Sayılar 9.Bölüm

SAYILAR − 9
( ORAN ORANTI VE ORTALAMALAR − DEĞERLENDİRME )
ORAN ORANTI
ORANTININ ÖZELLİKLERİ
a c
= ⇒a.d=b.c
b d
( i ç l e r d ış l a r ç a r p ım ı e ş i t t i r )
a s a yı s ı n ı n 0 d a n f a rk l ı o l a n b s a yı s ı n a
a
o r a n ı a : b v e ya
o l a r a k g ö s t e r i l i r.
b
İ k i v e ya d a h a f a zl a o r a n ı n e ş i t l e nm e s i yl e
a c
o l u ş a n i f a d e ye o r a n t ı d e n i r.
=
b d
if a d e s i n e i k i l i o r a n t ı d e n i r.
B i r o r a n t ı o r a n t ı s a b i t i n e e ş i t l e n e r ek
a c
= =k b i ç i m i n d e d e ya z ı l a b i l i r.
b d
1)
2)
a c a b
= ⇒ =
b d c d
3)
a c
b d 1
= =k⇒ = =
b d
a c k
4)
a = c =k⇒ a n = cn =kn
b d
bn dn
Örnek...1 :
a=3 b ise
a+4 b
=?
a −2 b
Örnek...4 :
Örnek...2 :
a +4b 5
2 a−b
= ise
=?
a +2b 3
a+b
www.matbaz.com
a b c
= =
3 4 5
ve 3 a−4 b−2 c=−68 i s e c k aç t ır ?
Örnek...5 :
a−1 2 b+1 3 c
=
=
2
3
4
ve a +b−2 c=3 i s e a k a ç t ır ?
UYARI
a c e
= =
b d f
if a d e s i a : c : e = b : d : f o l a r ak d a ya z ı l a b i l i r.
Örnek...6 :
Örnek...3 :
a : 5 : c = 8 : b : 1 2 i s e a b + b c k aç t ı r ?
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
B i r k a r ış ım d a b u l u n a n a , b v e c m a d d e l e r i
a 2 b 2
arasında
= , = i l i şk i s i o l d u ğ u b i l i n i yo r.
b 3 c 5
K a r ış ım ın t o p l am a ğ ır l ı ğ ı 1 2 5 0 g r am i s e
k a r ış ım d a k aç g r a m a m a d d e s i v a r d ır ?
1/7
SAYILAR − 9
( ORAN ORANTI VE ORTALAMALAR − DEĞERLENDİRME )
NOT
Örnek...10 :
a x
= ifadesinde x' e a ile b nin orta
x b
o r a n t ı l ı s ı d e n i r.
a c
2)
= i f a d e s i n d e x s a yı s ı n a a , b v e c
b x
n i n d ö r d ü n c ü o r a n t ı l ı s ı d e n i r.
7
7
a
x+ =11, a + =9 ise =?
a
x
x
1)
Örnek...7 :
2 , 3 v e 1 2 i l e d ö r d ü n c ü o r a n t ı l ı o l a n s a yı a ;
3 v e 1 2 i l e o r t a o r a n t ı l ı o l a n n e g a t i f r e e l s a yı
b i s e a − b k aç t ı r ?
Örnek...11 :
a c m.a+n.c
= ⇒
=k
b d m.b+n.d
(m v e n s a yı l a r ı n ı n h e r i k i s i d e s ı f ı r
o lm am a k k oş u l u yl a )
a c a+c
1 3 1+3 1
örneğin
= ⇒
=k
= ⇒
=
b d b+d
2 6 2+6 2
5)
d
=?
a
www.matbaz.com
a b c
= = =3 İ s e
b c d
Örnek...8 :
a c 3
b+d
=?
= = ise
b d 8
a +c
Örnek...12 :
x+ y y+z z+k
x
=
=
=1,3 i s e
=?
y
z
k
k
Örnek...9 :
a b 6a+k.b
ise k kaçtır?
