Toplam-Çarpım-Dizi-Seri

TÜMEVARIM – DİZİ - SERİ
A = { n | n  a , n  N } ve P(n) önermesi verilsin. Eğer :
1. P(a) doğru ,
2. k A için P(k) doğru iken P(k+1) önermesi de doğru ise;
P(n) önermesi  n  A için doğrudur.
TOPLAM SEMBOLÜ
a k  R ve k  N  olmak üzere;
n
a a  a 2  ...  a n   a k
dır.
k 1
n
 c  n.c
k 1
n
n
k 1
k 1
 ca k  c ak
n
n
n
k 1
k 1
k 1
n
m
k 1
k 1
 ak  bk    ak   bk
1 < m < n için
n
 ak 
k p
nr
 ak   ak 
 a k r 
k  pr
n
a
k  m 1
k
nr
a
k  p r
k r
n
 F k   F k  1  F n  F 0
k 1
n
 F k   F k  1  F 1  F n  1
k 1
A=
1 n
 ak
n k 1
Aritmetik orta
99
ÖRNEK:

 
35
 
k 1  k 
k 1

2 1 
3  2  ... 


36  35  6  1  5
ÖRNEK:
7
S   3i
ve T 
i 1
=
 6  3 
7
i 1
ise
i 1
S
T
?
3
7
7
1
1 7
i 1
i
i
(
)
=
(




6

3
6

3
3i )
3
3





3 i 1
3 i 1
i 1
i 1
i 1
7
7
1
3
= .7.6  14
ÖNEMLİ EŞİTLİKLER:
n
k 
k 1
n(n  1)
2
n
 2k  1  n
2
k 1
n
 2k  nn  1
k 1
n
k
2

k 1
nn  12n  1
6
n 2 n  1
k 

4
k 1
2
n
3
n
 k k  1 
k 1
n
nn  1n  2
3
1
n
 k k  1  n  1
k 1
n
1
n
 2k  12k  1  2n  1
k 1
n
r
k 1
k 1
n
r
k p
k
1 rn

1 r

r n 1  r p
r 1
100
x n 1  1
(x  1)
x 1
1+x+x2+x3+ … +xn =
1+2x+3x2+ …. +nxn-1 =
nx n 1  (n  1) x n  1
x  12
1.1! + 2.2! + 3.3! +…+n.n! = (n+1)! – 1
ÖRNEK:
2n
2n
n 1
k n
k 1
k 1
k  k  k 
2n(2n  1) (n  1)n 3n(n  1)


2
2
2
ÖRNEK:
6
 3k  c   77
ise
c=?
k 0
6
6
6
k 0
k 0
k 0
 3k  c   3 k   c
6.7
 7c  63  7c  77
2
7c  14  c  2
3.
ÖRNEK:
6
 3ny  2  327
ise
y=?
n 1
6
6
6
n 1
n 1
n 1
6.7
 3ny  2  3 y n   2  3 y.  6.2  63 y  12  327
2
63 y  315  y  5
101
ÖRNEK:
n
k
2
k 1
n
k
n
k
 7 ise
3
?
k 1
k 1
n(n  1)(2n  1)
2n  1
6
k 1


 7  n  10
n
n(n  1)
3
k

2
k 1
n
k
2
10(10  1) 
k  k  
 55 2  3025


2


k 1
k 1
n
2
10
3
3
ÖRNEK:
20
 k 2  2870 ve
k 1
20
 k  210
ise
1.2+2.3+3.4+ …. +20.21=?
k 1
1.2+2.3+3.4+ …. +20.21=
20
 k (k  1)
k 1
20
20
k 1
k 1
  k 2   k  2870  210  3080
ÖRNEK:
n 5
 4(k  3)  an
2
 bn  c ise a  b  ?
k 5
n=0 için ;
5
 4(k  3)  c  c  8
k 5
n=1 için ;
6
 4(k  3)  a  b  c
k 5
 a  b  c  8  12  20
 a  b  12
ÖRNEK:
2
3
2
2
i 0
i 0
 ij   (i.0  i.1  i.2  i.3)   6i  6.0  6.1  6.2  18
i 0 j 0
102
ÇARPIM SEMBOLÜ
a k  R ve k  N  olmak üzere;
a1 . a2 . a3 ….. an =
n
a
k
dır.
k 1
n
c  c
n
k 1
n
n
 c.ak  c n  ak
k 1
k 1
n
n
k 1
k 1
n
 ak .bk   ak . bk
1 < m < n için
k 1
 m
 n

a

a


k
  k   a k 
k 1
 k 1  k m1 
n
1
 n
n
G =  a k 
 k 1 
Geometrik orta
ÖRNEK:
10.
10
2 3 4 9
2
k 1
 1
 10. . . ....  10.  2
1


10
.




