İSTATİSTİK 2

İSTATİSTİK 2
Hipotez Testi
21/03/2012
AYŞE S. ÇAĞLI
1
[email protected]
Güven aralığı ve Hipotez testi
Güven aralığı
µ?
Veriler , bir değer aralığında hangi değeri gösteriyor?
(Parametrenin gerçek değeri hakkında bir bilgimiz yok.)
Veriler , daha önceden belirlenmiş bir değeri
gösteriyor mu?
(Parametrenin değeri hakkında bir fikrimiz var.)
2
µ?
µ 0?
Hipotez nedir?


Hipotez, karşılaşılan bir durum hakkında
yapılan bir önermedir.
İstatistikte, hipotez, bir anakütle
paramatresi hakkında yapılan
bir önermedir:

Mesela, anakütle ortalaması
Örnek: Bu şehirdeki ortalama aylık cep
telefonu faturası μ = 42TL
3
Hipotez Testi nedir?

Bir hipotez testi, iki tür hipotez oluşturmakla başlar:

Sıfır hipotezi

Alternatif (Karşıt) hipotez

Sıfır hipotezi, “arada fark yoktur”, “fark sıfırdır”
şeklinde kurulur.

Hipotez testi, sıfır hipotezinin (H0) doğru olduğu
varsayımı ile başlar.

Bir hipotez testinin amacı, sıfır hipotezinin (karşıt
hipotez leyhine) reddedilip edilmemesine karar
vermektedir.
4
Sıfır hipotezi, H0

Test edilecek varsayımı ifade eder.
Örnek: Amerikan evlerindeki ortalama TV sayısı 3’tür.
H0 : μ  3

Her zaman bir anakütle parametresi hakkındadır,
asla örneklem istatistiği hakkında değildir.
H0 : μ  3
5
H0 : X  3
Sıfır hipotezi, H0



Anakütle parametresinin önceden belirlenmiş,
bilinen değerinde herhangi bir farklılığın
beklenmediğini ifade eden hipotezdir.
Her zaman şu işaretleri içerir : “=” , “≤” , “≥”
H0’a aykırı yeterli kanıt bulunmadıkça bu hipotez
geçerli sayılır.

6
Suçluluğu ispat edilene kadar masum olma durumu
gibi.
Alternatif (Karşıt) Hipotez, H1

İlgili anakütle parametresinin bilinen değerinde
istatistiksel olarak anlamlı farkların beklendiğini
ifade eder.



7
Ör. Amerikan evlerindeki ortalama TV sayısı 3 değildir:
( H1: μ ≠ 3 )
Asla şu işaretleri içermez : “=” , “≤” , “≥”
Eğer doğru olduğunu destekleyen yeterli kanıt
bulunursa, H1 desteklenir ve H0 reddedilir.
Alternatif (Karşıt) Hipotez, H1

Eğer amaç, µ ‘nün belirli bir değerden (µ₀), farklı olup
olmadığını belirlemek ise, alternatif hipotezi şu şekilde yazılır :
H1: µ ≠ µ₀  Bu durumda, hipotez testine iki-yönlü denir.

Eğer amaç, µ ‘nün belirli bir değerden (µ₀) düşük olup
olmadığını belirlemek ise, alternatif hipotezi şu şekilde yazılır :
H1: µ < µ₀  Bu durumda, hipotez testine tek yönlü (sol taraflı)
denir.

Eğer amaç, µ ‘nün belirli bir değerden (µ₀) yüksek olup
olmadığını belirlemek ise, alternatif hipotezi şu şekilde yazılır :
H1: µ > µ₀  Bu durumda, hipotez testine tek yönlü (sağtaraflı)
denir.
8
Hipotezleri tanımlama

Örnek : Anakütle ortalamasının 3 olmadığını test edin.

Etaplar:

Soruyu istatistiksel olarak yazın : (µ ≠ 3)

Sorunun tersini istatistiksel olarak yazın (µ = 3)


Alternatif hipotezi seçin (µ ≠ 3)


9
Bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcı olacak şekilde olmalı.
Yazılmış olan iki önermeden içinde şu işaretlerden birini
bulunduranı seçin : ≠, <, >
Sıfır hipotezini seçin (µ = 3)
Hipotezleri tanımlama
Anakütlenin ortalama TV seyretme süresi
12 saat midir?

Soruyu istatistiksel olarak yazın : µ = 12

Sorunun tersini istatistiksel olarak yazın: µ ≠ 12

Alternatif hipotezi seçin : H1:

Sıfır hipotezini seçin : H0:
10
µ ≠ 12
µ = 12
Hipotezleri tanımlama
Anakütlenin ortalama TV seyretme süresi
12 saatten farklı mıdır?
µ ≠ 12

Soruyu istatistiksel olarak yazın :

Sorunun tersini istatistiksel olarak yazın: µ = 12

Alternatif hipotezi seçin : H1:

Sıfır hipotezini seçin : H0:
11
µ ≠ 12
µ = 12
Hipotezleri tanımlama
Bir şapkanın ortalama maliyeti 20$’dan az
ya da ona eşit midir?