= =
3 5
28
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
2/7
SAYILAR − 9
( ORAN ORANTI VE ORTALAMALAR − DEĞERLENDİRME )
Örnek...16 :
ORANTI MODELLERİ
B i r a r a c ı n d u r u ş m es a f e s i , f r e n e b a s ıl d ı ğ ı
a n d ak i h ız ı n ı n k ar e s i i l e o r a n t ıl ıd ır. B u a r a ç
s a a t t e 4 0 k m h ız l a g i d e r k e n d u r u ş m es a f e s i 5
m e t r e o l d u ğ u n a g ö r e , s a a t t e 8 0 k m h ız l a
g i d e rk e n d u r u ş m e s af e s i k a ç m e t r e o l u r ?
1. DOĞRU ORANTI
İ k i ç ok l uk b e l i r t e n i f a d e a yn ı k a t l a r l a
a r t ı p a yn ı k at l a r l a a za l ı yo r s a b ö yl e
ç ok l u l a r t e r s o r a n t ı l ı d ı r d e n i r. K ı s a c a y, x
i l e d o ğ r u o r a n t ı l ı i s e b u i l i şk i yi y= k . x
(k > 0 ) i l e m o d e l l e r i z.
y
y=k.x
k
x
Örnek...17 :
0 1 2 . ..
B i r s ın ıf t ak i k ız ö ğ r e n c i l e r i n s a yı s ı 1 , 8 e rk ek
ö ğ r e n c i l e r i n s a yı s ı i s e 1 , 5 i l e d o ğ r u
o r a n t ı l ı d ı r. S ın ıf m ev c u d u e n a z k a ç t ır ?
y 0 k 2k ...
x
Örnek...13 :
a s a yı s ı b i l e d o ğ r u o r a n t ı l ı v e a = 8 i ç i n b = 2 0
i s e b = 2 5 i ç i n a k aç t ı r ?
www.matbaz.com
1
Örnek...18 :
E ş g ü ç t ek i 2 0 i ş ç i 3 0 0 m 2 d u v a r ö r e b i l i yo r.
B u n a g ö r e a yn ı g ü ç t e k i 3 0 i ş ç i a yn ı s ü r e d e
kaç m2 duvar örer?
Örnek...14 :
( a − 2 ) s a yı s ı ( b + 1 ) i l e d o ğ r u o r a n t ı l ı v e a= 4 8
i ç i n b = 5 i s e b = 5 9 i ç i n a k aç t ı r ?
Örnek...19 :
B i r u s t a 6 g ü n d e 7 s a n d a l ye , b i r ç ır ak 9
g ü n d e 5 s a n d a l ye ya p a b i lm e k t e d i r. B e r a b e r
2 1 7 s a n d a l ye yi k a ç g ü n d e ya p a r l a r ?
Örnek...15 :
a , b , c s a yı l a r ı s ı r a s ı yl a 2 , 4 v e 5 i l e d o ğ r u
o r a n t ı l ı v e 4 a− 3 b + 2 c = 6 0 i s e b k aç t ı r ?
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
3/7
SAYILAR − 9
( ORAN ORANTI VE ORTALAMALAR − DEĞERLENDİRME )
2. TERS ORANTI
Örnek...23 :
ik i ç ok l uk t a n b i r i b ü yü rk e n d i ğ e r i a yn ı
o r a n d a k üç ü l ü yo r s a b u ç ok l uk l a r t e r s
o r a n t ı l ı d ı r d e n i r. K ı s a c a y, x i l e t e r s
k
o r a n t ı l ı i s e b u i l i ş k i yi y=
(k > 0 ) i l e
x
modelleriz.
y
y=
E ş g ü ç t ek i 2 0 i ş ç i b i r i ş i 3 0 g ü n d e
b i t i r e b i l i yo r. B u n a g ö r e a yn ı g ü ç t ek i 2 5 i ş ç i
kaç günde işi bitirir
k
x
x
k
y
1 2 . ..
k k/2 ...