3 4 5 10
10
k
k
k 3 
k 3
10
ÖRNEK:
log 6 24  a ise
23
 log k  2  ?
k
k 5
23
 log k  2  log
k
5
7. log 6 8.... log 23 25
k 5

log 7 log 8 log 24 log 25
.
...,
.
log 5 log 6 log 22 log 23

log 24 log 25
.
 log 6 24. log 5 25  2a
log 6 log 5
103
ÖRNEK:
n
 ak  5m
n

ise
k 1
n
n
ak
1
 n

5
k 1 5
 ak 
ÖRNEK:
2
k 1
10
k 1
ak
?
5
5m
 5 mn
5n
 21.2 2.2 3...210  21 23....10  2 55
k
k 1
ÖRNEK:
n
n
n
 p   (n!)  (n!)
k 1 p 1
ÖRNEK:
n
n
ÖRNEK:
k 1
n
 p   ( p
p 1 k 1
15
n
n
)  1n.2 n.3n...n n  (n!) n
p 1
3
15
t
1 2 3 15 3
3

. .    16.  12


4
k 0 t 1 2
k 0 2 2 2
k 0 4
ÖRNEK:
n(n  1)  n(n  1) 
k   (1  2  3  ...  n)  


2
 n 
k 1 k 1
k 1
k 1
n
n
n
ÖRNEK:
n
n
 n k  n 21 ise
k 1
n
n
k
n
k  ?
k 3
 n1 .n 2 .n 3 ....n n  n1 23... n
k 1
n
n ( n 1)
2
 n 21 
n
6
k 3
k 3
n(n  1)
 21  n  6
2
 k   k  3  4  5  6  18
104
n
DİZİLER
N+ dan R ye tanımlanan her fonksiyona bir Reel sayı dizisi,
f(n) = an ye dizinin genel terimi denir.
Genel terimi an olan dizi (an) ile gösterilir.
Dizinin genel terimi mutlaka verilmelidir.
n N+ için f(n) tanımlı olmalıdır.
ÖRNEK:
an=2n ise ; dizinin 2, 5 ve 7. terimlerinin toplamı kaçtır?
a2=22=4
a5=25=32
a7=27=128
a2+a5+a7=4+32+128=164
ÖRNEK:
an=(-1)n ise ;
dizinin ilk 40 teriminin toplamı kaçtır?
a1+a2+a3+…+a40=(-1)+(-1)2+(-1)3+…+(-1)40 =-1+1-1+ … +1 =0
ÖRNEK:
an=
n
k
ise ; dizinin ilk üç teriminin toplamı kaçtır?
k 1
a1=
1
k 1
k 1
a3=
a2=
2
k  1 2  3
k 1
3
k  1 2  3  6
k 1
a1+a2+a3 = 1+3+6 = 10
105
ÖRNEK:
 n 2  3n  8 


n


dizisinin terimlerinden kaç tanesi tamsayıdır?
n 2  3n  8
8
 n  3   Z olması için n’in 8’in böleni olması
n
n
gerekir.
n=1 ,2, 4 ve 8 olmalıdır.
a1 , a2 , a4 ve a8 olmak üzere dört tanedir
ÖRNEK:
(n2-13n+40) dizisinin terimlerinden kaç tanesi negatiftir?
n2-13n+40 < 0  (n-5)(n-8) < 0
 5 < n < 8  n= 6 ve 7
olmalıdır.
a6 ve a7 olmak üzere iki terimi negatiftir.
ÖRNEK:
an 
n!
ise (an) dizisinin
3n
12. terimi, 11. teriminin kaç katıdır?
a12
a11
12!
12
12! 311 12
3


.