Soruyu istatistiksel olarak yazın : µ ≤ 20

Sorunun tersini istatistiksel olarak yazın : µ > 20

Alternatif hipotezi seçin :

Sıfır hipotezini seçin : H0:
12
H1: µ > 20
µ = 20
Hipotezleri tanımlama
Bir kitapçıda yapılan ortalama harcama
25 $’dan fazla mıdır?

Soruyu istatistiksel olarak yazın µ > 25

Sorunun tersini istatistiksel olarak yazın : µ ≤ 25

Alternatif hipotezi seçin : H1:

Sıfır hipotezini seçin : H0:
13
µ > 25
µ = 25
Hipotez testinde yapılan hatalar
Karar
H0’ın red
edilmemesi
H0’ın reddi
14
Doğal durum
H0 Doğru
H0 Yanlış
Doğru karar
Olasılık :1 – α
II. Tip hata
I. Tip hata
Doğru karar
Olasılık :1 – β
( testin gücü)
Olasılık : α
(anlamlılık düzeyi)
Olasılık : β
I. Ve II. Tip Hatalar arasındaki ilişki
 I. ve II. Tip hatalar aynı anda gerçekleşemez.

I. Tip hata yalnızca H0 doğru olduğunda olur.

II. Tip hata yalnızca H0 yanlış olduğunda olur.

Eğer I. Tip hata olasılığı artarsa (), II. Tip hata
olasılığı azalır (β)

15
Anlamlılık seviyesi () arttıkça, testin gücü de
(1 – β) artar.
Anlamlılık seviyesi, 

H0 doğru olduğunda, örneklem istatistiğinin
alabileceği pek mümkün olmayan değerlerin
oranını verir.

Örnekleme dağılımında red bölgesini tanımlar.

 , ile gösterilir



Yaygın kullanılan seviyeler 0,01 ; 0,05 ; 0,10
Araştırmacı tarafından test başlangıcında
belirlenir.
Testin kritik değer(ler)ini verir.
16
Anlamlılık seviyesi ve Red bölgesi
Anlamlılık seviyesi =
H0: μ = 3
H1: μ ≠ 3

Kritik değer
/2
İki yönlü test
/2
0
H0: μ ≤ 3
H1: μ > 3

Sağ taraflı test
H0: μ ≥ 3
H1: μ < 3
17
Red bölgesi
taralı olarak
gösteriliyor.
0

Sol taraflı test
0
Ortalama için Hipotez testi (σ biliniyor)


Amaç : Anakütle ortalaması, µ, için hipotez testi uygulamak
Varsayımlar:
Rasgele örneklem
Normal anakütle
σ biliniyor

Etap 1:
Sıfır hipotezi H0 : µ = µ₀, belirlenir. Alternatif
hipotez olarak da aşağıdaki 3 durumdan biri belirlenir.
H1: µ ≠ µ₀ veya H1: µ < µ₀ veya H1: µ > µ₀
(iki yönlü)
18
(sol taraflı)
(sağ taraflı)
Ortalama için Hipotez testi (σ biliniyor)

Etap 2: Anlamlılık seviyesi α belirlenir

Etap 3: Sıfır hipotezinde geçen değerin z değeri hesaplanır.
𝑥 − 𝜇0
𝑧0 =
𝜎/ 𝑛

Step 4: Kritik değerler bulunur
±zα/2
(İki yönlü)
19
veya – zα
(Sol taraflı)
veya zα
(Sağ taraflı)
Ortalama için Hipotez testi (σ biliniyor)
H0 red
edilemez
red
red
İki yönlü


20
red
H0 red
edilemez
Sol taraflı
H0 red
edilemez
red
Sağ taraflı
Etap 5: Eğer z0 red bölgesine düşüyorsa, H0 reddedilir,
yoksa, H0 reddedilmez.
Etap 6 : Hipotez testinin sonuçları yorumlanır.
Ortalama için Hipotez testi (σ biliniyor)
Tek taraflı Test
H0: µ = µ0
Ha: µ < or > µ0
Test istatistiği:
z
x  0
x
Red bölgesi:
| z | > zα
21
İki taraflı Test
H0: µ = µ0
Ha: µ ≠ µ0
Test istatistiği:
z
x  0
x
Red bölgesi:
| z | > zα/2
Örnek1: Ortalama için sağ taraflı test
Telefon sanayiindeki bir yönetici müşterilerin
aylık cep telefonu faturalarında bir artış
olduğunu ve artık ortalama faturanın 52TL’nin
üstünde olduğunu düşünüyor. Şirket bu
düşünceyi test etmek istiyor. ( = 10)
Hipotezleri tanımla:
H0: μ ≤ 52
ortalama 52 TL‘den yüksek değil.
H1: μ > 52
ortalama 52 TL‘den yüksek.
(yani, yöneticinin düşüncesini destekleyen yeterli
kanıt var.)
22
Örnek1: Red bölgeleri bulunur.

