaz sistemlerinde basınç manyetik sistemlerde manyetizasyona bakılır. Bölüşüm fonksiyonunundaki analitik olmayan davranış ideal termodinamik limitte hacim sonnsuza giderken
parçacık yoǧunluǧunu sabit kabul ediyoruz. Birazdan tanımlayacaǧımız termodinamik
limitteki tekillikleri Yang ve Lee önermiştir. Sistem büyütülürse termodinamik limitte
dalgalanmalar aynen taşınırmı. limV →∞ limperm→0 Hangi limitin önce yapılacaǧı önemli
buna limitteki teklik denir. Analitik bir fonksiyonun analitik olmayan bir davranış göstermesiyle eşdeǧerdir. Parametrik durum denklemi
P
1
= log Ξ
kT
V
(2.2.24)
1
1 ∂
= z Ξ
v
V ∂z
(2.2.25)
129
0
Limit türeve benziyor. f (x) = limδx→0
f (x+δx)−f (x)
δx
Durum denkleminin limit durumuna bakarsak;
Limitlerin biri sonsuz biri sıfır
3
P
1
= lim
log Ξ
V →∞ V
kT
(2.2.26)
1
1 ∂
= lim
z Ξ
v V →∞ V ∂z
(2.2.27)
olan sistemler analitik olmayan davranışlar sergileye-
bilir. Limitler ne zaman yer deǧiştirebilir? limV →∞ ile ∂z yer deǧiştirebiliyorsa sistem
tek fazdadır.
Simetriyi kıran durumlar faz geçişleri teoremleri ile inceleniyor. Büyük bölüşüm fonksiyonunun Ξ köklerinin kopleks z düzleminde daǧılımıfaz geçişlerini belirler. V → 0 limitinde bölüşüm fonksiyonunun Ξ kökleri reel eksene yaklaşır. Bunlar iki teoremle
verilir.
Teorem 1:
F∞ (z) → lim
V →∞
1
log Ξ(z, V )
V
Bu limit tüm z > 0 deǧerlerinde saǧlanır. Sürekli ve z nin monoton artan bir fonksiyonudur. Eǧer yüzey alanıV
2
3
ten hızlı azalmıyorsa konuldugu hacimden baǧımsızdır.
Teorem 2 : Kompleks z düzleminde pozitif reel eksen (R) üzerinde bölüşüm fonksiyonunun Ξ köküyoksa R’de V → ∞ limitinde V −1 log(Ξ) ıraksar
Durum denkleminin parametrik formu;
P (z)
= F∞ (z)
kT
1
∂
= z F∞ (z)
v(z)
∂z
Analitik fonksiyon ise limitler yer deǧiştirebilir. limV →∞ ←→ ∂z Tek fazda yazılabilir.Problem
iki rejim arasıgeçişlerde meydana geliyor.
Örneǧin:
Prametrik denklemlerden kurtulmak için z elenirken çoǧu zaman elenemez
3 ∂
∂z
≡ limδz→0
130
kompleks uzayda kökler bulunarak faz geçişleri incelenir. Kritik nokta cıvarında davranışlar
interpolasyon ile bulunabilir.
Burada P > 0 ve v ile azalıyor tek fazdadır.
Örneǧin:
Ξ −→z=z0 0 her iki bölgede R1 veR2 de kök yok.Her iki bölge için durum denklemi
yazılabilir.
P (z)
= F∞ (z)
kT
1
= z∂z F∞ (z)
v(z)
Her iki bölge için grafikler çizilebilir önemli olan z nin z nin pozitif olduǧu eksenF∞ (z)’
yi artan bir fonksiyon olarak elde ettiǧimizi düşünelim z elemine edilirdse kritik nokta
iki deǧerli olur. Bu da birinci derece faz geçişidir.
131
Birinci türev sürekli ise ikinci türev testi uygulanırsa ikinci derece faz geçişi olabilir.
2.2.3
Lee-Yang Circle Teoremi
Verdiǧimiz iki teorem köklerin varlıǧıve daǧılımını inceliyordu Bir gaz kafesi tanımlayalım
burada çekici etkileşmeler olsun. Gaz kafesinde periyodiklik yok ayrıca enyakın komşu
etkileşmeleri olma zorunluluǧu yok.
132
İki gaz molekülü arası potansiyel
u → ∞ Eǧer iki atom veya molekül aynı örgü noktasında ise
u < 0 Eǧer iki atom veya molekül farkı örgü noktasında ise
Lee-Yang teoremi: Bölüşüm fonksiyonunun kökleri (z0 ) bir birim çember üzerinde
daǧılmıştır.
Ξ(z, V ) |z=z0 = 0
Sonlu hacimde kökler reel eksene yaklaşamıyorlar sadece z = 1 noktasına hacim sonsuza giderken yaklaşabiliyor çemberin içi ve dışı farklı fazları temsil eder pratik bir
modelleme.
Y
Y
(z − z0k )( (−z0k )−1 )
Ξ(z) =
k
(2.2.28)
k
z0k = eiθk termodinamik limitte kökler birim çember üzerinde sürekli daǧılım gösterirler
köklerin çember üzerindeki daǧılımını g(θ) ile gösterirsek;
Z 2π
1 X
→
dθg(θ)
V
0
? da kök) bunları kullanarak durum denklemini şöyle yazabiliriz.
g(θ) = g(−θ) (z0k
P
=
kT
Z
π
dθg(θ) log(1 − 2z cos(θ) + z 2 )
(2.2.29)
0
1
= 2z
v
Z
π
dθg(θ)
0
z − cos(θ)
1 − 2z cos(θ) + z 2
(2.2.30)
133
2.3
YAKLAŞIK YÖNTEMLER
2.3.1
Klasik Cluster Açılımı
Bir çok sistemi N parçacıklı klasik hamiltoniyen ile tanımlayabiliriz.
N
X
X
p2i
νij
H=
+
2m
i=1
(2.3.1)
i<j
Parçacıkların momentumu pi , parçacıklar arasıpotansiyel νij = ν(|ri − rj |) bölüşüm
fonksiyonu;
QN =
Z
1
h3N N !
QN =
p2
i
d3N d3N re−β 2m −β
1
Z
d3N e−β
λ3N N !
{z
|
P
i<j
P
i<j
νij
νij
(2.3.2)
(2.3.3)
}
ZN
Termal dalgaboyu λ =
2π~2
mkT
Bu integrale konfigürasyon integrali denir. Seri toplamı
şeklinde ifade edilebilir buna Cluster açılımı denir.
e−βνij − 1 ≡ fij
Ξ(z, V, T ) =
∞
X
z
ZN (V, T )
( 3 )N
λ
N!
N =0
(2.3.4)
(2.3.5)
134
ZN (V, T ) =
Z Y
N
−
d3 →
ri
i=1
ntegrant
N (N +1)
terimin
2
Y
(1 + fij )
çarpımıdır.Çarpımı açarsak;
Z Y
N
X
X
fij +
fij fkl + ...]
ZN (V, T ) =
[1 +
i=1
i<j
i<jk<l
Bunların grafik gösterimi:
←→
R QN
i=1 fα fβ ...fγ d
3r
i
N=3 için grafiklerden ilki ayırtedilebilirken diǧeri özdeştir.
Örnekler verelim. N=3 için;
Z
≡
N=10
(2.3.6)
i<j
d3 r1 d3 r2 d3 r3 f12 f13
(2.3.7)
135
ZN =(Tüm ayırt edilebilen N parçacık grafiklerinin toplamı),l cluster=(l parçacıklı
baǧlıçizgiler.)
bl =
1
(Tüm olasıl cluster larının toplamı)
l!V λ3l−3
N
X
lml = N
l=1
ZN =
X
S{ml }
{ml }
ml gösteriminde dikkatli olmalıyız. örneǧin m3 lerden birinde 3 baǧ var.
136
N=4 ,l=3 ,m3 fakat indis farklı
m1 + 2m2 + 3m3



3 0 0 → [O][O][O] ≡ [O]3 ise


1 1 0 → [O][O − O]



 100→
X
X
[O]3 =
[O][O][O]
| {z }
p
p
1 2 3
3! farklı seçim yapılabilir.
X
p
[O][O − O]
137



123


3!
→
213

2!


 321
Genel olarak;Terim sayısı(Her cluster kendiarasındaki permütasyonu yeni bir durum
deǧil.)
N!
[(1!)ml (2!)ml ...]
Q
ml !
(2.3.8)
N=3
3!
=1
[(1!)0 (2!)0 (3!)1 ]0!0!1!
S{ml }nin herhangibir deǧeri (1!V b1 )m1 (2!V λ3 b2 )m2 (3!V λ6 b3 )m3 ...
S{ml } = N !
N
Y
(V λ3l−3 bl )ml
ml !
l=1
N=
P
(2.3.9)
lml
S{ml } = N !λ3N
N
Y
1 V
( bl )ml
ml ! λ3
(2.3.10)
l=1
QN
N
XY
1 V
=
( bl )ml
ml ! λ3
(2.3.11)
{ml } l=1
Ξ(z, V, T ) =
∞
∞
X
X
m1 =0 m2 =0
veya,
...[
1 1
1 V 2 m2
( 3 zb1 )m1
( z b2 ) ...]
m1 ! λ
m2 ! λ3
∞
1
1 X
log(Ξ) = 3
b1 z l
V
λ
(2.3.12)
(2.3.13)
l=1
Parametrik durum denklemini şöyle elde ederiz.
∞
P
1 X
= 3
b1 z l
kT
λ
(2.3.14)
∞
1
1 X
= 3
lb1 z l
v
λ
(2.3.15)
l=1
l=1
138
Bu cluster açılımının parametrik durum denklemidir. Gazımız yüksek sıcaklıkta ve
düşük basınçta ise(dilute gas),
b¯l (T ) = lim bl (V, T )
(2.3.16)
∞
P
1 X¯ l
= 3
b1 z
kT
λ
(2.3.17)
∞
1
1 X ¯ l
= 3
lb1 z
v
λ
(2.3.18)
V →∞
l=1
l=1
∞
X
P
λ3
=
al (T )( )l−1
kT
V
(2.3.19)
l=1
al (T ) virial katsayısıdır.Bu eşitliklerden z elenirse virial katsayısı ile cluster integralleri (b¯l )arasındaki ilişki;
∞
X
al (
∞
X
P∞ ¯ l
l=1 b1 z
= P∞
¯ l
l=1 lb1 z
nb¯n z )
n l−1
n=1
l=1
(b¯1 z +2b¯2 z 2 +3b¯3 z 3 ...)[a1 +a2 (
∞
X
nb¯n z n )+a3 (
n=1
∞
X
nb¯n z n )2 ] = b¯1 z + b¯2 z 2 + b¯3 z 3 (2.3.21)
n=1
Her z aynı dereceli üsleri eşitlenirse;
a1 = b¯1 = 1
a2 = −b¯2
2
a3 = 4b¯2 − 2b¯3
3
a4 = −20b¯2 + 18b¯2 b¯3 − 3b¯4
...
βP = n(a1 + b¯2 λ3n)
Birinci dereceli terimden P V = nkT elde edilir.
(2.3.20)
139
2.3.2
Kuantum Cluster Açılımı
Kahn ve Uhlenbeck kuantum mekaniksel olarak cluster açılımını yapmışlardır. V
hacminde N özdeş parçacık olsun. Hamiltonyeni yazarsak; Burada momentum operatör
−
→
Pbi → −i~∇i
−2 X
X→
Pi
b =
H
νij
(2.3.22)
+
2m
i
i<j
Z
QN (V, T ) = T r(e
−βH
→
d3 −
r
)=
X
Ψ?α (1, 2, ...N )e−βH Ψα (1, 2, ...N )
(2.3.23)
α
{Ψα }ortonormal dalga fonksiyonlarının komple setir. Dalga fonksiyonunun simetrik
veya antisimetrik olması önemlidir. Tanımlamamızı şöyle yapalım.
WN (1, 2, ...N ) = N !λ3N
X
Ψ?α (1, 2, ...N )e−βH Ψα (1, 2, ...N )
(2.3.24)
α
Bölüşüm fonksiyonunu tekrar yazalım.
QN (V, T ) =
1
N !λ3N
Z
d3N rWN (1, 2, ...N )
(2.3.25)
a)
→
W1 (−
r1 ) = 1
2
−
→
→
−
→
p−
r
p−
r
~2 ∇
λ3 X −i →
1
1
−
W1 (1) = W1 (→
r1 ) =
e ~ e−β 2m ei ~
V −
→
P
X
Z
d3N p d3N r
h3N
→
λ3
→
W1 (−
r1 ) =
V
Z
p2
d3 pe−β 2m = 1
W1 (1) = 1
(2.3.26)
140
Farklı baz seçiminden baǧımsız.
WN (1, 2...N )
→
→
→
→
N=2 {−
r1 , −
r2 } −
r1 ∈ A −
r2 ∈ B
→
−
→
−
→
N → {−
r1 ..., −
r→
N } { ri } ∈ A{ rj } ∈ B Parçacıklar
arası uzaklık ve etkileşme mesafesi büyük
→
→
|−
ri − −
rj |À r0
→
→
|−
ri − −
rj |À λ
→
→
−
→
−
→
WN (−
r1 , −
r2 ...−
r→
N ) ≈ WA (rA )WB (rB )
(2.3.27)
N=2 Kuantum girişim yok.Etkileşmeler zayıf ise,
−
→
|→
r1 − −
r2 |→ ∞
W (1, 2) = W1 (1)W2 (2)
(2.3.28)
W (1, 2) = W1 (1) − W2 (2) = u2 (1, 2)
(2.3.29)
W2 (1, 2) = W1 (1)W2 (2) + u2 (1, 2)
(2.3.30)
−
−
Tanımladıǧımız fonksiyon U bir hata fonksiyonu. | →
r1 −→
r2 |→ ∞ =⇒ u2 (1, 2) → 0 olmalı
W1 (1) = u1 (1) = 1
W2 (1, 2) = u1 (1)u1 (2) + u2 (1, 2)
(2.3.31)
W3 (1, 2, 3) = u1 (1)u1 (2)u1 (3) + u1 (1)u2 (2, 3) + ul (2)u2 (3, 1) + u1 (3)u2 (1, 2) + u3 (1, 2, 3)
(2.3.32)
...
WN (1, 2, ...N ) =
XX
{ml } p
[u ()...u ()] [u (, )...u (, )] ... [u (, , ..., )]
| 1 {z 1 } | 2 {z 2 } | N {z
}
m1
m2
mN
(2.3.33)
141
Baǧ şartı
P
lml = N
bl (V, T ) =
Z Y
l
l
l!λ3l−3 V
→
d3 −
ri ul (1, ..., l)
(2.3.34)
i=1
çözümüyerine yazarsak
u1 (1) = W1 (1) = 1
u2 (1, 2) = W2 (1, 2) − W1 (1)W1 (2)
(2.3.35)
u3 (1, 2, 3) = W3 (1, 2, 3) − W2 (1, 2)W1 (3) − W2 (2, 3)W1 (1) − W2 (3, 1)W1 (2) (2.3.36)
+2W1 (1)W1 (2)W1 (3)
Terim sayısını biliyoruz.
N!
Q
mj
(j!)
j
l ml !
Q
Z
→
3−
d r WN (1, 2, ...N ) =
X
ml
N!
Q
mj
j (j!)
Z
Q
l ml !
−
d3N →
r [u1 ...u1 ][u2 ...u2 ]...
Z
X 1 Z
1
→
→
→
3−
m1 1
N!
[ d r1 u1 (1)]
[
d3 −
r1 d3 −
r2 u2 (1, 2)]m2 ...
m
!
m
!
2!
1
2
m
l
N!
N
XY
(V λ3l−3 b1 )ml
ml l=1
ml !
QN (V, T ) =
= N !λ3N
N
XY
1 V
( 3 bl )ml
m
!
λ
l
m
l
l=1
N
XY
1 V
( bl )ml
ml ! λ3
(2.3.37)
{ml } l=1
Klasik Bölüşüm fonksiyonu ile aynı sonuç fakat cluster integrallerinde bir fark var.