4
11! 312 11! 3
311
ÖRNEK:
3

.n! dizisi için
n1
a n 1
?
an
a n 1 3 n (n  1)!

 3(n  1)
an
3n 1.n!
106
ÖRNEK:
a1=1 ve an = an-1 + n
a1=1 ,
(n  2 ) ise
a2=a1+2 ,
a20=?
a3=a2+3 , … . , a20=a19+20
eşitlikleri taraf tarafa toplandığında ;
a20=1+2+3+ … +20 =
20.21
 210 bulunur.
2
ÖRNEK:
a1=1 ve an = n.an-1
a1=1 ,
a2=2.a1 ,
(n  2 ) ise
a40=?
a3=3.a2 , … . a40=40.a39
eşitlikleri taraf tarafa çarpıldığında ;
a40 = 1.2.3…..40 = 40! bulunur.
ÖRNEK:
n ; n tek ise
an=
1
; n çift ise
n
(an) dizisinin ilk beş teriminin toplamı kaçtır?
1
,
4
1
1
3
a1+a2+a3+a4+a5= 1   3   5  9
2
4
4
a1=1 ,
a2=
1
,
2
a3=3 ,
a4=
a5=5
ÖRNEK:
a1=1 ve n  1 için 3an+1-3an=1 ise a2005=?
3a2-3a1=1 ,
3a3-3a2=1 ,
3a4-3a3=1 , ….
3a2005-3a2004=1 eşitlikleri taraf tarafa toplandığında
3a2005-3a1=2004 bulunur.
3a2005-3=2004  3a2005=2007  a2005 = 669
107
DİZİ ÖZELLİKLERİ:
an  an  için ;
an  M olacak şekilde bir M  R varsa diziye üstten sınırlı dizi
denir.
Üstten sınırlı dizde (EKÜS) vardır.
an  m olacak şekilde bir m  R varsa diziye alttan sınırlı
dizi denir.
Alttan sınırlı dizide (EBAS) vardır.
m  an  M ise diziye sınırlı dizi denir.
Sınırlı dizilerde : |an|  c dir.
an < an+1 ise dizi monoton artan ,
an > an+1 ise dizi monoton azalandır.
 an  b 

 cn  d 
(an) = 

şeklindeki dizilerde;
d
 1 ise dizi monotondur.
c
ad-bc > 0
ise
artan
ad-bc < 0
ise azalan ,
ad-bc = 0
ise
sabit
dizidir.
d
 1 ise artan veya azalan olduğu söylenemez.
c
d
(
ye en yakın iki tamsayı x ve x+1 ise ax ve ax+1 dizinin EBAS
c

ve EKÜS dır.)
108
ÖRNEK:
1
1
) , (dn)=(  ) , (en)=( (-1)n)
n
n
(an)=(n) , (bn)=(-n) , (cn)=(
dizilerini inceleyiniz?
(an) = (n) = {1,2,3, … , n , … }
monoton artan , alttan sınırlı , EBAS =1
(bn) = (-n) = {-1,-2,-3, … , -n , … }
monoton azalan , üstten sınırlı , EKÜS =-1
(cn) = (
1
1 1
1
) = {1, , ,...., ,... }
n
2 3
n
monoton azalan , sınırlı , EBAS =0 , EKÜS =1
(dn) = (-
1
1 1
1
) = {-1,  , ,...., ,....}
n
2 3
n
monoton artan , sınırlı , EBAS =-1 , EKÜS =0
(en) = ((-1)n) = {-1,1,-1,…,(-1)n,…}
sınırlı , EBAS =-1 , EKÜS =1
ÖRNEK:
 2n  3 
 3n  1 

