Fiziksel Jeodezi

Transkript

Fiziksel Jeodezi

FİZİKSEL JEODEZİ
Lisans Ders Notları
Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN
Selçuk Üniversitesi
Jeodezi ve Fotogrametri Müh. Bölümü
Konya, 2006
0-0
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
1
1.1
Jeodezi ve Fotogrametri Müh.
Giriş
Jeodezinin Tanımı ve Amacı
Jeodezi, üç boyutlu ve zaman değişkenli uzayda, çekim alanı ile birlikte,
yeryuvarının ve öteki gök cisimlerinin ölçülmesi ve haritaya aktarılması
ile uğraşan bilim dalıdır.
Jeodezinin görev alanı;
• Konum belirleme; yeryuvarının geometrik şeklinin (kara, deniz ve
buzul yüzeyinin) belirlenmesi,
• Yeryuvarının gravite alanının ve dolayısıyla jeoidin belirlenmesi,
• Yeryuvarının şekli ve gravite alanındaki zamana bağlı değişimlerin
izlenmesini kapsar.
Fiziksel Jeodezi Ders Notları
1
A. Üstün
1.2
Yeryuvarının İdeal Şekline İlişkin Arayışlar
• İnsanoğlu 3000 yıldır yerin ideal şeklini belirlemeye çalışmaktadır
Hecataeus’un (M.Ö. 550-500) dünya haritası
2
A. Üstün
• Yeryuvarının şeklinin ne olabileceğini düşünenler (kronolojik sıra)
– Thales (M.Ö. 624–546)
– ——————————
– Anaximender
– El-Harizmi (M.S. ≈ 800)
– Anaximenes
– ——————————
– Pythagoras (M.Ö. 550–500)
– Kopernik (1473–1543)
– Aristo (M.Ö. 384–322)
– T. Brahe (1546–1601)
– Archimedes (M.Ö. 287–212)
– J. Kepler (1571–1630)
– Eratosthenes (M.Ö. 276–194)
– G. Galileo (1564–1642)
– Posidonius (M.Ö. 135–51)
– W. Snellius (1591–1626)
– Batlamyus (M.S. 87–151)
3
A. Üstün
• Küresel yeryuvarı için bilimsel anlamda ilk ölçüm
ψ
Güneş ışınları
İskenderiye
∆G
R
ψ
O
R
Syene
R=
∆G
ψ
Eratosthenes’in (M.Ö. 276-194) yay ölçmesi
4
A. Üstün
1.3
Küre – Elipsoit? Yoksa Başka Bir Şey mi?
• 17. yüzyılda ilk kez triyangülasyon ağı kullanılmaya başlandı ve 1◦ lik
yay uzunluğu ölçümü gerçekleştirildi.
• 1669 yılında Fransız J. Piccard meridyen yay uzunluğu ölçülerinden
yeryuvarının yarıçapını 6 275 km olarak belirledi.
• Aynı tarihlerde I. Newton ve C. Huygens kutuplarda basık yeryuvarı
modelini savunuyorlardı.
• Astronom J. Richer Fransız Guayanası’na (Cayanne) yaptığı
yolculukta sarkaçlı saatinin geri kaldığının farkına vardı.
• Ancak meridyen yay ölçmeleri kutuplarda basık elipsoit modeli yerine
ekvatorda basık elipsoit modelini ortaya çıkardı.
5
A. Üstün
Kutuplarda (solda) ve ekvatorda (sağda) basık yeryuvarı modeli
6
A. Üstün
1.4
Matematiksel Model: Dönel Elipsoit
• Yeryuvarının kutuplarda mı yoksa ekvatorda mı basık sorusuna cevap
bulabilmek için Peru (1.5◦ enlemi) ve Lapland’da (66.3◦ enlemi)
meridyen yay ölçüleri gerçekleştirildi.
∆G′
b
M′
∆G
M
O
∆ϕ′
∆ϕ
a
Farklı enlemlerde meridyen yay uzunluğu ölçümü
7
A. Üstün
1.5
En Uygun Referans Elipsoidi (Geometrik)
• Delambre (1810)
• En uygun (güncel)
a = 6 378 136.7 m
1/f = 298.257 222
• Airy (1830)
• Everest (1830)
• Bessel (1841)
• Clarke (1858,1866,1880)
• Hayford (1908)
• ———————• WGS84
• GRS66, GRS72, GRS80
8
A. Üstün
1.6
Clairaut Teoremi
A.C. Clairaut (1738), yay uzunluğu ve gravite ölçülerini, kendi adıyla
anılan teoreminde kullanarak elipsoidal yeryuvarı modelinin geometrik ve
fiziksel senteze dayalı ispatını yaptı.
Bu teorem bir dönel elipsoidin geometrik parametreleri ile gravite değerleri
arasındaki ilişkiyi açıklar, başka bir deyişle, elipsoidin basıklığının sadece
geometrik parametrelerle değil, fiziksel parametrelerle de
hesaplanabileceğini gösterir:
2
′ ′
ω b
e q0
a − b γb − γa
+
=
1+
a
γa
γa
2q0
Burada;
a, b sırasıyla elipsoidin büyük ve küçük yarıeksenine;
γa , γb ekvator ve kutuplardaki normal graviteye karşılık gelir.
9
A. Üstün
1.7
Geometrik Modele Karşı Fiziksel Model
Elipsoidal yeryuvarı modeli birkaç
yüz km lik alana yayılan nirengi
ağlarının değerlendirilmesinde
yeterli doğruluğu karşılayabilir mi?
Yoksa, “yeryuvarının şekli” için
başka bir tanıma mı gereksinim var?
10
A. Üstün
1.8
Gauss ve Listing’in Fiziksel Model İçin
Düşünceleri
• Gauss-Listing jeoidi:
– Geometrik anlamda yeryuvarının şekli dediğimiz şey, kısmen okyanus
yüzeyi ile çakışan ve her noktasında çekül doğrultularını dik açılarla
kesen yüzeyden başka bir şey değildir (Gauss, 1828).
– Daha önce yeryuvarının matematiksel yüzeyinin bir parçası olarak
tanımladığımız okyanus yüzeyine bundan böyle yeryuvarının jeoidal
yüzeyi ya da kısaca jeoit diyeceğiz (Listing, 1873).
11
A. Üstün
1.9
Yeryuvarının Şekli: Elipsoit ve/veya Jeoit
Geometrik model
Fiziksel model
12
A. Üstün
1.10
Fiziksel Model ve Yatay Kontrol Ağı
Doğrultu-kenar ölçülerinin çekül sapması bileşenleri (ξ = Φ − ϕ,
η = (Λ − λ) cos ϕ) yardımıyla referans elipsoidine indirgenmesi
13
A. Üstün
1.11
Fiziksel Model ve Düşey Kontrol Ağı İlişkisi
• Gravite gözlemleri yardımıyla, nivelman ölçülerinin çekül eğrisi
boyunca ölçülen yükseklik farklarına indirgenmesi
Çekül
eğrisi
P
gP
gi
gj
B
A
gB
gA
14
A. Üstün
• Jeoit ile çakıştığı varsayılan ortalama deniz düzeyinin başlangıç
seçilmesi
15
A. Üstün
Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı 1999 (TUDKA-99)
16
A. Üstün
1.12
Üç-Boyutlu Jeodezi
• Klasik yöntemle ülke ölçmelerinde, yatay ve düşey kontrol ağları
birbirinden bağımsızdır.
• Yatay ve düşey kontrol ağlarının aynı matematiksel model altında
değerlendirilmesi (üç boyutlu jeodezi) Bruns (1878) tarafından önerildi.
• Ancak, pratiğe geçiş yüzyıl sonra GPS ile sağlanabildi.
• GPS, yermerkezli koordinat sisteminde üç boyutlu koordinat bilgisini
(x, y, z veya ϕ, λ, h) üretmektedir.
• Üretilen koordinat değerleri tümüyle geometrik, fiziksel bir anlamı yok.
Örneğin, h elipsoidal yüksekliği gravite alanından bağımsızdır; bu
yükseklik türüyle suyun akış yönü belirlenemez.
17
A. Üstün
z
b
P (x, y, z)
P (ϕ, λ, h)
h
b
z
b
λ
b
ϕ
y
y
x
x
18
A. Üstün
1.13
Özetin Özeti: Fiziksel Jeodezinin Problemi
Yeryuvarının gravite alanının ve onun eş potansiyel yüzeylerinden biri olan
jeoidin belirlenmesi.
19
A. Üstün
2
2.1
Potansiyel Teorisinin Temelleri
Temel Kuvvetler
Kuvvet: Fiziksel bir sistemin değişiminden sorumlu tutulan dış etken.
Günümüzde, doğada varlığı bilinen dört temel kuvvet;
• Atom çekirdeklerini bir arada tutan güçlü-nükleer kuvvet
• Elektrik yükleri arasındaki elektromanyetik kuvvet
• Atom çekirdeğindeki radyoaktiviteden sorumlu zayıf-nükleer kuvvet
• Kitleler arasındaki çekim kuvveti
20
A. Üstün
2.2
Yerçekimi
• Çekim, kütleleriyle ilişkili olarak
cisimlerin birbirlerini kendilerine
doğru çekme eğilimi.
• Kütle çekimi gök cisimlerinin
hareket esaslarını açıklar.
• Çekim kuvveti korunumlu bir
kuvvettir ve potansiyel enerji
cinsinden ifade edilir.
Düşen elmaya da, Yer’in etrafında dönen
Ay’a da etkiyen kuvvet aynı.
I. Newton (Principia, 1687)
Yerçekimi, evrensel çekim
kuvvetinin özel hali.
21
A. Üstün
2.3
Çekim Kuvveti ve İvmesi
Newton’un çekim yasasına göre; aralarında l uzaklığı bulunan m1 ve m2
kütlelerine sahip iki cisim birbirlerine çekim kuvveti uygular:
F = −G
m1 m2 l
l2 l
(1)
Burada G evrensel çekim sabiti olmak üzere değeri
G = 6.6742 (±0.0010) 10−11 m3 kg−1 s−2
(2)
ile bilinmektedir. F iki kitle açısından tamamen simetrik olsa da bu
kuvvetlerden biri çeken diğeri çekilen kitleler olarak göz önünde
bulundurulur. F çekim kuvveti ve l bağıl yer vektörü karşıt yönleri
gösterir. Kütle çekim yasası yerçekimine indirgenirse, (1)’deki kitlelerden
biri birim kitle olarak düşünülebilir.