 l− 25
¯
bl =
 −1l+1 l− 52
ideal bose gazı ise
ideal fermi gazı ise
142
2.3.3
İkinci Virial Katsayısı
İki parçacıklısistemlerde hamiltoniyen;
H=
−~2 2
→
−
(∇1 + ∇22 ) + v(| −
r1 − →
r2 |)
2m
(2.3.38)
Normalize öz fonksiyon Ψα ’nın öz deǧeri Eα olsun.
HΨα (1, 2) = Eα Ψα (1, 2)
(2.3.39)
−
→
−
→
−
r1 + →
r2
)
R =(
2
−
→
→
→
r =−
r2 − −
r1 indirgenmiş kütle ve kütle merkezi koordinatları kullanılırsa;
−
→→
1 −
→
r)
Ψα (1, 2) = √ ei p R ψn (−
V
Eα =
(2.3.40)
p2
+ ²n
4m
Burada α (p,n) kuantum sayılarına karşılık geliyor.Baǧıl dalga fonksiyonu ψn aşaǧıdaki
özdeǧer eşitliǧini saǧlar.
[
−~2 2
→
→
∇ + v(r)]ψn (−
r ) = ²n ψn (−
r)
m
R →
→
Normalizasyon şartı; d3 −
r |ψn (−
r )|2 = 1 Dalga fonksiyonunu kullanıpW2 (1, 2) hesaplanırsa;
W2 (1, 2) = 2λ6
X
α
|Ψα (1, 2)|2 e−βEα =
p2
2λ6 X X
→
|ψn (−
r )|2 e−β 4m e−β²n
V p n
(2.3.41)
143
V → ∞ p üzerinden toplam aşaǧıdaki hali alır.
3
Z
p2
1 X −β p2
4π ∞
22
2
−β
e 4m = 3
dpp e 4m = 3
V p
h 0
λ
q
λ=
2π~2
mkT
(2.3.42)
termal dalga boyudur.
5
W2 (1, 2) = 2 2 λ3
X
→
|ψn (−
r )|2 e−β²n
(2.3.43)
n
tüm hesapları iki parçacık etkileşmiyorken yaparsak;
5
W20 (1, 2) = 2 2 λ3
X
0
→
|ψn0 (−
r )|2 e−β²n
(2.3.44)
n
b¯2 =
1
2λ3 V
Z
1
= 3
2λ V
→
→
d3 −
r1 d3 −
r2 [u2 (1, 2)]
b̄2 −
(0)
b̄2
1
= 3
2λ V
Z
Z
−
→ →
d3 R d3 −
r [W2 (1, 2) − 1]
−
→ −
(0)
d3 R d3 →
r [W2 (1, 2) − W2 (1, 2)]
(2.3.45)
(2.3.46)
W2 yarine yazılırsa;
X
√ Z 3−
0
→
→
2 2 d →
r
[|ψn (−
r )|2 e−β²n − |ψn(0) (−
r )|2 e−β²n ]
(2.3.47)
n
√ X −β²
0
2 2
(e n − e−β²n )
n

 2− 52
0
b̄2 =
 −2− 52
ideal bose gazı ise
ideal fermi gazı ise
Saçılma teorisini gözden geçirmek yararınıza olacaktır.η Saçılma faz kaymasıdır.
²0n =
~2 k 2
m
(2.3.48)
144
b̄2 −
b̄02
3
2
=2 {
X
Z
e
−β²B
∞
+
dk[g(k) − g (0) (k)]e−β
~2 k 2
m
}
(2.3.49)
0
B
g(k) − g (0) (k) =
0
∂ηl (k)
1X
(2l + 1)
π
∂k
(2.3.50)
l

 0, 2, 4, 6... Boson ise
l=
 1, 3, 5, 7... fermiyon ise
Z
0
1X
∂ηl (k) −β ~2 k2
m }
dk
(2l + 1)
e
π
∂k
(2.3.51)
Z ∞
0
~2 k2
3 X
λ2 X
(2l + 1)
dkkηl (k)e−β m }
b̄2 − b̄02 = 2 2 {
e−β²B + 2
π
0
(2.3.52)
b̄2 −
b̄02
3
2
=2 {
X
e
−β²B
+
0
B
∞
l
Kısmi integrasyon yapılırsa;
B
2.3.4
l
Varyasyon Prensibi
H(λ) = H0 + λ(H − H0 )
Bölüşüm fonksiyonu;
Z(λ) = T re−βH0 +λ(H−H0 )
(2.3.53)
d2 ln(Z) 2
β h(H − H0 )2 i ≥ 0
dλ2
(2.3.54)
Konveks fonksiyonunun ikinci türevi pozitiftir.
ln Z(λ) ≥ ln Z(0) + λ
d ln Z
|λ=0
dλ
(2.3.55)
145
λ = 1 ⇒ Gibbs eşitsizliǧi
ln Z ≥ ln Z(0) + βhH0 i0 − βhHi0
(2.3.56)
Gibbs Varyasyonel yaklaşımı
Klasik veya kuantum mekaniksel topluluklarda normalize yoǧunluk fonksiyonu ρ ile
gösterilsin. Klasik ise pozitif bir büyüklük iken kuantum mekaniksel ise hermityen bir
operetörün özdeǧeridir. ψ fonksiyoneldir.
T rρ = 1
ψ(ρ) = T r(Hρ) + β −1 T r(ρ log ρ)
(2.3.57)
Gibbs prendsibi ψ(ρ) ρ deǧişkenine göre minimize edilirse Helmholtz serbest enerjisi
A = ψ(ρ̄)
δψ = T r{[(H) + β −1 (1 + log ρ)]δρ}
(2.3.58)
δ 2 ψ = T r[(βρ)−1 (δρ)2 ]
(2.3.59)
Konveks foksiyon minimize edersek δψ = 0
0 = δψ + λδ(T rρ) = T r{[(H) + β −1 (1 + log ρ) + λ]δρ}
(2.3.60)
λ lagrange çarpanıdır.
ρ̄ =
e−βH
T r(e−βH )
(2.3.61)
2.2.6 da yerine yazarsak.
ψ(ρ̄) = −β −1 log T r(e−βH )
Peieris varyasyon ilkesi
(2.3.62)
146
Kuantum mekaniksel bir sistemin hamiltoniyeni H ise. Bölüşüm fonksiyonu;
Q = T r(e−βH )
(2.3.63)
hHi = hΦn |H|Φn i
(2.3.64)
Q≥
X
T r(e−β{Φn ,HΦn } )
(2.3.65)
n
f (x) =
X
cn f (xn )
(2.3.66)
n
cn ≥ 0,
X
cn = 1
(2.3.67)
n
1
f (x) = f (x) + (x − x̄)2 f 00 (x1 )
2
(2.3.68)
1
f (x) = f (x) + (x − x̄)2 f 00 (x1 )
2
(2.3.69)
f 00 (x1 ) ≥ 0 konveks fonksiyon ise
f (x) ≥ f (x)
X
Φn =
(2.3.70)
Snm Ψm
(2.3.71)
m
X
|Snm |2 = 1
(2.3.72)
n
(Φn , HΦn ) =
X
|Snm |2 Em
(2.3.73)
m
Q=
X
n
q=
X
n
e−βEn
XX
n
e−β(Φn ,HΦn ) =
|Snm |2 e−βEm
(2.3.74)
m
X
n
e−β
P
m
|Snm |2 Em
(2.3.75)
147
f (x) = e−βx
En =
X
|Snm |2 Em
(2.3.76)
|Snm |2 f (Em )
(2.3.77)
¯ n f (Ēn )
f (E)
(2.3.78)
m
¯
f (E)
n =
X
m
Q−q =
X
n
Q−q ≥0
2.3.5
(2.3.79)
Düşük Sıcaklıklarda Gerçek Gazlar
Gazları, en basit modeli ideal gaz modelidir. Burda s dalgalarının saçılması ile
açıklanır. Açıklamak için
Ψ(rl , r2 ) = eiP R ψ(r)
(2.3.80)
1
R = (r1 + r)
2
(2.3.81)
r = r2 − r1
(2.3.82)
Kütle merkezi koordinatlarında Schrödinger denklemi:
(∇2 + k 2 ψ(r)) = 0 (r > a),
E(P, k) =
Çözersek;
ψ(r) = 0 (r ≤ a)
~2 k 2
P2
+
2M
2µ
(2.3.83)
(2.3.84)
1 d ¡ 2 dψ ¢
r
= 0 (r > a)
r2 dr
dr
(2.3.85)
ψ(r) = 0 (r ≤ a)
(2.3.86)