Örnek...24 :
1
3 0 k i ş i l ik b i r t o p l u l u ğ a 2 0 g ü n ye t e c ek k ad a r
ye m ek v a r d ı r. 5 g ü n s o n r a k a ç k i ş i b u
t o p l u l uk t a n a yr ı lm a l ıd ır k i k a l a n ye m ek k a l a n
k i ş i l e r e 3 0 g ü n ye t s i n ?
x
Örnek...21 :
( x + 4 ) s a yı s ı ( y− 2 ) i l e t e r s o r a n t ı l ı d ı r. x = 1 i ç i n
y= 1 0 i s e y= 3 i ç i n x k a ç t ı r ?
www.matbaz.com
Örnek...20 :
a s a yı s ı i l e b t e r s o r a n t ı l ı v e a = 8 i ç i n b = 2 0
i s e b = 2 4 i ç i n a k aç t ı r ?
3. BİLEŞİK ORANTI
İ ç i n d e ü ç v e ya d a h a f a zl a o r a n
b u l u n d u r a n o r a n t ı l a r a b i l e ş i k o r a n t ı d e n i r.
K ıs a c a y, x i l e d o ğ r u , z i l e t e r s o r a n t ıl ı
k.x
i s e b u i l i şk i yi y=
(k>0) ile
z
m od e l l e r i z.
Örnek...25 :
a s a yıs ı i l e b s a yı s ı d o ğ r u , c t e r s o r a n t ıl ıd ır.
a= 1 2 i ç i n b= 1 6 v e c= 2 0 i s e c = 1 2 v e b = 1 0 i ç i n
a k a ç t ır ?
Örnek...22 :
a , b , c s a yı l a r ı s ı r a s ı yl a 2 , 4 v e 5 i l e t e r s
o r a n t ı l ı v e 4 a− 3 b + 2 c − 4= 2 6 0 i s e c k a ç t ı r ?
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
4/7
SAYILAR − 9
( ORAN ORANTI VE ORTALAMALAR − DEĞERLENDİRME )
ORTALAMALAR
Örnek...26 :
( x + 3 ) s a yı s ı i l e ( y+ 2 ) s a yı s ı d o ğ r u , ( z− 4 ) i l e
t e r s o r a n t ı l ı d ı r. x= 1 7 i ç i n z= 9 v e y= 8 i s e z= 1 2
v e y= 1 0 i ç i n x k aç t ı r ?
1) ARİTMETİK ORTALAMA
a1, a 2,... an g i b i n t a n e s a yı n ı n a r i tm e t ik
ortalaması
A=
a 1 +a 2+ ...+a n
n
d i r.
Örnek...30 :
İ lk 4 0 s a ym a s a yı s ı n ı n a r i t m e t ik o r t a l am a s ı
nedir?
Örnek...27 :
Örnek...28 :
E ş i t k ap a s i t e l i 9 i ş ç i 1 5 m 2 h a l ı yı 6 s a a t t e
d o k u ya b i l i yo r s a a yn ı k ap a s i t e d e k i k a ç i ş ç i 3 0
m 2 h a l ı yı 1 2 s a a t t e d ok u r ?
www.matbaz.com
2 2 5 T L 3 v e 4 i l e d o ğ r u 2 i l e t e r s o r a n t ıl ı
p a r ç a l a n ı r s a e n b ü yü k p a r ç a k a ç T L o l u r ?
Örnek...31 :
√ 4 + √ 12
i l e √ 4− √ 12 s a yı l a r ı n ın a r i tm e t ik
o r t a l am a s ı k aç t ır ?
Örnek...32 :
A r i tm e t ik o r t a l am a s ı 1 0 o l a n 8 s a yı ya
a r i tm e t ik o r t a l am a s ı 6 o l a n k a ç s a yı ek l e n i r s e
ye n i o r t a l am a 7 o l u r
Örnek...29 :
E ş i t k ap a s i t e l i 8 i ş ç i 3 2 p a r ç a i ş i g ü n d e 1 6
s a a t ç a l ı ş a r a k 1 8 g ü n d e ya p a b i l i yo r s a 1 2 i ş ç i
8 parça işi günde 4 saat çalışarak kaç günde
bitirir?
