magnet k rezonans elastograf ve elast s te problem nde ler

magnet k rezonans elastograf ve elast s te problem nde ler

MAGNET K REZONANS ELASTOGRAF VE
ELAST S TE PROBLEM NDE LER VE GER ˙ Z M
Zeynep AKALIN, Murat EY BO—LU
Elektrik ve Elektronik M hendisli i B l m
Orta Do u Teknik niversitesi
06531 Ankara
E-mail : [email protected]
[email protected]
ABSTRACT
In this work, visualization of mechanical properties of soft
tissues is introduced using nuclear magnetic resonance
imaging (MRI) with mechanical compression. In addition to
a spin-echo pulse sequence, motion-sensitizing gradients are
used at the time the object is compressed. From the phase
distribution obtained by MRI the displacement of each pixel
due to the applied compression can be detected. Then,
elasticity distribution can be reconstructed. Simulation results
show that the elasticity distribution of soft tissues can be
reconstructed from the phase images obtained by MRI so that
the biomechanical properties of soft tissues can be examined.
1. G R
Dokunma (palpation), yumu”ak dokularda herhangi bir
sertle meyi anlayabilmek i in y zy llard r klinikte uygulanan
ok temel bir muayene y ntemidir. Tiroid, meme ve prostatta
dokunarak tespit edilen sert bir k tle, o unlukla o k tlenin
t m r dokusu oldu una i aret eder. Ameliyat ncesinde sert
k tle, bilgisayarl tomografi (BT), manyetik rezonans
g r nt leme (MRG), ultrasonografi ile de g r nt lenebilir.
Bu g r nt leme tekniklerinin her biri dokular n X- n
emilimi, f r l yo unlu u (spin density) da l m ve akustik
yank lanma gibi spesifik zelliklerini karakterize eder, ancak
hi biri dokular n mekanik zelliklerini vermez [1].
Yumu ak dokular n elastisitesi olduk a geni bir da l m
g stermektedir. Tablo 1 de g r lece i gibi t m r dokusunun
elastik genli i, yani sertli i, yumu ak dokunun 10 kat
kadard r.
Doku
Yumu”ak doku
Prostat
t m r
Sertlik (N/m2)
1.4×104
2.8×104
2.8×105
MRG de standart bir f r l-eko (spin-echo) darbe dizisine ek
olarak hangi y ndeki yerde i tirmeler (displacement)
g r nt lenmek isteniyorsa o y nde kompresyonla birlikte
harekete duyarl gradyanlar uygulan r. Kompresyon,
gradyan n uygulanmas bitti i zaman sonland r ld i in, data
al n rken f r l yo unlu u da l m da eski yerine gelmi olur.
B ylece al nan g r nt n n b y kl
de i mezken,
g r nt ye yerde i tirmeyle do ru orant l bir faz terimi
kat lm olur. Kompresyon uygulanarak al nan g r nt yle,
kompresyon uygulanmadan al nan g r nt
birbirine
oranlan nca yerde i tirmeyle orant l tek bir faz terimi kal r.
B ylece yerde i tirme g r nt s elde edilmi olur.
Bu y ntem ile g r nt olu turma tekni ine manyetik
rezonans elastografi (MRE) ad verilir [1,3].
Elde edilen yerde i tirme g r nt lerinden elastisite
da l m n elde etmek i in lineer pert rbasyon (linear
perturbation) metoduyla geri problem z lebilir [4,5,6].
Bu makalede ncelikle manyetik rezonans elastografi
anlat lacak, sonra da elastisitede ileri ve geri problem
z mleri anlat lacak.
2.
MANYET K REZONANS ELASTOGRAF
2.1 Harekete duyarl MR Darbe Dizisi
F r l-eko darbe dizisine ilaveten hangi y ndeki yerde i tirme
g r nt lenmek isteniyorsa o y nde objenin kompres
olmas yla birlikte harekete duyarl gradyan (Gm) uygulan r.
Gm in uygulanmas bittikten sonra cisim de serbest b rak l r.
B ylece al nan MR g r nt s n n b y kl
de i mez, ama
uygulanan kompresyona ve Gm e ba l bir faz terimi eklenir.
ekil 1 de manyetik rezonans elastografide kullan lan darbe
dizisi g r lmektedir.