 sabit(1 − a ) (r > a)
r
ψ(r) =
 0
(r ≤ a)
yeni dalga fonksiyonu tanımlayalım
(∇2 + k 2 )ψex (r) = 0 heryerde, (r = 0)
(2.3.87)
148
ψex (a) = 0
(2.3.88)
a
ψex (r) →r→0 (1 − )χ
r
(2.3.89)
k=0 ise
χ sabit r → ∞ sınır şartına baǧlı.
∂
→
→
ψex (r) →r→0 4πaδ(−
r )χ = 4πaδ(−
r ) (rψex )
∂r
(2.3.90)
∂
−
(∇2 + k 2 )ψex (r) = 4πaδ(→
r ) (rψex )
∂r
(2.3.91)
∂
−4π
δ(r) r
k cot η0
∂r
(2.3.92)
−1
tan(ka)
ka2
=
= a[1 +
+ ...]
k cot η0
k
3
(2.3.93)
∂
∂
rψex ]r=0 = ψex (0) + [r ψex ]r=0 = ψex (0)
∂r
∂r
(2.3.94)
S dalgası potansiyeli
S dalgası potansiyeli
[
ψex (r) →r→0 Ar−1 + B
[
∂
rψex ]r=0 = B
∂r
(2.3.95)
Etkileşen iki parçacık sonlu potansiyel altın da Eşitlik.
~2 2
(∇ + k 2 )ψ(r) = v(r)ψ(r)
2µ
(2.3.96)
r → ∞ Sınır şartlarında ve düşük enerjilerde S saçılmaları önemlidir.Küresel simetrik
149
çözüm;
00
u (r) + k 2 u(r) =
µ
v(r)u(r)
~2
(2.3.97)
u(r) = rψ(r)
(2.3.98)
Burada v(r) nin sonlu aralıǧa etti ettiǧini kabul ettik ve sınır şartı koymadık.
r → ∞ u(r) sinüzoidal formdadır.
u(r) →r→∞ u∞ (r)
(2.3.99)
u∞ (r) = rψ∞ (r) = sbt.(sin(kr) + tan(η0 ) cos(kr))
(2.3.100)
η0 faz kayma çarpanıSdalgası faz kayması k → 0
ψ∞ (r) →r→0 sbt.(1 +
tan(η0 )
)
kr
(2.3.101)
Şekil 2.2: Pozitif saçılma aralıǧı ve itici potansiyel altında dalga fonksiyonu.
1 1
k cot(η0 ) = − + k 2 r0 + ...
a 2
(2.3.102)
a saçılma aralıǧı r0 ise effektif menzildir.(2.3.102)Eşitliǧi (2.3.100)de yerine yazılırsa;Asimptotik
denklemler elde edilir.Düşük enerjilerde yukarıdaki eşitlikteki terimler ihmal edilirse;
−
1
≈a
k cot(η0 )
(2.3.103)
150
Bu yaklaşıma şekilden baǧımsız yaklaşım (”shape-independent approximation,”)denir.
Şekil 2.3: Negatif saçılma aralıǧı ve çekici potansiyel altında dalga fonksiyonu.
N parçacık problemi:
N
−~2 X 2
∇i ψ = Eψ
2m
rij>0 , i 6= j
(2.3.104)
i=1
ψ=0
rij≤a , i 6= j
(2.3.105)
İki cisim diyagramatik olarak küre ile gösterilebilir üçcisim ve sonrası Silindirlerle temsil
edilebilir.
Şekil 2.4: Hiper yüzey 3N boyutlu şekillenim uzayı
Üçparçacık problemi:
151
(∇21 + ∇22 + ∇23 )ψ + k 2 ψ =
X
(2 parçacık potansiyelleri) + δ(r1 − r2 )δ(r1 − r3 )Kψ
(2.3.106)
K ∼ a4
H=−
~2
4πa~2 X
δ(ri − rj )
(∇21 + ... + ∇2N ) +
2m
m
i<j
(2.3.107)
Mehmet Özgür OKTEL
BİLKENT ÜNİVERSİTESİ
DERS ASİSTANI :
Ahmet KELEŞ (Bilkent Üniversitesi)
DERS NOTU ASİSTANI :
Meltem GÖNÜLOL (Dokuz Eylül Üniversitesi)
152
BÖLÜM ÜÇ
KUANTUM İSTATİSTİK MEKANİK - II
3.1
GİRİŞ - KUANTUM İSTATİSTİK MEKANİK
T sıcaklıǧında dengeye gelmiş bir sistemi tanımlamak için yoǧunluk matrisi kullanılır. Yoǧunluk matrisi, bütün enerji seviyeleri üzerinden toplam alarak
ρ̂ =
X
pn |ni hn|
(3.1.1)
n
pn : klasik ihtimaller
şeklinde bir operatör olarak tanımlanabilir. İstatistik mekanikte pn , Boltzman faktörü olarak
Şekil 3.1: Enerji seviyeleri
bilinir. Kananonik toplulukta pn ∝ e−β²n , Büyük kanonik toplulukta ise pn ∝ e−β(²n −µN )
olarak tanımlanır.
Bu durumda kanonik toplulukta yoǧunluk matrisi,
ρ̂ =
X
e−β²n |ni hn|
(3.1.2)
n
Ĥ |ni = ²n |ni
ρ̂ =
X
e−β Ĥ |ni hn|
(3.1.3)
(3.1.4)
n
X
|ni hn| = 1 ⇒ Tamlık baǧıntısı
n
153
(3.1.5)
154
ρ̂ = e−β Ĥ
(3.1.6)
olarak yazılır. Aynı şekilde büyük kanonik toplulukta yoǧunluk matrisi,
ρ̂ = e−β(Ĥ−µN̂ )
(3.1.7)
olur.
Herhangi bir Ô operatörünün beklenen deǧeri,
hÔi = hψ|Ô|ψi ⇒ Kuantum mekaniǧinde
(3.1.8)
P
n pn hÔi
⇒ İstatistik mekanikte
hÔi = P
n pn
(3.1.9)
denklemleriyle bulunur. Kuantum istatistik mekanikte ise Ô operatörünün beklenen
deǧeri,
hÔi =
X
n
pn hn|Ô|ni =
X
hn|ρ̂Ô|ni = T r[ρ̂Ô]
n
denklemiyle bulunur. T r kullanılan bazdan baǧımsızdır.
* T r[ρ̂Ô] = T r[Ôρ̂], operatörler birbirini komute etmese bile geçerlidir.
İspat:
T r[ρ̂Ô] =
X
XX
hn|ρ̂Ô|ni =
hn|ρ̂|mihm|Ô|ni
n
n
m
m
n
XX
=
hm|ρ̂|nihn|Ô|mi
X
=
hm|Ôρ̂|mi = T r[Ôρ̂]
m
(3.1.10)
155
3.1.1
Bölüşüm Fonksiyonu
Klasik istatistik mekanikte bölüşüm fonksiyonu,
Z=
X
e−β²n
(3.1.11)
n
ile verilir ve Helmholtz Serbest Enerji,
F = −kB T ln Z
(3.1.12)
denklemiyle bulunur. Kuantum istatistik mekanikte ise bölüşüm fonksiyonu ve Helmholtz
Serbest enerji,
Z = T r[ρ̂] = T r[e−β Ĥ ]
(3.1.13)
F = −kB T ln Z
(3.1.14)
denklemleriyle bulunur.
3.1.2
Büyük Kanonik Topluluk
Büyük kanonik toplulukta yoǧunluk matrisinin
ρ̂ =
X
pn |ni hn|
n
pn = e−β(²n −µNn )
Nn → |ni hn| durumundaki parçacık sayısı. |ni, çok parçacık hamiltonyenin öz durumlarıdır.
ρ̂ = e−β(Ĥ−µN̂ )
şeklinde verildiǧini görmüştük. Bu durumda büyük kanonik toplulukta bölüşüm fonksiyonu,
Z(T, µ, V ) = T rρ̂ =
X
n
e−β(²n −µNn )
(3.1.15)
156
olarak bulunur. Sistemdeki ortalama parçacık sayısı da,
hN i = T r[N̂ ρ̂] =
X Nn e−β(²n −µNn )
P −β(² −µN )
n
n
ne
n
hN i =
(3.1.16)
∂ ln Z
∂(βµ)
(3.1.17)
olur.
Bölüşüm fonksiyonundan yararlanarak büyük potansiyel ve türevleri aşaǧıdaki gibi
bulunur.
G = −kB T ln Z = E − T S − µN
−S =
∂G
|µ,V
∂T
N =−
∂G
|T,V
∂µ
p=−
(3.1.18)
∂G
|T,µ
∂V
(3.1.19)
İdeal bir sistemin entropisinin, enerjisinin extensive olmasını bekleriz. Bu durumda
sadece ideal sistemler için,
G = −P.V
(3.1.20)
baǧıntısı geçerli olur.
3.1.3
Çok Parçacık Sistemleri
N tane parçacık olsun. ~x1 , ~x2 , ~x3 , . . . , ~xN . Burada ~x, parçacıǧa ait olabilecek tüm
koordinatları gösterir. Kuantum mekaniǧinde bu sistemi tam olarak tanımlamak için
koordinatların hepsinin fonksiyonu olan bir dalga fonksiyonu yazılır.
ψ(~x1 , ~x2 , ~x3 , . . . , ~xN )
Eǧer parçacıklar birbirinden ayırt edilemezse, bu fonksiyonun saǧlaması gereken çok
önemli bir özellik vardr.
ψ(~x1 , ~x2 , ~x3 , ~xi , . . . , ~xj , . . . ~xN ) = ±ψ(~x1 , ~x2 , ~x3 , ~xj , . . . , ~xi , . . . ~xN )
157
~xi ve ~xj yerdeǧiştirdiǧinde dalga fonksiyonu ya kendisine yada ters işaretlisine eşit olur.
Bu, i ve j den baǧımsızdır.
Denklemdeki (+) işareti bozonlar, (-) işareti fermiyonlar için kullanılır. Bozonların
spini 0, 1, 2, . . . , gibi tamsayılardır. Fermiyonların spini 1/2, 3/2, . . . , gibi deǧerler alır.
Bir tek parçacık durumunda birden fazla fermiyon bulunamaz.
3.1.4
Problemler
1) T sıcaklıǧında bir harmonik salınıcı için
1
p2
1
Ĥ = mw2 x2 +
= ~w(a+ a + )
2
2m
2
hx̂2 i =?[T → 0 iken hx̂2 i temel durum beklenen deǧerine dönüşüyor mu?], hp2 i, Z, Cv ’yi
hesaplayın.
2) T r[x̂p̂] = T r[p̂x̂] yazabiliyorduk. Bu durumda T r[x̂p̂] − T r[p̂x̂] = 0 olması gerekir.
T r[x̂p̂] − T r[p̂x̂] = 0 ⇒ T r[x̂p̂ − p̂x̂] = 0
X
hn| i~ |ni = 0
T r[i~] = 0 ⇒
i~
X
n
hn| |ni
=
i~∞ 6= 0
n
Bu çelişkiyi açıklayın.
3) Parçacık sayısındaki dalgalanmayı bulun (hN 2 i − hN i2 ).
3.2
İDEAL (ETKİLEŞİMSİZ) BOZON VE FERMİYON SİSTEMLERİ
Bir tane tek parçacık problemi olduǧunu düşünelim. Tek parçacık probleminin hamiltonyeni
Ĥ olsun ve bu hamiltonyeni çözebildiǧimizi düşünelim
Ĥ |ni = ²n |ni. Bu tek parçacık sistemine bozonlar yada fermiyonlar koymaya başlarsak
bunların istatistik mekaniǧini nasıl yaparız?
158
i) Fermiyonlar için:
Büyük kanonik toplulukta bu sistemin bölüşüm fonksiyonu, bütün durumların bölüşüm
fonksiyonlarının toplamına eşittir.
Z=
Y
zn
(3.2.1)
Tek durumun bölüşüm fonksiyonu zn ,
X
zn =
e−β(²n −µ)m
(3.2.2)
n. durumda m parçacık
olarak yazılır. Bir durumda 0 yada 1 fermiyon bulunabileceǧinden tek durumun bölüşüm
fonksiyonu,
zn = 1 + e−β(²n −µ)
(3.2.3)
formuna dönüşür.
n. durumda (|ni) oratalama parçacık sayısı ise,
fn = hN̂ in =
fn =
e−β(²n −µ)
0 × 1 + 1 × e−β(²n −µ)
=
Z
1 + e−β(²n −µ)
1
eβ(²n −µ)
+1
→ Fermi-Dirac Daǧılımı
(3.2.4)
(3.2.5)
olarak bulunur.
ii) Bozonlar için:
Tek durumun bölüşüm fonksiyonu ,
zn =
∞
X
e−β(²n −µ)m = 1 + e−β(²n −µ) + e−2β(²n −µ) + e−3β(²n −µ) + . . .
(3.2.6)
m=0
Bu denklem bir geometrik seridir. Böylece zn ,
zn =
∞
X
m=0
e−β(²n −µ)m =
1
1 − e−β(²n −µ)
(3.2.7)
159
bulunur. n. durumda (|ni) oratalama parçacık sayısı,
P
fn =
−β(²n −µ)m
m m.e
Z
x = −β(²n − µ) ⇒ zn =
fn =
(3.2.8)
1
1 − e−x
1 ∂
e−x
1
−∂zn /∂x
=−
)
=
(1 − e−x )
(
zn
zn ∂x 1 − e−x
(1 − e−x )2
fn =
fn =
e−x
1
= x
−x
1−e
e −1
1
→ Bose-Einstein Daǧılımı
eβ(²n −µ) − 1
(3.2.9)
olarak bulunur.
Bozon sistemleri için her zaman kimsayal potansiyel temel durum enerjisinden daha
küçüktür.
Bir notasyon deǧişikliǧi yapıp enerji seviyelerini ~k vektörü ile gösterirsek, toplam
bölüşüm fonksiyonu da
Z=
Y
z~k
(3.2.10)
~k
şekline dönüşür.
Şekil 3.2: k uzayında enerji seviyeleri
İdeal gazın bir kenarı L olan bir küp içinde olduǧunu ve periyodik sınır koşulları uyguladıǧımızı düşünelim.
160
Şekil 3.3:
Bu durumda ideal gazın Hamiltonyeni,
H=
p2
2m
ve bu hamiltonyene karşılık gelen öz fonksiyonlar,
1
~
h~r|~ki = √ 3 e−ik~r
L
olur. Enerji özdeǧeri de,
¯ E ~2 k 2
¯
Ĥ ¯~k =
2m
bulunur.
Fermiyon ve bozonlar için ~k cinsinden bölüşüm fonksiyonu,
(−) z~k
= 1 + e−β(²~k −µ) → Fermiyon
(+) z~k
=
1
1−e
−β(²~k −µ)
→ Bozon
(3.2.11)
(3.2.12)
şeklinde yazılabilir.
Fermiyonlar ve bozonlar için η parametresi tanımlayalım.

 −1, fermiyon
η=
 +1, bozon
(3.2.13)
161
Bu durumda fermiyonlar ve bozonlar için bölüşüm fonksiyonu,
z~k =
1
(1 −
(3.2.14)
ηe−β(²~k −µ) )η
olur ve toplam bölüşüm fonksiyonu da,
Zη =
Y
η z~k
=
~k
Y
[1 − ηe−β(²~k −µ) )]−η
(3.2.15)
~k
bulunur.
Bölüşüm fonksiyonunu kullanarak büyük potansiyel aşaǧıdaki gibi bulunur.