 ve 
 dizilerini inceleyiniz?
 3n  2 
 2n  7 
2
 1  monoton
3
2(-2)-3.3 =-4-9 =-13 < 0  azalan
a 2
a1=5 EKÜS , EBAS = 
c 3
3n-2 = 0  n =
2n-7 = 0  n=
3<
7
<4
2
7
1
2
a3=-10 EBAS
a4=13 EKÜS
109
LİMİT
  0 için (an) dizisinin hemen her terimi belli bir a  R nin
 komşuluğunda bulunuyorsa
(an) dizisinin limiti a dır denir.
lim (an) =a veya (an)  a ile gösterilir.
n 
( |an-a| <  , n=N+1 , N+2 , … için. )
a  R ve   R+ olmak üzere
(a-  , a+  ) aralığına a nın  komşuluğu denir.
a-  < x < a+ 
veya |x-a| <  dır.
Dizinin sonlu sayıdaki terimi hariç, geriye kalan sonsuz
çokluktaki terimine dizinin hemen her terimi denir.
Teorem:
Tüm yakınsak diziler sınırlıdır.
lim (an) = L ve lim (bn) = M ise;
n 
n 
lim (an  bn) = L  M
n 
lim (an . bn) = L . M
n 
lim (
n 
an
L
)
bn
M
(M  0 )
lim (c) = c
n 
110
Monoton artan , üstten sınırlı bir dizinin EKÜS’ ü
bu dizinin limitidir.
Monoton azalan , alttan sınırlı bir dizinin EBAS’ ı
bu dizinin limitidir.
Monoton ve sınırlı diziler yakınsaktır.
Dizinin limiti varsa tektir.
Dizinin limiti , alt dizilerinin de limitidir.
ÖZEL LİMİTLER:
 P ( n) 

 şeklindeki dizilerde ;
 Q ( n) 
d[P(n)] > d[Q(n)] ise lim (an)= 
an
bn
d[P(n)] = d[Q(n)] ise lim (an)=
d[P(n)] < d[Q(n)] ise lim (an)= 0
a > 1 için ;
 1n 
 a   1 dir.
 
 
|a| < 1 için ; (an)  0
(an)  a ise ;
dır.
x   x
an
a
dır.
Pozitif terimli (an) dizisi için ;
lim
a n 1
 r  lim n a n  r
an
lim (an) = a  lim
dir.
a1  a 2  ....  a n
 a dır.
n
111
(an)  0 , (bn)  
1  an 
bn 
e
n
n
 1
1    e
 n
a1 = a
ve lim (an)(bn) =c ise ;
dir.
c
,
ve
 a
a
1    e
 n
an = a  a n 1 için ; lim (an) =
4a  1  1
2
ln n
0
n  n
lim
cos n
0
n 
n
lim
10 n
0
n  n!
lim
lim
n 
 x    2 x   3x   ...   nx   x
n2
2
ÖRNEK:
an    2n  1 
dizisinin kaç terimi
 n3 
1
2 nin
komşuluğu dışındadır?
10
2n  1
1
5
1
2 


n3
10
n  3 10
n  3  50  n  47
1
ÖRNEK:

lim 5 n  4
n 

1
n n
  4 n  n
 lim 51      5.1  1

n  
 5 
112
dir.
ÖRNEK:
2
n
an =
; n  0 ( mod 3 )
; n  1 ( mod 3 )
2
2n  1
n
; n  2 ( mod 3 )
lim (an )  ?
dizisi için;
lim (an )  ?
lim (a3n)=lim (
2
)=0
3n
lim (a3n+1)= lim (2)=2
 2n  1 
2
 n 
lim (a3n+2)= lim 
lim (an )  2
lim (an )  0
ÖRNEK:
 1  2  3  ...  n  1
lim 

n 
n2  n

 2
ÖRNEK:
5

lim 1  (1) n   1  0  0
n 
n

ÖRNEK:
 1  a  a 2  ...  a n
lim 
n  1  b  b 2  ...  b n

 1 b
 
 1 a
( |a| < 1 , |b| < 1 )
ÖRNEK:
1k  2 k  3k  ....  n k
1

k

1
n 
k 1
n
lim
(an) temel dizi  (an) yakınsak
113
ARİTMETİK DİZİ
a,r  R olmak üzere genel terimi ;
Sn=
n
2a  n  1r   n a1  an 
2
2
an=
a n 1  a n 1
2
r=
an = a +(n-1)r
am  an b  a

mn
n 1
olan dizidir.
an = ap + (n-p)r
GEOMETRİK DİZİ
an = a.rn-1
a,r  R olmak üzere genel terimi ;
Sn=a
olan dizidir.
r n 1
r 1
an = a n 1 .a n 1
r = mn
a m n 1 b