Tablo 1 : Baz dokular n sertlik katsay lar [2]
Dokular n elastik zelliklerini g r nt lemek i in nceleri
ultrasona dayal g r nt leme teknikleri kullan ld , son
zamanlarda da MRG tabanl g r nt leme teknikleri
kullan lmaya ba land .
A a da x y n nde frekans enkoderi, y y n nde de faz
enkoderi olan ve x y n ndeki yerde i tirmeleri g r nt leyen
MR form lasyonu verilmi”tir. Bu durumda “ ekil 1 de verilen
MR darbe dizisinde Gm in sadece frekans enkoderi (x)
y n nde uygulanmas yeterlidir.
rf
π/2
π
g r nt olu”turma tekni i geli”tirildi ve bu algoritma
benzetim modelleri ile test edildi.
eko
3.
frekans
enkoderi
ELAST S TEDE BENZET M MODELLER
Gm
3.1 leri Problem
Bir ok fizik probleminde geri problemin (GP) z lebilmesi
i in ileri problemin ( P) tam anlam yla anla lmas gerekir.
Elastografide P yle bilinen bir elastisite da l m , s n r
ko ullar ve deformasyon kar s ndaki yerde i tirmeler
hesaplan r. Bulunan yerde i tirmelerden sekilde i tirme
(strain) ve gerilme (stress) de hesaplanabilir. Bu al mada P
sonlu elemanlar y ntemi (SEY) ile z lm ”t r [7].
Kesit
se ici
faz enkoderi
Gm
3 boyutlu deforme olmu” bir hacimde Kartezyen
koordinatlar X=(x1,x2,x3) diye tan mlan rsa yerde i tirme
vekt r de U=(u1,u2,u3) olarak tan mlanabilir. D kuvvet
kar s ndaki deformasyonunu a klamak i in, doku isotropik
s re en elastik bir ortam olarak modellenebilir. B yle bir
durum i in gerilme/ ekilde i tirme ba nt s verilmi tir [4,5]
itme
“ ekil 1 : Harekete duyarl eden MR darbe dizisi
x-y d zleminde g r nt alan standart FID sinyali:
S (t , g y ) = ∫∫ M 0 ( x, y )e
− j (γg x tx + γg y t Y y )
τ s resince Gm uyguland
dxdy
(1)
nda
S g (t , g y ) = ∫∫ M ( x, y )e
0
− jγ ( g x tx + G m xτ + g y t Y y )
dxdy
(2)
itmeyle beraber herbir nokta x y n nde ∆x kadar kayar
Smg (t , g y ) = ∫∫ M ( x, y)e
0
− jγ ( g xtx+Gmτ ( x+∆x )+ g ytY y )
dxdy
Smg (t, g y ) = e
∫∫M (x, y)e
0
− jγ ( gxtx+Gmτx+g ytY y)
(3)
dxdy (4)
MR g r nt s n elde etmek i in FID sinyaline geri Fourier
d n m uygulan r. B ylece kompresyon uygulanmam MR
g r nt s n Mg ile temsil edersek
Μ M g ( x, y ) =
IFT ( S g (t , g y ))
(5)
kompresyon uygulanm MR g r nt s
M mg = IFT ( S mg (t , g y )) = e − j .γG mτ∆x M g ( x, y )
(6)
olur. ki g r nt n n oran al nd nda x y n ndeki
yerde i tirmelerle do ru orant l faz g r nt s elde edilmi
olunur.
φ = γGmτ∆x ⇒ ∆x =
φ
γGmτ
(8)
burada µ ve λ , E nin Elastic Modulus, ν nin de Poisson oran
olarak tan mland LamØ sabitleridir.
µ=
E
Eν
, λ=
2(1 + ν )
(1 + ν )(1 − 2ν )
(9)
eij yerde i tirmeyi, Γij gerilimi ve δij ise a a daki gibi
tan mlanan Kronecker deltay ifade etmektedir.
∆x, x ve y den ba ms z oldu u i in onunla ilgili faz terimini
integralin d na alabiliriz
− jγGmτ∆x
Γij = 2µeij + λδ ij enn
(7)
Yerde i tirme g r nt s n n elde edili”i bu ”ekilde
a kland ktan sonra elastisite da l m n n bulunabilmesi i in
1
δ ij = 
0
if i = j
if i ≠ j
enn = divU = e11 + e22 + e33
(10)
(11)
Statik dengede Newton un hareketi tan mlayan 2. kanununun
en genel formu
3
∂Γij
∑ ∂x
j =1
+ f i = 0 , i = 1,2,3
(12)
j
fi de, xi y n nde birim hacime etki eden k tle kuvveti olarak
verilmi tir. ekilde i tirme tens r yle yerde i tirme tens r
(ui) aras ndaki ba nt
1  ∂u ∂u 
eij =  i + j 
2  ∂x j ∂xi 
(13)
olarak verilirse homojen bir ortam i in 8. ve 13. denklemleri
12. denkleme koyarak
µ∇ 2ui + (λ + µ )
∂enn
+ Fi = 0
∂xi
(14)
denklemini elde ederiz. Daha a k haliyle
∂
∂x j
∆E = S t ∆D
S t = yapayters( S )
E = Eilk + ∆E
(18)
form lasyonu kullan l r.
 E  ∂u ∂u j 
∂un 
Eν
i