´−η
Y³

= −kB T ln 
1 − ηe−β(²~k −µ)
Gη = −kB T ln Zη
(3.2.16)
~k


´
Y³
= ηkB T ln 
1 − ηe−β(²~k −µ) 
(3.2.17)
~k
Ortalama parçacık sayı da
hn~k iη =
1
(eβµ )−1 eβ²~k
(3.2.18)
−η
eβµ = z = fugocity
olur.
Denge Durumu Denklemleri:
Denge durumunda olan sistemlerde makro durumlar arasında belli bir ilişki vardır. Bu
nedenle sistem durum denklemleriyle ifade edilebilir.
Nη =
X
hn~k iη =
X
~k
Eη =
X
~k
²~k hn~k iη =
X
~k
~k
X
~k
Z
⇒V
1
z −1 eβ²~k
−η
²~k
β²~k
−1
z e
d3~k
2π
−η
(3.2.19)
(3.2.20)
3
(3.2.21)
162
3.2.1
Durum Yoǧunluǧu
Herhangi bir enerji aralıǧında (E+dE) kaç tane durum olduǧunu belirtir.
Bir kuantum mekaniksel sistemde, çok parçacık probleminde parçacıklar etkileşmiyorsa
tek parçacık hamiltonyenini kullanabiliriz.
Hçok parçacık , etkileşme yok ⇒ Htek parçacık
H=
p~2
+ V (~x)
2m
Parçacıkların iç enerji seviyelerinin hamiltonyeni deǧiştirmediǧini ve serbest parçacıklar
olduǧunu düşünelim. Bu durumda hamiltonyen,
H=
p~2
2m
(3.2.22)
olur. Bu hamiltonyen bir kenarı L olan kübün içinde geçerli olsun ve periyodik sınır
şartları geçerli olsun.
ψ(~x) = ψ(~x + Lî) = ψ(~x + Lĵ) = ψ(~x + Lk̂)
¯ E
¯ E
¯
¯
Ĥ ¯~k = ²k ¯~k ,
1
~
h~x|~ki = √ 3 e−ik~x ,
L
(3.2.23)
2 2
~k
²~k =
2m
(3.2.24)
Bu dalga fonksiyonunu kullanarak sınır şartlarını uygularsak,
ψ(~x + Lî) = ψ(~x)
1
L3/2
~
~
eik~x eiki L =
eiki L = 1 ⇒ ki =
2π
ni
L
1
L3/2
(3.2.25)
~
eik~x
ni = 0, ±1, ±2, . . .
~k = 2π (nx î + ny ĵ + nz k̂)
L
(3.2.26)
(3.2.27)
(3.2.28)
bulunur. Kaç tane tek parçacık durumu olduǧunu saymak için geometrik bir metod
kullanabiliriz.
163
Şekil 3.4: Momentum uzayı
Şekil 3.4’deki gibi bir momentum uzayında her nokta bir durum belirtir. L → ∞
iken, bu uzayda kaç tane durum olduǧunu bulmak için toplam bölgenin hacmini bulup,
bir durumun kapladıǧı hacime böleriz. Bütün momentum uzayının bu küplerle dolu
olduǧunu düşünürsek, küpün bir kenarı
2π
L
kadar olduǧundan momentum uzayında her
3
durumun kapladıǧı hacim ( 2π
L ) olur.
Yazdıǧımız denklemler,
P
~k
f (~k) formundaydı. f (~k) fonksiyonu k’ya baǧlı olarak
giderek küçülen bir fonksiyonsa, termodinamik limitte (L → ∞ ) bu toplamı integral
olarak alabiliriz. (Rieman integral tanımı) Böylece durum sayısı,
lim
X
L→∞
~k
Z
f (~k) =
d3~k ~
f (k) = V
3
( 2π
L)
Z
d3~k ~
f (k)
(2π)3
(3.2.29)
bulunur.
Durum sayısı, θ(²): enerjinin fonksiyodur ve ²’dan daha az enerjili durumlarn
sayısını belirtir.
Durum yoǧunluǧu, ρ(²): enerjinin fonksiyonudur ve ² ile ² + d² arasında kaç tane
durum olduǧunu gösterir.
ρ(²) =
dθ(²)
d²
(3.2.30)
164
Üç Boyutlu Serbest Gaz İçin Durum Yoǧunluǧu
² enerjisinin altında kaç tane durum olduǧunu bulmak için k uzayında eş enerji yüzeyi
olarak bir küre çizilir. Bu kürenin yarıçapı k∗ da,
~2 k 2
²=
⇒ k∗ =
2m
r
2m²
~2
(3.2.31)
olur. Kürenin hacmi,
Şekil 3.5:
4
Ω = πk∗3
3
(3.2.32)
ve durum sayısı,
θ(²) =
ω
4
2m² 3/2
3π
2π 3 ( ~2 )
(L)
1 2m 3/2 3/2
(
) ²
6π 2 ~2
(3.2.33)
dθ(²)
V 2m
3
V 2m
= 2 ( 2 )3/2 ²1/2 = 2 ( 2 )3/2 ²1/2
d²
6π ~
2
4π ~
(3.2.34)
3
( 2π
L)
=
=V
olarak bulunur. Durum yoǧunluǧu da,
ρ(²) =
olur. Bu ifade ² > 0 için geçerlidir. ² < 0 olursa hiçbir durum oluşmaz.
165
Şekil 3.6:
Üç boyutta serbest gazın durum
yoǧunluǧunun enerji ile deǧişimi.
İki Boyutlu Serbest Gaz İçin Durum Yoǧunluǧu
² enerjisi altında kalan durumlar içi dolu daire oluşturur. Bu dairenin yarıçapı,
~2 k 2
²=
⇒ k∗ =
2m
r
2m²
~2
(3.2.35)
olur.
Şekil 3.7:
Bu bölgenin momentum uzayında ki alanı,
ω = πk∗2
(3.2.36)
166
olduǧuna göre durum sayısı,
θ(²) =
πk∗2
A 2m²
2π 2 = 4π ~2
(L)
(3.2.37)
bulunur ve durum sayısının enerjiye gre türevinden durum yoǧunluǧu,
ρ(²) =
dθ(²)
2mA
=
d²
4π~2
(3.2.38)
olur.
2 boyutta
1 boyutta
Şekil 3.8: İki
boyutta ve bir boyutta serbest gazın
durum yoǧunluǧunun enerji ile deǧişimi.
d Boyutta Serbest Gaz İçin Durum Yoǧunluǧu
d boyutta parçacıkların enerji-momentum baǧıntısı(dispersiyon baǧıntısı),
² = ck s
(3.2.39)
²
k∗ = ( )1/s
c
(3.2.40)
olsun. d boyutlu kürenin yarıçapı,
167
olur. Bütün k’lar üzerinden toplam da,
X
Z
=
~k
dd k
d
( 2π
L)
(3.2.41)
dkk d−1 Sd
(3.2.42)
şeklinde yazılır. d boyutlu kürenin hacmi,
Z
Z
d
d k=
Sd : d boyutlu katı açı.
ω = Sd
ve durum sayısı,
θ(²) =
ω
d
( 2π
L)
=
(²/c)d/s
d
(3.2.43)
Ld Sd 1 d/s
²
(2π)d d cd/s
(3.2.44)
olur. Durum sayısından yararlanarak durum yoǧunluǧu,
ρ(²) =
Ld Sd 1
(²)(d/s−1)
(2π)d S cd/s
(3.2.45)
bulunur.
Şimdi (3.2.19), (3.2.20), (3.2.21) denklemlerine geri dönelim. Her durum için 3 tane
denklem yazılabilir.
parçacık yoǧunluǧu:
nη =
Nη
=
V
enerji yoǧunluǧu:
Eη
²η =
=
V
Z
basınç:
βPη = −
ln Z
=η
V
Z
d3~k
1
3
(2π) z −1 eβ²~k − η
(3.2.46)
d3~k
~2 k 2 /2m
(2π)3 z −1 eβ~2 k2 /2m − η
(3.2.47)
Z
d3~k
2 2
ln[1 − ηze−β~ k /2m ]
3
(2π)
Denklemleri daha basit hale getirmek için deǧişken dönüşümü yaparsak,
x=
β~2 k 2
,
2m
h
λ= √
2πmkB T
(3.2.48)
168
√
2πmkB T 1/2 1/2 2π 1/2 1/2
π 1/2 −1/2
k=
2π x =
x ⇒ dk =
x
dk
h
λ
λ
Z ∞
2
dxx1/2
nη = √ 3
πλ 0 z −1 ex − η
Z ∞
2
dxx3/2
²η = (kB T ) √ 3
πλ 0 z −1 ex − η
Z
Z ∞
dxx3/2
1 4π 3/2 ∞
4
1/2
−x
βPη = η 2 3
dxx ln(1 − ηze ) = √ 3
2π λ
3 πλ 0 z −1 ex − η
0
(3.2.49)
(3.2.50)
(3.2.51)
bulunur. Bütün integraller gm fonksiyonları cinsinden tanımlanabilir.
η
gm
(z) =
1
(m − 1)!
Z
∞
0
dxxm−1
z −1 ex − η
(3.2.52)
Böylece denklemler,
1 η
g (z)
λ3 5/2
βPη =
nη =
(3.2.53)
1 η
g (z)
λ3 3/2
(3.2.54)
3
²η = Pη
2
(3.2.55)
formuna dönüşür.
Bozonlar ve fermiyonlar için ortak yazılan denklemleri ayrı ayrı yazarsak, Bozonlar
için tek bir durumun bölüşüm fonksiyonu,
z~k = 1 + e−β(²~k −µ) + e−2β(²~k −µ) + e−3β(²~k −µ) + . . .
∞
X
1
=
e−β(²~k −µ)n =
−β(²~k −µ)
1−e
n=0
ve ortalama parçacık sayısı,
P
hn~k i =
n n.e
−β(²n −µ)n
z~k
olarak bulunur. Toplam bölüşüm fonksiyonu,
Z=
Y
~k
z~k
=
1
e
β(²~k −µ)
−1
169
olduǧundan büyük potansiyel,
Y
X
G = −kB T ln Z = −kB T ln( z~k ) = −kB T
ln z~k
~k
olur. Termodinamik limitte
X
Z
→V
~k
(3.2.56)
~
~k
d3~k
(2π)3
yazabiliyorduk. Bu durumda bozon gazı için basınç, parçacık yoǧunluǧu (N/V ) ve
enerji yoǧunluǧu (E/V ) denklemleri,
G
P =−
V
Z
1
d3~k
ln(
)
3
−β(²
−µ)
~
(2π)
k
1−e
Z
d3~k
= −kB T
ln(1 − e−β(²~k −µ) )
(2π)3
=
kB T
V
V
(3.2.57)
Z
Z
d3~k
d3~k
1
N =V
hn
i
=
V
~
k
3
3
β(²
−µ)
(2π)
(2π) e ~k
−1
Z
N
d3~k
1
n=
=
V
(2π)3 eβ(²~k −µ) − 1
Z
d3~k
E=V
hn~ i²~
(2π)3 k k
Z
²~k
E
d3~k
=
²=
3
β(²
−µ)
~
V
(2π) e k
−1
(3.2.58)
(3.2.59)
(3.2.60)
(3.2.61)
olarak bulunur.
Relativistik olmayan ideal gaz
m kütleli relativistik olmayan parçacıkların enerjisi,
²~k =
~2 k 2
2m
(3.2.62)
ile verilir. Bunu denklem (3.2.57)’de yerine yazarsak,
Z
P = −kB T 4π
2 k2
dkk 2
−β( ~2m
) βµ
ln(1
−
e
e )
(2π)3
(3.2.63)
170
~2 k 2
x=β
,
2m
P
P
√
√
2πmkB T h2 √ 1/2
2πmkB T √ −1/2
k=
πx ⇒ dk =
πx
dx
2
h
√
h
π −1/2
z = eβµ , λ = √
⇒ dk =
x
dx
λ
2πmkB T
Z ∞ √
π −1/2
1
2mx
(
x
dx) 2 ln(1 − e−x z)
2π 2 0
λ
β~
√
Z ∞
2
2m 4π π 1
= −(kB T )2 2
dxx1/2 ln(1 − e−x z)
h
2π 2 λ 0
Z
2kB T (2πmkB T ) 1 ∞
= − √
h2
λ 0
π
Z ∞
2kB T 1
= − √
π λ3 0
= −kB T
(3.2.64)
bulunur. Aynı şekilde 3.2.59 ve 3.2.61 eşitlikleri de,
Z
∞
dkk 2
1
3
~2 k2
(2π) eβ( 2m ) e−βµ − 1
0
Z ∞√
1
π −1/2 2mx
1
x
2
2
x
−1
2π 0
λ
β~ e z − 1
Z ∞
2 (2πmkB T ) 1
dxx1/2
√
h2
λ 0 ex z −1 − 1
π
Z ∞
2 1
dxx1/2
√ 3
π λ 0 ex z −1 − 1
n = 4π
=
=
n =
Z
(3.2.65)
∞
dkk 2
²k
3 eβ²k e−βµ − 1
(2π)
0
Z ∞√
1
π −1/2 2mx xkB T
=
x
2
2π 0
λ
β~2 ex z −1 − 1
Z
2 (2πmkB T ) 1 ∞ dxx3/2
= kB T √
h2
λ 0 ex z −1 − 1
π
Z ∞
2 kB T
dxx3/2
² = √
π λ3 0 ex z −1 − 1
² = 4π
formuna dönüşür. Basınç denklemini ² cinsinden yazarsak,
Z
I=
0
∞
(3.2.66)
171
2 d 3/2
2 3 1/2
2
ze−x
[x ln(1 − e−x z)] =
x ln(1 − e−x z) + x3/2
3 dx
32
3
1 − e−x z
Z ∞
2 d 3/2
1
2kB T 1
2
dx{
P =− √
[x ln(1 − e−x z)] − x3/2 x −1
}
3
3 dx
3
e z −1
π λ 0
2
2 3/2
1
∞
I = x3/2 ln(1 − e−x z)|∞
0 − int0 dx x
x
−1
3
3
e z −1
(3.2.67)
(3.2.68)
Sınır deǧerlerde ilk integral sıfıra gider. Böylece basınç ifadesi,
kB T 2
2
P = − 3 √ (− )
λ
π 3
Z
dx
x3/2
ex z −1 − 1
2
s
P = ²⇒P = ²
3
d
(3.2.69)
(3.2.70)
olarak bulunur.
3.2.2
Durum Denklemi
Sistemin basıncını sıcaklıǧın ve yoǧunluǧun fonksiyonu olarak yazarsak durum denklemini bulmuş oluruz. Klasik bir Maxwell-Boltzman gazı için durum denklemi
P V = N RT = nkB T
şeklinde deǧişir. Bir bozon gazı için bu eşitliǧin nasıl deǧiştiǧini anlamak için (3.2.65)
denkleminden z(µ) fonksiyonu bulunup (3.2.64) denkleminde yerine yazılır.
Her n belirli bir sıcaklık skalası tayin eder.
2
nλ = √
π
Z
3
0
∞
dxx1/2
ex z −1 − 1
(3.2.71)
h
mv
büyüklüǧünde de Broglie dal-
Gaz içinde v hızıyla hareket eden bir parçacıǧa λ =
gaboyu eşlik eder. nλ3 , bir parçacıǧın de Broglie dalgaboyu hacminde başka kaç parçacık
olduǧunu gösterir. Sıcak bir gaz için nλ3 yaklaşık sıfırdır. Maxwell-Boltzman daǧılımının
geçerli olması için nλ3 << 1 olmalıdır.
172
nλ3 = 1 olduǧunda, yani herbir parçacıǧın dalgaboyu başka bir parçacıǧın dalgaboyu
ile üst üste gelmeye başladıǧında, kuantum etkileri görülmeye başlar. Gazın kuantum
karakteri bu noktadan sonra çok önemli hale gelir. Kuantum etkilerinin görülmeye
başladıǧı sıcaklıǧı T∗ ile gösterelim.
nh3
nh3
3
=
1
⇒
= (kB T∗ ) /2
3/2
3/2
(2πmkB T∗ )
(2πm)
(3.2.72)
(nh3 )2/3
= kB T∗
2πm
(3.2.73)
T∗ , bozonlar için aşaǧı yukarı Bose-Einstein yoǧunlaşma sıcaklıǧını, fermiyonlar için
fermi yüzeyinin oluşmaya başladıǧı sıcaklıǧı (TF ) verir.
T ile T∗ arasnda aşaǧıdaki gibi bir baǧıntı kurulabilir.
nλ3
=
nλ3∗
µ
T∗
T
Z
2
nλ3 = √
π
nλ3∗ = 1,
¶3/2
2
=√
π
Z
0
∞
0
∞
dxx1/2
ex z −1 − 1
dxx1/2
= h3/2 (z)
ex z −1 − 1
(3.2.74)
(3.2.69) denklemiyle verilen basınç ifadesinde her iki tarafı (nkB T∗ )’a bölersek,
P
nkB T∗
=
=
kB T 2 2
√
nkB T∗ λ3
π3
T 1
h (z)
T∗ nλ3 5/2
1
Z
dx
x3/2
ex z −1 − 1
(h3/2 (z))−2/3
h5/2 (z)
P
=
h5/2 (z) =
nkB T∗
h3/2 (z)
(h3/2 (z))5/3
(3.2.75)
(3.2.76)
(3.2.77)
bulunur. Bozonlar için µ ≤ 0, kB T ≥ 0. z = eβµ olduǧundan 0 ≤ z ≤ 1 olur.
Fermiyonlar için P, n, ² denklemleri aşaǧıdaki gibidir.
Z
kB T 2 2
P = 3 √
λ
π3
2 1
n= √ 3
πλ
dx
Z
0
∞
x3/2
ex z −1 + 1
dxx1/2
ex z −1 + 1
(3.2.78)
(3.2.79)
173
2 kB T
²= √
π λ3
Z
∞
0
dxx3/2
ex z −1 + 1
(3.2.80)
Fermiyonlar ve bozonlar için basınç-sıcaklık eǧrileri aşaǧıdaki gibidir.
Şekil 3.9:
Fermiyonlar ve bozonlar için basınç-sıcaklık
eǧrileri.
T∗ << T iken klasik gaz+kuantum düzeltmeler etkili olur. T∗ >> T iken dejenere
fermi ve boz gazları ayrı ayrı deǧerlendirilir. Fermi gazlarında fermi yüzeyinin oluşması,
boz gazlarında da Bose-Einstein yoǧunlaşmasının oluşması önemlidir.
T∗ << T limitini incelemek için (3.2.65) denklemini alalım.
2
nλ = √
π
Z
∞
3
0
dxx1/2
ex z −1 − 1
Klasik limitte Fermi Dirac Daǧılımı, Maxwell-Boltzman Daǧılımına gider.
1
β² −βµ
e| {z
e } ∓1
⇒ e−β² |{z}
eβµ
<<1
>>1
µ → −∞ ve z → 0 olur. Bu durumda (3.2.65) denklemini z’ de seriye açabiliriz.
2
nλ = √
π
Z
3
0
∞
dxx1/2 (e−x z)
2
=√
x
−1
−x
e z − 1(e z)
π
Z
0
∞
dxx1/2 e−x z
1 − e−x z
(3.2.81)
174
∞
X
1
=
(e−x z)m
1 − e−x z
m=0
3
nλ
=
=
2
√
π
2
√
π
Z
∞
1/2 −x
dxx
e
0
Z
|
0
z
∞
X
(e−x z)m
(3.2.82)
m=0
∞
1/2 −x
dxx e
{z
Γ(3/2)
Z ∞
Z ∞
2
2
1/2 −2x 2
z +√
dxx e z + √
dxx1/2 e−3x z 3 + . . .
π 0
π 0
}
{z √
}
{z √
}
|
|
2−3/2
nλ3 = z +
1
23/2
z2 +
1
33/2
π
2
3−3/2
z3 + . . .
π
2
1 m
z
m3/2
(3.2.83)
Küçük z açılımını denklem (3.2.69) ile verilen P için yaparsak,
kB T 2
2
P = − 3 √ (− )
λ
π 3
I =
=
=
=
Z
dx
x3/2
ex z −1 − 1
Z
Z
∞
X
2
x3/2
2
P√
dx x −1
=√
dxx3/2
(e−x z)m
e z −1
π
π
m=0
Z
2
√
dxx3/2 [1 + ze−x + z 2 e−2x + . . .]
π
2
2
2
√ Γ(5/2) + √ 2−5/2 Γ(5/2)z 2 + √ 3−5/2 Γ(5/2)z 3 + . . .
π
π
π
2
3
3
3 z
3 z
z+
+
+ ...
5/2
2
22
2 35/2
P =
kB T 2 3
3 z2
3 z3
(
z
+
+
+ . . .)
λ3 3 2
2 25/2 2 35/2
(3.2.84)
(3.2.85)
(3.2.86)
(3.2.87)
(3.2.88)
bulunur. (3.2.83) denkleminden z çekilip, (3.2.88) denkleminde yerine yazılırsa,
z = nλ3 +
1
23/2
z2 +
1
33/2
z3 + . . .
1 m
z
m3/2
(3.2.89)
z’de en düşük mertebe,
Birinci yaklaşım ⇒ z = z (1) = nλ3 ⇒ P =
P = nkB T → Klasik sonuç
kB T 2 3
[ z]
λ3 3 2
(3.2.90)
(3.2.91)
175
İkinci yaklaşım ⇒ z = z (1) + z (2) = nλ3 −
z (2) = −
1
n(λ3 )2
23/2
1
(nλ3 )2
23/2
z = z (1) + z (2) + z (3)
1
1
1
= nλ3 − 3/2 [nλ3 − 3/2 (nλ3 )2 ]2 − 3/2 [nλ3 −
2
2
3
1
1
1
= nλ3 − 3/2 (nλ3 )2 + 3/2 2(nλ3 ) 3/2 (nλ3 )2 −
2
2
2
1
1
1
3
3 2
3 3
z = nλ − 3/2 (nλ ) + (nλ ) − 3/2 (nλ3 )3
4
2
2
(3.2.93)
(3.2.94)
1
23/2
1
33/2
(nλ3 )2 ]3
(nλ3 )3
(3.2.95)
1
1
z (3) = (nλ3 )3 − 3/2 (nλ3 )3
4
2
(3.2.96)
1
1
1
z∼
= nλ3 − 3/2 (nλ3 )2 + ( − 3/2 )(nλ3 )3 + O((nλ3 )4 )
4 2
2
(3.2.97)
z 2 = (nλ3 )2 −
2
23/2
(nλ3 )3 + O((nλ3 )4 )
z 3 = (nλ3 )3 + O((nλ3 )4 )
P =
P =
(3.2.92)
(3.2.98)
(3.2.99)
kB T 2 3
3 z2
3 z3
(
z
+
+
+ . . .)
λ3 3 2
2 25/2 2 35/2
1
1
1
1
1
kB T 2 3
3 3
[nλ3 + ( 5/2 − 3/2 )(nλ3 )2 + ( − 3/2 − 3
1 )(nλ ) ]
3
λ 32
4 3
2
2
2 + 35/2
P = nkB T [1 −
1
25/2
2
1
(nλ3 ) + ( − 5/2 )(nλ3 )2 + . . .]
8 3
(3.2.100)
(3.2.101)
Yüksek sıcaklık limitinde Boz gazının basıncı ideal gazdan daha düşüktür. Bu nedenle
P-T diagramında bozonlar lineer çizginin sol tarafında bulunur.
176
B.E
P
klasik
T
Şekil 3.10: Bozonlar için basınç-sıcaklık dia-
gramı.
3.2.3
Problemler
1) Bir kenarı L olan küp içindeki ideal gaz probleminde periyodik sınır koşulları yerine
sonsuz sınır koşulları alarak durum sayısını(θ(²)) bulun.
p2
+ V (x),
H=
2m