an
a
ÖRNEK:
4, x,
3
x, …. Dizisinin bir aritmetik dizi (geometrik dizi) olması
2
için x ne olmalıdır?
x
3
x
2  x8
2
4
Aritmetik dizi.
3
x  4. x  x 2  6 x  x  6
2
114
Geometrik dizi.
ÖRNEK:
y , 2x+y , 7y , 20 , …. Dizisinin bir aritmetik dizi olması için
x=?
y=?
y  7y
 2x  3y
2
2 x  y  20
7y 
 13 y  2 x  20
2
2x+y=
13y=3y+20
10y=20
y=2 ve x=3
ÖRNEK:
2y, 2xy, 2,
x=?
xy
, …. Dizisinin bir geometrik dizi olması için
2
y=?
2 xy  2 y.2  4 x 2 y 2  4 y  x 2 y  1
2  2 xy.
xy
 xy  2
2
x
1
2
ve
y=4
ÖRNEK:
a+d, 2ad, ad2, …. Dizisinin hem aritmetik, hem de geometrik dizi
olması için a=?
a  d  ad 2
 4ad  a  d  ad 2
2ad=
2
2ad = (a  d )ad 2  3a  d
2
4a.3a = a+3a+a.9a2  d  4d  4  0  d  2
3a  2  a 
Dizi :
2
3
8 8 8
8
, , ,....., ,... sabit dizi
3 3 3
3
UYARI: Hem aritmetik , hem de geometrik dizi olan diziler
sabit dizidir.
115
SERİLER
(an) dizisi için ;
a1+a2+a3+ …. +an+ … =

a
n 1
n
ifadesine (an) in seriye açılımı denir.
Serinin ilk n teriminin toplamı ;
(n. parça toplamı)
Sn = a1+a2+a3+ …. +an dir.
S serisinin kısmi toplamlar dizisi yakınsak ise S serisi
yakınsaktır.
(Sn)  s ise

a
n 1
n
=s
dir.
Teorem:

a
n 1
n
serisi yakınsak ise
lim (an) =0 dır.
(Karşıtı doğru değildir.)
D’ALAMBERT KRİTERİ (ORAN TESTİ)
a

a
n 1
n

serisinde lim  n 1   k olsun.
 an 
k < 1 ise seri yakınsaktır.
k > 1 ise seri ıraksaktır.
k = 1 ise bir şey söylenemez.
COUCHY KRİTERİ (KÖK TESTİ)

a
n 1
n
serisinde lim n a n  k olsun.
k < 1 ise seri yakınsaktır.
k > 1 ise seri ıraksaktır.
k = 1 ise bir şey söylenemez.
116
KARŞILAŞTIRMA KRİTERİ

 a n ve
Pozitif terimli iki seri
n 1

b
n
n 1
olsun.
Herhangi bir terimden itibaren
an < bn ve


n 1
n 1
 bn serisi yakınsak ise  a n serisi de yakınsaktır.
Herhangi bir terimden itibaren
an > bn ve

b
n 1
n
serisi ıraksak ise

a
n 1
n
serisi de ıraksaktır.
GEOMETRİK SERİ:

 ar
n
= a + ar + ar2 + … + arn + … (a  0)
n 0

 ar
|r| < 1 ise
n
n 0
=
a
1 r
HARMONİK SERİ:

1
1
1
1
 n  1  2  3  ....  n  ....
(ıraksaktır)
n 1
ÖRNEK:

1
2
n 0
n

1
1
1
2
2
117


4 n  5n
2
5




 



n
6
n 0
n 0  3 
n 0  6 
ÖRNEK:
1

2
1
3

n

1
5
1
6
n
 36  9
ÖRNEK:
4 2 n 1
1   16 
1

   .


3 n 1
12 n 0  27 
12
n 0 3
n

1
1 27 27
 .

16 12 11 132
1
27
ÖRNEK:

x
2
x 1
1
?
x
1
1
1
 
x  x x x 1
2
S n      1 
x
 x 1  x

1  
1 
1
1
   1 
 1  2
x  1  x  1
x 1 x  x
EK BİLGİ :

1
1
1
1
 k!  0!  1!  2!  .....  e
k 0

xk
 ex

k
!
k 0
ALIŞTIRMA
99
200
 i(i  1)  ?
i 1
118