integral -1

İNTEGRAL-1
TEMEL İNTEGRAL KAVRAMLARI
BELİRSİZ İNTEGRAL
İNTEGRAL ALMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
x∈A i ç i n
df (x)
=f '(x)
t ü r e v l e n e b i l i yo r i s e
o l u r.
dx
f : A →ℝ
f on k s i yo n u
∫ a.f ( x ) dx=a ∫ f (x )dx
∫ f (x )±g ( x ) dx=∫ f (x )dx ±∫ g ( x ) dx
df(x)=f '(x).dx i f a d e s i n e f f o nk s i yo n u n
d if e r a n s i ye l i d e n i r
B u if a d e dy= f '(x). dx
∫ f (x )dx =∫ f (k ) dk=∫ f ( m) dm ...
o l a r a k d a ya z ı l a b i l i r.
TEMEL BELİRSİZ İNTEGRAL ALMA
KURALLARI
Örnek...1 :
2
y=x +3x +5
nedir?
f o nk s i yo n u n u n d i f e r a n s i ye l i , d y
Birçok ilkel türeve ait kuralların tersine
ç e v r i l m e s i yl e e l d e e d i l i r. B u n l a r ı n b a zı l a r ı
ş ö yl e d i r :
1.
Örnek...2 :
2
ise dx=?
İ n t e g r a l a l m a i ş l e m i t ü r e v i v e ya
d if e r a n s i ye l i b e l l i o l a n f o nk s i yo n u n
k e n d i s i n i ( i l k e l i n i ) b u l m ak i ç i n ya p ı l a n
i ş l em d i r.
T ü r e v i f ( x ) o l a n F ( x ) f on k s i yo n u n a , f ( x ) i n
b e l i r s i z i n t e g r a l i ( i l k e l i ) d e n i r.
Ya n i F ı ( x )= f ( x ) i s e F ( x ) ye f ( x ) i n i lk e l i
denir ve bu
∫ f(x)dx=F(x)+c
i l e g ö s t e r i l i r.
www.matbaz.com
2
x=sint +2cos t
n+1
x +c, n≠−1
∫ xn dx = n+1
Örnek...3 :
∫ x2 dx =?
Örnek...4 :
∫ dx =?
Örnek...5 :
∫ x13 dx=?
Örnek...6 :
∫ √ x dx=?
integrand
İntegral
sembolü
Örneğin
ilkel
∫ f ( x ) . dx =F (x )+c
İntegral
sabiti
İntegral
değişkeni
∫ 2 x dx=x
Örnek...7 :
∫ 41 3 dx =?
2
√x
+c
Örnek...8 :
∫ 5 312
√√√ x
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
dx=?
1/6
İNTEGRAL-1
TEMEL İNTEGRAL KAVRAMLARI
Örnek...9 :
∫ ( x+x 3−4 ) dx=?
(
3.
cos ( ax +b) +c
∫ sin (ax +b) dx= −1
a
Örnek...10 :
2
∫ ∑ (k+1) x k
k=0
∫ 41
)
Örnek...17 :
dx=?
∫ cos ( x ) dx=?
Örnek...18 :
Örnek...11 :
√x
∫ cos ( ax+b) dx = 1a sin (ax +b)+c
∫ cos ( 2x) dx =?
dt=?
Örnek...19 :
∫ 1x dx=ln∣x∣+c
g e n e l l em e
∫ ff'(xx) dx =ln∣f (x )∣+c
( )
Örnek...12 :
dx=?
∫ x2x
2
+5
Örnek...13 :
www.matbaz.com
2.
∫ cos ( 7x−3 )dx=?
Örnek...20 :
∫ sin( x ) dx=?
Örnek...21 :
∫ sin (6x +2) dx=?
Örnek...22 :
∫ sin (7−3x ) dx=?
dx=?
∫ cosx
sinx
Örnek...23 :
Örnek...14 :
∫ cos ( x3 )dx=?
∫ tanx dx=?
4 ∫ ( 1+tan2 x ) dx =∫
Örnek...15 :
2
−2x dx =?
∫ xx3−3x
2
Örnek...16 :
+1
dx=?
∫ lnx
x lnx
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
1
dx =∫ sec2 x dx=tanx +c
cos2 x
∫ ( 1+cot2 x ) dx=∫ sin12 x dx=∫ cosec 2 xdx =−cotx+c
Örnek...24 :
∫ ( 2+tan2 x ) dx =?
2/6
İNTEGRAL-1
TEMEL İNTEGRAL KAVRAMLARI
Örnek...25 :
Örnek...31 :
dx
( √17−x
)=?
∫ ( tan2 x ) dx =?
5.
∫
2
( 1dx+x )=arctanx +c
∫
2
G e n e l l em e ∫
6.
( a dx+x )= a1 arctan( xa )+c
2
x
a +c
∫ a x dx= lna
2
∫ ex dx =ex+c
ve
∫ ekx dx= 1k ex +c
Örnek...26 :
dx
( 2 +2x
)=?
∫
Örnek...32 :
2
∫ 10 x dx =?
Örnek...27 :
( 9dx+x )=?
∫
Örnek...33 :
www.matbaz.com
2
,
Örnek...28 :
dx
( 11+x
)=?
∫
2
(
6. ∫
dx
=arcsinx+c=−arccosx+d
√ 1−x 2
)
∫ ( 2x+ln2) dx =?
Örnek...34 :
x
∫ 7 2 dx=?