 0, kutu içinde
V (x) =
 ∞, kutu dışında
2) Bir ve iki boyutta ideal Bozon gaz ıçin P, N/V , E/V denklemlerini bulun. (P = ds )²
3) Fermiyonlar ve bozonlar için birimsiz basınç-sıcaklık eǧrilerini çizdirin.
4 Oda sıcaklıǧında 1 atmosfer basınçta Xe gazı var. Bu gazın Xe161 mi Xe162 mi
olduǧunu anlayabilmek için yoǧunluǧunu hangi hassasiyetle ölçmek gerekir? (Xe161 ve
Xe162 ’nin kütle farkı nıihmal ediniz.)
3) Yüksek sıcaklık limitinde fermiyonlar için durum denklemini bulun.
3.3
İDEAL FERMİ GAZI
T = 0’da bir kenarı L olan küp içinde ideal spinsiz fermiyon gazı
177
Şekil 3.11:
1
~
ψ~k = √ 3 e−ik~x ,
L
~k = 2π (nx î + ny ĵ + nz k̂)
L
Momentum uzayında bu kutun içine 1 tane parçacık atarsak, taban durumuna yerleşir.
Bir tane daha atarsak ikinci parçacık bir üst düzeye yerleşir. Yeteri kadar parçacık
atarsak belirli bir enerjinin altında tüm seviyeler dolmuş olur. Fermi parçacıklarının
doldurduǧu bu küreye fermi küresi denir. Kürenin içindeki maksimum enerjiye sahip
Şekil 3.12: Fermi küresi.
fermiyonun enerjisi ²F ,
²F =
~2 kF2
2m
(3.3.1)
denklemiyle verilir. Fermi küresinin içindeki toplam fermiyon sayısı θ(²F ), N olsun. Bu
durumda
θ(²F ) =
ω
3
( 2π
L)
=N =
4
3
3 πkF
3
( 2π
L)
(3.3.2)
178
n=
1
N
= 2 kF3 ⇒ kF = (6π 2 n)1/3
V
6π
(3.3.3)
~2
(6π 2 n)1/3
2m
(3.3.4)
Fermi Enerjisi ⇒ ²F =
Fermi Sıcaklıǧı ⇒ kB TF = ²F
İki parçacık arasındaki mesafe ⇒ kF−1 =
(3.3.5)
1 −1/3
n
6π 2
(3.3.6)
olarak bulunur.
Fermi enerjisi: T = 0 sıcaklǧında altındaki bütün seviyelerin dolu olduǧu enerjidir.
Metallerde TF ∼ 10000K’dir. Oda sıcaklıǧı(T)=300K
T
∼ 10− 2
T∗
kB T ∗ =
h2 2/3
n
2πm
h2
(6π 2 )2/3 n2/3
2πm
kB TF ==
T∗ ve TF yaklaşık aynı mertebededir. T∗ , dejenereliǧin önemli olmaya başladıǧı sıcaklıktır.
Bu nedenle metallerdeki elektron gazı, yaklaşık T = 0 sıcaklıktaki bir kuantum gazı gibi
düşünülebilir.
3.3.1
Düşük Sıcaklıklarda İdeal Spinsiz Fermi Gazı
Düşük sıcaklık → T << T∗
Önce T = 0 durumuna bakalım. T=0’ da ideal fermi gazının parçacık başına düşen
kinetik enerjisi,
Z
E=V
Fermi küresi
d3 k
²k
2π 3
Z kF
E
dkk 2 ~2 k 2
=U =
V
2π 2 2m
0
Z kF
~2 1
~2 1 kF5
4
U=
dkk
=
2m 2π 2 0
2m 2π 2 5
E
U
=
=
N
n
5
~2 1 kF
2m 2π 2 5
1
3
6π 2 kF
=
~2 kF2 3
3
= ²F
2m 5
5
(3.3.7)
(3.3.8)
(3.3.9)
(3.3.10)
179
bulunur.
Sıcaklık sıfır olmasına raǧmen parçacıklar,
3
5 ²F
enerjisine sahiptir.
Bu,
parçacıkların Pauli dışarlama ilkesi nedeniyle farklı seviyelerde bulunmasından kaynaklanır.
Devamlı kullanılan integraller
Z
d3 k
A(²k )nf (²k )
(2π)3
formundaydı. Bu integralleri enerjinin fonksiyonu olarak yazmak kolaylık saǧlar.
Z
d3 k
A(²k )nf (²k ) ⇒
(2π)3
Z
d²ρ(²)A(²)nf (²)
Fermi Daǧılım Fonksiyonu:
0 ≤ nf (²) =
1
eβ(²)−µ
≤1
(3.3.11)
² >> µ ise payda birden çok büyük olur. Daǧılımın alacaǧı en küçük deǧer 0’dır.
f
n (ε)
² << µ ise exponansiyelli terim ihmal edilebilir ve sayı en fazla 1 olur.
1
ε
µ(T=0)=εF
Şekil 3.13: Fermi daǧılım fonksiyonu.
T = 0 limitinde bu fonksiyonda β sonsuza gider. Bu durumda iki olasılık vardır. Eǧer
180
² > µ ise fonksiyon sıfırdır. ² < µ ise bu durumda fonksiyonun deǧeri 1 olur.
Şekil 3.14: Bozon ve fermiyonlar için µ - T deǧişimi.
²F sıfır sıcaklıkta tanımlıdır. Kimyasal potansiyel (µ) ise her sıcaklıkta tanımlıdır.
T = 0’ da kimyasal potansiyel ²F ’ye eşşittir.
0 < T << T∗ aralıǧında β tam sonsuz deǧildir fakat çok büyük deǧer alır. Bu
durumda (²−µ) büyüdükçe fonksiyon sıfıra gider. (²−µ) büyük ve negatif ise fonksiyon
1’e gider. 0 ve 1 arasında yumuşak bir geçiş görülür.
Şekil 3.15: T << T∗ için fermi daǧılım fonksiyonu.
181
T << T∗ için Durum Denklemleri
Toplam parçacık sayısı:
Z
d3 k
nf (²k )
(2π 3 )
N =V
n=
²=
~2
,
2m
1
n= 2
4π
2m
~2
Z
Z
∞
0
0
(3.3.12)
1
1
√ d²
dk = q
2
²
~
2 2m
(3.3.13)
2m
Z
1/2
d²²
0
İç enerji:
Z
E=V
1
U= 2
4π
dkk 2
nf (²k )
2π 2
1 2 2m
d² √ q
²nf (²)
² ~2 ~2
3Z ∞
Z
E
=U =
V
∞
~
kdk,
m
d² =
1
n= 2
4π
r
N
=
V
∞
0
r
nf (²) =
∞
0
d²ρ(²)nf (²)
(3.3.14)
d3 k
²k nf (²k )
(2π 3 )
dkk 2
~2 k 2 ~2 k 2
)
nf (
2
2π
2m 2m
2m
~2
3Z ∞
0
d²²3/2 nf (²)
(3.3.15)
(3.3.16)
Durum denklemini bulmak için (3.3.14) denkleminden µ, n cinsinden bulunup, (3.3.16)
denkleminde yerine yazılır.
Düşük sıcaklık yaklaşımı kullanıp, aşaǧıdaki gibi bir açılım elde etmeye çalışalım.
Z
d²²1/2
n=c
1
eβ(²−µ)
+1
= 0(T 0 ) + 0(T 1 ) + 0(T 2 ) + . . .
Bu, Sommerfeld açılımı ile yapılabilir.
Sommerfeld Açılımı:
Z
d²H(²)nf (²) = 0(T 0 ) + 0(T 1 ) + 0(T 2 ) + . . .
(3.3.17)
182
nf (²) fonksiyonun da scaklık arttıkça grafikteki geçiş yumuşar. Düşük scaklıklarda
geçiş keskinleşir. Bu durumda (−
∂nf (²)
∂² )
fonksiyonu bu açılım için kullanşlı hale gelir.
Çünkü türev fonksiyonunda sıcaklık düştükçe grafikteki genişlik azalır ve integral almak
kolaylaşır.
Şekil 3.16: T << T∗ için fermi daǧılım fonksiyonu
ve türev fonksiyonu.
Z
d²H(²)nf (²k )
Bu integralin tanımlı olabilmesi için,
² → ∞ iken, nf ∼ e−β² olduǧu için H(²) en fazla ²p gibi gitmelidir.
² → −∞ iken, H(²) → 0 olmalıdır.

