türev uygulama 8 (L`hopital)

TÜREV UYGULAMALARI
LİMİTE UYGULANMA (L'HOPİTAL)
TÜREVİN LİMİTE UYGULANIŞI
Örnek...3 :
√ x−√3 x =?
lim
x→1
√ x−x
(
Belirsizlikler : Limit hesabında bazen
0 ∞
k a r ş ı m ı za
, , 0.∞, ∞−∞ ,00 , 10 ,∞0 g i b i
0 ∞
d u r um l a r ç ık a r. B u b ö l ü m d e b u
b e l i r s i zl i k l e r i n n a s ı l g i d e r e c e ğ i m i zi
göreceğiz.
L H o p i t a l K u r a l ı : f v e g f o nk s i yo n l a r ı a
n ok t a s ı n d a t ü r e v l e n e b i l i r f o nk s i yo n l a r v e
f ( a )= 0 = g ( a ) o l s u n .
f (x)
f '(x)
lim
=lim
o l u r.
x→a g(x)
x→a g '(x)
Örnek...4 :
lim
x →0
İspat
(
=
lim f (x)−f (a)
x→a
lim g(x)−g(a )
x →a
f (x)−f (a )
x−a
g (x)−g (a )
lim
x−a
x→a
lim
x→a
)( )
)
lim f (x)
=
x→a
lim g(x)
x→a
=lim
x→a
sinx
=?
x
Örnek...5 :
f (x)
g(x)
U ya rı
L’ H o p i t a l k u r a l ı n d a p a yı n t ü r e v i n i n
p a yd a n ı n t ü r e v i n e b ö l ü n d ü ğ ü n e ( ya n i
b ö l üm t ü r e v i a l ı nm a d ı ğ ı n a ) d ik k a t e d i n i z
0 ∞
b e l i r s i z l i ğ i : P a y v e p a yd a n ı n
,
0 ∞
t ü r e v i a yr ı a yr ı a l ı n ı r v e t ek r a r l i m i t
h e s a p l a n ı r. G e r e k i r s e i ş l e m t e k r a r l a n ır.
1.
( )
lim
x →0
(
)
4 x3
=?
x−sinx
www.matbaz.com
(
f '(a)
=
g '(a )
)
Örnek...6 :
lim
x→5
(√
)
2+x−√ 7
=?
x−5
Örnek...1 :
lim
x→2
(
)
x 3−8
=?
x 2−2 x
Örnek...2 :
lim
x→3
(
2
)
(x−3)
=?
x 2−9
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
Örnek...7 :
lim
x→1
(√
)
ln(2 x−1)
=?
x . sin(x−1)
1/6
TÜREV UYGULAMALARI
LİMİTE UYGULANMA (L'HOPİTAL)
Örnek...8 :
(
Örnek...14 :
)
x 2+3 x+1
lim
=?
x→ ∞
4 x 2−1
f (x)=x √ x ise lim
h →0
(
5
f , R ’ d e t ü r e v l i b i r f on k s i yo n v e f '(1)=3
f (1 +2h)−f (1−3h)
lim
=?
h
h →0
)
x −3 x +1
=?
x→ ∞
2 x2−1
lim
)
f (1+h)−f(1)
=?
h
Örnek...15 :
Örnek...9 :
2
(
(
ise
)
Örnek...10 :
∞
( )
logx
=?
ex
www.matbaz.com
lim
x→
Örnek...11 :
( )
2 x−7 x
=?
x→ ∞
5x
lim
Örnek...16 :
lim
x →0
(
)
arcsin2x
=?
6x
Örnek...17 :
lim
Örnek...12 :
lim
x→
∞
)
arctan(x−2)
=?
x 2−4
sinx
=?
x
y=f(x) fonksiyonun grafiği
ve bu fonksiyona
üzerindeki apsisi 5 olan A
noktasından çizilen ve B ile
C noktalarından geçen
teğet doğru şekildeki
gibidir. Buna göre
x→5
(
( )
Örnek...13 :
lim
x→2
(
y=f(x)
y
Örnek...18 :
A
x
B(4,0)
U yg u n ş a r t l a r d a t a n ım l ı y= f ( x ) f on k s i yo n u i ç i n
√3 f (x)−5 =?
f ( 5 )= 1 2 5 v e f ı ( 5 ) = - 3 i s e
lim
5−x
x→5
(
)
C(0,-8)
)
f (x)−2
=?
x−5
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
2/6
TÜREV UYGULAMALARI
LİMİTE UYGULANMA (L'HOPİTAL)
Örnek...23 :
2 . ∞−∞ ve 0.∞
b e l i r s i z l i ğ i : b u d u r um d a
0
i f a d e ç e ş i t l i i ş l em l e r l e
veya ∞
∞
0
b e l i r s i zl i ğ i d u r um u n a g e t i r i l i r.
lim ( x.cotx )=?
x →0
Örnek...19 :
lim ( x .lnx )=?
x→0
+
Örnek...24 :
(
lim 2cosec2 x−
x →0
)
1
=?