22
A. Üstün
Bu durumda, yerçekim kuvveti yerçekim ivmesine
ml
b = −G 2
l l
(3)
dönüşür.
(1) ve (3)’den çekim etkisinin çeken ve çekilen kitleler arasındaki uzaklığa
bağlı olduğu anlaşılmaktadır. Bu nedenle kullanılacak koordinat sisteminin
başlangıcı keyfi seçilebilir. Kütle çekimi merkezcil bir kuvvet olduğuna
göre, başlangıcı çeken cismin ağırlık merkezinde düşünmek yerinde
olacaktır.
23
A. Üstün
r bir P (x, y, z) noktasının yer vektörü, rQ bir Q(ξ, η, ζ) noktasının (çeken
kitlenin) yer vektörü olmak üzere (3)
b(r) = −G mQ
r − rQ
r − rQ
=
−G
m
Q
l3
|r − rQ |3
p
biçiminde yazılabilir (l = (x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2 ).
b(r) = −G mQ
r − rQ
|r − rQ |3
(4)
(5)
Yeryuvarının sonsuz sayıdaki diferansiyel kitle elemanından oluştuğu göz
önünde bulundurulursa P noktası üzerindeki toplam çekim etkisi,
b(r) =
∞
X
dbi (r)
(6)
i
olur.
24
A. Üstün
(6) için karşılık gelen integral eşitliği
ZZZ
ZZZ
r − rQ
l
b(r) = −G
dm
=
−G
dv
ρ(r
)
Q
Q
|r − rQ |3
l3
yeryuvarı
(7)
yeryuvarı
z
Q(ξ, η, ζ)
db
dξdηdζ
P (x, y, z)
m=1
b
rQ
r
y
x
Burada dmQ = ρ(rQ )dv kitle elemanı olup yoğunluğun ve hacim elemanının bir
fonksiyonudur.
25
A. Üstün
2.4
Çekim Potansiyeli
Gravite vektör alanı, bir nokta etrafında dönme hareketinden bağımsız;
yani irrotasyonela
i
j
k ∂
∂
∂
rot b = ∇ × b = det ∂x ∂y ∂z = 0
(8)
bx by bz olduğundan bir skaler alan ile gösterilebilir:
b = grad V
(9)
a Rotasyonel:
Vektör alanının bir nokta etrafındaki dolanış eğiliminin ölçüsüdür;
vektörel bir fonksiyona bağlı vektörel bir fonksiyondur.
26
A. Üstün
V skaler büyüklüğüne çekim potansiyeli denir ve birim kitleyi sonsuzdan
P noktasına getirmek için çekim kuvvetinin yapması gereken iş olarak
tanımlanır.
Çekim potansiyeli, bir nokta kitle için
Gm
V =
l
,
lim V = 0
(10)
r→∞
ve yeryuvarı için
V = V (r) = G
ZZZ
yeryuvarı
dm
=G
l
ZZZ
ρ(rQ )
dv
l
,
lim V = 0
(11)
r→∞
yeryuvarı
ile gösterilir.
Yeryuvarının yoğunluk dağılımı ρ(rQ ) biliniyor ise, uzaydaki konumu r ile tanımlı bir
noktanın çekim potansiyeli (11) yardımıyla hesaplabilir. Ancak, yoğunluk dağılımı,
yeryuvarının sadece üst katmanları için yaklaşık olarak tahmin edilebilmektedir.
27
A. Üstün
b, V ’nin gradyenine eşit
b = grad V =
∂V
∂V
∂V
i+
j+
k
∂x
∂y
∂x
(12)
olduğuna göre (11)’in kısmi türevleri çekim ivme vektörünün bileşenlerini
vermelidir:
ZZZ
ρ(ξ, η, ζ)
p
dξ dη dζ
(13)
V (x, y, z) = G
2
2
2
(x − ξ) + (y − η) + (z − ζ)
yeryuvarı
∂V (x, y, z)
∂V (x, y, z)
∂V (x, y, z)
, by =
, bz =
bx =
∂x
∂y
∂z
(14)
(13)’de x, y, z’ye bağlı tek fonksiyon 1/l’nin kısmi türevleri
„ «
„ «
„ «
1
x−ξ
∂
1
y−η
∂
1
z−ζ
∂
=− 3
,
=− 3
,
=− 3
∂x l
l
∂x l
l
∂z l
l
28
(15)
A. Üstün
olduğundan bx , by , bz için
bx = −G
ZZZ
ρ(ξ, η, ζ)
(x − ξ)dξ dη dζ
l3
ZZZ
ρ(ξ, η, ζ)
(y − η)dξ dη dζ
3
l
ZZZ
ρ(ξ, η, ζ)
(z − ζ)dξ dη dζ
3
l
yeryuvarı
by = −G
(16)
yeryuvarı
bz = −G
yeryuvarı
bulunur.
(16), (7)’nin bileşenlerinden yani eksenleri üzerine izdüşümünden başka
birşey değildir.
29
A. Üstün
2.5
Çekim Potansiyelinin Özellikleri
Matematiksel bir fonksiyonun özelliklerinin ortaya çıkarılabilmesi için
öncelikle fonksiyonun kendisi ve türevleri incelenmelidir.
R ρ
• V = G v l dv eşitliğine göre; sonsuzda (l → ∞) sıfır olmak üzere V
tüm uzayda süreklidir.
• Çekilen noktanın yeryuvarının içinde veya dışında olmasına göre V
farklı karaktere sahiptir:
– Yeryuvarının içinde
V =G
ZZZ
yeryuvarı
„
«
2
r
ρ
dv + 2πGρ R2 −
l
3
(17)
– Yeryuvarının dışında
V =G
ZZZ
ρ
dv
l
(18)
yeryuvarı
30
A. Üstün
• Yukarıdaki eşitliklere göre; çekim potansiyeli tüm uzayda, sonlu, tek
anlamlı ve süreklidir.
Fonksiyonun iki ayrı alandaki (yeryuvarının iç ve dış uzayı) birinci ve
ikinci türevleri fonksiyonun davranışı hakkında daha fazla ayrıntı
ortaya çıkarır. Buna göre birinci türevler de tüm uzayda sürekli
fonksiyonlardır:
Z
∂V
ρ
= −G
(x − ξ)dv −
3
∂x
l
Zv
∂V
ρ
= −G
(y − η)dv −
3
∂y
l
Zv
∂V
ρ
= −G
(z − ζ)dv −
3
∂z
l
v
4
πGρ(x − ξ)
3
4
πGρ(y − η)
3
4
πGρ(z − ζ)
3
(19)
(19)’da ikinci terimler göz ardı edilirse fonksiyon sadece dış uzay için
geçerli olur.
31
A. Üstün
• Fakat ikinci türevler ise sürekli değildir.
– Çekim potansiyeli yeryuvarının içinde
∂2V
= −G
∂x2
∂2V
= −G
∂y 2
∂2V
= −G
∂z 2
Z
v
Z
v
Z
v
ρ
dv + 3G
l3
ρ
dv + 3G
l3
ρ
dv + 3G
l3
Z
v
Z
v
Z
v
4
ρ
2
(x
−
ξ)
dv
−
πGρ
l5
3
4
ρ
2
(y
−
η)
dv
−
πGρ
l5
3
(20)
ρ
4
2
(z
−
ζ)
dv
−
πGρ
l5
3
Poisson diferansiyel denklemini
∂2V
∂2V
∂2V
+
+
= −4π G ρ
∆V =
∂x2
∂y 2
∂z 2
(21)
sağlar.
32
A. Üstün
• İkinci türevler ρ’ya bağlı
olduğundan
yoğunlukta
süreksizlik
varsa
ikinci
türevler (dolayısıyla Poisson
diferansiyel denklemi de)
süreksizleşir.
PREM yoğunluk modeli
gr/cm3
14
12
Dış manto
Manto
8
∆V = −4π G ρ
Dış çekirdek
İç çekirdek
10
6
4
2
0
km
0
33
1000 2000 3000 4000 5000 6000
A. Üstün
• İkinci türevler
– yeryuvarının dışında
∂2V
= −G
∂x2
∂2V
= −G
∂y 2
∂2V
= −G
∂z 2
Z
Z
Z
v
v
v
ρ
dv + 3G
l3
ρ
dv + 3G
l3
ρ
dv + 3G
l3
Z
Z
Z
v
ρ
2
(x
−
ξ)
dv
l5
v
ρ
2
(y
−
η)
dv
l5
v
ρ
2
(z
−
ζ)
dv
l5
(22)
Laplace diferansiyel denklemini
∂2V
∂2V
∂2V
+
+
=0
∆V =
∂x2
∂y 2
∂z 2
(23)
sağlar. Burada ∆ işareti Laplace operatörü olarak bilinir ve bir
fonksiyonun ikinci derece kısmi türevlerinin toplamına karşılık gelir.
34
A. Üstün
2.6
Harmonik Fonksiyonlar
∆V = div gradV = 0
(24)
• Laplace diferansiyel denkleminin çözümünü veren fonksiyonlara
harmonik fonksiyonlar denir. Harmoniklik (24)’ün sağlandığı alan ile
sınırlıdır. Çekim potansiyeli için bu alan yeryuvarının dışıdır;
dolayısıyla V sadece yeryuvarının dışında harmoniktir.
• Her harmonik fonksiyon aynı zamanda analitiktir. Analitik
fonksiyonlar istenen derecede türevi alınabildiğinden Taylor serisine
açılabilirler. En basit anlamda P (x, y, z) ve Q(ξ, η, ζ) noktaları
arasındaki uzaklığın tersi,
1
1
=p
l
(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2
(25)
harmonik bir fonksiyondur.