 ²1 /2 , ² > 0;
H(²)
 0,
² < 0.
(3.3.18)
Açılım yapmak istediǧimiz integralin içine türev fonksiyonunu yerleştirmek için K(²)
deǧişkenini tanımlayıp kısmi integrasyon yaparsak,
Z
²
K(²) =
H(²0 )d²0 ⇒ H(²) =
−∞
Z
Z
∞
∞
½
dK(²)
d²
∂nf (²)
d
I =
d²H(²)nf (²) =
d²
[K(²)nf (²)] − K(²)
d²
∂²
−∞
−∞
¶
µ
Z
∂nf (²)
= K(∞)nf (∞) − K(−∞)nf (−∞) + d²K(²) −
∂²
|
{z
} |
{z
}
0
0
(3.3.19)
¾
(3.3.20)
(3.3.21)
183
¶
µ
∂nf (²)
I=
d²K(²) −
∂²
−∞
Z
∞
(3.3.22)
´
³
∂nf (²)
inceleyelim.
Türev fonksiyonunu − ∂²
−
1
∂
β(²−µ)
∂² e
+1
=
=
=
βeβ(²−µ)
(eβ(²−µ) + 1)2
βeβ(²−µ)
eβ/2(²−µ) (eβ/2(²−µ) + e−β/2(²−µ) )2
β
4 cosh2 ( β(²−µ)
)
2
(3.3.23)
(3.3.24)
(3.3.25)
Bu fonksiyon µ etrafında tepe yapar. µ’den uzaklaştıkça sıfır olur ve µ etrafında
Şekil 3.17: Türev fonksiyonu.
simetriktir. Dar bir bölgede tepe yapması, yanındaki fonksiyon seriye açıldıǧında her
terimin ayrı ayrı hesaplanmasınıve giderek her terimden gelen katkının azalmasını saǧlar.
K(²)’u µ etrafında Taylor serisine açarsak,
¯
∞
X
1 ∂ m K(²) ¯¯
K(²) = K(µ) +
(² − µ)m
m! ∂²m ¯²=µ
(3.3.26)
m=1
olur. K(²)’u denklem (3.3.22) ile verilen I integralinde yerine yazarsak,
¯ Z ∞
µ
µ
¶
¶
∂nf (²)
∂nf (²)
∂K(²) ¯¯
I =
d²K(µ) −
d²(² − µ) −
+
∂²
∂² ¯µ −∞
∂²
−∞
¯ Z ∞
µ
¶
2
∂nf (²)
1 ∂ K(²) ¯¯
d²(² − µ)2 −
+ ...
I +
¯
2
2! ∂²
∂²
µ −∞
¯ Z ∞
µ
¶
∂nf (²)
1 ∂ n K(²) ¯¯
n
d²(² − µ) −
... +
(3.3.27)
n! ∂²n ¯µ −∞
∂²
Z
∞
184
³
´
∂nf (²)
bulunur. (² − µ), µ etrafında tek, − ∂²
, µ etrafında çift fonksiyondur. Bu nedenle
integral içindeki tek×çift gelen terimler sıfır olur. Sadece çift integrallerden katkı gelir.
Bu durumda I integrali,
¯ Z ∞
¶ X
¶
µ
µ
∞
∂nf (²)
∂nf (²)
1 ∂ 2m K(²) ¯¯
2m
I=
d²K(µ) −
+
d²(² − µ)
−
∂²
(2m)! ∂²2m ¯µ −∞
∂²
| −∞
{z
} m=1
|
{z
}
Z
∞
I1
I2
(3.3.28)
formuna dönüşür.I1 ve I2 integrallerini hesaplayp, I integralinde yerine koyarsak,
µ
¶
∂nf (²)
d² −
= −nf (∞) + nf (−∞) = K(µ)
∂²
| {z } | {z }
−∞
Z
I1 = K(µ)
∞
0
Z
I2 =
∞
2m
d(²)(² − µ)
−∞
(3.3.29)
1
µ
¶µ
¶
∂
1
−
∂²
eβ(²−µ) + 1
x = β(² − µ ⇒ dx = βd²)
µ
¶
Z ∞
d
1
I 2 = kB T
dx(kB T )2m x2m β −
dx ex + 1
−∞
¯ Z ∞
¶
µ
∞
X
1
1 ∂ 2m K(²) ¯¯
d
2m
2m
I = K(µ) +
(kB T )
dxx
−
(2m)! ∂²2m ¯µ −∞
dx ex + 1
m=1
|
{z
}
(3.3.30)
(3.3.31)
(3.3.32)
a2m
bulunur. K(²)’u I denkleminde yerine yazarsak,
Z
µ
I=
d²H(²) +
−∞
∞
X
(kB T )2m
m=1
1 ∂ 2m−1 H(²)
a2m
(2m)! ∂²2m−1
(3.3.33)
olur. a2m , fiziksel niceliklere baǧlı olmayan bir sayıdır.
a2m =
2
(2m)!
Z
0
∞
µ
¶
d e−x
dxx2m −
dx 1 + e−x
∞
X
1
→
(−1)l e−lx
1 + e−x
l=0
(3.3.34)
185
∞
a2m =
2 X
(−1)l
(2m)!
l=0
=
2
(2m)!
Z
∞
2m
dxx
0
Z
∞
X
(−1)l−1 l
∞
¶
µ
d −lx
− e
dx
dxx2m e−lx
(3.3.35)
(3.3.36)
0
l=0
lx = u ⇒ ldx = du
Z
1
l2m+1
∞
|0
1
duu2m e−u = 2m+1 (2m)!
l
{z
}
Γ(2m+1)
a2m = 2
∞
X
1
1
1
1
1
(−1)l−1 2m = 2(1 − 2m + 2m − 2m + 2m − . . .)
l
2
3
4
5
(3.3.37)
l=0
a2m , ζ fonksiyonu cinsinden aşaǧıdaki gibi yazılabilir.
ζ(n) = 1 +
1
1
1
+ n + n + ...
n
2
3
4
1
1
1
1
1
ζ(n) = n + n + n + n
n
2
2
4
6
8
1
1
1
1
1
ζ(n) = 1 − 2m + 2m − 2m + 2m − . . .
n
2
2
3
4
5
µ
¶
µ
¶
2
1
= 2 ζ(2m) − 2m ζ(2m) = 2 1 − 2m−1 ζ(2m)
2
2
ζ(n) − 2
a2m
ζ(2m) = 22m−1
Bm : Bernoulli sayıları.
1
B1 = ,
6
B2 =
π 2m
Bm
(2m!)
1
,
30
B3 =
(3.3.38)
(3.3.39)
(3.3.40)
(3.3.41)
(3.3.42)
1
42
a2m ’i (3.3.33) denkleminde yerine yazarsak Sommerfeld açılımı,
Z
−∞
¯
¯
π2
2 ∂H(²) ¯
d²H(²) + (kB T )
6
∂² ¯µ
−∞
¯
7π 4
∂ 3 H(²) ¯¯
+ O((kB T )6 ) + . . .
(kB T )4
360
∂²3 ¯
Z
∞
d²H(²)nf (²) =
+
µ
µ
şeklinde tamamlanmış olur.
(3.3.43)
(3.3.44)
186
n (denklem 3.3.14) ve U (denklem 3.3.16) baǧıntılarını
1
n= 2
4π
1
U= 2
4π
r
r
2m
~2
3Z ∞
2m
~2
0
3Z ∞
0
d²²1/2 nf (²)
d²²3/2 nf (²)
olarak elde etmiştik. Bu denklemlerden istenilen termodinamik fonksiyon elde edilebilir.
Örneǧin ısı sıǧası(Cv ), durum yoǧunluǧu ve sıcaklıǧın fonksiyonu olarak yazlabilir. Cv ’yi
elde etmek için (3.3.14) denkleminden µ çekilip (3.3.16) denkleminde yerine yazılır.
Cv =
dU
=?
dT
(3.3.14) denklemine Sommerfeld açılımı uygulayıp, bu denklemden µ çekilirse,

¯ 
Z µ
¯
2
1/2
π
1
2m 
¯ 
1/2
2 ∂²
d²²
+
(k
T
)
¯
B
¯
4π 2 ~2
6
∂²
0
µ
#
r
3 " 3/2
1
2m µ
π2
1 1
+
(kB T )2 √
2
2
4π
~
3/2
6
2 µ
r
n =
=
3
~2
1 2m 3/2 3 /2
(6π 2 n)2/3 ⇒ n =
(
) ²F
2m
6π ~2
r
¸
3·
1 2m 3/2 3 /2
2m 2 3/2 π 2
1
2 1
(
) ²F = 2
µ + (kB T ) √
6π ~2
4π
~2
3
6
2 µ
(3.3.45)
(3.3.46)
²F =
3 /2
²F = µ3/2 +
π2
(kB T )2 µ−1/2
8
(3.3.47)
(3.3.48)
T = 0 ⇒ ²F = µ
1=(
µ 3/2 π 2 kB T 2 µ −1/2
) + (
) ( )
²F
8 ²F
²F
µ 3/2
π 2 kB T 2 µ −1/2
) =1− (
) ( )
²F
8 ²F
²F
µ
¶2/3 µ
¶
µ
2/3 π 2 kB T 2 µ −1/2
π 2 kB T 2 µ −1/2
∼
(
= 1− (
) ( )
) ( )
= 1−
²F
8 ²F
²F
8 ²F
²F
(
Birinci yaklaşım →
µ
=1
²F
(3.3.49)
(3.3.50)
(3.3.51)
(3.3.52)
187
İkinci yaklaşım →
µ = ²F −
µ
π 2 kB T 2
=1− (
)
²F
6 ²F
(3.3.53)
π 2 kB T
²F
12 ²F
(3.3.54)
bulunur. Benzer şekilde U (denklem 3.3.16) için Sommerfeld açılımı yapılıp, µ bu
denklemde yerine yazılırsa,
U
=
=