G e n e l l em e
x
x
=arcsin
+c=−arccos
+d
∫ dx
2
2
a
a
√ a −x
(
)
()
Örnek...29 :
dx
( √4−4x
)=?
∫
2
()
Örnek...35 :
∫ ex +e2x dx =?
Örnek...30 :
dx
( √16−x
)=?
∫
2
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
3/6
İNTEGRAL-1
TEMEL İNTEGRAL KAVRAMLARI
Örnek...42 :
TÜREV İNTEGRAL VE DİFERANSİYEL
İLİŞKİSİ
1
d
∫ x.lnx dx i s e f f o n k s i yo n u n u n a a p s i s i e
dx
o l a n n o k t a d a n ç i zi l e n t e ğ e t i n e ğ i m i n e o l r ?
f ( x )=
d
(∫ f ( x ) dx )= f (x )
dx
2 d (∫ f ( x ) dx )=f ( x ) dx
3
(∫ d( f ( x ) dx ))=f ( x )+c
Örnek...43 :
6
∫ f (x ). x 2 dx= x6 −3x +1i s e
Örnek...36 :
f(2)=?
d
(∫ x 2 dx )=?
dx
Örnek...37 :
d (∫ x2 dx )=?
Örnek...39 :
∫ d ( x2 )+∫ d (1x −x 2)
Örnek...40 :
( 2)
∫ dx2 x+5
Örnek...41 :
∫ cos
3
x. d( tanx )
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
Örnek...38 :
∫ d ( x2 )=?
Örnek...44 :
f ( x )=∫ d ( x2−2) İ s e f ' (9 ) =?
Örnek...45 :
f ( x ) =∫ ( x2−3x+1 ) dx i s e f ( x ) f o n k s i yo n u n x = 4 d e
teğetinin eğimi nedir?
Örnek...46 :
x
. f ( x )) dx=2x2−3x+2i s e
∫( x+2
f ( x )= ?
Örnek...47 :
f ( x )=∫ ( 4x2−2x +3) dx i s e f ( x ) f o n k s i yo n u n u n
d ö n üm n o k t a s ın ı n a p s i s i n i b u l u n u z
4/6
İNTEGRAL-1
TEMEL İNTEGRAL KAVRAMLARI
DEĞERLENDİRME
(
2
∫ ∏ (k +1 ) xk
k=1
)
2)
∫ √ x : √ x: √ x: ...dx=?
3)
x+1
dx=?
∫ 2x+2
4)
∫ x3 x+ √ 7 dx=?
5)
2x
+x dx=?
∫ lnx
x 2 lnx
6)
∫ sin
7)
∫ cos ( 6−x √ 5 ) dx=?
5
5
6
dx =?
∫ ln2+ln3
12)
∫ x5 +6x 3−cos 5x2 dx=?
13)
∫
14)
∫
15)
∫ 6x2
16)
∫
17)
∫
18)
∫ ( 5+tan2 x+cot 2 x ) dx =?
dx
5
(
−x 3 +
)
(
8x2−5x+7
dx=?
x2
6
−2x dx =?
1 +x2
2
( )
x+2
dx=?
3
8)
∫ 1−tan2 x dx=?
9)
1
dx=?
∫ 256+x
2
10)
∫
1
dx =?
3−x
√ 2
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
1)
x
11)
)
(
x 2−
)
1
+2 dx=?
3x
(
e2x +3e x +2
dx=?
e2x
)
(
7
dx=?
4x−3
)
5/6
İNTEGRAL-1
TEMEL İNTEGRAL KAVRAMLARI
19)
∫ ( cos
20)
∫
21)
∫ ( cos2x.cos4x ) dx=?
∫
x−sin x ) dx=?
∫ ( f ' ' ( x )) dx=mx2 +nx−√7 3 veriliyor. f fonksiyonun
dönüm noktası A(0,1) dir . Bu fonksiyon x=1
de maksimum, x=-2 de minimum değerlerine
sahipse (m+n) kaçtır?
2
sin x dx=?
( 1−cosx
)
27)
2
2
24) f(x) fonksiyonunun grafiğine x=1 noktasında
çizilen teğetinin eğimi 4, f”(x) = 6x + 2 ve f(1) =
2 olduğuna göre, f(2) kaça eşittir?
25) y=f(x) fonksiyonunun her x gerçel sayısı için
birinci türevi (8x2-6x+2) dir. A ( 1,2 ) ∈f ise
f ( x)
dx=? =?
x2
( )
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
( ff ' ((xx )) )dx=∫ dx ve f(0)=1 ise f(3)=?
∫
3
28) P(x) bir polinom fonksiyon ve
P ( x )∫ P ( x ) dx=4x 2−3x ise bu polinomun
katsayılar toplamı kaç olabilir?
dx=?
( costanx.cotx
x. sin x )
23) f fonksiyonu (2,3) noktasındaki teğeti x
ekseniyle pozitif yönde 45 derecelik açı
yapıyor ve f ' ' ( x )=2x−3 ise f(0) kaçtır?
∫
26)
2
www.matbaz.com
22)
2
29) d
dx
∫ (e2x +lnx−arcsin x √ x ) dx=?
( dcos( sinxx) )=?
30)
∫
31)
∫
32)
∫ ( d( x 3+4x + √ 21 ))=?
33)
∫ ( x2−1) . f ( x ) dx= x5 −x ise f fonksiyonuna x= 12
3
3
( d(xx ) )=?
2
5
noktasından çizilen teğet x ekeniyle pozitif
yönde kaç derecelik açı yapar ?
6/6