35
A. Üstün
2.7
Yerçekim Potansiyelinin Küresel Harmoniklere
Açınımı
• Amaç: Laplace diferansiyel denkleminin çözümünü veren (harmonik)
fonksiyonları bulmak başka bir deyişle pratikte kullanımı olanaksız
olan çekim potansiyelini harmonik fonksiyonlar yardımıyla yakınsak
bir seriye açmak
• Yöntem: Laplace diferansiyel denklemini problemin geometrisine
uygun hale getirmek
• İpucu: Öyle bir koordinat sistemi kullanmalıyım ki, koordinat yüzeyleri
problemin (V yeryuvarının dışında harmonik!!!) geometrisine uysun
36
A. Üstün
2.7.1
Koordinat Yüzeyleri
z
z
z=
b
Z
sb.
düz
lem
i
y
x
X
ϑ =sb. konisi
Y
y
x
x
i
em
zl
dü
λ =sb. düzlemi
y
=
sb
.
.
sb
dü
zl
em
i
=
r =sb. küresi
Küresel koordinat sistemi (ϑ, λ, r)
Dik koordinat sistemi (x, y, z)
37
A. Üstün
2.7.2
Dik ve Küresel Koordinatlar Arasındaki İlişki
z
P (x, y, z)
ϑ, λ, r =⇒ x, y, z
b
x = r sin ϑ cos λ
y = r sin ϑ sin λ
ϑ
(26)
z = r cos ϑ
r
x, y, z =⇒ ϑ, λ, r
p
r = x2 + y 2 + z 2
p
x2 + y 2
−1
ϑ = tan
z
y
λ = tan−1
x
y
λ
(27)
x
38
A. Üstün
2.7.3
Laplace Diferansiyel Denkleminin Küresel Koordinatlarla
Gösterimi
Diferansiyel uzunluk elemanı
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2
Dik koordinatlar için:
∂x
∂x
∂x
dr +
dϑ +
dλ
dx =
∂r
∂ϑ
∂λ
∂y
∂y
∂y
dr +
dϑ +
dλ
dy =
∂r
∂ϑ
∂λ
∂z
∂z
∂z
dr +
dϑ +
dλ
dz =
∂r
∂ϑ
∂λ
Küresel koordinatlar için:
ds2 = dr 2 + r 2 dϑ2 + r 2 sin2 ϑdλ2
39
(28)
(29)
(30)
A. Üstün
Ortogonal bir koordinat sistemi h11 , h22 , h33 metrik katsayılarıyla
oluşturulabilir (ortogonallik koşulu: i 6= j için hij = 0). Keyfi ortogonal
koordinatlar q1 , q2 , q3 için diferansiyel yay elemanı
ds2 = h211 dq12 + h222 dq22 + h233 dq32
(31)
olduğuna göre küresel koordinat sisteminin (q1 = r, q2 = ϑ, q3 = λ) metrik
katsayıları
h11 = 1 , h22 = r , h33 = r sin ϑ
(32)
dir. Aynı koordinat sisteminde
Alan elemanı
Hacim elemanı
dA = h22 h33 dϑ dλ
(33)
dV = h11 h22 h33 dr dϑ dλ
(34)
ile gösterilir.
40
A. Üstün
Ortogonal koordinat sistemi için Laplace operatörü
1
∆V =
h11 h22 h33
»
∂
∂q1
„
h22 h33 ∂V
h11 ∂q1
«
∂
+
∂q2
„
h11 h33 ∂V
h22 ∂q2
«
∂
+
∂q3
„
h11 h22 ∂V
h33 ∂q3
«–
(35)
olmak üzere (32) eşitlikleri (35)’de yerlerine konursa, küresel koordinatlar için
Laplace diferansiyel denklemi
2 ∂V
1 ∂2V
cot ϑ ∂V
1
∂2V
∂2V
+
+ 2
+ 2
+ 2 2
=0
∆V ≡
∂r2
r ∂r
r ∂ϑ2
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂λ2
(36)
veya daha sade gösterimiyle
2
V
∂V
∂2V
∂V
1 ∂2V
r
+ 2r
+
+ cot ϑ
+
=0
∂r2
∂r
∂ϑ2
∂ϑ
sin2 ϑ ∂λ2
2∂
(37)
elde edilir.
41
A. Üstün
2.7.4
Laplace Diferansiyel Denkleminin Çözümü ve Küresel
Harmonikler
2
2
2
∂
V
1
∂V
∂V
∂
V
∂
V
2
+
+
+ 2r
+ cot ϑ
=0
∆V ≡ r
2
2
∂r 2
∂r
∂ϑ2
∂ϑ
∂λ
sin ϑ
Laplace diferansiyel denklemi için değişkenlere ayrıştırma yöntemi
kullanılarak bir çözüm bulunabilir. Buna göre çekim potansiyeli r, ϑ, λ
bağımsız değişkenli fonksiyonların çarpımı olsun:
V (r, ϑ, λ) = f (r)g(ϑ)h(λ) = f (r)Y (ϑ, λ)
(38)
Burada Y (ϑ, λ) = g(ϑ)h(λ) fonksiyonuna küresel yüzey harmonikleri denir.
Hatırlatma: Değişkenlere ayrıştırma yöntemi çok değişkenli bir diferansiyel
denklemi (bağımsız) adi diferansiyel denklemlere ayrıştırır.
42
A. Üstün
(38), (37)’de yerine konursa ikinci dereceden üç adet adi diferansiyel
denklem bulunur:
0 = r 2 f ′′ (r) + 2rf ′ (r) − n(n + 1)
2
m
g(ϑ)
0 = sin ϑ g ′′ (ϑ) + cos ϑ g ′ (ϑ) + n(n + 1) sin ϑ −
sin ϑ
0 = h′′ (λ) + m2 h(λ)
(39)
(40)
(41)
Bu denklemlerin çözümünden sırasıyla
f (r) = r n ve f (r) = r −(n+1)
(42)
g(ϑ)
= Pnm (cos ϑ)
(43)
h(λ)
= cos mλ ve h(λ) = sin mλ
(44)
elde edilir.
43
A. Üstün
Bulanan çözümler (38)’de yerine konursa,
Vi (r, ϑ, λ)
=
∞
X
n=0
Ve (r, ϑ, λ)
=
∞
X
rn
n
X
(Cnm cos mλ + Snm sin mλ)Pnm (cos ϑ)
(45)
m=0
1
rn+1
n=0
n
X
(46)
m=0
küresel harmonik serileri ortaya çıkar. Burada;
• Vi ve Ve , ∆V = 0 denkleminin çözümleri olup harmonik fonksiyonlardır.
• i belirli bir kürenin içindeki harmonik V fonksiyonunu, e ise bu kürenin
dışındakini gösterir. Buna göre (46) yeryuvarının dışında harmonik olan
çekim potansiyeline karşılık gelir.
• Cnm ve Snm kitle integralleridir ve yeryuvarının yoğunluk dağılımının
izlerini taşır (küresel harmonik katsayılar).
• n [0, 1, 2, . . . , ∞] açınımın derecesini, m [0, 1, 2, . . . , n] sırasını temsil eder.
44
A. Üstün
2.7.5
Legendre Fonksiyonları
Legendre diferansiyel denkleminin (41) çözümünü veren fonksiyonlara
Pnm (cos ϑ) Legendre fonksiyonları denir. Bunlar küre yüzeyini kuşaklara
bölen (n çift ise simetrik, tek ise asimetrik) fonksiyonlardır. Bu anlamda
bütünleşik Legendre fonksiyonları küresel yüzey harmoniklerinin önemli bir
parçasıdır. t = cos ϑ olmak üzere, Rodriques formülüyle
Pnm
n+m
d
1
= (−1)m n (1 − t2 )m/2 n+m (t2 − 1)n
2 n!
dt
(47)
tanımlanırlar. Ancak (47) uygulamaya elverişli bir fonksiyon olmadığından,
fonksiyonun sayısal değerlerinin hesabında yineleme bağıntıları kullanılır:
n−1
2n − 1
tPn−1 (t) −
Pn−2 (t)
n
n
p
Pnm (t) = Pn−2,m (t) + (2n − 1) 1 − t2 Pn−1,m−1 (t)
Pn (t) =
45
∀ n ≥ 2, m = 0
(48)
∀ n ≥ 2, m ≥ 1
(49)
A. Üstün
1.0
P0
↑ Pn
n
0
1
m
0
0
1
1
2
0
2
2
3
1
2
0
Pnm (cos ϑ) = Pnm (t)
1
t
p
1 − t2
(3t2 − 1)/2
3t
p
3
2
15(t − t3 )
p
3
1.0
P2
−1.0
3
15
4
0
(35t4 − 30t2 + 3)/8
4
1
5t
4
2
15(1 − t2 )(7t2 − 1)/2
p
−→ t = cos θ
1.0
↑ Pn
1 − t2
3
0.5
P1
P5
P7
1 − t2 (7t2 − 3)/2
105t
p
3
105(1 − t )
(63t5 − 70t3 + 15t)/8
5
1
15
5
2
105t(1 − t2 )(3t2 − 1)/2
0.5
−0.5
−1.0
1 − t2 (21t4 − 14t2 + 1)/8
1.0
P3
−→ t = cos θ
p
3
1 − t2 (9t2 − 1)/2
5
3
105
5
4
945t(1 − t2 )2
945
−0.5
2 2
4
0
p
−1.0
1 − t2
4
5
5
P8
0.5
−0.5
1 − t2 (5t2 − 1)/2
3
5
P6
−0.5
3(1 − t )
(5t3 − 3t)/2
p
P4
2
1
3
−1.0
1 − t2
3
4
0.5
p
5
1 − t2
46
A. Üstün
Bütünleşik Legendre fonksiyonları 0 ≤ ϑ ≤ π aralığında n − m kadar işaret
değiştirir. Öte yandan cos mλ ve sin mλ fonksiyonları ise 0 ≤ λ ≤ 2π aralığında
2m kez işaret değiştirir. Dolayısıyla küresel yüzey harmoniklerini oluşturan
Pnm (cos ϑ) cos mλ ve Pnm (cos ϑ) sin mλ çarpımları küre yüzeyini n’nin ve m’nin
alacağı değerlere göre farklı şekillerde böler. Bir önceki şekilde m = 0 durumu
gösterilmişti. m 6= 0 olması durumunda ise bu çarpım fonksiyonları küre yüzeyini
gözelere (m < n) veya dilimlere (m = n) böler.
m=0
m<n
m=n
P9,0 (cos ϑ)
P18,9 (cos ϑ) cos 9λ
47
A. Üstün
P4,0 (cos ϑ)
Y4 (ϑ, λ) =
4
P
m=0
48
A. Üstün
2.7.6
Radyal Bileşenin Geometrik Anlamı
Çekim potansiyeli hesaplanacak
noktanın yerin merkezine olan uzaklığına
bağlı olarak (1/r)n+1 çarpanının
etkisiyle gravite alanının eşpotansiyel
yüzeylerinde yumuşama gözlenir.