+
+
δ ij




lk
z mde de yakla k elastisite da l m n n
 2(1 + ν )  ∂x j ∂xi  (1 + ν )(1 − 2ν ) ∂xn 
z lebilmesine ra men her iterasyonda elastisite da l m n
+ fi = 0
(15) ve duyarl l k matrisini g ncelle tirerek iteratif bir y ntem de
15. denklem a lm haliyle yerde i tirmeler cinsinden
mekanik k tlenin denge ko ullar n a klayan
denklem
verir. Bu model yaln zca kompres edilebilen maddeler i in
ge erlidir. Kompres edilemeyen maddede (ν=0.5), LamØ
sabiti, λ, sonsuza yakla r ve mekanik k tlenin denge
ko ullar n a klayan denklemler daha farkl olur. Yumu ak
dokular n Poisson oran 0.5 e yak nd r [5]. Bu al mada
Poisson oran 0.492 al nm t r.
Bu al mada yukar daki diferansiyel denklemler iki boyutta,
y zey yerde i tirme durumunda varsay larak, verilen s n r
ko ullar yla n merik olarak
z lm t r. Mekanik s n r
ko ullar :
izlenebilir.
Bu
y ntemle
yerde i tirmelerden elastisite
bulunabilmektedir.
P den
da l m
elde
tam
edilen
olarak
ilk elastisite da l m
k=k+1
hata=Φ
E
k +1
∆E
Φ<Ε
k
= E
= S
k
+ ∆E
−1
k
∆D
k
k
Hayir
Evet
Dur