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
5/7
SAYILAR − 9
( ORAN ORANTI VE ORTALAMALAR − DEĞERLENDİRME )
2) GEOMETRİK ORTALAMA
Örnek...36 :
a1, a 2,... a n g i b i n t a n e s a yı n ı n g e o m e t r i k
o r t a l am a s ı
a i l e b n i n a r i t m e t i k o r t a l a m a s ı 1 0 d u r. a i l e
g e om e t r i k o r t a l a m a s ı 6 , b i l e g e om e t r i k
o r t a l am a s ı 8 o l a n s a yı k a ç t ır ?
n
G= √ a 1 .a 2. .. a n d i r.
Örnek...33 :
1 , 2 , 3 2 n i n g e om e t r i k o r t a l a m a s ı k a ç t ı r ?
Örnek...34 :
3) HARMONİK ORTALAMA
√ 5+2 √ 6
i l e √ 5−2 √ 6 s a yı l a r ı n ı n g e o m e t r i k
ortalaması kaçtır?
www.matbaz.com
a1, a 2,... an g i b i n t a n e s a yı n ı n h a rm o n ik
o r t a l a m a s ı H=
n
d i r.
1 1
1
+ +...+
a1 a2
an
Örnek...37 :
3 0 i l e 2 0 s a yı l a r ı n ı n h a rm o n ik o r t a l am a s ı
nedir?
Örnek...35 :
İ k i s a yı n ı n a r i t m e t ik v e g e om e t r i k o r a n l a r ı
e ş i t s e b u s a yı l a r ı n o r a n ı k aç o l a b i l i r ?
Örnek...38 :
G e om e t r i k o r t a l a m a s ı 6 o l a n ik i s a yın ın
a r i tm e t ik o r t a l am a s ı 9 d u r. B u s a yıl a r ın
h a rm o n i k o r t a l a m a s ı k a ç t ır ?
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
6/7
SAYILAR − 9
( ORAN ORANTI VE ORTALAMALAR − DEĞERLENDİRME )
DEĞERLENDİRME
2)
3)
a 3
= ise
b 5
5)
7)
Birbirine bağlı üç çarktan birincisi 12 kere
döndüğünde ikinci 9 üçüncüsü ise 15 dönüş
yapmaktadır. Bu çarklardaki toplam diş sayısı 2820
ise en küçük çarkın diş sayısı nedir?
8)
3x−2 ile 3x+1 sayılarının aritmetik oralaması 42 ise x
kaçtır?
9)
Bir topluluktaki erkeklerin boy ortalaması 1,8 m
,kadınların boy ortalaması 1,5m ve topluluğun boy
ortalaması 1,55 ise kadınların sayısının erkeklerin
sayısına oranı nedir?
a−b
=?
a+b
Bir okulda gözlüklü öğrencilerin gözlüksüz
3
öğrencilere oranı
dir. Gözlüklü öğrenci
8
sayısının 150 den fazla oluğu biliniyorsa okul
mevcudu en az kaçtır?
a, b, c pozitif sayılar
a b c
= = ve a2+b2+c2=8000
3 4 5
ise b kaçtır?
4)
328 TL yaşları 2,3 ve 7 olan üç çocuğa yaşlarıyla
ters orantılı bölüştürülürse en çok alan kaç TL alır?
3
4
5
ve b+c−2a=24 ise c kaçtır?
=
=
a.b b.c a.c
560 TL yaşları 5,ve 9 olan kardeşlere yaşlarıyla
doğru orantılı olarak paylaştırılırsa fark ne kadar
olur?
9. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
1)
6)
10) x ile y nin aritmetik ortalaması 6, x2 ve y2 nin
aritmetik ortalaması 18 ise x ve y nin geometrik
ortalaması kaçtır?
7/7