Test için anlamlılık seviyesi  = 0.10 seçildi.
Red bölgesi:
H0 red
 = 0.10
H0 reddedilemez
0
1.28
H0 Reddedilir
x  μ0
 1.28 ise, H0 reddedilir.
Eğer z 
σ/ n
23
Örnek1 : Örneklem sonucu
Örneklemden yola çıkarak, test istatistiği hesaplanır
Şu değerleri veren bir örneklem varsayıyoruz:
n = 64, x = 53.1
( = 10)

Test istatistiği:
x  μ0
53.1  52
z

 0.88
σ
10
n
64
24
Örnek1 : Karar
H0 reddilir
 = 0.10
H0 reddedilemez
1.28
0
z = 0.88
H0 reddedilir
H0 reddedilemez çünkü z = 0.88 < 1.28
Yorum: telefon faturalarının 52 TL’nin üstünde
olduğunu destekleyen yeterli kanıt yoktur.
25
Örnek 2
«Amerika’da evlerde bulunan ortalama
TV sayısı 3’tür» önermesini test edin.
(σ = 0.8 olarak varsayalım)



Sıfır ve alternatif hipotezleri yazın
 H0: μ = 3 , H1: μ ≠ 3
(Bu bir iki yönlü test olacaktır)
Anlamlılık seviyesini belirleyin
 Bu test için  = 0.05 seçilmiş olsun
Örneklem büyüklüğü seçin.
 n = 100 olacak şekilde bir örneklem seçilmiştir.
26
Örnek 2


Kritik değerleri belirleyin
  = 0.05 için kritik z değerleri ±1.96’dır.
Test istatistiğini hesaplayın
 Örneklem sonuçlarının şu şekilde olduğunu varsayalım.
n = 100, x = 2.84 (σ = 0.8)
Öyleyse, test istatistiği :
X  μ0
2.84  3  0.16
z 


 2.0
σ
0.8
0.08
n
100
27
Örnek 2

Test istatistiği red bölgesinde mi?
Eğer z < –1.96  = 0.05/2
veya z > 1.96
ise, H0’ı
H reddedilir
reddederiz.
Aksi durumda,
– z = – 1.96
H0 reddedilmez.
0
 = 0.05/2
H0 reddedilemez
0
H0 reddedilir
+z = +1.96
z = – 2.0 < – 1.96, Demekki
test istatistiği red bölgesinde.
28
Örnek 2

Sonucu yorumla!!!
 = 0.05/2
H0 reddedilir
–z = –1.96
 = 0.05/2
H0 reddedilemez
0
H0 reddedilir
+z = +1.96
–2.0
z = – 2.0 < – 1.96 olduğu için sıfır hipotezini reddettik.
Demekki, Amerika’da evlerde bulunan ortalama TV
sayısının 3 olmadığı yönünde yeterli kanıt vardır.
29
Örnek 3
Futbol hakemleri tarafından kuralların yeniden yorumlanması
sonucunda maç başına düşen sarı kart sayısında bir artış
olması bekleniyor. Şimdiye kadar maç başına düşen ortalama
sarı kart sayısı 4, standart sapması da 0,5 olsun.
121 maçlık bir örneklemden elde edilen verilere göre maç
başına ortalama 4,7 sarı kart çıktığı hesaplanmıştır.
%5’lik anlamlılık seviyesinde, gerçekten sarı kartlarda
artış olmuş mudur?
• Hipotezleri oluşturun:
• H0: μ = 4 , H1: μ ≠ 4
(  İki yönlü test)
• Anlamlılık seviyesi 0,05
• Kritik z değerleri ±1,96’dır.
30
Örnek 3
Örneklem ortalaması 𝒙 = 4,7
Test istatiğini hesaplayın:
Örneklem büyüklüğü n = 121
x  0 4,7  4
z0 

 10,94
sx
0,064
H0 reddedilir
0,025
H0 reddedilir
0,025
H0 reddedilmez
-1,96
+1,96
10,94
Sonuç ve yorum: z₀ red bölgesine düştüğü için, H0 reddedilir.
Demekki,sarı kart sayısında bir artış olduğu konusunda yeterli
kanıt vardır.
31