Bu yüzeylerin yumuşaklığı r büyüdükçe
artar (şekil: Ilk (2004)’den) . Sonuç
olarak yeryuvarının çekim potansiyelinin
küresel harmonik açınımı, çekim
alanının spektral olarak ayrıştırılmasıdır.
Alanın çözünürlüğü 360/n
veya konumsal anlamda ≈ 20000/n (km
cinsinden yarı çözünürlük) ile ifade edilir.
49
A. Üstün
2.8
Küresel Harmonik Modellerin Kullanımı
Yeryuvarının çekim potansiyeli için temel eşitlik, (11),
ZZZ
dm
V = V (r) = G
.
l
yeryuvarı
Yeryuvarının dışında harmonik bir fonksiyon olan V için küresel harmonik
açınım, (46)’dan
V =
∞
X
1
rn+1
n=0
n
X
(Cnm cos mλ + Snm sin mλ)Pnm (cos ϑ).
m=0
(46)’nın (11) yerine kullanılabilmesi için küresel harmonik serinin yeryuvarının
fiziksel büyüklükleriyle ölçeklendirilmesi gerekir:
«n+1 X
n
∞ „
GM X R
(C nm cos mλ + S nm sin mλ)P nm (cos ϑ)
V =
R n=0 r
m=0
(50)
Burada GM evrensel çekim sabiti ve yeryuvarının kütlesi çarpımını, R yeryuvarının ekvatoral yarıçapını
gösterir.
50
A. Üstün
Küresel harmonik (Stokes) katsayılar,
Z Z Z “ ”n
1
r
Cn =
Pn (cos ϑ′ )dm , ∀ m = 0
M
R
yeryuvarı
9
>
>
>
>
>
>
=
9
8
8
9
Z
Z
Z
< Cnm =
< cos mλ′ =
“ r ”n
>
>
2 (n − m)!
′
>
=
Pn (cos ϑ )
dm>
>
>
′
: Snm ;
: sin mλ ;
M (n + m)!
R
;
(51)
yeryuvarı
tam normalleştirilmişleri,
8
9
8
9 s
8
< Cnm =
< 1∀m=0
< C nm =
(n + m)!
, k=
=
: 2 ∀ m 6= 0
: S nm ;
k(2n + 1)(n − m)! : Snm ;
ve tam normalleştirilmiş Legendre fonksiyonları,
8
s
< 1∀m=0
k(2n + 1)(n − m)!
P nm (t) =
Pnm (t) , k =
: 2 ∀ m 6= 0
(n + m)!
51
(52)
(53)
A. Üstün
2.9
Küresel Karmonik Katsayıların Belirlenmesinde
Kullanılan Veri Türleri
Gravite alanının spektral özellikleri kullanılacak veri kaynaklarının türünü
belirleyen en önemli etkendir. (50)’nin maksimum açınım derecesi var olan
verilerin çözünürlüğü ve global anlamda dağılımı ile sınırlıdır. Bu anlamda
günümüz modellerinin maksimum açınım derecesi genelde nmax 360’a
kadardır.
n+1 X
nX
n
max GM
R
V =
(C nm cos mλ + S nm sin mλ)P nm (cos ϑ) (54)
R n=0 r
m=0
Günümüz yüksek dereceli modellerin oluşturulması için kullanılabilir
gravite alanı bilgisi üç kaynaktan gelir:
• Uydu yörüngelerinin (sapmalarının) analizi
• Yüzey gravite anomalileri (kara, deniz ve hava araçları dahil)
• Okyanus ve denizlerde uydu altimetre verileri
52
A. Üstün
EGM96 jeopotansiyel modeli
GM = 3986004.415E+8 m3 /s2
EGM96 jeopotansiyel modeline ilişkin bazı katsayılar
n
m
C nm
S nm
0
0
1.00000000000E+00
0.00000000000E+00
1
0
0.00000000000E+00
0.00000000000E+00
1
1
0.00000000000E+00
0.00000000000E+00
2
0
-4.84165371736E-04
0.00000000000E+00
2
1
-1.86987635955E-10
1.19528012031E-09
2
2
2.43914352398E-06
-1.40016683654E-06
3
0
9.57254173792E-07
0.00000000000E+00
3
1
2.02998882184E-06
2.48513158716E-07
3
2
9.04627768605E-07
-6.19025944205E-07
3
3
7.21072657057E-07
1.41435626958E-06
4
0
5.39873863789E-07
0.00000000000E+00
4
1
-5.36321616971E-07
-4.73440265853E-07
4
2
3.50694105785E-07
6.62671572540E-07
4
3
9.90771803829E-07
-2.00928369177E-07
4
4
-1.88560802735E-07
3.08853169333E-07
5
0
6.85323475630E-08
0.00000000000E+00
5
1
-6.21012128528E-08
-9.44226127525E-08
5
2
6.52438297612E-07
-3.23349612668E-07
5
3
-4.51955406071E-07
-2.14847190624E-07
5
4
-2.95301647654E-07
4.96658876769E-08
5
5
1.74971983203E-07
-6.69384278219E-07
6
0
-1.49957994714E-07
0.00000000000E+00
6
6
9.67616121092E-09
-2.37192006935E-07
7
7
1.09185148045E-09
2.44415707993E-08
8
8
-1.24092493016E-07
1.20533165603E-07
9
9
-4.77475386132E-08
9.66412847714E-08
10
10
1.00538634409E-07
-2.40148449520E-08
20
20
4.01448327968E-09
-1.20450644785E-08
36
36
4.60146465720E-09
-5.94245336314E-09
60
60
4.23068069789E-09
3.92983780545E-10
120 120 -4.56798788660E-10
-1.59135018852E-09
180 180 -4.06572704272E-10
-5.87726119822E-10
240 240 -2.30780589856E-10
-4.60857985599E-11
300 300 -5.02336888312E-11
-1.01275530680E-10
360 360 -4.47516389678E-25
-8.30224945525E-11
R = 6378136.3 m
53
A. Üstün
3
Yeryuvarının Gravite Alanı
Gravite: Yeryüzündeki bir cisme etkiyen yerçekimi ve merkezkaç
kuvvetlerinin toplamı
g =b+f
(55)
z
z
ω
p
P
bc
Çekül
doğrultusu
P
p
bc
f
b
g
f
z
x
y
p
x
y
y
x
54
A. Üstün
ω = 7.292115 × 10−5 rad/s
(56)
yeryuvarının sabit açısal hızı olmak üzere, yeryüzündeki P noktasına
uygulanan merkezkaç kuvveti (ivme vektörü) ve büyüklüğü
f = ω2 p
,
f = ω2 p
(57)
ile gösterilir. Burada dönen cisim birim kütledir. f kuvvet vektörü p
yönündedir, p ise noktanın yeryuvarının dönme eksenine olan uzaklığını
tanımlar:
p
p = [x, y, 0] ,
p = x2 + y 2
(58)
Merkezkaç kuvveti, merkezkaç potansiyeli
Φ=
1 2 2
ω (x + y 2 )
2
(59)
yardımıyla da elde edilebilir:
∂Φ ∂Φ ∂Φ
f = gradΦ ≡
,
,
∂x ∂y ∂z
55
(60)
A. Üstün
3.1
Gravite (Ağırlık) Potansiyeli ve İvmesi
Yeryuvarının gravite alanı olarak tanımladığımız şey çekim ve merkezkaç
kuvvetlerinin bileşkesiyle oluşan yerçekimi vektör alanından başka bir şey
değildir. Buna göre yerçekimi ya da başka bir deyişle gravite potansiyeli,
çekim (11) ve merkezkaç (59) potansiyellerinin toplamına eşittir:
ZZZ
dm 1 2 2
W (x, y, z) = V + Φ = G
+ ω (x + y 2 )
(61)
l
2
yeryuvarı
Merkezkaç potansiyelinin laplasiyeni,
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ
2
+
+
=
2ω
∆Φ ≡
∂x2
∂y 2
∂z 2
(62)
olduğuna göre; gravite potansiyelinin laplasiyeni, tüm uzay için,
∆W = −4πGρ + 2ω 2
(63)
genelleştirilmiş Poisson denklemini verir.
56
A. Üstün
W yerçekim potansiyelinin gradyent vektörü,
∂W ∂W ∂W
,
,
g = grad W = grad V + grad Φ ≡
∂x ∂y ∂z
gravite vektörü olarak adlandırılır. Bu vektörün bilşenleri
ZZZ
x−ξ
∂W
2
= −G
ρdv
+
ω
x
gx =
∂x
l3
yeryuvarı
ZZZ
y−η
∂W
2
gy =
= −G
ρdv
+
ω
y
∂y
l3
yeryuvarı
ZZZ
z−ζ
∂W
gz =
= −G
ρdv
∂z
l3
(64)
(65)
yeryuvarı
dir.
57
A. Üstün
Gravite vektörünün büyüklüğüne kısaca gravite, doğrultusuna ise çekül
doğrultusu denir. Gravitenin birimi ivme birimidir ve adını Galileo
Galilei’den alan gal=1 cm s−2 ile ifade edilir. Gravitenin konuma bağlı
olarak değişmesinin en önemli nedeni yeryuvarının basıklığıdır. Bu nedenle,
• ekvatorda, 978 gal
• kutuplarda, 983 gal
değerlerini alır. Yeryüzünde gravite değerleri gravimetre adı verilen
aletlerle gözlenir ve gözlemler mikrogal (µ gal = 10−6 gal) düzeyinde
yapılabilmektedir.
Gravite doğrultusu (çekül ya da düşey doğrultu) ise astrojeodezik
yöntemlerle belirlenir.