 ∑ Γij n j − Fi δ ui − ui0 = 0, i = 1,2,3


 j

(
)
(16)
nj k tle y zeyindeki birim normal vekt r n n j ninci
komponenti olarak verilmi tir. Denklemden de g r lebilece i
gibi s n r ko ullar kuvvet olarak da, yerde i tirme olarak da
tan mlanabilir.
3.2 G r nt Olu turma Algoritmas (Geri Problem)
GP de bilinen s n r ko ullar ve yerde i tirmelerden elastisite
da l m z lm t r.
GP z m nde ilk ko ul olarak, elastik da l m E olan
homojen bir yap varsay l r. Bu yap ya kompresyon
r
uyguland nda, yap , U = (u , v ) yerde i tirmesi g sterir. ∆E
inhomojenitesine sahip bir yap ya kompresyon uyguland nda
r
r
ise yerde i tirme da l m U + ∆U olur. E er bu elastik
inhomojenite k k ise, yerde i tirme da l m ndaki
pert rbasyonla elastisitedeki pert rbasyon aras nda lineer bir
ba nt oldu unu varsayabiliriz [6].
∆U = S∆E
“ ekil 2 : teratif y ntem i in ak - izelgesi
Duyarl l k matrisinin bulunmas tekil de er ayr mas yla
(singular value decomposition) yap lm t r. Bu ayr mada S
matrisi D, Σ ve VT matrislerinin arp m olarak ifade edilir.
D ve V matrisleri kare ve ortogonal matrisler oldu undan
tersleri devri ine e ittir. Σ ise diogonal bir matristir ve tersi
her bir eleman n n tersi al narak bulunur. B ylece
S t = VΣ −1DT olarak
bulunabilir.
O
zaman
−1 T
∆E = VΣ D ∆U olarak ifade edilebilir. Yani ∆E da l m
−1
T
V matrisinin herbir kolonunu ∑ D ∆U arp m n n bir
eleman yla arp p st ste ekleyerek elde edilebilir. V
matrisinin ilk kolonlar nda g r nt n n d k frekansl
bile enleri bulunurken, son kolonlar nda da y ksek frekansl
bile enleri bulunmaktad r. Σ matrisinin elemenlar bize tekil
de erleri verir ve son de erleri problemin yap s na g re
−1
olduk a d ” k olabilir. ∑ D ∆U arp m nda bu de erlerin
tersi al nd ndan bunlar ok y ksek de erler kabilir ve
elastisite g r nt s n olu”tururken eklenen son g r nt ler
g r lt gibi kabilir. B ylece her problemin yap s na uygun
olarak son g r nt lerden birka at labilir (truncation).
T
(17)
Burada S matrisi duyarl l k (sensitivity) matrisidir. Bu
matrisin her kolonu, SEY gridindeki her bir eleman n
elastisitesini %1 mertebesinde artt rarak P z m nden elde
edilen yerde i tirmelerin ilk durumdaki yerde i tirmelerle
oran al narak bulunur. Elastisite da l m n bulmak i in
4. BENZET M SONU˙LARI
P ve GP z mlerinde ortas nda evresi yumu ak dokuyla
evrili ortas nda sert k tle olan fantom tasar m kullan lm t r.
4.1 P ˙ z mleri
P de SEY z m nde dikkenar genler kullan lm t r. 162
elemanla 100 noktada
z m yap lm t r. ekil 3 te
yerde i tirme da l m n n ilk hali, ekil 4 te ise bas n
uyguland ktan sonraki hali g sterilmi tir.
“ ekil 7 : ekil 6 da tan mlanan problemin iterasyonla
iterasyon sonunda olu”turulan g r nt verilmi”tir.
“ ekil 3: ˙evresi yumu ak dokuyla evrili ortas nda sert k tle olan fantom
tasar m .
“ ekil 4 : Yukar dan bas n uyguland nda cismin ald
ekil. S n r ko ullar
olarak yukar dan y y n nde 0.2 kadar yerde i tirme uygulanm t r. Y=0 da
da y y n ndeki yerde i tirmeler 0 al nm t r.
4.2 GP ˙ z mleri
GP
z mlerinde,
P
z m nden elde edilen
yerde i tirmelerden elastisite g r nt s olu turulmu tur. ekil
5 ve 6 da ayn elastisite da l m farkl s n r ko ullar yla
z lm t r. ekil 7 de ise iterasyonla g r nt n n nas l
iyile ti i g sterilmi tir.
“ ekil 5 : P deki elastisite da l m ve s n r ko ullar ndan elde edilen
yerde i tirmeler kullan larak olu turulmu elastisite da l m . Tekil de erlerin
maksimumunun %1.42 sinden k k olan tekil de erler (son 72 tekil de er)
at lm t r.
“ ekil 6 : Bu olu turulmu g r nt de yukar daki probleme ilave olarak, yap ,
yanlardan sabitlenmi tir. S n r ko ullar na ilave olarak, X=0 daki ve X=1 deki
kenarlar n x y n ndeki hareketi 0 al nm t r. Tekil de erlerin maksimumunun
%0.17 sinden k k olan tekil de erler (son 6 tekil de er) at lm t r.
z m . ekilde 5.
5. TARTI“ MA
Bu al mada MR g r nt lerinden elde edilen yerde i tirme
da l mlar ndan elastisite g r nt s n n olu turulmas
anlat lm t r.
Benzetim sonu lar ndan da g r lebilece i gibi yeterli s n r
ko uluyla elastisite da l m
ba ar l
bir
ekilde
olu turulmu tur. terasyonlar artt k a hata da azalmakta,
elastisite da l m ger ek haliyle bulunabilmektedir. rne in,
1. iterasyonda 18×18 lik bir gridde karesi al nm toplam hata
5.9 iken, 5. iterasyonda hata 1.95 e d mektedir. Tan mlanan
s n r ko ullar azald k a, g r nt de daha g r lt l kmakta
ve e er iterasyon metoduyla zelecekse iterasyonlar n da
say s artmaktad r.
Yap lan g r lt analizlerinde y ksek kontrast k k objede
ortalama de eri yerde i tirmelerin ortalama de eri kadar
g r lt eklendi inde bile g r nt olu turulabilmi tir. D k
kontrast b y k objede ise yar s kadar g r lt eklendi inde
g r nt olu”turulabilmi”tir.
6. KAYNAK˙A
[1] R. Muthupillai, R.L. Ehman, Magnetic Resonance
Elastography , Nature Medicine, Vol:2, No:5, 1996, p:601603
[2] K.J. Parker, S.R. Huang, R.A. Musulin, R.M. Lerner,
Tissue Response to Mechanical Vibrations for Sonoelasticity
Imaging , Ultrasound in Med. & Biol. Vol:16, No:3, p:241246
[3] D.B. Plewes, I. Betty, S.N. Urchuk, I. Soutar,
Visualizing Tissue Compliance with MR Imaging , JMRI
Vol:5, 1995, p:733-738
[4] S.Y. Emelianov, A.R. Skovoroda, M.A. Lubinski,
M.O Donnell,
Reconstructive Elasticity Imaging ,
Acoustical Imaging, Vol:21, ed. J.P. Jones, Plenum Press,
New York, 1995, p:241-252
[5] F. Kallel, M. Bertrand, Tissue Elasticity Reconstruction
Using Linear Perturbation Method , IEEE Tran. on Med.
Imaging, Vol:15, No:3, 1996, p:299-313
[6] F. Kallel, M. Bertrand, J. Ophir, I. Cespedes,
Determination of Elasticity Distribution in Tissue From
Spatio-Temporal Changes in Ultrasound Signals , Acoustical
Imaging, Vol:21, Plenum Press, New York, 1995, p:433:443
[7] ] R.T. Fenner, Finite Element Methods for Engineers ,
The Macmillan Press LTD, 1975.