¯ 
3 Z
2
3/2 ¯
2m  µ
π
∂²
¯ 
d²²3/2 + (kB T )2
¯
~2
6
∂² ¯
0
µ
#
r
3 " 5/2
2
1
2m µ
π
3
+ (kB T )2 µ1/2
2
2
4π
~
5/2
6
2
1
4π 2
r
r
3·
2 5/2 π 2
µ + (kB T )2 µ1/2
5
4
µ
¶
5 1 2 kB T 2
5/2 ∼ 5/2
µ = ²F
1− · π (
)
2 12
²F
¶
µ
π 2 kB T 2
5/2 ∼ 1/2
)
µ = ²F
1− (
24 ²F
1
U= 2
4π
U
=
=
=
2m
~2
(3.3.55)
(3.3.56)
¸
r
¸
·
3
1 2
1
2m 3/2 2
2 kB T 2
²F − π (kB T ) (
) ²F
²
4π 2 ~2 F
5
12
²F
·
¸
2
1
1 2 kB T 2
3
n ²F ( − )π (
) ²F
2
5
4 12
²F
3
3 1
kB T 2
n²F + n π 2 (
) ²F
5
2 6
²F
(3.3.57)
(3.3.58)
(3.3.59)
(3.3.60)
(3.3.61)
(3.3.62)
olarak bulunur.
3
T = 0 ⇒ U = n²F
5
Cv =
∂U
∂T
olduǧundan ısı sıǧası,
Cv =
∂U
1 nπ 2 2
=
k 2T
∂T
4 ²F B
1
kB T
Cv = nkB π 2
2
²F
(3.3.63)
(3.3.64)
olur. Üç boyutlu fermiyonlar için çok çok düşük sıcaklıklarda ısı sıǧası T ile lineer
188
Şekil 3.18: Fermiyonlar için Cv - T deǧişimi.
olarak deǧişir. Çok yüksek sıcaklıklarda ise bozonla aynı karakteri gösterir ve 32 N kB
sabit deǧerini alır.
3.3.2
Fermi Gazının Manyetik Özellikleri (I)
Şimdiye kadar spinsiz fermiyonlar (H =
p2
2m )
üzerinde çalştık. Manyetik alanın elek-
tronlar üzerinde iki tür etkisi vardır. Birincisi spinle etkileşir (Pauli manyetik etki).
İkincisi Landau seviyelerini oluşturur.
İlk olarak spinle etkieşimi inceleyelim. Bu durumda manyetik alanın spinle etkileşiminden dolayı hamiltonyene ek bir terim gelir.
H=
Manyetik moment: µB =
p2
~ 0 µB S
~
− Bg
2m
(3.3.65)
p2
− B~z g0 µB S~z
2m
(3.3.66)
e~
2mc
~ = ±1/2
Spin: S
Elektronlar için g faktörü: g0 = 2
Manyetik alanı z yönünde seçelim.
H=
Manyetik alanla aynı yönde olan yönelim daha az enerjili olduǧundan sistem, manyetik
189
alanla aynı yöndeki elektron sayısını manyetik alanla zıt yöndeki elektron sayısından
daha fazla tutma eǧilimindedir.
Şekil 3.19:
Fermi gazını bir kenarı L olan küp içine koyarsak ve B manyetik alanı uygularsak,
yukarı bakan elektron sayısı, aşaǧı bakan elektron sayısından farklı olduǧu için içerde
~ ) oluşur.
net bir mknatslanma (M
~ (B) = µB (n↑ − n↓ )
M
(3.3.67)
n↑ : yukarı bakan elektronların yoǧunluǧu
n↓ : aşaǧı bakan elektronların yoǧunluǧu
Manyetik alan artarsa, yukarı bakan elektron sayısı artar. Azalırsa, yukarı bakan elektron sayısı da azalır. Bu durumda mknatıslanmanın alanla deǧışimi manyetik alınganlık
(χ) ile kontrol edilir.
χ=
~|
∂|M
∂B
(3.3.68)
Sıfır alan manyetik alınganlıǧı χ0 da,
¯
~ | ¯¯
∂|M
χ0 =
¯
∂B ¯
(3.3.69)
B=0
ile verilir.
Yukarı bakan elektronların yoǧunluǧu,
Z
n↑ =
d²ρ(²)
1
eβ(²−µB B−µ)
+1
(3.3.70)
190
Aşaǧı bakan elektronların yoǧunluǧu,
Z
n↓ =
d²ρ(²)
1
eβ(²+µB B−µ)
(3.3.71)
+1
ve toplam parçacık yoǧunluǧu n,
n = n↑ + n↓
(3.3.72)
olarak bulunur.
3.3.3
Fermi Gazının Manyetik Özellikleri (II)
Manyetik alan varken en genel olarak hamiltonyene iki tür etki olur. Bunlar, spin etkisi
(Pauli paramanyetik etki) ve diamanyetik etkidir.
H=
p2
2m
|{z}
⇒
Manyetik alan olmadan
~ 2
(~
p − ec A)
| 2m
{z }
χ<0 diamanyetik etki
−
~S
~
g µB B
|0 {z
}
(3.3.73)
χ>0 paramanyetik etki
İlk olarak spin etkisinden bahsetmiştik. Şimdi paramanyetik etkiyi inceleyelim.
Klasik olarak manyetik alan içinde q yüklü bir parçacık dairesel hareket yapar. Sistemin manyetizasyonu, manyetik alana ters yönlüdür. Bu nedenle χ < 0 olması beklenir. Buna Landau diamayetik etkisi denir.
Manyetik alan altında yüklü bir parçacıǧın kuantum mekaniǧi nasıl yapılır?
Manyetik alan altında e yüküne sahip bir parçacıǧın hamiltonyeni aşaǧıdaki gibi verilir.
H=
~ 2
(~
p − ec A)
2m
(3.3.74)
~ vektör potansiyeldir ve vektör potansiyeller arasındaki dönüşüme ayar dönüşüA,
mü denir. Fiziksel olarak ölçülebilen herhangi bir büyüklük ayardan baǧımsızdır. Bu
nedenle istenilen ayar seçilebilir.
191
~ = B0 xŷ vektör potansiyelini seçelim.
B = B0 ẑ manyetik alanı için A
¯
¯
¯
¯
¯ x̂
ŷ
ẑ ¯
¯
¯
~ ×A
~ = ¯¯ ∂x ∂y ∂z ¯¯ = B0 ẑ
B=∇
¯
¯
¯
¯
¯ 0 B0 x 0 ¯
(3.3.75)
Seçilen vektör potansiyelin rotasyeneli manyetik alanı verdiǧi için seçilen ayar doǧrudur.
Bu vektör potansiyeli hamiltonyende yerine yazarsak,
H=
(p~x − ec A~x )2 (p~y − ec A~y )2 (p~z − ec A~z )2
+
+
2m
2m
2m
(3.3.76)
Ax = Az = 0
H=
(p~y − ec B0 x)2
p2
p2x
+
+ z
2m
2m
2m
(3.3.77)
bulunur.
HΨ(x, y, z) = EΨ(x, y, z)
P =
(3.3.78)
~ ∂
i ∂xi
Schrodinger dalga denklemini çözmeye başlamadan önce hamiltonyen simetrilerine bakmak gerekir.
[px , pz ] = 0,
[H, pz ] = 0
Bu durumda hamiltonyenin öz fonksiyonları aynı zamanda pz ’nin öz fonksiyonları olarak
seçilebilir.
ψ(x, y, z) = ψ(x, y)eikz z
(3.3.79)
Dalga fonksiyonunu Schrodinger denkleminde yerine yazarsak,
·
eikz z
¸
(p~y − ec B0 x)2 ~2 kz2
p2x
+
+
ψ(x, y) = Eψ(x, y)eikz z
2m
2m
2m
(3.3.80)
¸
¶
µ
(p~y − ec B0 x)2
p2x
~2 kz2
+
ψ(x, y)
ψ(x, y) = E −
2m
2m
2m
|
{z
}
(3.3.81)
·
H2
Schrodinger denklemi iki boyutta yazılmış olur. Aynı zamanda [H2 , py ] = 0 olduǧundan
192
dalga fonksiyonu,
ψ(x, y) = φ(x)eiky y
(3.3.82)
şeklinde yazılabilir. Bu durumda Schrödinger dalga denklemi,
e
iky y
p2x
1
φ(x) +
2m
2m
µ
¶2
µ
¶
~ ∂
e
~2 kz2
iky y
− B0 x e
φ(x) = E −
eiky y φ(x)
i ∂y c
2m
¶
µ
´2
p2x
1 iky y ³
e
~2 kz2
eiky y φ(x)
φ(x) +
e
~ky − B0 x φ(x) = E −
2m
2m
c
2m
· 2
µ
¶
´2 ¸
1 ³
e
~2 kz2
iky y px
e
+
~ky − B0 x
φ(x) = E −
φ(x)eiky y
2m 2m
c
2m
|
{z
}
eiky y
(3.3.83)
(3.3.84)
(3.3.85)
²
·
´2 ¸
p2x
1 ³
e
+
φ(x) = ²φ(x)
~ky − B0 x
2m 2m
c
"
µ
¶2 #
p2x
1 e2 B02
~c
φ(x) = ²φ(x)
+
x−
ky
2m 2m c2
eB0
"
p2x
1 e2 B 2
+ m 2 02
2m 2 m c
¶2 #
µ
~c
ky
φ(x) = ²φ(x)
x−
eB0
~cky
eB0
→ siklotron frekansı, x0 =
mc
eB
· 2
¸
px
1
+ mwc2 (x − x0 )2 φ(x) = ²φ(x)
2m 2
(3.3.86)
(3.3.87)
(3.3.88)
wc =
(3.3.89)
bir boyuta indirgenir. Bu denklem minumumu x0 ’da olan harmonik osilatör denklemidir
ve çözümü,
1
² = (n + )~wc
2
φn (x) = cn Hn (x − x0 )e
r
~
l=
mwc
olarak bilinir.
²=E−
(3.3.90)
−(x−x0 )2
2l2
~2 kz2
~2 kz2
1
⇒E=
+ ~wc (n + )
2m
2m
2
(3.3.91)
193
En genel dalga denklemi,
HΨ(x, y, z) = EΨ(x, y, z)
idi. Bu durumda dalga fonksiyonu,
Ψkz ,ky ,n (x, y, z) = φn (x −
~c
ky )eiky y eikz z
eB0
(3.3.92)
bulunur. Delga fonksiyonu 3 kuantum sayısı (kz , ky , n) ile belirlenirken enerji 2 kuantum sayısına (kz , n) baǧlıdır. Yani aynı enerjide çok sayıda durum bulunur. Sistem
dejeneredir.
İki Boyutta Enerji Seviyeleri
Manyetik alan yokken iki boyutta enerji seviyeleri süreklilik gösterirken, manyetik alan
varlıǧında kesikli hale gelir. Bu kesikli enerji seviyelerine Landau seviyeleri denir.
Şekil 3.20: Landau enerji seviyeleri.
kz = 0, n = 0 olan en düşük Landau seviyesinde sonsuz durum bulunur.Peki bunu
nasıl sayabiliriz?
Landau Seviyelerinin Dejenereliǧi (Yozluǧu)
kz = 0, n = 0 olan Landau seviyesinin dalga fonksiyonu aşaǧıdaki gibidir.
Ψkz =0,ky ,n=0 (x, y, z) = φ0 (x −
~c
ky )eiky y
eB0
(3.3.93)
194
φn (0) = ce
r
l=
−(x−x0 )2
2l2
(3.3.94)
~
mwc
Elimizde iki boyutlu bir sistem olsun. Şekilde taralı alanla gösterilen |Ψkz =0,ky ,n=0 |2
bölgesine kaç tane durum sıǧar?
Şekil 3.21:
x0 en fazla Lx /2, en az −Lx /2 olabilir.
−
Lx
Lx
~c
Lx
Lx
< x0 <
⇒−
<
ky <
2
2
2
eB0
2
(3.3.95)
Aynı zamanda ky ’de periyodik sınır koşullarından
ky =
2π
m,
Ly
m = 0, ±1, ±2, . . .
(3.3.96)
olmalıdır.
−
Lx
~c 2π
Lx
<
m<
2
eB0 Ly
2
(3.3.97)
Burada m, bu aralıǧa kaç tane durum koyabileceǧimizi belirleyen sayıdır.
−
Lx Ly
Lx Ly
< m < hc
hc
2( e )
2( e )
Lx Ly = A
(3.3.98)
195
Landau seviyelerinin dejenereliǧi g ise,
g=
AB
hc/e
(3.3.99)
bulunur. Enerji seviyelerinin dejenereliǧi alanla orantılıdır.
g=
φtoplam
A·B
=
hc/e
φ0
(3.3.100)
φtoplam :toplam akı, φ0 : akı kuantumu
g, kaç tane elektron durumu olduǧunu belirtir. Alandan geçen her akı kuantumu bir
elektron yaratır.
Belirli bir enerjinin altındaki durum sayısı θ(²) ve durum yoǧunluǧu ρ(²), şekilleri
aşaǧıdaki gibidir.
Şekil 3.22: İki boyutta θ(²) - ² deǧişimi.
Bütün Landau seviyelerinin dejenereliǧi eşittir.(g)
Üç Boyutta:
E=
1
~2 kz2
+ ~wc (n + )
2m
2
(3.3.101)
Durum sayısı bulunurken n’e baǧlı olarak her Landau seviyesinden gelen katkı ayrı ay-
196
Şekil 3.23: İki boyutta ρ(²) - ² deǧişimi.
rı hesaplanabilir.
θ(²) = θ0 (²) + θ1 (²) + θ2 (²) + . . .
θ0 ’ da
²>
~wc ~2 kz2
+
2
2m
(3.3.102)
(3.3.103)
olması gerekir. Sadece kz ’ye baǧlı olduǧu için enerji düzeylerinin bir tanesinde ki durum
sayısının hesabı bir boyutta durum yoǧunluǧuna benzerdir.
²−
Maksimum kz ,
r
2m
~2
~wc
~2 kz2
>
2
2m
r
²−
~wc
> kz
2
(3.3.104)
(3.3.105)
bulunur.
Bu durumda üç boyutta durum sayısı Landau enerji seviyeleri arasında karakök
şeklinde deǧişen bir grafik olur.
√
Üç boyutta durum yoǧunluǧu da Landau seviyeleri arasında 1/ ² ile deǧişen bir
grafik olur.
197
Şekil 3.24: Üç boyutta θ(²) - ² deǧişimi.
Şekil 3.25: Üç boyutta ρ(²) - ² deǧişimi.
3.3.4
Problemler
1) T = 0 sıcaklıǧındaki üç boyutlu fermi gazının basıncı nedir?
2) Fermi gazı için Sommerfeld açılımı ile bulunan ısı sıǧasını bir terim daha ilerleterek
denklemdeki C katsayısını bulun.
kB T
1
Cv = nkB π 2
+ C(kB T )2
2
²F
3) Üç boyutta θ(²) ve ρ(²)’u hesaplayıp çizdirin.
198
3.4
İDEAL BOZ GAZI
İdeal bozon gazı için ilk olarak Bose ve Einstein tarafından ortaya koyulan bir problem
vardır. İdeal bozon gazının parçacık yoǧunluǧu n, ve daǧılım fonksiyonu nB (²k ),
Z
N =V
d3 k
nB (²k ) ⇒ n =
(2π)3
nB (²k ) =
idi. eβ(
~2 k2
−µ)
2m
Z
d3 k
nB (²k )
(2π)3
1
e
2 k2
β( ~2m
−µ)
−1
terimi < 1 olursa, k seviyesindeki parçacık sayısının beklenen deǧeri
hnk i < 0 olur. Böyle bir durum anlamsızdır. Bu nedenle hnk i > 0 olması için µ <
min{²k } = ²g (temel durum enerjisi) olmalıdır. Üç boyutlu ideal bozon gazı için ²g = 0
olduǧundan µ < 0 olmalıdır.
Deǧişken deǧiştirme yaparak n, denklem (3.2.65)’de aşaǧıdaki gibi bulunmuştu.
x=β
n=
~2 k 2
,
2m
1 2
√
λ3 π
|
Z
∞
0
z =βµ
dxx1/2
ex z −1 − 1
{z
}
g(3/2) (z)
Şekil 3.26: g(3/2) (z) - z deǧişimi.
199
g(3/2) (z) fonksiyonu, z ile monotonik artan bir fonksiyondur. z’nin alabileceǧi maksimum deǧer 1 dir. Burada 2 deǧişik davranış olabilir. z = 1’de g fonksiyonu sonsuza
gidiyorsa hiçbir problem olmaz. Fakat z = 1’de g fonksiyonu sonsuza gitmiyorsa, sistem
belirli bir nc kritik deǧerine kadar bu formülle ifade edilebilir.
z=1⇒µ=0
Z ∞
1 2
dxx1/2
n= 3√
λ π 0 ex − 1
(3.4.1)
Bu integral sonlu mu sonsuz mu?
İntegral büyük x ve küçük x limitinde sonsuz olabilir. Bu limitleri inceleyelim.
x >> 1 iken bu integral ∼
R∞
1/2 e−x
4>>1 dxx
sonlu deǧer verir.
x << 1 iken integral
Z
δ
∼
0
x1/2
dx
=
1+x−1
Z
δ
dx
0
1
x1/2
= 2x1/2 |δ0 = 2δ 1/2
sonlu deǧer verir. İki limitte de sonuç sonlu olduǧundan integral sonludur. Bu integralin
belirli bir deǧeri vardır.
Z
∞
0
dxx1/2
ex − 1
=
∞ Z
X
dxx1/2 e−lx
(3.4.2)
l=1
= Γ(3/2)[1 +
1
23/2
+
1
33/2
+
1
43/2
]
= Γ(3/2)ζ(3/2)
Z
0
ζ(1) = ∞,
∞
ζ(3) = 1.202,
(3.4.4)
dxxα−1
= Γ(α)ζ(α)
ex − 1
ζ(3/2) = 2.612,
ζ(2) = π 2 /6,
ζ(7/2) = 1.1272,
(3.4.3)
ζ(5/2) = 1.341
ζ(4) = π 4 /90
200
z = 1 limitinde olabilecek maksimum yoǧunluk,
nc =
1 2 dxx1/2
1 2
√
= 3 √ Γ(3/2)ζ(3/2)
λ3 π ex z − 1
λ π
r
3
nc λ = 2.612 ⇒ nc
(3.4.5)
3
h2
= (kB T )3/2 2.612
2πm
(3.4.6)
olur. T sıcaklıǧındaki sistemin içine süreki bozon atıldıǧında, kritik bir n deǧerinden
(nc ) sonra yoǧunluk hep aynı kalmalıdır. Fakat bu mümkün deǧildir. Sisteme bozon
atıldıǧı için parçacık sayısı sürekli artar.
3/2
n
c
T
T
Şekil 3.27: nc - t deǧişimi.
Bu hata V
R
d3 k
n
(2π)3 B
integralinden kaynaklanır. Çünkü µ = 0 ise taban durumda
(² = 0) nB (k = 0) = ∞ olur. Bu nedenle temel durum bu integralle tanımlanamaz. Bu
integral ifadesine temel durum terimlerinin eklenmesiyle yoǧunluk aşaǧıdaki gibi tekrar
tanımlanır.
Z
n=
0
∞
d3 k
nB (²k ) + n0
(2π)3
(3.4.7)
n0 : temel durum terimi
Belirli bir Tc sıcaklıǧının altında parçacıkların sonlu bir oranı temel duruma gider.
201
Buna Bose-Einstein Yoǧunlaşması denir.
r
3/2
2.612(kB Tc )
=
3
h2
n
2πm
(3.4.8)
Parçacıkların ne kadarı temel durumda bulunur?
n=
1
ζ(3/2) + n0
λ3
n0
1
=1−
ζ(3/2)
n
nλ3
s
nλ3c = ζ(3/2),
λ=
n0
n
(3.4.10)
h2
2πmkB T
n0
nλ3c
T 3
=1−
= 1 − ( ) /2
3
n
nλ
Tc
T = 0 ⇒
(3.4.9)
(3.4.11)
= 1’dir. Bu durumda tüm parçacıklar temel durumda bulunur.
Sıcaklık artmaya başlayınca temel durumdaki parçacıklar üst düzeylere yerleşmeye
başlar. Tc ’nin üzerinde
n0
n
= 0 olur. Taban durumda parçacık kalmaz.
Şekil 3.28: Yoǧunluk oranı.
Bose-Einstein yoǧunlaşmasının ilk gözlendiǧi durum He4 süper akışkanıdır. Süperiletkenlerde
iki elektronun birleşmesiyle oluşan Cooper çiftleri de bozon gibi davranır ve Bose-
202
Einstein yoǧunlaşması gözlenir.
Etkileşmeyen her bozon sisteminde Bose-Einstein Yoǧunlaşması gözlenebilir mi?
3.4.1
İki Boyutlu İdeal Bozon Gazı
Z
d2 k
1
nB (²k ) ~2 k2
2
(2π)
eβ( 2m −µ) − 1
Z ∞
N
1
dkk
=
=
2 k2
A
2π 0 eβ( ~2m
) −βµ
e
−1
N =A
(3.4.12)
n2B
(3.4.13)
~2 k 2
)⇒
2m
Z ∞
1
dx
1
x = β(
1
4π
n2B =
h2
2mkB T (2π)2
Z
∞
2
n2B λ =
dx
|0
0
1
ex z −1 − 1
{z
}
1
ex z −1 − 1
(3.4.14)
0<z<1
(3.4.15)
g1 (z)
g1 (z), z ile monoton artan fonksiyondur. z = 1 limitinde g1 (z) fonksiyonu sonlumudur?
Z
g1 (z = 1) =
Büyük x limitinde x → ∞
Küçük x limitinde
R∞
−x
∆>>1 dxe
Z
δ
dx
0
∞
dx
0
ex
1
−1
(3.4.16)
→ sonlu bir katkı gelir.
1
= ln x|δ0 → ∞
1+x−1
g1 (z = 1) sonsuza gider. Bütün parçacıklar üst seviyelere daǧılır. Temel durum sonlu
sayıda parçacıǧa sahip olmaz. Yani, iki boyutlu ideal Bozon gazında Bose-Einstein
yoǧunlaşması gözlenmez.
Bose-Einstein yoǧunlaşmasının gözlenmesi durum yoǧunluǧuna baǧlıdır. Herhangi
203
bir durumda sistemdeki yoǧunluǧu aşaǧıdaki gibi yazabiliriz.
Z
∞
N=
d²ρ(²)
²g
z = 1 için
Z
Nc =
1
ex z −1
∞
1
d²ρ(²)
²g
(3.4.17)
−1
e
²−²g
kB T
(3.4.18)
−1
z = 1’de bu integral sonlu ise Bose-Einstein yoǧunlaşması gözlenir. Sonsuz ise gözlenmez.
² → ∞ limitinde
R∞
∆>>kB
d²ρ(²)e−²/(kB T ) → ² büyük iken gelen katkı her zaman
sonludur.
² → ²g limitinde
Z
²g +δ
d²
²g
Z
ρ(²)
1+
²−²g
kB T
−1
=
δ
d²0
0
ρ(²0 )
²0
ρ(²0 ) taban durum etrafında ρ(²) = (² − ²g )α gibi gidiyorsa,
Z
d²0
²0α
=
²0
Z
d²0 ²0α−1 =
²α
α
Bu durumda integral α > 0 ⇒ sonlu olur ve Bose-Einstein yoǧunlaşması gözlenir.
α < 0 ⇒ sonsuz olur ve Bose-Einstein yoǧunlaşması gözlenmez.
Şekil 3.29:
ρ(²) - ² deǧişimi. α > 0 ise Bose Einstein yoǧunlaşması gözlenmez. α < 0 ise Bose Einstein
yoǧunlaşması gözlenir.
204
Şekil 3.30: Üç boyutlu harmonik salınıcı potansiyeli.
3.4.2
Üç Boyutlu Harmonik Salınıcı Potansiyelinde Bose-Einstein Yoǧunlaşması
Bozonları bu potansiyel kuyusuna doldurup, sıcaklıǧı düşürürsek, bir anda temel duruma birçok parçacık düşer.
H=
p2
1
+ mw2 (x2 + y 2 + z 2 )
2m 2
² = ~w(nx + ny + nz + 3/2)
Termodinamik limitte,
N →∞