58
A. Üstün
Mutlak ve bağıl gravimetre
59
A. Üstün
Astrojeodezik yöntemle gravite doğrultusunun (Φ, Λ) belirlenmesi
z
Çekül eğrisi
P
W
=
W
P
ich
w
n
ee
Gr idyen
r
me emi
l
düz
Nivo yüzeyi
g
Yerel astronomik
meridyen düzlemi
Φ
Λ
x
Ekva
t
düzle or
mi
60
y
A. Üstün
3.2
Gravite Alanının Geometrik Gösterimi
Yeryuvarının
gravite alanının geometrik
özellikleri, nivo yüzeylerinin
ve çekül eğrilerinin geometrisiyle
açıklanır. Bu yüzey ve
eğriler ailesinin yerel özellikler ise
Doğal Koordinatlar ile tanımlıdır.
Gravite potansiyeli
sabit noktaların oluşturduğu
geometrik yüzeye eşpotansiyel
veya nivo yüzeyleri denir:
W = W (x, y, z) = sabit
(66)
61
A. Üstün
W = W (x, y, z)’nin diferansiyeli
∂W
∂W
∂W
dW =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
(67)
olduğuna göre vektör notasyonunda bu eşitlik
dW = grad W · dx = g · dx
(68)
biçiminde gösterilebilir. Burada
dx = [dx, dy, dz]
(69)
yer değiştirme vektörüdür. Bu vektör eşpotansiyel yüzey boyunca alınırsa
W = sabit olduğundan dW = 0 ve dolayısıyla (68)’den
g · dx = 0
(70)
olur.
62
A. Üstün
(70)’den anlaşılmaktadır
ki; eşpotansiyel yüzeyin
bir noktasındaki gravite
vektörünün doğrultusu
bu yüzeye diktir. Buna
göre eşpotansiyel yüzeyler
birbirini kesmeyen ve
birbirlerine paralel olmayan
yüzeyler olduğundan çekül
doğrultuları gerçekte doğru
değil uzay eğrileridir ve
her noktada eş potansiyel
yüzeylerini dik keserler.
Bunlara kuvvet çizgileri ya da çekül eğrileri denir.
63
A. Üstün
Yeryüzündeki bir noktadaki gravite vektörü ya da çekül doğrultusu bu
noktadan geçen çekül eğrisine teğettir. Aynı şekilde bir nivonun
düzeçlenmesiyle elde edilen yatay düzlem bu noktadan geçen eş potansiyel
yüzeye teğet düzlem yüzeydir.
64
A. Üstün
Yeryüzündeki noktaların yükseklikleri jeoitten başlayarak çekül eğirileri
boyunca ölçüldüğünden, dx bu eğri boyunca alınırsa uzunluğu dH ye eşit
olur:
||dx|| = dH
(71)
Bu vektörün doğrultusu g’ nin aksine dışa doğrudur. Bu durumda iki
vektörün skaler çarpımı,
g · dx = g dH cos 180◦ = −g dH
(72)
dW = −g dH
(73)
çıkar. (68) eşitliği
biçimine dönüşür. Bu eşitlik seviye yüzeyleri arasındaki farkı belirlemek
için gerekli ölçülerin neler olduğunu açıklar. (73)’ün başka bir gösterimi
∂W
g=−
(74)
∂H
dir. Bu eşitlikle gravitenin, gravite potansiyelinin düşey gradyentine eşit
olduğu sonucu çıkar.
65
A. Üstün
3.3
Doğal Koordinatlar Φ, Λ, W
Gravite vektörünün
z
g = gradW = [Wx , Wy , Wz ] (75)
Çekül eğrisi
yönü bir P
noktasından geçen normal vektöre
(başucu vektörüne) terstir ve
bu vektör noktanın astro-jeodezik
koordinatları ile tanımlıdır:
2
3
cos Φ cos Λ
6
7
6
n = 4 cos Φ sin Λ 7
(76)
5
sin Φ
P
W
=
W
P
ich
w
n
ee
Gr idyen
r
me emi
l
düz
Nivo yüzeyi
g
Yerel astronomik
meridyen düzlemi
Φ
Λ
Ekva
t
düzle or
mi
x
66
y
A. Üstün
Buna göre
n ve g vektörleri arasındaki ilişki
g = −g n
(77)
ile ifade edildiğinden
P noktasının doğal koordinatları
Φ = tan−1 p
−Wz
Wx2 + Wy2
Wy
Wx
W = W (x, y, z)
Λ = tan−1
(78)
dir. (78) eşitlikleri, yeryuvarının gravite alanının bilinmesi durumunda, GPS vb.
yöntemlerle konumu belirlenecek herhangi bir noktanın doğal koordinatlarının
doğrudan elde edilebileceğine işaret eder.
67
A. Üstün
4
Yükseklik Sistemleri
Yükseklik denildiğinde, bir yeryüzündeki bir noktanın bir başlangıç yüzeyi
ile olan ilişkisi anlaşılır. Bu ilişki fiziksel ya da geometrik esaslara göre
kurulabilir.
Uygulamada genellikle yerin gravite alanına göre tanımlanmış yükseklik
sistemleri kullanılır. Gravite alanı ile ilişkili yükseklik türleri:
• Jeopotansiyel kot
• Dinamik yükseklik
• Ortometrik yükseklik
• Normal yükseklik
• Normal-ortometrik yükseklik
68
A. Üstün
Gravite alanı ile ilişkili olmayan tümüyle geometrik esaslara göre belirlenen
yükseklik türü denildiğinde ise genellikle GPS ile elde edilen elipsoidal
yükseklikler (h) anlaşılır.
z
b
P (x, y, z)
P (ϕ, λ, h)
h
b
z
b
λ
b
ϕ
y
y
x
x
69
A. Üstün
Uygulamada gravite
alanı ile ilişkili yükseklik
türlerinin geometrik
(elipsoidal) yüksekliklere
tercih edilmesinin nedeni,
fiziksel yasalardır. Başka
bir deyişle, su her zaman
aşağıya doğru akar; durgun
su yüzeyi eşpotansiyel
yüzeyin bir parçasıdır.
Bu nedenle suyun akış
yönünün kontrol altına alınması, altyapı ve mühendislik hizmetlerinin
gerçekleştirilmesinde en çok karşılışılan uygulama türlerindendir. Özellikle
uzun geçkiler boyunca projelendirilen kanal, boru hattı, tünel gibi
mühendislik yapılarının uygulamaya geçirilmesinde anılan bilgiye
gereksinim duyulur.
70
A. Üstün
4.1
Geometrik Nivelman
Birbirine yakın iki nokta
arasındaki yükseklik farkını
ölçme tekniği. Yükselik farkı,
nivonun düzeçlenmesinden
(yataylanmasından) sonra
geri ve ileri mira okumaları
arasındaki farka eşittir:
dH = r − v
(79)
Teorik olarak bu fark, ancak, mira tutulan noktalardan geçen eşpotansiyel
yüzeylerin birbirine paralel kabul edilebilecek kadar noktalarının birbirine
yakın olması ve olası nivelman hatalarına karşı gerekli önlemlerin (örneğin
nivonun iki miraya eşit uzaklıkta) alınması durumunda doğrudur.
71
A. Üstün
Çekül
Yandaki şekle göre A ve B
eğrisi
noktalarından aynı eşpotansiyel
P
yüzey geçmektedir. P
noktasından geçen çekil eğrisi
boyunca nokta ile başlangıç
nivo yüzeyi arasındaki
B
uzunluk (diferansiyel yükseklik
A
Pn
farklarının toplamı i=1 dH),
genellikle P ’nin yükseliği olarak algılanır. Şekile dikkat edilirse, farklı
yollardan gidildiğinde başlangıç eşpotansiyel yüzey ile P ’den geçen
eşpotansiyel yüzey arasındaki fark aynı olmaz:
dHn′′
dHn
dHn′
dHi
dHi′′
dHi′
dH2′
dH2
dH2′′
dH1
dH1′′
dH1′
n
X
i=1
dHi′ 6=
n
X
dHi 6=
i=1
n
X
dHi′′
(80)
i=1
Bu eşitsizliklerden anlaşılmaktadır ki; nivelman yola bağımlıdır.
72
A. Üstün
Geometrik
(diferansiyel) nivelmanı yoldan
bağımsız duruma getirmenin
yolu, eşpotansiyel yüzeyler
arasındaki farkı yani (73)’den
dW ’yi belirlemektir. Mira
tutulan iki nokta arasındaki
potansiyel farkın bulunması,
dW = −g dH
nivelman ölçüleriyle birlikte gravite gözlemlerinin de yapılmasını gerektirir.
Bu durumda (80) g ölçüleri için yeniden düzenlenirse, nereden gidilirse
gidilsin P noktasının yüksekliği için aynı sonuç (potansiyel) elde edilir:
WA − WP = WB − WP =
n
X
gi′ dHi′ =
i=1
i=1
n
X
73
gi dHi =
n
X
gi′′ dHi′′
(81)
i=1
A. Üstün
Çekül
Potansiyel farkları
eğrisi
belirlemede, gravite ölçmelerini
P
nivo kurulan her noktada
g
yapmanın imkanı yoktur. Diğer
yandan özellikle ülke yükseklik
g
g
sisteminin oluşturulması
B
gibi durumlarda en yüksek
A
g
g
doğruluk istenir. Bu nedenle
g ölçüleri için belirli bir sıklık
öngörülmelidir. Buna göre gravite gözlemleri yüksekliği istenen nivelman
noktalarından başka bunlar arasında eğimin ve nivelman geçkisi yönünün
değiştiği yerlerde veya arazi yapısına göre genel olarak
P
i
j
B
A
• düz arazide 2-3 km’de bir
• engebeli arazide 1-2 km’de bir
• çok engebeli arazilerde 0.3-1.2 km’de bir ölçülmelidir.
74
A. Üstün
4.2
Jeopotansiyel Kotlar
Bir P noktasından geçen nivo yüzeyinin WP potansiyeli ile jeoidin W0
potansiyeli arasında kgal×metre biriminde verilen potansiyel farka o
noktanın jeopotansiyel kotu denir:
CP = W0 − WP =
ZP
dW =
ZP
0
0
g dH ≈
P
X
g ∆H
(82)
0
kgal×m fiziksel bir büyüklük olduğundan, yükseklik kavramı için
kullanılması gereken uzuluk birimi ile çelişir. Bu nedenle 1 kGal’e
bölünerek m birimine geçilir. Ancak bu geçiş jeopotansiyel kotun fiziksel
niteliklerini ortadan kaldırmaz. Jeopotansiyel kotlar öteki yükseklik
sistemleri için temel büyüklüklerdir.