1−cosx
Örnek...20 :
x →0
(
)
1
1
− =?
ex −1 x
Örnek...21 :
lim
x→1
(
)
3
1
−
=?
x 3−1 x−1
www.matbaz.com
lim
Örnek...25 :
lim x
x →0
( )
5
=?
sinx
Örnek...26 :
()
lim ex . ln
Örnek...22 :
lim
x →0
(
x→∞
1
=?
x
)
1
1
− =?
sinx x
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
3/6
TÜREV UYGULAMALARI
LİMİTE UYGULANMA (L'HOPİTAL)
Örnek...30 :
3 . 00 , 10 ,∞0 b e l i r s i z l i k l e r i : b e l i r s i zl i ğ e yo l
a ç a n y= [ f ( x ) ] g ( x ) b i ç im i n d ek i i f a d e l e r d e
i l k ö n c e h e r ik i t a r af ı n l o g a r i t m a s ı ( l n )
a l ı n ı r v e if a d e 0 / 0 v e ya ∞
∞ b e l i r s i zl i ğ i
d u r u m u n a g e t i r i l i r. l n y l i m i t i
bulunduktan sonra işleme devam edilir
x
( )
lim 1+
x→∞
1
=?
x
Örnek...27 :
x
lim ( sinx ) =?
x →0
Örnek...31 :
lim
x→∞
( )
x+5
x
4x−4
=?
Örnek...28 :
1
lim ( x )x =?
www.matbaz.com
x→∞
Örnek...32 :
(
lim 2−
x→∞
x+3
x
)
x+2
=?
Örnek...29 :
lim (x−1)x−1 =?
+
x→1
Örnek...33 :
sin
lim (1+ x )
1
x
=?
x→∞
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
4/6
TÜREV UYGULAMALARI
LİMİTE UYGULANMA (L'HOPİTAL)
DEĞERLENDİRME
1)
lim
x→1
(
3
)
x2−4x+1
=?
x 2−1
lim
7)
lim
( )
8)
lim
(
3.2x−2.7x
=?
7.5x
9)
lim
x →0
(
1−cos x
=?
x
1−cos
2
10) lim
(
1
1
−
=?
x−2 x2−4
x→∞
)
2
(
6)
x −5x +2x+2
=?
x2−1
y
2) Şekilde y=f(x)
fonksiyonunun grafiği
veriliyor. A(-3,k)
noktasından bu eğriye
çizilen teğet
C(-6,0) ve B(0,4)
noktalarından
geçmektedir
x→−3
3)
(
3
x
)
lim
lim
x →0
(
√ x−√3 x
√ x−1
x→∞
)
=?
lim
x →0
)
)
( )
sinx 2
=?
x
x→2
5)
lnx
=?
ex
f 2 (x)−4
=?
arctan(3+x)
x →0
4)
C
x→∞
www.matbaz.com
lim
A
y=f(x)
B
(√
)
)
ln(x+1)
=?
1+x−cosx
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
5/6
TÜREV UYGULAMALARI
LİMİTE UYGULANMA (L'HOPİTAL)
11)
lim ( (cotx)
tanx
x →0
) =?
16) f(x)=ln (arctanx) ise lim
h →0
17) lim
x →0
12) lim (cosecx)sinx=?
(
(
)
f (1−h)−f (1)
=?
πh
)
1
1
− =?
e x −1 x
x →0
18)
lim (x−2)x−2 =?
+
x→2
13) lim ( log(200x2 +4)−log(2x 2+5x +1) )=?
www.matbaz.com
x→∞
14) f R’de sürekli bir fonksiyon ve f '(1)=−3
(
19) lim
x→1
(
)
x2
1
−
=?
x−1 lnx
ise
)
f (1−2h)−f(1+3h)
lim
=?
4h
h →0
15) lim
x →0
(
)
arcsin(ax)
=?
bx
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
20) 1+r+r 2+...+rn−1= 1−r
n
1−r
n
k
()
ise lim ∑ 1 =?
n→∞ k=1
2
6/6