N
V →∞
V
(3.4.19)
(3.4.20)
= n → Sabit
olur. Bu problem için termodinamik limit ise
N →∞


w→0

N w2 → c
şeklinde tanımlanır.
Bu potansiyel ile sistemin durum yoǧunluǧu ρ(²) nedir?
n uzayında her nokta bir durum belirtir. Bu uzayda herhangi bir enerji yüzeyi bir
205
düzlemdir.
3
² − ~w = ~w(nx + ny + nz )
2
Şekil 3.31:
3
2 ~w
terimini ihmal edip, bütün enerjileri kaydırabiliriz.
² = ~w(nx + ny + nz )
Bu yüzeyin (piramit) hacmi bize durum sayısını verir.
1 1 ³ ² ´3 1 ³ ² ´3
=
3 2 ~w
6 ~w
θ(²) =
(3.4.21)
∂
1 1
θ(²) =
²2
∂²
2 (~w)3
Z ∞
Z ∞
1
²2
N=
d²ρ(²)nB (²) =
d²
(~w)3 eβ(²−µ) − 1
0
0
ρ(²) =
x = β² ⇒ dx = βd²
µ
¶ Z
1 kB T 3 ∞
x2
N=
dx x −1
2 ~w
e z −1
0
(3.4.22)
(3.4.23)
(3.4.24)
Bose-Einstein yoǧunlaşma sıcaklıǧını bulmak için z = 1 alınır. Çünkü N z’nin artan
bir fonksiyonudur ve maksimum deǧeri zmax = 1’dir.
1
N=
2
µ
kB T c
~w
¶3 Z
0
∞
x2
1
dx x
=
e −1
2
µ
kB T c
(~w)3
¶
Γ(3)ζ(3)
(3.4.25)
206
µ
N=
kB Tc
~w
¶3
1.202
(3.4.26)
z = 1’de integral sonlu bir deǧer aldıǧından Bose-Einstein yoǧunlaşması gözlenir. N
sayısı yeterince büyük olduǧu için durum yoǧunluǧundan süreklilik yaklaşımı uygun bir
seçimdir.
Herhangi bir T sıcaklıǧında bu potansiyelin merkezindeki atom yoǧunluǧu ne kadardır?
T sıcaklıǧında bir gaz harmonik osilatör poyansiyelinin içine koyulursa, bu gaz içerde
bir bulut oluşturur ve parçacıkların yoǧunluk daǧılımı,
Z
n(~r) =
p2
1
d3 p~e−β( 2m + 2 mw
2 R2 )
1
= n0 e−β( 2 mw
2 r2 )
(3.4.27)
şeklinde Gaussian bir daǧılım olur.
Şekil 3.32:
Bu daǧılımın yarıçapı,
p2
1
e−β( 2m + 2 mw
2 R2 )
= e−1
r
1
2kB T
2 2
kB T = mw R ⇒ R =
2
mw2
(3.4.28)
(3.4.29)
bulunur. Merkezdeki yoǧunluk n0 da
BT 3
) 1.202
( k~w
N
kB T )3 m3 π 3/2 h
=
=
(
B T 3/2
R3
~3 (2πmkB T )3/2 h3
( 2mk
)
m2 w2
3
n0 =
h
λ= √
2πmkB T
(3.4.30)
207
Ã
n0 =
2π 3/2 mkB T
h3
Ã
3
n0 λ =
!3
h3
(2πmkB T )3/2
2π 3/2 mkB T
h3
(3.4.31)
!3
(3.4.32)
olur.
Bose-Enstein yoǧunlaşması olunca, yoǧuşan parçacıklar temel duruma gider. Temel
durumun genişliǧi l, nedir?
Virial teoremine göre harmonik salınıcının temel durumda kinetik enerjisi, potansiyel
enerjisine eşittir.
potansiyel enerji → P ∼ 12 mw2 l2

kinetik enerji → 12 m( ~l )2
R
=
l
r


kB T mw
=
mw2 ~
r
⇒l=
kB T
>> 1
~w
~
mw
(3.4.33)
Sistem kritik sıcaklıǧın üstünde ise gauss daǧılımı oluşur. Kritik sıcaklıǧın üstünde ise
atomlar küçük bir bölgeye sıkışır.
Şekil 3.33:
Bose-Einstein
yoǧunlaşması.
Sistemin toplam enerjisi,
Z
E=
0
∞
d²ρ(²)²nB (²)
(3.4.34)
208
baǧıntısı ile bulunur. Taban durum enerjisi sıfır kabul edildiǧinde taban durum için ek
bir terim eklemeye gerek yoktur.
3.4.3
Problem
1) d boyutta ² = c|k|s olan parçacıkların Bose-Einstein yoǧunlaşma sıcaklıǧını bulun.
Hangi durumlarda Bose-Einstein yoǧunlaşması gözlenmez.
3.5
Etkileşimler (T = 0)
Sadece iki parçacık etkileşimlerinin önemli olduǧu bir çok parçacık probleminin hamiltonyeni
aşaǧıdaki gibi yazılabilir.
H=
N
N
X
X
p2i
1
+
V (~xi ) +
2m
2
i=1
i=1
N
X
U (~xi − ~xj )
(3.5.1)
i,j=1 i6=j
U(r): etkileşim potansiyeli.
Bu hamiltonyeni çözmek için çok parçaçık dalga fonksiyonu yazılır.
HΨ(~x1 , ~x2 , ~x3 , · · · , ~xN ) = EΨ(~x1 , ~x2 , ~x3 , · · · , ~xN )
(3.5.2)
Fermiyonlar için Pi↔j permutasyonu altında ψ = −ψ olur. Bozonlariçin ise Pi↔j permutasyonu altında ψ = ψ olur.
Dalga fonksiyonunu belirleyebilmek için bazı yaklaşımlar yapılabilir. T = 0 sıcaklıǧında
ve etkileşimler sıfır olduǧunda bu dalga fonksiyonu nasıl belirlenir?
Bozonlar için:
Bozonlar, T = 0 sıcaklıǧında temel durumda bulunurlar. Bu nedenle çok parçacık dalga
fonksiyonu, tek tek parçacıkların temel durum dalga fonksiyonlarının çarpımına eşittir.
Ψ(~x1 , ~x2 , ~x3 , · · · , ~xN ) = φg (~x1 ) · φg (~x2 ), · · · , φg (~xN )
(3.5.3)
209
φg (~x) : tek arçacık probleminin temel durumu.
Fermiyonlar için:
N tane fermiyon enerji seviyelerine şekildeki gibi yerleşir. Fakat fermiyonlar için çok
Şekil 3.34: Fermiyonların enerji seviyelerine daǧılımı.
parçacık dalga fonksiyonu,
Ψ(~x1 , ~x2 , ~x3 , · · · , ~xN ) = φg (~x1 ) · φ1 (~x2 ), · · · , φN − 1(~xN )
(3.5.4)
şeklinde yazılamaz. Çünkü fermiyonların dalgafonksiyonu yerdeǧiştiremez. Bu çok
parçacık dalga fonksiyonu, Slatter determinantı şeklinde yazılabilir.


φg (~x1 )
φ1 (~x1 )
···


 φg (~x2 ) φ1 (~x2 ) · · ·


Ψ(~x1 , ~x2 , ~x3 , · · · , ~xN ) =  φg (~x3 ) φ1 (~x3 ) · · ·

..
..

..

.
.
.

φg (~xN ) φ1 (~xN ) · · ·
φN − 1(~x1 )


φN − 1(~x2 ) 


φN − 1(~x3 ) 

..


.

φN − 1(~xN )
(3.5.5)
Etkileşimler için yapılabilecek en kolay yaklaşımlardan bir tanesi varyasyondur.
hψdeneme | H |ψdeneme i
≥ Eg
hψdeneme | ψdeneme i
(3.5.6)
Bozonlar için seçilen dalga fonksiyonu, 3.5.3 eşitliǧini saǧlar ve ψdeneme dalga fonksiyonu, enerjinin beklenen deǧerini minimum yapacak şekilde seçilir. Bozonlar için bu
210
yönteme Gross-Pitaevski kabulü denir. Aynı şekilde fermiyonlar için de N tane deneme
dalga fonksiyonu enerjinin beklenen deǧerini minimum yapacak şekilde seçilir. Fermiyonlar için bu yaklaşıma Hartree-Fock yaklaşımı denir.
Bozonlar için tek parçacık dalga fonksiyonu φ(x)’i hamiltonyende yerine yazıp beklenen deǧeri alınırsa,
−
~2 2
∇ φ(x) + V (x)φ(x) +
2m
Z
d3 x0 |φ(~x0 )|2 U (~x − ~x0 )φ(x) = Eφ(x)
(3.5.7)
bulunur. Bu denklemin çözümü bozonlar için seçilebilecek en iyi varyasyonel dalga
fonksiyonunu verir. Bu denkleme Gross-Pittaevski denklemi denir. Fermiyonlarda ise
N tane denklem elde edilir. Fermi sistemleri için Hartree-Fock yaklaşımı gayet iyi
sonuçlar verir.
3.6
Neler Gördük?
1) Yoǧunluk Matrisi
ρ̂ = e−β Ĥ
ρ̂ =
X
e−β²n |ni hn|
n
hÔi = T r[ρ̂Ô]
Z = T r[ρ̂]
(3.6.1)
211
2) İdeal Bozon ve Fermiyonlar
Fermiyon:
Pauli dışarlama ilkesi nedeniyle bir duruma en fazla bir parçacık yerleşir.
z = 1 + e−β(²−µ) ⇒ nf (²) =
1
eβ(²−µ) + 1
Bozon:
z=
1
1−
e−β(²−µ)
1
⇒ nB (²) =
Z=
Y
eβ(²−µ)
zk̂
k̂
G = −kB T ln Z = −kB T
X
ln zk̂
k̂
3) Durum Yoǧunluǧu
θ(²) → ² ’dan az enerjiye sahip durum sayısı
ρ(²) =
Serbest sistemler için
X
Z
⇒V
k̂
4) Durum Denklemleri
dθ(²)
d²
d3 k
⇒
(2π)3
Z
d²ρ(²)
Z
N=
d²ρ(²)n(²)
−1
212
3 boyutta
2 boyutta
~
1 boyutta
~
sabit
1/2
-1/2
Z
E=
d²ρ(²)²n(²)
Birinci denklemden µ(N ) çekilip, ikinci denklemde yerine yazılırsa durum denklemi
bulunur.
Serbest sistemlerde
²=
d
P,
s
3 boyut ⇒
E
3
= P
V
2
5) Yüksek Sıcaklık Limiti (T >> T∗ )
Sıcaklık skalası T∗ ’a göre tanımlanır.
s
λ=
h2
,
2πmkB T
nλ3∗ = 1
Termal dalgaboyu λ, bir parçacıǧın konumundaki belirsizliǧi verir.
T < T∗ ⇒ kuantum etkileri önemli (yoz(dejenere) limit)
T > T∗ ⇒ sistem neredeyse klasik (z → 0)
Örnek:
Z
n=
ρ(²)
d² β(²−µ)
=
e
±1
Z
d²ρ(²)
e−β² z
1 + e−β² z
Denklem z’nin üslerinde seriye açıldıǧında giderek azalan bir seri olur. İstenildiǧi kadar
terim alınarak kuantum düzeltmeleri bulunur.
213
6) T << T∗ ’da Fermiyon Gazı
T << T∗ metallerdeki elektronlar için önemlidir. Çünkü metallerde T∗ ∼ 104 K. Metallerdeki elektronlar her zaman yoz limitte bulunur.
R
d²H(²)n(²) : Sommerfeld açılımı yapılır.
Z
¯
¯
π2
2 ∂H ¯
d²H(²)n(²) =
+ ···
H(²)d² + (kB T )
6
∂² ¯µ
−∞
Z
µ
Cv ∝ T
Düşük sıcaklıklarda ısı sıǧasının T ile orantılı olması etkileşmeyen fermiyonlar için her
zaman geçerlidir. Bunun nedeni fermi yüzeyinin oluşmasıdır.
7) T << T∗ ’da Bozon Gazı
nB =
1
,
eβ(²−µ) − 1
nB > 0 ⇒ µ ≤ min(²) = 0
Bozonlar için max z = 1 → 0 ≤ z ≤ 1
Fermiyonlar için max z = ∞ → 0 < z < ∞
Tam kritik durumda Nc denklemini incelersek,
Z
Nc =
∞
d²ρ(²)
0
eβ²
1
−1
Nc = ∞ ise sisteme istenildiǧi kadar parçacık koyulabilir.
Nc → sonlu ise Bose-Einstein yoǧunlaşması vardır.
T < Tc ise ekstra parçacıklar temel duruma gider.
3.7
Sınav Soruları
1) χLandau ’yu hesplayın.
2) 1 <
T
T∗
< 5 aralıǧında ideal fermiyonlar için Cv ’yi çizdirin. Aynı grafik üzerinde
214
Cv ’nin yüksek sıcaklık açılımı ve düşük sıcaklık açılımlarını gösterin.
3) İki boyutlu harmonik osilatör potansiyelinde
1
p~2
H = mw2 (x2 + y 2 ) +
2
2m
N tane ideal bozon olduǧunu kabul edin. Bose-Einstein yoǧunlaşma sıcaklıǧı Tc ’yi
hesaplayn. Cv ’yi 0 < T < 2Tc aralıǧında çizdirin.
4) Üç boyutlu harmonik osilatör potansiyelinde N tane ideal spinsiz fermiyon var
olduǧunu kabul edin.
1 2
1
p~
H = mw2~r2 +
2
2m
m, w ve N cinsinden T = 0 sıcaklıǧında ²F , fermi enerjisini hesaplayın. Sommerfeld
açılımı ile
µ(T ) = ²F + c1 T 2 + c2 T 4 + · · ·
c1 ve c2 ’yi hesaplayn.

2) Temmuz/2007 IARS Yoğun Madde Fiziği Çalıştayı notları

Transkript

Benzer belgeler

TAD Bülteni-Sayı 33 – Haziran 2011

z - Burak Kurt

5) IARS İstatistiksel Mekanik ve Karmaşıklık Serisi İklim

Mobil Kullanıma Yönelik Taktik Komuta Kontrol - CEUR