75
A. Üstün
76
A. Üstün
4.3
Dinamik Yükseklik
Jeopotansiyel kotlar keyfi olarak seçilebilen sabit bir gravite değerine bölünürse m
cinsinden uzunluk birimi elde edilir. Bu yolla elde edilen yüksekliklere dinamik
yükseklikler denir. Burada sabit gravite değeri için genellikle Helmert’in önerisine uygun
olarak 45◦ enlemindeki normal gravite değeri (GRS80 için γ0 = 980.6199203 gal) alınır.
H din =
C
γ0
(83)
Dinamik yükseklikler jeopotansiyel kotlardan belirli bir ölçek oranında ayrılır. Bu
nedenle jeopotansiyel kot ile dinamik yüksekliklerin fiziksel karakterleri aynıdır.
Uygulamada nivelman yüksekliklerinin dinamik yüksekliklere dönüştürülmesi genellikle
bir dinamik düzeltme terimiyle sağlanır:
din
din
din
∆HAB
= HB
− HA
1
=
γ0
1
1
=
(CB − CA ) =
γ0
γ0
ZB
g dH
A
ZB
ZB
ZB
B
P
g − γ0
dH ≈ ∆HAB +
(g + γ0 − γ0 ) dH =
dH +
γ0
A
A
A
g−γ0
∆H
γ0
A
77
(84)
A. Üstün
78
A. Üstün
4.4
Ortometrik Yükseklik
P noktasından geçen
çekül eğrisi boyunca
ölçülür. Eğrinin jeoidi
(W0 ) kestiği noktanın
yüksekliği sıfırdır.
Tanımdan anlaşılacağı
üzere ideal koşullarda
yükseklik farklarının ve
gravite ölçülerinin bu
eğri boyunca yapılması
gerekir. P noktasının
jeopotansiyel kotu başka yollardan belirlense bile çekül eğrisi boyunca
ortalama g değeri bilinmelidir. Topoğrafik kitlelerin yoğunluğu yaklaşık
olarak bilindiğinden bu değerlere belirli varsayımlarla yaklaşmak
mümkündür.
79
A. Üstün
CP = W0 − WP ≈
P
X
g ∆H
(85)
P0
P noktasının nivelman yolundan bağımsız jeopotansiyel kotu olmak üzere
ortometrik yükseklik,
CP
(86)
H=
g
ile tanımlanır. Burada,
ZH
1
g=
g dH
(87)
H
0
topoğrafik kitleler içerisinde çekül eğrisi boyunca ölçülmesi gereken gerçek
gravite değerlerinin ortalamasıdır. Helmert’in bu değerin hesabı için
öngördüğü varsayım, kendi adıyla anılan ortometrik yükseklik bağıntısını,
CP
H=
gP + 0.0424H
(88)
ortaya çıkarmıştır. Burada gP gal, H km birimindedir.
80
A. Üstün
4.5
Normal Yükseklik
(86)’da g yerine, normal gravite alanındaki karşılığı γ yazılırsa,
H
N
CP
=
γ
(89)
P yüzey noktası ile kuasijeoit arasında kalan normal çekül eğrisinin boyu
elde edilir. Burada,
HN
Z
1
γ dH N
(90)
γ= N
H
0
normal gravite alanının çekül eğrisi üzerinde H N boyunca γ değerlerinin
ortalamasıdır. Uygulamada γ değerine,
"
#
2
N
N
H
H
2
γ ≈ γ 1 − 1 + f + m − 2f sin ϕ
+ 2
(91)
a
a
81
A. Üstün
ile herhangi bir varsayıma gerek duyulmaksızın yaklaşılabilir. Bu nedenle
ortometrik yüksekliğin aksine, H N varsayımdan bağımsızdır ve
uygulamada yaygın olarak kullanılan bir yükseklik türüdür. Normal
yükseklik elipsoit yüzeyinden itibaren de gösterilebilir. Bu durumda, nivo
elipsoidi başlangıç yüzeyi olmak üzere H N yüksekliklerinin tanımladığı
yüzeye tellüroit adı verilir. Fiziksel jeodezide büyük bir öneme sahip
Molodenski yaklaşımı tellüroide göre fiziksel yeryüzünün veya bir başka
deyişle nivo elipsoidine göre kuasijeoidin belirlenmesini ele alır.
Kuasijeoit bir eşpotansiyel yüzey değildir, sadece deniz seviyesinde jeoitle
çakışır. İkisi arasındaki fark varsayılan kitle yoğunluğundaki sapmalara
bağımlıdır. Genellikle topoğrafya yükseldikçe artar, örneğin Türkiye’de
yaklaşık 0–30 cm arasında değişir.
82
A. Üstün
83
A. Üstün
5
Normal Gravite Alanı
Jeodezik yeryuvarı modeli yeryuvarının geometrik şeklini ve dış çekim
alanını belirlemek için kullanılan referans elipsoididir. Matematiksel
özellikleri çok iyi bilinen bir dönel elipsoit geometrik anlamda jeoide,
fiziksel anlamda gerçek gravite alanına çok yaklaşan bir referans model
olarak tanımlanabilir. Hem geometrik hem fiziksel tanımı yapılmış referans
elipsoidine nivo elipsoidi denir ve aşağıdaki dört parametre ile gösterilir:
a
f
GM
ω
Büyük yarı eksen
Basıklık (veya J2 dinamik şekil faktörü)
Yermerkezli çekim sabiti
Açısal dönme hızı
84
A. Üstün
85
A. Üstün
x, y, z
Bir nivo elipsoidinin yeryuvarının
P
ϕ, λ, h
gerçek şekline ve gravite
h H
alanına ne kadar yaklaştığı, seçilen
tanım parametrelerine bağlıdır. Bu
N
nedenle en uygun jeodezik referans
sisteminden söz edilebilmesi
için bilinen en iyi parametre
değerleri kullanılmalıdır. Böylelikle
yeryüzünde belirlenmesi istenen
jeodezik büyüklükler, bu referans
modele göre (ondan olan sapmalar biçiminde) elde edilebilir. Örneğin;
WP (x, y , z )=sb.
C
P
=
P
−W
L
W0 ≡ je
oi t ≡ M S
C = H =0
W0
U0 = W0
• h yeryüzü ile referans elipsoidi arasındaki sapmayı (geometrik model)
• N gerçek ve nivo elipsoidi (normal) gravite alanlarının referans
eşpotansiyel yüzeyleri arasındaki sapmayı (fiziksel model)
ifade eder.
86
A. Üstün
5.1
Geometrik Parametreler
Nivo elipsoidinin geometrik model olarak kullanılabilmesi için sadece iki
parametrenin (a ve f ) bilinmesi yeterlidir. Bunun dışındaki diğer tüm
parametreler bu değerlerden türetilir.
b = a(1 − f )
p
E = a2 − b2
Küçük yarıeksen
Doğrusal dışmerkezlik
c = a2 /b
p
e = a2 − b2 /a
p
′
e = a2 − b2 /b
`
Q = c π2 1 − 34 e′2 +
R0 = (2a + b)/3
`
Rs = c 1 − 32 e′2 +
√
3
Rv = a2 b
Kutup eğrilik yarıçapı
1. dış merkezlik
2. dış merkezlik
45 ′4
e
64
26 ′4
e
45
−
−
175 ′6
e
256
100 ′6
e
189
+
+
11025 ′8
e
16384
7034 ′8
e
14125
87
´
´
Çeyrek meridyen uzunluğu
Ortalama yarıçap
Eşit yüzey alanlı küre yarıçapı
Eşit hacimli küre yarıçapı
A. Üstün
5.2
Fiziksel Parametreler
Nivo elipsoidi yüzeyine karşılık gelen ve jeoidin potansiyeline eşit olduğu
varsayılan U0 = W0 potansisyeli ve aşağıdaki türetilmiş değerler daha önce
verilen dört temel parametre yardımıyla bulunur.
U0 =
GM
E
tan−1 e′ + 31 ω 2 a2
J2 = 23 f −
m
3
n+1
J2n = (−1)
m=
2
fm
21
3e2n
(2n+1)(2n+3)
ω 2 a2 b
GM
GM
ab
γk =
GM
a2
f∗ =
γk −γe
γe
bγk
aγe
`
1−n+
Dinamik şekil faktörü
5n Je22
“
”
′ q′
e
0
1−m− m
6 q0
”
“
′ ′
m e q0
1 + 3 q0
γe =
k=
− 31 f 2 +
Nivo elipsoidinin normal potansiyeli
´
Kuşak harmonik katsayıları (n > 1)
Boyutsuz büyüklük
Ekvatorda normal gravite
Kutuplarda normal gravite
Gravite basıklığı
−1
88
A. Üstün
Yeryuvarı Modeli
Tanım parametreleri
(GRS80)
a
J2
GM
ω
=
=
=
=
6 378 137
108 263 × 10−8
3 986 005 × 108
7 292 115 × 10−11
m
m3 s−2
rad s−1
Geometrik parametreler
b
E
c
e2
e′2
1/f
Q
R0
Rs
Rv
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
6 356 752.3141
521 854.0097
6 399 593.6259
0.006 694 380 023
0.006 739 496 775
298.257 222 101
10 001 965.7293
6 371 008.7714
6 371 007.1810
6 371 000.7900
Fiziksel parametreler
U0
J4
J6
J8
J10
m
γe
γk
f∗
k
m
m
m
m
m
m
m
89
= 62 636 860.85
= −2.370 912 219 65 × 10−6
= 6.083 470 628 39 × 10−9
= −1.426 814 059 72 × 10−12
= 1.214 411 052 16 × 10−14
= 0.003 449 786 003 08
= 9.780 326 7715
= 9.832 186 3685
= 0.005 302 440 112
= 0.001 931 851 353
m2 s−2
m s−2
m s−2
A. Üstün
Verilen bu değerler, ϕ, λ, h jeodezik koordinatları bilinen bir noktaya ilişkin
normal gravite alanı büyüklüklerinin hesabında kullanılır:
• Küresel koordinatlar cinsinden bir noktanın normal potansiyeli,
!
∞ “ ”
X
a 2n
GM
ω2 2 2
U=
1−
r sin ϑ
J2n P2n (cos ϑ) +
r
r
2
n=1
(92)
• Elipsoit yüzeyinde normal gravite,
1 + k sin2 ϕ
γ0 = γe
(1 − e2 sin2 ϕ)1/2
(93)
• h yüksekliğinde normal gravite,
«
„
3
2
γ = γ0 1 − (1 + f + m − 2f sin2 ϕ)h + 2 h2
a
a
(94)
• Normal yükseklik için ortalama gravite,
N2
γ = γ0
1−
H
1
(1 + f + m − 2f sin2 ϕ)H N + 2
a
a
90
!
(95)
A. Üstün
6
Bozucu Gravite Alanı
Gerçek ve normal gravite alanı arasındaki farka bozucu gravite alanı denir
ve bu fark genellikle bir noktaya ilişkin potansiyel büyüklükler üzerinden
gösterilir:
T (x, y, z) = W (x, y, z) − U (x, y, z)
(96)
W ’nin U ’dan olan sapma değerleri çok küçük (neredeyse doğrusal)
olduğundan, bozucu potansiyelin uygulamadaki önemi büyüktür. Bozucu
alanın modellenmesi, (96)’ya göre gerçek gravite alanının da belirlenmesi
anlamına gelir. Bu amaçla uygulamada gözlenen bazı büyüklükler;
• yersel gravite anomalileri (∆g)
• çekül sapması bileşenleri (ξ, η)
• GPS ve nivelmandan elde edilen jeoit yükseklikleri (N )
biçiminde sıralanabilir.
91
A. Üstün
6.1
Jeoit Yüksekliği
P ’nin gerçek gravite potansiyeli (96)’dan
WP = UP + TP
(97)
ile gösterilir. Aynı noktadaki normal potansiyel
ise Q’ya göre Taylor serisine açılabilir:
UP = UQ + N
∂UQ
∂n
Jeoit
W
W =
∂UQ
∂n
Çekül sapması
gP Çekül doğrultusu
N
U = W0
∂UQ
+ TP
WP = UQ + N
∂n
WP = UQ ve γQ = −
0
(98)
Burada n yüzey normali doğrultusu, N = P Q
jeoit yüksekliğidir. (98), (97)’de yerine yazılır,
P
b
b
Q
Elipsoit
γQ Elipsoit normali
(99)
eşitlikleri göz önüne alınırsa,
T = N γQ
⇒
N=
T
γQ
(100)
sonucu çıkar (Bruns eşitliği).
92
A. Üstün
6.2
Yükseklik Anomalisi
Fiziksel yeryüzü boyunca bu
şekilde Q noktalarının oluşturduğu
yüzeye tellüroit adı verilir; ancak
tellüroit bir eşpotansiyel yüzey
değildir.
P ’den geçen elipsoit
normali boyunca, fiziksel yeryüzütellüroit
ve
kuasijeoit-elipsoit
arasındaki
yükseklik
farkları
birbirine eşittir. Jeoit yüksekliği
P noktasından geçen WP ve normal ile aralarında,
gravite alanında ona eşit UQ yüzeyleri
g−γ
N
N
−ζ
=
H
−H
=
H (101)
arasındaki P Q uzunluğuna ζ yükseklik
γ
anomalisi denir.
ilişkisi vardır.
93
A. Üstün
z ü
W = WP
P
Ye
r
y ü
ζ
Yukarıdaki eşitlikte N yerine h − H
yazılırsa elipsoit yüksekliğinden normal
yüksekliğe geçiş bağıntısı,
HN = h − ζ
U = UQ = WP
Q
HN
Tel
it
lü r o
H
h
HN
Kuasijeoit
W = W0
Jeoit
P0
ζ
U = W0
b
N
Elipsoit
Q0
(102)
elde edilir. γ − g farkına ortalama
gravite anomalisi, başka bir deyişle
Bouger anomalisi (∆gB ) adı verilir.
H = 0 olması durumunda (101)
sıfıra eşit olacağından deniz seviyesinde
kuasijeoit ve jeoit çakışır. Dolayısıyla
N ve ζ aynı büyüklükte olurlar.
Bunun dışında normal ve ortometrik
yükseklikler arasındaki fark, topoğrafik
yükseklik ve ∆gB ile doğru orantılıdır.
94
A. Üstün
W = WP
6.3
Gravite Anomalisi
b
U = UP
b
P
γP
Yeryüzünde ölçülen gP gravite büyüklüğü
ve aynı nokta için normal gravite
alanındaki karşılığı γP arasındaki fark,
gP
U = UQ = W P
b
Q
γQ
δgP = gP − γP
H
gravite bozukluğu olarak adlandırılır.
Diğer yandan γQ ’ya göre hesaplanan
gravite anomalisi,
HN
Elipsoit
b
(104)
gravite alanı belirleme uygulamalarının en
temel verisidir. Jeoidin modellenmesi söz
konusu ise jeoide indirgenmiş olanı,
P0
g0
U = W0
∆gP = gP − γQ
Jeoit
b
0
W =W
(103)
∆g0 = g0 − γ0
Q0
γ0
(105)
esas alınır.
95
A. Üstün
6.4
Çekül Sapması
Greenw
Ek
vat
o
r dü
zl e m i ne
Ç
ek
ül
ich m
erid
yen
i ne
pa
ra
l el
do
ğr
u
lt
us
u
|| z
E
ξ
P
l
it
so
p
i
rm
no
i
al
η
ϕ
b
Φ
λ
Λ
|| y
P
noktasından
geçen
çekül
doğrultusu ve elipsoit normali
birim yarıçaplı bir küre üzerinde
gösterildiğinde çekül sapmasının iki
bileşene sahip olduğu görülür.
Elipsoit
normalinin
küreyi
deldiği noktaya göre meridyen
ve parallel daire doğrultusundaki
çekül sapması bileşenleri olarak
adlandırılırlar ve sırasıyla,
ξ =Φ−ϕ
par al el
η = (Λ − λ) cos ϕ
|| x
(106)
eşitliklerinden hesaplanırlar.
96
A. Üstün
Çekül sapması bileşenleri günümüz uydu ve konum belirleme teknikleri
sayesinde daha kolay belirlenebilmektedir. Bunun için P noktasının GPS
yardımıyla ϕ, λ jeodezik koordinatlarını ve astrojeodezik gözlemlerle Φ, Λ
doğal koordinatlarını belirlemek yeterli olacaktır.
ξ, η cinsinden toplam çekül sapması (çekül doğrultusu ile elipsoit normali
arasındaki açı),
p
θ = ξ 2 + η2
(107)
ve jeodezik azimut α doğrultusundaki bileşeni,
ε = ξ cos α + η sin α
(108)
bağıntılarından hesaplanır.
97
A. Üstün
6.5
Jeodin Belirlenmesi ve GPS Nivelmanı
Yeryuvarının
gravite alanının belirlenmesi,
konum belirleme açısından GPS
tekniklerine dayalı ortometrik veya
normal yükseklik probleminin çözümü
demektir. Günümüzde jeoit belirleme
probleminden sıkça söz ediliyor
olmasının nedeni, GPS nivelmanı
yönteminin klasik nivelman tekniğine
seçenek oluşturmasıdır. Belirli
bir bölgeyi kapsayan alanda jeoit
modeli yeterli doğrulukta biliniyorsa,
GPS’den elde edilen elipsoidal yükseklikler ortometrik yüksekliklere kolayca
dönüştürülebilir:
H =h−N
(109)
98
A. Üstün
6.5.1
Global jeoit modeli
Bozucu potansiyel çekim potansiyelinde olduğu gibi yeryuvarının dışında
harmonik bir fonksiyondur:
∆T = 0
(110)
Dolayısıyla küresel harmonik serilerle gösterilebilir. Uygulamada katsayılar,
gerçek gravite alanının katsayıları eksi normal gravite alanı katsayıları biçiminde
belirlenir. Katsayıları bu şekilde elde edilen seri (100)’de yerine yazılırsa bir
noktadaki yükseklik anomalisi,
ζ=
GM
rγ
nX
max
n=2
„
«n X
n
R
r
(∆C nm cos mλ + ∆S nm sin mλ)P nm (cos ϑ)
(111)
m=0
çıkar. (111) ile bulunacak yükseklik anomalisi, N ’ye oldukça yakındır. Ancak
topoğrafyanın yükseldiği yerlerde N ’nin hesabı için (101)’den yararlanılmalıdır.
Jeodin bu yöntemle hesabı global jeoit belirleme olarak adlandırılır. Jeoidin
doğruluğu modelin derecesine ve modelin oluşturulması aşamasında hesap
noktası civarındaki yersel verilerin kullanılıp kullanılmadığına bağlıdır.
99
A. Üstün
100
A. Üstün
6.5.2
Bölgesel jeoit modeli
Bozucu potansiyel için geliştirilen küresel harmonik seri yüzey integrali,
ZZ
R
T (ϑ, λ) =
S(ψ)∆g dσ
4π
σ
(112)
biçiminde de gösterilebilir. Stokes (1849)’un ortaya koyduğu bu eşitlik, ϑ, λ ile
konumu bilinen noktada, tüm yeryuvarına dağılmış ∆g gravite anomalilerinden
T ’nin hesaplanabileceğini söyler. Her ∆g’nin T ’ye ne kadarlık katkı yapacağını
S(ψ) Stokes ağırlık fonksiyonu belirler. Katkı oranı, ∆g hesap noktasına
yaklaştıkça artar. Bu bilgiler ışığında, yeryüzünde belirli bir bölge, yeterli sıklık
ve doğrulukta yersel gravite verisi içeriyorsa, global modele göre daha yüksek
çözünürlük ve doğruluğa sahip bölgesel bir çözüm geliştirilebilir. Sonuç olarak
(112), Bruns eşitliği sayesinde jeoit yüksekliğine dönüştürülebilir:
ZZ
R
S(ψ)∆g dσ
(113)
N=
4πγ0
σ
Burada ∆g’ler jeoide indirgenmiş olmalı, başka bir deyişle jeoidin dışında kitle
bulunmadığı varsayılmalıdır.
101
A. Üstün
(113) ile bölgesel çözümde aranan sonuca, üç değişik gruptan gelen verilerin ayrı
bileşenler olarak değerlendirilmesiyle ulaşılır. Buna göre bölgesel jeoit modeli,
bozucu gravite alanının uzun, orta ve kısa dalga boylu katkısından,
N = NGP M + N∆g + NH
(114)
oluşur. Burada dalga boylarına göre bileşenler,
NGP M
N∆g
NH
Uzun (global jeopotansiyel modelden)
Orta (yerel gravite anomalilerinden)
Kısa (yerel sayısal arazi modelinden)
olmak üzere bozucu gravite alanının farklı spektrumlarını temsil ederler. Veri ve
değerlendirme çok büyük oranda gravite anomalilerine dayandığı için yöntem
gravimetrik jeoit belirleme adıyla da anılır. Genellikle her ülke kendi jeoit
modelini bu yolla belirler ve GPS kullanıcılarının hizmetine sunar. Ülkemizde
bugüne değin bu kapsamda TG91, TG99A, TG03, TG05, . . . modelleri Harita
Genel Komutanlığı tarafından üretilmiştir.
102
A. Üstün
Gravimetrik jeoit modeli belirleme aşamaları
Stokes (1849) integrali (global, doğrusal operatör!!!);
ZZ
R
∆g S(ψ) dσ
N=
4πγ0
σ
Stokes integralinin bölgesel ölçeğe indirgenmesi;
Yok et
∆gR = ∆g − ∆gGP M − ∆gH
Yerine koy
N
= NGP M + N∆gR + NH
+
R
4πγ0
RR
σ
∆gR S(ψ)dσ
+
Hesapla
103
A. Üstün
Türkiye Ulusal Jeoidi 2003 - TG03 (Kılıçoğlu vd., 2004)
– ≈ 65000 ∆g (karada) – Jeopotansiyel model (EGM96)
– 197 GPS-nivelman noktası
– ≈ 20000 ∆g (denizde) – Sayısal Arazi Modeli (20′′ × 20′′ ) – ≈ 10 cm doğruluk
104
A. Üstün
6.5.3
GPS-nivelman yöntemiyle (geometrik) jeoit belirleme
Büyük ölçekli harita üretimi (halihazır, kadastro vb.) uygulamaları sınırlı bir
alanı kapsar. Çoğu kez böyle bir uygulama alanı içerisinde, hem Helmert
ortometrik hem de GRS80 elipsodine göre hesaplanmış elipsoidal yüksekliği
bilinen noktalar bulunabilir. Doğruluk değerleri yüksek (birkaç cm) böylesi
noktalara dayanılarak, analitik bir yüzey fonksiyonuyla gösterilen yerel jeoit
modeli oluşturulabilir. Dayanak noktalarının sayısı ve alanın büyüklüğü göz
önüne alınarak yüzey modeli,
X
N (x, y) =
aij xi y j = a00 + a10 x + a01 y + a20 x2 + a11 xy + a02 y 2 + · · · (115)
polinom eşitliği ile gösterilebilir. Genellikle 3. dereceyi geçmeyen yüzey polinomu
bu iş için yeterli görülür. Jeoit modelini oluşturmak için yapılması gereken, n
sayıda nokta için (115)’e göre denklem sistemini oluşturmak ve En Küçük
Karelerle (EKK) kollokasyon yaklaşımını uygulayarak aij katsayılarınnı
belirlemektir. Yerel jeoit fazla değişkenlik göstermiyorsa veya alan yeterince
küçükse sadece EKK çözümü de yeterli olacaktır.
105
A. Üstün
Örnek
S.N.
Sağa
Yukarı
h
H
N = h−H
Yanda bir uygulama alanı
1
531121.569
4171060.477
1223.48
1188.61
34.87
2
522139.007
4175249.228
986.84
952.23
34.61
içerisinde kalan 20 düşey
3
521965.772
4177055.988
929.37
894.80
34.57
4
525985.901
4181645.566
888.53
853.82
34.71
5
527321.854
4177938.485
1008.75
973.97
34.78
6
532702.166
4184439.027
915.43
880.43
35.00
7
531409.083
4183177.180
918.17
883.25
34.92
8
528687.730
4181432.714
928.93
894.14
34.79
9
530800.931
4182399.516
927.87
893.00
34.87
10
524599.277
4181624.668
889.24
854.55
34.69
yükseklikleri
11
530080.624
4174023.790
1190.14
1155.25
34.89
12
527448.386
4180150.776
933.99
899.23
34.76
verilmektedir. Söz konusu
13
522187.785
4180966.223
883.94
849.25
34.68
14
523840.797
4181543.848
891.82
857.11
34.71
15
533721.734
4172811.346
1260.60
1225.55
35.05
kontrol
noktasının
koordinat
ülke
sistemindeki
koordinatları,
elipsoidal
ortometrik
ve
Helmert
alan için geçerli olmak
üzere, 2.
derece yüzey
16
530128.716
4182144.569
930.18
895.31
34.87
17
533041.683
4170351.896
1253.46
1218.52
34.95
polinomu
yardımıyla
18
518442.199
4174291.701
892.54
858.13
34.41
19
532328.018
4170762.774
1229.46
1194.54
34.92
20
530030.643
4172850.093
1256.65
1221.74
34.91
p1
525000.000
4179000.000
?
p2
530000.000
4177000.000
?
yerel jeoit modelini EKK
yöntemiyle oluşturunuz.
106
A. Üstün
Dayanak noktalarının araziye dağılımı
ve jeoit yükseklikleri yandaki şekilde
görülmektedir.
Yerel jeoit yüzeyi
için öngörülen 2.
dereceden analitik
fonksiyon,
4186
35.00
b
4184
34.92
b
N (x, y) = a00 + a10 x + a01 y+
34.87
34.87
b
4182
34.7134.69
a20 x2 + a11 xy + a02 y 2
b
b
b
34.71
34.79
b
b
34.68
b
34.76
6 adet bilinmeyen katsayı içermektedir
(fazla ölçü sayısı: n − u = 14).
b
4180
???
b
34.78
4178
b
34.57
???
b
b
EKK yöntemi uygulanmadan önce çözüm
sonuçlarının güvenilir değerler olması için
koordinat değerlerini küçültmek gerekmektedir. Küçültülmüş koordinatlar,
4176
34.61
b
34.41
34.89
b
4174
b
34.91
35.05
b
X − Xi
xi =
1000
,
Y − Yi
yi =
1000
b
4172
34.87
b
34.92
34.95
b
b
4170
518
520
522
524
526
528
530
532
534
eşitliklerinden hesaplanabilir. Burada X
ve Y ortalama koordinatlardır.
107
A. Üstün
Ölçüler bilinmeyenlerin bir fonksiyonu,
Ax = l
(116)
biçiminde düzenlenir,
0
1
B
B1
B
B
B1
B
B.
B.
B.
@
1
x1
y1
x21
x1 y1
x2
y2
x22
x2 y2
x3
.
.
.
y3
.
.
.
x23
.
.
.
x3 y3
.
.
.
x20
y20
x220
x20 y20
ve EKK yaklaşımı,
1 0
1
10
a00
2
y1 B
C B N1 C
CB
a10 C
C
C B
B
N
y22 C
2
C
B
CB
C
B
C Ba C
C
01
2
B
C
y3 C B
C = B N3 C
C
C B
B
C
a20 C B . C
. CB
C B . C
. CB
. C
. AB
C
A
@
@a11 A
2
N20
y20
a02
x = (AT A)−1 (AT l)
(117)
uygulanırsa bilinmeyenler için,
T
x
“
= 34.800924
0.038508
0.004805
elde edilir.
108
0.000853
−0.001218
−0.001061
”T
A. Üstün
2. derece yüzey: m0 = ±3.67 cm
3. derece yüzey: m0 = ±1.91 cm
109
A. Üstün
Normal dağılımlı olduğu varsayılan ölçülere gelecek düzeltmeler,
v = Ax − l
(118)
ve bunlardan hesaplanan standart sapma,
s
vT v
= ±3.67 cm
m0 =
n−u
öngörülen modelin (derecesi) uygunluğu hakkında önemli bir bilgi verir. Yüzey modeline
göre; jeoit yükseklikleri enterpolasyonla bulunmak istenen noktalar için,
Np1
Np2
!
0
=
1
xp1
yp 1
1
x22
yp 2
x2p1
x2p2
xp1 yp1
xp2 yp2
a00
1
B
C
Ba10 C
C
!B
2
B
yp1 Ba01 C
C
B
C
C
yp22 B
a
20
B
C
B
C
@a11 A
a02
matris işlemi düzenlenir ve değerler yerine konulursa,
Np1 = 34.70 m
Np2 = 34.88 m
sonucu elde edilir.
110
A. Üstün
Erbudak and Tuğluoğlu (1976); Heiskanen and Moritz (1984);
Hofmann-Wellenhof and Moritz (2005); Tuğluoğlu (1984)
Kaynaklar
Erbudak, M. and Tuğluoğlu, A. (1976). Fiziksel Geodezi. Number 129.
İDMMA Yayınları, İstanbul.
Heiskanen, W. and Moritz, H. (1984). Fiziksel Jeodezi. Karadeniz
Üniversitesi Basımevi, Trabzon. O. Gürkan (Ç).
Hofmann-Wellenhof, B. and Moritz, H. (2005). Physical Geodesy. Springer,
Wien.
Ilk, K. H. (2004). Diskussion der kugelfunktionen.
Tuğluoğlu, A. (1984). Potansiyel Kuramı. Number 171. Yıldız Üniversitesi
Yayınları, İstanbul.
111
A. Üstün

Fiziksel Jeodezi

Transkript

Benzer belgeler

Yazılım Mimarisi Geri Kazanımı - CEUR

Pap Smear Test Goruntulerinde Hucre Cekirdeklerinin Bolutlenmesi

T.C. SELÇUK ÜN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

5) IARS İstatistiksel Mekanik ve Karmaşıklık Serisi İklim

gezegenler˙ın hareket˙ı

Son Rapor - Final Report - İTÜ Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri

ATV Motor Özellikleri